Проверка статистических гипотез

Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 151 Ëåêöèÿ 8. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î çíà÷èìîñòè âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè. Ñðàâíåíèå äâóõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. Ñðàâíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñ çàäàííûì çíà÷åíèåì. Ñðàâíåíèå âåðîÿòíîñòè ñ çàäàííûì çíà÷åíèåì. Êðèòåðèé Ïèðñîíà. Îïðåäåëåíèå 8.1. Ñòàòèñòè÷åñêîé íàçûâàåòñÿ ãèïîòåçà î âèäå ðàñïðåäåëåíèÿ èëè î çíà÷åíèÿõ åãî ïàðàìåòðîâ. Ãèïîòåçû áóäåì îáîçíà÷àòü H0 , H1 , H2 , . . . . Ðàçëè÷àþò ïðîâåðÿåìóþ èëè îñíîâíóþ ãèïîòåçó H0 è àëüòåðíàòèâíóþ èëè êîíêóðèðóþùóþ H1 , êîòîðàÿ äîëæíà ïðîòèâîðå÷èòü îñíîâíîé. Ïðèìåð 8.1. Ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà H0 ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíî çàäàííîìó çíà÷åíèþ a0 . H0 : M (ξ) = a0 . Àëüòåðíàòèâíàÿ H1 : M (ξ) > a0 . Äëÿ ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçû íà îñíîâàíèè âûáîðêè x1 , x2 , . . . , xn âû÷èñëÿþò çíà÷åíèå êðèòåðèÿ, çàâèñÿùåãî îò íàáëþäåíèé: T = T (x1 , x2 , . . . xn ). Âñ¼ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé êðèòåðèÿ äåëèòñÿ íà òàê íàçûâàåìóþ êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü, ïðè ïîïàäàíèè â êîòîðóþ êðèòåðèÿ ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ, è îáëàñòü ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû. Ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ î ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåçû H0 âîçìîæíû ñëåäóþùèå îøèáêè:  ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ, õîòÿ íà ñàìîì äåëå îíà âåðíà (îøèáêà ïåðâîãî ðîäà) ;  ãèïîòåçà H0 ïðèíèìàåòñÿ, õîòÿ íà ñàìîì äåëå îíà íå âåðíà, à ñïðàâåäëèâà ãèïîòåçà H1 (îøèáêà âòîðîãî ðîäà) . Íàðÿäó ñ ýòèì âîçìîæíû ñëåäóþùèå ïðàâèëüíûå ðåøåíèÿ:  ãèïîòåçà H0 ïðèíèìàåòñÿ è îíà äåéñòâèòåëüíî âåðíà;  ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ è íà ñàìîì äåëå ñïðàâåäëèâà ãèïîòåçà H1 . Îïðåäåëåíèå 8.2. Âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà íàçûâàåòñÿ óðîâíåì çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ è îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ α. 152 Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Âåðîÿòíîñòü ïðàâèëüíî îòâåðãíóòü ïðîâåðÿåìóþ ãèïîòåçó íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ è îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ β , òîãäà âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà ðàâíà 1 − β . Îäíîâðåìåííî óìåíüøèòü âåðîÿòíîñòè îøèáîê ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ìîæíî òîëüêî óâåëè÷èâ îáú¼ì âûáîðêè n. Ïðè ôèêñèðîâàííîì n îáû÷íî çàäàþò äîïóñòèìûé óðîâåíü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà α è ñòàðàþòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà 1 − β , ò.å. ìàêñèìèçèðîâàòü ìîùíîñòü êðèòåðèÿ β . Íà ïðàêòèêå ïðè ïðîâåðêå ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçû íà îñíîâàíèè íàáëþäåíèé âû÷èñëÿþò íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ Tíàáë è ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α îïðåäåëÿþò ãðàíèöû êðèòè÷åñêîé îáëàñòè  êðèòè÷åñêèå òî÷êè. Åñëè êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü ïðàâîñòîðîííÿÿ, ò.å. (têð2 ; +∞), ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ Tíàáë > têð2 äåëàþò âûâîä: ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α â ïîëüçó ãèïîòåçû H1 ; åñëè ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. Tíàáë 6 têð2 , äåëàþò áîëåå îñòîðîæíûé âûâîä: íåò îñíîâàíèé äëÿ òîãî, ÷òîáû îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 â ïîëüçó ãèïîòåçû H1 ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α. Åñëè êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü ëåâîñòîðîííÿÿ, ò.å. (−∞; têð1 ), ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ Tíàáë < têð1 .  ñëó÷àå äâóñòîðîííåé êðèòè÷åñêîé îáëàñòè âèäà (−∞; têð1 )∪(têð2 ; +∞) ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ Tíàáë < têð1 èëè Tíàáë > têð2 . 8.1. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î çíà÷èìîñòè âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè Ïóñòü íà îñíîâàíèè äàííûõ êîððåëÿöèîííîé òàáëèöû ïî âûáîðêå îáú¼ìà n íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé íàä íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè íàéäåí âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîð∗ , êîòîðûé îêàçàëñÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ. Òàê êàê âûáîðêà ðåëÿöèè rxy îòîáðàíà ñëó÷àéíî, âîçíèêàåò âîïðîñ î òîì, áóäåò ëè îòëè÷åí îò íóëÿ òåîðåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè rξζ , ê êîòîðîìó ñõîäèòñÿ âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò ïðè n → ∞. Íåîáõîäèìî ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòü ãèïîòåçó H0 : rξζ = 0 ïðè àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçå H1 : rξζ ̸= 0. Åñëè H0 îòâåðãàåòñÿ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè çíà÷èìî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ, à ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 153 êîððåëèðîâàíû, ò.å. â òîé èëè èíîé ñòåïåíè ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ. Åñëè H0 ïðèíèìàåòñÿ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè íåçíà÷èìî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ, à ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ íåêîððåëèðîâàíû, ò.å. íå ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ.  êà÷åñòâå êðèòåðèÿ äëÿ ïðîâåðêè H0 âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà √ n−2 ∗ T = rxy q , (8.1) ∗ 2 1 − rxy ∗ ãäå rxy âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (7.21). Ïðè ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåçû H0 âåëè÷èíà T èìååò òàê íàçûâàåìîå ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ãèïîòåçû H1 áóäåò äâóñòîðîííåé, têð1 = −têð2 . Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà têð2 îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííûì óðîâíþ çíà÷èìîñòè α è ÷èñëó ñòåïåíåé n − 2 ïî ñïåöèàëüíûì òàáëèöàì (ïðèëîæåíèå 3) èëè ñ ïîìîùüþ îáðàòíîé ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, èìåþùåéñÿ, íàïðèìåð, ñðåäè ñòàòèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé Excel äëÿ α/2 è n − 2 ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïî ôîðìóëå (8.1) äëÿ äàííûõ íàáëþäåíèé îïðåäåëÿåì çíà÷åíèå êðèòåðèÿ Tíàáë . Åñëè |Tíàáë | > têð2 , ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè |Tíàáë | 6 têð2  íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü H0 . 154 Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 8.2. Ñðàâíåíèå äâóõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé Ïóñòü èìåþòñÿ äâå íåçàâèñèìûå âûáîðêè îáú¼ìîâ n è m èç íîðìàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ñ èçâåñòíûìè äèñïåðñèÿìè σ12 è σ22 . Òðåáóåòñÿ ïî íàéäåííûì âûáîðî÷íûì ñðåäíèì x̄ è ȳ ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó H0 î ðàâåíñòâå òåîðåòè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé: H0 : M (ξ) = M (ζ). Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó íåñìåù¼ííîñòè îöåíîê x̄ è ȳ ñëåäóåò, ÷òî íóëåâóþ ãèïîòåçó ìîæíî çàïèñàòü è òàê: ¯ = M (ζ̄). H0 : M (ξ) Äðóãèìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü çíà÷èìî èëè íåò îòëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé âûáîðî÷íûå ñðåäíèå.  êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû ïðèìåì âåëè÷èíó: x̄ − ȳ . (8.2) Z=r σ12 σ22 + n m Äëÿ èçó÷åíèÿ å¼ ñâîéñòâ ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó: n m P P ξ ζi i ξ¯ − ζ̄ i=1 i=1 Z=r , ãäå ξ¯ = , ζ̄ = . n m σ12 σ22 + n m Åñëè âåðíà ãèïîòåçà H0 , ò.å. ξi ∼ N (a; σ1 ), ζi ∼ N (a; σ2 ), òî Z ∼ N (0; 1). Äåéñòâèòåëüíî, Z ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïîýòîìó ñàìà ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. ż ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ðàâíû: r
 σ12 σ22 ¯ − M (ζ̄) M (Z) = M (ξ) + = n m ! r n m X X  σ12 σ22 = M (ξi )/n − M (ζi )/m + = n m i=1 i=1 r  na ma  σ 2 σ 2 1 = − + 2 = 0, n m n m Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 155  
 σ12 σ22 + = n m   2 X  m n X  σ1 σ22 2 2 D(ξi )/n + D(ζi )/m + = = n m i=1 i=1  2    nσ1 mσ22  σ12 σ22 = + 2 + = 1. n2 m n m ¯ + D(ζ̄) D(Z) = D(ξ) Ïîýòîìó, â çàâèñèìîñòè îò êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû, ðåøàþùåå ïðàâèëî âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: • H0 : M (ξ) = M (ζ), H1 : M (ξ) ̸= M (ζ). Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äâóñòîðîííÿÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ α/2 ïîïàäàíèÿ â êàæäóþ ïîëîâèíó â ñëó÷àå ñïðàâåäëèâîñòè H0 . Èç óðàâíåíèÿ Fñò (Zêð ) = 1 − α/2, ãäå Fñò (Z)  ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà, íàõîäèì çíà÷åíèå Zêð , âû÷èñëÿåì ïî äàííûì íàáëþäåíèÿì çíà÷åíèå êðèòåðèÿ Zíàáë è åñëè |Zíàáë | > Zêð , òî îòâåðãàåì ãèïîòåçó H0 ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α. Åñëè |Zíàáë | 6 Zêð , ó íàñ íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 â ïîëüçó äàííîé ãèïîòåçû H1 . Íà ïðàêòèêå óðàâíåíèå Fñò (Zêð ) = 1 − α/2 ðåøàþò èëè ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ (íàïðèìåð, Excel), èëè ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 2 è óðàâíåíèÿ (8.3) ò.ê. α Fñò (Zêð ) = Φ(Zêð ) + 0,5 =⇒ Fñò (Zêð ) = 1 − ⇐⇒ 2 α ⇐⇒ Φ(Zêð ) + 0,5 = 1 − ⇐⇒ 2 1 α − ; (8.3) 2 2 • H0 : M (ξ) = M (ζ), H2 : M (ξ) > M (ζ). Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü ïðàâîñòîðîííÿÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ α ïîïàäàíèÿ â íå¼ â ñëó÷àå ñïðàâåäëèâîñòè H0 . Èç óðàâíåíèÿ Fñò (Zêð ) = 1 − α íàõîäèì çíà÷åíèå Zêð , âû÷èñëÿåì ïî ôîðìóëå (8.2) Zíàáë è åñëè Zíàáë > Zêð , òî îòâåðãàåì ãèïîòåçó H0 ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α. Åñëè Zíàáë 6 Zêð , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 . Íà ïðàêòèêå Zêð íàõîäÿò èëè ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ èëè ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 2, èç óðàâíåíèÿ Φ(Zêð ) = 156 Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. (8.4) ò.ê. Fñò (Zêð ) = 1 − α ⇐⇒ Φ(Zêð ) + 0,5 = 1 − α ⇐⇒ 1 − α; (8.4) 2 • H0 : M (ξ) = M (ζ), H3 : M (ξ) < M (ζ). Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü ëåâîñòîðîííÿÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ α ïîïàäàíèÿ â íå¼ â ñëó÷àå ñïðàâåäëèâîñòè H0 . Èç óðàâíåíèÿ ′ ′ Fñò (Zêð ) = α íàõîäèì çíà÷åíèå Zêð .  ñèëó ñèììåòðèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíî íóëÿ íà ïðàêòèêå íàõîäÿò çíà÷åíèå Zêð èç óðàâíåíèÿ (8.4) ′ è áåðóò Zêð = −Zêð . Åñëè Zíàáë < −Zêð , ãèïîòåçó H0 îòâåðãàþò ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè Zíàáë > −Zêð , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü H0 . Φ(Zêð ) = Çàìå÷àíèå 8.1. Åñëè íåçàâèñèìûå âûáîðêè äîñòàòî÷íî áîëüøèå, óêàçàííûé êðèòåðèé ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ñëó÷àÿ íåèçâåñòíûõ äèñïåðñèé è íå îáÿçàòåëüíî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîâîêóïíîñòåé.  ýòîì ñëó÷àå âìåñòî ôîðìóëû (8.2) èñïîëüçóþò ôîðìóëó (8.5) äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèòåðèÿ Êðàìåðà-Óýë÷à: Z=r x̄ − ȳ S1∗ S2∗ + n m 2 2 . (8.5) 8.3. Ñðàâíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñ çàäàííûì çíà÷åíèåì Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà îáú¼ìà n íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ 2 . Òðåáóåòñÿ ïî íàéäåííîé âûáîðî÷íîé ñðåäíåé ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòü ãèïîòåçó H0 î ðàâåíñòâå íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M (ξ) çàäàííîìó çíà÷åíèþ a0 : H0 : M (ξ) = a0 .  ñèëó íåñìåù¼ííîñòè îöåíêè x̄ çàêëþ÷àåì, ÷òî íóëåâóþ ãèïîòåçó ìîæíî çàïèñàòü è òàê: ¯ = a0 . H0 : M (ξ) Äðóãèìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü, çíà÷èìî èëè íåò îòëè÷àåòñÿ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå îò çàäàííîãî çíà÷åíèÿ.  êà÷åñòâå êðèòåðèÿ Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 157 âûáåðåì âåëè÷èíó U= x̄ − a0 x̄ − a0 √ √ = · n. σ σ/ n (8.6) Ìîæíî äîêàçàòü (ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî), ÷òî ñîîòâåòñòâóþ(ξ¯ − a0 ) ùàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà U = √ èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå n/σ ðàñïðåäåëåíèå. Ïîýòîìó â çàâèñèìîñòè îò êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû, ðåøàþùåå ïðàâèëî áóäåò ñëåäóþùèì: • H0 : M (ξ) = a0 ; H1 : M (ξ) ̸= a0 . Èç óðàâíåíèÿ (8.3) ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 2 (èëè ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ) îïðåäåëÿåì Zêð , ïî ôîðìóëå (8.6) íàõîäèì Uíàáë äëÿ èìåþùèõñÿ íàáëþäåíèé. Åñëè |Uíàáë | > Zêð , ãèïîòåçó H0 îòâåðãàåì ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè |Uíàáë | 6 Zêð , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 â ïîëüçó äàííîé ãèïîòåçû H1 . • H0 : M (ξ) = a0 ; H2 : M (ξ) > a0 . Èç óðàâíåíèÿ (8.4) îïðåäåëÿåì Zêð , ïî ôîðìóëå (8.6) íàõîäèì Uíàáë . Åñëè Uíàáë > Zêð , ãèïîòåçó H0 îòâåðãàåì ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè Uíàáë 6 Zêð , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü H0 . • H0 : M (ξ) = a0 ; H3 : M (ξ) < a0 . Èç óðàâíåíèÿ (8.4) îïðåäåëÿåì Zêð , ïî ôîðìóëå (8.6) íàõîäèì Uíàáë . Åñëè Uíàáë < −Zêð , ãèïîòåçó H0 îòâåðãàåì ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè Uíàáë > −Zêð , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü H0 . Åñëè â óñëîâèÿõ ï. 8.4 äèñïåðñèÿ íåèçâåñòíà, â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ñëåäóåò âûáðàòü âåëè÷èíó T = x̄ − a0 x̄ − a0 √ √ · n. = S∗ S ∗/ n (8.7) Ìîæíî äîêàçàòü (ìû íå áóäåì ýòîãî ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ √ äåëàòü), ∗ ¯ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà T = (ξ − a0 ) · n/S èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Ðåøàþùåå ïðàâèëî â çàâèñèìîñòè îò êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû áóäåò ñëåäóþùèì: • H0 : M (ξ) = a0 ; H1 : M (ξ) ̸= a0 . Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü â äàííîì ñëó÷àå áóäåò äâóñòîðîííåé; êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà t2 îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííûì α è n − 1 ïî 158 Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. ñïåöèàëüíûì òàáëèöàì (ïðèëîæåíèå 3) èëè ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè, îáðàòíîé ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, èìåþùåéñÿ, íàïðèìåð, ñðåäè ñòàòèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé Excel. Ïî ôîðìóëå (8.7) îïðåäåëÿåì Tíàáë . Åñëè |Tíàáë | > t2 , ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α, åñëè |Tíàáë | 6 t2 , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü H0 â ïîëüçó äàííîé ãèïîòåçû H1 . Ïðè êîíêóðèðóþùèõ ãèïîòåçàõ H2 : M (ξ) > a0 è H3 : M (ξ) < a0 ñòðîÿò ñîîòâåòñòâåííî ïðàâîñòîðîííþþ è ëåâîñòîðîííþþ êðèòè÷åñêèå îáëàñòè (ñì. [5]). 8.4. Ñðàâíåíèå âåðîÿòíîñòè ñ çàäàííûìè çíà÷åíèåì Ïóñòü ïðîâåäåíî n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòüþ p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì. Ïî ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé íàéäåíà îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà m/n, ãäå m  ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ. Òðåáóåòñÿ ïî âåëè÷èíå m/n ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó H0 î òîì, ÷òî íåèçâåñòíàÿ âåðîÿòíîñòü p ðàâíà çàäàííîìó çíà÷åíèþ p0 : H0 : p = p0 . Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó íåñìåù¼ííîñòè îöåíêè m/n äëÿ p íóëåâóþ ãèïîòåçó ìîæíî çàïèñàòü è òàê: m H0 : M = p0 . n Äðóãèìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü, çíà÷èìî èëè íåò îòëè÷àåòñÿ ÷àñòîòà îò çíà÷åíèé p0 .  êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû ïðèìåì âåëè÷èíó m − p0 √ n U= √ ãäå q0 = 1 − p0 . (8.8) · n, p 0 q0 Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðè ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåçû H0 èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïðè ýòîì ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû ïðèâåä¼ííûì ñëó÷àÿ èçâåñòíîé äèñ m  â ï. 8.3äëÿ m  p 0 q0 ïåðñèè, ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî M = p0 , D = . n n n  çàâèñèìîñòè îò êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû ðåøàþùåå ïðàâèëî áóäåò òàêèì æå, êàê äëÿ ñëó÷àÿ èçâåñòíîé äèñïåðñèè, íî çíà÷åíèå Uíàáë , êîíå÷íî, ñëåäóåò âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëå (8.8). Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 159 8.5. Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ 8.3. Êðèòåðèÿìè ñîãëàñèÿ íàçûâàþò êðèòåðèè äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç î âèäå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îïðåäåëåíèå 8.6. Êðèòåðèé Ïèðñîíà ïðîâåðêè ãèïîòåçû î âèäå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóñòü èìååòñÿ ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà, ñîñòîÿùàÿ èç n ýëåìåíòîâ. Òðåáóåòñÿ íàéòè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ èçó÷àåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (èëè, êàê óñëîâèëèñü ãîâîðèòü, ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè), îïðåäåëèòü åãî ïàðàìåòðû è îöåíèòü ñîãëàñèå âûáîðêè ñ ïðèíÿòûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ. Íà îñíîâàíèè ñòàòèñòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà H0 , ñîñòîÿùàÿ â òîì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïîä÷èíÿåòñÿ íåêîòîðîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðèíÿòü èëè îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 , ðàññìàòðèâàåòñÿ âåëè÷èíà U  ñòåïåíü ðàñõîæäåíèÿ òåîðåòè÷åñêîãî è ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Çà U ïðèíèìàþò ñóììó êâàäðàòîâ (ñ íåêîòîðûìè êîýôôèöèåíòàìè) îòêëîíåíèé òåîðåòè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé Pi îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòîò Pi∗ (êðèòåðèé χ2 ). Ñõåìà ðàñ÷¼òîâ ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ïèðñîíà (êðèòåðèÿ χ2 ) ñëåäóþùàÿ. (1) Íà îñíîâàíèè âûáîðêè âûáèðàåì â êà÷åñòâå ïðåäïîëàãàåìîãî êàêîéòî çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ èçó÷àåìîé âåëè÷èíû (íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ âåðîÿòíîñòíîé áóìàãè) è îöåíèâàåì åãî ïàðàìåòðû, êàê îïèñàíî âûøå. (2) Âñ¼ ìíîæåñòâî íàáëþäåíèé ðàçáèâàåì íà s èíòåðâàëîâ âèäà (aj−1 ; aj ] è ïîäñ÷èòûâàåì ýìïèðè÷åñêèå ÷àñòîòû  êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé mj , ïîïàâøèõ â j -ûé èíòåðâàë (ñì. ï. 7.3). Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ â j -ûé èíòåðâàë, mj ðàâíà Pj∗ = , (m1 + . . . + ms = n), ñóììà âñåõ ÷àñòîò, n î÷åâèäíî, ðàâíà åäèíèöå. (3) Îïðåäåëÿåì òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû m′j äëÿ j -ãî èíòåðâàëà (aj−1 ; aj ]:   m′j = F (aj ) − F (aj−1 ) · n, 160 Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. ãäå F (x)  òåîðåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéäåííàÿ íà ýòàïå 1. (4) Âû÷èñëÿåì êðèòåðèé χ2íàáë (êðèòåðèé Ïèðñîíà): 2 χíàáë S X (mj − m′j )2 = . m′j j=1 (8.9) Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî χ2íàáë ðàâíî íóëþ ëèøü ïðè ñîâïàäåíèè âñåõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýìïèðè÷åñêèõ è òåîðåòè÷åñêèõ ÷àñòîò: mi = m′i (i = 1, 2, . . . , l).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå χ2íàáë îòëè÷íî îò íóëÿ è òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ðàñõîæäåíèå ìåæäó ÷àñòîòàìè. Âåëè÷èíà χ2 , îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì ( 8.9), ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé, è (ïðè áîëüøèõ n) èìååò χ2  ðàñïðåäåëåíèå ñ k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (ïðèíèìàåòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà). (5) Îïðåäåëÿåì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû χ2 : k = s − 1 − r, (8.10) ãäå r  ÷èñëî ïàðàìåòðîâ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ (äëÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ r = 2), s  ÷èñëî èíòåðâàëîâ. (6) Ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α è ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû k ïî òàáëèöå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 (òàáëèöà ïðèëîæåíèÿ 4) íàõîäèì êðèòè÷åñêóþ òî÷êó χ2êð (α; k). Åñëè χ2íàáë < χ2êð (α; k)  íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü ãèïîòåçó î ïðèíÿòîì (íîðìàëüíîì) çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè χ2íàáë > χ2êð (α; k)  ãèïîòåçó îòâåðãàþò ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α. Ïðèìåð 8.2. Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ïèðñîíà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè âûáîðêè: 2,98; 3,03; 3,17; 3,22; 3,57; 3,59; 3,95; 3,96; 4,03; 4,16; 4,35; 4,47; 4,54; 4,96; 5,01. IÐàçîáü¼ì âñ¼ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âûáîðêè íà 6 èíòåðâàëîâ, ãðàíèöû êîòîðûõ çàíåñåíû âî âòîðîé ñòîëáåö òàáë. 8.1.  òðåòèé ñòîëáåö òàáë. 8.4 çàíîñèì êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé mj , ïîïàâøèõ â j -ûé èíòåðâàë. Ïî ôîðìóëàì (7.2), (7.12), (7.5) îïðåäåëÿåì ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ x̄ è S ∗ äëÿ âûáîðêè èç òàáë. 8.2: x̄ = 3, 933; S ∗ = 0,664 Ëåêöèÿ 8. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. j 1 2 3 4 5 6 Ðåøåíèå ïðèìåðà 8.2 aj mj F (aj ) m′j 2,5 1 0,0155 0,969 3,0 3 0,0800 2,659 3,5 4 0,2573 4,246 4,0 4 0,5404 3,948 4,5 2 0,8036 2,137 5,0 1 0,9460 0,673 5,5 0,9909 161 Òàáëèöà 8.1 è íàõîäèì çíà÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (aj ).   a − x̄  j äàííîì ïðèìåðå F (aj ) = Φ + 0,5.  ïÿòûé ñòîëáåö çàíîñèì ∗ S òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû m′j , âû÷èñëÿåìûå, êàê óêàçàíî âûøå. Ïî ôîðìóëå (8.9) íàõîäèì çíà÷åíèå χ2íàáë = 0,228. Ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 4 äëÿ α = 0,05 è k = 6 − 1 − 2 = 3 íàõîäèì êðèòè÷åñêóþ òî÷êó χ2êð (0,05; 3) = 7,8. Ïîñêîëüêó χ2íàáë < χ2êð (0,05; 3), íåò îñíîâàíèé îòâåðãàòü ãèïîòåçó H0 î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè çàäàííîé âûáîðêè.