Проверка основного уравнения динамики вращательного движения при вращении тел вокруг неподвижной оси

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1-05 ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ ТЕЛ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Цель работы: изучение динамики вращательного движения, экспериментальное подтверждение основного уравнения динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси и справедливости теоремы Гюйгенса – Штейнера. Приборы и принадлежности: крестообразный маятник Обербека, снабженный электронным секундомером, набор грузов определенной массы, прибор для измерения длины. ВВЕДЕНИЕ Основное уравнение динамики вращательного движения имеет следующий вид: dL   Mi , dt (1) где L = J  момент импульса вращающегося тела; J – момент его инерции относительно оси вращения;   угловая скорость вращения и М = [r, F] – момент силы. Дифференцируя последнее равенство, получим dJ  M  dt    J d . dt (2) Если вращение осуществляется вокруг неподвижной оси и если момент инерции остается постоянным, то уравнение (2) примет вид J d   Mi dt или J z    M z . (3) Здесь Jz и Мz – момент инерции и момент силы относительно неподвижной оси z. Угловое ускорение  связано с линейным ускорением точек, расположенных на расстоянии r от оси вращения, уравнением  = а r. (4) Линейное ускорение, в свою очередь, связано с перемещением h и временем перемещения t, при условии, что начальная скорость перемещения равна нулю a 2h . t2 40 (5) Моменты инерции простых тел относительно оси, проходящей через центр масс, известны. Теорема Гюйгенса – Штейнера позволяет определить момент инерции относительно любой другой оси, если она параллельна оси, проходящей через центр масс J  J 0  mR 2 , (6) где J0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; m – масса тел; R – расстояние между осями. Приведенные зависимости позволяют решить поставленную задачу. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ Схема маятника Обербека 8 приведена на рис. 1. Два шкива различных диаметров 1 и 2 могут 9 легко вращаться вокруг 3 неподвижной оси 3. Шкивы соединены плотной шайбой, 4 в боковой поверхности которой 5 закреплены симметрично четыре 6 спицы 4, расположенные под прямым углом друг к другу. На 1, 2 спицы можно надевать грузы (mгр), которые могут перемещать4 7 ся вдоль спиц 4. При этом изме6 няется момент инерции маятника, который зависит от расстояния R mg между центрами грузов и осью 10 вращения. На один из шкивов 1 или 2 намотана нить, к концу которой привязана платформа 6 изРис. 1 вестной массы m0. На эту платформу можно помещать грузы различной массы mi 7. В зависимости от массы этого груза изменяется вращающий момент. Нить перекинута через блок 8 с указателем 9. Расстояние между указателем 9 и основанием прибора определяет высоту h падения платформы с соответствующим грузом mi. Выключатель 10 служит для освобождения груза с платформой и для запуска (остановки) секундомера. 41 МЕТОДИКА ПРОВЕРКИ ОСНОВНОГО ЗАКОНА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Возможны два способа проверки основного закона динамики вращательного движения тел вокруг неподвижной оси: а) установить линейную зависимость  = f(M) при J = const; б) установить линейную зависимость  = f (1/J) при M = const. а) Первый способ. Груз mi, помещенный на платформу 6, создает вращающий момент Mi = T  r, где Т – сила натяжения нити и r – радиус шкива, на который намотана нить. По второму закону Ньютона mg – T = ma = > T = m(g – a), где а – ускорение падающего груза с платформой. Момент силы натяжения равен Мi = m(g – a) r. Сумма моментов сил, действующих на шкив: a Mi – Mтр = m(g – a)r – Mтр.= J , r где Мтр – момент силы трения a(mr2 + J) = mgr2 – Mтр  r;  a mgr  M тр .  r J  mr 2 (7) Здесь m = m0 + mi – масса платформы 6 с грузом 7. В соответствии с теоремой Гюйгенса – Штейнера момент инерции крестовины с надетыми на спицы грузами mгр, равен J = J0 + 4mгрR2. Суммарная масса крестовины со стержнями и надетыми на них грузами много больше массы груза с платформой. Кроме того, r << R. Следовательно, можно считать, что J  mr2, и последнее равенство примет вид    a 1  mgr  M тр . r J 42 (8) Из этой зависимости следует, что отношение а/r = f(mgr) должно быть линейным, что можно подтвердить экспериментально. Для этого достаточно определить значение ускорения а при разном, но симметричном положении грузов mгр на стержнях. Момент силы трения может быть приближенно оценен. Для этого, при данном положении грузов на стержнях, установить маятник так, чтобы одна пара стержней была горизонтальной. Затем понемногу добавлять груз на платформе, пока маятник не придет в движение. Это минимальное значение mmin определит момент силы трения Mтр = mmin gr. (9) б) Второй способ. Подставим в уравнение (8) значение момента инерции системы  mgr  M тр a .  r J 0  4mгр  R 2 Если проводить эксперимент так, чтобы m было много больше mmin (m  10mmin), то можно полагать Мтр незначительным и  тогда a mgr ,  r J 0  4mгр R 2 2 g J 0  4mгр R  ; a mr 2 2 mгр  R  J g  02  4   . a mr m r (10) Следовательно, в случае справедливости основного закона динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси, а также теоремы Гюйгенса – Штейнера, зависимость g / a = f(R / r)2 должна быть линейной. Для проверки последнего утверждения необходимо измерить ускорение а при разных положениях грузов mгр и при фиксированном значении моментов вращающих сил (m). РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ 1. Оцените момент силы трения при отсутствии грузов mгр на спицах. Для этого установите одну пару спиц в горизонтальном положении и определите минимальное значение груза mmin на платформе, при котором маятник выйдет из равновесия. Момент силы трения оцените по уравнению (9) и внесите в табл. 1. 43 2. Установите четыре груза mгр на спицах в произвольном, но одинаковом положении. При постоянном значении момента инерции определите время падения груза с высоты h. Для каждого значения mi груза на платформе определите это время три раза. Опыт повторите для пяти различных значений mi. При этом должно выполняться условие mi > mmin. Результаты внесите в табл. 1. Внизу таблицы запишите значение радиуса r того шкива, на котором намотана нить. 3. Установите на платформе груз mi > mmin. Не меняйте этот груз в течение всего опыта (M = const). В опыте изменяют момент инерции перемещением грузов mгр по спицам, изменяя расстояние R. При каждом значении R определите три раза время падения груза с платформой с высоты h. Результаты внесите в табл. 2. Таблица 1 t1 t2 t3 t h <>  mgr mgr Mтр m1 m2 m3 m4 m5 Таблица 2 R r (R/r)2 4mгр t1 t2 t3 h (a) g/a ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. При расчете параметров используйте среднее значение времени падения для каждого состояния системы 3 t   ti 3 . i 1 2. Для первой таблицы по формуле (5) рассчитайте значения линейного ускорения, а по формуле (4) среднее значение углового ускорения. 3. Значения t и h определите как ошибку прямых измерений (величину h измерить 3–5 раз). Величину mgr определите по значениям цены деления приборов, если Вы измеряли эти величины. 4. По данным табл. 1 постройте зависимость  = f(mgr) (рис. 2, а). 5. Из графика определите значение момента силы трения Мтр. 44  g a J0 Мтр mgr mr 2 (R/r)2 а б Рис. 2 6. Обработайте аналогичным образом табл. 2 и по ее данным постройте зависимости g/a = f(R / r)2 (рис. 2, б). 7. Из графика определите значение J0 /(mr2). 8. Сопоставьте графики 2, а и 2, б с уравнениями (8) и (10). 9. Сравните значение Мтр, определенное в эксперименте, и полученное из рис. 2, а. 10. По значению J0/(mr2), полученному из рис. 2, б, убедитесь в справедливости вывода о том, что mr2  J0, который использовали при выводе уравнения (8). 11. На основе сопоставлений сформулируйте выводы к работе. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ И ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Моменты каких внешних сил изучают в данной работе? Как их измеряют? 2. Предложите методы измерения момента сил трения. Какой метод используется в данной работе? 3. Какие методы проверки основного уравнения динамики вращательного движения можно предложить в качестве альтернативных методу Обербека? 4. При каких допущениях получена формула для определения силы натяжения нити? Определите эту силу и сравните ее с силой тяжести груза. 5. Почему для определения величины момента сил трения используют малые значения грузов? 6. При каком условии тангенциальное ускорение точек на ободе колеса равно линейному ускорению платформы с грузами? Как это изучить экспериментально? 45 7. Определите, к каким ошибкам приводит использование приближенной формулы, связанной с тем, что величина mr2 << J. Оцените эти ошибки? 8. Какова точность определения момента сил трения графическим методом? Определите эту погрешность. 9. Каким образом экспериментально проверяют теорему Гюйгенса – Штейнера в данной работе? Предложите иные способы проверки теоремы. 10. Как влияет размер и масса диска, используемого для придания лабораторной установке компактного вида. Составьте соответствующие уравнения и количественно оцените данное влияние. 11. Оцените кинетическую энергию маятника. Проверьте выполнение закона сохранения энергии. Для этого определите значения энергии всех тел. 12. Проверьте выполнение соотношения  = t, используя табличные значения времени падения груза. 13. Какую из величин в данном эксперименте необходимо измерять с наибольшей точностью и почему? 14. Определите момент инерции грузов, расположенных на спицах. Как расположены оси, относительно которых вычисляют момент инерции по теореме Гюйгенса – Штейнера? 15. Если маятник вращается с начальной угловой скоростью 0, то как определить полый угол, на который он повернется к моменту остановки? 16. Оцените работу сил трения в данной установке на примере нескольких экспериментов. 17. Почему стремятся уменьшить момент сил трения? Не проще ли учесть момент сил трения в расчетах? 18. Как найти ускорение 0, определяемое только моментом сил трения. Опишите эту методику. 19. Определите ускорение 0, которое создает момент сил трения. Сравните 0 и . 20. С какой точностью необходимо измерять время при выполнении работы? Как это оценить? Приведите необходимые расчеты. 21. Придумайте способ изменения момента инерции маятника, отличающийся от рассмотренного. Укажите направление векторов , М, Мтр, , L, L, и объясните выбранные направления векторов. 22. Определите импульс и момент импульса груза в момент его удара о подставку. 23. Можно ли измерять моменты инерции тел данным методом? Приведите доказательства. 46 24. Как можно изменять силу трения, не внося конструктивных изменений в устройство? Внося конструктивные изменения в устройство? Приведите примеры. 47