Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних. Независимые выборки

Лекция 7. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ ГЕНЕРАЛЬНЫХ СРЕДНИХ (НЕЗАВИСИМЫЕ ВЫБОРКИ) Важнейшим вопросом, возникающим при анализе двух выборок, является задача выявления однородности выборок. Эта задача сводится к проверке гипотез об оценке различия между их параметрами – между средними (математическими ожиданиями) и между дисперсиями. 1. Постановка задачи о равенстве средних независимых генеральных совокупностей Даны две независимые выборки x1, x2 , ..., xn1  и y1, y2 , ..., yn2  из двух генеральных совокупностей. По этим выборкам найдены 1 n1  выборочные средние x    xi ; n1 i 1  1 n2 y   yi n 2 i 1 1 n1 2 выборочные дисперсии S x    ( xi  x) 2 ; n1 i 1 1 n2 2 Sy    ( yi  y ) 2 . n2 i 1 Проверяется гипотеза H 0 о равенстве математических ожиданий a x  a y генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки. Альтернативной гипотезой H1 является гипотеза a x  a y . Такие проверки возникают на производстве при сравнении средних значений контролируемого параметра продукта, выпускаемого двумя станками, в экономике при сравнении среднего уровня зарплаты, среднего объема выпускаемой продукции в двух регионах. Эта задача может возникнуть в социальной сфере при сравнении социальных факторов, таких, как средний возраст, средний уровень обеспеченности жильем. Для решения этой задачи применяется t -критерий Стьюдента, но его использование отличается в зависимости от различных предположениях относительно дисперсий. В психологии чаще используется случай, когда дисперсии выборок неизвестны. Это объясняется тем, что, во-первых, в психологической практике генеральные дисперсии, как правило, неизвестны и, во-вторых, по психологическим выборкам малого объема ( n  30 ) нельзя получить «хорошие» оценки дисперсий. 2 2 В случае неизвестных генеральных дисперсий  x ,  y возможны следующие варианты: 1) дисперсии одинаковы; 2) дисперсии неодинаковы. Будем считать, что генеральные дисперсии в двух совокупностях одинаковы:  2x   2y   2 , что связано с понятием однородности выборок и отражает сущность решаемой задачи. 2. Критерий Стьюдента для оценки различия средних значений признака в независимых выборках Из параметрических критериев наибольшей известностью пользуется критерий Стьюдента ( t -критерий различия). Он применяется при сравнении математических ожиданий двух выборок, если есть основание считать, что выборки взяты из генеральных совокупностей с нормальным распределением. При малых выборках ( n  30 ) до начала применения t -критерия необходимо проверить гипотезу о соответствии экспериментальных данных нормальному распределению. При средних и больших объемах выборки ( n  30 ) t -распределение переходит в нормированное нормальное распределение (с параметрами a  0 и   1). При использовании t -критерия различия средних можно выделить два случая:  выборки независимы, т.е. получены в результате измерения двух разных групп объектов (например, две различные выборки - контрольная и экспериментальная группы);  выборки зависимые, т.е. получены в результате измерения одной и той же группы объектов, но в разное время (например, числовой материал порождается одной и той же группой объектов - «до» и «после» воздействия). Рассмотрим независимые выборки. Критерий (правило) проверки гипотезы 1. Проверяем нулевую гипотезу H 0 : a x  a y о равенстве генеральных средних. 2. Формулируем альтернативную гипотезу H1 : a x  a y о неравенстве генеральных средних. В качестве H1 могут выступать и другие предположения: a x  a y или ax  a y . 3. Назначаем уровень значимости   0,05 (или   0,01). 4. Вычисляем выборочные средние значения x и y . 5. Вычисляем выборочное значение t -критерия t эмп.  x y Sd , где выражение для S d n1S x2  n2 S y2 равно S d  n1  n2  2 1 1      . Доказано, что статистика t распределена по  n1 n2  закону Стьюдента с k  n1  n2  2 степенями свободы. Таблица критических точек распределения Стьюдента приведена в Приложении. 6. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическое   ; k   t(1  2) при k  n1  n2  2 . Критическая область является 2  t(1  2) ;  . двусторонней и распадается на два интервала:  ;  t(1  2) и Вероятность  ошибочного отклонения нулевой гипотезы делится пополам между интервалами и поэтому при нахождении критических точек фигурирует  2 . Поскольку кривая распределения t -Стьюдента симметрична, то и левая и правая критические точки симметричны относительно начала координат, т.е. t кр. лев   t кр.пр . Вероятности   значение t кр 1     попадания в левую часть критической области и в правую ее часть равны  2 .  7. Сравниваем t эмп. и t(1 2) , т.е. определяем, принадлежит ли значение t эмп критической области. Если t эмп  t кр , т.е. t эмп попало в область допустимых значений, то гипотеза H 0 принимается. Говорят, что с ошибкой  нет оснований для отклонения гипотезы H 0 о незначимости различий между двумя генеральными средними. Различие между генеральными средними статистически незначимо (недостоверно) и объясняется случайными причинами, например, случайным отбором объектов выборки. Если же t эмп  t кр , то гипотеза H 0 отклоняется, так как t эмп. попало в критическую область. Отметим, что значение t эмп всегда положительно, поэтому достаточно сравнить его только с правой критической точкой tкр.пр . 3. Задача оценки различия средних значений признака в независимых выборках Задача. Преподаватель сопоставил изложение одной и той же темы в двух различных учебниках. Работая в двух параллельных студенческих группах, он отобрал из них случайным образом две группы по 15 студентов в каждой и поручил им самостоятельно проработать эту тему: одной группе по первому учебнику, другой группе – по второму. В конце эксперимента студентам был предложен тест на усвоение изученного материала. Результаты оценивались количеством правильных ответов. Были получены следующие данные: 2 в первой группе n1  15 , x  7,65 , S x  6,5 ; 2 во второй группе n2  15 , y  7,00 , S y  6,5 . Значимы ли различия между средним количеством правильных ответов студентов в группах? Решение. Нулевую гипотезу H 0 : a1  a2 (о равенстве генеральных средних) проверим на уровне значимости   0,05 . Альтернативная гипотеза H1 : a1  a2 (о различии) задает двустороннюю критическую область. 2 2 Обе выборки независимы, выборочные дисперсии равны между собой ( S x  S y ) , объемы выборок совпадают ( n1  n2  15 ). Тогда значение n1S x2  n2 S y2  1 1  15  6,5  15  6,5  1 1  Sd            0,96 . n1  n2  2  n1 n2  15  15  2  15 15  Вычислим эмпирическое значение критерия: t эмп.  x y Sd  7,65  7,00  0,678 . 0,96 Найдем по таблице критические точки t -распределения Стьюдента для двусторонней критической области при уровне значимости   0,05 и числе степеней свободы   2n  2  2  15  2  28 . Получим t кр  2,05 . Значит, правая критическая точка t кр. пр  2,05 , левая критическая точка t кр. лев  2,05 , а область допустимых значений двустороннего t -критерия есть симметричный интервал от  2,05 до 2,05 . Значение t эмп  0,678 находится внутри области допустимых значений (2,05; 2,05) , то есть  2,05  t эмп  2,05 , поэтому нет оснований для отклонения гипотезы о равенстве генеральных средних значений числа правильных ответов в группах. Расхождение между x  7,65 и y  7,00 незначимо. Оба учебника дают примерно одинаковые результаты по усвоению учебного материалы по критерию числа правильных ответов на тестовые задания. Контрольные вопросы 1. Дайте определение однородных выборок. 2. Почему определение однородности выборок является важной статистической задачей для психологов? 3. Какие критерии называются параметрическими? 4. Дайте постановку задачи, для решения которой применяется критерий Стьюдента. 5. При каких условиях применяется критерий Стьюдента? 6. Какое условие необходимо проверить до начала применения критерия Стьюдента при малых выборках? 7. Опишите последовательность действий применения критерия Стьюдента для независимых выборок. 8. Дайте описание нулевой гипотезы в задаче о сравнении средних значений признака в двух независимых выборках.