Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

6. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка В этом пункте мы рассмотрим уравнения второго порядка, ко­торые с помощью замены переменной сводятся к уравнениям пер­вого порядка. Такое преобразование уравнения называется пони­жением порядка. Не говоря об уравнении , которое решается двукратным интегрированием, Простейшими уравнениями второго порядка, допускающими понижение порядка, являются следующие: Рассмотрим последовательно, как осуществляется понижение порядка и как интегрируется каждое из указанных уравнений. Первое из этих уравнений решается введением новой функции v(x), положив . Тогда и мы получим уравнение первого порядка . Решая его относительно функции z(x), а затем интегрируя, получим искомое решение. Пример 4. Найти общее решение уравнения . Полагая , получаем уравнение . Преобразуя, получаем уравнение с разделяющимися переменными: . Интегрируя, находим: , или . Заменяя z(x) на у' и интегрируя еще раз, находим общее решение уравнения: . Уравнение не содержит явно независимой переменной х. Для понижения порядка уравнения снова вводим новую функцию, зависящую от переменной у, полагая . Дифференцируем это равенство по х, помня, что у является функ­цией от х: , или . Подставляя последние соотношения в исходное уравнение, получим дифференциальное уравнение первого порядка: . Пример 5. Найти общее решение уравнения . Делая указанную выше подстановку, получаем уравнение: . Разделив переменные, получим: . Интегрируя и проводя несложные преобразования, находим, что , или . Это уравнение преобразуется к виду: . Интегрируя, получаем: , откуда . Задачи для самостоятельного решения: Решить уравнение 1. ; 16. ; 2. ; 17. ; 3. ; 18. ; 4. ; 19. ; 5. ; 20. ; 6. ; 21. ; 7. ; 22. ; 8. ; 23. ; 9. ; 24. ; 10. ; 25. ; 11. ; 26. ; 12. ; 27. ; 13. ; 28. ; 14. ; 29. ; 15. ; 30. . 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами К этому классу относятся дифференциальные уравнения вида . Полагая, что a0, деля обе части уравнения на a и обозначая b/a=p, c/a=q, получаем . (9) Решение этого уравнения начинается с составления характеристического уравнения. Для этого искомая функция y заменяется на новую неизвестную z, а порядок производной - на соответствующую степень: . Решение этого квадратного уравнения имеет вид: . (10) В зависимости от знака дискриминанта этого уравнения можно выделить три случая: 1) . Тогда уравнение (10) имеет два различных действительных корня: z1 и z2 . В этом случае решение уравнения (9) имеет вид: . (11) 2) . Тогда уравнение (10) имеет два совпадающих действительных корня: z1=z2=z. В этом случае решение уравнения (9) имеет вид: . (12) 3) . Тогда уравнение (10) имеет два комплексно-сопряженных корня: . В этом случае решение уравнения (9) имеет вид: . (13) Пример 6. Найти общее решение уравнения: . Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид: . Решая, получаем: .Тогда решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде: . Пример 7. Найти решение уравнения: , удовлетворяющее условиям: . Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид: . Решая, получаем: . Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде: . Дифференцируя, получаем: . Подставляя в полученные уравнения начальные условия, получаем: . Тогда Окончательно получаем: . Задачи для самостоятельного решения: Найти частное решение уравнения: 1. ; ; ; 2. ; ; ; 3. ; ; ; 4. ; ; ; 5. ; ; ; 6. ; ; ; 7. ; ; ; 8. ; ; ; 9. ; ; ; 10. ; ; ; 11. ; ; ; 12. ; ; ; 13. ; ; ; 14. ; ; ; 15. ; ; . 16. ; ; 17. ; ; ; 18. ; ; ; 19. ; ; ; 20. ; ; ; 21. ; ; ; 22. ; ; ; 23. ; ; ; 24. ; ; ; 25. ; ; ; 26. ; ; ; 27. ; ; ; 28. ; ; ; 29. ; ; ; 30. ; ; .