Простейшие механизмы

1 Лекция 5 . Простейшие механизмы Механизм - это приспособление для преобразования силы (её увеличения или уменьшения). Простейшие механизмы – это устройства для облегчения выполнения работы. К простейшим механизмам относятся: наклонная плоскость, клин, винт, ворот, весы, разновидности рычага – неподвижный блок, подвижный блок, полиспасты и др. 1. Наклонная плоскость. Равновесие на наклонной плоскости является хорошим примером для системы сходящихся сил. Наклонная плоскость, как поверхность, установленная под углом к горизонтали, является одним из простых механизмов: она позволяет поднимать груз вверх, прикладывая к нему усилие, заметно меньшее веса этого груза. Примерами наклонных плоскостей служат пандусы и трапы. Принцип наклонной плоскости можно видеть также в таких колющих и режущих инструментах, как винт, клин, стамеска, топор, плуг и др. Рассмотрим наклонную плоскость, рис. 5.1, а. Выделим тело, лежащее на наклонной плоскости, отбросим гладкую поверхность и заменим ее действие реакцией N , рис. 5.1, б. Рассмотрим равновесие полученной системы сил N , G и P . Зная линии действия реакций N , G и P , построим силовой треугольник. Силовой треугольник при равновесии системы сил – замкнутый, равнодействующая этих сил равна нулю, рис. 5.1, в. Используя теорему синусов, получим: P G = Þ P = G sin a . sin a sin 90o (а) Получили, что наклонная плоскость дает выигрыш в силе пропорционально sin a , где a – угол между плоскостью и горизонтом. Пусть тело прошло путь l при его подъеме на высоту h . Выразим sin a через длину l и высоту h . Имеем Рис. 5.1 sin a = h . l 2 Подставим это выражение в (а): P=G h P h Þ = . l G l Получили, что, если высота, на которую надо поднять груз h , и при этом затрачивалась бы сила P , а длина наклонной плоскости l , то l так относится к h , как P относится к G . Наклонная плоскость позволяет поднять груз с меньшей силой, чем если бы этот груз поднимался вертикально вверх, однако при этом он преодолевает большее расстояние, чем если бы поднимался вертикально. Напомним, что в инерциальной системе отсчета состояние покоя и равномерного прямолинейного движения неразличимы. Примерами наклонных плоскостей служат пандусы и трапы. Пандусы, или наклонные плоскости, широко использовались при строительстве ранних каменных сооружений, дорог и акведуков. Также они применялись при штурме военных укреплений. Эксперименты с наклонными плоскостями помогли средневековым физикам (таким, как Галилео Галилей) изучить законы природы, связанные с гравитацией, массой, ускорением и т. д. Современный пример наклонной плоскости –- наклонная плоскость (поверхность), позволяющая въезхать на поверхность при перепаде высоты: на Красноярской ГЭС вместо шлюзов действует судовозная камера, движущаяся по наклонной эстакаде, рис. 5.2. Для ее передвижения необходимо тяговое усилие в P=4000 кН. Рис. 5.2 Принцип наклонной плоскости можно видеть также в таких колющих и режущих инструментах, как винт, клин, стамеска, топор, плуг. Винт – наклонная плоскость, навитая на ось. Резьба винта – это наклонная плоскость, многократно обернутая вокруг цилиндра. Чем более 3 пологой является образованная плоскость, тем мельче нарезка, и тем легче завинтить винт, например, в дерево. Клин – простой механизм в виде призмы, рабочие поверхности которого сходятся под острым углом. Клин образуют две сложенные вместе наклонные плоскости, рис. 5.3. Клин не толко дает выигрышь в силе, но и изменяет ее направление. Сила, которая действует на верхнюю поверхность клина, разделяется на силы, направленные в Рис. 5.3 боковые стороны: sin a = P/2 Þ P = 2 F × sin a . F Чем меньше угол скоса клина, тем большую экономию силы можно получить. Например, для топора-колуна, представляющего собой стальной клин на рукоятке, угол лезвия равен около 25° ( 2a = 25° ) ; в соответствии с этим P ; 2 F × sin (14°30' ) » 2 F × 0,25. Принцип клина используется в таких инструментах, как топор, зубило, нож, гвозди, иглы, рубанки, копье, лопате, пуле и др. Клинья могут быть использованы для того, чтобы поднимать тяжёлые объекты и отделять их от поверхности, на которой они лежат. Они могут также использоваться для раскалывания древесины вдоль волокон. Клин известен людям уже более 9000 лет. В Древнем Египте бронзовые клинья использовались в карьерах для откалывания каменных блоков, необходимых в строительстве. Также применялись деревянные клинья, которые разбухали после обливания водой. Некоторые индейские племена использовали клинья из оленьего рога для раскалывания древесины и изготовления каноэ, жилища и других предметов. При огромных силах, прилагаемых к клину, он должен быть очень прочным, из самого твёрдого материала. «Колющие орудия» многих животных и растений – когти, рога, зубы и колючки – по форме напоминают клин (видоизменённая наклонная плоскость); клину подобна и заострённая 4 форма головы быстроходных рыб. Многие из этих клиньев имеют очень гладкие твёрдые поверхности, чем и достигается их большая острота. Ворот. Ворот (vortex – водоворот, от корня vertere вертеть) – простейший механизм, предназначенный для создания тягового усилия на канате (тросе, верёвке), рис. 5.4. Ворот – разновидность рычага, цилиндрическое тело с рукояткой, например. Перечислим устройства, использующие принцип ворота: ворот колодца с ручкой; отвёртка (разница диаметров жала и ручки); велосипед (педали, Рис. 5.4 вращающие звёздочку); рулевое колесо автомобиля, штурвал судна и другие средства управления. Ворот можно рассматривать как неравноплечий рычаг, рис. 5. 5. При равновесии соотношением рычага силы связаны F1 F2 r = F2 . Þ F= 1 r R R Получили, что выигрыш в силе зависит от соотношения радиусов R и r . Если взять пару Рис. 5.5 зубчатых колес с отношениями радиусов 1:5, то получим на большом колесе «выигрыш в силе» в 5 1 раз: F1 = F2 ! 5 3. Рычажные весы. Весы – устройство или прибор для определения массы тел (взвешивания) по действующему на них весу, приближённо считая его равным силе тяжести. Вес тела может быть определён как через сравнение с весом эталонной массы в рычажных весах, рис. 5.6. При равновесии сил, имеем m1g × R = m2 g × R Þ m1 = m2 . Рычажные весы уравновешивают массы. Рис. 5. 6 5 4. Неподвижный блок. Важной разновидностью рычага является неподвижный блок - укреплённый диск с жёлобом, по которому пропущена невесомая нерастяжимая нить, рис. 5.7. В На правом конце нити в точке B закреплён груз весом P. К левому концу нити в точке A приложена сила Q. Плечо силы Q и силы P равно радиусe блока R. Неподвижный блок является равноплечим рычагом и потому не даёт выигрыша ни в силе, ни в расстоянии: в процессе движении груза перемещение любой точки нити равно перемещению Рис. 5.7 груза. Подвижный блок полезен тем, что позволяет изменить направление усилия. 5. Подвижный блок. Невесомая нерастяжимая нить, один коней которой неподвижно закреплен, пропущен через жёлоб подвижного диска и другой конец под действием силы F движется вверх и поднимает груз Q, подвешенный к центру подвижного блока, рис. 5.8. В мгновенный момент времени неподвижной точкой является точка B, и именно вокруг неё поворачивается блок (как бы "перекатывается" через точку P). Иначе говоря, через точку P проходит мгновенная ось вращения блока (эта ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка). Вес груза Q приложен в точке C диска. Плечо силы F, с которой мы тянем за нить, относительно мгновенного центра вращения P в два раза больше, чем плечо силы Q : Рис. 5.8 1 å M P ( Fi ) = 0, F × 2 R - Q × R = 0 Þ Q = P. 2 5. Полиспа́ст – (др.-греч. πολύσπαστον от πολύσπαστος – «многотяг») – натягиваемая многими верёвками или канатами грузоподъёмное устройство, состоящее из собранных в подвижную и неподвижную обоймы блоков, последовательно огибаемых канатом или цепью, и предназначенное для выигрыша в силе (силовой полиспаст). Если ось блока помещается в обоймах, прикреплённых на балке или стене, такой блок называется неподвижным; если же к этим обоймам прикрепляется груз, и блок вместе с ними может двигаться, то такой блок называется подвижным. Рассмотрим систему подвижного и неподвижного блоков, рис. 5.9. 6 Выделим блок А, разорванную гибкую связь (канат или веревка) заменим силой натяжения T , шарнир O – реакцией Ro . Тело, способное вращаться, находится в равновесии, если сумма моментов приложенных к телу сил равна нулю, т.е. å M o ( Fi ) = 0 ,T × r - P × r = 0 ,T = P . Выделим блок В. Имеем å M c ( Fi ) = 0,T ' × r - P × r = 0,T ' = P . Тогда å Fiy = 0, 2 P - Q = 0,Q' = 2 P . Рис. 54.9 Подтвердили, что неподвижный блок не дает выигрыша в силе, а подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза. Для усиления этого эффекта можно сложить действие нескольких подвижных блоков, получится устройство, называемое полиспастом (от греческого poly – "много" spao – "тяну"), рис. 5.10. Параллельный полиспаст. Рассмотрим полиспаст, состоящий из неподвижного блока A и трех подвижных блоков B,C , D . Груз весом Q подвешен к Рис. 4.10 нижнему блоку D , уравновешивается силой P , приложенной к концу каната, перекинутого через неподвижный блок A (рис. 5.11, а). Вычислим зависимость между силами P и Q . Рассмотрим нижний блок D (рис. 5.11, б): сила Q приложена к центру блока, тогда натяжение обоих параллельных концов каната, охватывающего 1 этот блок, равны между собой: T ' = T = Q . 2 7 а б Диск D в Диск C г Диск B д Диск A Рис. 5.11 Рассмотрим подвижный блок С (рис.5.29, в): к центру блока 1 приложена сила, равная Q ; тогда натяжение обоих параллельных концов 2 1 каната, охватывающего блок C , равны Q каждое. 4 Рассмотрим подвижный блок С (рис. 5.29, г): к центру блока 1 приложена сила, равная Q , а натяжение канатов охватывающего блок B , 4 1 равно Q каждое. 8 Рассмотрим неподвижный блок С (рис. 5.11, г): к 1 блоку справа приложена сила, равная Q , а с другой 8 стороны – сила P , следовательно: 1 1 P = Q = 3 Q. 8 2 Допустим, что число блоков на нижнем и верхнем ярусе равно n , рис. 5.12. Обозначим поднимаемый груз через Q , а прилагаемую при этом силу обозначим через P . Тогда Рис. 5.12 8 P= 1 Q. 2n Дифференциальный блок. Дифференциальный блок состоит из двух неподвижных блоков: блоков радиусов OA= r и OB = R , жестко скрепленных между собой и вращающихся на общей оси O , и из подвижного блока O1 (рис. 5.13, а). Края блоков снабжены зубцами, на которые надеваются звенья замкнутой цепи CBDEFA. Один коней этой цепи свободно свешивается с неподвижного блока в точке A ; к другому концу, свешивающемуся с неподвижного блока в точке C , приложена сила P ; к блоку O1 подвешен груз весом Q . Вычислить зависимость между силами P и Q. а б Блок O1 в Блок O Рис. 5.13 Рассмотрим подвижный блок O1 : сила Q приложена к центру блока, тогда натяжение, возникающее в параллельных участках цепи FE и BD , 1 равно Q на каждом участке (рис. 5.13, б). Тогда на верхний блок O 2 1 действует три силы: сила P , приложенная в точке C и две силы Q , 2 приложенные в точках F и B (рис. 5.13, в). При равновесии неподвижного блока, сумма моментов относительно неподвижного центра O равна нулю: R-r Q. 2R Разнообразие полиспастов на практике представлено на рис. 5.14 1 1 å M o ( Fi ) = 0, P × R + 2 Q × r - 2 Q × R = 0 Þ P = 9 Рис. 5.14 Научный деятель также активно разрабатывал механические конструкции. Он разработал и изложил подробную теорию рычага и эффективно пользовался этой теорией на практике, хотя непосредственно само изобретение было известно еще до него. Историческая справка. Архимед – выдающийся древнегреческий математик, механик и инженер – жил в III веке до нашей эры (287 — 212 до н. э.), сделал множество открытий, заложил основы механики. Он первым подошел к решению физических задач с широким применением математики и впервые развил аксиоматический подход к механике, построив свою теорию на базе геометрии путем добавления к геометрическим аксиомам нескольких «механических» аксиом. Применив математику для изучения механического равновесия, Архимед показал, что математический подход к решению физических проблем не только помогает проникнуть в суть законов природы, но обогащает и саму математику. Содержание закона рычага, выведенного из аксиом, заключено Архимедом в следующих двух теоремах: 1. «Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям». 2. «Если величины несоизмеримы, то они точно так же уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам». Вторая теорема имеет глубокий теоретический смысл, показывая, что закон рычага действует при любых отношениях плеч. В своих трудах Архимед изучал силы и, упрощая задачу, исключил движение. Так появилась статика. В его работах содержится описание ряда инструментов и механизмов (рычаг, колодезный журавль с противовесом, клещи, кривошип, полиспаст, зубчатые колеса, рычажные весы) и объяснение их действия на основе «принципа рычага» и правила: «Выигрываем в скорости (пути) – проигрываем в силе». Архимед был 10 блестящим практиком-конструктором. Например, в порту Сиракуз Архимед соорудил блочно-рычажный механизм, рис. 5.14. Схема блочно-рычажного механизма Рис. 5.14 Это приспособление упростило подъем и перемещение тяжелых грузов, позволило ускорить и оптимизировать работу порта.