Простейшие движения твердого тела.

210 Лекция 2. Простейшие движения твердого тела 9.1. Основная теорема кинематики (теорема Грасгофа) Зависимость расстояний между точками абсолютно твердого тела (они неизменны при движении) приводит к зависимости между скоростями и ускорениями точек тела. Теорема. При любом движении твердого тела проекции скоростей точек на прямую, соединяющую эти точки, равны. Доказательство. Рассмотрим абсолютно твердое тело  П  , рис. 9.1. Рис. 9.1 Выберем на теле две любые точки А и В, расстояние между которыми равно L=const. Для доказательства теоремы используем разность радиус-векторов rA и rB , определяющих положение точек А и В (рис. 9.1): rB  rA  L , L  AB. Возведем обе части этого уравнения в скалярный квадрат. Имеем rB  rA rB  rA   L2 , Дифференцируя по времени это выражение, получим: dr   dr 2rB  rA  B  A   0 . dt   dt Заменив в этом выражении (9.1) d rA dr на V A , B на VB , получим: dt dt 2L  VB  V A   0  L  VB  L  VA . Раскрывая скалярное произведение векторов в последнем равенстве, получаем: L  VB cos   L  VA cos   VB cos   V A cos  . Отметим, что все точки тела, расположенные на прямой АВ имеют одинаковые проекции скоростей на эту прямую. 211 Доказанная теорема отражает основную особенность твердого тела и может служить его определением. Зная скорости двух точек плоского абсолютно твердого тела и используя эту теорему, можно вычислить скорость любой его точки. Рассмотрим простейшие виды движения абсолютно твердого тела. Такими простейшими движениями твердого тела являются поступательное движение тела и вращение тела вокруг неподвижной точки или оси, перпендикулярной плоскости вращения тела. 9.2. Поступательное движение абсолютно твердого тела Поступательным движением абсолютно твердого тела называют такое его движение, при котором любой отрезок, жестко связанный с этим телом, сохраняет неизменное направление при движении. Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой. Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы. Доказательство. Выберем две точки А и В твердого тела, радиус– векторы этих точек удовлетворяют условию (рис. 9.2): rB  rA  AB , где AB  const . Продифференцируем по времени последнее равенство: Рис. 9.2 Далее: VB  VA ,  aB  a A . d rB  rA  AB  VB  VA . dt 212 При поступательном движении точки тела все его точки описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Общую для всех точек тела скорость V называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение поступательного движения тела. Векторы V a – ускорением и a можно изображать приложенными в любой точке тела. Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела определяется движением какой-нибудь одной из его точки, рис. 9.3. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематике точки, нами уже рассмотренной и уравнениями его движения служит система: t  0,   x  xA  t  , .   y  y A  t  . (9.2) Уравнения движения абсолютно твердого Рис. 9.3 тела ни чем не отличаются от уравнений движения материальной точки: все точки тела имеют в каждый момент времени одинаковые перемещения, скорости и ускорения. Приведем примеры: 1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут прямыми линиями. 2. Спарник АВ при вращении кривошипов движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению). Точки спарника движутся при этом по окружностям, рис. 9.4, а. Спарниковый механизм является наиболее простым по конструкции типом тягового привода, рис. 9.4, б. 213 б а Рис. 9.4 3. Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках относительно Земли. Заметим, что понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» для этих движений теряют смысл. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Во всех других случаях движения речь идет о скорости и ускорении одной выбранной точки тела, например, о центре масс. 9.3. Вращение твердого тела В точке А на тело (П) наложена шарнирная опора (часто ее называют шарнирно-неподвижной опорой), запрещающая телу перемещение, но позволяет телу вращаться вокруг точки А (рис. 9.5). Дуговая стрелка на рисунке показывает направление вращения тела. В этом случае тело имеет одну степень свободы и его уравнение движения имеет вид: Рис. 9.5 214 t  0,  .   =   t  . (9.3) Справка. Схематически шарнирно- неподвижная опора обозначается двумя опорными стержнями – носителями двух связей. У тела, опертого на эту опору, остается одна степень свободы – допускается поворот тела относительно шарнира и устраняется поступательное движение тела в любом направлении. Примерами шарнирноРис. 9.6 неподвижных опор могут служить балансирные опорные части из стального литья, рис. 9.6. Вращением твердого тела вокруг неподвижной точки А в плоскости называется такое его движение, при котором точка А остаются неподвижной в течение всего времени движении тела, а все другие точки тела вращаются вокруг точки A в плоскости Oxy по окружности соответствующего радиуса АВ (рис. 2.5). Точка А называется центром вращения тела. Угол   ( t ) в правой декартовой системе координат считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, при этом смотреть нужно с положительного направления оси OO  . Траектории всех точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Точки твердого тела при его вращении движутся по окружности радиуса r в направлении дуговой стрелки  , рис. 9.7. Угловая скорость. Средней угловой скоростью  cp тела, повернувшегося за время Δ t на Рис. 9.7 215 угол Δ  называют соотношение Δ , т.е. Δt Δ . Δt  cp  Мгновенная угловая скорость тела  в момент времени t определяется как предел средней угловой скорости при Δt → 0, т.е.   lim  cp  t 0 d t    t      t  dt Размерность угловой скорости    (9.4) угол радиан   с 1 . В технике время секунда угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За 1 мин. тело повернется на угол 2n, здесь n – число оборотов в минуту. Разделим этот угол на число секунд в минуту, получим  2 n  n π  n об. .  ~ 0,1n ; c 1 = 30 мин 60 30 Угловая скорость  характеризует быстроту и направление вращения тела Средним угловым ускорением тела  cp за время Δt называется отношение  cp  Δ , т.е. Δt Δ . Δt Угловым ускорением твердого тела  в момент времени t называют предел, к которому стремится среднее ускорение при Δ t → 0, т.е.   lim Δ ср   t      t  (9.5) t 0 2 Размерность углового ускорения []=рад/с =с . 2 Угловое ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения модуля угловой скорости. Имеем: 216    – модуль угловой скорости тела,    – модуль углового ускорения тела. Модуль угловой скорости  и модуль углового ускорения  на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг точки вращения тела. Если первая и вторая производные от угла поворота имеют одинаковые знаки, т.е.   0 ,   0 (рис. 9.8, а), или   0 ,   0 , то тело вращается ускоренно и дуговые стрелки направлены в одну сторону. а б Рис. 9.8 Если первая и вторая производные от угла поворота имеют разные знаки, т.е.   0 ,   0 (рис. 9.8, б), или   0 ,   0 , то тело вращается замедленно, тогда дуговые стрелки направлены в разные стороны. Справка. Длина дуги S , радиус окружности r  и угол  связаны между собой соотношением S  r   , здесь угол  в радианах: 1 рад = 57,3 ; 1 длины окружности 2 r 360 360    3,14  0,01745... 1   радиус r 180 180 Скорость и ускорение точек тела. Все точки тела, отстоящие от точки вращения А на одном расстоянии вращаются по одному радиусу r и одновременно поворачиваются на один и тот же угол   t  (рис. 9.9). Путь, который проходит точка тела M из положения M в положение M ' по дуге S выражается через угол  зависимостью S t  = r   t  , где r – радиус окружности по которой движется точка. 217 Приведем оси естественного трехгранника к точке М’. Нормальная ось n совпадает с радиусом и проходить через центр вращения А, касательная перпендикулярна и ось  ей направлена по направлению вращения тела. Тогда, Рис. 9.9 если   ( t ) – уравнение вращения тела, то задать движение точки по окружности можно уравнением S( t )  r   t  Тогда скорость точки М: VM  SM  r     r . (9.6) Здесь    – угловая скорость тела. Скорость точки М’ направлена по касательной M '  (рис. 9.10). Ускорение точки М состоит из касательного и нормального ускорений (рис. 9.11): Рис. 9. 10 Рис. 9.11 a  S  r    r    r ; (9.7) an  V 2 r 2 2   r 2. r r Направление касательного ускорения зависит от знака  : 218 1. Если   0 и   0 или   0 и   0 направления векторов a и V совпадают, точка движется ускоренно. 2. Если   0 и   0 , то a и V направлены противоположно друг другу, точка движется замедленно. Полное ускорения точки М: a  r   ;   a  a2  an2  r   2   4 .  2  an  r   ; (9.8) Обозначим через  – угол между полным ускорением и радиусом вращения точки, имеем tg  a an    2 . Заметим, что нормальное ускорение всегда положительно. Угол  для всех точек тела один и тот же. Следовательно, если известен угол , то в любой другой точке можно узнать направление ускорения, например в точке M 1 . Откладывать его следует от вектора ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки  независимо от направления вращения твердого тела (рис. 9.11). При равномерном вращении изменяется только направление вектора скорости. Нормальное (радиальное) ускорение an определяет изменение направления постоянной по величине линейной скоростью V . Величина нормального ускорения равна 2 V an  R   или an  . R Вектор нормального 2 (9.9) ускорения an направлен к центру вращения А (рис. 9.12); вектор скорости перпендикулярно ему в сторону дуговой Рис. 9.12 стрелки  (по касательной к круговой 219 траектории). Манипулятор. Манипулятор – механизм для управления пространственным положением орудий, объектов труда и конструкционных узлов и элементов, рис. 9.13. Рис. 9.13 Рис. 9.14 Рассмотрим схематично манипулятор робота OAB , который способен работать только в плоскости и имеет два звена: ОА и АВ, рис. 9.14. Первое звено – стержень OA , длина которого r1  13 см, закреплен на шарнирной опоре O и составляет относительно горизонтальной оси угол  1 ; второе звено – стержень AB , длина которого r2  5 см, связан с ОА шарниром А и составляет относительно горизонтальной оси угол  2 ; рабочий орган (захват) манипулятора В находится на конце стержня АВ. Вычислим углы 1 и 2, которые позволят манипулятору захватить предмет, который находится в точке с координатами  9;15 . При построении чертежа манипулятора отмечаем, что он может иметь Рис. 9.15 два положения для захвата предмета: OAB и OA' B , рис. 9. 15. 220 Рассмотрим положение OAB . Имеем:  x 2A  y 2A  r12 ,    2 2 2  9  x   15  y   r ; A A 2  (а)  x 2A   13 ,    9  x 2  15  y 2  52. A A  2 yA 2 Решение этой системы уравнений относительно координат шарниров А и В, позволит вычислить углы  1 и  2 . Преобразуем второе уравнение системы (а) и выразим x A через y A : 9  2  9  x A  x A  15  2  15  y A  y A  5  2 2 2 2 5  81  18 x A  169  225  30 y A  25  0   18 x A  30 y A  450  9 x A  15 y A  225  x A  1  225  15 y A  . 9 Подставим полученное выражение x A в первое уравнение системы (а):   1 2252  2  225  15 y A  152 y 2A  y 2A  169  81  50625  6750 y A  225 y A2  81y A2  13689  0  306 y A2  6750 y A  36936  0. Получили квадратное уравнение относительно координаты y A , это означает, что координата шарнира A имеет два значения, что соответствует нашему предположению. Вычислим эти значения: 306 y A  6750 y A  36936  0  у А,A'   2 6750  45562500  4  306  36936  2  306 6750  594 12694  у    12, A  612 612 6750  352836 6750  594     612 612  у  6750  594  6156  171 .  A' 612 612 17 221 Тогда 1 1  x  225  15 y     225  15 12   5; A A  9 9    x  1  225  15 y   1  225  15  171   1260 . A'    A' 9 9 17  153 Вычислим углы  1 и  2 . Положение манипулятора I: y A 12   sin 1  OA  13  0,923  1  67;    sin   yB  y A  15  12  3  0,6    37. 2 1  AB 5 5 Положение манипулятора II: ' y 171  A   0,774  1  50; OA 17  13 171 15  ' yB  y A 17  84  0,998    86 sin 2   1 AB 5 85 ' sin1 9.4. Преобразование простейших движений Под преобразованием простейших движений следует понимать: – преобразование поступательного движения во вращательное движение (и обратное преобразование); – преобразование вращательного движения вокруг одной неподвижной точки во вращательное движение вокруг другой неподвижной точки; – преобразование одного поступательного движения в другое поступательное движение. Преобразование поступательного движения во вращательное движение. Примером такого преобразования движений является ворот 222 (vertere – вертеть) или колодец – простейший механизм, предназначенный для передачи вращения ворота в поступательное движение тела при его подъеме или спуске, рис. 9.16,а. В технике для преобразования поступательного движения во вращательное используют реечно-зубчатую передачу. Эта передача преобразует вращательное движение диска (шестерни) в поступательное движение рейки, рис. 9.16, б а б Рис. 9.16 Рассмотрим диск радиусом R, на который намотана нерастяжимая нить (трос, канат и.т.д.). К концу нити прикреплен груз, который опускается со скоростью V, рис. 9.17,а. Вычислим угловую скорость вращения диска. а б Рис. 9.17 Имеем: за время t груз опустился на S(t), тогда диск повернется на угол φ(t), рис. 9.17, б. Запишем уравнение связи, из которого вычислим угловую скорость вращения диска: 1 r 1 r  t   S t    t   S t    t   V r 223 Преобразование вращательного движения вокруг одной оси во вращательное движение вокруг другой оси. Преобразование вращения одного твердого тела вокруг неподвижной точки (оси) во вращение второго твердого тела вокруг другой неподвижной точки (оси) осуществляется посредством зубчатого (внешнего и внутреннего) или фрикционного (за счет сил трения) зацепления двух или нескольких дисков, рис. 9.18. Рис. 9.18 Схематически зубчатые передачи представлены на рис. 9.19, а, б. Рис. 9.19 Преобразование вращений осуществляется также с помощью ременных и цепных передач, рис. 8.20. Рис. 9.20 Схематически ременные передачи представлены на рис. 9.21, а, б. 224 Рис. 9.21 Во всех передачах есть ведущий диск, который определяет направление вращений дисков. Пусть ведомым диском будет диск 1, направление вращения которого определено дуговой стрелкой. При внешнем зацеплении (рис. 9.19, а) и скрещивающейся ременной передаче (рис. 9.21, б) направление вращения ведущего и ведомого дисков противоположно. При внутреннем зацеплении (рис. 9.19, б) и прямой ременной передаче (рис. 9.21, а) направления вращений обоих дисков совпадают. Для всех видов передач за время t ведущий диск повернется на угол 1  t  , а ведомый диск повернется на угол 2  t  , при этом точки соприкосновения дисков проходят одну у и ту же длину дуги S(t). Запишем уравнение связи, из которого вычислим угловую скорость вращения диска: 1   t  r1  2  t  r2 ; 1   t  r1  2  t  r2 ; 1  t   r1  2  t   r2      1   t  r1  2  t  r2 ; 1   t  r1   2  t  r2 . (9.10) Равенство (9.10) справедливо для всех типов зацепления. Угловые скорости дисков обратно пропорциональны радиусам ( ri ), числам зубцов ( zi ), диаметрам ( di ) дисков: 1 r2 z2 d 2    . 2 r1 z1 d1 здесь d1, d2 – диаметры дисков; z1, z2 – число зубцов каждого диска. (9.11) 225 Если два диска вращаются вокруг одной неподвижной оси и при этом они жестко соединены друг с другом, то их угловые скорости равны. Пример 9.1. Для подъема груза 3 диск 1 вращается вокруг 1 неподвижной оси с постоянной угловой скоростью 1  2 с , рис. 9.22. Диск 1 и 2 связаны зубчатой передачей. Дано: r1=0,2м, R2=0,4м, r2 =0,3м. Груз 3 и диск 2 связаны нерастяжимым тросом. 1. Вычислить скорость и ускорение скорость и ускорение груза 3. 2. Вычислить точки А. Решение. Ведущий диск 1 вращается против часовой стрелки, тогда ведомый диск 2 Рис. 9.22 за счет зубчатой передачи буде вращаться по часовой стрелке, рис. 9.23. Вычислим угловую скорость диска 2. Имеем: 1 r1  2 R2  2  1  r1 0,2  2  1 с 1 . R2 0,4 Рис. 9.23 Тогда V3  2  r2  1  0,3  0,3 м . с Вычислим скорость и ускорение в точке А диска 2. Имеем: 226 VA  3  r3  1  0,3  0,3 м ; с a A  3  r3  1  0,3  0,3 n 2 2 м 2 . с Направление вектора скорости VA и вектора нормального ускорения a A показаны на рис. 9.24 Пример 9.2. Механизм (рис. 9.25) состоит из Рис. 9.24 двух ступенчатых дисков (2 и 3), связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4, соединенной с диском 3 зубчатой передачей и груза 1, привязанного к концу нерастяжимой нити, намотанной на малый радиус диска 2. Уравнение движения ступенчатого диска 3 задано уравнением:    3  4 t 3  t 2  5 рад. Радиусы ступеней дисков равны: r2  2 м, R 2  4 м; r3  2 м; R 3  3 м. Для момента времени t  1 с вычислить: 1. Рис. 9.25 2. Вычислить угловые скорости и угловые ускорения ведомых дисков. Вычислить скорость и ускорение точек А, D, E, груза 1. Решение. Вычислим угловую скорость и угловое ускорение ведущего диска 3 для заданного момента времени t  1 с и определим направление движения звеньев механизма:  3   3  12 t 2  2t  3  3  24 t  2 1с 1с  12  12  2  1  10 с-1;  24  1  2  22 с-2. Вращение ведущего диска 3 ускоренно и направлено против часовой стрелки, т.к.  3  0 , 3  0 . Следовательно, вращение всех звеньев механизма будет ускоренным (показано дуговыми стрелками) груз 1 будет подниматься, рис. 9.26. 227 Рис. 9.26 Вычислим скорость и ускорение точки D. Точки D находятся на ободе малого радиуса диска 3. Привязываем оси естественного трехгранника D 3 n3 к точке D (рис. 9.27). Имеем: V D    r  10  2  20 м . с a   3  r3  22  2  44 м 3 3 С с2 , a n    R 3  10 2  2  200 2 С aD  3 a   a n  2 D 2 D м c2 ;  Рис. 9.27  44 2  200 2  204,78  204,7 м . c2 Запишем уравнения связей для заданного механизма. Ведущим звеном заданного механизма является ступенчатый диск 3. Уравнение связи между дисками 3 и 2:  3  r3   2  R 2   2   3 откуда r3 R2 , 228 2  3 r 3 R2  10  r 2 2   3 5 с  2   22   11 с  3 R 4 4 2 Уравнение связи между диском 3 и рейкой 4:  3  R3  S 4 , Откуда, рис. 9.28:  V   R3  10  3  30 с  4 3  a   R3  22  3  66 с  4 Рис. 8.28 3 Уравнение связи между 2-м диском и грузом 1:  2  r2 S 1, Откуда, рис. 9.29: V1   2  r 2  5  2  10 м м , a 1   2  r 2  11  2  22 2 . с с     Ответ:   10 с ;   22 с-   2  5 с   2  11 с  3 3 Рис. 9.29 V D  20 м м м м ; a D  204,7 2 ; V  30  a  66 2 4 4 с с с c 9.5 Вращение тела вокруг неподвижной оси Движение твердого тела, при котором остаются неподвижными в течение всего времени движения две точки принадлежащие телу, например, точки O и O , называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на оси вращения. Через ось вращения проведем неподвижную плоскость По и подвижную П, скрепленную с вращающимся телом (рис. 9.30). Тогда в момент времени t положение подвижной плоскости и, следовательно, тела определяется углом между плоскостями – называется углом поворота тела.   ( t ) . Угол   ( t ) 229 Совместим декартову систему координат Axyz с телом так, чтобы ось вращения тела OO  совпала с осью Az , тогда плоскость Axy будет перпендикулярна оси вращения. Все точки, лежащие на прямой, параллельной оси вращения и отстоящей от нее на r , будут вращаться вместе с телом в плоскости Axy по окружности, радиус которой равен r (рис. 9.30). За полюс выберем точку А (отметим, что x A  0, y A  0, z A  0 ). Проведем в плоскости Рис. 9.30 Axy прямую AM . В рассматриваемом случае положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой момент времени одним параметром, углом поворота  t  , т.е. углом, который отрезок AM образует с осью Aх. В этом случае тело имеет одну степень свободы и его уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид: t  0,  .   =   t  . (9.12) Угол   ( t ) в правой декартовой системе координат считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, при этом смотреть нужно с положительного направления оси OO  . Траектории всех точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Угловая скорости и угловое ускорение тела. Введем единичный вектор оси вращения – k (рис. 9.31), направленный по оси вращения OO  . 230 Средней угловой повернувшегося за время называют соотношение  cp   cp тела, на угол  скоростью t  k , т.е. t  k. t Мгновенная угловая скорость тела  в момент времени t определяется как предел средней угловой скорости при Δt → 0, т.е.   lim cp  Рис. 9.31 t 0 d k   k     k dt Вектор угловой скорости  (9.13) параллелен единичному вектору k . Модуль угловой скорости обозначается через  и равен      (9.14) За 1 мин. тело повернется на угол 2n, здесь n – число оборотов в минуту. Разделим этот угол на число секунд в минуту, получим  2 n  n π  n об. .  ~ 0,1n ; c 1 = 30 мин 60 30 Угловая скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление вращения тела. Угловое ускорение – это векторная величина, которая характеризует быстроту изменения модуля и направления вектора угловой скорости. Скорость и ускорение точек твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси. Все точки тела, отстоящие от оси вращения Oz на одном расстоянии, вращаются по одному радиусу r (рис. 9.32, а). Точки, 231 лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения (в плоскостях Oxy ), одновременно поворачиваются на один и тот же угол ( t ) (рис. 9.32, б). а б Рис. 9.32 Путь, который проходит точка тела M из положения M 0 в положение М, по дуге S выражается через угол   ( t ) зависимостью S ( t ) = r  ( t ) , где r – радиус окружности по которой движется точка, рис. 9.32, б. Приведем оси естественного трехгранника к точке М. Ось n будет совпадать с радиусом и проходить через центр вращения А, ось  ей перпендикулярна и направлена по направлению вращения тела. Точка M твердого тела при его вращении движется по окружности радиуса r в направлении дуговой стрелки  . Тогда, если   ( t ) – уравнение вращения тела, то S( t )  r ( t ) – уравнение движения точки тела М, заданной естественным способом. Тогда вектор скорости: VM    r .   Здесь    - угловая скорость тела. Скорость точки М тела направлена по касательной к траектории – M (рис. 9.33, а). 232 б а Рис. 9.33 Полное ускорения точки М: aM  a    an  n , где a  rM  ;   a  a2  an2  rM  2   4 .  2  an  rM  ; Обозначим через  – угол между полным ускорением и радиусом вращения точки, имеем tg  a   . an  2 Заметим, что нормальное ускорение всегда положительно. Угол  для всех точек тела один и тот же. Следовательно, если известен угол , то в любой другой точке можно узнать направление ускорения, например в точке M 1 . Откладывать его следует от вектора ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки  независимо от направления вращения твердого тела (рис. 9.33, б).