Производная.Предел функции

Производная Предел функции 1. Односторонние пределы. y B f(x) A f( ) x x Функция задана графически. - произвольный аргумент из области определения, - значение функции в этой точке. Выберем аргумент х справа от , найдем значение функции в ней. Будем уменьшать х так, чтобы он «стремился» к . При этом, точка В графика будет перемещаться по графику и «стремиться» к точке А, значения функции будут уменьшаться (в данном случае) и «стремиться» к . В этом случае говорят, что существует предел функции точке справа и равен значению функции в этой точке. y y=f(x) A f(a) f(x) x a Аналогично, выберем х слева от точки . В этом случае говорят, что существует предел функции в точке слева и равен значению функции в этой точке. C в x Эти пределы называют односторонними. Если выполняется двойное равенство то говорят, что функция в точке непрерывна и существует предел функции в точке , который равен значению функции в этой точке. Если одно из равенств нарушается, то говорят, что функция в точке терпит разрыв, а предел в точке не существует. Пример. Найти односторонние пределы функции бесконечные пределы ( ). в точках , у 2 -2 х Функция в точке х=0 терпит разрыв. Функция в точке х=2 непрерывна Стрелки разного цвета повазывают как меняется значение функции у (вертикальная стрелка) при изменении аргумента (горизонтальная стрелка) в каждом случае. 2. Теоремы о пределах. Для нахождения пределов функций, заданных аналитически (формулой) применяют теоремы о пределах. Теорема 1 Предел константы (числа) равен самой константе. Теорема 2 Предел аргумента равен числу, к которому аргумент стремится. Теорема 3 Предел суммы функций равен сумме пределов этих функции, если пределы последних существуют Предел произведения функций равен произведению пределов этих функции, если пределы последних существуют Постоянный множитель (коэффициент) выносится за знак предела Предел частного от деления двух функций равен частному пределов этих функции, если пределы последних существуют и предел знаменателя не равен нулю Теорема 4 Следствие Теорема 5 Теоремы принимаем без доказательства. Пример. Как видно, чтобы вычислить предел, надо подставить в функцию вместо аргумента число, к которому аргумент стремится. Пример. Преобразуем функцию, в числителе формула сокращенного умножения. Для устранения неопределенности вида числитель и знаменатель дроби надо разложить на множители, сократить дробь на тот множитель, который равен 0. Способы разложения на множители:  Вынести общий множитель  Способ группировки  Формулы сокращенного умножения  Квадратный трехчлен раскладывается по своим корням Пример. √ √ (√ (√ √ (√ (√ ) [ √ √ ) (√ ) √ (√ (√ √ ) ) (√ √ ) √ √ ) √ ) (√ √ ] √ √ √ ) √ √ √ √ В этом случае для устранения неопределенности числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение, сопряженное (отличается знаком) к тому, где содержится корень. В этом случае получаем формулу разность квадратов, которая позволяет избавиться от корней. 3. Бесконечно большие и бесконечно малые функции Функция называется бесконечно большой при , если Пример. (чем меньше знаменатель, тем дробь больше), тогда функция является бесконечно большой при . Можно увидеть это по графику функции - гипербола, 1 и 3 четверть. Любая дробь вида при , где . . Функция называется бесконечно малой при Пример. Т.к. , если (чем больше знаменатель, тем дробь меньше), то функция является бесконечно малой при Любая дробь вида Свойства при , где . . и бесконечно малых функций Сумма бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция Сумма бесконечно больших функций есть бесконечно большая функция Обратная величина к бесконечно малой функции есть бесконечно большая функция Обратная величина к бесконечно большой функции есть бесконечно малая функция Пример Вычислить пределы: Решение 1) Чтобы устранить эту неопределенность, надо числитель и знаменатель дроби почленно поделить на наибольшую степень переменной. 2) 3) В экономике многие зависимости могут быть заданы функциями как одной переменной y=f(x),так и нескольких переменных.  Функция спроса от цены товара, y=f(x), x-цена товара, y – спрос на товар.  Функция цены от спроса товара, y=f(x), x-спрос на товар, y-цена товара.  Суммарная выручка, равная произведению количества проданного товара на цену товара, тоже является функцией спроса.  Суммарные издержки производства F от объема производства x: F=F(x) и средние (удельные) издержки производства (себестоимость) f-функции от объема производства x: Пример Исследовать поведение функции спроса от цены товара при неограниченном увеличении цены. Решение При неограниченном увеличении цена . Следовательно, надо найти бесконечный предел функции спроса : Вывод: при увеличении цены товара спрос на него падает. Равенство 0 не означает, что никто не покупает; чем дороже товар, тем меньше его покупают. Задания для самоподготовки: √