Производная функции комплексного переменного

Лекция 2 §11. Производная функции комплексного переменного Далее будут рассматриваться функции, определенные на открытых и связных множествах, собственно и называемых областью. Открытость области означает, что в нее не в входит граница (обычно одна или несколько замкнутых линий). Область называют связной, если две любые ее точки можно соединить непрерывной линией (траекторией), целиком состоящей из точек этой области. Если любая замкнутая самонепересекающаяся траектория L, находящаяся в области D, ограничивает некоторую область G  D , то область называют односвязной (рис. 5а). Если же область D содержит внутри себя одну, две, …, n – 1 областей, состоящих из точек, не принадлежащих D (вырезанных из D), то область называется (по общему количеству границ) соответственно двусвязной, трехсвязной, … , n-связной (рис. 5б, 5в). iy б) двусвязная область (кольцо r < ǀz – z0ǀ < R) а) односвязная область y0 r в) пятисвязная область R z0 x x0 Рис. 5. Связные области. Производная функции f(z), заданной в области D, определяется как f ( z  z )  f ( z )  0  f     lim   ( z) ,  z  z z 0 если этот предел существует. Здесь Δf = f(z + Δz) – f(z) – приращение функции; приращением аргумента условие ǀΔzǀ → 0 можно заменить на Δz → 0 +0·i. f z  lim z  0 (11.1) связанное с Пример. Найти производную функции f(z) = z. Решение. Применим определение (10.1). Здесь приращение Δf = (z + Δz) –z = Δz, поэтому f z  lim  lim 1  1 и, следовательно, zz  1 . ◄ z  0 z z  0 z z  0 f z  lim f  f z   (z ) , z где  (z ) : lim  (z )  0 (здесь z считается параметром). Умножив обе части на Δz, получим Из определения (11.1) следует, что если f(z) имеет производную, то z  0 f  f z  z   (z)  z (где Δz → 0), причем  ( z)  z является бесконечно малой более высо- кого порядка, чем Δz:  (z)  z  o(z) . Поэтому полное приращение функции f(z) в точке z имеет такую структуру: (11.2) f  f z  z  о(z) . При f z  0 слагаемое f z  z будет главной, линейной, частью iy ρ = f z iv L этого приращения. По аналогии с  φ = arg f z z + Δz функцией действительной переменρ L1 ной, эта часть называется диффеθ ω +Δω z ренциалом и обозначается df: rρ φ+θ df  d[ f ( z)]  f z  z . (11.3) ω Учитывая, что для случая x имеем f z  1 , можно видеть, f ( z )  z u что dz = 1·Δz = Δz, и поэтому оконРис. 6. К геометрическому смыслу производной. чательно можно записать: 1 df  d[ f ( z)]  f z  dz . Отсюда получаем еще одно выражение для производной: f z  (11.4) d [ f ( z )] df  . dz dz Выясним геометрический смысл производной функции комплексного переменного (рис. 6). Из (11.2) имеем f  f z  z . Записывая сомножители в показательной форме, получаем f    rei z  ei  rei (  ) , где   r    f z  z , Arg ( )  Arg(z )  arg( f z ) . Это означает, что точка z + Δz исходной комплексной плоскости переходит, посредством отображения ω = f(z), переходит в точку, полученную поворотом на угол   arg( f z) исходного радиуса   z , измененного в f z раз. Полученное положение точки – приблизительное за счет наличия слагаемого  (z)  z , проигнорированного при наших выкладках. Сами же выкладки справедливы для любого положения точки z + Δz внутри открытого круга радиуса δ → 0+, описанного около точки z. Пусть Г1 и Г2 – две гладкие γ1 кривые, исходящие из точки z. iv γ2 Тогда можно говорить об угле Г1 α между этими кривыми как об угле z между касательными к ним, проα = θ 1 – θ2 = веденными в точке z (рис. 7). = (θ1 + φ) – (θ2 + φ) Если выполнить отобраθ1 α жение ω = f(z), то обе касательω θ2 x u ные повернутся на один и тот же Г2 угол   arg( f z) , а это означает, Рис. 7. К конформности отображения. что сохранится и угол между касательными. Отображение, сохраняющее, с точностью до бесконечно малых высших порядков (по сравнению с Δz → 0), углы вместе направлением их отсчета и обладающее свойством постоянства растяжений, называется конформным отображением. Функция, имеющая непрерывную производную в любой точке области D, называется аналитической на этой области. Отображение с помощью аналитической функции является, очевидно, конформным во всех точках, в которых f z  0 . Можно доказать, что если отображение f(z) конформно в любой точке области D, то и множество значений E{f(z)} также является областью. Можно также доказать, что если функция f(z) имеет на области D, т.е. в каждой точке этой области, производную f z , то эта производная непрерывна на всей области D, т.е. сама функция f(z) является аналитической на D. Кроме того, из (11.2) следует, что функция, имеющая производную в точке z, непрерывна в этой точке. Тогда нетрудно заключить, что всякая аналитическая на области D функция обладает на этой области непрерывными производными f z, f z, f z,... (любого порядка). Основные свойства производных для функций действительной переменной и функций комплексного переменного совпадают. К ним относятся следующие: (11.5) [k1 f ( z)  k2 g ( z)]z  k1  f z  k2  g z , (11.6) [ f ( z)  g ( z)]z  f z  g  f  g z , iy  f ( z )   f z  g  f  g z ,  g ( z)   g2  z (11.7) а также правило дифференцирования сложной функции ω = ω(g(z)):  z  g  g z  d d dg ,   dz dg dz (11.8) которое справедливо при существовании производных  g и g z . Совпадают, за исключением логарифмической функции, и таблицы производных. Используя свойства (11.5) и (11.6), получаем: 2 ( z 2 )z  ( z  z )z  1  z  z  1  2 z , ( z 3 )z  ( z 2  z )z  2 z  z  z 2  1  3 z 2 , ( z 4 )z  ( z 3  z )z  3z 2  z  z 3  1  4 z 3 . Этого достаточно того, чтобы предположить, что ( z n )z  nz n1 . Тогда ( z n1 )z  ( z n  z )z  nz n1  z  z n  1  (n  1) z n , что полностью соответствует нашей гипотезе. Итак, ( z n )z  nz n1 , n  N 0 . Теперь почленным дифференцированием ряда (6.1) получаем (e z )z  e z , и тогда легко получить производные всех функций, построенных на функции e z . Так, например, (cos z )z  для 1 iz 1 i e iz  e iz (e  e  iz )z  (ieiz  ie iz )  (e iz  e  iz )     sin z . 2 2 2 2i Аналогично можно получить: (sin z)z  cos z , (chz)z  shz , Используя (11.7), получаем: 2 2 1  sin z   cos z  sin z ( tgz )z      2 2 cos z cos z cos z  z , (shz)z  chz . (ctgz )z   1 , sin 2 z ( thz )z  1 ch 2 z , (cthz )z   1 sh 2 z . Наконец, записав показательную функцию a z с действительным основанием a > 0 как   a z  е z ln a  е g , где g  z ln a , получаем (a z )z  ( )z  g  g z  е g  ln a  a z  ln a . §12. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости Рассмотрим определение производной, представленное формулой (11.1): f z  lim z 0 f z Напомним, что f(z) = u(x,y) + i·v(x,y) и, как было отмечено в §10, Δz = Δх + i·Δу. Это значит, что если z принимает приращение Δz, то за счет приращений Δх и Δу функции u(x,y) и v(x,y) принимают приращения Δu и Δv. Поэтому можно записать: Δf = Δu + i·Δv, и, следовательно, f z  lim z  0 f u  iv  lim z  x  0 x  iy .   y  0 Если производная f z существует, то указанный предел должен быть единственным. Это предоставляет нам возможность выбрать наиболее простые траектории приближения от точки z + Δz к точке z. Таковыми являются траектории, параллельные координатным осям. При приближении к z вдоль оси OX (с Δу = 0) имеем Δz = Δх, и тогда f u  iv u v  lim  lim  i  lim  u x  i  vx , x  0 x z  0 z x  0 x  x  0 x f z  lim а при приближении к z вдоль оси OiY   y  0 f u  iv 1 u v  lim  lim  lim  i  u y  vy . (с Δх = 0) – Δz = i·Δу, что дает f z  lim z  0 z  x  0   y  0 iy i y  0 y x  0 y Тогда в силу единственности предела, определяющего f z , приходим к равенству: ux  i  vx  i  uy  vy , которое означает, в силу (3.1), систему:  u x  vy     v x  u y   u x  vy   u y  vx . (12.1) Очевидно, что производную f z функции f(z) = u(x,y) + i·v(x,y) можно представить в четырех формах: f z  ux  i  vx  vy  i  uy  ux  i  uy  vy  i  vx . (12.2) В работе [2, §II.7] показано, что при условии дифференцируемости функций u(x,y) и v(x,y) (а это влечет за собой их непрерывность) выполнение условий (12.1) является до3 статочным для того, чтобы функция f(z) была дифференцируемой. Тем самым получено НДУ дифференцируемости функции f(z), определенной в некоторой [достаточно малой] окрестности точки z и в самой этой точке, известное как условие Коши – Римана (или Даламбера – Эйлера): для дифференцируемости функции f(z) = u(x,y) + i·v(x,y) в точке z = x + i·y необходимо и достаточно, чтобы функции u(x,y) и v(x,y) имели непрерывные  u   v частные производные по обеим переменным, удовлетворяющие условиям  x y . u y  v x Учитывая определение аналитической функции, сформулируем НДУ аналитичности функции f(z): для того чтобы функция f(z) = u(x,y) + i·v(x,y) была аналитической на области D, необходимо и достаточно, чтобы частные производные функций u(x,y) и v(x,y) были непрерывны на D и чтобы выполнялись условия (12.1) Коши – Римана. Найдем смешанные производные действительной и мнимой частей дифференцируемой функции f(z) = u(x,y) + i·v(x,y), привлекая условие Коши – Римана. Непрерывность частных производных, входящих в (12.1), обеспечивает, для функций u(x,y) и v(x,y), равенство их смешанных производных второго порядка, и поэтому   uyx   (uy )x  (vx )x  vxx  ;   (ux )y  (vy )y  vyy  , или uxy uxy   (vx )y  (uy )y  uyy  , vxy или vxy  vyx  (vy )x  (ux )x  uxx , Это приводит к равенствам vxx  vyy  uxy  uxy  0 и uxx  uyy  vxy  vxy  0 . Дифференциальное уравнение g xx  g yy  0 (в частных производных) относительно функции g(x, y) называется уравнением Лапласа. Говорят также об операторе Лапласа Δ= 2 2 2 2  2 таком, что ( g ( x, y ))  2 ( g ( x, y ))  2 ( g ( x, y )) . 2 у х у х Функция g = g(x, y), удовлетворяющая уравнению Лапласа   g yy   0 , называется гармонической. g  0  g xx Согласно введенным выше определениям, действительная и мнимая части аналитической [на области D] функции f(z) = u(x,y) + i·v(x,y) являются гармоническими функциями. Функции u(x,y) и v(x,y) в данном контексте называют также сопряженными [на D]. Оказывается, что по одной из этих сопряженных функций можно найти другую, т.е. восстановить аналитическую функцию. Это означает, что любая гармоническая на D функция является составной частью некоторой аналитической на D функции. Пусть дана часть u(x,y) аналитической [на области D] функции f(z) = u(x,y) + i·v(x,y). Найдем часть v(x,y) по ее полному дифференциалу, пользуясь условиями Коши – Римана. Имеем: dv  vx dx  vy dy  P( x, y)dx  Q( x, y)dy , где функции P  vx  uy и Q  vy  ux известны, поскольку функция u(x,y) дана. Из аналитичности функции f(z) = u + iv и вытекающей отсюда непрерывности частных производных функций u и v следует, что Qx  vyx  vxy  Рy , т.е. что выражение uy dx  ux dy  vx dx  vy dy является полным дифференциалом функции u(x,y) и может быть найдено его интегрированием по любому пути, принадлежащему области D: iY (x,y) (x0,y) ( x, y ) ( x0 , y 0 ) ( x0 , y 0 )  dv  C   (uy dx  ux dy) . (12.3) Аналогично, при заданной части v(x,y) имеем: Q(x,y) (x0,y0) ( x, y ) v ( x, y )  P(x,y) u ( x, y )  (x,y0) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) ( x0 , y 0 ) ( x0 , y 0 ) ( x0 , y 0 )  du  C   (ux dx  uy dy)  C   (vy dx  vx dy) . (12.4) X Рис. 8. К выводу формулы (12.5). 4 ( x, y )  P( x, y)dx  Q( x, y)dy можно вычислить, двигаясь от точки (х0, у0) к Напомним, что ( x0 , y 0 ) произвольной точке (х, у) параллельно координатным осям, как y x x y y0 x0 x0 y0  Q( x0 , y)dy   P( x, y)dx   P( x, y0 )dx   Q( x, y)dy . (12.5) В формулах (12.3) – (12.5) константа С – произвольное действительное слагаемое ( С  R ). Точка (х0,у0) выбирается так, чтобы в ней не нарушалась аналитичность функции f(z). На всей траектории движения от (х0,у0) к (х,у) аналитичность f(z) также не должна нарушаться. Чтобы избежать этих ограничений и самого интегрирования, весьма желательно знать полные дифференциалы некоторых функций двух переменных или уметь их находить методом подбора. Поскольку полный дифференциал du функции u(x, y) есть du  ux dx  uy dy , то, например, d ( xy)  ydx  xdy, d x 2  y 2  x x y 2 2 dx  y x y 2 2 dy, d ln( x 2  y 2 )  2x 2y dx  2 dy, и т.п. 2 x y x  y2 2 Известно также, что для функции u(t) одной переменной du  d  u(t )dt  . §13. Интегрирование функции комплексного переменного Рассмотрим непрерывную в односвязной области D функцию f(z)= u(x,y) + iv(x,y). Пусть в этой области лежит некоторая, кривая L: z(t )  x(t )  iy(t ), t [t1; t2 ] , заданная параметрически (с действительным параметром t), или, что то же самое, L:  xy  xy((tt).), t  [t ; t ]. 1 2  2 2 Если кривая L – гладкая (для нее xt и yt непрерывны, причем ( xt )  ( yt )  0 ), то это позволяет нам определить, вдоль линии L, интеграл от f(z) как сумму, содержащую два криволинейных интеграла второго рода: (13.1)  f ( z)dz   (u  iv)(dx  idy)   (udx  vdy)  i  (vdx  udy). L L L L Учитывая параметрическое задание кривой, получаем:  t1 t1 f ( z )dz   {u[ x(t ), y (t )]xtdt  v[ x(t ), y (t )] ytdt}  i  {v[ x(t ), y (t )]xtdt  u[ x(t ), y (t )] ytdt} , или L t1 t1  t1 t1 t1 t1 f ( z )dz   {u~(t ) xt  v~(t ) yt}dt  i  {v~(t ) xtdt  u~(t )] yt}dt . L (13.2) Более того, поскольку на линии L справедливо dz  ztdt  ( xt  iyt )dt, то  L t1 f ( z )dz   f [( z (t )]ztdt . (13.3) t1 Рассмотрим криволинейные интегралы, входящие в (13.1), и проверим условия, при которых подынтегральные выражения являются полными дифференциалами. Для u dx  v dy ) имеем Py  Qx  uy  vx , а для  (v dx  u dy ) – Qx  Py  u x  vy . Но получен(   L P ( x, y ) Q ( x, y ) L P Q ные условия являются не чем иным как условиями (12.1) Коши – Римана, а само условие Py  Qx обеспечивает независимость криволинейного интеграла второго рода от линии интегрирования, а для замкнутой кривой L = С – равенство этого интеграла нулю. Поэтому можно утверждать: если функция f(z) является аналитической в односвязной области D и гладкая кривая С целиком принадлежит этой области, то  f ( z )dz (для замкнутого контура С используется не символ  , а символ  ). Основываясь на свойствах криволинейных интегралов, можно получить такие свойства для интеграла от функции комплексного переменного: 1º. Для кусочно-гладкой кривой L, состоящей из n гладких частей Lk: 5 n  f ( z )dz    f ( z )dz . (13.4) k 1 Lk L 2º. Если L–– противоположно ориентированная по отношению к L кривая, то  f ( z)dz   f ( z)dz . L (13.5) L 3º. Интеграл от л.к. конечного числа n функций равен л.к. интегралов:   n n       Lk       k f k ( z) dz    k   f k ( z)dz   . L  k 1  k 1   (13.6) 4º. Если 0 < ǀf(z)ǀ ≤ М на всей кривой L, т.е. если на L модуль функции f(z) ограничен, то  f ( z )dz  M  l , где l – длина кривой L. (13.7) L Действительно, при оговоренных условиях имеем:  f ( z )dz L  t1 t1 t1 t1  f [( z (t )]  ztdt   t1 t1 t1 t1 t1 f [( z (t )]zt dt   f ( z )  zt dt  M  xt  iyt dt  M   ( xt ) 2  ( yt ) 2 dt  M  l .    z t t1 l Все рассмотренное в этом параграфе позволяет сформулировать теорему Коши: если функции f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от f(z) по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру С, целиком лежащему в области D, равен нулю. В силу этой теоремы и того, что известные нам функции f(z): zn, ez (и, как следствие, az), sinz, cosz, shz, chz являются аналитическими на всей комплексной плоскости, интеграле от каждой из них по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру С равны нулю. §14. Теорема Коши для многосвязного контура Рассмотрим теперь двусвязную область, ограниченную положительно ориентированным [кусочно-гладким] контуром Γ+ (рис. 9). Как показано на левом рисунке, этот контур не является непрерывным, Γ1+ Γ1+ а состоит из двух положительно ориентированных частей: Γ2+ Γ2+ Γ+ = Γ1+ + Γ2+. D γ+ Сделав теперь дополнительный разрез области по лиγ– нии γ, мы получаем возможность пройти весь контур Γ в положительном направлении так, что сама область станоРис. 9. К теореме Коши для двусвязного контура. вится односвязной и остается слева от направления обхода. Дополнительная линия проходится дважды и в противоположных направлениях γ– и γ+, поэтому суммарный интеграл на этом участке равен нулю. Теперь, если функция f(z) аналитична и на замыкании области D (т.е. внутри D и на ее границе Γ), то получаем, по теореме Коши, что  f ( z )dz  0 .  Если ориентировать контур Γ2 в противоположном направлении, то получаем:  f ( z )dz   f ( z )dz  0       1 2  1 f ( z )dz    f ( z )dz    2  1 f ( z )dz   f ( z )dz .  2 Обычно о контуре Γ 2 говорят как о контуре, проходимом против часовой стрелки: это направление отрицательно по отношению к области D, но положительно по отношению к внутренности самого этого контура. Совершенно аналогично можно рассуждать и в отношении (n + 1)-связного контура с n непересекающимися «дырками», находящимися внутри замкнутого контура Γ+ и 6 ограниченными контурами Γ i (проходимыми против часовой стрелки). Тогда при услоn виях, оговоренных выше (аналитичность f(z) внутри D и на ее границе Γ+ +  Г i ) имеем: i 1 n  f ( z )dz .  f ( z )dz   i 1   (14.1)  i Из этой теоремы и теоремы Коши вытекает, что контуры Γ i можно заменять окружностями бесконечно малых радиусов, т.е. попросту выколотыми точками, и наоборот. Результат интегрирования от этого не изменяется. В заключение рассмотрим один очень важный интеграл – от функции 1 ( z  z 0 )n с натуральным n, имеющей особенность в точке z0 – в ней сама функция и ее производная не существуют, т.е. в точке z0 нарушена аналитичность функции. Интегрирование ведется по окружности С+: ǀz – z0ǀ = R, ориентированной против часовой стрелки. По теореме Коши (для двусвязного контура) имеем:  C  : z  z0  R dz  ( z  z0 ) n  C  : z  z 0  Re it 2 dz   ( z  z0 ) n  2 i  dt  2i, n  1 Rieit dt  0 w   2 e 2i 1 R n eitn  d (eit ) dw dw  R1n  it n  R1n  n   R1n  n  0, n  1. w  0 (e ) 1 w e0 Итак, для любого R > 0 имеет место [основная] формула:  C  : z  z0  R dz  2i. z  z0 §15. Формула Коши. Обобщенная формула Коши Теорема 1. Пусть f(z)–аналитическая в односвязной области D и на ее границе С+, исключая некоторую внутреннюю точку z0. Тогда справедлива формула (Коши):  f ( z) C dz 2i  f ( z 0 ) . z  z0 (15.1) Доказательство этой теоремы основано на том, что функция ( z )  f ( z)  f ( z 0 ) стаz  z0 новится непрерывной в точке области D, если ее доопределить в точке z = z0 значением f ( z 0 ) . Заметим, что сама функция f(z) в этой точке определена и непрерывна в силу ее аналитичности во всех точках области D. Таким образом, мы имеем очень простой способ вычисления интегралов от функций вида φ(z) = f(z) = f ( z) с аналитической частью f(z) z  z0 или, в других обозначениях, вида ( z ) с аналитической частью f(z), по любому замкнутому контуру, содержащему z  z0 внутри себя только одну особую точку z0 (точку бесконечного разрыва). Наиболее общей формулой для вычисления интеграла по замкнутому контуру является обобщенная формула Коши:  C  f ( z) dz ( z  z 0 ) n 1 2πi  n! f ( n ) ( z 0 ) , (15.2) где f (n) ( z0 ) – производная порядка n от функции f(z), вычисленная в точке z0. Поскольку производная нулевого порядка от f(z) есть сама функции f(z), то формула (15.1) есть следствие формулы (15.2) при n = 0. 7 §16. Ряд Лорана Здесь мы приведем основные теоремы, связанные с разложением аналитических функций в ряды по степеням (z – z0), т.е. в окрестности точки z0. Теорема 2. Для функции f(z), аналитической в круге | z – z0| < R, справедливо разложение в ряд Тейлора: f ( z)  c0  где c n  1 2i f ( )  (  z C 0) n 1 d  f (n)   cn (z  z0 ) n , (16.1) n 1 (z0 ) n! , С+ - окружность |z – z0| < ρ произвольного ра- диуса ρ < R с центром в точке z0 ,расположенная в круге | z – z0| < ρ < R. Указанный ряд сходится к f(z) в любой внутренней точке указанного круга. Теорема 3. Для функции f(z), аналитической в кольце 0 ≤ r < | z – z0| < R ≤ +∞, справедливо разложение в ряд Лорана, сходящийся к к f(z) в любой точке этого кольца:   c n f ( z)     cn ( z  z0 ) n , n n 1 ( z  z0 )  0    n главная часть где cn  (16.2) правильная часть f () 1 f () 1 d , c n  d С+ – окружность |z – z0| < ρ произвольно2i C (  z 0 )  n 1 2i C (  z 0 ) n 1 го радиуса ρ < R с центром в точке z0. Искать коэффициенты cn и c-n прямым интегрированием крайне невыгодно, но целый класс функций, а именно рациональные дроби, позволяет найти разложение в ряд Лорана, используя сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: для любого х: |х| < 1 имеем 1  x  x 2  x 3  x 4  ...   1   xn 1  x n 0 (16.3) В этой формуле «спрятана» еще одна – для отрицательных х: для любого х: –1 < х < 0 имеем 1  x  x 2  x 3  x 4  x 5 ...   1   (1) n 1 x n 1  x n 0 (16.4) На использовании формулы (16.3), собственно, основан и вывод формулы (16.2). Приведем пример. ► Пример 1. Разложить f ( z )  1 в ряд Лорана в окрестности точек z = 0, z= –2, z = 1 и 2z  4 z = ∞. Решение. Данную нам функцию мы перепишем 1 1 1    ( z ) . Какой бы ряд теперь мы бы 2 z2 2 так: f ( z )   iy z -1| = 3 z| = 2 z=–2 1 x 2 z=1 Рис.10. К примеру 1. ни получили для φ(z), он будет просто умножаться (почленно) на ½. Раскладываем дробь φ(z) в ряд и использованием (16.3). Для этого необходимо получить в знаменателе дроби единицу; это можно сделать за счет вынесения за скобки либо первого, либо второго слагаемого, но только после формирования в знаменателе слагаемого вида (z – z0). 1) Для z0= 0 (разложение φ(z) по степеням z) имеем два варианта: 1 1 1 1 1 .     2 2 z z2 z 1 1 z 2 Теперь анализируем условие, т.е. поведение полученных в знаменателях слагаемых при единице, в окрестности заданной точки z0 = 0. 8 Разложения (16.3) или (16.4) будут применимы при условиях представления дроби или z 2  1  z  2 для 2 1 z  2 z для первого второго из них. Нас интересует такая окрестность точки z0, в которую не попадает ни одна особая точка функции φ(z); в нашем случае это z  2 . Это соответствует представлению 1 2 1 4 Используем (6.1): f ( z )   ( z )   f ( z)   ( 1) n 1 1  z   (1) n 1     n  2 z n , или 4 n 0 2 n 0 2 n 1 1 1 1 .  2 1 z 2 z 2  (1) n 1 1 1 1 1 3 1 4  z  z2  z  z    n2 z n   , z  2 4 8 16 32 64 2 2) Для z0= –2 (разложение f(z) по степеням z + 2) разложением f(z) в ряд Лорана явля1 1 . Здесь имеем ряд с с-1 = 1/2 и всеми другими cn = 0; ряд схо2 z2 ется сама f(z): f ( z )   дится к f(z) во всех точках комплексной плоскости, кроме z = –2. 3) Для z0= 1 (разложение f(z) по степеням z – 1) мы используем разложение  ( z)  которое дает ряд, сходящийся при f ( z)  1 1  ( z)   2 6 f ( z)  1 1 1    z  2 ( z  1)  3 3 z 1 1, 3 1 , z 1 1 3 т.е. в круге |z – 1| < 3. Поэтому получаем: 1 1  1  (1) n 1  z 1  n    (1) n 1      n 1 ( z  1) z  1 6 n 0 3  2 n 0 3  1 3 n , или (1) n 1 1 1 1 1  ( z  1)  ( z  1) 2  ( z  1) 3    ( z  1) n   , z  1  3 . 6 18 54 162 2  3 n 1 4) Для z = ∞ (разложение f(z) по степеням z в окрестности бесконечно удаленной точки). Бесконечно удаленной точкой в общем случае считается внешность окружности минимального радиуса, в которую не попадает ни одна особая точка; у нас это – внешность круга z  2 , т.е. множество z  2  2 1. z Поэтому можно использовать ранее полу- 1 1 1 2 1 1   ( z)  , которое, через ряд по степеням ,  2 2 z2 2 z 2z 1 z ченное представление f ( z )   позволяет записать: f ( z)  1 1 1  2 4 8 16  1   1   2  3  4     2 2z  z z 2z z z  2z 1 z  (1) n 1 2 n n 0 zn   (1) n 1 2 n 1 n 0 z n 1  .◄ §17. Вычет функции f(z) в точке Рассматривая ряд Лорана для аналитической функции f(z)в окрестности точки z0, можно заметить, что c1  1 2i  f ( )d  2i  f ( z )dz . Выражение в правой части называют 1 C C вычетом Re s f ( z ) функции f(z) в точке z0: z  z0 9 1 2i Re s f ( z )  z  z0  f ( z )dz . (17.1) C Получив ряд Лорана для f(z) в окрестности точки z0 ≠ ∞, имеем Re s f ( z )  c 1 . z  z0 Что касается вычета в окрестности бесконечно удаленной точки z0 = ∞, то здесь надо иметь в виду следующее. По теореме Коши для многосвязной области мы имеn ли  f ( z )dz    f ( z )dz . Тогда, если контур Γ+ есть окружность С+:|z| = R, внутри которой  i 1   i заключены все n особых точек zi ≠ ∞ функции f(z), то можно записать: n s  f ( z)dz  i1 zRe z f ( z) . (17.2) i C Теперь, учитывая то, что для бесконечно удаленной точки положительное направление ее «обхода» есть та же окружность |z| = R, но ориентированная отрицательно, то Re s f ( z )  c 1 , где с-1 – коэффициент ряда Лорана для функции f(z), полученного при ее z разложении в окрестности точки z = ∞. Отсюда же следует теорема о вычетах: n Re s f ( z )   Re s f ( z )  0 . z i 1 z  zi (17.3) Естественно, что вычеты можно находить не только через разложение функции f(z) в ряд Лорана, но и прямым интегрированием функции с использованием формул (15.2) и (15.1). 10