Прогнозирование на основе линейной модели

Прогнозирование на основе линейной модели Построенная адекватная модель может использоваться для прогнозирования в эконометрическом исследовании. Оценка прогнозируемых величин в регрессионном анализе получается подстановкой в регрессию значений независимых переменных. Рассмотрим подробнее задачу прогноза на основе линейной модели. Предположим, что мы хотим распространить нашу модель, содержащую две переменные, на другие значения независимой переменной и поставить проблему прогнозирования среднего значения y , соответствующего некоторому данному значению x0 , которое может лежать как между выборочными наблюдениями от x1 до x n , так и вне соответствующего интервала. Такой прогноз может быть точечным или интервальным. Предположим, что была верифицирована линейная модель парной регрессии yˆ  aˆ  bˆx . Требуется установить прогнозное значение результата у 100  r %  x . при изменении фактора х на r% от своего среднего x , т.е. х0  100% В случае точечного прогноза в оцененную модель подставляется     значение x 0 : y0  a  b x0 . В этом случае прогнозное значение y0 будет адекватным и удовлетворять свойствам состоятельности, несмещенности и эффективности точечных оценок. В случае интервального прогноза можно, с надежностью  близкой к  100%, гарантировать диапазон прогнозного значения y0 , который зачастую необходим в эконометрическом исследовании. Для этого строится   доверительный интервал y0    y0  y0   , где   точность и надежность исследования, зависящая от доверительной вероятности  и количества испытаний n. 1  x  x0    t  ˆ   , 2 n   xi  x  2 1    t  t  , n  2  – квантиль распределения Стьюдента,  2  вычисляется по известным таблицам. 1 n 2 Rmin ˆ 2    i  n  2  несмещенная оценка остаточной дисперсии n  2 i 1 ( ̂  исправленное среднее квадратическое отклонение, СКО). где Интерпретация уравнения регрессии Существуют два этапа интерпретации уравнения регрессии. Первый этап состоит в словесном толковании уравнения так, чтобы это было понятно человеку, не являющемуся специалистом в области статистики или эконометрики. На втором этапе необходимо решить, следует ли ограничиться этим или провести более детальное исследование зависимости, например, проверить по отношению к исследуемым переменным некоторые статистические гипотезы, либо улучшить качество и предсказательные свойства модели. Представим простой способ интерпретации коэффициентов линейного уравнения регрессии yˆ  aˆ  bˆx , когда y и x – переменные с простыми, естественными единицами измерения. Во-первых, можно сказать, что увеличение x на одну единицу измерения приведет к увеличению (уменьшению) y в среднем на b̂ единиц (в единицах измерения и переменной x и переменной y ). Коэффициент регрессии b̂ есть абсолютный показатель силы связи, характеризующий среднее абсолютное изменение результата y при изменении фактора x на единицу своего измерения. Постоянная â дает прогнозируемое значение y (в единицах y ), если x  0 . Это может иметь или не иметь ясного смысла в зависимости от конкретной ситуации. Если x  0 находится достаточно далеко от выборочных значений переменной x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам; даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, мы не можем гарантировать, что это ее свойство сохранится при экстраполяции влево или вправо. В случае, когда интерпретация â не имеет никакого смысла, эта константа выполняет единственную функцию: она позволяет определить положение линии регрессии на графике. При интерпретации уравнения регрессии важно помнить о трех вещах. Во-первых, â является лишь оценкой a , а b̂ – оценкой параметра b . Поэтому вся интерпретация в действительности представляет собой лишь оценку реальной ситуации в исследовании. Во-вторых, уравнение регрессии отражает только общую тенденцию для выборки. При этом каждое отдельное наблюдение подвержено воздействию случайностей. В-третьих, верность интерпретации зависит от правильности спецификации уравнения. Следует отметить, что для линейного уравнения y  a  bx x x эластичность E х  f ( x)  b  . Поэтому при интерпретации уравнения y y регрессии значение эластичности в любой точке будет зависеть не только от значения b̂ , но также и от значений y и x в данной точке. Как правило, для подсчета эластичности, величины y и x берутся равными своим средним: y  у и x х. Пример 1. Предположим, что была построена и верифицирована линейная модель парной регрессии – зависимость уровня усвоения материала у студентов y (по шкале от 0 до 2) от количества посещений занятий в институте x (от 0 до 150). 73 85 102 115 122 126 134 147 xi 0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9 yi Линейная модель имеет вид: yˆ  0,974  0,01924x . Требуется спрогнозировать уровень усвоения материала, если студент посетит 100 занятий. Надежность исследования задать 95%. Дать интерпретацию полученным результатам. Решение. Дадим интерпретацию коэффициентов регрессии в рассматриваемой модели. Отрицательное значение коэффициента aˆ  0,974 означает, что если студенты вообще не будут посещать занятия, то уровень усвоения материала будет снижаться, т.е. умственные способности студента не будут достаточно натренированы на усвоение новых знаний. Коэффициент регрессии bˆ  0,01924 показывает, что увеличение количества посещений занятий на 1 день приводит к увеличению уровня усвоения материала в среднем на 0,01924 ед. Это своего рода эмпирический норматив приростной эффективности посещения занятий. Полученное верифицированное уравнение регрессии может быть использовано для точечного и интервального прогнозов. В частности, если студент посетит 100 занятий: x0  100 , то его уровень усвоения материала, выданного на занятиях, следует установить по уравнению регрессии yˆ 0  0,974  0,01924 100  0,95 ед. С надежностью 95% построим доверительный интервал для   теоретического значения прогнозируемой величины: y0    y0  y0   , где 1  x  x0  1 n 2 Rmin 1    2 ˆ   t  ˆ     i  , , t  t  , n  2 .  2 n   xi  x  n  2 i 1 n2  2  Ранее была рассчитана остаточная сумма квадратов 2 Rmin    yi  yˆ i   0,0479; n 2 i 1 Rmin 0,0479   0,0893 - несмещенная оценка СКО; n2 82 1    t  t  , n  2   t 0,975; 8  2  2,447 - значение критерия Стьюдента,  2  найденное из специальных таблиц; 2 2  x  x0   113  100 Величина   0,039 . Тогда 2 4356 xi  x  ˆ  1 1  0,039  y0  0,95  2,447  0,0893  0,039 ; 8 8 0,95  2,447  0,0893 0,405  y0  0,95  2,447  0,0893 0,405 0,8615  y0  1,0385 . 0,95  2,447  0,0893 или То есть мы на 95% уверены в том, что уровень усвоения материала от посещения 100 занятий будет в пределах 0,86; 1,04 .