Проекционный метод синтеза управлений для стабилизации программных движений динамических объектов

ЛЕКЦИЯ И ПРАКТИКА По дисциплине «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» ТЕМА: ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ. 1. Введение и постановки задач синтеза. Рассмотрены элементы подходов к решению двух задач синтеза программных и стабилизирующих управлений для нескольких объектов. К объектам управления могут относиться энергосистемы, механизмы, элементы систем сборки, автомобили и др.): Задача 1: вычислить управления для стабилизации программных движений для отдельных объектов группы, обеспечивающих безопасность программного движения с учетом нелинейных ограничений на координаты и управления. Задача 2 состоит в синтезе управлений для стабилизации опасных программных движений группы объектов без учета нелинейных ограничений на координаты и управления. Синтез (вычисление) управлений будет выполнен с помощью проекционных операторов оптимизации двух типов. Синтез управлений в этих задачах выполнен при выполнении следующих условиях: а). Математические модели объектов заданы в виде разностных операторов. б) Заданы программные управления движения объектов как функции времени вектором , обеспечивающие безопасность движения всей группы. 2. Метод решения задачи 1. Синтез автономных управлений основан на математических моделях движения совокупности объектов с учетом ограничений на координаты и управления каждого объекта системы. Вычисление управлений может быть реализовано в автономном режиме с помощью проекционных операторов. Этот метод рассмотрен ранее, и, как отмечено ранее, позволяет вычислить управления для стабилизации движений совокупности объектов, которые далее описываются линейными или локально линеаризованными разностными операторами Для нескольких объектов модель операции управления можно представить в матричной форме, которая для трех объектов иллюстрируется уравнением линейного многообразия Нелинейный оператор для совокупности автономных объектов формируется как решение экстремальной задачи: вычислить вектор, доставляющий минимум функционалу в виде квадрата нормы евклидова пространства где составной вектор, включающий прогнозы координат состояний и управлений имеет вид где заданные программные движения для группы объектов, которые должны быть стабилизированы на траекториях движущихся объектов. Нелинейный проекционный оператор, введенный ранее, имеет вид где проектор на линейное многообразие равен Проектор на ортогональное дополнение к линейному многообразию, равный определяет оптимальное решение в виде составного вектора в соотношениях для нелинейного проекционного оператора (3). Таким образом, равенства (3) определяют метод вычисления совокупности автономных управлений для объектов с заданными программными безопасными движениями с точки зрения «несовпадения траекторий». Предполагается, что последнее условие гарантирует заданные безопасные расстояния между центрами масс для всех движущихся объектов. При этом должны быть выполнены условия устойчивости на этом на этом движении в силу условий, сформулированных ранее. 3. Метод решения задачи 2 при ограничениях на координаты и управления. Решение задачи 2 как задачи синтеза управлений для стабилизации программных управлений с учетом ограничений на координаты и управления будет получено на основе аффинного проекционного оператора, учитывающего положения объектов. При этом модель движущейся системы объектов должна определять динамику всех движущихся объектов. «Ограничения на положения» могут быть заданы различными способами. Один из способов реализует прямое задание «условий несовпадения маршрутов» объектов с помощью дополнительных ограничений-равенств, задающих дистанции между объектами. Для этого требуется дополнение модели типа (1) с помощью введения «ограничений-равенств» на относительное положение». Возможны другие способы ограничений, которые задают «менее жесткие» алгебраические ограничения-неравенства. Однако это усложняет задачу управления. Далее рассмотрены обобщенные формулировки задач вычисления оптимальных управлений для группы динамических объектов, которые описываются «линейными уравнениями моделей объектов», дополненные учетом линейных «ограничений на положения» объектов координируемой группы. Таким образом, «ограничения по положениям» для совокупности объектов могут быть реализованы математическим программированием указанных требований за счет введения «заданных сдвигов для положений». Эти «требования по положениям» естественным образом должны корректировать программные движения рассматриваемых динамических объектов. В результате реализации перечисленных выше требований на первом этапе можно сформулировать исходную модель для централизованного управления динамикой группы из 4-х динамических объектов, к которой далее будет введены ограничения на относительные положения объектов. При этом исходная модель группы динамических объектов имеет вид, представленный ниже. В этой модели должны быть учтены модели четырех несвязанных динамических объекта, описанных линейными разностными операторами. МОДЕЛЬ ГРУППЫ ИЗ 4-Х ОБЪЕКТОВ определена разностными уравнениями и представлена алгебраической системой состоящей из линейных разностных уравнений отдельных объектов управления как неизменяемой части системы управления: Далее представлена модель «жесткой координации» для прогнозов векторов состояний объектов на основе введения дополнительных точных равенств для гарантии несовпадения центров масс движущихся динамических объектов. При этом векторный характер ограничений позволяет реализовать векторную координацию по расстояниям между объектами, допуская реализацию пространственных «гарантируемых расстояний» между центрами масс объектов в жесткой форме. Соответствующие дополнительные ограничения на положения объектов как дополнительный блок ограничений задачи синтеза к ограничениям, реализующим модели объектов представлены далее и имеют вид При этом нелинейный проекционный оператор управления имеет следующий вид где параметры проекционного оператора определены ранее, а вычисления вектора выполняется в соответствии с алгоритмом и примером. Условия устойчивости рассмотренных систем координированного управления динамикой группы объектов исследуются на основе известной методики. Общая структура ограничений, учитывающих модель группы объектов и «координирующие ограничения, а также два варианта проекционных операторов управления имеет вид, приведенный далее. Таким образом, приведенные результаты иллюстрируют математические модели, которые определяют ограничения задач оптимизации для вычисления оптимальных управлений Примеры решения задач. Дополнения, комментарии и алгоритмы к вариантам задачи синтеза, необходимые для корректной формализации задач вычисления управлений Дополнительные сведения для синтеза рассматриваемого класса систем стабилизации программных движений могут включать ОГРАНИЧЕНИЯ по продольным и боковым положениям АМ. Для этого можно математически задать (запрограммировать) «СДВИГИ ПОЛОЖЕНИЙ между АМ». Эти ограничения, как и выше, будут введены для анализа вариантов формулировки задачи при некоторых типовых программах движения. Предупреждение ошибок: введение дополнительных требований не должно искажать исходную модель объекта управления. Поэтому дополнительные требования по дистанциям между объектами должны задаваться в виде дополнительных ограничений- равенств, которые должны включать требования к положениям, и не искажать модели объектов как неизменяемой части системы. Метод и алгоритм решения задачи синтеза системы стабилизации программных движений для отдельных АМ. Этот метод рассмотрен далее по шагам. Шаг 0: для описания движения группы АМ можно сформировать расширенную матрицу операций, в которой будут на диагоналях матриц представлены модели (уравнения) всех автомобилей, которые не связаны между собой по условиям задачи, что обеспечено положениями матриц объекта типа H и F на диагонали. Итак, матрицы H и F – для различных АМ будут расположены на диагонали В рамках таких ограничений можно программировать движения многих объектов. В уравнения (1) введены стабилизируемые программные воздействия где «i»- номер объекта, а также дополнительные управляющие воздействия на объекты в виде приращений , обеспечивающие «дистанцию для центров масс объектов движения». Функционал качества для задачи имеет стандартный вид квадрата нормы евклидова пространства Будем решать задачу на основе поэтапного усложнения. Для этого начнем с простых задач, усложняющихся постепенно по шагам. Шаг 1: разделение модели группы АМ на модели отдельных АМ. Тогда группа автомобилей будет описана, например, по продольной оси X отдельными уравнениями состояния. Другими словами, модель (1) на первом этапе можно разделить на несколько частей. После разделения моделей динамика «i-го» автомобиля будет описана, например, по продольной оси X одномерным уравнением «вход-состояния» где подвекторы состояний имеют единичный размер для простоты. В случае необходимости можно использовать модель «вход-состояние-выход», которая представлена соответствующими уравнениями Шаг 2. Тогда в одномерном пространстве можно привести простой пример модели без матриц, вместо которых заданы числа – матрицы первого порядка как предельно простые одномерные матрицы, задающие модели Шаг 3. Рассмотрим модели АМ в двумерном пространстве, где выделены уравнения продольного и бокового движений, имеющие вид Поэтому можно рассматривать эту модель как содержащую две координаты состояния, где координата описывающие движение АМ по продольной оси, т.е. «координату движения «ВПЕРЕД-НАЗАД», т.е. боковую координату «налево-направо» относительно начала координат, а также динамику бокового движения АМ, т.е. координату движения «НАЛЕВО ИЛИ НАПРАВО». Шаг 4: в общем случае модель состояний АМ как объекта системы управления может быть описана разностным уравнением где подвекторы состояний имеют конечный размер. Шаг 5: поскольку в модели, данной выше, определены все компоненты вектора оптимальных управлений, а также квадратичный функционал типа «евклидовой нормы», то можно вычислить вектор управления с помощью известного из лекций проекционного оператора оптимизации общего вида Параметры оптимального оператора заданы равенствами Шаг 6: на первом этапе для простоты синтеза с учетом отсутствия ограничений-неравенств на координаты и управления можно использовать более простой проектор (также см. лекции), который имеет вид Шаг 7 посвящен исследованию задачи управления № 2: на первом этапе исследования для понимания процессов, которые может описывать модель объекта, далее приведены примеры исследования динамики процессов для простейших управлений. Как отмечено ранее, для этого «вектор или скаляр управлений» требуется выделить из «составного вектора», что показано соотношениями ЗАДАВАЯ РАЗЛИЧНЫЕ ВЕКТОРЫ УПРАВЛЕНИЯ МОЖНО ФОРМИРОВАТЬ РАЗЛИЧНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ ПО ОДНОЙ КООРДИНАТЕ, УВЕЛИЧИВАЯ ИЛИ УМЕНЬШАЯ вектор так, ЧТОБЫ НАПРИМЕР, ЗАДАНИЯ ВЕКТОРОМ могут соответствовать движению «Вперед», а значения - движению «назад» (по знаку приращения). Аналогичные управления существуют для движений ПО ПРОДОЛЬНОЙ ИЛИ БОКОВОЙ КООРДИНАТАМ. Для организации движения НА ПЛОСКОСТИ требуется ввести две координаты, движение по которым организуется аналогично. Можно далее увеличивать количество координат до трех, вводить ограничения и формировать требуемые траектории движения с помощью синтезированных управлений с учетом или без учета ограничений-неравенств. Таким образом, модель (1) на первом этапе разделена на несколько моделей. Тогда группа автомобилей будет описана, НАПРИМЕР, по продольной оси X уравнениями состояния с учетом начального положения и задания по программных управлений для движений, которые могут иметь вид В этой модели мы ввели программное движение поэтому управление имеет вид в силу которого автомобиль будет иметь изменяющуюся координату по оси Х, что соответствует движению по этой оси. Вариант 1 организации движения АМ по единому координирующему сигналу. Программное движение ведущего автомобиля (АМ) можно задать вектором С для случая плоского перемещения автомобилей. Далее можно координировать движение ведомых АМ путем передачи этого вектора всем или части ведомых АМ. Тогда задача управления будет состоять в обеспечении движения всех АМ по заданному маршруту с сохранением дистанций между ними. На первом этапе можно решить задачу движения одиночного автомобиля по прямой вдоль оси X. Тогда модель движения примет вид Вариант 2 организации движения группы БПАМ по траектории предыдущего автомобиля. Другими словами, этот вариант стабилизации АМ на основе применения в качестве программного вектора С в алгоритме траекторий предыдущих автомобилей. Эти две простые задачи могут иметь решение на основе проекционного оператора. При этом возникает вопрос: каким образом выполнить программирование движений и обеспечить движения всех участников свойством устойчивости. Последнее свойство требует применения такого метода и алгоритма, которые гарантируют устойчивость программных движений. Анализ проекционного метода и алгоритма показывает, что для описания программного и относительного движений можно использовать линейное многообразие, в которое можно «погружать» математические модели участников – АМ. Замечание. Сформулировав принцип программирования динамики с помощью матрицы А, размеры которой по строкам и столбцам могут быть выбраны достаточно большими в соответствии с требованиями задач управления. Тогда в эту матрицу можно «погрузить» модели динамики различных объектов, в том числе и модели всех АМ. Индивидуальные задания для студентов ПО ДАННОЙ ТЕМЕ 1). Составить задачу для синтеза движений из двух и трех объектов относительно начального состояния для разностного уравнения динамики в соответствии с данным выше алгоритмом. 2). Построить графики движение по боковой и продольной координатам. Все параметры модели АМ связны с номером 5. Объект управления должен быть устойчивым и управляемым по Р. Калману, т.е. должен быть выполнен, например, ранговый критерий.