Прочность элементов конструкций при динамическом внешнем воздействии

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» Кафедра «Строительная механика» Л.Б. Потапова ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ Сборник лекций Рекомендовано Методическим советом ДВГУПС в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство ДВГУПС 2013 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com УДК 539.4 (075.8) ББК Ж 121.3я73 П 640 Рецензенты: Кафедра «Механика деформируемого твердого тела» Тихоокеанского государственного университета (заведующий кафедрой доктор технических наук А.Д. Ловцов) Главный инженер КГУП «Хабаровскгражданпроект», кандидат технических наук, доцент А.И. Шишкин П 640 Потапова, Л.Б. Прочность элементов конструкций при динамическом внешнем воздействии : сб. лекций / Л.Б. Потапова. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2013. – 88 с. : ил. Рассмотрены методы, способы и формулы расчётов на прочность конструкций при динамическом внешнем воздействии. Содержит теоретический материал и практические задания в виде тестов и примеров решения задач, а также вопросы для самопроверки. Предназначено студентам 2-го курса всех форм обучения по направлению 190300.65 «Подвижной состав железных дорог» для самостоятельного изучения теоретической части и освоения практики выполнения типовых инженерных расчетов при подготовке к экзаменам по дисциплине «Сопротивление материалов» (раздел «Динамика»), осуществляемым в традиционной и электронной (интернет) формах. УДК 539.4 (075.8) ББК Ж 121.3я73 © ДВГУПС, 2013 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ВВЕДЕНИЕ Из всей совокупности задач профессиональной деятельности, перечисленных в ФГОС для направления подготовки специалистов 190300.65 «Подвижной состав железных дорог», можно выделить задачи проектноконструкторской деятельности, готовность к выполнению которых формируется при изучении курса сопротивления материалов: расчет прочности и устойчивости типовых элементов машин при различных видах нагружения, выбор материала для изготовления деталей машин; обоснование технических решений. Большинство деталей машин и механизмов в процессе эксплуатации испытывают воздействие нагрузок, которые достаточно быстро изменяются по величине и направлению (например, ударные, циклические, вибрационные и другие нагрузки). Такие нагрузки вызывают ускорение структурных элементов и, как следствие, – инерционные силы, которые могут существенно увеличить внутренние силы и напряжения. Кроме того, большую опасность создает так называемое явление резонанса, когда частота внешнего силового воздействия совпадает с частотой собственных колебаний элементов конструкции. В этом случае, если силы сопротивления среды и силы трения в самой конструкции незначительные, то внутренние силы и напряжения могут теоретически возрасти до бесконечности, независимо от величины внешних сил. Сборник лекций содержит теоретический материал и практические задания по разделу «Динамика» курса сопротивления материалов. Составлен на основе многолетней практики работы со студентами инженерных механических специальностей. В первой лекции рассматривается приближенный метод оценки прочности и жесткости элементов конструкций в виде бруса при ударном внешнем воздействии массой, падающей свободно или с начальной скоростью. Во второй лекции рассмотрены примеры расчетов типовых элементов конструкций, движущихся прямолинейно с ускорением или вращающихся с постоянной скоростью. Выполнен анализ ряда решений, полученных для вращающихся твердых тел с учетом их собственных упругих деформаций. В третьей лекции изучаются особенности усталостного разрушения материалов при циклических напряжениях и методика оценки выносливости деталей при простых и сложных видах сопротивления. Четвертая лекция посвящена колебаниям упругих систем с одной и несколькими степенями свободы и принципам расчета таких систем на устойчи3 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com вость от вибраций. С точки зрения динамики рассматривается вопрос о требованиях к режиму, обеспечивающему статическое нагружение. Следует отметить, что раздел «Динамика» может изучаться студентами, успешно освоившими методы, способы и формулы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций при статическом внешнем воздействии. Для понимания излагаемых в данных лекциях теоретических положений необходимы также знания законов раздела динамики теоретической механики. 4 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Лекция 1 РАСЧЕТ УПРУГИХ СИСТЕМ, РАБОТАЮЩИХ В УСЛОВИЯХ УДАРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ План лекции: 1.1. Понятие о точной теории удара. 1.2. Основные допущения приближенной теории удара. 1.3. Виды ударного воздействия. 1.4. Вывод формулы динамического коэффициента. 1.5. Порядок расчета на удар по приближенной теории. 1.6. Способы снижения динамической перегрузки. 1.1. Понятие о точной теории удара Ударное воздействие – это воздействие, при котором передача усилия от одного твердого тела к другому осуществляется за короткий промежуток времени, продолжительность которого, к сожалению, подчас не поддается измерению. Таким образом, удар – это импульсное воздействие. На рис. 1.1, а показан пример передачи воздействия при движении двух точечных масс m1 и m2 , движущихся в одну сторону, при этом скорости v1 и v2 у них разные. Если v1 > v 2 , то в некоторый момент времени произойдет контакт масс, а затем они могут а m m2 1 продолжать движение уже с другими скороv1 v2 стями – u1 и u2 – в соответствии с законом со(v1 > v2) хранения количества движения m1 б m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 . Однако какими будут новые величины и направления скоростей, в настоящее время точно определить нельзя ( u1 = ? , u 2 = ? ). Поэтому существующие решения основаны на отдельных предположениях о характере дальнейшего движения масс. На рис. 1.1, б и в показаны примеры ударного воздействия на объект сопротивления материалов – брус. Точная теория удара основана на законе сохранения импульсов, или законе сохранения количества движения 5 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com m2 в F2(t) v1 F1(t) m Рис. 1.1. Примеры ударного воздействия: а – при движении двух точечных масс; б – падении груза; в – кратковременном действии внешней силы ∑ mi ui − ∑ mi vi = ∑ S j , i i j где S j – импульс внешней силы; S j = Pj ⋅ ∆t . Классическая механика без дополнительных гипотез задачу расчета на ударное воздействие не решает. В сопротивлении материалов расчет на удар объекта в виде бруса выполняют приближенно на основе закона сохранения и превращения энергии. 1.2. Основные допущения приближенной теории удара Для вывода расчетных формул приближенной теории примем следующий ряд допущений. 1. Напряжение в брусе при ударе не превышает предела пропорциональности, т. е. справедлив закон Гука. При этом модуль упругости при динамическом ударном нагружении (диаграмма 1 на рис. 1.2) равен модулю упругости материала при статическом (диаграмма 2 на рис. 1.2) нагруРис. 1.2. Диаграммы рас- жении. На диаграмме модуль упругости равен тяжения при динамиче- геометрическому параметру: Eд = Eст = E = tgα . ском (1) и статическом 2. Закон сохранения энергии в приближенной (2) нагружениях теории удара имеет следующую формулировку: энергия ударяющего тела полностью без потерь переходит в энергию деформации ударяемого тела. 3. Удар абсолютно неупругий – т. е. без отскакивания ударяющего тела. 4. Пластической деформацией бруса в окрестности контакта двух тел можно пренебречь. 5. Влиянием величины собственной массы ударяемого тела можно пренебречь. Следует отметить, что перечисленные допущения не могут точно отражать наблюдаемые явления на практике. Но в своей совокупности они позволяют оценить приближенно динамический эффект – изменение прочности и жесткости элемента конструкции при воздействии внешних сил, приложенных за короткий промежуток времени. 1.3. Виды ударного воздействия Примеры схем ударного воздействия при свободном падении массы m с высоты h на элемент конструкции в виде бруса приведены на рис. 1.3: а – продольный удар – создает сжатие (или растяжение) в элементе конст6 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com рукции; б – поперечный удар – создает изгиб бруса; в – скручивающий удар на участке между опорами – сопровождается деформацией кручения. Расчетные схемы приближенной теории удара для соответствующих схем показаны на рис. 1.4, а, б, в. На этих схемах статическая сила ( Pст = mg ) равна весу падающего груза, а динамический коэффициент k д имеет смысл коэффициента перегрузки. Рис. 1.3. Схема удара при свободном падении груза: а – удар продольный; б – поперечный; в – скручивающий Рис. 1.4. Расчетные схемы приближенной теории удара: а – удар продольный; б – поперечный; в – скручивающий Таким образом, приближенная теория удара сводит динамический расчет бруса на удар к статическому расчету, когда все силовые (внутренние усилия (Вн.ус.) и напряжения) и деформационные параметры в брусе в k д раз больше наблюдаемых параметров при медленном безынерционном приложении веса груза Pст = mg : (Вн.ус.)д = kд (Вн.ус.)ст ; (1.1) σд = kд σст ; (1.2) ∆ д = kд ∆ ст . (1.3) 7 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 1.4. Вывод формулы динамического коэффициента 1.4.1. Случай свободного падения груза Вывод выполним на примере схемы продольного удара (рис. 1.5). Масса m падает свободно с высоты h , при этом контактное сечение бруса переместится вместе с массой на ∆ д (рис. 1.5, а). Рис. 1.5. Продольный удар: а – схема свободного падения груза; б – схема статического воздействия; в – расчетная схема приближенной теории удара В этом случае потенциальная энергия T падающей массы может быть вычислена по формуле T = mg (h + ∆ д ) = Pст (h + ∆ д ) . Рис. 1.6. Схема к вычислению работы внешней силы Эта энергия полностью без потерь перейдет во внутреннюю энергию U бруса. Внутренняя энергия будет равна величине действительной работы A внешней силы Pд на перемещении ∆ д . При линейном изменении силы от нуля до конечного значения (рис. 1.6) величина действительной работы может быть вычислена по известной формуле U = A= 1 Pд ∆ д . 2 На основе закона сохранения и превращения энергии, T = U , 1 Pст (h + ∆ д ) = Pд ∆ д . 2 8 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Преобразуем данное уравнение, используя закон Гука, согласно которому перемещения пропорциональны силам (рис. 1.5, б, в), ∆ д = Pд ⋅ δ11 ; ∆ ст = Pст ⋅ δ11 , где δ11 – коэффициент податливости Гука, или перемещение по направлению обобщенной единичной силы от действия этой единичной силы (рис. 1.7). Тогда или 1 Pст (h + Pд δ11 ) = Pд ⋅ Pд δ11 , 2 Pд2 − 2 Pд Pст − 2 Pст Рис. 1.7. Вспомогательное обобщенное единичное состояние h = 0. δ11 Получено квадратное уравнение относительно величины динамической силы Pд , корнями которого будут 2 Pд = Pст ± Pст + 2 Pст h . δ11 Умножим числитель и знаменатель второго слагаемого под корнем на величину Pст , h (Pст ) 2 , Pд = Pст ± Pст + 2 Pст ⋅ δ11 (Pст ) и получим решение в виде: Pд = Pст ± Pст 1 + 2h . ∆ ст Тогда динамическая сила может быть выражена через ее статическое значение  2h  Pд = Pст 1± 1+  . ∆ ст   Отклонение величины динамической силы в положительную и отрицательную стороны от статического значения объясняет наблюдаемое на практике колебание упругих систем. Но поскольку в основу вывода формулы был положен закон сохранения энергии, а он не включает в себя фактор времени, то и в решении мы не получили развернутого во времени 9 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 1.8. Результат ударного воздействия: а – представление решения приближенной теории удара; б – колебание при наличии сопротивления среды выражения для динамической силы. Пример графика изменения динамической силы во времени показан на рис. 1.8, а. Аналогично изменению силы будет изменяться и динамическое перемещение. Но если учесть, что практически всегда существует сопротивление среды, то следует ожидать, что перемещения упругой системы во времени будут представлять собой затухающие колебания относительно положения ее статического равновесия. Пример такого движения показан на рис. 1.8, б. Из этого следует, что для упругой системы опасным будет только первое мгновенное максимальное значение силы, которое может вызвать разрушение,  2h  Pдmax = Pст 1 + 1 + . ∆ ст   Величина в квадратных скобках – динамический коэффициент kд = 1 + 1 + 2h . ∆ ст (1.4) Из полученной формулы следует, что наименьшее значение динамического коэффициента при свободном падении груза kдmin = 2 , это соответствует падению груза с нулевой высоты или внезапному приложению внешней силы. 1.4.2. Падение груза с начальной скоростью Схема удара при падении груза с начальной скоростью показана на рис. 1.9, а. Следует отметить, что величина и направление (вверх или вниз) начальной скорости v0 могут быть любыми, при этом важно методами теоретической механики по имеющимся кинематическим данным правильно вычислить скорость падающей массы vt в момент возникновения контакта двух тел. 10 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Тогда полная энергия U m массы m ударяющего тела в конце совместного перемещения с ударяемым упругим телом будет равна сумме кинетической энергии в m vt2 ) и потенмомент начала удара ( Kt = 2 циальной энергии ( T = mg ⋅ ∆ д = Pст ∆ д ) от перемещения массы на ∆ д (рис. 1.9, а): U m = Kt + T . Рис. 1.9. Падение груза с начальной скоростью: а – кинематическая схема удара; б – схема к вычислению действительной работы внешней силы Внутренняя энергия упругого тела, так же как и в предыдущем случае, равна действительной работе внешней динамической силы на динамическом перемещении (рис. 1.9, б) U = A= 1 Pд ∆ д . 2 На основании закона сохранения и превращения энергии 1 Kt + Pст ∆ д = Pд ∆ д . 2 В соответствии с законом Гука для линейно-упругого деформирования 1 Kt + Pст ⋅ Pд δ11 = Pд ⋅ Pд δ11 . 2 Из этого преобразования следует квадратное уравнение относительно Pд Pд2 − 2 Pд Pст − корни которого 2 Kt = 0, δ11 2 Pд = Pст ± Pст + 2 Kt . δ11 Преобразуем полученное выражение Pд = Pст ± 2 Pст 2 ) 2 Kt (Pст + ⋅ 2 , δ11 (Pст ) с учетом равенств Pст = mg и ∆ ст = mg ⋅ δ11 получим решение в виде 11 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com  2 Kt  Pд = Pст 1 ± 1 + . mg ⋅ ∆ ст   Выводы будут аналогичными предыдущему случаю: удар сопровождается колебаниями и эти колебания затухающие относительно положения статического равновесия при наличии сопротивления среды (рис. 1.10). Опасной является максимальная сила в начальный момент удара  2 Kt  Pдmax = Pст 1 + 1 + . ⋅ ∆ mg ст   Формула динамического коэффициента Рис. 1.10. Последействие удара при наличии сопротивления среды kд = 1 + 1 + С учетом подстановки Kt = быть выражен формулой 2 Kt . mg ⋅ ∆ ст (1.5) m vt2 динамический коэффициент может 2 vt2 kд = 1 + 1 + . g ⋅ ∆ ст 1.5. Порядок расчета на удар по приближенной теории 1. Для заданной схемы ударного воздействия составить расчетную схему статического нагружения силой, равной весу ударяющей массы Pст = mg . 2. Вычислить статическое перемещение сечения упругого тела под этой силой ∆ ст , используя известные методы сопротивления материалов. 3. Вычислить величину динамического коэффициента kд по формуле, соответствующей заданной схеме ударного воздействия, (1.4) или (1.5). 4. Составить расчетную схему приближенной теории удара. Эта схема по виду подобна статической схеме, но сила на ней в k д раз больше – Pд = kд ⋅ Pст . 5. Для полученной расчетной схемы выполнить требуемые расчеты на прочность или жесткость методами сопротивления материалов. 12 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 1.6. Способы снижения динамической перегрузки 1. Изменение условий падения груза – уменьшение h , v 0 , vt . 2. Включение в конструкцию податливых элементов для увеличения значения статического перемещения ∆ ст . Например, установка рессор (рис. 1.11) при- Рис. 1.11. Пример снижения диводит к тому, что статическое перемеще- намического коэффициента с поние балки под силой складывается из мощью податливости опор прогиба балки от внешней статической силы mg ⋅ δ11 и осадки упругих опор ∆ ос (пружин), ∆ ст = mg ⋅ δ 11 + ∆ ос . 3. Изменение места падения груза в схеме удара. На примере, показанном на рис. 1.12, а, б, изменяется место падения массы m , а все остальные параметры схемы удара остаются одинаковыми. Тогда статическое перемещение контактного сечения в схеме рис. 1.12, б будет больше, чем в схеме рис. 1.12, а, ∆ ст а < ∆ ст б . Следовательно, динамический коэффициент для схемы рис. 1.12, б будет меньше, kд а > kд б . Однако статическое напряжение в опасном сечении схемы рис. 1.12, б будет больше, max σmax ст а < σст б . Рис. 1.12. Пример изменения места падения груза: а – на среднее сечение бруса; б – на крайнее Поэтому данный способ требует внимательного расчета. Как правило, целью изменения места падения груза в схеме удара (или изменение способа крепления бруса, что также приводит к изменению расчетной схемы) является снижение величины произведения σд i = kд i ⋅ σст i , т. е. повышение прочности упругой системы при ударном воздействии. Таким образом, приближенная теория удара позволяет свести расчет элемента конструкции на ударное воздействие от падающего груза к статическому расчету. Динамический эффект учитывается динамическим коэффициентом. 13 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Практическое занятие 1 В соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом интернет-экзамен в сфере профессионального образования для специальностей направления подготовки 190300.65 включает дидактическую единицу «Сопротивление динамическим и периодически меняющимся во времени нагрузкам». Для успешной сдачи интернет-экзамена требуется дать правильные ответы на тестовые задания по следующим темам. 1. Прочность при ударных нагрузках. 2. Расчеты на прочность с учетом сил инерции. 3. Расчеты на прочность при напряжениях, периодически меняющихся во времени. 4. Расчеты на прочность при колебаниях. Рассмотрим вначале примерный ряд типовых тестовых заданий интернет-экзамена по первой из перечисленных выше тем дидактической единицы. А после этого – примеры типовых задач, предлагаемых в различных учебных изданиях курса сопротивления материалов. Пример 1.1 Задание Формула динамического коэффициента приближенной теории удара получена на основе … Варианты ответов 1) принципа Даламбера 2) закона сохранения энергии 3) закона сохранения количества движения 4) принципа суперпозиции Решение. Правильным будет второе утверждение. Пример 1.2 Задание Динамический коэффициент k д при ударе упругой системы свободно падающей точечной массой вычисляют по формуле … 1) 2) 3) 4) Варианты ответов a 1+ g h ∆ cm σT σmax 2h 1+ 1+ ∆ cm 14 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Решение Правильным будет четвертый вариант ответа – формула (1.4). Пример 1.3 Задание Груз массой m свободно падает с высоты h (рис. 1.13). Варианты ответов 1) увеличивается 2) уменьшается Рис. 1.13. Свободное падение груза При всех прочих равных условиях с увеличением длины троса L напряжение в материале троса … 3) остается неизменным 4) стремится к нулю Решение При увеличении длины троса L пропорционально увеличивается удлинение ∆L , увеличивается статическое перемещение сечения под грузом ∆ cm = ∆L и, следовательно, уменьшается величина динамического коэффициента, вычисляемого по формуле (1.4). Значит, уменьшается величина динамического напряжения. Правильным является второй вариант ответа. Пример 1.4 Задание При свободном падении груза наименьшее значение динамического коэффициента kд приближенной теории удара равно … Варианты ответов 1) 1,0 2) 1,5 3) 2,0 4) 3,0 Решение Поскольку наименьшее значение высоты падения груза равно нулю 2⋅0 ( h = 0 ), то согласно формуле (1.4) kд = 1 + 1 + = 2,0 при любом значе∆ cm нии ∆ cm . Следовательно, правильным будет третье утверждение. 15 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Пример 1.5 Груз массой m = 10 кг падает с высоты h = 4 см. Сравнить прочность и жесткость упругой балки для двух вариантов схем ее закрепления (рис. 1.14, а). Балка выполнена из углеродистой стали ( E = 2 ⋅1011 Па) с прямоугольным сечением 100×20 мм и длиной l = 1 м. Рис. 1.14. К расчету на прочность и жесткость элемента конструкции при поперечном ударе: а – вариант схемы удара; б – схема статического изгиба и эпюра внутренних усилий Решение На рис. 1.14, а показаны схемы статического силового воздействия, а на рис. 1.14, б – соответствующие им эпюры изгибающих моментов. В данном примере и в последующих примерах для снижения объема решения известные трудоемкие и освоенные ранее операции расчетов реакций опор и построения эпюр внутренних усилий приводить не будем, а подробно будем рассматривать лишь новые элементы алгоритмов расчета. Максимальное статическое напряжение в опасном сечении балки выmax числим по формуле σ max / Wx , где M xmax – наибольший изгибаюcm = M x щий момент. Осевой момент сопротивления балки для указанных разме100 ⋅ 202 ров сечения Wx = = 6,67 ⋅ 103 мм3 = 6,67 ⋅10 −6 м3. 6 −6 Для консольной схемы балки σ max = 15 ⋅ 106 Н/м2. cm = 100 / 6 ,67 ⋅ 10 −6 Для двухопорной схемы σ max = 3,75 ⋅ 106 Н/м2. cm = 25 / 6 ,67 ⋅ 10 Статическая прочность двухопорной балки в 4 раза больше. 16 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Прогиб сечения балки под грузом при статическом его приложении вычислим по известным формулам сопротивления материалов, при этом 100 ⋅ 203 момент инерции ее сечения I x = = 6 ,67 ⋅103 мм3 = 6 ,67 ⋅ 10 −8 м4. 12 Для консольной схемы балки ∆ cm Pcm l 3 100 ⋅13 = = = 2,5 ⋅10−3 м. −8 11 3EI x 3 ⋅ 2 ⋅10 ⋅ 6,67 ⋅10 Для двухопорной схемы ∆ cm Pcm l 3 100 ⋅13 = = = 0,156 ⋅10 −3 м. −8 11 48EI x 48 ⋅ 2 ⋅10 ⋅ 6,67 ⋅10 Вычисленные значения прогибов являются максимальными прогибами для рассматриваемых схем. Статическая жесткость двухопорной балки в 16 раз больше. Динамический коэффициент, вычисленный по формуле (1.4), 2 ⋅ 4 ⋅10 − 2 для консольной схемы балки k д = 1 + 1 + = 6,74 ; 2 ,5 ⋅10 −3 2 ⋅ 4 ⋅10 − 2 для двухопорной схемы kд = 1 + 1 + = 23,7 . 0,156 ⋅10 −3 Максимальное динамическое напряжение в соответствии с формулой (1.2): для консольной схемы балки σдmax = 6,74 ⋅15 = 101 МПа; для двухопорной схемы σmax = 23,7 ⋅ 3,75 = 88,9 МПа. д Прочность двухопорной балки при динамическом ударном воздействии в 101/88,9 = 1,14 раза больше. Прогибы сечений при падении груза вычислим по формуле (1.3): для консольной схемы балки ∆ д = 6 ,74 ⋅ 2 ,5 = 16,9 мм; для двухопорной схемы ∆ д = 23,7 ⋅ 0 ,156 = 3,70 мм. Динамическая жесткость двухопорной балки в 16,9/3,70 = 4,57 раза больше. Таким образом, при статическом и динамическом внешнем воздействии прочность и жесткость упругих систем отличаются существенно. 17 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Пример 1.6 Груз массой m = 50 кг опускается со скоростью v = 2 м/с с помощью стального троса, намотанного на шкив А (рис. 1.15, а). Шкив насажен на вал ВС. Когда длина троса достигает lTP = 30 м, происходит внезапный останов вращения вала в сечении В тормозным устройством Т. Рис. 1.15. К расчету на прочность элементов конструкции при внезапном торможении: а – принципиальная схема конструкции; б – эпюры внутренних усилий Основные характеристики элементов конструкции следующие. • Диаметр вала d BC = 60 мм; модуль упругости GBC = 0 ,8 ⋅1011 Па. • Диаметр шкива d A = 0 ,7 м; момент инерции массы шкива I A = 1,0 кгм2. • Диаметр троса d TP = 6 мм; модуль упругости ETP = 1,7 ⋅1011 Па. Пренебрегая массой вала и троса, определить растягивающее напряжение в тросе и наибольшее касательное напряжение в сечении вала. Решение В момент внезапного останова детали конструкции испытывают динамическое ударное воздействие, динамический коэффициент для которого можно вычислить по формуле (1.5). При этом кинетическая энергия поступательного движения массы груза и вращательного движения массы шкива переходит в энергию деформации системы. Кинетическую энергию вычислим по формуле Kt = mv 2 I Aω2A + , 2 2 где угловая скорость шкива, выраженная через линейную скорость движения троса, ω A = 2v / d A = 2 ⋅ 2 / 0 ,7 = 5,71 с-1, 18 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Kt = 50 ⋅ 2 2 1 ⋅ 5,712 + = 116,3 Нм. 2 2 Перемещение сечения троса в том месте, где крепится груз, будет связано с деформацией растяжения троса и деформацией кручения вала. Эпюры внутренних усилий и схема перемещений показаны на рис. 1.15, б. d Тогда ∆ cm = ∆lTP + ∆ϕ A A . В этом выражении: изменение длины троса 2 2 2 π dTP π (6 ⋅10−3 ) N z lTP = = 28,3 ⋅10−6 м2; ; площадь сечения троса ATP = ∆lTP = 4 4 ETP ATP угол поворота шкива в соответствии с условием совместности перемещеM l ний равен углу закручивания вала, ∆ϕ A = ∆ϕ BC = z BC , при этом полярGBC I P 4 π d BC π (60 ⋅10 −3 ) ный момент инерции вала I P = = = 1,296 ⋅10 −6 м4. 32 32 Тогда в численном виде статическое перемещение под грузом 4 ∆ cm = 500 ⋅ 30 175 ⋅1,2 0,7 + ⋅ = ( 3,12 + 0,709 ) ⋅10 −3 м, 11 −6 11 −6 1,7 ⋅10 ⋅ 28,3 ⋅10 0,8 ⋅10 ⋅1,296 ⋅10 2 ∆ cm = 3,83 ⋅ 10−3 м. Величина динамического коэффициента по формуле (1.5) kд = 1 + 1 + 2 ⋅116,3 = 12,17 ≈ 12,2 . 50 ⋅ 9,81⋅ 3,83 ⋅10 −3 Величина динамического напряжения в деталях конструкции в соответствии с формулой (1.2) • для троса N 500 σTP = kд z = 12,2 = 216 ⋅ 106 Па; −6 ATP 28,3 ⋅ 10 • для вала M z d BC 175 60 ⋅ 10−3 max τ BC = kд ⋅ = 12,2 ⋅ = 49,4 ⋅ 106 Па. −6 IP 2 1,296 ⋅ 10 2 Следует обратить внимание на то, что во всех случаях, когда в решении используются законы динамики – закон Ньютона, принцип Даламбера или закон сохранения энергии, – вычисления следует выполнять в международной системе единиц СИ. 19 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какое внешнее воздействие называют ударным? 2. Какой закон положен в основу приближенной теории удара? 3. Какой смысл имеет динамический коэффициент? 4. Как вычисляют динамическое напряжение и перемещение при ударном нагружении бруса? 5. По какой формуле вычисляют динамический коэффициент при свободном падении груза? 6. По какой формуле вычисляют динамический коэффициент в случае падения груза с любой начальной скоростью? 7. Чему равен динамический коэффициент при внезапном приложении силы? 8. Какие способы снижения динамического коэффициента существуют? Рекомендуемая литература [3–6]. Лекция 2 РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ. УЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИЙ План лекции: 2.1. Принцип Даламбера как основа расчета. 2.2. Прямолинейное равноускоренное движение. Расчет троса подъемного устройства. 2.3. Равномерное вращательное движение. 2.1. Принцип Даламбера как основа расчета Рассмотрим принцип расчета элементов конструкций, которые в процессе эксплуатации находятся в состоянии движения. На рис. 2.1 показаны примеры: а – равноускоренного прямолинейного движения точечной массы m с линейным ускорением a , постоянным во времени; б – равномерного вращательного движения (с угловой скоростью ω = const ) точечной массы m по окружности радиусом R . В первом случае, согласно закону Ньютона, движение вызвано неуравновешенной силой ma . Во втором случае – неуравновешенной центростремительной силой mω2 R . 20 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 2.1. Схемы движения: а – прямолинейное равноускоренное; б – вращательное с постоянной угловой скоростью Поскольку все формулы сопротивления материалов справедливы для равновесного состояния твердого тела, то необходимо составить расчетную схему, удовлетворяющую этому основному требованию. Для этой цели используют известный из теоретической механики принцип Даламбера, согласно которому твердое тело находится в равновесии (состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения) под действием внешних сил и сил инерции. Сила инерции, согласно принципу Даламбера, численно равна Fин = ma при линейном поступательном равноускоренном движении и Fин = mω2 R при вращении с постоянной угловой скоростью. Сила инерции всегда направлена в противоположную сторону от силы, вызывающей движение. Таким образом, принцип Даламбера непосредственно связан со вторым законом Ньютона. Расчетные схемы условного неподвижного состояния точечной массы, соответствующие примерам рис. 2.1, показаны на рис. 2.2. Следует отметить, что применение принципа Даламбера позволяет, если можно так выразиться, остановить движение лишь на бумаге. Последующий расчет, выполненный по полученной на основе принципа Даламбера расчетной схеме, позволит, используя методы и формулы сопротивления материалов, вычислить напряжения и деформации в ре- Рис. 2.2. Схемы усально движущемся объекте. ловно равновесного состояния: а – отсутПоскольку особенность расчета движущейся детали связана лишь с правильным применением ствие прямолинейнопринципа Даламбера, рассмотрим этот вопрос на го движения; б – отсутствие вращательряде наиболее распространенных примеров движе- ного движения ния объектов в виде бруса. 21 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2.2. Прямолинейное равноускоренное движение. Расчет троса подъемного устройства На рис. 2.3, а показана принципиальная схема работы троса грузоподъемного устройства: груз массой m поднимается равноускоренно ( a = const ) вертикально вверх. Рассмотрим, какие усилия будет испытывать трос. Рис. 2.3. К расчету троса грузоподъемного устройства: а – кинематическая схема; б – расчетная схема условно неподвижного состояния; в – эпюра внутренних усилий Ясно, что трос будет находиться под воздействием силы тяжести mg от сосредоточенной на его конце массы груза m и распределенной по его длине силы тяжести q = ρA g от собственной массы троса с плотностью ρ и площадью поперечного сечения A . Статические силы тяжести всегда направлены вертикально вниз. В соответствии с принципом Даламбера на расчетной схеме следует показать силы инерции: сосредоточенную силу инерции массы поднимаемого груза Fин = ma и распределенную по длине троса инерционную нагрузку от поднимаемой собственной массы троса qин = ρA a . Поскольку рассматривается режим ускоренного подъема вертикально вверх, то инерционные силы на схеме будут направлены вертикально вниз. Расчетная схема, соответствующая условно неподвижному нагруженному состоянию троса, показана на рис. 2.3, б. В произвольном сечении троса (на расстоянии z от его нижнего конца) будет возникать внутренняя продольная сила N z = m (g + a ) + ρ A ( g + a ) z . 22 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Таким образом, трос испытывает растяжение. Эпюра распределения продольных сил по длине троса показана на рис. 2.3, в. Опасное (наиболее нагруженное) сечение троса будет находиться в верхней контактной точке. Именно в этой точке вероятность его обрыва наибольшая, максимальное динамическое нормальное напряжение при этом σдmax = N z / A , или m  σ дmax = (g + a ) + ρ L  . A  Условие прочности троса примет вид (g + a )  m + ρ L  A  ≤ [σ] . (2.1) Часто данное условие преобразуют, выделяя отдельно статическую часть напряжения  a   mg  1 +   + ρ g L  ≤ [σ],   g  A при этом выражение в первой скобке по смыслу представляет собой динамический коэффициент kд =1 + a / g . И условие прочности записывают в виде  mg  kд  + ρ g L  ≤ [σ] .  A  Этот прием позволяет динамическую схему свести к статической расчетной схеме, аналогично приему расчета на ударное воздействие. Хотя при такой записи условия прочности усложняется учет реального режима движения троса (движение вниз, внезапный останов и др.) Пример. Рассмотрим один частный случай, часто встречающийся в практике погрузочных работ, – пусковой режим движения троса вертикально вверх без груза ( m = 0 ). Принципиальная кинематическая схема показана на рис. 2.4. Такое движение зачастую осуществляется с достаточно большим ускорением a . Условие прочности троса как частный случай условия (2.1) примет вид (g + a )ρ L ≤ [σ ]. 23 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (2.2) Рис. 2.4. Кинематическая схема движения троса без груза Особенностью полученного решения является то, что прочность троса при его динамическом растяжении только от собственной массы не зависит от размера поперечного сечения троса. Прочность будет зависеть от ускорения a и длины троса L . 2.3. Равномерное вращательное движение 2.3.1. Расчет кривошипа На рис. 2.5, а показана принципиальная кинематическая схема кривошипа, имеющего постоянное поперечное сечение площадью A и вращающегося с постоянной угловой скоростью ω = const . Такому движению соответствуют центростремительные ускорения материальных точек, равные ω2 l , где l – расстояние от центра вращения до положения рассматриваемой точки ( 0 ≤ l ≤ L ). Рис. 2.5. К расчету кривошипа: а – кинематическая схема; б – расчетная схема на основе принципа Даламбера и эпюра внутренних усилий План ускорений (рис. 2.5, а) – это повернутый на 90° график, отражающий линейный характер распределения центростремительных ускорений по длине бруса. Для составления расчетной схемы (рис. 2.5, б) необходимо приложить центробежные силы инерции, которые представляют собой линейно распределенную по длине бруса треугольную нагрузку: qин 0 = 0 в опорной точке; qин L = ρ Aω2 L в крайних периферийных точках кривошипа; qин l = ρ Aω2 l в точках произвольного сечения кривошипа. Таким образом, расчетная схема кривошипа представляет собой схему условно неподвиж24 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ного бруса, испытывающего растяжение треугольной распределенной внешней нагрузкой. Реакция опоры может быть найдена из условия равновесия внешних сил 1 R − ρ Aω2 L2 = 0 . 2 Кривошип испытывает деформацию растяжения. Продольная сила в произвольном сечении на расстоянии l от опорной точки 1 N z = R − ρ Aω2 l 2 . 2 Эпюра продольных сил N z показана на рис. 2.5, б. В данном случае опасным сечением будет сечение в шарнирной опоре. Условие прочности с учетом справедливости формулы сопротивления материалов для нормального напряжения при растяжении σдmax = N z max / A , 1 ρ ω 2 L2 ≤ [σ ] . 2 (2.3) Следует обратить внимание на то, что и в этом случае, когда учитываются только инерционные распределенные силы от собственной массы упругого тела, его прочность не зависит от площади поперечного сечения, а сильно зависит от угловой скорости ω и габаритного размера L . 2.3.2. Расчет тонкого вращающегося кольца На рис. 2.6, а показана принципиальная схема тонкого вращающегося с постоянной скоростью ( ω = const ) кольца радиусом R и площадью поперечного сечения A . Это может быть схема движения обода шкива, венца зубчатого колеса, кольца подшипника скольжения и др. Все материальные точки кольца совершают движение по окружности радиусом R , а такому движению соответствует центростремительное ускорение ω2 R , одинаковое для всех точек. Тогда расчетной схемой кольца, построенной на основе принципа Даламбера, будет схема кольца, находящегося под действием внутреннего давления, которому соответствует погонная нагрузка, равномерно распределенная по длине окружности, qин = ρ Aω2 R , где ρ A – масса единицы длины. Расчетная схема показана на рис. 2.6, б. 25 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 2.6. К расчету тонкого вращающегося кольца: а – кинематическая схема; б – схема условного неподвижного состояния; в – расчетная схема для вычисления динамического напряжения в сечении кольца В данном случае кольцо будет испытывать растяжение. Для вычисления напряжения от динамического инерционного воздействия σ д воспользуемся методом сечений сопротивления материалов – мысленно разрежем кольцо по диаметральному направлению (рис. 2.6, в). В сечениях разреза будут продольные силы N = σ д A , а само полукольцо будет находиться в состоянии равновесия. Выделим в произвольном месте, под углом ϕ к горизонтали, бесконечно малый элемент кольца с угловым размером dϕ . Тогда величина элементарной силы инерции, действующей на этот элемент, будет равна dFин = qин ds , где размер дуги элемента ds = R ⋅ dϕ . Следовательно, dFин = ρ Aω2 R 2 ⋅ dϕ . Спроецируем все силы на нормаль n − n (рис. 2.6, в) π/ 2 2σд A − 2 ∫ ρ Aω2 R 2 sin ϕ ⋅ dϕ = 0 . Поскольку π/ 2 π/ 2 ∫ sin ϕ ⋅ dϕ = − cos ϕ 0 = 1 , то динамическое растягиваю- щее напряжение в кольце: σ д = ρ ω2 R 2 . Условие прочности тонкого вращающегося кольца примет вид ρ ω2 R 2 ≤ [σ] . (2.4) (2.5) Условие (2.5) также свидетельствует о том, что прочность элемента конструкции, растягиваемого инерционными силами от его собственной распределенной массы, не зависит от площади поперечного сечения. Следует отметить, что данный расчет является приближенным, так как не учитывает наблюдаемое на практике в тонкостенных конструкциях, подчас существенное, изменение габаритного размера кольца. 26 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Пример расчета тонкого кольца с учетом его собственной деформации. Для этого рассмотрим бесконечно малый элемент кольца и уточним схему расчета, а также те уравнения, которые использовали выше. Будем считать, что при данном динамическом нагружении кольцо деформируется линейно-упруго, т. е. справедлив закон Гука, σ д = E ε . На рис. 2.7, а показан элемент без учета собственной деформации. На самом деле, под действием растягивающего напряжения радиус кольца увеличится и ста- Рис. 2.7. Расчетный элемент тонкого вранет равным R + ∆R (рис. 4.7, б). щающегося кольца: а – без учета деформаТогда центробежное ускорение, ции; б – с учетом деформации учитываемое по принципу Даламбера, станет равным a = ω2 (R + ∆ R ) . Силу инерции, действующую на ' , можно бесконечно малый элемент в деформированном состоянии dFин выразить формулой ' dFин = dm ⋅ ω2 (R + ∆ R ) . Поскольку масса твердого тела при рассматриваемых скоростях движения не меняется, то масса элемента в деформированном состоянии будет равна массе элемента в исходном состоянии dm = ρ' ⋅ dV ' = ρ ⋅ dV = ρ ⋅ AR ⋅ dϕ , где ρ' и dV ' – плотность и объем элемента в деформированном состоянии; ρ и dV – плотность и объем элемента в недеформированном состоянии. Тогда сила инерции в элементе кольца с учетом его деформации ' dFин = ρ AR ω2 (R + ∆R ) dϕ , что будет соответствовать динамическому напряжению σд = ρ ω2 R(R + ∆ R ). В полученном выражении неизвестным является ∆R , для вычисления которого нужно применить закон упругого деформирования. Для этого решим два уравнения совместно  σ д = ρ ω2 R(R + ∆R ) ,   σд = E ε . 27 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Во всех точках кольца деформация одинаковая и она может быть вычислена как относительное изменение длины окружности 2 π( R + ∆ R ) − 2 πR ∆ R . = 2πR R Тогда, используя метод подстановки, получим ε= ∆R , R R  σ д = ρ ω2 R  R + σ д  . E  Формула динамического напряжения σд = E ∆ R = σд σд = или R , E ρ ω2 R 2 , ρ ω2 R 2 1− E     1 . σ д = ρ ω2 R 2  2 2  ρ ω R 1 −   E  (2.6) Выражение перед квадратной скобкой представляет собой формулу динамического напряжения (2.4), полученную ранее без учета собственной деформации кольца. Выражение в квадратных скобках формулы (2.6) по смыслу представляет собой некоторый поправочный динамический коэффициент перегрузки kд . Согласно полученному решению выявляется ряд особенностей. 1. Динамическое напряжение будет больше вычисленного значения по приближенной формуле (2.4), и это различие будет существенно увеличиваться с ростом угловой скорости. E 2. При достижении условия ω2 = становится возможным неограρ R2 ниченное увеличение величины напряжения – явление резонанса. Это значение скорости следует считать критическим E . ρ R2 ωкр = (2.7) Таким образом, учет сравнительно малой величины деформации позволил получить качественно новое решение, позволяющее не только уточнить расчетные величины напряжений, но и выявить условие опасного в технике явления – резонанса. 28 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2.3.3. Расчет оси с неотцентрированной вращающейся массой На рис. 2.8, а показан пример принципиальной схемы оси (или вала), на которой неподвижно закреплена деталь в виде диска (колесо, шкив, шестерня), положение центра масс которой не совпадает с осью вращения, составляя эксцентриситет, равный e . Ось вращается с постоянной скоростью Рис. 2.8. К расчету вращающейся оси с неотцентрированной массой: а – кинематиω = const . С определенной степенью точ- ческая схема; б – схема условного равноности можно считать, что масса m весного состояния; в – эпюра внутренних диска вращается по окружности усилий радиусом e под действием центростремительной силы mω 2 e . Расчетная схема оси, построенная на основе принципа Даламбера, примет вид, показанный на рис. 2.8, б, где центробежная сила Fин = mω2e . (2.8) В данном случае расчетная схема – это схема прямого изгиба балки. Эпюра изгибающих моментов M x показана на рис. 2.8, в. Опасное сечение – сечение с наибольшим изгибающим моментом. Для рассматриваемого случая условие прочности в соответствии с M xmax формулами сопротивления материалов имеет вид ≤ [σ] , где Woc – Wос осевой момент сопротивления. 1 Если диск находится посередине пролета, то M xmax = mω2e L , где L – 4 длина оси. Тогда условие прочности оси, например, круглого поперечного сечения с диаметром d , примет вид m ω2 e L ≤ [σ] . 4 ⋅ 0 ,1 d 3 (2.9) Вид условия (2.9) свидетельствует, что прочность оси зависит от кинематических и конструктивных параметров – продольных и поперечных размеров. Расчет также является приближенным, так как не учитывает возможный прогиб оси, который может оказаться соизмеримым с эксцентриситетом. 29 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Пример расчета оси с учетом ее собственной деформации. На рис. 2.9, а показана расчетная схема условно неподвижной балки, построенная на основе принципа Даламбера. Под действием силы инерции балка изогнется; сечение, где приложена сила инерции, переместится как единое целое на величину прогиба ∆ = Fин δ11 . Тогда и центр масс окажется на расстоянии ( e + ∆ ) от оси вращения (рис. 2.9, б). С учетом дополнительного изменения радиуса вращения точечной массы Fин = mω2 (e + ∆ ) , Fин = mω2 (e + Fин δ11 ) , m ω2e . Fин = 1 − m ω2δ11 Рис. 2.9. К расчету вращающейся оси с учетом ее деформации: а – схема равновесного изогнутого состояния; б – положение центра масс После преобразования получим формулу, удобную для применения,   1 Fин = m ω2e  , 2 1 − m ω δ11  (2.10) где перед скобкой – полученное ранее выражение (2.8) для динамического усилия без учета влияния деформации оси, а величину в скобках можно назвать поправочным динамическим коэффициентом kд . С учетом справедливости закона Гука, ∆ = Fин δ11 , прогиб оси под силой 1   ∆ = mω2 eδ11  . 2 1 − mω δ11  (2.11) И в этом случае учет собственной деформации оси позволил получить качественно новые решения (2.10) и (2.11), которые выявляют ряд особенностей. 1. Влияние скорости на прочность и жесткость сильнее и сложнее. 1 2. При значении скорости ω = ≈ f , совпадающей с собственной mδ11 частотой колебания оси f , наблюдается явление резонанса, когда во времени неограниченно могут возрасти напряжения и перемещения. 3. При гипотетически неограниченном возрастании скорости, ω → ∞ , из преобразованных выражений (2.10) и (2.11) к соответствующему виду 30 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com e Fин = 1 − δ11 m ω2 и ∆ = e 1 −1 mω2 δ11 e следует, что в этом случае сила инерции Fин → − и перемещение δ11 ∆ → − e , т. е. будет наблюдаться явление самоцентрирования оси. Таким образом, расчет на прочность и жесткость движущихся элементов конструкций требует учета инерционных сил на основе принципа Даламбера. Результаты расчетов, подчас, зависят не только количественно, но и качественно от того, насколько полно принятая расчетная схема отражает наблюдаемые на практике явления. Практическое занятие 2 Пример 2.1 Задание В расчете на прочность с учетом сил инерции динамическая задача сводится к статической с помощью… Варианты ответов 1) закона Гука 2) принципа суперпозиции 3) закона сохранения энергии 4) принципа Даламбера Решение Правильным будет четвертый вариант утверждения. Пример 2.2 Задание Варианты ответов Принцип Далам1) система активных и реактивных сил, дейстбера можно сфор- вующих на тело, которое движется ускоренно, обрамулировать следую- зует самоуравновешенную систему сил щим образом: … 2) результат действия системы сил равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности 3) если к активным и реактивным силам, действующим на тело, которое движется ускоренно, мысленно добавить силы инерции, то полученная система сил будет самоуравновешенной 4) силы инерции, приложенные к телу, движущемуся ускоренно, образуют систему сил, которая удовлетворяет уравнениям равновесия статики 31 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Решение Правильным будет третий вариант утверждения. Пример 2.3 Варианты ответов Задание Стержень АВС (рис. 2.10), состоящий из двух взаимноперпендикулярных участков АВ и ВС, вращается с постоянной угловой скоростью ω относительно оси Z − Z , совпадающей с осью участка ВС. Если не учитывать собственный вес стержня АВС, то учаРис. 2.10. Кинематическая сток ВС стержня от действия схема равномерного врасил инерции при вращении бущения стержня дет испытывать деформацию … 1) растяжения 2) сжатия 3) изгиба 4) кручения Решение На участке АВ инерционное воздействие будет представлять собой линейно возрастающее от сечения В к сечению А продольное растягивающее усилие, аналогичное представленному на рис. 2.5, б. Поскольку результирующая инерционная сила перпендикулярна участку стержня ВС, то в сечениях стержня ВС будет возникать изгибающий момент. Следовательно, правильным будет третий вариант утверждения. Пример 2.4 Рис. 2.11. Схема подъема троса Задание Варианты ответов Трос (рис. 2.11), имеющий 1) ≤ 90,1 м плотность ρ = 8 г/см3, поднимается с ускорением a . 2) ≤ 2,51 м Если ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2, допускае3) ≤ 25,1 м мое напряжение [σ] = 10 МПа, то по условию прочности дли4) ≤ 14 м на L троса должна быть … 32 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Решение В численном виде условие прочности (2.2) для рассматриваемого троса, составленное в системе СИ: −3 (9,8 + 40) ⋅ 8 10− 6 L ≤ [10 ⋅106 ]. 10 Из условия прочности следует: L ≤ 25,1 м. Таким образом, правильным будет третий вариант ответа. Пример 2.5 Задание Варианты ответов Тонкостенный обод колеса выполнен из бронзы с плотностью ρ = 8,5 г/см3 и модулем упругости E = 1,2 ⋅ 106 МПа (рис. 2.12). Радиус R = 600 мм. При установившемся движении Рис. 2.12. Схема со скоростью n = 3000 об/мин его тонкого вращаюрадиус изменится на … щегося кольца 1) 9,05 мм 2) 0,905мм 3) 2,72мм 4) 0,113мм Решение Изменение длины окружности тонкостенного кольца под воздействием динамического напряжения σ д от инерционных сил по известной формуле для растяжения будет равно ∆L = σд ⋅ 2πR / E . При этом радиус кольца увеличится и станет R' = (2 πR + ∆L ) / 2 π = R(1 + σ д / E ), а изменение радиуса ∆R = R' − R = Rσд / E . Тогда с учетом формулы (2.4) ∆R = ρω2 R 3 / E , где ω = 2πn / 60 = 2 π ⋅ 3000 / 60 = 314 с-1. В численном виде при подстановке всех входящих величин в системе СИ 2 3 ∆R = 8,5 ⋅ 103 (314) (0,6) / (2 ⋅1011 ) = 0,905 ⋅10−3 м. Таким образом, правильным будет второй ответ. Следует обратить внимание на то, что установленное данным расчетом значение изменения радиуса вращающегося кольца действительно мало по сравнению с его габаритным размером. Но часто для решения инже33 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com нерной технологической задачи, например, для обеспечения необходимого натяга при неподвижном соединении обода колеса со ступицей, это малое изменение размера в процессе эксплуатации приходится учитывать. Пример 2.6 Задание Варианты ответов Кривошип (рис. 2.13) длиною L = 0,3 м выполнен из стали с плот1) 5100 об/мин 3 3 ностью ρ = 7 ,8 ⋅10 кг/м . Допускае2) 2550 об/мин мое напряжение [σ] = 100 МПа. Предельно допустимое значение Рис. 2.13. Кине- угловой скорости, которое обеспе3) 3620 об/мин матическая схечивает требуемую прочность крима кривошипа 4) 510 об/мин вошипа при его равномерном вращении, равно … Решение Величину предельного значения угловой скорости определим из условия прочности (2.3) кривошипа при его равномерном вращении на холостом ходу (без активной внешней нагрузки, только от действия инерционных сил). В численном виде условие прочности при подстановке всех значений входящих параметров в системе СИ: 1 7 ,8 ⋅ 103 ω2 (0 ,3)2 ≤ [100 ⋅106 ] . 2 Из условия прочности угловая скорость ω ≤ 534 с-1. Этому значению 60 соответствует скорость n ≤ 534 об/мин, или n ≤ 5100 об/мин. 2π Следовательно, правильным будет первый ответ. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Сформулируйте принцип Даламбера. 2. Что называют силой инерции? 3. Чему равна и как направлена сила инерции, если твердое тело движется поступательно с постоянной скоростью? 4. Чему равна и как направлена сила инерции, если твердое тело движется ускоренно вниз? 34 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 5. Чему равна и как направлена сила инерции, если точечная масса вращается с постоянной скоростью относительно некоторой точки? 6. Как для решения задач сопротивления материалов составляют расчетную схему детали, находящейся в состоянии движения? (Пояснить на примере расчета троса, кривошипа, вращающегося тонкого кольца). Рекомендуемая литература [3–6]. Лекция 3 ВЫНОСЛИВОСТЬ План лекции: 3.1. Усталостное разрушение. Понятие о выносливости. 3.2. Основные характеристики цикла. Предел выносливости материала. 3.3. Факторы, влияющие на выносливость детали. 3.4. Диаграмма предельных амплитуд. Коэффициент запаса выносливости. 3.5. Коэффициент запаса выносливости при сложном напряженном состоянии. 3.6. Порядок расчета на выносливость. 3.1. Усталостное разрушение. Понятие о выносливости Рассмотрим расчет на выносливость деталей, расчетная схема которых представляет собой брус, – осей, валов, рам. В процессе эксплуатации напряжения в точках поперечного сечения таких деталей могут изменяться периодически по величине и направлению. Причину изменения напряжений рассмотрим на примере вала, расчетная схема которого и соответствующие эпюры изгибающих M x и крутящих M z моментов представлены на рис. 3.1. Такой схеме может соответствовать передача на вал мощности через муфту сцепления, установленную в правом крайнем сечении, и передача с вала мощности посредством, например, ременной передачи, шкив кото- Рис. 3.1. Схема вала, находящерой установлен в сечении между подшип- гося в условиях изгиба с кручениками. Вал вращается с постоянной угло- нием 35 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com вой скоростью ω. В соответствии с эпюрами (рис. 3.1) опасное сечение вала будет в пролете под сосредоточенной силой. В опасном сечении вала, как известно из анализа напряженного состояния при изгибе с кручением, наиболее напряженная точка будет находиться на внешнем контуре. Тогда нормальное напряжение в точке K M контура (рис. 3.2, а) будет равно σ = x y , где y = r sin ϕ , а с учетом раIx венства ϕ = ω t для вращательного движения с постоянной скоростью M σ = x r sin ωt , или σ = σ max sin ω t . Ix Этому уравнению соответствует периодическое изменение напряжений по синусоидальному симметричному закону с периодом T = 2π / ω (рис. 3.2, б). Рис. 3.2. Нормальное напряжение: а – схема к вычислению напряжения в точке; б – изменение напряжения при изгибе; в – изменение напряжения при изгибе с растяжением В общем случае, когда в сечении вала имеется еще и продольная сила N z , нормальное напряжение в точке K контура поперечного сечения при повороте вала будет изменяться по формуле σ= Nz Mи + sin ωt , A Wос что соответствует графику несимметричной относительно оси времени синусоидальной зависимости (рис. 3.2, в). При этом M и – изгибающий момент относительно любой наклонной оси в сечении, Wос – осевой момент сопротивления. Что касается касательного напряжения τ в точке K контура поперечного сечения, то при повороте вала это напряжение в ней не меняется по величине, оставаясь всегда перпендикулярным радиусу в полярной систе36 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Mк r . При этом крутящий момент связан с мощностью Iр N и угловой скоростью законом вращательного движения M к = . ω Но поскольку в процессе эксплуатации машин и механизмов их мощность меняется (например, автомобиль или локомотив может перемещаться с грузом и без груза), то и крутящий момент на валу будет переменным. А при наличии реверса крутящий момент будет меняться во времени по величине и направлению. Условно это изменение также может быть представлено некоторой периодической синусоидальной зависимостью с асимметрией, зависящей от режима эксплуатации. Например, цикл для деталей маневрового локомотива будет ближе к симметричному циклу в отличие от условного расчетного цикла для деталей локомотива, используемого для продолжительных междугородних перевозок, когда большую часть периода эксплуатации мощность остается неизменной и существенно влияет на среднее значение мощности на протяжении общего времени эксплуатации. Таким образом, можно выделить две причины периодического изменения напряжений в материальной точке элемента конструкции: 1 – периодическое изменение во времени самой внешней силы; 2 – периодическое изменение положения детали относительно неизменной во времени внешней силы. Рассмотрим несколько новых терминов и понятий, которые будем использовать в дальнейшем. Цикл напряжений – совокупность всех значений напряжений за время одного периода их изменений. Усталость – разрушение материала при циклическом воздействии. Данный вид разрушения имеет две особенности: – разрушение происходит при напряжениях, существенно меньших предела прочности σ в материала; – поверхность разрушения имеет две явно выраженные зоны (рис. 3.3): гладкую зеркальную зону 1 Рис. 3.3. Вид поверхмедленного накопления повреждений и шероховатую ности усталостного зону 2 быстрого хрупкого долома. разрушения: 1 – гладВ процессе циклического нагружения повреждения кая зона медленного в материале накапливаются вначале равномерно по все- развития трещины; му объему, затем они локализуются, появляется мик- 2 – шероховатая зона быстрого долома ротрещина, которая медленно растет и распространяетме координат, τ = 37 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ся вглубь, образуя макротрещину. Трещина ослабляет сечение и является концентратором. И в некоторый момент времени происходит хрупкий долом – быстрое прорастание макротрещины через ослабленное сечение. Таким образом, усталость имеет явно выраженный временной характер. Выносливость – способность материала выдерживать периодическое воздействие нагрузки, не разрушаясь. Данное понятие аналогично понятию прочности материала при статическом силовом воздействии. По этой же аналогии силовой характеристикой выносливости является предел выносливости σ r , который в силу особенности усталостного разрушения имеет также явно выраженный временной характер. 3.2. Основные характеристики цикла. Предел выносливости материала Характеристики цикла рассмотрим на примере нормального напряжения в некоторой расчетной точке элемента конструкции. На рис. 3.4, а показан общий вид синусоидального цикла с периодом T . Величины максимального σ max и минимального σ min значений цикла определяют, как правило, по формулам сопротивления материалов. В расчете на выносливость используются следующие параметры цикла: • среднее напряжение σm = σ max + σ min ; 2 • амплитуда σ max − σ min . 2 Важной характеристикой является коэффициент асимметрии цикла σa = Рис. 3.4. Виды циклов: а – знакопеременный; б – знакопостоянный; в – пульсирующий; г – симметричный rσ = 38 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com σmin . σmax В соответствии с его величиной выделяют следующие виды циклов: – знакопеременный – rσ < 0 (рис. 3.4, а); – знакопостоянный – rσ > 0 (рис. 3.4, б); – пульсирующий (пульсационный) – rσ = 0 (рис. 3.4, в); – симметричный – rσ = − 1 (рис. 3.4, г). Из всех видов циклов наиболее опасным является цикл симметричный. При этом статическое напряжение можно представить как частный случай циклического напряжения с коэффициентом асимметрии rσ = 1 . Подобные циклы – циклы с равными коэффициентами асимметрии rσ . Предел выносливости σr – максимальное напряжение цикла, которое выдерживает материал, не разрушаясь на протяжении некоторого базового времени циклического воздействия. Предел выносливости материала σ r определяют испытанием нескольких партий образцов при циклическом воздействии подобными циклами напряжений. Для большинства видов конструкционных материалов существуют государственные стандарты, в которых утверждены требования к испытательным установкам, образцам, технологии испытаний и технологии обработки результатов испытаний. На рис. 3.5 показан пример графического определения предела выносливости σ r на основе зависимости, полученной опытным путем. Здесь σ1max , σ max 2 , σ3max – уровни максимальных напряжений подобных ( rσ = const ) циклов нагружения трех партий образцов; N1 , N 2 , N 3 – соответствующие средние значения долговечностей образцов из этих партий, выраженные в количестве цикРис. 3.5. Кривая выносливости лов до их разрушения; N б – базовое число циклов. Как правило, для черных металлов принимают Nб =107 ; для цветных металлов N б =108 ; для конструкционных пластмасс Nб =106 . В соответствии с государственными стандартами опытным путем определяют: σ −1 – предел выносливости при симметричном цикле нагружения; σ 0 – предел выносливости при пульсирующем цикле нагружения. Кривую выносливости (рис. 3.5) называют кривой Веллера по имени ученого-исследователя, впервые предложившего метод определения пре39 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com дела выносливости при симметричном цикле нагружения. Позднее были предложены аппроксимационные формулы для кривых выносливости: N = C σ− m ; N = Ae−α σ . В этих формулах C , m , A и α – константы, определяемые статистической обработкой результатов испытаний. Следует отметить, что стандартное испытание на прочность с постоянной скоростью деформирования можно рассматривать как частный случай испытания на выносливость, когда базовая долговечность материала равна одной четверти цикла N б = 1/ 4 . Тогда вполне понятной становится наблюдаемая на практике при испытаниях образцов твердых материалов корреляция между пределом выносливости и пределом прочности материала: • для углеродистых сталей: при изгибе σ−1 ≈ 0,43σв ; при кручении τ−1 ≈ 0 ,26σв ; • для чугуна и легированных сталей: при изгибе σ−1 ≈ 0,45σв ; при кручении τ−1 ≈ 0 ,36σв ; • для цветных металлов: при изгибе σ −1 = (0 ,25...0 ,5)σ в ; при кручении τ−1 ≈ 0,6σ−1 . 3.3. Факторы, влияющие на выносливость детали 3.3.1. Концентрация напряжений Для гладкого (цилиндрического или плоского) образца максимальное напряжение в опасных точках поперечного сечения можно выразить как сумму амплитудного и среднего значений (см. рис. 3.2, в), σ max = σ a + σ m . (3.1) Конструкция реальных деталей для обеспечения качественного соединения их с другими деталями машины или механизма имеет местные изменения формы сечений. При этом в местах изменения формы наблюдается концентрация напряжений, которая при циклическом воздействии, как показали исследования, влияет на амплитудное значение напряжения, снижая сопротивление усталости. Примеры таких концентраторов показаны на рис. 3.6. 40 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 3.6. Примеры концентраторов: а – ступенчатый переход с галтелью; б – кольцевая канавка; в – сквозное поперечное отверстие; г – шпоночная канавка Формула максимального расчетного напряжения цикла в детали примет вид σ max = K σ ⋅ σ a + σ m , где K σ – эффективный коэффициент концентрации напряжений. Коэффициент определяют опытным путем для разных видов концентраторов. В отличие от теоретического коэффициента концентрации α σ , вычисляемого методами теории упругости или теории пластичности, эффективный коэффициент концентрации учитывает не только геометрию концентратора, но и чувствительность материала, из которого изготовлена деталь, к концентрации напряжения. Чувствительность, как правило, связана с пределом прочности материала, особенностями его структуры, твердостью поверхностного слоя и т.д. Примеры табличных значений коэффициента K σ для некоторых видов концентраторов, показанных на рис. 3.6, приведены в табл. 3.1–3.3. Как правило, для реальных значений параметров формы концентратора и пределов прочности материала величины K σ и K τ определяют методом линейной интерполяции (или экстраполяции на 1–2 интервала) табличных дискретных значений. Таблица 3.1 Эффективные коэффициенты концентрации Kσ при изгибе вала в ступенчатом переходе с галтелью (рис. 3.6, а) [1, с. 425] σв , МПа 500 700 900 1200 При отношении ρ / d 0,01 0,02 0,03 0,05 0,10 0,01 0,02 0,03 0,05 При отношении t / ρ = 1 При отношении t / ρ = 2 1,35 1,45 1,65 1,60 1,45 1,55 1,80 1,80 1,75 1,40 1,50 1,70 1,70 1,55 1,60 1,90 1,95 1,90 1,45 1,55 1,80 1,80 1,65 1,65 2,00 2,05 2,20 1,50 1,60 1,90 1,90 1,80 1,70 2,15 2,25 2,22 41 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Окончание табл. 3.1 МПа При отношении ρ / d 0,01 0,02 0,03 0,05 0,10 0,01 0,02 0,03 0,05 При отношении t / ρ = 5 При отношении t / ρ = 3 500 700 900 1200 1,90 2,00 2,10 2,22 σв , 1,95 2,10 2,20 2,40 1,95 2,10 2,25 2,45 – – – – – – – – 2,10 2,25 2,35 2,50 2,15 2,30 2,45 2,65 – – – – – – – – Таблица 3.2 Эффективные коэффициенты концентрации Kτ при кручении вала в ступенчатом переходе с галтелью (рис. 3.6, а) [1, с. 425] σв , МПа 700 1200 500 700 900 1200 При отношении ρ / d 0,01 0,02 0,03 0,05 0,10 0,01 0,02 0,03 0,05 При отношении t / ρ = 2 При отношении t / ρ = 1 1,30 1,35 1,45 1,45 1,40 1,40 1,60 1,60 1,60 1,30 1,40 1,50 1,55 1,50 1,45 1,70 1,70 1,75 При отношении t / ρ = 5 При отношении t / ρ = 3 1,55 1,60 1,65 1,75 1,60 1,70 1,75 1,85 1,65 1,70 1,75 1,90 – – – – – – – – 2,20 2,30 2,40 2,60 2,10 2,15 2,25 2,40 – – – – – – – – Таблица 3.3 Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов со шпоночной канавкой (рис. 3.6, г) [1, с. 426] Характер нагружения, коэффициент концентрации Изгиб Kσ Кручение K τ 500 1,60 1,40 Предел прочности σ в , МПа 600 700 800 1,75 1,90 2,00 1,50 1,70 1,90 1000 2,30 2,20 Для расчета максимальных и минимальных напряжений в опасных точках сечений валов со шпоночной канавкой, если диаметры валов нормализованные, моменты сопротивления, вычисленные с точностью до трех значащих цифр, можно принять по табл. 3.4. 42 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Таблица 3.4 Моменты сопротивления сечений валов, ослабленных одним шпоночным пазом (рис. 3.6, г) [2, с. 187] Диаметр, мм 30 35 40 45 50 60 Wос , WP , 3 3 мм 2,32 3,66 5,50 7,30 10,7 18,8 мм 4,97 7,87 11,8 16,7 23,0 40,0 Диаметр, мм 70 80 90 100 110 Wос , WP , 3 3 мм 30,2 45,0 65,0 89,0 117 мм 64,0 95,0 137 187 248 Диаметр, мм 125 140 160 180 200 Wос , WP , 3 мм3 364 517 747 1100 1530 мм 173 248 379 529 736 В современных справочниках по деталям машин и конструкторамашиностроителя приведены также эмпирические зависимости для определения эффективных коэффициентов концентрации напряжений. Так, например, эффективный коэффициент концентрации напряжений в сечении вала под подшипником при установке деталей с натягом можно вычислить по формуле σ − 400 K σ = K τ = 1,2 + в , 1100 где σ в – предел прочности, МПа. 3.3.2. Масштабный фактор Предел выносливости детали определяют по государственному стандарту на образцах со строго установленными размерами поперечных сечений. Например, предел выносливости углеродистой стали при симметричном цикле напряжений при изгибе обычно определяют испытанием цилиндрических образцов круглого поперечного сечения диаметром 10 мм. В то время как реальные детали могут иметь любые габаритные размеры, отличающиеся от размеров опытных образцов. Влияние размеров на предел выносливости детали является сложным и неоднозначным: – так, снижение предела выносливости связано с тем, что с увеличением размера и объема материала увеличивается вероятность наличия структурных дефектов, которые создают концентрацию напряжений, способствуют локализации усталостных повреждений и создают условия для образования усталостной трещины; 43 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com – с увеличением габаритного размера величина наклепанного (упрочненного) поверхностного слоя в процентном отношении к габаритному размеру становится меньше, что также может снизить сопротивление усталости детали; – с другой стороны, с увеличением габаритного размера уменьшается градиент напряжений (например, при изгибе при одном и том же максимальном напряжении в точках поверхности вала), что снижает влияние концентрации напряжений в опасных точках сечения. Влияние размера детали на ее выносливость учитывают полученным опытным путем коэффициентом K d – коэффициентом влияния абсолютных размеров поперечного сечения. Пример экспериментальных значений коэффициента K d для стальных валов приведен в табл. 3.5. При этом максимальное напряжение в опасных точках детали с учетом всех факторов, влияющих на предел выносливости детали, будет иметь вид σ max = Kσ σa + σm . Kd Таблица 3.5 Значение масштабного фактора Kd в зависимости от диаметра [1, с. 424] Напряженное состояние и материал Изгиб для углеродистой стали Изгиб для высокопрочной легированной стали и кручение для всех сталей Значение K d при диаметре вала d , мм 15 20 30 40 50 70 100 200 0,95 0,92 0,88 0,85 0,81 0,76 0,70 0,61 0,87 0,83 0,77 0,73 0,70 0,65 0,59 0,52 Масштабный фактор K d в справочной литературе также может быть представлен в виде графиков или эмпирических формул. 3.3.3. Качество поверхностного слоя Для получения предела выносливости материала по государственному стандарту используются образцы, поверхность которых шлифованная, т. е. с высотой микронеровностей Rz = 0 ,5...1,5 мкм. Поверхность реальной детали может иметь другой класс шероховатости. Поверхность может быть полированной, после чистового или чернового точения, а также и 44 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com необработанной, при этом высота микронеровностей существенно отличается от высоты микронеровностей опытных образцов. Поскольку обычно усталостная трещина зарождается у поверхности детали (изгиб, кручение), то микронеровности создают существенную концентрацию напряжений на микроуровне. В расчетах эту дополнительную концентрацию напряжений учитывают коэффициентом K F – коэффициентом влияния шероховатости поверхности. Пример значений коэффициентов K F для углеродистых и низколегированных сталей с σ в = 400...1200 МПа показан в табл. 3.6. Таблица 3.6 Влияние качества поверхности в зависимости от вида механической обработки [1, с. 426] Вид механической обработки Шлифование тонкое Обтачивание чистовое Обтачивание черновое Необработанная поверхность Коэффициент влияния шероховатости поверхности K F при σ в , МПа 400 800 1200 1,00 1,00 1,00 0,952 0,909 0,800 0,833 0,800 0,667 0,741 0,667 0,455 Однако на амплитудную составляющую максимального напряжения цикла влияет не только величина и геометрия микронеровностей, но и прочность поверхностного слоя, в котором находятся эти микронеровности. Это учитывают коэффициентом KV – коэффициентом влияния поверхностного упрочнения. Значения коэффициента KV , отражающие влияние вида поверхностной термообработки поверхностного слоя, приведены в табл. 3.7. Таблица 3.7 Влияние качества поверхности на повышение предела выносливости при поверхностном упрочнении [2, с. 189] Вид упрочнения поверхности вала Закалка ТВЧ Азотирование Накатка роликом Дробеструйный наклеп Без упрочнения Коэффициент влияния поверхностного упрочнения KV при K σ = 1,0 K σ = 1,1...1,5 K σ ≥ 1,8 1,3 … 1,6 1,15 … 1,25 1,2 … 1,4 1,1 …1,3 1,0 1,6 … 1,7 1,3 … 1.9 1,5 …1,7 1,4 …1,5 1,0 2,4 …2,8 2,0 … 3,0 1,8 …2,4 1,6 …2,5 1,0 45 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com В современных расчетах на выносливость валов формулы максимальных напряжений циклов в конкретной детали с учетом влияния всех факторов представляют в виде: 1 K  1 σ max =  σ + − 1 σa + σm ;  Kd KF  KV τmax 1 K  1 = τ + − 1 τa + τm .  Kd K F  KV (3.2) Или в преобразованном виде: σ max = K σD σ a + σ m ; τmax = K τD τa + τm , (3.3) где K σD и K τD – коэффициенты снижения предела выносливости детали, отражающие совместное влияние всех трех факторов на амплитудное значение циклов нормальных и касательных напряжений в детали. 3.4. Диаграмма предельных амплитуд. Коэффициент запаса выносливости Установленные экспериментально пределы выносливости конструкционного материала σ r , полученные для нескольких значений коэффициентов асимметрии rσ , могут быть представлены в виде графика зависимости предельных амплитуд σ а от предельных средних напряжений цикла σ m , при этом в соответствии с формулой (3.1) для гладких опытных образцов σ r = σ а + σ m . Такой график называют диаграммой предельных амплитуд (рис. 3.7). Всем точкам предельной кривой (например, А и П) соответствуют циклы напряжений, для которых долговечность равна базовой, N = Nб . Координаты любой точки, расположенной на внутреннем поле диаграммы предельных амплитуд (например, точки рабочего цикла Р, расположенной на одном луче ОРП с точкой предельного цикла П на рис. 3.7), равны амплитуде и средРис. 3.7. Диаграмма нему напряжению цикла, для которого предельных амплитуд долговечность больше базовой, N > Nб . 46 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Всем точкам, расположенным за пределами диаграммы (например, точке К, расположенной на одном луче ОРПК с точкой предельного цикла П на рис. 3.7), соответствуют параметры циклов напряжений, при которых долговечность меньше базового значения, N < Nб . Особыми точками диаграммы предельных амплитуд являются точки на координатных осях – предел выносливости σ −1 при симметричном цикле ( rσ = −1) и предел прочности σ в при статическом нагружении ( rσ = + 1 ). Следует отметить, что в последнем случае статическая долговечность не будет равна базовой циклической. Может быть, правильнее следовало вместо предела прочности при однократном нагружении до разрушения σ в использовать для построения диаграммы предельных амплитуд значе0 ние длительной статической прочности σTtб . А ее устанавливать опытным путем для такой долговечности t б , которая соответствует базовому числу циклов ( t б = T ⋅ N б ; T – продолжительность цикла) при температуре T 0 , равной температуре испытаний на выносливость. Диаграмму предельных амплитуд используют для определения коэффициента запаса выносливости. Особенностью данной диаграммы является то, что все точки, расположенные на одном луче, проведенном из центра О, будут соответствовать подобным циклам, т. е. циклам с одинаковым коэффициентом асимметрии ( rσ = const ). Если точка Р диаграммы отражает рабочий цикл напряжений в детали с амплитудой K σD σ a и средним значением σ m , то тогда точка П отражает подобный предельный цикл с долговечностью, равной базовому значению. Коэффициент запаса выносливости детали в этом случае определяют по диаграмме как отношение координат данных точек или отрезков диаграммы σП σ mП ОП . nσ = max = = P σ max σ mP ОР Существуют приближенные аналитические зависимости для вычисления коэффициента запаса выносливости, полученные на основе схематизации (или упрощения) диаграммы предельных амплиРис. 3.8. Схематизированная туд. Самый простой вид схематизации диаграмма предельных амплитуд показан на рис. 3.8, когда кривая линия заменена на одну прямую линию. В более сложной схематизации кривую линию аппроксимируют несколькими (двумя, тремя) прямыми линиями. 47 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com На схематизированной диаграмме (рис. 3.8) из точки рабочего цикла Р проведем линию PL, параллельную схематизированной предельной прямой. Тогда на основе геометрического подобия получим следующее соотношение: nσ = σ −1 ОП σ −1 . = = ОР OL K σD ⋅ σ a + σ m ⋅ tgϕ Если тригонометрический параметр схематизации обозначить tgϕ = ψ σ , где по физическому смыслу вновь введенный параметр ψ σ – коэффициент влияния среднего напряжения цикла на выносливость детали, то аналитическая зависимость для приближенной оценки коэффициента запаса выносливости по нормальным напряжениям примет вид nσ = σ −1 . K σD ⋅ σ a + ψ σ σ m (3.4) Аналогично, коэффициент запаса выносливости по касательным напряжениям τ −1 nτ = . (3.5) K τD ⋅ τ a + ψ τ τ m Обычно принимают для малоуглеродистых мягких сталей ψ σ = 0,05 , ψ τ = 0 ; для среднеуглеродистых сталей ψ σ = 0,10 , ψ τ = 0,05 ; для легированных сталей ψ σ = 0,15 , ψ τ = 0,10 . 3.5. Коэффициент запаса выносливости при сложном напряженном состоянии В случае сложного напряженного состояния, когда в опасных точках детали имеются нормальные и касательные напряжения (например, при изгибе с кручением, при изгибе с кручением и растяжением), для оценки выносливости требуется воспользоваться одной из гипотез прочности. Выразим величину коэффициента запаса выносливости на основе III классической гипотезы прочности, при этом воспользуемся параметрами схематизированной диаграммы предельных амплитуд (рис. 3.8). Эквивалентное максимальное напряжение для рабочего цикла Р напряжений в детали по третьей гипотезе прочности III 2 2 σ экв P = σ max P + 4 τ max P , 48 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com где σmax P и τmax P – максимальные напряжения рабочих циклов с коэффициентами асимметрии rσ и rτ соответственно. Тогда коэффициент запаса выносливости как отношение максимальных напряжений предельного П и эквивалентного рабочего Р циклов nr = σmax П . σ2max P + 4 τ2max P ОП σ −1 = , ОР OL то выразим этот коэффициент через отношение параметров двух симметричных циклов: предельного симметричного σ −1 (рис. 3.8) и подобного ему рабочего цикла L с эквивалентным напряжением по III гипотезе 2 2 σ III экв L = σ L + 4 τ L : σ −1 σmax П = . nr = σ2max P + 4 τ2max P σ2L + 4 τ2L Поскольку из подобия треугольников следует равенство С другой стороны, компоненты напряжений рабочего цикла L детали (точка L диаграммы) в соответствии с диаграммой предельных амплитуд (рис. 3.8) и с учетом всех факторов, влияющих на выносливость детали, могут быть приближенно вычислены по формулам через компоненты напряжений рабочего цикла Р: σ L = K σD ⋅ σ a + ψ σσ m ; τ L = K τD ⋅ τa + ψ τ τm . Тогда коэффициент запаса выносливости детали для сложного напряженного состояния σ −1 . nr = 2 2 (KσD ⋅σa + ψ σσm ) + 4 (K τD ⋅ τa + ψ ττm ) Разделим числитель и знаменатель полученного выражения на величину σ− 1 , при этом второе слагаемое в знаменателе разделим на величину σ−1 = 2 τ−1 , что справедливо на основании III гипотезы прочности для чисIII того сдвига ( σ экв = 2 τ ). Тогда 1 n r= , 2 2  K σD ⋅ σa + ψ σσm   K ⋅ τ + ψ τ τm    + 4  τD a      σ 2 τ −1 −1     49 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com или n r= 1 2  1   1    +    nσ    nτ 2 . Из этого выражения следует по III гипотезе прочности зависимость общего коэффициента запаса выносливости nr от парциальных коэффициентов запаса nσ и n τ 1 1 1 . (3.6) = + n 2r n 2σ n 2τ В практических расчетах, как правило, используется формула n r= nσ nτ nσ 2 + n τ 2 , (3.7) согласно которой общий коэффициент запаса выносливости при сложном напряженном состоянии nr всегда меньше наименьшего из двух парциальных коэффициентов запаса выносливости nσ и n τ . Условие выносливости n r ≥ [n] , (3.8) где [n ] – нормативный коэффициент запаса выносливости. В обычном машиностроении для валов, например, принимают [n ] = 1, 4 ... 2 ,5 . 3.6. Порядок расчета на выносливость 1. Для расчетного сечения вычислить параметры циклов нормальных и касательных напряжений в опасных точках сечения. 2. Определить значения коэффициентов, учитывающих влияние различных факторов (концентрация напряжений, абсолютный размер, качество поверхностного слоя) на предел выносливости детали. 3. Вычислить парциальные коэффициенты запаса выносливости по формулам (3.4) и (3.5). 4. Выполнить проверку выносливости по условию (3.8). При необходимости внести изменения в конструкцию и повторить расчет по приведенному алгоритму. Таким образом, расчет на выносливость выполняют в виде проверочного расчета по коэффициенту запаса выносливости. Это один из немногих расчетов, который связан с долговечностью детали. 50 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Практическое занятие 3 Пример 3.1 Задание В расчете на прочность при усталостном разрушении за опасное (предельное) напряжение принимают… Варианты ответов 1) предел пропорциональности 2) предел текучести 3) предел прочности 4) предел выносливости Решение Правильным будет четвертый вариант утверждения. Пример 3.2 Задание Пределом выносливости называют … Варианты ответов 1) напряжение, при котором деформации растут при постоянной внешней нагрузке 2) напряжение, соответствующее максимальной нагрузке, которую может выдержать образец 3) наибольшее значение максимального напряжения цикла, при котором образец выдерживает базовое число циклов, не разрушаясь 4) максимальное напряжение, для которого справедлива линейная зависимость между напряжениями и деформациями Решение Правильным будет третий вариант утверждения. Пример 3.3 Задание В процессе эксплуатации равномерно вращающегося вала (рис. 3.9) сила F всегда постоянна по величине и направлению. График нормального напряжения в точке К (рис. 3.10) имеет вид … Варианты ответов Рис. 3.9. Схема вращения вала под нагрузкой Рис. 3.10. График напряжений 51 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Решение Правильным будет второй вариант ответа. Пример 3.4 Задание В опасном поперечном сечении детали круглого поперечного сечения диаметром d в процессе эксплуатации возникают постоянные по величине и направлению: продольная растягивающая сила N z и изгибающий момент M u . Деталь вращается с постоянной угловой скоростью ω . Нормальное напряжение в любой точке поверхности вала в опасном сечении изменяется во времени по формуле … Варианты ответов 1) σ = Mu 4N z + sin ωt 2 πd 0,1 d 3  4N z Mu   sin ωt 2) σ =  + 2 3 π d , 1 d   Mu 4N z 3) σ = ± sin ωt π d 2 0,1 d 3 4) σ = Mu 4N z ± π d 2 0,1 d 3 Решение Правильным будет первый вариант ответа. Пример 3.5 Задание Варианты ответов График зависимости предела выносливости вала от его диаметра имеет правильный вид (рис. 3.11) … Рис. 3.11. Характер влияния масштабного фактора Решение С увеличением размера диаметра образца увеличивается объем материала, тем самым повышается вероятность наличия структурных дефектов как малых, так и опасных больших. Являясь концентраторами напряже52 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ний, дефекты снижают сопротивление материала усталостному разрушению. Влияние масштабного фактора отражается в расчетах коэффициентом влияния абсолютных размеров поперечного сечения K d . С учетом вида формул максимального напряжения цикла в детали (3.2) и (3.3) связь между пределами выносливости детали и стандартных образцов материала можно представить в виде σ −1D = σ −1 ⋅ K d при отсутствии влияния других конструктивных и технологических факторов. В соответствии с числовыми значениями K d (табл. 3.5) график зависимости предела выносливости от диаметра имеет вид, показанный под третьим номером. Пример 3.6 Вал цилиндрических прямозубых передач, расчетная схема которого показана на рис. 3.12, выполнен из углеродистой стали с пределом прочности σ в = 560 Н/мм2, нагружен внешними скручивающими моментами и сосредоточенными силами в вертикальной плоскости. Размеры участков вала на схеме – в миллиметрах. Определить размер диаметра вала сплошного круглого сечения, если требуемый запас прочности по пределу текучести [kT ] = 2 , а нормативный коэффициент запаса выносливости [nr ] = 1,4...2 ,5 . Ко- Рис. 3.12. К расчету вала на выносливость эффициент асимметрии цикла ка- при изгибе с кручением: а – расчетная схема; б – эпюра крутящих моментов; в – сательных напряжений принять эпюра изгибающих моментов условно rτ = 0 . Решение 1. Статический расчет на прочность Вал в процессе эксплуатации находится в условиях изгиба с растяжением. Эпюры изгибающих и крутящих моментов, построенные методом сечений, показаны на рис. 3.12, б, в. Наиболее нагруженным является сечение под правым подшипником, это сечение примем в качестве расчетного. Условие прочности по III классической гипотезе прочности 53 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com M x2 + M z2 0,1d 3 ≤ 0 ,7σ в , [kT ] где предел текучести принят по эмпирической формуле σТ ≈ 0 ,7σ в . Из условия прочности 3,6 2 + 6 2 0 ,7 ⋅ 560 ≤ [2] 0,1d 3 требуемый размер d ≥ 70,96 мм. Принимаем нормализованное значение диаметра (табл. 3.4) d = 80 мм. 2. Динамический расчет – расчет на выносливость В качестве расчетного сечения примем то же самое сечение под правым подшипником. Как правило, поверхность детали в соединении обрабатывается тонким шлифованием и закаляется токами высокой частоты. 2.1. Вычислим характеристики циклов напряжений. Максимальное нормальное напряжение в опасном сечении вычислим по известной формуле для прямого изгиба σmax = M x / 0,1d 3 ( ( ) ) σmax = 3,6 ⋅106 / 0 ,1 ⋅ 803 = 70,3 Н/мм2 . Для значения коэффициента асимметрии при прямом изгибе rσ = −1 минимальное напряжение цикла нормальных напряжений в соответствии с формулой σ min = rσ σ max будет равно σ max = −70,3 Н/мм2 . Цикл симметричный: • амплитуда цикла σ a = 70,3 Н/мм2; • среднее напряжение σ m = 0 Н/мм2 . Максимальное касательное напряжение в опасном сечении вычислим по известной формуле для кручения τmax = M z / 0,2d 3 ( ) ( ) τmax = 6 ⋅ 106 / 0,2 ⋅ 803 = 58,6 Н/мм2 . Коэффициенту асимметрии rτ = 0 соответствует пульсирующий цикл с характеристиками: • минимальное напряжение τ min = 0 Н/мм2 ; • амплитуда цикла τ a = 29,3 Н/мм2; • среднее напряжение τ m = 29,3 Н/мм2 . 54 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2.2. Влияние конструктивных и технологических факторов. – Эффективный коэффициент концентрации напряжений для гладкого сечения вала при соединении деталей с натягом вычислим по формуле K σ = K τ = 1,2 + K σ = K τ = 1,2 + σ в − 400 ; 1100 560 − 400 = 1,23 . 1100 – Коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения для диаметра вала 80 мм вычислим, используя известную из математики формулу линейной интерполяции, по экспериментально установленным значениям для диаметров 70 и 100 мм (табл. 3.5), K d 80 = K d 70 + K d 100 − K d 70 ⋅10 . 100 − 70 Для изгиба K d 80 = 0,76 + 0,70 − 0,76 ⋅10 = 0 ,74 . 100 − 70 Для кручения K d 80 = 0,65 + 0,59 − 0,65 ⋅10 = 0,63 . 100 − 70 – Коэффициент влияния шероховатости поверхности, полученной в результате тонкого шлифования (табл. 3.6), K F = 1,0 . – Коэффициент влияния на предел выносливости поверхностного упрочнения определим по табл. 3.7 для закалки ТВЧ. Примем среднее значение из указанных в графе таблицы, соответствующее K σ = K τ = 1,1...1,5 KV = 1,65 . Тогда коэффициенты снижения предела выносливости детали, отражающие совместное влияние перечисленных конструктивных и технологических факторов, в соответствии с формулами (3.2) и (3.3): KσD = 1,23 = 1,01 ; 0 ,74 ⋅ 1,65 K τD = 1,23 = 1,18 . 0,63 ⋅ 1,65 55 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2.3. Парциальные коэффициенты запаса выносливости вычислим по формулам (3.4) и (3.5). Для углеродистой стали примем: • пределы выносливости по эмпирическим формулам σ −1 ≈ 0 ,43σ в и τ−1 ≈ 0 ,26σв ; • коэффициенты влияния средних напряжений циклов ψ σ = 0,10 и ψ τ = 0,05 . Коэффициент запаса выносливости по нормальным напряжениям nσ = 0,43 ⋅ 560 = 3,39 . 1,01⋅ 70,3 Коэффициент запаса выносливости по касательным напряжениям 0 ,23 ⋅ 560 nτ = = 3,57 . 1,18 ⋅ 29,3 + 0,05 ⋅ 29,3 Общий коэффициент запаса выносливости по классической III гипотезе прочности вычислим по формуле (3.7) n r= 3,39 ⋅ 3,57 3,39 + 3,57 2 2 = 2,46 . Полученное значение коэффициента запаса принадлежит интервалу допустимых значений [1,4 …2,5]. Следовательно, условие выносливости (3.8) выполняется, и размер сечения вала подобран рационально. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Назовите причины возникновения переменных во времени напряжений в точках поперечного сечения детали типа вала. 2. Что называют циклом напряжений? 3. Назовите характеристики цикла. 4. Чему равен коэффициент асимметрии симметричного цикла напряжений? 5. Чему равен коэффициент асимметрии, если напряжение постоянно во времени – статическое? 6. Что называют усталостью? Опишите характер усталостного разрушения. 7. Чем вызваны две характерные зоны на поверхности усталостного излома? 8. Как строят диаграмму Веллера; для чего она используется? 9. Что называют пределом выносливости материала? 56 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 10. Что понимают под базовым числом циклов? 11. Как строят диаграмму предельных амплитуд; для чего она применяется? 12. Как по диаграмме предельных амплитуд определить коэффициент запаса выносливости? 13. Как влияют размеры детали на величину предела выносливости? Как это влияние учитывают в расчете на выносливость? 14. Что понимают под концентрацией напряжений и где она возникает? 15. Как учитывают в расчетах на выносливость концентрацию напряжений? 16. Как влияет качество поверхности детали на ее долговечность? Как это влияние учитывают в расчетах на выносливость детали типа вала? 17. Какие практические меры можно предложить для повышения долговечности детали? 18. Как вычисляют коэффициент запаса выносливости при симметричном цикле напряжений? 19. Как вычисляют коэффициент запаса выносливости при асимметричном цикле напряжений? 20. Как выполняют оценку выносливости вала, работающего в условиях изгиба с кручением? Рекомендуемая литература [1–3, 7, 8]. Лекция 4 КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ. РАСЧЕТ НА ВИБРОУСТОЙЧИВОСТЬ План лекции: 4.1. Основные определения теории колебаний. Расчетная схема. 4.2. Колебания с одной степенью свободы. 4.3. Расчет упругих систем с несколькими степенями свободы. 4.4. Понятие о статическом нагружении. 4.1. Основные определения теории колебаний. Расчетная схема Упругие системы при расчете на колебания принято различать по числу степеней свободы и характеру внешнего силового воздействия. 1. Степень свободы – число независимых координат (перемещений), определяющих положение системы. Как правило, число степеней свободы 57 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com определяется расчетной схемой, т. е. той степенью приближения, с которой автор расчета считает необходимым рассматривать объект. На рис. 4.1 показаны примеры систем. Рис. 4.1. Примеры систем с разным числом степеней свободы: а – с одной; б – с двумя; в – с тремя При этом на схемах рис. 4.1, а и б степень свободы совпадает с количеством сосредоточенных масс, а на схеме рамы в – с тремя независимыми перемещениями одной сосредоточенной массы, которая условно может отражать эффект собственной массы рамы. Схему рамы можно было бы представить с другим приближением – как совокупность некоторого (в пределе бесконечного) количества точечных масс, распределенных по длине оси рамы. 2. По характеру внешнего воздействия колебания разделяют на свободные и вынужденные. Свободные колебания – движение, которое совершает система, освобожденная от внешнего активного силового воздействия и предоставленная самой себе. На рис. 4.2 показана расчетная схема свободных колебаний упругой системы с одной степенью свободы. Рис. 4.2. Свободные колебания системы: а – расчетная схема системы с одной степенью свободы; б – наблюдаемый на практике характер движения при наличии сопротивления среды 58 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com На схеме 4.2, а сплошной прямой линией показана ось упругой системы в недеформированном состоянии. Показана также условно подводимая опорная площадка, которая обеспечивает недеформированное состояние оси. Если внезапно убрать опорную площадку, упругая система придет в движение, и это движение будет периодическим и затухающим (рис. 4.2, б) относительно положения статического равновесия. Равновесное состояние изогнутой оси от воздействия силы тяжести точечной массы показано на рис. 4.2, а штриховой линией. Таким образом, расчетная схема свободных колебаний упругой системы представляет собой ось элемента конструкции, закрепленную на опорных элементах, совокупность сосредоточенных и распределенных масс (в зависимости от степени принятого приближения) и совокупность координат, полностью определяющих положение масс системы. Вынужденные колебания – движения под действием внешних сил, которые называют возмущающими. На рис. 4.3 показана расчетная схема вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы. Если внезапно убрать подведенную опорную площадку, то причиной движения будет не только сосредоточенная точечная масса (точнее, Рис. 4.3. Схема вынужсвязанные с нею силы тяжести, инерции и др.), но денных колебаний системы с одной степенью и внешняя сила F (t ) . свободы Внешняя возмущающая сила может быть любой: – постоянной в течение всего рассматриваемого периода времени: F (t ) = const , 0 ≤ t ≤ ∞ ; – внезапно приложенной в момент времени τ : где h(t ) – функция Хэвисайда: F = h(t ) ⋅ F0 , h(t ) = 0 , если t < τ ; h(t ) = 1 , если t ≥ τ ; – циклически изменяющейся по гармоническому закону: F (t ) = F0 sin ωt ; 59 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com – произвольно изменяющейся во времени – ударной, импульсной, в виде взрывного воздействия и др. F (t ) = var . Таким образом, в отличие от схемы свободных колебаний расчетная схема вынужденных колебаний дополнительно включает в себя нагрузку, отражающую внешнее воздействие во времени. 4.2. Колебания с одной степенью свободы 4.2.1. Свободные колебания Рассмотрим расчет упругих систем с одной степенью свободы. Пример системы, которая может находиться в состоянии свободных колебаний, показан на рис. 4.4. Этой схеме на практике может соответствовать, например, вал с установленным на нем шкивом или зубчатым колесом, – элемент кинематической схемы см. на рис. 4.4, а. Если не учитывать влияние собственной массы вала, то расчетную схему колебаний можно представить как схему с одной сосредоточенной массой m1 , равной массе установленной на валу детали (рис. 4.4, б). Тогда положение упругой системы (изогнутой оси вала) в пространстве и во времени с достаточной степенью точности определяется величиной координаты ∆1 – перемещением сосредоточенной массы. И согласно закону Ньютона, движение возможно тогда, когда имеется неуравновешенная сила. Воспользовавшись принципом Даламбера, Рис. 4.4. К расчету свобод- приложим к движущейся массе силу инерции ных колебаний: а – принци&& 1 , и получим схему усx1 , равную x1 = − m1 ∆ пиальная схема упругого элемента; б – схема свобод- ловного равновесного состояния (рис. 4.4, в). ных колебаний; в – схема Для полученной расчетной схемы перемещение условно равновесного со- сечения упругой системы под силой пропорстояния; г – схема обоб- ционально самой силе, щенного стояния единичного со- ∆1 = δ11 x1 . 60 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Здесь коэффициент упругой податливости δ11 – это перемещение по направлению обобщенной единичной силы от действия этой единичной силы; схема обобщенного состояния показана на рис. 4.4, г. После ряда преобразований ∆1 − δ11 x1 = 0 , &&1 = 0 ∆1 + δ11 m1 ∆ получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка &&1 + ∆ Если обозначить 1 ∆1 = 0 . δ11m1 (4.1) 1 = f 2 , то уравнение преобразуется к виду δ11m1 &&1 + f 2 ∆1 = 0 , ∆ для которого в высшей математике имеется общее решение ∆1 = С1 sin ft + C2 cos ft . Константы интегрирования C1 и C 2 определяют из начальных условий (например, по известному положению массы и значению ее скорости при t = 0 ). Общее решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде уравнения движения, более приемлемом для данной задачи, ∆1 = A sin( f t + ϕ ) , (4.2) где константы интегрирования: A – амплитуда колебания; ϕ – начальная фаза. Величина f – частота собственных колебаний. Примерный график такого движения показан на рис. 4.5. Величину T = 2π / f называют периодом собственных колебаний. Таким образом, расчетная схема рис. 4.4, в – это схема свободных гармонических колебаний упругой системы с постоянной амплитудой и частотой Рис. 4.5. График свободных относительно недеформированного соколебаний стояния системы. 61 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Свободные колебания с учетом собственного веса. Расчетная схема упругой системы с одной степенью свободы ( ∆1 – вертикальное перемещение точечной массы) для данного случая, построенная на основе принципа Даламбера, показана на рис. 4.6, а. По принципу независимости действия сил упругое перемещение ∆1 = δ11 x1 + δ11m1g , &&1 – сила инерции; m1 g – сила тяжести; δ11m1 g = ∆ cm . где x1 = − m1 ∆ Рис. 4.6. Свободные колебания системы с учетом собственного веса: а – расчетная схема условно равновесного состояния, построенная на основе принципа Даламбера; б – схема деформированного состояния; в – график движения После преобразований &&1 = δ11mg , ∆ &&1 + ∆1 + δ11 m1 ∆ 1 ∆1 = g , δ11m1 1 = f 2 получаем неоднородное дифференциальное δ11m1 уравнение второго порядка &&1 + f 2 ∆1 = g . ∆ (4.3) и подстановки Решение будет складываться из общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения для правой его части: g ∆1 = A sin( f t + ϕ)+ 2 , f или ∆1 = A sin( f t + ϕ )+ δ11m1g . Поскольку второе слагаемое представляет собой статическое перемещение упругой системы от силы тяжести сосредоточенной массы, 62 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ∆1 = A sin ( f t + ϕ ) + ∆ ст . (4.4) Таким образом, упругая система совершает гармонические колебания с постоянной частотой и амплитудой относительно положения статического равновесия (рис. 4.6, б, в). Свободные колебания с учетом сопротивления среды. Для этого случая расчетная схема упругой системы с одной степенью свободы ( ∆1 – координата точечной массы), построенная на основе принципа Даламбера, показана на рис. 4.7, а. В данном приближении принято, что сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения, т. е. пропорциональна первой производной от перемещения α ∆& 1 . Рис. 4.7. Свободные колебания системы с учетом сопротивления среды: а – расчетная схема условно равновесного состояния; б – график движения Тогда по принципу независимости действия сил упругое перемещение, подчиняющееся закону Гука, && 1 . ∆1 = − δ11α ∆& 1 − δ11 m1∆ Преобразуем уравнение к виду && 1 + α ∆& 1 + 1 ∆1 = 0 . ∆ m1 δ11m1 Подставим α = 2n , m1 1 = f2 , δ11m1 получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка &&1 + 2n∆& 1 + f 2 ∆1 = 0 . ∆ 63 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (4.5) Его решением будет уравнение ∆1 = Ae − n t sin( f1 t + ϕ) . (4.6) Это уравнение затухающих колебаний с частотой f1 = f 2 − n 2 , мало отличающейся от частоты свободных колебаний при отсутствии сопротивления среды. Амплитуда колебаний уменьшается во времени экспоненциально; n – параметр (декремент) затухания; f1 ≈ f = 1 / (δ11m1 ) , поскольку, как правило, n 2 << f 2 . Общий случай. Используя принцип суперпозиции, уравнение движения для свободных колебаний упругой системы с учетом собственного веса и сопротивления среды (рис. 4.8, а) можно составить на основе полученных выше решений – общего решения однородного дифференциального уравнения (4.2) и установленных частных поправок к нему, отражающих отдельно влияние собственного веса (4.4) и сопротивления среды (4.6). Рис. 4.8. Свободные колебания с учетом собственного веса и сопротивления среды: а – расчетная схема, построенная на основе принципа Даламбера; б – график движения Тогда дифференциальное уравнение движения будет иметь вид &&1 + 2n∆& 1 + f 2 ∆1 = g , ∆ а его решение ∆1 = Ae − n t sin( f1 t + ϕ) + ∆ ст . (4.7) (4.8) В общем случае свободные колебания упругой системы будут представлять собой затухающие колебания относительно положения статического равновесия системы с частотой, близкой к собственной, f1 ≈ f = 1 / (δ11m1 ) (рис. 4.8, б). 64 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Именно такой вид движения упругой системы будет наблюдаться на практике, так как гравитация и сопротивление среды, можно сказать, существуют всегда. Таким образом, зная уравнение свободных колебаний без учета веса и сопротивления среды, всегда можно представить решение и для более сложных расчетных схем. 4.2.2. Вынужденные колебания Внешняя сила – сила, постоянная во времени F(t) = F0. Пример динамической схемы колебаний упругой системы см. рис. 4.9, а. Рис. 4.9. Вынужденные колебания системы под действием силы, постоянной во времени: а – расчетная схема условно равновесного состояния; б – график движения Можно сказать, что этот случай сводится к предыдущему: движение упругой системы представляет собой затухающие колебания относительно положения статического равновесия, при этом статическое перемещение складывается из перемещения от собственного веса mg и перемещения от внешней постоянной силы F0 : ∆ ст = δ11mg + δ11 F0 . Внешняя сила – сила, периодически изменяющаяся во времени, F(t) = F0 sin ω t. Основанная на принципе Даламбера расчетная схема вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы ( ∆1 – вертикальная координата точечной массы) показана на рис. 4.10, а. Уравнение упругих перемещений от возмущающей силы, силы инерции и силы сопротивления среды по принципу суперпозиции && 1 − α ∆& 1 ) . ∆1 = δ11 (Ft − m1∆ 65 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 4.10. Вынужденные колебания под действием гармонически изменяющейся силы: а – схема условно равновесного состояния, построенная на основе принципа Даламбера; б – график движения, построенный на основе суммирования свободных колебаний (1) и колебаний с частотой вынуждающей силы (2) В соответствии с ранее принятыми подстановками &&1 + 2n∆& 1 + f 2 ∆1 = F0 sin ωt . ∆ m (4.9) Решение данного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет складываться из двух решений: – полученного ранее общего решения однородного уравнения ∆1 = Ae − n t sin( f1 t + ϕ) ; – частного решения для правой части ∆1 = Aвын sin(ω t + ψ ) , где амплитуда вынужденных колебаний Aвын и константа ψ находятся из начальных условий для F (t ) ∆1 = Ae− n t sin( f1 t + ϕ)+ Aвын sin(ωt + ψ ) ; Aвын = cos ψ = F0δ11 2 ;  ω  4n ω 1 − 2  +  f  f4  2 (f 2 2 f 2 − ω2 2 ) − ω + 4n ω 2 2 66 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2 . (4.10) (4.11) Если учесть, что ∆max ст = δ11 F0 – значение статического прогиба от максимального значения внешней возмущающей силы F (t ) = F0 , уравнение движения примет вид ∆max cm ∆1 = Ae− nt sin( f1t + ϕ) + sin(ωt + ψ ) . (4.12) 2 2 2 2  ω  4n ω 1 − 2  +  f  f4  Таким образом, упругая система совершает одновременно два колебательных движения (рис. 4.10, б): 1) затухающее колебание с частотой f1 , близкой к собственной, f1 ≈ f = 1 / (δ11m1 ) ; 2) вынужденное колебание с частотой возмущающей силы ω и амплитудой, зависящей от ряда параметров ( f , ω, n ), Aвын = ∆max ст ⋅ β , где β – коэффициент, показывающий во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного максимальным значением возмущающей силы. β – динамический коэффициент, или коэффициент нарастания амплитуды вынужденных колебаний, 1 β= . (4.13) 2 2 2 2  ω  4n ω 1 − 2  +  f  f4  Если n = 0 , то затухания нет. Но, как правило, сопротивление среды имеется, поэтому первый вид движения из перечисленных выше движений упругой системы не является опасным. Опасность может представлять второе движение. График коэффициента нарастания амплитуды вынужденных колебаний β в зависимости от соотношения частот двух движений ω / f , построен по уравнению (4.13) (рис. 4.11). Практически, в атмосферных условиях, отношение приближенное значение динамического коэффициента 1 β≈ . ω2 1− 2 f 67 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 4n 2 → 0 . Тогда f2 (4.14) Рис. 4.11. График зависимости коэффициента нарастания амплитуды вынужденных колебаний от соотношения частот Из выражения (4.14) следует, что если частота вынужденных колебаний приближается к частоте свободных колебаний, ω2 → 1, то коэффициент нарастания коf2 лебаний стремится к бесконечности, β → ∞ . Наблюдается резонанс – явление, опасное в машиностроении. Соответствующую частоту возмущающей силы называют критической ( ωкр = f ). Нетрудно заметить (рис. 4.11), что с повышением частоты вынужденных колебаний за пределом критического значения динамический коэффициент резко снижается, стремясь к нулю. Это означает, что в пределе упругая система перестает воспринимать влияние внешнего силового воздействия. Однако достижимость такого состояния весьма проблематична. 4.2.3. Оценка устойчивости от вибраций Оценка устойчивости любой упругой системы от вибраций заключается в установлении опасности резонанса и возможности динамической перегрузки. Для системы с одной степенью свободы вычисляют частоту свободных колебаний f , а затем сравнивают полученное значение с возможной частотой вынужденных колебаний. Например, если рассчитывают вал машины или механизма, который может вращаться с несколькими угловыми скоростями ( ω j , j = 1...n ), то оценивают все n соотношений частот ω j / f . • Абсолютно недопустимо совпадение частот свободных и вынужденных колебаний, т. е. условие резонанса. Для устранения равенства существуют различные способы. Можно изменить частоту внешнего силового воздействия ω j . Например, изменив кинематическую схему механизма, изменить скорость вращения оси или вала. Можно запретить эксплуатировать деталь при той скорости, которая равна критическому значению. Кроме того, можно изменить геометрические параметры самого упругого 68 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com элемента, тем самым изменить величину δ11 и, следовательно, f , но при этом результаты выполненного ранее статического расчета на прочность и жесткость могут оказаться измененными. • Условие динамической перегрузки имеет вид (рис. 4.11) 0,5 ≤ ωj f ≤ 1,5 . Если это условие выполняется, то вычисляют значение динамического коэффициента β для величины той возможной частоты вынужденных колебаний, которая наиболее близка к частоте свободных колебаний. Как правило, оценку выполняют по приближенной формуле (4.14) без учета сопротивления среды. После этого следует заново проверить условия прочности и жесткости, которые ранее были использованы в статических расчетах на прочность и жесткость упругой системы, увеличив расчетные значения напряжений и перемещений на установленную величину динамического коэффициента: β σ max ≤ [σ] ; β ∆ max ≤ [∆ ] . 4.3. Расчет упругих систем с несколькими степенями свободы Пример кинематической схемы распределительного вала показан на рис. 4.12, а. Мощность на вал передается от колеса 1 цилиндрической зубчатой передачи. Мощность делится и передается на другие валы механизма посредством цилиндрических зубчатых передач с шестернями 2 и 3. При установившемся режиме вал вращается с некоторой угловой скоростью ω, т. е. нормальные напряжения (а значит, и деформации) в материальных точках вала будут изменяться во времени по симметричному циклу с той же самой частотой ω – это и будет частота вынужденных колебаний вала. Если пренебречь распределенной по длине собственной массой вала, а массы деталей передач считать сосредоточенными в точках, то динамическая схема для расчета собственных колебаний будет представлять собой упругую систему с тремя степенями свободы (рис. 4.12, б). Три перемещения ∆1 , ∆ 2 и ∆ 3 будут полностью определять положение упругой системы в пространстве и во времени. 69 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Расчетная схема, построенная по принципу Даламбера и соответствующая условно неподвижному во времени состоянию упругой системы, показана на && i , где i = 1, 2, 3 – рис. 4.12, в: xi = − mi ∆ силы инерции. Перемещения сечений в соответствии с принципом суперпозиции  ∆1 = δ11 x1 + δ12 x2 + δ13 x3 ,   ∆ 2 = δ 21 x1 + δ 22 x 2 + δ 23 x3 ,  ∆ =δ x +δ x +δ x . 31` 1 32 2 33 3  3 Рис. 4.12. К расчету собственных частот упругой системы с тремя степенями свободы: а – элемент кинематической схемы вала; б – расчетная схема свободных колебаний: в – расчетная схема условно равновесного состояния Нетрудно заметить, что полученная система уравнений имеет внешнее сходство с известной системой канонических уравнений метода сил. С учетом формул сил инерции она преобразуется в систему дифференциальных уравнений && 1 + ∆1 ) + δ12 m2 ∆ && 2 + δ13 m3 ∆ && 3 = 0,  (δ11m1∆  && 1 + (δ 22 m2 ∆ && 2 + ∆ 2 ) + δ 23 m3 ∆ 3 = 0,  δ 21m1∆  δ m∆ && && &&  31` 1 1 + δ 32 m2 ∆ 2 + (δ 33 m3 ∆ 3 + ∆ 3 ) = 0. Для случая, когда все массы колеблются с одной частотой (такие частоты называют собственными), решение для любого перемещения ∆ i удобно представить в виде: ∆1 = A1 sin( f t + ϕ ) ; ∆ 2 = A2 sin ( f t + ϕ ) ; ∆ 3 = A 3sin ( f t + ϕ ) . При этом вторая производная, вычисленная по любому (i-му) перемещению, примет вид && i = − A i f 2 sin( f t + ϕ) . ∆ 70 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com После подстановки данных выражений и сокращения на постоянный множитель sin( f t + ϕ ) получим систему однородных уравнений относительно амплитуд A1 , A2 и A3 собственных колебаний точечных масс ( )  A1 δ11m1 f 2 − 1 + A2 δ12 m2 f 2 + A3 δ13 m3 f 2 = 0,  2 + A2 δ 22 m2 f 2 − 1 + A3 δ 23 m3 f 2 = 0,  A1 δ 21m1 f  2 + A2 δ 32 m2 f 2 + A3 δ 33m3 f 2 − 1 = 0.  A1 δ 31` m1 f ( ) ( ) Система имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю, (δ 11m1 f 2 ) −1 δ12m1 f 2 δ31m1 f 2 δ12m2 f 2 δ 22m2 f 2 − 1 δ32m2 f 2 ( ) δ13m3 f 2 δ23m3 f 2 = 0. δ33m3 f 2 − 1 ( ) Поскольку f ≠ 0 , разделив все компоненты на f 2 , получим более удобный для расчетов вид определителя δ11m1 − 1 f2 δ12m2 δ12m1 δ22 m2 − δ31m1 δ32 m2 δ13m3 1 f2 δ23m3 δ33m3 − = 0. (4.15) 1 f2 Таким образом, для системы с тремя степенями свободы получено кубическое уравнение относительно 1 / f 2 , решением которого будут три значения частот собственных колебаний f1 , f 2 и f 3 . Нетрудно заметить, что полученный определитель для упругой системы с сосредоточенными массами имеет каноническую форму – некоторую симметрию относительно главной диагонали. Эта каноничность определителя объясняет особенности решений соответствующих ему степенных уравнений: 1) для системы с n степенями свободы размер определителя будет n × n; 2) количество собственных частот (корней степенного уравнения) равно числу степеней свободы; 3) все корни уравнения всегда действительные и положительно определенные. 71 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Принцип оценки устойчивости упругой системы от вибраций заключается в следующем. На основе ряда допущений выбирают расчетную схему собственных колебаний. Вычисляют коэффициенты податливости системы δ ik (как правило, известным методом Мора) и составляют уравнение в форме развернутого определителя (4.15). Решение полученного уравнения позволяет установить все значения собственных колебаний системы f i . Работоспособность упругой системы устанавливают анализом отношений ω j / fi – отношений возможных частот вынужденных колебаний ω j к вычисленным частотам f i собственных колебаний. • Абсолютно недопустимо равенство частот для любой пары чисел, т. е. должно выполняться условие отсутствия возможности резонанса ω j / fi ≠ 1 . • Если существуют отношения частот, соответствующие опасному диапазону 0,5 ≤ ω j / f i ≤ 1,5 , то для значения отношения, наиболее близкого к единице, вычисляют величину динамического коэффициента β max , как правило, по упрощенной формуле (4.14) 1 β max ≈ ω j2 1− 2 fi и перепроверяют выполнение условий статической прочности и жесткости, использованных ранее при статических проектировочных расчетах. В лекциях были рассмотрены только поперечные колебания упругих систем с сосредоточенными массами. Продольные и крутильные колебания, а также особенности расчета упругих систем с распределенными массами можно найти в учебниках по сопротивлению материалов, например, в [3, с. 592–599, 620–634]. 4.4. Понятие о статическом нагружении 4.4.1. Колебание от воздействия импульса силы Рассматривая вопросы динамики, следует четко конкретизировать, какое силовое воздействие можно считать статическим, а какое следует отнести к динамическому. 72 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рассмотрим внешнее воздействие, которое осуществляется по любому произвольному закону во времени (рис. 4.13). График распределения внешней силы во времени можно представить совокупностью импульсов силы S ∆t →0 = F1 ⋅ ∆t . Этим будем пользоваться в дальнейших теоретических исследованиях. Следует отметить, что выбранная нами замеРис. 4.13. Импульс силы на распределения во времени имеет аналогию с как элемент распределезаменой распределения в пространстве, что по- ния силы во времени казано на рис. 4.14. Так, если внешнее воздействие представляет собой равномерно распределенное усилие на длине ∆ l (рис. 4.14, а) и при этом ∆ l << l , то такое воздействие на расчетной схеме можно представить в виде сосредоточенной силы F = q ⋅ ∆ l (рис. 4.14, б). Этим приемом часто пользуются при построении расчетных схем для выполнения статических расчетов на прочность и жесткость. Важно только, чтобы замена распределенного воздействия на сосредоточенную силу не оказала Рис. 4.14. К пояснению заметного влияния на величину расчетного значе- аналогии: а – балка, нания внутреннего усилия. На примере рис. 4.14, в груженная распределенизгибающий момент от сосредоточенной силы ной нагрузкой по небольпоказан сплошной линией, а от распределенного шой контактной длине; б – условно эквивалентное усилия – штриховой. состояние; в – эпюра изРассмотрим схему вынужденных колебаний гибающих моментов как упругой системы с одной степенью свободы критерий эквивалентности (рис. 4.15, а). Внешнее воздействие – импульс силы S τ = F ⋅ dt , передаваемый в момент времени τ ; график воздействия показан на рис. 4.15, б. Величина вертикального перемещения ∆ полностью определяет положение системы в пространстве, а уравнение его изменения во времени является уравнением движения системы. Тогда на основе известного из теоретической механики закона сохранения импульсов и с учетом полученного ранее дифференциального уравнения собственных колебаний (4.1) получим систему дифференциальных уравнений  m ∆& = S , (4.16)  &&  ∆ + f 2 ∆ = 0. 73 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com для которой f 2 = 1 , и решение можно представить в виде mδ11 ∆ = C1 sin ft + C 2 cos ft . Рис. 4.15. Колебание от импульсного воздействия: а – расчетная схема колебаний; б – схема приложения импульса; в – график движения Для определения величин констант интегрирования C1 и C 2 воспользуемся следующими начальными условиями: 1) если t = τ , то перемещение пока еще отсутствует, ∆ = 0 ; m∆& = Sτ . 2) если t = τ , то импульс силы уже имеется, После подстановки решения в начальные условия получим систему двух уравнений с двумя неизвестными в виде констант интегрирования  C1 sin fτ + C2 cos fτ = 0,   m (C1 cos fτ − C2 sin fτ) = S τ . Откуда следует: C1 = ∆= Sτ cos fτ ; mf C2 = − Sτ sin fτ ; mf Sτ S cos fτ ⋅ sin ft − τ sin fτ ⋅ cos ft . mf mf Окончательно уравнение движения примет вид ∆= Sτ sin f (t − τ ) , mf t ≥τ . (4.17) Упругое тело в ответ на кратковременное импульсное внешнее силовое воздействие с момента времени приложения импульса t = τ совершает гармонические колебания с частотой, равной собственной частоте, относительно положения своего равновесия (рис. 4.15, в). 74 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 4.4.2. Перемещение под воздействием произвольно меняющейся силы Рассмотрим перемещение этой же упругой системы под действием внешней силы, непрерывно изменяющейся во времени. На рис. 4.16 представлен график изменения силы во времени F (τ) , который может быть представлен совокупностью импульсов S τ = Fτ dτ , где τ – время прило- Рис. 4.16. Схема к расчету велижения импульса, Fτ – значение силы в чины перемещения в некоторый момент времени τ . Символом t на графи- фиксированный момент времени от произвольно изменяющейся ке обозначен момент времени, для которо- силы го вычисляется величина перемещения ∆ t . Величина перемещения ∆ t в любой фиксированный момент времени t от изменяющейся во времени внешней нагрузки может быть вычислена как сумма перемещений ∆t ; S в этот момент времени t от всех одиночных τ импульсов силы S τ , на которые можно разложить распределение F (τ ) на интервале от нуля до фиксированного момента времени t : ∆t = t ∑∆t ; S . τ=0 τ Тогда с учетом ранее полученного решения для воздействия одиночного импульса на упругую систему (4.17) величина искомого перемещения от воздействия произвольно меняющейся силы может быть вычислена по формуле 1 t (4.18) ∆t = ∫ F (τ) sin f (t − τ) dτ . mf 0 4.4.3. Перемещение под воздействием линейно изменяющейся силы Для решения вопроса о критерии статического воздействия рассмотрим частный случай линейно возрастающей нагрузки F (t ) = β t . На рис. 4.17, а показана схема вынужденных колебаний упругой системы с одной степенью свободы. Внешнее воздействие – сила, изменяющаяся линейно, показана на рис. 4.17, б. Именно такой характер нагружения следует обеспечивать при статических стандартных испытаниях образцов на растяжение. 75 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Воспользуемся предыдущим решением, где сила в некоторый момент времени τ равна Fτ = β τ , а импульс силы в этот момент времени S τ = β τ ⋅ dτ . Тогда перемещение в некоторый момент времени t от совокупности импульсов в соответствии с решением (4.18) может быть вычислено по формуле 1 t ∆t = ∫ βτ sin f (t − τ) dτ . (4.19) mf 0 В алгебраической форме получим формулу перемещения, которая одновременно будет являться уравнением перемещения, β [ ft − sin ft ] . (4.20) mf 3 Первое слагаемое в этом уравнении предРис. 4.17. Вынужденные ко- ставляет собой известную формулу статичелебания упругой системы: а – ского перемещения от некоторого мгновенрасчетная схема; б – график изменения во времени вели- ного значения силы, равного Ft = βt , чины внешней вынуждающей βt 1 = β t = β tδ11 = ∆ ст . силы; в – график движения mf 2 mf 2 Окончательно уравнение движения упругой системы можно представить в виде  sin ft  . (4.21) ∆ = ∆ ст 1 − ft   Таким образом, упругая система под действием линейно изменяющейся внешней силы совершает колебания относительно состояния статического равновесия с частотой, равной собственной частоте. Поскольку в обычных условиях всегда существует сопротивление среды, то колебания упругой системы будут затухающими. Примерный график такого движения показан на рис. 4.17, в. ∆t = 4.4.4. Движение при статическом нагружении Статическое приложение силы от нуля до некоторого конечного значения F∗ (то, что до сих пор определяли как медленное плавное и безынерционное нагружение, рис. 4.18, а) можно представить совокупностью приложений двух линейно изменяющихся сил во времени (рис. 4.18, б). 76 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Сила первого нагружения F1 (t ) = β t определена на всем интервале времени t ≥ 0 ; сила второго нагружения F2 (t ) = − β (t − t ∗ ) определена на интервале времени t ≥ t∗ . Тогда перемещение в момент времени t на интервале t ≥ t∗ можно вычислить как сумму перемещений от сил первого (1) и второго (2) нагружений ∆ t = ∆ t ( 1 ) + ∆ t ( 2 ) = [ ∆( t ) − ∆ ( t −t ) ] . ∗ Используя ранее полученную алгебраическую форму решения (4.20), для суммарного воздействия двух сил получим: ∆t = β {( f t − sin ft ) − mf3 − [ f (t − t∗ ) − sin f (t − t∗ )]}, или ∆t = Рис. 4.18. Изменение внешней силы: а – вид статического нагружения; б – его представление совокупностью двух сил, линейно изменяющихся во времени β [ f t∗ + sin f (t − t∗ ) − sin ft ] . mf3 (4.22) Введем тригонометрическое преобразование разности синусов: ft    ft  sin f (t − t∗ ) − sin f t = 2 cos  f t − ∗  sin  − ∗  . 2    2  Тогда с учетом предельных значений переменного сомножителя ft   − 1 ≤ cos  f t − ∗  ≤ 1 2   можно оценить максимальное значение вычисляемого по формуле (4.22) перемещения: β  f t∗  ∆ max = f t + 2 sin  , ∗ 2  m f3 или ∆ max ft   sin ∗   βt 2  = ∗2 1 + . f t∗  mf   2   77 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com βt∗ = δ11F∗ = ∆ cm – статическое перемещение от постоянmf 2 ной во времени силы F∗ (рис. 4.18, а), то полученное выражение для максимального перемещения от двух линейно изменяющихся сил может быть представлено в виде: ft   sin ∗   2  ∆ max = ∆ ст 1 + . (4.23) f t∗    2   Поскольку Рассматриваемое нагружение можно считать статическим, если будет выполняться соотношение ∆ max ≈ ∆ ст . В численном виде различие не может превышать 5 %, что обычно предусматривается в нормативном коэффициенте запаса. Поэтому в перемещениях это условие можно выразить в виде ∆ max ≤1,05 ∆ ст , или в соответствии с формулой (4.23) ft   sin ∗   2  1 + ≤ 1,05 . f t∗    2   f t∗ ≤ 1 , то для самого неблагоприятного значе2 ния тригонометрического параметра условие статического воздействия примет вид: 1 ≤ 0,05 ; или t∗ ≥ 40 / f . f t∗ / 2 Поскольку − 1 ≤ sin Таким образом, если частота собственных колебаний f = 2π / T, то продолжительность статического изменения силы от нуля до ее конечного значения F* должна быть t* ≥ 6 T, не менее шести периодов собственных колебаний упругой системы. В противном случае, t* < 6 T, т. е. при более быстром изменении силы во времени F(t), будет наблюдаться динамическая перегрузка. 78 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Практическое занятие 4 Пример 4.1 Задание В теории колебаний при выводе уравнения движения упругой системы с одной степенью свободы перемещений используют … Варианты ответов 1) закон сохранения энергии 2) закон сохранения импульса 3) принцип возможных перемещений 4) принцип Даламбера Решение Правильным будет четвертый вариант утверждения. Пример 4.2 Задание f – частота свободных колебаний упругой системы (рис. 4.19). Приближенное значение динамического коэффициента определяют по формуле … Рис. 4.19. Схема вынужденных колебаний Варианты ответов 1) β = F0 / (mg ) 1 2) β = 1 − ω2 / f 2 3) β = ω / f 4) β = ± 1 1 − ω2 / f 2 Решение Правильным будет второй вариант утверждения. Пример 4.3 Задание σ cm – статическое напряжение в опасном сечении балки от веса двигателя (рис. 4.20); s σ cm – статическое напряжение в опасном сечении балки от не- Рис. 4.20. Вынужденные уравновешенной мас- колебания от неуравновешенной массы ротора сы ротора двигателя. двигателя Условие динамической прочности имеет вид … 79 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Варианты ответов s ≤ [σ] 1) σ cm + σ cm s )max ≤ [σ] 2) ( σcm + σcm s 3) β ( σ cm + σ cm )max ≤ [σ] s 4) ( σ cm + β σ cm )max ≤ [σ] Решение Динамический коэффициент β – коэффициент нарастания амплитуды вынужденных колебаний. Возмущающей силой будет сила инерции от несбалансированной массы ротора. Следовательно, правильным будет четвертый вариант ответа. Пример 4.4 На выходном конце вала электродвигателя 1 (рис. 4.21, а) длиной l = 60 мм и диаметром d = 10 мм установлен шкив ременной передачи 2 массой m1 = 8 кг. Угловая скорость вращения вала n = 3000 об/мин. Проверить возможность резонанса. При отсутствии опасности резонанса оценить динамическую перегрузку. Решение 1. Расчетную схему свободных поперечных колебаний примем в виде схемы упругой системы с одной степенью свободы (рис. 4.21, б). 2. Частоту свободных колебаний вычислим из определителя (4.15), представленного для системы с одной степенью свободы в виде δ11m1 − Рис. 4.21. К оценке виброустойчивости вала: а – кинематическая схема; б – схема свободных поперечных колебаний; в – вспомогательное обобщенное единичное состояние с эпюрой внутренних усилий 1 = 0, f2 M 1M 1 dz EI l можно определить методом численного интегрирования, например, по известному в сопротивлении материалов правилу Верещагина. Для этих целей построим обобщенное единичное состояние и соответствующую ему эпюру изгибающих моментов M 1 (рис. 4.21, в). где обобщенное перемещение δ11 = ∫ Для модуля упругости стали E = 2 ⋅ 1011 Па и осевого момента инерции сечения вала I = 0,05 d 4 численное значение обобщенного перемещения в системе СИ (1 / 2)0,06 ⋅ 0,06 ⋅ 0,04 = 7 ,34 ⋅10− 7 м/Н. δ11 = 2 ⋅1011 ⋅ 0 ,05 (0,01)4 80 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Соответствующая ему частота свободных колебаний ( ) f = 1 / 7 ,34 ⋅ 10−7 ⋅ 8 = 413 1/с. 3. Анализ динамического состояния системы. Для частоты вынужденных колебаний ω = π n / 30 = π ⋅ 3000 / 30 = 314 1/с ω 314 отношение = = 0,760 . Поскольку ω / f ≠ 1 , опасности развития реf 413 зонанса нет. Однако отношение частот принадлежит опасному диапазону: 0 ,5 < 0,760 < 1,5 . Динамический коэффициент по приближенной формуле (4.14) 1 β= = 2 ,37 . 1 − 0,76 2 Если такая перегрузка не предусмотрена нормами допуска, проектную конструкцию следует изменить. Пример 4.5 На стальном валу редуктора диаметром d = 80 мм установлена шестерня прямозубого цилиндрического зацепления массой m1 = 8 кг. Угловая скорость вала n = 3000 об/мин. Расчетная схема поперечных колебаний с одной степенью свободы показана на рис. 4.22, а. Выполнить динамический анализ упругой системы. Решение 1. Для определения частоты свободных колебаний по формуле (4.15) вычислим обобщенное перемещение M M δ11 = ∫ 1 1 dz , используя метод Мора EI l и правило Верещагина для численного интегрирования. Единичное вспомогательное состояние и соответствующая ему эпюра изгибающих моментов M 1 показаны на рис. 4.22, б (для сокращения времени и объема излагаемого материала выполненные вычисления по известным в сопротивлении материалов алгоритмам не приведены). Рис. 4.22. Схемы к динамическому расчету вала: а – схема свободных поперечных колебаний; б – вспомогательное обобщенное единичное состояние с эпюрой внутренних усилий 81 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Для модуля упругости стали E = 2 ⋅ 1011 Па и осевого момента инерции сечения вала I = 0,05 d 4 численное значение обобщенного перемещения в системе СИ будет равно δ11 = (1 / 2)0,12 ⋅ 0,2 ⋅ 0 ,08 + (1 / 2) 0,12 ⋅ 0,3 ⋅ 0,08 = 5,98 ⋅10−9 м/Н. 2 ⋅ 1011 ⋅ 0,05 (0,08)4 Соответствующая ему частота собственных колебаний ( ) f = 1 / 5,98 ⋅ 10 −9 ⋅ 8 = 4572 1/с. 2. Анализ динамического состояния системы. Для частоты вынужденных колебаний ω = π ⋅ 3000 / 30 = 314 1/с вычисω 314 лим отношение частот: = = 0,068 . Поскольку ω / f < 0,5 , опасноf 4572 сти развития резонанса и динамической перегрузки нет. Пример 4.6 На валу сплошного круглого поперечного сечения диаметром d = 50 мм установлены две детали передач с массами m1 = 10 и m2 = 20 кг. Расчетная схема свободных колебаний системы с двумя степенями свободы показана на рис. 4.23, а. Вал вращается со скоростью n = 3200 об/мин. Проверить возможность резонанса. При отсутствии опасности резонанса оценить динамическую перегрузку. Рис. 4.23. Схемы к расчету собственных частот системы с двумя степенями свободы: а – расчетная схема поперечных свободных колебаний; б и в – первое и второе (соответственно) вспомогательные обобщенные единичные состояния, совмещенные с эпюрами внутренних усилий Решение 1. Частоты собственных колебаний вычислим из уравнения (4.15), составленного для системы с двумя степенями свободы. Умножив левую и правую части уравнения на величину EI и введя новую переменную EI / f 2 = λ , получим уравнение в более удобном для решения виде: 82 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ( EIδ11m1 − λ ) EIδ 21m2 EI δ12 m2 ( EIδ 22m2 − λ ) = 0. Константы EJδ ij полученного уравнения вычислим по формуле Мора, используя известные способы численного интегрирования. Вспомогательные единичные обобщенные состояния и соответствующие им эпюры моментов M i показаны на рис. 4.23, б, в. Результаты выполненного численного интегрирования: EIδ11 = ∫ M 1M 1dz = 1,067 ⋅ 10−2 м3; l EIδ12 = EIδ 21 = ∫ M1M 2dz = − 0,45 ⋅ 10−2 м3; l EIδ 22 = ∫ M 2 M 2dz = 0,45 ⋅ 10−2 м3. l Тогда в численном виде разрешающее уравнение: ( 1,067 ⋅10− 2 ⋅ 10 − λ ) − 0 ,45 ⋅ 10− 2 ⋅ 20 − 0 ,45 ⋅ 10− 2 ⋅ 10 ( 0 ,45 ⋅10− 2 ⋅ 20 − λ ) = 0. А после ряда преобразований оно примет простой вид: λ2 − 0,1967 λ + 0,5553 ⋅10 −2 = 0 . Корнями данного уравнения являются два действительных и положительно определенных числа: λ1 = 0 ,1625 кг⋅м3; λ 2 = 0 ,0342 кг⋅м3. Полученные корни удовлетворяют теореме Виетта: λ1 + λ 2 = −(− 0 ,1967) ; λ1λ 2 = 0 ,5553 . Следовательно, корни вычислены правильно. Для модуля упругости стали E = 2 ⋅ 1011 Н/м2 и осевого момента инерции сечения вала I = 0,05 d 4 частоты собственных колебаний, соответствующие корням квадратного уравнения, в системе СИ будут равны: 2 ⋅ 1011 ⋅ 0,05(0,05)4 f1 = = 614 с-1; 0,1625 2 ⋅ 1011 ⋅ 0,05(0,05)4 f2 = = 1339 с-1. 0,0342 83 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2. Анализ устойчивости системы от вибраций. Частота вынужденных колебаний, соответствующая угловой скорости, ω = π ⋅ 3200 / 30 = 335 с-1. Отношения частот: ω / f1 = 335 / 614 = 0 ,546 ; ω / f 2 = 335 / 1339 = 0 ,250 . Отношения не равны единице, следовательно, опасности резонанса нет. При этом первая частота собственных колебаний принадлежит опасному диапазону частот; вторая частота является неопасной. Коэффициент нарастания амплитуды колебаний, вычисленный по приближенной формуле (4.14) для наиболее опасного отношения частот, β= 1 1 − 0,5462 = 1,42 . Таким образом, в данной упругой системе динамические напряжения и перемещения могут быть больше соответствующих статических величин на сорок два процента. Если возможность такого увеличения не предусмотрена нормами допуска, то следует внести изменения в конструкцию. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какое внешнее воздействие называют динамическим? 2. Что в теории колебаний называют числом степеней свободы? 3. Какие колебания называют свободными? 4. Что собой представляет график упругих колебаний системы с одной степенью свободы при отсутствии сопротивления среды? 5. Что собой представляет график упругих колебаний упругой системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления среды? 6. Как вычисляют частоты собственных колебаний упругих систем, имеющих несколько степеней свободы? 7. Какие колебания называют вынужденными? 8. Какое явление в теории колебаний называют резонансом? 9. В чем заключается расчет упругой системы на устойчивость от вибраций? Рекомендуемая литература [3, 5]. 84 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящем сборнике лекций изложены лишь основы расчета типовых элементов конструкций на действие динамических нагрузок различного вида. При существенном сокращении числа аудиторных занятий курса «Сопротивление материалов» по новой учебной программе подготовки специалистов данное издание может оказать помощь при самостоятельном изучении студентами изложенных в нем вопросов. Для более подробного изучения раздела динамики сопротивления материалов следует воспользоваться учебной [3–6] и справочной литературой [7, 8]. Следует отметить, что в пособии изложены некоторые сведения, не входящие в программу дисциплины «Сопротивление материалов»: расчет на ударное воздействие массой, падающей с начальной скоростью; учет собственных деформаций элементов конструкций, движущихся с ускорением; понятие о статической силе. Однако эти сведения помогают понять особенности сопротивления материалов в условиях динамического воздействия. Кроме того, они могут быть использованы в студенческих научных исследованиях или учебно-исследовательской деятельности. 85 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Решетов, Д.Н. Детали машин : учеб. для вузов / Д.Н. Решетов. – М. : Машиностроение, 1975. – 518 с. 2. Дунаев, П.Ф. Конструирование узлов и деталей машин : учеб. пособие для студ. вузов / П.Ф. Дунаев, О.П. Леликов. – М. : Издательский центр «Академия», 2009. – 496 с. 3. Сопротивление материалов / под ред. акад. Г.С. Писаренко. – Киев : Вища школа. Головное изд-во, 1986. – 775 с. 4. Александров, А.В. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – М. : Высш. шк., 2004. – 560 с. 5. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов : учеб. для студентов вузов / В.И. Феодосьев. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 588 с. 6. Ицкович, Г.М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов : учеб. пособие для вузов / Г.М. Ицкович, Л.С. Минин, А.Ю. Винокуров. – М. : Высш. шк., 2001. – 529 с. 7. Когаев, В.П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность : справочник / В.П. Когаев, Н.А. Махутов, А.П. Гусенков. – М. : Машиностроение, 1985. – 224 с. 8. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. – Киев. : Вища шк., 1988. – 736 с. 86 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................... 3 Лекция 1. РАСЧЕТ УПРУГИХ СИСТЕМ, РАБОТАЮЩИХ В УСЛОВИЯХ УДАРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ .............................................. 5 1.1. Понятие о точной теории удара ........................................................... 5 1.2. Основные допущения приближенной теории удара .......................... 6 1.3. Виды ударного воздействия ................................................................. 6 1.4. Вывод формулы динамического коэффициента ................................. 8 1.4.1. Случай свободного падения груза ............................................. 8 1.4.2. Падение груза с начальной скоростью .................................... 10 1.5. Порядок расчета на удар по приближенной теории ......................... 12 1.6. Способы снижения динамической перегрузки ................................. 13 Практическое занятие 1 ............................................................................. 14 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ....................................................................... 20 Лекция 2. РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ. УЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИЙ .................................................................................. 20 2.1. Принцип Даламбера как основа расчета ........................................... 20 2.2. Прямолинейное равноускоренное движение. Расчет троса подъемного устройства ...................................................................... 22 2.3. Равномерное вращательное движение............................................... 24 2.3.1. Расчет кривошипа ..................................................................... 24 2.3.2. Расчет тонкого вращающегося кольца .................................... 25 2.3.3. Расчет оси с неотцентрированной вращающейся массой ...... 29 Практическое занятие 2 ............................................................................. 31 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ....................................................................... 34 Лекция 3. ВЫНОСЛИВОСТЬ ....................................................................... 35 3.1. Усталостное разрушение. Понятие о выносливости ........................ 35 3.2. Основные характеристики цикла. Предел выносливости материала....................................................... 38 3.3. Факторы, влияющие на выносливость детали .................................. 40 3.3.1. Концентрация напряжений ...................................................... 40 3.3.2. Масштабный фактор ................................................................. 43 3.3.3. Качество поверхностного слоя ................................................ 44 3.4. Диаграмма предельных амплитуд. Коэффициент запаса выносливости .................................................. 46 3.5. Коэффициент запаса выносливости при сложном напряженном состоянии..................................................................... 48 87 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 3.6. Порядок расчета на выносливость ..................................................... 50 Практическое занятие 3 ............................................................................. 51 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ....................................................................... 56 Лекция 4. КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ. РАСЧЕТ НА ВИБРОУСТОЙЧИВОСТЬ ...................................................... 57 4.1. Основные определения теории колебаний. Расчетная схема ............. 57 4.2. Колебания с одной степенью свободы .............................................. 60 4.2.1. Свободные колебания............................................................... 60 4.2.2. Вынужденные колебания ......................................................... 65 4.2.3. Оценка устойчивости от вибраций .......................................... 68 4.3. Расчет упругих систем с несколькими степенями свободы ............. 69 4.4. Понятие о статическом нагружении .................................................. 72 4.4.1. Колебание от воздействия импульса силы .............................. 72 4.4.2. Перемещение под воздействием произвольно меняющейся силы ..................................................................... 75 4.4.3. Перемещение под воздействием линейно изменяющейся силы .................................................................. 75 4.4.4. Движение при статическом нагружении ................................. 76 Практическое занятие 4 ............................................................................. 79 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ....................................................................... 84 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................. 85 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................................... 86 Учебное издание Потапова Лидия Борисовна ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ Сборник лекций Редактор Н.В. Смышляева Технический редактор И.А. Нильмаер ———————————————––––———––––———————–———————————— План 2013 г. Поз. 4.1. Подписано в печать 11.02.2013 г. Формат 60×841/16. Гарнитура «Times New Roman». Уч.-изд. л. 5,5. Усл. печ. л. 5,1. Зак. 55. Тираж 70 экз. Цена 235 руб. ————————————————––––——————————————–————————— Издательство ДВГУПС 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47. 88 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com