Процесс производства. Производственная функция как модель производства

Модуль Процесс производства. Производственная функция как модель производства. Производство – важнейшая сфера деятельности фирмы, в которой создаются продукция и услуги в результате использования факторов производства. Производственные функции являются экономико-математическими моделями, отражающими зависимость между выпуском продукции, с одной стороны, затратами факторов производства и показателями технического прогресса, с другой. Производственные функции широко используются в теории фирмы в решении задач минимизации издержек, максимизации прибыли, в определении возможностей замещения факторов производства и их эффективного сочетания. Производственные функции используются в анализе типов технического прогресса, его роли в обеспечении экономического роста, в измерении производительности факторов производства и в решении многих других теоретических и прикладных задач. Основная цель изучения производственных функций состоит в углубленном изучении предмета, методологических средств и методов анализа экономических процессов, протекающих в производстве и используемых в принятии решений менеджерами. Для достижения цели решается совокупность задач: - проанализировать производственную функцию как модель процесса производства; - изучить процесс производства в краткосрочном периоде, определить предельные и средние продукты факторов производства и взаимосвязь между ними; - рассмотреть процесс максимизации прибыли в краткосрочном периоде; - проанализировать максимизацию прибыли фирмой в случае, если все факторы производства являются переменными величинами; обосновать необходимое и достаточное условие максимизации прибыли для совершенной и несовершенной конкуренции; - вывести зависимость, отражаемую в слабой аксиоме максимизации прибыли, и показать ее практическое применение; - изменить изменение спроса фирмы на труд и капитал при изменении объема выпуска и цены одного товара. В разделе используется методология неоклассического синтеза, применявшаяся в теории факторов производства Дж. Хиксом, Р. Солоу, Р. Эрроу, другими экономистами – лауреатами премии А. Нобеля по экономике, Р. Алленом, М. Брауном. В моделировании процесса производства широко используются методы эконометрики, статистики, математического анализа, дифференциальных уравнений, других дисциплин. Производственная функция как модель процесса производства Производственная функция и ее свойства Под производством в современной микроэкономике понимается деятельность по использованию факторов производства с целью создания продукта или услуги и достижения наилучшего результата. В процессе производства используются факторы производства: труд, капитал, земля и др. Можно выделить составные части каждого фактора и рассматривать их как самостоятельные факторы. Например, в факторе «труд» могут быть выделены труд менеджеров, инженеров, рабочих и т.д. В экономической теории выделяют первичные факторы производства, которые в соответствии с теорией факторов производства (ее связывают с именем французского экономиста Жана Б. Сэя) создают новую стоимость. К ним относятся труд, капитал, земля и предпринимательские способности. Вторичные факторы не создают новую стоимость. В современном производстве возрастает роль энергии и информации, им присущи признаки первичных и вторичных факторов. В многофакторных моделях управления производством, разработанными и применяемыми Американским центром производительности, и первичные и вторичные (материалы, топливо и т.д.) факторы создают новую стоимость. В моделях процесса производства, в производственных функциях, учитываются два основных фактора: труд и капитал . Это позволяет проанализировать важнейшие связи и зависимости в процессе производства без упрощения их реального содержания. Производственная функция выражает технологическую взаимосвязь между конечным выпуском и затратами факторов производства и . В неявном виде она записывается следующим образом: , где - форма функции; ‒ максимальный выпуск, который можно получить при используемой технологии и имеющемся объеме факторов производства ( и ). Фактический выпуск составляет и нередко он не является максимальным. На объем выпуска оказывают влияние неучтенные факторы ‒ совершенствование организации производства, др., вклад которых в создаваемый продукт составляет В производственной функции выпуск, затраты труда и капитала измеряются в натуральных единицах (выпуск в метрах, тоннах и т.п., затраты труда в человеко-часах, капитала – в машино-часах и т.п.). Примером производственной функции, в явном виде представляющей зависимость между выпуском и затратами факторов производства, является функция Кобба-Дугласа: , , где - эффективность технологии; - частная эластичность выпуска по труду; - частная эластичность выпуска по капиталу. Функция была выведена математиком Ч. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 г. на основе статистических данных обрабатывающей промышленности США за период 1899-1922 гг. Эта сегодня широко известная функция обладает рядом замечательных свойств. Ниже проанализируем экономический смысл ее параметров. Функция Кобба-Дугласа описывает экстенсивный тип производства. Если используются факторов производства, то производственная функция имеет вид: , где - количество используемого -го фактора производства. Производственная функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ) была построена К.Д. Эрроу, Р. Солоу, Х. Ченери и Минхансом. В функции Кобба-Дугласа эластичность замены труда капиталом всегда равна единице при любых затратах факторов производства. Рассматриваемая функция всегда имеет постоянную эластичность замены, но она не обязательно равна единице. Тем самым функция Кобба-Дугласа является частным случаем функции ПЭЗ. Постоянная эластичность означает, что изменения относительных затрат факторов и цен не влияют на эластичность замены. Уровень эластичности определяется технологией, а изменение технологии влияет на колебания эластичности при любом уровне затрат и цен. В функции ПЭЗ в явном виде отражены все четыре характеристики технологии: , где - конечный выпуск, - затраты капитала, - затраты труда, - параметр масштаба, - степень капиталоемкости технологии определяется в пределах , - степень однородности функции или технологическая отдача от масштаба, - эластичность замещения одного фактора производства другим. Свойства производственной функции состоят в следующем. 1. Производственные факторы являются взаимодополняющими. Это значит, если затраты хотя бы одного фактора равны нулю, то и выпуск равен нулю:. Исключение составляет функция . В соответствии с такой функцией можно использовать только труд или только капитал, и выпуск не будет равен нулю. 2. Свойство аддитивности означает, что можно объединить факторы производства и . Но объединение целесообразно лишь в том случае, если выпуск после объединения превышает сумму выпусков до объединения факторов производства: . 3. Свойство делимости означает, что процесс производства может осуществляться в сокращенных масштабах, если выполняется следующее условие: , где - любое положительное число. При уменьшении числа рабочих и объема капитала вдвое выпуск продукции сократится не более чем наполовину. Данное свойство не выполняется на малых предприятиях, где производственная деятельность при уменьшающихся масштабах либо невозможна, либо неэффективна. Такое свойство характерно для функции, отражающей процесс производства в отрасли или в народном хозяйстве. 4. Отдача от масштаба. Если затраты и изменяются в раз, как правило, возрастают, то выпуск изменяется в раз: . При этом, если , то имеем неизменную отдачу от масштаба; если - возрастающую отдачу от масштаба; если , то имеет место убывающая отдача от масштаба. При неизменной отдаче средние издержки фирмы не изменяются, при возрастающей – снижаются, при убывающей – возрастают. Нередко затраты труда, капитала и других факторов производства изменяются в различной степени. Тогда влияние изменения затрат на выпуск и отдачу от масштаба определяют следующим образом (см. статью: Германова О.Е., Рудая Ю.Н. Производительность труда, капитала и земли в сельском хозяйстве Краснодарского края. Региональная экономика: теория и практика. №6 (429) 2016 . Изокванта (или кривая постоянного продукта – (isoquant) представляет собой график производственной функции. Точки на изокванте отражают множество комбинаций факторов производства, использование которых обеспечивает одинаковый выпуск продукции. Изокванты характеризуют процесс производства подобно тому, как кривые безразличия процесс потребления. Они имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат. Изокванта (рис. 3.1), лежащая выше и правее другой изокванты, представляет больший объем выпускаемой продукции ( изделий, , ). Однако, в отличие от кривых безразличия, где общую полезность набора товаров точно измерить нельзя, изокванты показывают реальный объем производства. Совокупность изоквант, каждая из которых представляет максимальный выпуск продукции, получаемый при использовании факторов производства в различных сочетаниях, называется картой изоквант (isoquant map). Реальная изокванта с выпуском представлена на рис 3.1а в трехмерном пространстве. Ее проекция отмечена пунктирной линией и перенесена на рис. 3.1б. Если используются отмеченные сочетания факторов производства , но применяется более прогрессивная технология, то выпуск будет равен . Но проекция у изокванты с таким выпуском будет той же, что и у изокванты с меньшим выпуском. Экономисты располагают на плоскости изокванту с большим выпуском (рис. 3.1б) выше и правее изокванты с меньшим выпуском. На рис. 3.1 а взаимосвязь между выпуском и затратами нарушается: выпуск получен с большими затратами труда и капитала, чем . Ниже будет показано, как на расположение изокванты оказывает влияние применяемая технология и ее параметры. Эффективность технологии (параметр в функции Кобба-Дугласа) можно представить графически следующим образом (рис. 3.2). В точках и выпуск один и тот же . На рис. 3.2б изокванта представляет более эффективную технологию, так как затраты на единицу продукции здесь ниже, чем на изокванте на рис. 3.2а. Производство с одним переменным фактором В зависимости от ситуации, складывающейся на рынке, фирма то расширяет, то сокращает объем производства. В краткосрочном периоде трудно изменить объем используемых факторов производства – установить новое оборудование, расширить производственные площади и т.п. Состояние и параметры факторов производства в краткосрочном периоде определены предшествующими решениями фирмы. В долговременном периоде все факторы производства являются переменными. Проанализируем часто встречающийся на практике случай, когда в краткосрочном периоде объем используемого капитала остается постоянным, а затраты труда изменяются. Труд является переменным фактором. Производственная функция имеет вид: , где . Построим кривую общего продукта (рис. 3.3). До точки объем производства увеличивается быстрее затрат труда, потому что на каждого работника или на единицу труда приходится в сравнении с последующими периодами больший объем капитала. После этой точки темп роста общего продукта замедляется, достигает максимума в точке и затем начинает снижаться. В точке выпуск и затраты растут одинаковыми темпами. Кривая общего продукта иллюстрирует зависимость между выпуском и затратами одного переменного фактора. Проведем секущую линию через точки и (рис. 3.4). Точка имеет координаты ; в точке прирост затрат труда позволяет увеличить выпуск, ее координаты . Таким образом, , откуда . Отношение - измеряет предельную производительность труда на дуге. Предельная производительность труда представляет собой отношение прироста выпуска продукции к вызвавшему его приросту затрат труда. Предельную производительность можно измерить тангенсом угла, который образует секущая с положительно направленной осью абсцисс:. Считается, что прирост выпуска обеспечен приростом затрат труда, хотя его величина зависит от объема применяемого капитала. Если , то точка перемещается по дуге в точку , а секущая занимает положение касательной. Тогда предельная производительность труда в точке измеряется величиной ‒ первой частной производной производственной функции по переменному фактору - труду: . Предельную производительность труда в любой точке можно измерить тангенсом угла, который образует касательная к кривой общего продукта с положительно направленной осью абсцисс: . Частное изменение выпуска при изменении затрат труда составляет . Аналогично можно записать для капитала . Построим кривую предельной производительности (рис. 3.3). До точки предельная производительность труда растет потому, что по мере вовлечения в производство дополнительных работников все более полно используются производственные мощности фирмы и выпуск растет быстрее затрат труда. На отрезке каждый последующий дополнительный работник обеспечивает уменьшающийся прирост продукта, так как вооруженность труда капиталом уменьшается. В точке выпуск достигает максимального значения, приращение продукта – предельный продукт становится равным нулю: . После точки с увеличением затрат труда выпуск сокращается, дополнительные работники становятся избыточными, а предельный продукт ‒ отрицательным. Средний продукт труда, или средняя производительность труда, измеряется отношением выпуска к затратам труда. В точке она равна: . Средний продукт труда можно измерить тангенсом угла, который образует линия, соединяющая точку на кривой общего продукта с началом координат, с положительно направленной осью абсцисс. Построим кривую среднего продукта (рис. 3.3). Средний продукт труда растет до точки . На этом отрезке с вовлечением в процесс производства дополнительной единицы труда к средней добавляется предельная, превышающая предыдущее значение предельной производительности. После точки средняя производительность снижается. На этом отрезке с вовлечением в процесс производства дополнительной единицы труда к среднему продукту добавляется предельный продукт, который принимает меньшее значение чем значение предыдущего предельного продукта. В точке средняя и предельная производительность равны:. Касательная линия к точке и линия, соединяющая точку с началом координат, совпадают и имеют одинаковый наклон. Кривые и являются зеркальным отражением кривых средних общих и предельных издержек фирмы в краткосрочном периоде, что будет показано ниже. Если внедрять новую технологию, то кривая общего продукта изменяет свою форму (рис. 3.5). Максимизация прибыли с одним переменным фактором в краткосрочном периоде. Изопрофиты. В краткосрочном периоде производственная функция имеет вид кривой общего продукта , если . Функция экономической прибыли , где и ‒ цены соответственно труда и капитала. Выразим выпуск как функцию переменной величины – затрат труда. Получим уравнение изопрофитной линии , в которой всем комбинациям , и соответствует постоянный уровень прибыли . Наклон изопрофитной линии равен . Условие максимизации прибыли . По мере изменения величины прибыли имеем семейство изопрофитных линий – параллельных прямых с наклоном . Величина измеряет сумму реальной прибыли и постоянных издержек . Более высокие уровни прибыли отмечаются на выше расположенных изопрофитах, рис. 3,6. Задача максимизации прибыли сводится к нахождению самой высокой точки на кривой общего продукта и самой высокой изопрофитной линии. В этой точке наклоны названных линий будут равны. Так как наклон кривой общего продукта измеряет предельный продукт , то , что эквивалентно условию максимизации прибыли. Если повышается цена труда, то увеличивается и наклон кривой (рис. 3.7). На линии 2 с более высоким наклоном затраты труда уменьшаются, т.е. рост цены труда ведет к сокращению потребления труда фирмой. Допустим, растет цена продукта, тогда снижается наклон изопрофитной линии и выпуск растет. Это свидетельствует о прямой зависимости между предложением и ценой товара, что подтверждает действие закона предложения. Если изменяется цена капитала , то в коротком периоде его потребление не изменится. Изменение цены капитала не изменяется наклон изопрофитной линии, не изменяются затраты труда и выпуск , но изменяется прибыль фирмы. Производство с двумя переменными факторами Максимизация прибыли в условиях совершенной конкуренции Заданный объем производства можно произвести при различном сочетании затрачиваемых ресурсов. Среди них находится сочетание, обеспечивающее минимум затрат. При выполнении правила наименьших издержек каждый рубль, затрачиваемый на любой ресурс, позволяет фирме получить одинаковый предельный продукт. Чтобы прибыль фирмы была максимальной, недостаточно минимизировать издержки. Существует несколько объемов производства, при которых продукт можно производить с минимальными затратами, и только один объем выпуска, при котором прибыль максимальна. Существует строгое математическое обоснование необходимых и достаточных условий получения максимальной прибыли фирмой. В теоретическом анализе используем классические методы определения экстремума затрат и прибыли. В условиях чистой конкуренции фирма покупает факторы производства по ценам и продает продукт по цене Определим такую комбинацию затрат труда и капитала, при которой прибыль фирмы максимальна. На основе определения экономической прибыли запишем ее функцию: . (3.1) Необходимым условием максимума прибыли - функции двух переменных - является равенство нулю первых частных производных: , или (3.2) Решим систему уравнений (3.2) и определим расходуемые количества труда и капитала как функции факторных цен и цены продукта, тем самым определим, как говорят математики, критические точки. Условие (3.2) можно представить в форме . Оно означает, что для достижения максимума прибыли необходимо, чтобы предельная норма технологического замещения (левая часть равенства) была равна соотношению цен факторов производства. При выполнении такого условия фирма обеспечит минимальные издержки на выпуск. Необходимое условие максимизации прибыли позволяет определить не одно, а несколько сочетаний затрат труда и капитала, обеспечивающих минимальные издержки при различных выпусках. В этом заключается экономическое содержание необходимого условия максимизации прибыли фирмой. Выделим из всех найденных критических точек сочетание труда и капитала, которое обеспечит максимум прибыли и отвечает достаточному условию максимума прибыли. Из математического анализа известно, что надо исследовать, остается ли неизменным знак разности для всех точек, достаточно близких к каждой критической точке. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке имеем минимум, если отрицательный ‒ то максимум прибыли. Если разность не сохраняет знака, то в критической точке нет экстремума. Исследование иногда облегчается применением другого достаточного условия, суть которого состоит в следующем. Полный дифференциал функции прибыли равен нулю в критических точках, так как в этих точках выполняется необходимое условие экстремума функции прибыли (2.2). Запишем дифференциал функции прибыли второго порядка и введем обозначения: . Величины и ‒ вторые частные производные производственной функции по труду и капиталу измеряют наклоны кривых предельной производительности труда и предельной производительности капитала, имеют в любой заданной точке одинаковые знаки. Если предельная производительность труда и капитала убывает, то и ‒ отрицательные числа. Функция прибыли имеет в критической точке экстремум, если и не имеет экстремума, если . Вопрос об экстремуме остается открытым, если . Прибыль фирмы максимальна, если или отрицательна, прибыль минимальна, если или положительна. В критической точке выполняется достаточное условие максимума прибыли, и для затрат () определяем объем выпуска. Отсюда следует вывод: достаточное условие максимизации прибыли позволяет из всех возможных сочетаний затрат труда и капитала, обеспечивающих минимум затрат на производство продукции, выделить одно сочетание, позволяющее произвести такой объем продукции и при заданной рынком цене продукта получить максимум прибыли. Достаточным условием максимума функции прибыли является отрицательное значение дифференциала второго порядка при любых приращениях труда и капитала , не обращающихся в нуль одновременно. Если принимает в зависимости от знака и dK положительные и отрицательные значения, то в критической точке экстремума функции прибыли нет. Если , то вопрос об экстремуме остается открытым. Изокоста (прямая равных издержек). Правило минимизации издержек фирмы. В соответствии с производственной функцией фирма стремится произвести максимальный объем продукции. Но существуют ограничения: цены факторов производства: – цена труда, – цена капитала заданы рынком, – общие издержки фирмы. Фирма расходует все имеющиеся в ее распоряжении средства на покупку труда в количестве и капитала в количестве . Тогда бюджетное ограничение производителя имеет вид: или . Это уравнение изокосты (isocost line) (рис. 39а). Ее наклон отрицателен и равен соотношению цен факторов производства. Точки на изокосте представляют все возможные сочетания затрат факторов производства, имеющие одинаковую рыночную стоимость. При перемещении изокосты 2 в положение линии 3 цена капитала растет. На линиях 1 и 2 цены труда и капитала одинаковы. Фирма может производить продукцию в точке в объеме , или в точке в объеме . Выпуск - максимально возможный. В точке изокоста касается изокванты. В этой точке наклон изокосты равен наклону изокванты. Наклон изокванты измеряется , а наклон изокосты . Приравняв наклоны изокосты и изокванты, получим условие минимизации издержек: или . В данном случае будут минимальными средние общие издержки фирмы, так как при заданном объеме использованных ресурсов в денежной форме получен максимально возможный объем выпуска. В определении величины затрат труда и капитала, при которых для заданного объема выпуска издержки на единицу продукции будут минимальными, используется следующий простой метод решения задачи. Издержки фирмы составляют , задан объем выпуска . Выразим затраты труда как функцию выпуска и затрат капитала . Функция издержек принимает вид: . Решаем задачу на нахождение минимального значения и для заданного выпуска классическим методом математического анализа. Приравняем к нулю первую производную функцию издержек и из полученного уравнения находим величину затрат капитала . Из находим значение затрат труда . Затраты обеспечивают минимум средних валовых издержек. Проверим, выполняется ли достаточное условие минимизации . Однако этот простой метод не всегда применим. Форма производственной функции не всегда позволят выразить затраты труда через затраты капитала и заданный выпуск. В общем случае используется метод Лагранжа. Издержки производства минимизируем при ограничении . Функция Лагранжа имеет вид: , где - цена капитала, - цена труда. Выражение характеризует издержки упущенных возможностей. Необходимые условия минимизации издержек: Разделив первое уравнение на второе, получим . Это соотношение и есть условие минимизации издержек. Из выражения определим экономический смысл множителя Лагранжа в задаче минимизации издержек. Он показывает, на какую величину изменяются издержки при увеличении выпуска на единицу, т.е. характеризует величину предельных издержек в денежном выражении. Концепция выявленной минимизации издержек Если фирма минимизирует издержки для определенного объема производства, то они должны быть не выше того уровня, который при данных ценах сложился бы при использовании другого сочетания затрат факторов производства. Это правило известно как слабая аксиома минимизации издержек. При ее соблюдении должны выполняться следующие условия при постоянном выпуске: , (3.3) где и представляют экономически эффективный способ производства при ценах и , а и - при ценах и . Если неравенства (3.3) не соблюдаются, то фирма не минимизирует издержки. Запишем второе неравенство системы (3.3) в виде: . Сложим его с первым неравенством системы, перенесем все члены неравенства в левую часть, вынесем за скобки общие члены, получим:. Изменения цен и количества используемых ресурсов характеризуют величины: . Последнее неравенство можно представить в виде: . (3.4) Если при неизменном объеме выпуска и изменении цен фирма изменяет спрос на ресурсы, то, подставляя соответствующие изменения в неравенство (3.4) можно дать первичную оценку деятельности фирмы. Если неравенство нарушается, то либо до, либо после изменения цен фирма не минимизировала издержки. Максимизация прибыли в условиях несовершенной конкуренции Продукт реализуется на рынке несовершенной конкуренции. Заданы функции спроса на продукцию фирмы и предложения ресурсов. Функция спроса имеет однородную форму , где , - цена продукта, - ценовая эластичность спроса. Если , то цена продукта станет постоянной величиной и получим условия совершенной конкуренции. Обратная функция спроса , где . Валовой доход фирмы . Если , то валовой доход является постоянным, не зависящим от изменения или цены или объема выпуска . Это значит, что объем производства является заданной величиной , а, следовательно, и цена в выражении () также постоянна. Функции предложения труда , капитала также однородны, и , и - эластичности предложения факторов производства, и , соответственно, ставка заработной платы и процент на единицу капитала. Определим и как обратные функции предложения труда и капитала при названных условиях. Тогда , где . Затраты труда и капитала равны соответственно: . Запишем функцию Лагранжа для экономической прибыли: , где ‒ множитель Лагранжа. Необходимые условия максимизации прибыли: Последнее уравнение добавляется, если является переменной величиной. Из системы уравнений находим: Если , то . Если , то Определим факторные цены в условиях несовершенной конкуренции: Полученные выражения отражают характер зависимости заработной платы и ставки процента от рыночных параметров – цены товара, ценовой эластичности спроса на товар, ценовой эластичности предложения труда и капитала, а также предельной производительности труда и капитала. Решая систему уравнений, представляющую необходимое условие максимизации прибыли, находим значения , , и . Достаточное условие максимизации прибыли <0. Если оно выполняется при найденных значениях , , и , то фирма получает максимальную прибыль. Концепция выявленной максимизации прибыли, ее практическое значение Поскольку фирма максимизирует прибыль, ее величина должна быть не ниже того уровня, который сложился бы, если бы она по тем же ценам приобрела другое количество ресурсов и произвела другое количество продукции. Это правило известно как слабая аксиома минимизации прибыли. При ее выполнении должны выполняться следующие неравенства: , (3.5) , (3.6) где , и – оптимальные количества выпуска, капитала и труда при ценах , и ; , и - оптимальные количества выпуска, капитала и труда при ценах , и . Поменяем местами стороны неравенства (3.6): Прибавим полученное выражение к неравенству (3.5), получим: . Вынесем за скобки подобные члены: . Вновь вынесем за скобки подобные члены и перенесем все слагаемые в левую часть: . (3.7) Выражения в скобках неравенства (3.7) характеризуют: изменения цен на готовую продукцию , объемов выпуска , цен на капитальные ресурсы , количества капитала , цен на труд , и количества труда . Неравенство (3.7) трансформируется в неравенство (3.8): . (3.8) Слабая аксиома максимизации прибыли предполагает соблюдение неравенства (3.8). Если при прежней технологии производства фирма в ответ на изменения цен выпускаемой продукции или ресурсов изменяет выпуск и количества потребляемых ресурсов, то, подставляя значения соответствующих изменений в неравенство (3.8), можно дать первичную оценку деятельности фирмы. Если неравенство не соблюдается, значит, либо до изменения цен, либо после изменения, либо и до, и после изменения цен фирма не максимизировала прибыль. 3. Изменение спроса фирмы на труд и на капитал 3.1. Изменение спроса фирмы на труд и на капитал при изменении выпуска и цены одного фактора С ниже следующим вопросом аспирантам предлагается познакомиться. В исходном положении фирма выпускает некоторый объем продукции в соответствии с производственной функцией , ее издержки минимальны, а прибыль максимальна. Цены ресурсов и продукта заданы рынком и остаются постоянными в коротком периоде. Положение фирмы описывается необходимыми и достаточными условиями максимизации прибыли. Но в силу изменяющейся конъюнктуры рынка спрос на продукцию фирмы увеличивается (сокращается) и она расширяет (сокращает) объем выпуска. Другими словами, объем выпуска становится переменной величиной при прочих равных условиях, т.е. при постоянных ценах ресурсов, цены продукта и других параметрах. Следует отметить, что получить ответ на вопрос, как изменится спрос на труд и капитал при изменении выпуска, не используя математические методы анализа, просто невозможно. Воспользуемся уравнениями (2.4), описывающими исходное положение фирмы, которая использует два фактора производства, выпускает один продукт и получает максимум прибыли: . Продифференцируем эти уравнения по переменной , так как изменяется выпуск. Экономический смысл дифференцирования состоит в следующем. Выпуск получает приращение, изменяется на бесконечно малую величину. Приращение может быть положительным ‒ выпуск увеличивается и отрицательным ‒ выпуск уменьшается. Это вызывает изменение спроса фирмы на труд и капитал. Но спрос, например, на труд зависит не только от изменения объема производства, но и от изменения цены труда (если цена растет, то фирма уменьшает потребление этого ресурса), от изменения цены капитала. Если капитал становится относительно более дешевым фактором, труд замещают капиталом и его потребление сокращается. Спрос на труд зависит также и от изменения других параметров рынка. Вот почему изменение спроса на труд, вызванное изменением только выпуска продукции, измеряется частной производной , представляет собой частное приращение. Соответственно, изменение спроса на капитал при изменении выпуска и прочих равных условиях измеряется частной производной . Если бы требовалось определить изменение спроса на труд (капитал), вызванное всеми влияющими на него факторами, то пришлось бы найти сумму частных приращений спроса, каждое из которых вызывается изменением одного из выше названных факторов. Например, одно из частных приращений спроса на труд вызывается изменением цены труда, другое - изменением цены капитала и т.д. Возьмем первое условие и поясним процедуру дифференцирования. Выражение в левой части представляет собой сложную функцию двух аргументов - затрат труда и капитала , которые в свою очередь зависят, как было сказано, от объема выпуска, от цены труда и цены капитала и от других факторов. По условию затраты труда и капитала изменяются по причине изменения выпуска при прочих равных условиях. Последнее означает, что и K рассматриваем как функции только одной изменяющейся переменной - выпуска. Дифференцируя первое условие, характеризующее исходное положение фирмы, как сложную функцию по переменной ‒ выпуску, получаем: или в равнозначной записи (3.9) Дифференцируя второе условие (3.4), необходимо помнить, что предельная производительность труда является сложной функцией от двух аргументов и , которые в свою очередь зависят от выше названных факторов ‒ изменения объема производства, цен ресурсов и других. Предельная производительность денег также является переменной величиной. Для левой части условия записываем дифференциал произведения, в его правой части цена труда остается постоянной и ее приращение равно нулю. Поэтому . (3.10) Аналогично дифференцируем третье условие: . (3.11) Разделим уравнения (3.10) и (3.11) на . Получили систему уравнений: (3.12) Неизвестными величинами являются , определяем их по правилу Г. Крамера. Определитель системы (3.13) можно представить в виде: . Такая запись позволяет легко определить знак любого минора по сумме индексов элементов. Решение системы уравнений: , (3.14) где и ‒ алгебраические дополнения (миноры) элементов и первой строки определителя . Таким образом, если известна производственная функция фирмы, то изменение спроса на факторы производства в заданной точке изокванты (при заданных затратах труда и капитала) определяют по формулам (2.14). Аналогично определяют изменение спроса фирмы на труд и капитал при изменении, например, цены труда . Для этого продифференцируем уравнения (2.4), характеризующие исходное состояние фирмы, по переменному параметру ‒ цене труда. Остальные параметры ‒ объем выпуска, цена единицы капитала, цена продукта и другие, не изменяются, остаются постоянными. Получим систему уравнений: (3.15) Решаем систему из трех уравнений, как и в предыдущем случае, по правилу Г. Крамера. Определитель системы (3.13). Находим ‒ изменения спроса фирмы на труд и капитал, вызванные изменением цены труда: , (3.16) где и ‒ алгебраические дополнения элементов и определителя . Таким образом, выражениями (3.16) определяется изменение спроса фирмы на факторы производства, вызванные изменением цены одного из них ‒ труда. При этом выполняются исходные условия (3.4), которые экономисты называют условиями устойчивости. Полученное аналитическое решение задачи свидетельствует, что по мере увеличения цены труда его потребление уменьшается и отрицательно, а потребление капитала увеличивается и положительно. В процессе производства эти два фактора являются взаимозаменяемыми. В использованной нами производственной функции выпуск зависит от затрат труда и капитала. Полученное решение не позволяет определить изменение спроса на взаимодополняемые факторы, так как число факторов в функции должно быть более двух. Существует решение вопроса в общем случае, когда фирма производит любое число видов продукции и использует любое число видов ресурсов. Фирма может осуществлять взаимозамещение и факторов и продуктов. Тогда производственная функция аналитически представляет реально протекающий процесс, в котором многопродуктовая фирма сокращает производство одних и увеличивает производство других продуктов в соответствии с изменяющейся конъюнктурой рынка, а также осуществляет замещение факторов производства. В производственной функции затраты факторов представляют как отрицательный выпуск, в отличие от положительных значений объемов продукции. Другими словами, если товар затрачивается, его величина отрицательна, если товар выпускается - положительна. С решением задачи в общем виде для любого числа выпускаемых продуктов и используемых факторов производства можно познакомиться по работам Аллена Р. и Хикса Д.Р., названным в списке литературы. Показатели технического прогресса 1.1.Замещаемость факторов производства. Предельная норма технологического замещения Производственная функция фирмы в общем виде имеет вид: . Один и тот же объем производства можно получить, используя различные сочетания затрат факторов и др. При переходе из точки (рис.3.18) в точку затраты капитала сокращаются на , а затраты труда увеличиваются на . Замещение факторов производства фирмы осуществляют для снижения издержек производства. Отношение характеризует замещение одного фактора производства другим при сохранении объема выпуска и называется предельной нормой технологического замещения (Marginal rate of technical substation ): | . (3.19) Знак «-» приписываем, чтобы была положительной величиной, так как и имеют разные знаки. Если факторы производства бесконечно делимы а затрата изменяются на бесконечно малую величину, то | . (3.20) Предельная норма технологического замещения измеряет наклон изокванты на дуге по формуле (3.19) и в точке по формуле (3.20). Изменение затрат труда и капитала вызывает изменение выпуска на величину . Изменение общего выпуска определяется суммой частных изменений выпуска и : ; . Для бесконечно малых приращений труда и капитала приращение выпуска равно нулю, так как производитель находится на одной и той же изокванте: . Из последнего выражения получаем: . Предельная норма замещения убывает по мере движения вдоль изокванты. Поэтому изокванта выпукла относительно начала координат. Когда затраты труда растут и происходит замещение капитала трудом, труд становится менее производительным фактором, а производительность капитала, наоборот, возрастает. Когда труд замещается большим количеством капитала, то отдача капитала снижается. В США и Канаде на сельскохозяйственных фермах с высоким соотношением капитал/труд предельная норма технологического замещения относительно низка. В развивающихся странах с низким соотношением капитал/труд предельная норма технологического замещения относительно высока. 1.2. Эффективность и капиталоемкость технологии Эффективность новой технологии определяется отношением выпуска конечного продукта, полученного с использованием новой технологии, к выпуску продукции с помощью старой технологии при неизменных затратах труда и капитала. В функции Кобба-Дугласа эффективность технологии представлена коэффициентом . Функция была построена на статистических материалах обрабатывающей промышленности США за 1899 – 1922 годы в виде: . Эффективность применяемых в тот период технологий была невысокой и составляла 1,01 Капиталоемкость технологии определяется коэффициентом , характеризующим величину затрат капитала, приходящуюся на единицу затрат труда. Капиталоемкость технологии определяет интенсивность применения ресурсов в производственном процессе и влияет на объем выпуска. Она может быть определена наклоном луча, выходящего из начала координат и отмечающего точку на изокванте. На рис. 3.19 представлены изокванты с выпусками и , с одними и теми же затратами труда и различными затратами капитала . Большей капиталоемкости соответствует больший объем производства , Наклон изокванты измеряется предельной нормой технологического замещения. Наклон изокванты равен , наклон изокванты определяется как . Так как , то предельная норма замещения труда капиталом на изокванте превышает норму замещения на изокванте и имеет место неравенство . Выразим предельную норму замещения через соотношение предельной производительности труда и капитала . Тогда имеем: или . В итоге . Приходим к выводу: на единицу предельного продукта труда предельный продукт капитала при технологии меньше, чем предельный продукт капитала при технологии .Если к обоим производственным процессам добавить единицу труда, то из процесса производства следует изъять меньшее количество капитала, чем из процесса , что подтверждает более высокую капиталоемкость процесса производства по сравнению с процессом производства . Представим ситуацию графически (рис. 3.20), когда и в обоих процессах производства используется одно и то же количество капитала , но разное количество труда и , при этом . Тогда капиталоемкость в точке на изокванте больше капиталоемкости на изокванте , т.е. . Определяем наклоны изоквант вначале тангенсом угла касательных , а затем выразим их через соотношение предельных продуктов труда и капитала: . Отсюда . На единицу предельного продукта капитала предельный продукт труда при технологии больше, чем при технологии . Если к обоим процессам добавляется единица труда, то из процесса будет изъято меньшее количество капитала, чем из процесса . Это подтверждает более высокую трудоемкость процесса . Таким образом, более трудоемкой технологии соответствует большая норма технологического замещения, но меньший выпуск. 1.3. Эластичность замены одного фактора другим. Два крайних и общий случаи замещения факторов производства Если производитель находится на одной и той же изокванте, то эластичность замены одного фактора производства другим () равна относительному (процентному) изменению капиталоемкости, деленному на относительное (процентное) изменение предельной нормы технологического замещения одного фактора другим. Аналитически это можно записать следующим образом: эластичность замены капитала трудом , эластичность замены труда капиталом , где - капиталоемкость технологии; - предельная норма технологического замещения. Выявим взаимосвязь между и . Воспользуемся формулой и запишем дифференциалы выражений и : Отсюда . Экономический смысл эластичности замены одного фактора производства другим состоит в следующем. Эластичность замены можно рассматривать как меру пределов осуществимости замены одного фактора другим, т.е. как меру технологической «однородности» факторов производства. Эластичность замены влияет на выпуск. Эластичность может принимать любые значения от нуля до бесконечности. Повышение эластичности всегда ускоряет темп роста выпуска, снижение эластичности замедляет темп роста выпуска. Эластичность связана с кривизной изоквант. Если цена одного фактора растет, и технология позволяет замещать его относительно более дешевым фактором производства, то предприниматели осуществляют замещение, чтобы снизить издержки производства. Но технология ставит пределы замещаемости труда капиталом (или капитала трудом). Рассмотрим существующие случаи замещения факторов производства. Первый крайний случай. Изокванта с идеально взаимозаменяемыми факторами описывается следующей производственной функцией: , где и – некоторые числа. Изокванта – прямая линия (рис. 3.21). Предельная производительность труда ; предельная производительность капитала ; предельная норма технологического замещения . Так как , то . Следовательно, любое количество труда может быть заменено капиталом в соответствующей пропорции (и наоборот). Второй крайний случай. Рассмотрим производственную функцию В.В.Леонтьева , где и – положительные числа. Изокванта имеет ломаную форму, а производственная функция предполагает жесткую взаимодополняемость факторов производства (рис. 3.22). Ресурсы используются в пропорции, соответствующей угловым точкам, в которых капиталоемкость технологии постоянна:. Поэтому , и . Увеличение затрат труда (или капитала) не дает приращения выпуска: и . Здесь отсутствует замещение одного фактора другим. Так как капиталоемкость технологии остается постоянной, то при увеличении затрат труда и капитала в раз выпуск увеличивается во столько же раз и имеет место неизменная отдача от масштаба производства. Из вышеизложенного следует, что чем больше эластичность замены, тем больше замещаемость факторов производства и чем ближе эта величина к нулю, тем больше их взаимодополняемость. Общий случай. До сих пор по умолчанию предполагалось, что во всех точках изокванты используется одна технология. В действительности в производстве многих продуктов используется несколько технологий, и каждой технологии соответствует конкретная комбинация факторов производства. При затратах факторов производства и возможно осуществлять производство с использованием первой технологии в объеме . Если увеличить затраты обоих факторов в 2 раза, то и выпуск увеличится в 2 раза. Линия I, выходящая из начала координат, – это линия развития фирмы, использующей одну и ту же технологию и увеличивающей выпуск при неизменной отдаче от масштаба. В точке используется вторая технология, о линии II можно сказать то же самое, что и о линии I. В точке и в других точках на отрезках , применяются две технологии I и II; а в любой точке на отрезках ; используются II и III технологии. Если точка на изокванте расположена ближе к линии I, то больше применяется I технология. В случае классической изокванты (рис. 3.1б) в каждой точке используются разные технологии. На рис. 3.23 изокванта – ломаная линия. Если производство осуществляется в любой точке области , то фирма применяет избыточный труд. Область – зона избытка капитала. Ломаная изокванта, как и всякая изокванта, всегда выпукла относительно начала координат. На линии (рис. 3.24а) затраты труда и капитала больше, чем на линиях и для одного и того же объема выпуска. Поэтому фирме следует производить продукцию на этих линиях. Вот почему изокванта выпукла относительно начала координат. Если изокванта вогнута относительно начала координат (рис. 3.24 б), то затраты факторов производства на линиях и будут больше, чем на линии . Чтобы обеспечить минимальные издержки, фирма работает на отрезке изокванты . Сказанное позволяет объяснить, почему используется комбинация двух смежных технологий, а любая комбинация несмежных технологий является неэффективной. 1.4. Типы технического прогресса. Технически эффективная область производства Имеются два общих типа технического прогресса: нейтральный и ненейтральный. Нейтральный технический прогресс выражается в изменении эффективности технологии и уровня технологической отдачи на единицу масштаба производства. Он вызывает изменение в форме производственной функции, но не сберегает и не увеличивает объем используемого труда (капиталоемкость остается неизменной) и не влияет на предельную норму технологического замещения капитала трудом (труда капиталом). Предельная норма замещения остается неизменной для любой комбинации труда и капитала. В случае нейтрального технического прогресса при прежнем количестве используемых ресурсов производится больше продукции или при меньшем количестве ресурсов производится прежний объем выпуска. Этот тип технического прогресса на графике просто изменяет масштаб осей координат (рис. 3.25). Остаются неизменными капиталоемкость технологии и предельная норма технологического замещения факторов производства. Изокванты, изображенные сплошными линиями, характеризуют производство до нововведений. Сдвиг изоквант в положение пунктирных линий характеризует влияние технического прогресса. Таким образом, два параметра – изменение эффективности технологии и уровня технологической отдачи на единицу масштаба характеризуют нейтральный технический прогресс. Показатель технологической отдачи в явном виде в функции Кобба-Дугласа не представлен. Ненейтральный технический прогресс изменяет форму производственной функции и вызывается изменениями, кроме эффективности технологии и технологической отдачи от масштаба, капиталоемкости технологии и пределов осуществимости замены капитала трудом (труда капиталом). Ненейтральный технический прогресс может быть трудоинтенсивным (капиталосберегающим) или капиталоинтенсивным (трудосберегающим). Трудоинтенсивный технический прогресс имеет место тогда, когда при неизменном соотношении капитал/труд предельная норма технологического замещения повышается по абсолютной величине. Следовательно, предельный продукт труда понижается медленнее, чем предельный продукт капитала. У изокванты (пунктирная линия), сдвигающейся к началу координат, возрастает наклон (рис.3.26). Капиталоинтенсивный тип технического прогресса представлен на рис.3.27. Капиталоинтенсивный технический прогресс имеет место тогда, когда в результате использования новой техники и технологии при постоянном соотношении капитал/труд предельная норма технологического замещения снижается по абсолютной величине. Изокванты не только сдвигаются к началу координат, но наклон их понижается в точках на лучах, проведенных из начала координат, где капиталоемкость технологии остается неизменной. Технический прогресс приводит к росту выпуска при неизменном количестве используемых ресурсов, и всегда сопровождается повышением среднего продукта. Но это не означает, что при этом повышается предельная производительность каждого фактора. Динамика предельного продукта в условиях технического прогресса зависит от вида производственной функции. Предельные продукты могут повышаться, понижаться или оставаться неизменными при любом типе технического прогресса. Основным признаком, определяющим тип технического прогресса, является характер изменения предельной нормы технологического замещения факторов производства: при капиталоинтенсивном она снижается, при трудоинтенсивном – повышается, при нейтральном – остается неизменной. Как изменяется , если расширяются возможности (пределы) замещения факторов производства ? В экономике, в которой труд растет быстрее капитала и повышается , замещение капитала трудом понижает предельный продукт капитала относительно предельного продукта труда. Поэтому растет. Если капитал растет быстрее, чем труд, и является относительно дешевым фактором, то технический прогресс, который облегчает замену относительно дорогого труда относительно дешевым капиталом, является капиталорасходующим, и наоборот. Увеличение капиталоемкости технологии повышает темп роста выпуска, если труд растет медленнее, чем капитал, и понижает темп роста выпуска, если капитал растет относительно медленнее затрат труда. Какое воздействие оказывает повышение эластичности замены на темп роста выпуска? Если технический прогресс допускает замену относительно дорогого фактора производства относительно дешевым с большей легкостью, то одинаковые темпы роста выпуска продукции могут иметь место при более низких затратах на единицу продукции. Если объем используемых ресурсов задан, то могут быть достигнуты более высокие темпы выпуска. Таким образом, определения нейтрального и ненейтрального технического прогресса опирается на трактовку производственной функции, воплощающей конкретную технологию. При этом абстрагируются от некоторых экономических и технических величин и выделяют основные характеристики технологии: 1. Эффективность технологии определяет величину выпуска при данных затратах, характеризует масштаб преобразования затрат в выпуск. 2. Уровень технологической отдачи на единицу масштаба представляет степень, в какой пропорциональное изменение затрат порождает пропорциональное изменение выпуска. 3. Капиталоемкость технологии представляет собой соотношение капитал/труд. 4. Эластичность замены как мера пределов осуществимости замены капитала трудом или труда капиталом влияет на выпуск и на динамику средних издержек производства. Повышение эластичности всегда увеличивает темп выпуска, понижение – сокращает темп выпуска. Эластичность замещения измеряет кривизну изоквант (приводится без доказательства). Технологические изменения на практике, как правило, сопровождаются изменением количества используемых ресурсов. Поэтому важно определить, в какой степени рост выпуска обеспечен увеличением объема используемых факторов производства, и в какой - является результатом технического прогресса. Ответ на эти вопросы получим, рассматривая измерение темпов экономического роста. Определим технически эффективную область производства, рис. 3.28. Производитель выпускает продукцию на отрезках изоквант, где предельные продукты труда и капитала убывают, но остаются положительными. Множество точек, где предельные продукты равны нулю, образуют границы технически эффективной области производства. В этих точках касательные к изоквантам параллельны осям координат. Отмечены области, где предельные продукты отрицательны и . Технически эффективная область включает отрезки изоквант с отрицательным наклоном. На отрезках кривых и , где предельные продукты растут, фирма продукцию не выпускает. Здесь и . В области, где и убывают, но и фирма, как правило, продукцию не выпускает. В области, где и убывают, но и , фирма выпускает продукцию. Функция Кобба-Дугласа и постоянной эластичности замены Для анализа зависимости «затраты-выпуск» широко используется функция Кобба-Дугласа, которая для двух факторов производства имеет вид: , где , и - положительные константы, имеющие экономический смысл. В самом простом случае . Рассмотрим основные характеристики производственного процесса, описываемые данной функцией. Предельный продукт труда и капитала равен: , . Относительное изменение предельных продуктов труда и капитала равно: :, : Между предельной производительностью труда и капитала и их средними значениями существует пропорциональная связь и коэффициентом пропорциональности служит эластичность выпуска по соответствующему фактору. Отсюда есть частная эластичность выпуска по труду, - частная эластичность выпуска по капиталу. Как изменяются предельные производительности труда и капитала? Рассматриваем и как функции и определим их вторые частные производные. Выполнив преобразования, получим: , . Так как , то вторые производные отрицательны потому, что . Отрицательные значения вторых частных производных представляют собой достаточные условия того, что, начиная с определенного значения, предельные продукты убывают при увеличении затрат труда и капитала. Если , то вторые производные будут положительны, что характеризует возрастание предельных продуктов. Способ производства с возрастающим предельным продуктом какого-либо фактора производства технически неэффективен. Так как , то объем выпуска возрастает во столько раз, во сколько раз увеличиваются затраты факторов производства и имеет место неизменная отдача от масштаба. Если , то при возрастании затрат труда и капитала в раз, выпуск увеличивается в раз и имеем возрастающую отдачу от масштаба. Производственная функция Кобба-Дугласа при является однородной, для которой выполняется условие . Это интерпретируется следующим образом. Если собственники факторов производства присваивают свои предельные продукты, то оплата факторов исчерпывает совокупный продукт. Предельная норма технологического замещения в функции Кобба-Дугласа равна: . Эластичность замещения :. При любых значениях труда и капитала эластичность замещения в функции Кобба-Дугласа всегда равна единице. Это служит объяснением постоянства долей факторов производства в произведенном продукте в развитых станах на протяжении первой половины ХХ столетия. Если в экономике обеспечивается минимизация издержек производства и выполняется условие , то отсюда . При левая часть последнего равенства представляет соотношение доли дохода, полученного трудом, и доли дохода, приходящегося на капитал. Если , то доля труда в доходе больше доли капитала и наоборот. Если технология не меняется, то изменения соотношения факторных цен вызывает компенсирующие изменения затрат факторов, а относительные доли факторов в произведенном продукте остаются постоянными. Рассмотрим на примере функции Кобба-Дугласа влияние технического прогресса на выпуск при неизменяющихся затратах труда и капитала. Повышение эффективности технологии через параметр увеличивает выпуск, но не изменяет зависимости между затратами и уровень отдачи от масштаба. Из выражения следует, что пропорциональное изменение эффективности технологии вызывает пропорциональное изменение выпуска при прочих равных условиях. Так как параметр не входит в выражение , то изменения эффективности технологии не влияют на . Поэтому изменение отражает нейтральный технический прогресс. Сумма частных эластичностей выпуска по труду и капиталу показывает уровень отдачи на единицу масштаба производства. Уровень отдачи изменяется в результате изменения масштаба деятельности и его трудно отличить от изменения уровня технологической отдачи. Если сумма изменяется таким образом, что соотношение остается неизменным, то также остается неизменной. Поэтому названные изменения вызываются нейтральным техническим прогрессом. Ненейтральный технический прогресс в функции Кобба-Дугласа выражается через отношение эластичностей, т.е. через изменение относительно . Это изменяет . Если возрастает относительно при любой комбинации труда и капитала, то предельный продукт капитала снижается относительно предельного продукта труда, и, следовательно, имеет место трудоинтенсивный технический прогресс. Если заданы цены факторов производства, то в условиях равновесия отношение определяет пропорцию затрат труда и капитала. Чем больше , тем меньше , т.е. тем больше затраты труда по сравнению с затратами капитала, вызывающие трудорасходующий технологический сдвиг. Снижение относительно при любой комбинации труда и капитала свидетельствует о том, что введена новая менее трудоемкая технология. Если относительные цены факторов производства изменяются в определенной пропорции, а относительные затраты факторов производства изменяются в той же пропорции, но в противоположном направлении, то относительные доли дохода остаются неизменными. Отношение отражает капиталоемкость производственного процесса. Отношение эластичностей влияет на капиталоемкость технологии через . В функции Кобба-Дугласа эластичность замещения труда капиталом постоянна, всегда равна единице и поэтому не вызывает ненейтральные технологические сдвиги. Таким образом, функция Кобба-Дугласа отражает изменения только трех из четырех характеристик технологии. В функции ПЭЗ в явном виде отражены все четыре характеристики технологии: , где - конечный выпуск, - затраты капитала, - затраты труда, - параметр масштаба, - степень капиталоемкости технологии определяется в пределах , - степень однородности функции или технологическая отдача от масштаба, - эластичность замещения одного фактора производства другим. Запишем полный дифференциал функции: . Приращение конечного продукта вызвано изменением всех воздействующих на него факторов – затрат труда и капитала, изменением эффективности и капиталоемкости технологии, эластичности замещения факторов производств, технологической отдачи на единицу масштаба, экономией в результате изменения масштаба производства. Измерение темпов экономического роста Производственные функции используются не только в статическом, но и в динамическом варианте, когда переменные рассматриваются как функции времени. В зависимости от целей исследования используются различные спецификации производственных функций. Так, Ян Тинберген ввел в функцию Кобба-Дугласа технический прогресс, влияющий на конечный выпуск и на производительность факторов производства. Тогда производственная функция принимает вид: , где – значение эффективности технологии в начальный период времени; - множитель технического прогресса, который отражает отдачу от образования, научных исследований, повышения профессионального мастерства работников и т.п. Другие спецификации функции Кобба-Дугласа, в частности, функция, предложенная Р. Солоу, не приводятся. Рассмотрим один из вариантов функции Кобба-Дугласа, когда выпуск, переменные затраты факторов и параметр эффективности технологии изменяются во времени. Тогда функция имеет вид: . Определим темпы прироста и как отношения приращения этих показателей во времени к их абсолютному уровню и обозначим соответственно через Тогда Продифференцируем функцию по времени: Определим частные производные выпуска для функции Кобба-Дугласа, подставим их в и получим: Последнее выражение разделим на . В итоге имеем , или Полученное уравнение показывает зависимость между темпами прироста выпуска и темпами приростов эффективности технологии, труда и капитала. Измерение темпов экономического роста представляет интерес не только для анализа произошедших изменений в экономике, но и в планировании и прогнозировании экономического развития. Определим темпы прироста выпуска в случае функции Прологарифмируем выражение функции, получим: . Используя правило логарифмического дифференцирования , приходим к выводу: . Параметр характеризует темп технического прогресса, на величину которого обеспечивается прирост выпуска. Применение производственных функций в анализе процесса производства и принятии управленческих решений. Производственная функция как модель процесса производства используется в исследовании динамики его показателей, связей и зависимостей между ними; параметров и типов технического прогресса, а результаты анализа используются в принятии управленческих решений. Приведем примеры обоснованных производственных функций для промышленности и сельского хозяйства России, для сельского хозяйства Ростовской и других областей Южного федерального округа, для организаций молочного скотоводства. Используя данные о затратах в промышленности России на труд, капитал и инновации в 2000-2009 гг., Полтавским Д.Э. обоснована производственная функция , где - затраты на инновации, с коэффициентом детерминации . На ее основе определены предельные продукты труда, капитала, инноваций и их динамика; измерено влияние инноваций на экономический рост; измерена предельная норма замещения капитала инновациями, труда инновациями, и определена пропорция, в которой инновации замещают используемый капитал, труд; определена частная эластичность выпуска по инновациям; измерена эластичность замещения капитала, труда инновациями и выявлена степень однородности капитала и инноваций; измерено влияние названных параметров на динамику конечного продукта и экономического роста. Производственная функция для сельского хозяйства России в 1998-2008 гг., обоснованная Рудой Ю.Н., с коэффициентом детерминации , имеет вид: В нижеследующей таблице представлены производственные функции, обоснованные для 50 организаций молочного скотоводства Ростовской области, объединенных в три группы с учетом классификационных признаков. Кластеры Производственные функции Сумма коэффициентов эластичности -квадрат 2004 год 2 кластер 0,89 0,68 3 кластер 1,18 0,82 2005 год 2 кластер 1,43 0,91 3 кластер 1,31 0,93 2006 год 2 кластер 0,84 0,86 3 кластер 1,47 0,84 Производственная функция для предприятия, входящего в первый кластер, имеет вид: где - поголовье скота, - расход кормов. Коэффициент детерминации =0,88, что свидетельствует о достоверности предлагаемой модели. Значение показателя эффективности технологии свидетельствует о высоком техническом уровне производства после технологической модернизации, отрицательная частная эластичность выпуска по труду и по расходу кормов – об излишнем, по сравнению с эффективным, объемом расходуемых труда и кормов. Оценка показателей технического прогресса и его типа проводилась на основе данных следующей таблицы. Годы Капиталоемкость Предельные продукты факторов производства Предельная норма технологического замещения Эластичность замещения труда капиталом, труда, капитала, поголовья, кормов, 2003 255,98 -3503,02 2,89 161,86 -2,06 -1211,73 1,00 2004 374,01 -3938,22 2,22 185,80 -1,23 -1770,46 1,00 2005 357,92 -3703,59 2,19 176,61 -0,83 -1694,26 1,00 2006 333,51 -2791,03 1,77 153,60 -0,74 -1578,72 1,00 2007 497,65 -1991,34 0,85 135,68 -0,55 -2355,72 1,00 2008 519,13 -2252,05 0,92 140,78 -0,48 -2457,40 1,00 С использованием производственной функции как имитационной модели производства проводились исследования, нашедшие отражение в опубликованных работах: 1. Германова О.Е., Рудая Ю.Н. Динамика показателей технического прогресса и его типы. Экономический вестник Ростовского государственного университета. TERRA ECONOMICUS. 2009. Том 7, № 4. 2. Германова О.Е., Рудая Ю.Н. Технический прогресс: экономическое содержание, измерение и типы. М.: Вузовская книга. 2011. 240 с. http://hsb.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1133 3. Германова О.Е. Полтавский Д.Э. Динамические характеристики инноваций в промышленности России. Вестник самарского государственного экономического университета. Экономика. №6 (104), 2013. http://vestnik.sseu.ru/index.php?cnt=1&idv=201 4. Германова О.Е. Лебедева Г.В. Динамика и возмещаемость издержек в производстве сельскохозяйственной продукции. // Экономический вестник Ростовского государственного университета. Том 1. № 4. 2003 – С. 106-115 5. Германова О.Е., Лебедева Г.В. Влияние на прибыль сельскохозяйственных предприятий изменений в производительности и в возмещении издержек производства. // Экономический вестник Ростовского государственного университета. № 2, 2004. – С. 94-111. 6. Германова О.Е. Лебедева Г.В. Возмещение экономических издержек в сельскохозяйственных предприятиях. Ростов-н/Д. Изд-во ЮФУ, 2007 – 168 с. http://hsb.sfedu.ru/images/publications/Germanova/germnova_lebedeva.pdf  7. Германова О.Е., Рудая Ю.Н. Динамика производительности труда, капитала и земли в сельском хозяйстве Краснодарского края. // Региональная экономика: теория и практика. Москва. № 6(429) – 2016, июнь. http://elibrary.ru/item.asp?id=26136876 8. Германова О.Е., Рудая Ю.Н. Технический прогресс в сельском хозяйстве Краснодарского края. // Региональная экономика: Юг России. №3. 2017 Литература 1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ. 1963. Гл. 17 2. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М: МГУ. 1981 3. Баумоль У. Экономическая теория и исследования операций. М.: Прогресс. 1965. Гл. 9 4. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. М.: Статистика. 1971 5. Вэриан Х.Р. Микроэкономика: промежуточный уровень. М. ЮНИТИ. 1997. Гл. 19, с. 372-402 6. Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. М: Финансы и статистика. 1981. Гл. 3 7. Германова О.Е. Производительность: экономическое содержание и проблемы измерения. М.: Наука. 1996. 8. Германова О.Е. Производственные функции: содержание и использование. Ростов-н/Д. 1994 9. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс. 1975. 10. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.: Дело, 2003. 11. Красс М.С.. Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2003. 12. Самуэльсон П.Э., Нордхаус В.Д. Экономика. Изд-во Вильямс. 2008 13. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень. М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2005. 14. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. – М.: ИНФРА-М, 2008. Задачи этого модуля очень простые. Чтобы решать задачу этого модуля, надо почитать соответствующий вопрос темы пересылаемого материала