Приведение уравнений кривых и поверхностей 2 порядка к каноническому виду

Лекция 17. § Приведение уравнений кривых и поверхностей 2 порядка к каноническому виду. Пусть уравнение поверхности 2 порядка записано в общем виде: a11x2 + a22y2 + a33z2 + a12xy + a13xz + a23yz + a1x + a2y + a3z + a0 = 0 Сумма первых 6 слагаемых наз. квадратичной формой Ф(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + a12xy + a13xz + a23yz от переменных x, y, z. Её можно записать в виде произведения матриц: Ф(x, y, z) = ( Проверяем, умножая матрицы на доске.) Сумма следующих 3 слагаемых наз. линейной формой L(x, y, z) = a1x + a2y + a3z. Её также можно записать как произведение матриц: L(x, y, z) = . Обозначим матрицы A = , B = . Теперь запишем уравнение поверхности в матричной форме: Так как матрица А, по построению, симметрическая, то к ней можно применить следствие 2 теоремы 5 прошлой лекции: Согласно этому следствию, Оt ∙А∙О = , где λ1, λ2 λ3 – собственные числа матрицы А, столбцы матрицы О являются соответствующими собственными векторами и образуют ортонормированный базис в пространстве R3. Перейдём к новой системе координат X1 Y1 Z1 , взяв в качестве нового базиса . Так как начало координат не меняется и переход делается от ортонормированного базиса к ортонормированному, то это преобразование наз. поворотом осей. Переход от старых координат к новым и обратно, как показано ранее, будет производиться по формулам и . Подставляя в уравнение поверхности выражение старых координат через новые, получим: . Обозначая B1 = B∙O = ( b1 b2 b3 ) и подставляя Оt ∙А∙О = , получаем уравнение поверхности в новой системе координат: λ1∙x12 + λ2∙y12 + λ3∙z12 + b1∙x1 + b2∙y1 + b3∙z1 + a0 = 0. Z Y1 Z1 Y X X1 Следующий этап наз. параллельным переносом системы координат. Целью последущего выбора ещё одной системы координат – избавиться в уравнении поверхности от слагаемых b1∙x1 + b2∙y1 + b3∙z1. Рассмотрим сначала случай, когда λ1 ≠ 0, λ2 ≠ 0, λ3 ≠ 0 ( эллип-соид, однополостный и двуполостный гиперболоиды) Имеем: λ1x12 + b1x = λ1 [(x1 + b1/2λ1)2 – (b1/2λ1)2] = λ1(x1 + b1/2λ1)2 – b12/4λ1. Тогда можно также записать λ2y12 + b2y = λ2(y1 + b2/2λ2)2 – b22/4λ2; λ3z12 + b3z = λ3(z1 + b3/2λ3)2 – b32/4λ3. Теперь делаем переход к новой системе координат X2 Y2 Z2 x2 = x1 + b1/2λ1 ; x1 = x2 - b1/2λ1 ; y2 = y1 + b2/2λ2 ; y1 = y2 - b2/2λ2 ; z2 = z1 + b3/2λ3 ; z1 = z2 - b3/2λ3 . Этот переход наз. параллельным переносом или сдвигом осей: ( При сдвиге x2 = x1 + 2 ось координатная плоскость Y1 Z1 сдвигается вдоль оси X1 на 2 влево). Подставляем выражения старых координат через новые, получаем уравнение поверхности в виде: λ1∙x22 + λ2∙y22 + λ3∙z22 + p0 = 0. Если p0 = 0, то получится или конус, или одна точка. Пусть p0 ≠ 0. Переносим p0 в правую часть и делим всё уравнение на - p0. Перебрасываем также в знаменатели числа λ1 , λ2 , λ3 , заменяя их обратными. Получаем уравнение . В зависимости от распределения знаков чисел (-р0/λ1), (-р0/λ2), (-р0/λ3), можно получить эллипсоид, двуполостный гиперболоид, однополостный гиперболоид или же мнимый эллипсоид ( когда все числа отрицательны). В случаях, когда одно из чисел λ1, λ2, λ3 равны нулю, приходим к эллиптическому или гиперболическому параболои-дам, или же к эллиптическому и гиперболическому цилиндрам. В случаях, когда два из чисел λ1, λ2, λ3 равны нулю, приходим к параболическому цилиндру, к 2 точкам, 1 точке или 2 мнимым точкам. Рассмотрим примеры: 1) Найти координаты центра, направления осей симметрии, тип и параметры поверхности, заданной уравнением xy + xz + yz + x + y + z = 1 Решение 1 шаг. Запишем уравнение в матричной форме , А = , B = ( 1 1 1). 2 шаг. Найдём собственные числа матрицы квадратичной формы: Решаем характеристическое уравнение . Нет необходимости раскрывать определитель, так как сразу видно, λ1 = 1, λ2 = λ3 = - 0.5 ( Пояснить, если не понятно студентам, ссылаясь на свойства определителя). 3 шаг. Найдём соответствующую ортонормированную тройку из собственных векторов А. λ1 = 1. = ( 3 3 3 ). . λ2 = λ3 = - 0.5. Вектор находим как одно из ненулевых решений уравнения 0.5x + 0.5y + 0.5z = 0, например ( 1 1 -2 ). Вектор найдём по формуле (объяснить, если аудитории не понятно). Получаем = ( -9 9 0 ). Нормируем полученные векторы и получаем , . Решён один из пунктов поставленной задачи: найдены направления осей симметрии поверхности (пояснить, если не понятно). 4 шаг. Запишем уравнение поверхности в новых координатах после поворота осей. x12 – 0.5y12 – 0.5z12 + ( 1 1 1) = 1. Перемножая матрицы, получим: x12 – 0.5y12 – 0.5z12 + x1 = 1. 5 шаг. Делаем перенос начала системы координат в центр фигуры. Подставляем x12 + x1 = (х1 + )2 – 0.75 в уравнение: (х1 + )2 – 0.5y12 – 0.5z12 = 1 + 0.75 = 1.75. 6 шаг. Записываем формулы перехода к новой системе координат, делим уравнение на 1.75, и получаем каноническое уравнение. x2 = х1 + , y2 = y1, z2 = z1. . Находим , . Получилось каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения (вращение вокруг оси X2). 7 шаг. Найдём координаты центра гиперболоида в первоначальной системе координат XYZ. Находим координаты центра: x2 = 0, y2 = 0, z2 = 0 x1 = -, y1 = 0, z1 = 0 . 8 шаг. Изобразим поверхность. Z X2 o Y2 Y X2 X 2) Найти направления осей симметрии, координаты центра и размеры эллипса, заданного уравнением 2x2 + y2 – 2xy – 4x + 6y – 5 = 0. Решение. . , λ1 = 0.382, λ2 = 2.618. . Нормируем . Тогда ( если не ясно, пояснить). (Пояснить выбор знака, чтобы был поворот без отражения). Переходим в уравнении к новым переменным: 0.382x12 + 2.618y12 + ( - 4 6 ) - 5 = 0, 0.382x12 + 2.618y12 + 3.002x1 + 6.56y1 - 5 = 0. Выделяем полные квадраты 0.382x12 + 3.002x1 = 0.382(x1 + 3.93)2 – 5.9, 2.618y12 + 6.56y1 = 2.618(y1 + 1.24)2 – 4.03. Подставляем: 0.382(x1 + 3.93)2 + 2.618(y1 + 1.24)2 = 15.2. . Размеры эллипса а = 6.3, b = 2.4. Найдём координаты центра = . Изобразим на графике: Y Y1 X1 X X2 Y2