Принцип Даламбера для материальной точки

Лекция 11 Динамика относительного движения точки Принцип Даламбера для материальной точки План: 1. Уравнение относительного движения точки 2. Частные случаи уравнения относительного движения точки 3. Уравнение относительного покоя 4. Принцип Даламбера для материальной точки 1. Уравнение относительного движения точки Рассмотрим движение точки относительно неинерциальной системы. Пусть система отсчёта является инерциальной (условно неподвижная), а связанная с ней система – неинерциальной (подвижная) (рис. 1). Движение точки М относительно неподвижной системы отсчёта называется абсолютным, а движение точки относительно подвижной – относительным. Выведем основное уравнение динамики относительного движения материальной точки, считая, что переносное движение системы и силы, действующие на точку, известны. Основное уравнение динамики для абсолютного движения точки имеет вид где – абсолютное ускорение материальной точки, а – геометрическая сумма приложенных к точке сил. В разделе «Кинематика» установлено, что в случае непоступательного переносного движения, абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трёх ускорений: относительного, переносного и кориолисова ускорений, т. е. Подставив это значение в основное уравнение динамики, получим Из полученного уравнения определим произведение массы точки на её относительное ускорение: (1) Введём два вектора: – переносная сила инерции, равная произведению массы точки на её переносное ускорение и направленная в сторону, противоположную переносному ускорению. – кориолисова сила инерции, равная произведению массы точки на её кориолисово ускорение и направленная в сторону, противоположную кориолисову ускорению. Подставим эти векторы в уравнение (1) (2) Уравнение (2) представляет из себя основное уравнение динамики относительного движения материальной точки: в случае непоступательного переносного движения, относительное движение материальной точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам присоединить переносную и кориолисову силы инерции. 2. Частные случаи уравнения относительного движения точки Рассмотрим частные случаи основного уравнения динамики относительного движения материальной точки, соответствующие разным видам переносного движения. 1. Переносное движение – неравномерное вращение вокруг неподвижной оси. В этом случае переносное ускорение равно геометрической сумме вращательного и центростремительного ускорений: . В соответствии с этим переносная сила инерции имеет две составляющие: вращательную силу инерции и центробежную силу инерции , т. е. . Тогда уравнение (2) примет вид: . Переносная вращательная сила инерции направлена противоположно вращательному ускорению и равна по модулю: Переносная центробежная сила инерции направлена противоположно центростремительному ускорению. Модуль её равен: , где R – расстояние в данный момент от точки М до оси вращения. Кориолисова сила инерции направлена противоположно кориолисову ускорению точки и равна по модулю: . 2. Переносное движение – равномерное вращение вокруг неподвижной оси. В этом случае , и основное уравнение динамики относительгого движения имеет вид: . 3. Переносное движение – поступательное неравномерное движение. В этом случае , а потому уравнение (2) примет вид: В случае неравномерного криволинейного движения , m – переносная касательная сила инерции; – переносная нормальная сила инерции. 4. Переносное движение – поступательное, прямолинейное и равномерное. В этом случае и , а потому уравнение (2) примет вид В правой части этого уравнения содержится только геометрическая сумма приложенных к точке сил, как в основном уравнении абсолютного движения точки, т. е. подвижная система отсчета является в этом случае тоже инерциальной системой. Наблюдения над относительным движением материальной точки по отношению к любой из таких систем не позволяют судить о том, совершает ли эта система равномерное и прямолинейное поступательное движение или находится в покое. Это положение называется принципом относительности классической механики, его можно сформулировать так: никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить её прямолинейного и равномерного поступательного движения. 3. Уравнение относительного покоя Рассмотрим случай, когда материальная точка под действием приложенных к ней сил находится в состоянии относительного покоя, т. е. не совершает движения относительно подвижной системы отсчёта. При отсутствии относительного движения абсолютное ускорение точки равно её переносному ускорению, т. е. , а кориолисова сила инерции равна нулю . В результате подстановки нулевых значений в уравнение (2) получим уравнение относительного покоя Таким образом, в случае, когда материальная точка находится в состоянии относительного покоя, геометрическая сумма приложенных к ней сил и переносной силы инерции равна нулю. 4. Принцип Даламбера для материальной точки Принцип Даламбера (или принцип Германа-Эйлера-Даламбера) позволяет задачи динамики решать как статические. Добавив к действующим силам силы инерции, можно применять все теоремы, законы и правила, доказанные и принятые в статике. Раздел, связанный с этим принципом, называется «Кинетостатика», что означает «статика в движении». Силой инерции материальной точки называется произведение массы этой точки на её ускорение, взятое с обратным знаком Сила инерции движущейся материальной точки всегда направлена в сторону, противоположную направлению ускорения. При криволинейном движении (рис. 2) полную силу инерции целесообразно разложить на две составляющие: нормальную (центробежную) силу инерции и тангенциальную (касательную) силу инерции Если на несвободную материальную точку действуют система активных сил с равнодействующей и реакции связей с равнодействующей и она будет двигаться с ускорением относительно инерциальной системы отсчёта, то основное уравнение динамики для неё можно записать в виде или а так как, то Принцип Даламбера: геометрическая сумма активных сил, реакций связей и силы инерции этой точки в любой момент времени равна нулю.