Пример применения уравнения Гейзенберга. Гармонический осциллятор.

Лекция 2 Пример применения уравнения Гайзенберга. Гармонический осциллятор. Матрица гамильтона для гармонического осциллятора имеет вид: pˆ 2 1 Hˆ   m 2 qˆ 2 2m 2 (1) Уравнения Гайзенберга для координаты  dqˆ i ˆ i ˆ i  pˆ 2 1 pˆ 2 1 ˆ  qH ˆˆ     H , qˆ   Hq qˆ  m 2 qˆ 2 qˆ  qˆ  qˆ m 2 qˆ 2   dt 2 2m 2  2m  i 1 m 2 2   pˆ 2 , qˆ    qˆ , qˆ     2   2m    Задание 1. Убедитесь, что  pˆ 2 , qˆ   2i pˆ и qˆ 2 , qˆ   0 . Тогда имеем dqˆ pˆ  . dt m (2) dpˆ  m 2 qˆ dt (3) Задание 2. Аналогично покажите, что Комбинируя (2) и (3), получим уравнение для координаты d 2 qˆ   2 qˆ  0. 2 dt (4) Обратите внимание на схожесть между полученными уравнениями (в том числе и уравнения Гайзенберга) и уравнениями классической механики. Решение полученных дифференциальных уравнений: qˆ  t   Cˆ1 cos t  Cˆ 2 sin t  pˆ  t   m Cˆ 2 cos t  Cˆ1 sin t  (5) Введем переменные q0  Тогда гамильтониан имеет вид: m , p0  m . (6)   pˆ 2 qˆ 2  Hˆ     2  p02 q02  (7) Введем операторы aˆ  1  qˆ pˆ  1  qˆ pˆ     i  , aˆ   i  p0  p0  2  q0 2  q0 (8) Задание 3. Покажите, что справедливы следующие соотношения: aˆ, aˆ    Eˆ , aˆ  aˆ, aˆ   aˆ, aˆ  aˆ, aˆ    aˆ  . (9) Доказать также, что гамильтониан гармонического осциллятора в этих переменных имеет вид  Eˆ  Hˆ    aˆ  aˆ   . 2  (10) Уравнения Гайзенберга для операторов (8) имеют вид daˆ i ˆ   H , aˆ   i aˆ , dt daˆ  i ˆ    H , aˆ   i aˆ  . dt (11) Решение этих уравнений очевидно aˆ  t   aˆ0 exp  it  , aˆ   t   aˆ 0 exp  it  . (12) Задание 4. Используя (8) и (12), получите формулы (5). Введем очень удобные для дальнейшего изложения обозначения для матричных элементов: Amn  m Aˆ n . (13) Матричные элементы произведения матриц, как нас учит алгебра, ˆ ˆ  AB mn ˆˆ n   m AB  Aˆms Bˆsn  m Aˆ s s Bˆ n . s (14) s Из (14) следует соотношение, смысл которого мы поймем в дальнейшем s s  Eˆ . (15)  Hˆ , aˆ     aˆ ,   (16) s Так как из (11) следует, что то m  Hˆ , aˆ  n    m aˆ n . (17) Пусть матрица Гамильтона приведена к диагональной форме. Тогда ˆ ˆ n  m aH ˆˆ n  m  Hˆ , aˆ  n  m Ha   m Hˆ s s aˆ n   m aˆ s s Hˆ n  s   Em ms s s s aˆ n   m aˆ s En sn  (18) s  Em m aˆ n  En m aˆ n   Em  En  m aˆ n Итак, из (17) и (18) следует, что  Em  En    m aˆ n  0 . (19) В случае ненулевых матричных элементов m aˆ n справедливо En  Em   . (20) Это значит, что ненулевые элементы матрицы â имеют вид  n  m  1 : n  1 aˆ n  an . (21) Следовательно, комплексное сопряжение этих элементов равно (вспомните определение эрмитово сопряженной матрицы) n aˆ  n  1  an* . (22) Если пронумеровать уровни энергии так, что с ростом номера n энергия увеличивается, то En  E0  n , n  0,1, 2... (23) Если найдем E0 , то решим задачу о спектре осциллятора. Для этого найдем матричные элементы для первого соотношения из (9): m aˆ, aˆ   n  m Eˆ n   mn . Далее, ˆ ˆ  n  m aˆ  aˆ n m aˆ, aˆ   n  m aa В силу (15) имеем m  aˆ, aˆ   n   m aˆ s s aˆ  n   m aˆ  s s aˆ n s s (24) Учитывая (21) и (22) m  aˆ, aˆ   n   as m,s 1as* n, s 1   am*  s ,m1an s ,n 1  s s   am1  m1,n1  am  m1,n1  am1  am 2 2 2 2   mn (25) Сравнивая (24) и (25), получим am1  am  1 . 2 2 (26) Из (21) и (22) следует, что a0  0 . Тогда из (26) следует, что an  n . Поэтому m aˆ n  n m,n 1 , (27) m aˆ  n  n  1 m,n 1. Значит, 0  0 aˆ   0   ...   ... 1 ...  0   0 ...  1    3 ...  , aˆ   0 0 ... ...    ... ...   ... 2 ... ... ... ... 2 ... 0 ...   0 ...  0 0 ...  .  3 0 ...   ... ... ...  (28) Задание 5. Используя (8) и (28), получите явный вид для матриц q̂ и p̂ . Найдите также матрицы q̂ 2 и p̂ 2 . Вопрос на «засыпку»: Почему в формулах (12) время есть, а в (28) нет? Где я чего-то недоговорил? Теперь мы можем найти E0 : 1  E0  0 Hˆ 0     0 aˆ  aˆ 0   2  1       0 aˆ  s s aˆ 0  2 s  (29) В силу (27) все матричные элементы в сумме по s равны нулю. Поэтому E0   2 . (30) Следовательно, спектр гармонического осциллятора имеет вид: En   2  n  , n  0,1, 2... (31) Вспомним, что Hmn  m mn . Тогда 1   ˆ 0 H 2  0  ...  3 ... 5 ... 7 ... ...   ...  ...  ,  ...  ...  (32) Случай n  0 отвечает энергии так называемых нулевых колебаний:  2  m 2 2 q0 . 2 (33) Задание 6. Убедитесь в справедливости (33). Таким образом, амплитуда нулевых колебаний равна (это и есть наша переменная (6)) q0  m . (34)