Применение производных для построения графика функции одной переменной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (1) ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА (2) Исследование и построение графиков функций Лектор Кругликов Сергей Владимирович Зав. кафедры МУС Как построить график функции по заданному аналитически (правилом вычисления значений) виду функции y = f (x) . 1. На основе знаний (из школьной программы) свойств элементарных функций определить области допустимых значений функции. Может быть одна, а может быть несколько. 2. Выяснить существование точек разрыва. Определить типы разрывов (устранимые, неустранимые/ 1-го, 2-го рода). 3. Между точками разрывов области непрерывности функции. Анализ на основе свойств производной. - Точки перемены знака производной (разрывы). - Точки экстремума (минимум, максимум). - Точки перегиба. - Ассимптоты (вертикальные/горизонтальные) Формула Тейлора для многочленов Пусть задана функция y = f (x) может быть сложного вида. Как приближенно посчитать ее значения, пользуясь операциями сложить и умножить (как многочлен)? Брук Тейлор (1685–1731) в 1715г. вывел формулу для разложения функции в степенной ряд Вспомогат. задача. Пусть заданная функция y = f (x) имеет в окрестности точки x0 производные до n-го порядка включительно. Будем искать коэффициенты ak многочлена Tn(x) степени не выше n : Tn  x   a0  a1  x  x0   a2  x  x0   2 такого, чтобы для  s  0,1, 2, производные совпадали f s  x0   Tn  x0  . s ,n  an  x  x0  , n ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА Tn  x   a1  2  a2  x  x0   3  a3  x  x0    n  an  x  x0  , n 1 2 Tn x   1 2  a2  2  3  a3  x  x0   Tn s   x   1 2  3  n  n  1 an  x  x0   s  1  as1  x  x0   n s  nn  1n  s  1an  x  x0  ,  , s  as  2  3  4 При x = x0: Tn  x   a0  a1  x  x0   a2  x  x0   2 n2 ,   an  x  x0  , n Tn  x0   a0 , Tn  x0   a1 , Tn x0   1  2  a2 , Tn x0   1 2  3 a3 , Отсюда as  Tn  s Значит, с учетом  x0  , s! , Tn n  x0   1 2  3 s  0, 1, 2, , n. n  an . f  s   x0   Tn s   x0  . Tn   x0  f    x0  as   , s  0,1, 2, s! s! s s , n. ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА Тогда приближенно посчитать значения y = f (x) , пользуясь операциями сложить и умножить, можно с помощью многочлена Тейлора порядка n для функции y = f (x) в точке x0 :  n f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 n Tn  x   f ( x0 )   x  x0    x  x0   ...   x  x0  . 1! 2! n! ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА Более того в некоторой окрестности точки x0 многочлен Тейлора задает наилучшее локальное приближение функции. Т.е. остаточный член формулы Тейлора Доказано: Итак,  Rn  x  : f  x   Tn  x   Rn  x   o  x  x0  , х  х0 . n f  x   k 0 n f  k   x0  k n  x  x0   o  x  x0   k!   формула Тейлора порядка n функции f в точке x0 с остаточным членом в форме Пеано. Джузеппе Пеано (1858–1932) ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА f  x   Tn  x   Rn  x  ,   Rn  x   o  x  x0  , х  х0 . n n f ( x0 ) f ( x0 ) f   ( x0 ) 2 n Tn  x   f ( x0 )  x  x  x  x  ...  x  x  0  0  0 , 1! 2! n! 1,5 y y=f (x) 1 Rn(x) 0,5 f (x) -3 -2 Tn(x) x -0,5 sin x x0 -1 x -1 T2(x) -1,5 1 2 3 ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА Разложения основных элементарных функций При х0 = 0 формула Тейлора принимает вид Маклорена : f   0 f   0  2 f  x   f  0  x x  1! 2!  f n  0 xn  o n!  x , n формула разложения функции f (x) по степеням х с остаточным членом в форме Пеано. 1. Пусть f (х) = ех, х0 = 0. Вычислим производные функции k  k  x х f ( x )  e , f (0)  e  1. е в точке x0 = 0: 2 x ex  1  x   2! xn   o( x n ). n! В частности, при n =1 и n = 2 имеем: 2 x e x  1  x  o  x  , e x  1  x   o  x 2 . 2 ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА (ПРИМЕРЫ) 1 x 2 k 1 x x  sin x  x      o  x 2k . 3! 5!  2k  1 ! 3 2. k 1 5 В частности, при k =1 и k =3 2 имеем: sin x  x  o  x 2  , sin x  x  3. x2 x4 cos x  1    2! 4! При n =1: 4. x  o  x 4 . 3! x2n   1  o  x 2 n1  .  2n  ! n x2 cos x  1   o  x3  . 2 x 2 x3 ln 1  x   x    2 3   1 n1 xn  o  xn . n При n =1: ln 1  x   x  o  x  . ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА (ПРИМЕРЫ) 5. 1  x       1 2  1  x  x  2!      1     n  1  x n! n  o  xn . Если  = –1: 1  x  1 1   1  x  x 2  x3  1 x   1 x n  o  x n  . n Заменив х на – х, получим: 1  x  1 1   1  x  x 2  x3  1 x  xn  o  xn  . ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА f (x) = sin x x3 x5 T3 ( x)  x   3! 5! ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА (ПРИМЕРЫ) Пример. Разложить функцию f (х) = tg x, х0 = 0, взяв n = 3. Найдем производные: 1 2 f  x    cos x, 2 cos x f  x   2 cos3 x  sin x, f   x   6cos 4 x sin 2 x  2cos 2 x; отсюда f 0  0, f 0  1, f 0  0, f 0  2. x3 3 tg x  x    x .   Получаем 3 f 0  f 0  2 f  n  0  n f  x   f 0   x x  x  ox n , 1! 2! n! ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА (ПРИМЕРЫ) Пример. Вычислить предел lim  1  1  . x 0 x ??? sin x   2 Если воспользоваться sin x  x  o( x ) , то получаем 2 2 1 1 sin x  x x  o ( x )  x o ( x )   lim   lim  lim 2 .   lim 2 x0 x x  x  x  sin x  x sin x xx  o( x )  x  o x  Неизвестно, какие бесконечно малые скрываются под o(x) и o(x2). Поэтому следует взять приближение x3 sin x  x   o  x 4  : 3!  x3  1  4   x   ox   x x 3    o x   3! sin x  x 3!      0. lim  lim  lim x0 x sin x x0 x0  x3 x2 4  2 3  x x   ox  x 1   ox  3! 3!     Анализ на основе свойств производной. - Точки перемены знака производной (разрывы). - Точки экстремума (минимум, максимум). Исследование и построение графиков функций Условия возрастания и убывания функции Функция f (x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на (a, b), если для любых x1 , x2   a; b  , x1  x2 , верно неравенство f  x1   f  x2   f  x   f  x  . 1 2 Функция f(x) возрастает (убывает) на (a, b), если для любых x1 , x2   a; b  , x1  x2 верно неравенство f  x1   f  x2   f  x   f  x  . 1 2 Исследование и построение графиков функций Теорема. (Н. и Д. условия возрастания (убывания) ф.). Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема  x (a; b). Тогда: 1) для того чтобы функция f возрастала (убывала) на [a; b], Н. и Д. , чтобы f   x   0  f   x   0   x (a; b). 2) если производная f   x   0  f   x   0   x (a; b), то функция f строго возрастает (строго убывает) на [a; b]. Теорема (1-е достат. условие лок. эстремума дифф. ф). Пусть функция f диффер. в некоторой окрестн. критич. точки x0, за исключ., быть может, самой точки x0, и непрер. в точке x0. Если при переходе через точку x0 слева направо производная f  меняет знак с плюса на минус (с минусa на плюс), то в точке x0 функция f имеет строгий локальный максимум (минимум). Исследование и построение графиков функций Теорема (2-е достат. условие лок. эстремума дифф. ф). Пусть функция f в крит. точке x0 имеет конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке x0 локальный максимум, если f   x0   0, и локальный минимум, если f   x0   0. y f(x0) x0– x0 x0+ На рис. при переходе через точку x0 производная меняет знак с «+» на «–», поэтому в точке x0 ф. f имеет строгий локальный максимум. x Заметим, что Анализ на основе свойств производной. - Точки перегиба, знак второй производной. Исследование и построение графиков функций Выпуклость и точки перегиба графика функции График дифференцируемой функции f называется выпуклым вверх (выпуклым вниз) в интервале (a; b), если он расположен ниже (выше), любой своей касательной к графику функции на этом интервале. y y a bx a b x Исследование и построение графиков функций Теорема (о дост. условии выпуклости вниз (вверх) графика функции на данном интервале) Если ф. f имеет на интервале (a; b) вторую производную и f ( x)  0  f   x   0  для  х(a; b), то график функции f имеет на (a; b) выпуклость, направленную вниз (вверх). f ( x) f ( x) Исследование и построение графиков функций Точки перегиба графика функции Точка M0(x0; f (x0)) называется точкой перегиба графика функции y = f (x), если существует такая окрестность точки х0, в пределах которой, слева и справа от нее, направления выпуклости графика функции различны. y y M0 График функции f  x   3 x . х0 x x Исследование и построение графиков функций Теорема (о необх. условии существования точки перегиба) Если ф. y = f (x) имеет перегиб в точке M0(x0; f (x0)), то f ( x0 )  0, или f ( x0 ) не существует. Точки, в которых f ( x0 )  0, или f ( x0 ) не существует, называют критическими точками второго рода. Теорема (о дост. условиях существ. точки перегиба) Пусть функция y = f (x) определена в окрестн. Точки х0, в которой либо f ( x0 )  0, или f ( x0 ) не существует и пусть f (x) дважды непрерывно диффер. в проколотой окрестн. этой точки. Точка M0(x0; f (x0)) является точкой перегиба графика функции, если меняет знак при переходе через точку х0. Анализ на основе свойств производной. - Ассимптоты Исследование и построение графиков функций Асимптоты графика функции Прямая L называется асимптотой графика функции f (x), если расстояние от точки M (x; f (x)) графика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки M от начала координат. Теорема. Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) тогда и только тогда, когда хотя бы одно из предельных значений lim f ( x) или lim f ( x) равно  или  . xx0 0 xx0 0 Замечание. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют. Исследование и построение графиков функций Теорема. Для существования наклонной асимптоты y = kx + b графика функции y = f (x) при x    x    Н. и Д., чтобы существовали конечные пределы: f ( x) lim  k  lim ( f ( x)  kx)  b x x x f ( x)    k  lim ( f ( x)  kx)  b  .  xlim  x x   При этом при x    x    указанные пределы могут быть различными (правая наклонная асимптота и, соответственно, левая наклонная асимптота). Исследование и построение графиков функций y y=f(x) у x = x0 y = k x +b К M ( x; f (x)) x0 x Прямая x = x0 – – вертикальная асимптота графика функции. х Прямая y = kx+b – – наклонная асимптота графика функции. ПРИМЕР. Анализ на основе свойств производной. Исследование и построение графиков функций Пример. Исследовать функцию y  ln  x 2  2 x  2  и построить ее график. 1. Область определения х  R. y ( 1 ) = 0 , y ( 0 ) = l n 2 . 2. Вертикальных асимптот нет. Для наклонной асимптоты y = kx + b находим: y ln x 2  2 x  2 2x  2 k  lim  lim  lim 2  0; x   x x   x   x  2 x  2 x   b  lim  y  k x   lim ln  x 2  2 x  2   , x x т. е. наклонных асимптот также нет. 2x  2 3. Производная y  2  0 при х = 1. x  2x  2 Исследование и построение графиков функций y  y + x 1 Точка x = 1 является точкой минимума функции; ymin  y 1  0. 4. Вторая производная y  y   y   2 x x  2  x2  2 x  2 2  +  . 2  x Рис. Исследование знака второй производной и поведения функции Точки перегиба графика функции  0; ln 2 и  2; ln 2 . Исследование и построение графиков функций y График функции y  ln  x 2  2 x  2  Спасибо за внимание!