Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей

105 Лекция 12. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД План 1. Метод комплексных амплитуд. 2. Комплексные сопротивление и проводимость. 3. Расчет установившегося синусоидального режима в простейших цепях. 4. Мощности в цепях синусоидального тока. 5. Заключение. 1. Метод комплексных амплитуд Тригонометрическая форма расчета цепей синусоидального тока применима только для простейших цепей. Для анализа разветвленных цепей необходим аналитический метод, позволяющий упростить расчет и использовать методы, разработанные для цепей постоянного тока. Таким методом является метод комплексных амплитуд или символический метод. Он основан на том, что синусоидальная функция известной частоты полностью характеризуется двумя вещественными числами: амплитудой U m и начальной фазой ψ . Предположим, что напряжение источника в линейной цепи изменяется по закону ut   U m cost    . Будем использовать косинусную форму гармонической функции. Это упростит дальнейшие выкладки. Представим u t  в виде полусуммы двух сопряженных комплексных чисел u t   U m cos t     ut   ut      U m e j  t     U m e  j   t    .  Представление гармонической функции в виде суммы комплексных экспонент удобно потому, что определить реакцию цепи на воздействие в форме экспоненты значительно проще, чем при гармоническом воздействии. Действительно, дифференцирование комплексной экспоненты равносильно умножению ее на jω , а интегрированию е j t соответствует деление на jω : 106   d j t е  j  е j t , dt  e dt  je jt jt . Поэтому поведение цепи при экспоненциальном воздействии описывается не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями. В соответствии с принципом наложения реакцию цепи представим в виде суммы реакций на действие двух комплексных функций:   ut   U m e j e j t и ut   U m e  j e  j t .   Очевидно, что составляющие реакции будут отличаться только знаком аргумента. Поэтому достаточно определить реакцию цепи на действие только  одной составляющей, ut   U m e j e j t .  Рассмотрим подробнее комплексную функцию U me j e j t  U me j t . (12.1) Величину U m  U me j называют комплексной амплитудой. Модуль U m равен амплитуде синусоидальной функции, а аргумент – ее начальной фазе. Второй множитель в формуле (12.1) – экспонента e j t имеет модуль, равный единице. Комплексную амплитуду удобно представлять графически, в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 12.1). Длина вектора пропорциональна амплитуде U m , а угол, образованный вектором и положительной вещественной полуосью, равен начальной фазе ψ . Совокупность векторов, изображающих несколько синусоидальных функций одинаковой частоты, называют векторной диаграммой. Векторная диаграмма позволяет наглядно судить с соотношениях между амплитудами и начальными фазами гармонических напряжений и токов цепи или ее участка. Между синусоидальной функцией и ее символическим изображением в виде комплексной амплитуды существует однозначное соответствие. Если задана гармоническая функция, то с помощью формулы (12.1) находится ее комплексная амплитуда. Комплексная амплитуда не зависит от времени и является функцией частоты, так как ее модуль и аргумент (амплитуда и начальная фаза синусоидальной функции) Рис. 12.1 зависят от частоты приложенного сигнала. Поэтому комплексную амплитуду гармонической функции можно рассматривать как преобразование временной функции в частотную область. 107 Наряду с комплексной амплитудой при расчете цепей синусоидального тока широко используют другую комплексную величину – комплексное действующее значение: U U  m  Ue j .  Комплексное действующее значение представляет комплексное число, модуль которого равен действующему значению гармонической функции, а аргумент – ее начальной фазе. Величины U  U m  и I  Im  называют комплексными напряжением и током цепи. Использование комплексных амплитуд значительно упрощает расчет цепей синусоидального тока. Это объясняется тем, что дифференцированию гармонической функции соответствует умножение комплексной амплитуды на jω , а интегрированию – деление на jω . Поэтому при переходе к комплексным амплитудам мы получаем систему алгебраических уравнений. Уравнения имеют такую же форму, как и для резистивных цепей, только все токи и напряжения оказываются комплексными. Это позволяет применять для анализа цепей синусоидального тока все методы расчета цепей постоянного тока. Расчет цепи синусоидального тока символическим методом проводится в следующем порядке. На первом этапе гармонические токи и напряжения заменяют комплексными амплитудами и определяют комплексные сопротивления ветвей цепи. Затем составляют систему уравнений для комплексных амплитуд в соответствии с любым методом анализа резистивных цепей. Решая полученные уравнения, находят комплексы искомых токов и напряжений. Итак, при анализе цепей синусоидального тока операции над гармоническими функциями можно заменить операциями над комплексными амплитудами, которые являются символическими изображениями этих функций. Соответствующий метод получил название метода комплексных амплитуд или символического метода. Метод комплексных амплитуд был разработан американскими электротехниками А. Кеннели и Ч. Штейнметцем. 2. Комплексные сопротивление и проводимость. Закон Ома в комплексной форме Рассмотрим участок цепи, напряжение и ток которого изменяются по гармоническому закону: ut   U m sin t  U  , it   I m sin t   I . Соответствующие комплексные амплитуды: 108 U m  U m e jU , Im  I m e j I . Отношение U m Z Im (12.2) называют комплексным сопротивлением участка цепи. Формула (12.2) выражает закон Ома в комплексной форме. Представим комплексное сопротивление в показательной форме: Z U m  Z e j . Im Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока: Z Um . Im Его называют полным сопротивлением. Аргумент комплексного сопротивления    U   I равен углу сдвига фаз между напряжением и током. Он положителен при отстающем токе (индуктивная нагрузка) и отрицателен при опережающем токе (емкостная нагрузка). Запишем комплексное сопротивление в алгебраической форме: Z  R  jX . Вещественную часть комплексного сопротивления R  Z cos называют активным сопротивлением. Мнимую часть комплексного сопротивления X  Z sin φ называют реактивным сопротивлением. Полное сопротивление Z  R   X  . Величину, обратную комплексному сопротивлению называют комплексной проводимостью:  Im Y   Ye j .  Z Um 109 Im – полная проводимость. Um В алгебраической форме комплексная проводимость Y  G  jB . Вещественную часть комплексной проводимости G  Y cosφ называют активной проводимостью. Мнимую часть комплексной проводимости B  Y sin φ называют реактивной проводимостью. Нетрудно установить связь между активными и реактивными составляющими комплексных сопротивления и проводимости: Модуль комплексной проводимости Y  Y   R X     j . Z R  jX R  X  R  X  Таким образом, активная и реактивная проводимости равны соответственно: G Аналогично R X R , B  .  R X R  X  G , G  B  X  B . G  B  В заключение определим комплексные сопротивления двухполюсных элементов. Соотношения между комплексами напряжения и тока на зажимах резистивного, индуктивного и емкостного элементов следующие: 1  U R  RI , U L  jωLI , U С  I. jωC Соответственно комплексные сопротивления ZR  U R U  R , Z L  L  jL  jX L , IL IR ZС  U C  j     jX C . IC jC C Комплексные сопротивления при последовательном или параллельном соединениях элементов находят так же, как и в случае резистивных цепей постоянного тока. Если известно комплексное сопротивление участка цепи, то по заданной амплитуде тока можно найти комплексную амплитуду напряжения. 110 3. Расчет установившегося синусоидального режима в простейших цепях Используем символический метод для расчета установившегося синусоидального режима в простейших цепях. Расчет будем вести в комплексной форме, без составления уравнений для мгновенных значений напряжений и токов. В соответствии с общепринятой практикой расчет будем вести для действующих значений напряжений и токов. В самом начале расчета определяются комплексные действующие значения напряжений и токов источников, а также комплексные сопротивления ветвей. Последовательная RL-цепь. Рассмотрим RL-цепь, показанную на рис. 12.2. Поскольку элементы соединены последовательно, комплексное сопротивление Z RL  R  j L . Рис. 12.2 Полное сопротивление RL-двухполюсника равно модулю Z RL , т. е. равно Z RL  R 2   2 L2 . Аргумент Z RL   arctg  L R  . Поэтому в показательной форме записи Z RL  R 2   2 L2 e jarctg L R  . Комплекс тока в цепи 111 I  E E  e j  2 2 2 R  j L R  L U  arctg  L R   . Отсюда действующее значение и начальная фаза тока I E R   2 L2 2 ,  I   U  arctg  L R  . Мгновенное значение тока в цепи it   2I sin t   I  . Полученное решение показывает, что амплитуда тока и его начальная фаза зависят от амплитуды приложенного напряжения, величины R и L, а также от частоты  . Ток отстает от напряжения, приложенного к цепи, на угол   arctg  L R  . Этого и следовало ожидать, поскольку сопротивление цепи имеет индуктивный характер. Последовательная RC-цепь. Рассмотрим RC-цепь, показанную на рис. 12.3. Комплексное сопротивление Z RC  R  j 1 . C Рис. 12.3 Полное сопротивление последовательной RC-цепи равно Z RC  Аргумент Z RС R2  1 2C2 . 112   arctg  1 CR   arctg 1 CR . В показательной форме записи комплексное сопротивление RC-цепи Z RC  R 2  1 e  jarctg1 CR  . 2 2  C Комплекс тока в цепи I  E 1 R j С  E 1 R  2 2  C e j  U  arctg 1 CR   . 2 Отсюда действующее значение и начальная фаза тока I E 1 R2  2 2  C ,  I   U  arctg 1 CR  . Поскольку комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер, ток опережает приложенное напряжение. Как и в случае RL-цепи, амплитуда тока и его начальная фаза зависят от частоты  . 5. Заключение 1. 2. 3. Величину U m  U me j называют комплексной амплитудой. Модуль U m равен амплитуде синусоидальной функции, а аргумент – ее начальной фазе. Комплексная амплитуда не зависит от времени и является функцией частоты, так как ее модуль и аргумент (амплитуда и начальная фаза синусоидальной функции) зависят от частоты приложенного сигнала. Поэтому комплексную амплитуду гармонической функции можно рассматривать как преобразование временной функции в частотную область. Использование комплексных амплитуд значительно упрощает расчет цепей синусоидального тока. Это объясняется тем, что при переходе к комплексным амплитудам мы получаем систему алгебраических уравнений. 113 4. 5. Уравнения имеют такую же форму, как и для резистивных цепей, только все токи и напряжения оказываются комплексными. Это позволяет применять для анализа цепей синусоидального тока все методы расчета цепей постоянного тока. Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока Z  U m Im называют комплексным сопротивлением участка цепи. Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд напряжения и тока. Его называют полным сопротивлением.