Применение ЭВМ в инженерном проектировании. Математическое моделирование

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВВЕДЕНИЕ Слова «модель», «математическое моделирование» все более входят в жизнь современного общества. В первую очередь это связано с развитием и внедрением вычислительной техники: создание алгоритмических языков программирования и математического обеспечения ЭБМ позволило эффективно использовать методы вычислительной математики при решении разных задач, в том числе и инженерных. Применение ЭВМ в инженерном проектировании дает следующие преимущества: повышение производительности и качества работы проектировщиков, резкое ускорение процессов проектирования, без которого проектируемая машина устаревает к моменту своего изготовления; - обоснованный выбор параметров и вариантов машин. Уменьшение цены ошибки, так как выбор неудачного варианта современного оборудования и машин ведет к финансовым потерям, расходу материальных и Трудовых ресурсов, удлинению сроков изготовления, неконкурентоспособности на рынке, С другой стороны, знания основ математического моделирования необходимы инженеру-проектировщику не только как пользователю ЭВМ, но и для инженерного анализа и принятия решений. Процесс инженерного проектирования состоит из трех видов деятельности: изобретательства, инженерного анализа и принятия решений. Инженерный анализ - основная составляющая часть учебных курсов всех технических дисциплин, в свою очередь, основой инженерного анализа является математическое моделирование. Базой для изучения курса "Моделирование процессов в расчетах на ЭВМ" служат знания, полученные при изучении таких дисциплин, как математика, вычислительная техника, теоретическая механика, сопромат, теория механизмов и машин и пр. Целью данного курса является ознакомление с основными понятиями математического моделирования, общими принципами построения моделей технических 'Объектов, оптимизацией их параметров, а следовательно, математической структурой моделей и методами из решения на ЭВМ. 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В настоящее время методы моделирования - это основные методы исследования технических объектов и технологических процессов, так как опыты в производственных условиях либо слишком дороги, либо их практически невозможно произвести. Возможность использования теоретических данных в производственных условиях представляет большую практическую ценность, так как позволяет получить расчетные результаты без дорогостоящих экспериментов. Эксперимент не нужен лишь в том случае, если разработана теория данного процесса, на основе которой можно получить информацию путем построения и исследования математических моделей. Трудность создания математических моделей на основе известных фундаментальных законов физики, химии и других состоит Главным образом в том, что эти законы описывают только отдельные или единичные явления, а машины и технологические процессы состоят обычно из совокупности взаимосвязанных элементов и явлений, описание которых чаще всего отсутствует. При отсутствии теории иногда удается предложить гипотезы и создать на их основе математические зависимости, пригодные для определения отдельных характеристик объекта или процесса. При проектировании, эксплуатации и совершенствовании машин необходима информация, которую можно получить прямым или косвенным измерением показателей непосредственно в производственных условиях (самый дорогой эксперимент) или на лабораторных установках (с помощью физических моделей), а также вычислением при помощи имеющихся математических зависимостей математических моделей. Прогнозировать изменения характеристик объекта (процесса) или искать их оптимальные сочетания можно только на основе математических моделей. Определение модели. С незапамятных времен при изучении сложных процессов, явлений, или, выражаясь современным языком, проектировании новых объектов, человек применяет модели. Слово «модель» обозначает меру, способ, образ и т. п. «Модель» чаще всего употребляют как образец чего-либо и как изображение изучаемого процесса или объекта. Модель - это такой материальный или мысленно представленный объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для исследования типичные его характеристики. Назначение модели. При изучении сложных процессов, конструировании новых объектов инженер применяет модели, Хорошо построенная модель доступнее для исследования, чем реальный объект. Более того, некоторые объекты вообще не могут быть непосредственно исследованы: принципиально неосуществимы эксперименты с прошлым, недоступны планеты солнечной системы, с моральной точки зрения недопустимы эксперименты военные или с экономикой страны и т, п. Другое, не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта, поскольку сама модель отражает лишь некоторые основные характеристики объекта-оригинала. Также модель позволяет научиться правильно управлять объектом, отрабатывать различные варианты управления на модели объекта. Экспериментировать в этих целях с объектом-оригиналом часто неудобно или невозможно по причинам большой продолжительности эксперимента во времени, риска привести объект в необратимое состояние и т. д. Если объект исследования обладает динамическими характеристиками, т.е. характеристиками, зависящими от времени, особое значение приобретает задача прогнозирования динамики состояния такого объекта под воздействием различных факторов. Для решения задачи может быть использована модель, Итак, модель нужна: - для того чтобы понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающей средой; - для того чтобы научиться управлять объектом или процессом и определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях; - для того чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия различных способов и форм воздействия на объект. 1.1. Приемы моделирования Процесс построения модели называется моделированием. Моделирование - это метод изучения объектов, при котором вместо оригинала исследуют другой объект (модель), а результаты используют для получения количественной оценки оригинала. Существует несколько приемов моделирования, которые можно условно объединить в две большие группы: материальное (предметное) и идеальное моделирование. Моделирование можно понимать как создание некой системы модели (второй), имеющий определенное сходство с первой системой (оригиналом). Две эти системы, из которых одна рассматривается как отображение другой, связаны соотношением подобия. Здесь моделирование носит материальный характер, поскольку его реализация требует создания специальных устройств, воспроизводящих исследуемую систему. Любую материальную модель строят на основе мысленной, которая возникает в результате осмысливания наглядно-физических представлений о моделируемом объекте. С другой стороны, моделирование можно понимать как познавательный процесс, заключающийся в переработке информации о явлениях, происходящих в окружающей среде. В результате переработки такой информации в сознании появляются образы, имеющие определенное сходство с соответствующими объектами. Сумма этих образов позволяет выявить свойства - качества изучаемых явлений и их взаимодействие. Здесь моделирование носит мысленный или идеальный характер. Следовательно, модель можно определить как совокупность сведений об объекте, выраженных в той или иной форме. Сущность же моделирования сводится к замене существующей системы (оригинала) моделью, воспроизводящей ее свойства. Моделирование можно определить как процесс построения и практического использования мысленных (идеальных) или материальных моделей (рис.1). Рис. 1. Виды моделировании К материальным относятся такие способы моделирования, при которых исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. Основными разновидностями материального моделирования является физическое и аналоговое моделирование. Физическим принято называть моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследования (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия. Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями, логическими схемами и т.п.). В обоих типах материального моделирования модели являются материальным отражением исходного объекта и связаны с ним своими геометрическими, физическими и другими характеристиками, причем процесс исследования тесно связан с материальным воздействием на модель, т.е. состоит в натурном эксперименте с ней. Таким образом, предметное моделирование по своей природе является экспериментальным методом. От предметного моделирования принципиально отличается идеальное моделирование, которое основано не на материальной аналогии объекта и модели, в на аналогии идеальной, мыслимой. Идеальное моделирование носит теоретический характер. Различают два типа идеального моделирования: интуитивное и знаковое. Под интуитивным понимается моделирование, основанное на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающимся формализации либо не нуждающимся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека может считаться его интуитивной моделью окружающего мира. Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого- либо вида: графики, чертежи, наборы символов и т. д., а также включающее совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и их элементами. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на тык** математики, и с использованием тех или иных математических методов. Классическим примером математического моделирования является описание и исследование основных законов механики И. Ньютоном средствами математики. Следовательно, математическим моделированием можно назвать процесс представления объекта исследования совокупностью или системой математических структур: уравнений, неравенств, таблиц, графов и т. д. 1.2. Физическое моделирование В этом случае реальному объекту (оригиналу) соответствует его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследования (как правило, лабораторные), а затем перенесение свойств изучаемых процессов с модели на объект с помощью теории подобия. Исследования при помощи физического моделирования проводят в следующем порядке: - изучают объект (процесс) и собирают необходимые данные о его параметрах; • рассчитывают, проектируют и изготавливают физическую модель; • проводят исследования на модели, т.е, получают те характеристики, которые определяют процессы в моделируемых объектах; • пересчитывают характеристики модели на исследуемые объекты. Физическая модель должна быть подобна объекту. Подобными называют такие явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их параметров постоянны. Величину отношения сходственных параметров двух явлений называют константой подобия или масштабным множителем. Подобие явлений или системы оценивают инвариантами подобия, т.е. отношениями сходственных параметров в пределах каждой системы, которые для подобных систем должны быть постоянны, Инварианты подобия, представляющие отношения простых однородных величин, называют симплексами, а инварианты, представляющие отношения сложных разнородных величин - критериями подобия, или комплексами. Например, течении вязкой жидкости в двух трубах подобны, если для них одинаковы значения безразмерного параметра (критерия подобия) - числа Рейнольдса. При создании физических моделей трудно соблюсти подобие по всем симплексам или критериям. Рассмотрим два известных критерия подобия в гидродинамике -Фруда и Рейнольдса. При выборе модели по критерию Фруда условие подобия запишется как где vмод, vор, gмод, gор, Iмод, Iор –соответственно скорости, ускорение свободного падения и геометрические размеры модели и оригинала. Учитывая, что gмод=gор, получаем: Тогда масштабный коэффициент скорости масштабный геометрический коэффициент a т.е. для уменьшения скорости потока в модели в КV раз модель должна быть уменьшена в раз. При выборе модели по критерию Рейнольдса для одной и той же жидкости вязкость в модели и оригинале одинакова: υмод = υор Тогда условие подобия имеет вид: или где vмод, vор, Iмод, Iор соответственно скорость, линейный и геометрические размеры модели и оригинала. Масштабный коэффициент для скорости и потом т.е., если модель уменьшена по сравнению с оригиналом в К1, раз, то скорость ее должна быть изменена в раз. Следовательно, изменяя геометрические параметры, невозможно выстроить физическую модель, удовлетворяющую одновременно критериям Re и Fr. При увеличении числа критериев построить физическую модель, подобную оригиналу, практически невозможно. Поэтому часто создают приближенные модели, т.е. такие, которые не отражают характер всех явлений процесса, но наиболее важны для данной задачи. Те объекты, которые сложны для физического моделирования, разделяют условно на более простые части и моделируют каждую отдельно. Примеры такого моделировании - лабораторные установки для исследования сушки зерна в слое, для исследования процесса разделения зерна в воздушном потоке и прочее. В подобных установках соблюдается в основном геометрическое подобие, которое необходимо, но часто недостаточно. 1.3. Аналоговое моделирование Главные требования при моделировании - это возможность получения необходимых данных на модели более простым или более дешевым способом, а также возможность количественного переноса данных моделей на оригинал. Этим двум требованиям могут отвечать не только единство физических свойств модели и оригинала, но и другие черты общности. Самые различные по физическому механизму явления могут быть описаны одинаковыми по форме уравнениями, т.е. для различных физических явлений существуют одинаковые или аналогичные качественные закономерности. Аналогичными называют объекты и процессы, описываемые аналогичными или одинаковыми по форме уравнениями, Уравнения называют аналогичными, если они содержат различные физические величины, но все операторы (знаки алгебраических действий, символы функций, символы дифференцирования и интегрирования и т.д.) совпадают и следуют в одном и том же порядке. Величины, которые в аналогичных уравнениях стоят на одинаковых местах, называют аналогами. Например, в технологии хранения и переработки зерна применяют метод электродинамических аналогий, основанный на аналогичности уравнений, описывающих фильтрацию воздуха в пористых средах (движение агента сушки в сушилках для зерна, движение воздуха в силосах при активном вентилировании зерна и т.п.) и прохождение тока в объеме электролита. Чаще всего объемную задачу приводят я плоской и вместо электролита используют электропроводную бумагу. Процесс фильтрации подчиняется закону Дарси-8ейсбаха, а прохождение электрического тока - закону Ома, которые можно описать одинаковыми по форме уравнениями. Аналогом скорости воздуха будет плотность тока, аналогом коэффициента фильтрации - проводимость, а аналогом давления - электрический потенциал. Запишем эти законы: Дарси - Вайсбаха где ω- вектор скорости жидкости; К- коэффициент фильтрации; p -давление; i - вектор плотности тока; V удельная проводимость среды; и- электрический потенциал; векторный оператор. Градиент скалярной величины (давления, электрического потенциала и т. д.) - это вектор, направление которого соответствует возрастанию данного скаляра с наибольшей скоростью. Численное значение градиента равно производной от скалярной величины по данному направлению (оси координат). Примером аналогового математического моделирования могут также служить уравнения, описывающие механические колебания маятника и работу генератора в электрической сети с индуктивным емкостным и омическим сопротивлениями, то есть колебательный контур: ; где Im - момент инерции маятника; φ - угол отклонения маятника; h -момент трения маятника (вязкое трение); m, I - масса и длина маятника; F(τ) - возмущающая сила; τ - время; L -индуктивность; q - электрический заряд; R - омическое сопротивление; Е - электродвижущая сила; С - емкость. В процессах хранения и переработки зерна этими уравнениями описываются закономерности движения рабочих органов сепараторов и вибрационных транспортеров. Для описания закона колебания прицепа в горизонтальной плоскости при трогании автомобиля первое уравнение может использоваться в следующем виде: где Fk - сопротивление качению; V - скорость автомобиля; lm -момент инерции относительно точки соединения прицепа с автомобилем; S- расстояние от центра масс прицепа до точки его соединения с автомобилем. Процесс нарастания первичного тока в катушке зажигания описывается согласно второму закону Кирхгофа следующим дифференциальным уравнением: , где L - индуктивность первичной обмотки; R - полное сопротивление первичной цепи. Примером аналогового моделирования может служить уравнение В технологии хранения и переработки зерна этим уравнением можно описать изменения различных показателей качества процесса: кинетику сепарирования, осаждения, дробилках и др. Уравнением вида можно описать нагрев и охлаждение зерна, перемещение влаги в зернопродуктах при увлажнении и сушке, фильтрацию воздуха в слое зерна при сушке и активном вентилировании, вязкое трение воздуха и жидкости -при течении по трубам и пр. Здесь обозначены: к -коэффициент пропорциональности; y-характерный параметр; 5-площадь сечения; τ- время; X - линейный размер; Q • расход вещества или энергии. Таблица 1 Механические и электрические аналоги реологических свойств тел Аналогия Тело Гука σ=δE Ньютоновская жидкость σ=μδ Максвеловская жидкость Твёрдое тело Механическая f=k1x f=k1x f=k3x-k1x Электрическая U=k2q U=k4q U=k1q-k2q Примечание: σ - напряжение; E - модуль упругости; δ - деформация сдвига (относительное удлинение); μ - вязкость Ньютоновской жидкости; f сила; ,X- смещение; U- электрический потенциал; q электрический заряд; k1 k2 k3 k4- коэффициенты пропорциональности. Тождественность уравнений, описывающих различные физические процессы, позволяет широко применять электрогидродинамическую, теплогидродинамическую (гидроинтеграторы), магнитогидродинамическую, электромеханическую, электротепловую и другие аналогии. В табл. 1 приведены примеры, которые являются моделями прямой аналогии, поскольку аналоги отличаются только масштабами. Кроме моделей прямой аналогии, применяют устройства непрямой аналогии, в которых соотношения аналогичных параметров оригинала и модели описываются более сложными зависимостями в результате выполнения отдельных математических операций на модели. 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Математическим моделированием технологических процессов и объектов называют способы представления их математическими моделями. Математическую модель строят на основе физической мысленной модели, которая, в свою очередь, возникает на основе совокупности наглядно - физических представлений об оригинале. Мысленная (идеальная) модель описывает качественную сторону объекта, а его количественное описание можно получить только при помощи различных математических соотношений или структур. Математическое моделирование имеет следующие преимущества по сравнению с физическим: позволяет получить при помощи одного устройства (модели) решение целого класса задач; обеспечивает быстроту и легкость перехода от одной задачи к другой; позволяет легко ввести в модель параметры и различные условия; позволяет моделировать различные объекты типовыми математическими моделями. На основе известных фундаментальных законов можно получить только общий вид уравнений математического описания, а численные значения коэффициентов в этих уравнениях должны быть найдены экспериментально. Во многих случаях целесообразно комбинировать установки физического и математического моделирования о единую систему, позволяющую совместить преимущества обоих методов. Модели как одну из форм отражения действительности классифицируют по различным признакам: полноте, точности, степени определенности, степени непрерывности или дискретности, способу реализации, назначению, области применения и т. п. Иногда модели разделяют на три типа: портретные, которые точно копируют оригинал (макет машины, физическая модель технологического процесса), аналоговые, которые отражают свойства оригинала другими, более выразительными средствами (графическая схема технологического процесса, представление какой-либо физической величины другой, более удобной для измерения величиной), и символические, или знаковые, которые дают изображение оригинала при помощи различных знаков. К знаковым моделям относит и математические модели. Принципы классификации моделей могут быть различными. Модели, описывающие природу, существенные свойства элементов, называют структурными, а модели, описывающие только структуру - структурными. Можно модели классифицировать по степени абстракции: описательные, иконографические, физические, аналоговые, знаковые. Если описательные модели составлены не в произвольной форме, а по принятой последовательности признаков, их называют формализованными. Иконографические, или графические, модели представляют объект в виде рисунка, фотографии, чертежа, блок-схемы или графика, Иконографическими моделями можно назвать различные изображения технологических связей между машинами и аппаратами (технологическая, структурная, функциональная и другие схемы). Физические масштабные модели являются отражением реального объекта в некотором масштабе, а физические аналоговые основаны на использовании аналогии в различных средах или системах. В этом случае они будут математическими, а по способу реализации моделируемых сторон реального объекта будут относиться к физическим моделям. К знаковым моделям относят химические формулы, математические модели и др. По степени определенности модели могут быть детерминированными (строго определенными во времени), вероятностными (случайными), игровыми. Если каждый элемент модели соответствует таким же элементам (параметрам, свойствам и пр.) оригинала, то модель называют изоморфной. Если же каждый элемент модели представляет группу элементов оригинала, то модель называют гомоморфной. Модели можно различать по наименованию процесса (модели сушки зерна, сепарирования зернопродуктов, модель процесса зажигания, модель процесса зарядки аккумулятора); по назначению (модели для демонстрации, обучения, исследования механизма явлений, выбора технологических режимов, совершенствования оборудования, системы управления); по характеру изменения параметров (модели статики, кинетики, динамики). Многообразие объектов, целей и задач моделирования, а также возможностей их математического описания породило множество различных типов математических моделей. 2.1. Типы математических моделей и основные признаки их классификации По характеру отображаемых свойств объекта математические модели делятся на структурные и функциональные. Структурные модели отображают структурные свойства объекта, элементы и связи между ними. Различают топологические и геометрические структурные модели. В топологических моделях отображается состав и взаимосвязи элементов объекта. Их применяют для описания объектов (систем), состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки элементов к определенным пространственным позициям (например, задача компоновки оборудования) или к относительным моментам времени (например, при разработке технологических процессов, составлении графиков). Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц и т.д. В геометрических моделях дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме объекта. Геометрические модели объектов с несложными поверхностями выражаются с помощью аналитических методой - уравнениями пиний, поверхностей и пр., В работе со сложными поверхностями для их моделирования применяют другие модели: каркасные, например, с выделением конечного множества элементов. Функциональные математические модели предназначены для отображения физических процессов, протекающих а объекте при его функционировании. Обычно функциональные модели представляют собой системы уравнений. 8 зависимости от физический природы объекта выделяют механические, теплофизические и другие модели. По способу представления свойств объекта функциональные модели делятся на аналитические и алгоритмические. Аналитические модели представляют собой явные математические выражения. Они наиболее экономичны, однако их можно построить лишь в некоторых частных случаях, при принятии существенных допущений, снижающих точность модели. Алгоритмические модели выражают параметры объекта и их связи а форме алгоритма и могут быть представлены в виде сложной алгоритмически заданной функции многих переменных исходных данных, обычно реализуемых на ЭВМ. Алгоритм вычисления этой функции строится на сочетании традиционных математических форм описания объекта с логическими процедурами, отражающими закономерности существования реального объекта. По способу получения математические модели можно отнести к трем большим классам: эмпирические (формальные), теоретические (физические), комбинированные. Эмпирические (формальные) модели строятся на основе данных о процессе (объекте), полученных экспериментально. Они часто называются также статистическими, так как при обработке данных применяют математическую статистику. Эти модели не описывают механизма явлений. Основное достоинство эмпирических моделей - простота построения, а главный недостаток - малая надежность экстраполяции, т. е. малая надежность применения полученных данных в других условиях. Например, проведенные исследования и накопленный опыт показывают, что в случае постепенных отказов изменение параметров технического состояния автомобиля в зависимости oт времени или пробега носит плавный, монотонный, характер и аналитически достаточно хорошо может быть описан двумя видами функций: а) целой рациональной функцией П-го порядка где а0 - начальное значение параметра технического состояния; l - наработка; а1, а2,…, аn коэффициенты, определяющие характер и степень зависимости y от l; или 6) степенной функцией где а1 и b - коэффициенты, определяющие интенсивность и характер изменения параметров технического состояния. В практических вычислениях по первой формуле достаточно использовать члены до четвертого порядка. Теоретические модели строят на основе изучения физических закономерностей функционирования объекта проектирования, построения аналитических закономерностей. Физические теоретические модели строят на основе известных физических законов (законы механики, закон Гука), используют известные теоретические описания процессов (например, сушки, измельчения, смешивания, сгорания горючей смеси). При этом обосновываются необходимые теоретические допущения, как правило, выделяющие достаточное количество существенных факторов. Комбинированные модели - используют математические представления физических законов и различные математические выражения (многочлены, ряды), полученные экспериментальным путем, описывающие параметры системы или объекта. В зависимости от глубины знания о функционировании объекта или системы модели можно условно представить как внешние или внутренние. Если этих значений недостаточно, то часто используют модели типа «вход - выход». При этом не интересуются динамикой изменения параметров, а описывают только внешнее поведение систем. Такие системы называют «черный ящик» или внешние. Внутренние модели описывают изменения (динамику) состояния параметров системы. Для установления связи «вход - выход» системы целесообразно составлять структурную и параметрическую схему изучаемого объекта. Процесс сепарирования определяется большим числом факторов, характеризующих технологические схемы, принципы действия и рабочие органы сепарирующих машин, геометрические размеры и физические свойства отдельных компонентов разделяемой смеси, их концентрацию. Структурная схема процесса разделения весьма проста и не нуждается в специальном изображении, а параметрическая показана на рис.2. Рис.2. Параметрическая схема процесса сепарирования Входные параметры: qB - удельная нагрузка на единицу ширины рабочего органа; qF. - удельная нагрузка на единицу площади рабочего органа; аЧ - характеристика частиц разделяемого продукта; ai - концентрация частиц разделяемого продукта; аро - размеры и форма отверстий сит; Vч - начальная скорость частиц; А - амплитуда колебаний рабочего органа; п - частота колебаний; β - угол отклонения тяг от вертикали; α - угол наклона сит к горизонтали; а, в, с, h - геометрические размеры рабочих орган» (пневмосепарирующих каналов и др.). Входные параметры относятся к управляемым регулируемым воздействиям. Выходные параметры могут быть оценками процесса: Пi - количество прохода i-й фракции; Сi- - количество схода i-й фракции; 3пi 3ci - качество сходовой или проходовой фракции, в частности зольность фракции; Еп, Ес - технологическая эффективность (разделяемость) прохода или схода; Е - энергетические показатели; Еэк - экономические показатели; Ез - эксплуатационные показатели и др. Анализ существующих теоретических представлений позволяет установить возможные связи между параметрами аналитическими или наиболее эффективными экспериментальными методами (принять план эксперимента). а зависимости от характера изменения параметров можно выделить модели статики, кинетики и динамики. Например, модель статики процесса сепарирования дает зависимость выходных параметров от входных при установившихся режимах. В большинстве случаев статические характеристики получают экспериментально. Например, найдено (на основе однофакторных экспериментов) большое количество зависимостей эффективности разделения от n, A, q, что имеет практическую ценность для конкретных случаев (условий). Научная значимость их весьма невелика. Более общий характер носят экспериментальные модели с многофакторным планированием. Такие модели также не вскрывают механизма процесса. Модель кинетики дает закономерности изменения параметров изучаемого объекта во времени. Для установления количественных связей между входными воздействиями - факторами и выходными -критериями используются теории процессов разделения (сепарации): аналитическая и вероятностная. Технологическая эффективность Е разделения рассматривается в кинетике как изменение степени разделения во времени. По уравнениям математической модели можно установить степень разделения исходной смеси в любой заданный момент времени или установить время для достижения заданного эффекта. В основе аналитического метода лежит уравнение материального баланса процесса разделения 2-компонентной смеси После построения модели на базе балансового уравнения в дифференциальной форме и его решения можно получить зависимость величины проходовой или сходовой фракции во времени Интенсивность сепарирования изменяется по экспоненте в Зависимости от переменных X, k, v и τ, где X = v·r (r - время сепарирования), а скорость перемещения зерна по ситу есть функция кинематических и установочных параметров сита (рис.3). Задавая различные значения -V, к, v, можно определить время для достижения требуемой степени разделения или при заданной степени разделения установить необходимое время. При вероятностном подходе (построении вероятностной модели кинетики сепарирования) разделение смеси рассматривается как случайный марковский процесс с непрерывным блужданием частиц в слое и поглощающим барьером на поверхности сита. На основе этих предпосылок получена аналитическая зависимость вероятности перехода частиц из слоя на поверхность рабочего органа, которая может быть отождествлена с извлечением проходной фракции. где Е - степень извлечения проходовых частиц из смеси; т - продолжительность сепарирования; Т — постоянная времени. Постоянная величина Т равна времени, по истечении которого остаток на сите уменьшится в е раз; ее определяют по выражению где k- коэффициент пропорциональности; с- концентрации проходовых частиц в исходной смеси; δ- отношение диаметра отверстий сита к диаметру частиц. Примером другого вероятностного описания кинетики сепарирования является математическая модель, на основе которой определяют вероятность прохода отдельных частиц через отверстия в сиге в зависимости от кинематических режимов, формы и геометрических размеров частиц и отверстий рабочего органа. Модели динамики описывают переходные процессы во времени из одного установившегося состояния в другое. Динамическими характеристиками считают закономерности изменений выходного параметра во времени при нанесении одного из стандартных возмущений (ступенчатое, импульсивное, колебательное) на входную величину. Для объекта с т выходными и с п входными параметрами можно получить m × n динамических характеристик. Одним из основных возмущающих воздействий при сепарировании является удельная подача зерна. Она оказывает существенное влияние на степень разделения, т. е. соотношения сходовой и проходовой фракции. Характеристики, определяющие переходной процесс при разделении 2-компонентной смеси по каналам «подача - сход», «подача - проход» могут быть получены из уравнения материального баланса, записанного в дифференциальной Лемме: где М - масса зерна находящегося на рабочей поверхности в зависимости от характера изменения параметров объекта. Модели динамики необходимы для создания систрмы управления, например, в таких процессах, как сушка зерна, мойка и очистка воды, измельчение, работа двигателя внутреннего сгорания и пр. Моделирование большинства технических объектов можно выполнить на микро-, макро- и метауровнях, различающихся степенью детализации рассмотрения процесса в объекте. Математические модели на микроуровне описывают физические процессы, которые протекают в непрерывном пространстве и времени. К микроуровню относятся малоразмерные задачи проектирования отдельных элементов процессов (объектов). Математической моделью технического объекта на микроуровне является система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая процессы в сплошной среде с заданными краевыми уровнями. Система уравнений, как правило, известна - это, например, уравнение теплопроводности для термодинамики, уравнение Навье - Стокса для гидравлики и т. д., но точное ее решение удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных элементов. Так как в результате получается аппроксимирующая система алгебраических уравнений весьма высокого порядка, то при моделировании сложных технических объектов приходится принимать ряд допущений и упрощений и переходить к моделированию на макроуровне. Математической моделью технического объекта на макроуровне является система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданными начальными условиями. К макроуровню относятся задачи средней размерности. Связи между параметрами объекта более сложные и не позволяют провести их теоретический анализ. Требуют более мощных и общих методов: обобщенного, табличного, узлового и переменных состояния. Обычно эти задачи проектирования узлов или машин в целом и модели их называют макромоделями. Для сложных технических объектов размерность математической модели становится чрезмерно высокой, и для моделирования приходится переходить на метауровень, На метауровне моделируют в основном две категории технических объектов: объекты, являющиеся предметом исследования теории автоматически о управления и объекты, являющиеся предметом теории массового обслуживания. На метауровне моделируют системы машин, их функционирование в различных ситуациях. Задачи микро- и макроуровня могут входить составляющими в метамодель. По назначению и цели математические модели могут быть дескриптивными и оптимизационными (description - описание). Математические дескриптивные модели, как показывает название, предназначены для описания различных процессов и объектов. На базе описательных моделей строятся оптимизационные математические модели, предназначенные для определения оптимальных параметров процесса или объекта, обеспечивающих экстремальное значение целевой функции. В моделях сложных объектов (систем) речь идет не только о решении оптимизационных задач, но и об исследовании сложных систем, прогнозировании их будущих состояний в зависимости от избираемых стратегий управления. В этих случаях используется более гибкий метод моделирования - имитационное моделирование. В основе метода лежит идея - максимально использовать всю имеющуюся информацию о системе с тем, чтобы преодолеть аналитические трудности и найти ответ на поставленные вопросы о поведении системы. Отличие метода от классического математического моделирования в том, что математические структуры, логические и аналитические, описывающие систему, представляются в виде машинной программы. В ней имитируются процессы, происходящие в реальной системе. Работа с имитационной системой представляет собой эксперимент, осуществляемый на ЭВМ, во многом она соответствует физическому эксперименту. В ходе эксперимента варьируются входные переменные, параметры модели, совершенствуются ее структура, принятые гипотезы и допущения о поведении отдельных частей системы. Каждая комбинация значений переменных описывает конкретное состояние системы. Следовательно, путем изменения значений переменных можно имитировать переход системы из одного состояния а другое. Таким образом, имитационное моделирование - это представление динамического поведения системы посредством ее продвижения от одного состояния к другому в соответствии с хорошо определенными операционными правилами. Имитационное моделирование использует итеративный процесс построения моделей, в ходе которого модель изменяется путем добавления или исключения элементов и связей между ними. После окончания разработки имитационной модели с ней проводятся машинные эксперименты, которые позволяют сделать вывод о состоянии системы. Изменения системы могут происходить либо непрерывно, либо в дискретные моменты времени. Модели систем делятся на дискретно и непрерывно изменяющиеся. Это не имеет отношения к реальной системе. Одну и ту же систему можно представить как дискретной, так и непрерывной моделью. Как правило, в имитационном моделировании время является основной независимой переменной, а другие переменные являются функциями времени. Определения «непрерывная» и «дискретная» относятся к поведению зависимых переменных (рис.4). При дискретной имитации зависимые переменные изменяются дискретно е определенные моменты имитационного времени, называемые моментами совершения событий. Рис. 4. Графическое представление откликов: а - дискретно-событийного имитатора; б - непрерывного имитатора; в - имитатора с дискретным временем При непрерывной имитации зависимые переменные модели изменяются непрерывно в течение имитационного времени Непрерывная модель может быть либо непрерывной, либо дискретной по времени в зависимости от того, будут ли значения зависимых переменных доступны в любой точке или только в определенные моменты времени. К недостаткам имитационного моделирования можно отнести следующие: построить имитационную систему во много раз дольше, труднее и дороже, чем математическую модель. Для работы (эксперимента) с имитационной моделью необходима подходящая по классу ЭВМ, так как получение результатов аналитическим путем невозможно. 2.2. Общие свойства и требования, предъявляемые к математическим моделям Модели могут быть линейными и нелинейными. Линейная модель - такая, в который совокупность логических преобразований описана уравнениями первого порядка. Нелинейность хотя бы в одном из уравнений повышает порядок всей модели. Модели могут быть непрерывными и дискретными. Дискретные математические модели - это модели, в которых все переменные и параметры дискретные величины. В дискретной модели аргументы уравнении могут принимать только заданные значения с некоторым шагом. Непрерывные математические модели выражаются непрерывными уравнениями в дифференциальной, интегральной форме используются как основные модели функционального проектирования процессов и объектов. Модели могут быть Детерминированными и стохастическими (вероятностными). Детерминированные математические мололи предполагают наличие однозначной аналитической связи м-чаду входными и выходными параметрами исследуемого процесса {объекта) Если в модели имеются случайные величины, определяемые вероятностными характеристиками, то модель называется стохастической (вероятностной). Вероятностные модели предполагают известные зависимости между законами распределения входных и выходных величин, рассматриваемых как случайные. Основные требования, предъявляемые к математическим моделям – адекватность точность, степень универсальности и экономичность. Адекватность математической модели - совпадение данных об объекте, получаемых при помощи модели, с реальными условиями и свойствами объекта. Адекватность рассматривается только по тем свойствам объекта, которые изучаются и модулируются. Точность математической модели - основное свойство, учитывающее адекватность расчетных значений параметров объекта с истинными (эталонными). Математическая модель называется адекватной по выходному параметру у, если погрешность расчета по модели выходных параметров у. не превышает заданных. Обычно задается допустимая погрешность εig и рассчитывается относительная погрешность εi. где уiм - расчетное по модели значение i - го выходного параметра; уiэ - эталонное или истинное значение i - го выходного параметра. Математическая модель адекватна с заданной точностью, если выполняется условие |εi|< εiэ. Универсальность математической модели - это возможность ее использования при анализе многих процессов и объектов. Экономичность математической модели характеризуется затратами машинного времени для ее реализации. Требования по точности, универсальности и экономичности противоречивы. Математические модели, представляющие исчерпывающую систему уравнений с большим количеством переменных и параметров, имеют высокую точность моделирования, но малую оперативность из-за громоздкого счета. Математические модели с упрощенными математическими зависимостями, с высокой степенью универсальности являются быстродействующими, но, как правило, имеют низкую точность, так как не в полной мере учитывают переменные и параметры, их взаимодействие. Математическая модель должна быть по возможности простой, так как работа со сложной моделью затруднительна, а иногда практически невозможна. В то же время должна обеспечиваться достаточная точность описания процесса или объекта. Ввиду противоречивости всех требований для получения удачного компромиссного решения хорошо иметь несколько математических моделей, результаты которых можно сравнивать. Если результаты от модели к модели меняются мало, то исследования процесса (объекта) достаточно объективны. Двигаясь в построении математических моделей от упрощенного, стандартного описания, к более полному, нужно пользоваться разными системами допущений, разным математическим аппаратом и постоянно соизмерять степень необходимой точности и простоты модели. 3. ИНЖЕНЕРНЫЙ АНАЛИЗ И ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В процессе инженерного проектирования можно выделить три наиболее общих вида деятельности: изобретателство, инженерный анализ и принятие решений. Цель инженерного проектирования состоит в разработке объекта или процесса, элемента или системы, оптимально выполняющих поставленную задачу при определенных ограничениях, налагаемых на само решение. Первым этапом является сбор информации, изучение и уяснение цели. Цель может определяться заданием или вытекать из характера работы (например, разработка патентуемого объекта или проектирование узла или машины). В любом случае первым этапом процесса инженерного проектирования является четкое определение цели, которая должна быть достигнута, или требований, которые должны быть удовлетворены. Вторым этапом процесса инженерного проектирования является описание более конкретной задачи, которая должна быть решена для достижения общей цели. Если, например, общей цепью является получение измельченного продукта, то возможным путем решения будет создание установки для измельчения перетиранием. Другим путем решения этой же задачи может быть создание установки для измельчения резанием, ударом и т.д. Другими словами, выбор пути решения задачи предполагает принятие решения. На следующем этапе инженерного проектирования обычно требуется, чтобы инженер-проектировщик получил некоторую идею -новую или старую, по-новому примененную к решению его задачи. Ему нужно сформулировать способ решения или составить общее представление о задаче. Иногда для этого требуется огромное творческое воображение, изобретательность. Иногда это просто шаблонное применение известного принципа или его пересмотренного варианта. В значительной мере качество решения определяется качеством идеи или принципа, использованного на этом этапе. В определенном смысле этап формирования идеи представляет собой основу процесса проектирования. Как только идея или способ решения задачи найдены (то есть произошло принятие еще одною решения), инженер должен проанализировать принятую идею. Инженерный анализ требует четкого определения задачи или вопроса, который должен решаться. Он требует построения модели, которая будет настолько простой, чтобы ее можно было проанализировать за приемлемое время, и в то же время настолько сложной, что полученные на ней результаты будут достаточно содержательны. Инженерный анализ этой модели долями основываться на применении физических принципов (использовании результатов научных и технических дисциплин) и нахождении численных результатов, включая их проверчу, оценку обобщение и оптимизацию. Если в результате анализа получены благоприятные результаты, то инженер должен переработать, конкретизировать свое решение с учетом производственных возможностей и ответить на возникающие на этом этапе вопросы, которые будут связаны с тем «как сделать этот объект?», а не с тем «как он будет работать?» Следующий этап - это запуск разрабатываемого объекта в производство с его дальнейшим сбытом и использованием. На рис. 5 схематически показан процесс инженерного проектирования с двунаправленными стрелками. Направление стрелок показывает, что в действительности процесс инженерного проектирования является итерационным. При решении любой задачи может потребоваться многократное повторение любого из этапов, и в значительной мере движение будет происходить как вперед, так и назад. Инженерный анализ должен основываться на системном подходе к совершенствованию технических объектов и технологических процессов. Главные критерии системного подхода - это понятия система, структура, иерархия, сложность и т. п. Системный анализ опирается на теорию исследования операций, которая предусматривает шесть основных этапов: постановка задачи; построение модели явления; ее анализ и получение решения; проверка адекватности модели и анализ качества решения; Корректура модели и решения; реализация результатов. Любые объекты рассматриваются в виде систем. Систему можно рассматривать как совокупность элементов, которые принадлежат ограниченной части реального мира, являющейся объектом исследования. Элемент - это смысловая зона, выделенная условно по любому необходимому исследователю признаку. В системе элементы определенным образом связаны друг с другом и взаимодействуют. Система - понятие относительное. В одном случае некоторая совокупность элементов может рассматриваться только как 'петь большой системы, в качестве подсистемы, а в другом - та же совокупность может быть в центре интересов исследователя, то есть рассматриваться как система. Сфера действия любой системы и любой модели системы однозначно определяется целью, для достижения которой она выделяется и идентифицируется, и система, и складывающие ее элементы субъективны и выделены конкретно для цели решения поставленной задачи. Изменилась постановка задачи ~ и в том же объекте исследования выделяются другие элементы, другая система. Каждая система окружена внешней средой, с которой она взаимодействует. Для установления сферы действия системы исследователь должен выявить ее границы и состав, физические и причинно-следственные, внутренние взаимосвязи между ее элементами (рис. 6), Внешние факторы, воздействующие на систему, оставшийся вне ее фон, могут так существенно влиять на поведение системы, перекрывать ее, что исследовать такую систему не имеет смысла и ее надо переопределить. Если внешние факторы частично воздействуют на систему, то можно использовать три варианта учета этих факторов: • расширить определение системы, включив в нее эти факторы; • пренебречь этими факторами; • трактовать их как входы в систему. Если внешние факторы трактуются как входы в систему, предполагается, что они являются независимыми переменными и задаются с помощью значений, уравнении, таблиц и т. д. Обобщенное описание внешних воздействий называется входом или исходной информацией, внешними параметрами. Вход J имеет три зоны: • управляемые, регулируемые, воздействия; • контролируемые воздействия; - неконтролируемые воздействия. Обобщенное описание преобразований информации (входов) в системе называется параметром системы. Внутренние параметры - это количественная оценка взаимодействия элементов. Критерий эффективности - количественная оценка выходов системы, выходной параметр. Математическая модель объекта, рассматриваемого как система, представляет собой функциональную связь одних параметров системы с другими. Не существует общих правил построения модели, однако можно выделить следующие основные этапы математического моделирования: - постановка задачи; • построение моделей: аналитической - на основе физических принципов, законов и теорий, экспериментальной - на основе накопления данных; • исследование математической структуры модели, выбор метода решения, получение и оценка результатов; • оптимизация; • оценка и обобщение, выдача результатов и рекомендации. Для построения модели на этапе постановки задачи необходимо сформулировать цель исследования, определить область действия или границы изучаемого процесса или объекта, глубину детализации, физические ограничения и ограничения, налагаемые условиями безопасности, требуемую точность. Сформулированная цель должна не только определять границы исследовании объекта, но и позволять выделить основные факторы - характеризующие объект проектные параметры и их зависимости, которые необходимо установить. Постановку задачи осуществляют специалисты - инженеры-механики, занимающиеся изучением и проектированием объекта. Этап построения модели подразделяется на стадии содержательного описания объекта, составления формализованной схемы и непосредственно разработки математической модели. На стадии содержательного описания необходимо сформулировать допущения, которые позволяют принять гипотезу о возможности использования физических законов, теории или других принципов. Например, законы механики, теории процессов пищевых машин, теории движения автомобилей балансовые или какие-либо другие, подходящие в данном случае, принципы. На их основе составляется формализованная схема объекта. Инженерные модели не являются точным описанием реальных объектов или процессов, которые очень сложны. Их никогда нельзя проанализировать точно и в полном объеме. Инженером всегда делаются допущения, используется аппроксимация. Принятие допущений требует от инженера глубокого знания процесса и объекта, учета всех влияющих на него факторов, степени их влияния и т. д. Только после принятия гипотезы, предлагающей, как правило, ряд упрощающих допущений, возможно построение модели. При построении модели инженер должен использовать физические принципы, законы и правила. Уравнения, полученные из исходных формул, а также специальные и сложные системы уравнений для частных случаев могут быть использованы инженером в готовом виде, если теоретическая база процесса или объекта хорошо разработана. Однако в общем случае и особенно в новых и необычных' условиях желательно использовать только основные и простейшие физические принципы. На стадии разработки математической модели необходимо преобразовать формальное описание законов и логических условий исследуемого объекта в математические уравнения с соответствующими ограничениями в аналитической форме. На этой стадии на помощь инженеру-механику приходят специалисты-математики. Когда модель построена, необходимо выбрать метод решении. С этой целью исследуется математическая структура модели. На этом этапе роль математиков становится определяющей, так как о реальных инженерных задачах чаще всего присутствуют уравнения в сложной интегральной, дифференциальной форме, не имеющие аналитического решения в явном виде. Для реализации математических моделей на ЭВМ необходимо установить в окончательном виде формулы и математический зависимости, подлежащие решению, исследовать математическую структуру модели. Большинство математических задач содержат операторы различной сложности: тригонометрические, логарифмические, гиперболические функции, векторы, интегралы, производные, матрицы. Поэтому для решения задачи на ЭВМ необходимо выбрать рациональный численный метод, то есть снести задачу к последовательности арифметических и логических действий - разработать алгоритм. Поскольку одна и та же задача может быть решена различными методами, то выбирают тот, который наилучшим образом обеспечивает выполнение ряда требований для решения поставленных задач (точность, простота, время и пр.). Затем необходимо установить последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых может быть реализован выбранный метод. Другими словами необходимо составить алгоритм решения задачи, то есть точное предписание о выполнении в определенном порядке операций, позволяющих решить поставленную задачу. Это предписание облегчает процесс вычисления и делает его однозначным. Затем можно приступить к его записи на алгоритмическом языке или непосредственно на языке данной машины, т.е. программированию. Программирование требует знания численных методов решения математических задач и деталей языка данной машины. Использование алгоритмических языков для всех машин позволяет создавать универсальные программы. Простые задачи могут быть решены специалистами отрасли, а сложные программы составляют специалисты по программированию. Они также проводят отладку этих программ. Численные методы приспособлены для решения широких классов задач и обеспечивают достаточно высокую точность решения. Даже если известен точный способ решения задачи, при использовании вычислительной машины более предпочтительными оказываются приближенные численные методы, так как они позволяют решить задачу при меньших затратах времени. На основе анализа полученного решения вырабатываются рекомендации по достижению поставленной цели. Полученная описательная (дескриптивная) модель объекта или процесса может быть использована для оптимизации. Оптимизация играет важную роль в решении инженерных задач. В тех случаях, когда нужно управлять процессом или принимать решения, недостаточно построить дескриптивную модель. Необходимо строить оптимизационные модели. Методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции из всех возможных. Оптимизация заключается в определении значений независимых регулируемых проектных параметров при ограничениях, приводящих к экстремальному значению оптимизируемого параметра. Функция, выражающая оптимизируемый параметр, называется целевой функцией. Таким образом, элементами задачи оптимизации являются: - целевая функция; - независимые регулируемые проектные параметры (переменные); - ограничения. После оптимизации построенной модели также проводятся проверки, оценки, вырабатываются рекомендации. Следует отметить, что проверки при решении инженерных задач ведутся практически на всех этапах и включают проверку не только вычислений, но и физического смысла полученного результата. 3.1. Аналитические методы построения математических моделей Аналитические методы базируются на использовании основных физических законов, действующих в механических, пневматических, гидравлических, тепловых и электрических системах. При трактовке основных законов физики для систем можно применять единый подход. Это позволяет инженеру переходить от одной области к другой, например, от гидравлики к теплотехнике, от теплотехники к механике и т. д. Для этой цели необходимо ввести следующие понятия и определения из области анализа систем: элемент, соединение, система, переменная количества, переменная расхода и разность потенциалов. Элемент - это физический предмет, характеристики которого можно определить измерениями в двух точках пространства (А и В). Элементы являются структурными единицами, из которых состоят системы (рис.7). Они могут накапливать, передавать, преобразовывать и рассеивать энергию. Типичными элементами являются генераторы, моторы, сосуды и теплообменники, трубы и т.д. Рис. 7. Элемент Соединение - это точка, к которой присоединены один или более элементов (рис. 8). В соединениях не происходит никакого накопления, передачи, преобразования или рассеивания энергии. В известном смысле они похожи на абстрактные точки систем координат. Типичными соединениями являются электрические шины, муфты для присоединения труб к сосудам, и т. п. Рис, 8. Соединение Система - это совокупность элементе, о которой алгебраическая сумма энергии равна нулю. Таким образом, создаваемая е ней энергия равна преобразуемой и рассеиваемой. Переменная количества - это переменная состояния, выражающая количество чего-либо, содержащееся в элементе. Соединения не могут содержать переменных количества, так как они только связывают элементы между собой. Переменная количества является «одноточечной» переменной, то есть она может быть определена измерениями в одной точке. Примерами переменной количества являются объем, энтропия, количество движения и электрический заряд. Переменная расхода - это скорость изменения переменной количества в единицу времени. Это тоже «одноточечная» переменная. Примерами переменной расхода являются расход жидкости, скорость изменения энтропии, мощность. Разность потенциалов - это переменная состояния, получаемая путем измерений на обоих концах элемента, т.е. в двух точках пространства. Любое соединение может иметь только одно значение потенциала (по отношению к исходной точке отсчета). Примерами разности потенциалов являются давление, температура, скорость движения тела. Рис.9 дает представление о переменных количества, расхода и разности потенциалов. F - переменная расхода; Q -переменная количества (содержащегося в элементе); Р - разность потенциалов (на концах элемента). Рис. 9. Переменные количества, расхода и разность потенциалов Переменные количества, расхода и разности потенциалов, используемые в пневматике, гидравлике, теплотехнике, механике и электротехнике представлены в табл.2. Таблица 2 Представление переменных в системах Тип систем. Переменные количества. Переменные расхода. Разность потенциалов. Пневматический. Вес. Расход газа. Давление. Гидравлической. Объём. Расход газа. Давление. Тепловые. Энтропия. Скорость изменения энтропии. Разность температур, С˚. Механические: поступательное движение, вращательное движении. Количество движения. Момент количества движения. Механическая сила. Крутящий момент. Скорость. Угловая скорость. Электрические. Заряд. Сила тока. Напряжение. Существуют два основных закона, применяемых при анализе систем: I. Сумма всех переменных расхода для любого соединения равна нулю, т.е. , где п - номер соединения; j - номер элемента, связанного соединением; F - переменная расхода. II. Сумма всех разностей потенциалов для любого замкнутого контура в системе равна нулю, т.е. , где т - номер контура; j- номер элемента, входящего в контур; р - разность потенциалов. Рис.10. Пример системы Действие этих двух законов видно на примере системы, изображенной на рис. 10. Первый закон основывается на том, что никакое соединение не может содержать количественной переменной, второй закон базируется на том, что каждое соединение может иметь только одно значение потенциала. Применяя эти два основных закона к системе, изображенной на рис. 10, получим: I. Для соединений А, 8 и С: II. Для внешнего и внутреннего контуров: В уравнениях расхода учитывается направление потока, а в уравнениях потенциала предполагается, что разность потенциалов измеряется в направлении переменной расхода. Например, Рi - это разность потенциалов между точками С и А. Примем следующие дополнительные обозначения: R-сопротивление, С - емкость. Сопротивление элемента процесса определяется как скорость изменения разности потенциалов при изменении переменной расхода: Емкость элемента определяется как скорость изменения переменной количества при изменении разности потенциалов: В частных случаях, когда элементы процессов являются линейными, В общем случае изменение разности потенциалов, измеряемой на концах элемента, состоящего из сопротивления и емкости, соединенных последовательно, выражается уравнением которое может быть положение основу аналитической модели процесса (объекта). С точки зрения системного подхода к математическому моделированию и выбору модели технических объектов необходимо выбрать такую классификацию технологических процессов, которая упростит процедуру составления математических моделей. Все единичные физические явления независимо от формы описания принадлежат какой-то совокупности, то есть группе, класс/ или типу. Для выделения из этой совокупности явлений какой-то части форму описания ограничивают дополнительными условиями или условиями однозначности {краевыми условиями). Они представляют собой геометрические характеристики аппарата или машины, физические характеристики или константы взаимодействующих веществ в заданном месте в определенное время (начальные, граничные и временные условия). Все единичные явлений, их группы, классы и типы обладают также различными признаками общности. Например, для их описания можно применить уравнения баланса, уравнения, описывающие природу, или кинетические уравнения, а также некоторые типовые процедуры. Общность некоторых явлений заключается в единстве их кинетических закономерностей, которые можно сформулировать следующим образом: значение скорости протекания какого-либо явления равно произведению его потенциала на кинетический коэффициент, а общая форма математической записи единства явлений имеет вид Где I - скорость процесса (расход); L - кинетический коэффициент; X - потенциал. Под потенциалом обычно понимают степень отличия системы от равновесного состояния (градиенты концентрации, давления, температуры и т. п.). Под кинетическим коэффициентом понимают скорость протекания явления при потенциале, равном единице (коэффициенты теплоотдачи, теплопроводности и т. д.). Для выделения класса явлений приведенное кинетическое уравнение может быть записано в виде известных законов Ньютона, Фурье, Фика и др. Кинетические законы могут быть представлены алгебраическим, трансцендентным, дифференциальным и другими уравнениями. Они могут быть выражены в виде полиномов различной степени от одной или нескольких переменных. Коэффициенты в полиномах показывают насколько единиц изменяется выход процесса при изменении исследуемого фактора на единицу варьирования. В этом и заключаете физический смысл коэффициентов регрессии как оценки влияния факторов у, на выход процесса у в исследуемой области. Параметры полиномиальной модели можно трактовать как кинетические коэффициенты, а независимые переменные - как потенциалы. Изучаемые явления можно представить многими моделями Для решения задачи надо принять существующую модель и определить для нее коэффициенты или создать новую модель. Дл*, того чтобы воспользоваться моделью, необходимо знать значения коэффициентов, сформулировать начальные и граничные условия, должен быть известен метод решения или должна существовать принципиальная возможность преобразования исходного математического уравнения к виду, пригодному для решения поставленной задачи. Построение и решение аналитической модели на практике не всегда возможно и, как правило, дополняется экспериментальными исследованиями. 3.2. Экспериментальные методы построения математических моделей Природа многих технологических процессов и объектов не описана. Поэтому для их исследования широко применяет математические модели на основе экспериментальных данных, полученных по различным планам. При проведении экспериментальных исследований обычно устанавливают связи между входными факторами, влияющими на процесс (объект), и выходными его параметрами, которые характеризуют свойства процесса или объекта. Первые из них независимые и могут принимать произвольные значения .V, на технологически возможных интервалах; вторые - зависимые у„ так как их значения определяются свойствами процесса или объекта и изменением независимых переменных. Если одна из величин у зависит от другой Л' так, что каждому значению X, соответствует вполне определенное значение у, то такую зависимость называют функциональной. Если каждому значению х, соответствует некоторая совокупность значений у, и изменение величин X проводит к изменению распределения у, то такую связь называют статистической. Частный случай статистической связи - это корреляционная зависимость, когда изменение величины Л* обусловливает изменение распределения у и его среднего значения у. самый простой вид корреляционной связи - линейный, т.е. Для снижения затрат труда, средств и времени, повышения надежности полученных результатов исследования, одновременного изучения большого числа факторов, влияющих на процесс, учета влияния каждого из факторов и межфакторных взаимодействий следует проводить активный, заранее спланированный эксперимент. Планы изменения входных факторов должны предусматривать применение простых и менее трудоемких методов обработки полученных результатов, которые позволят получить решение наиболее простыми средствами. Активные эксперименты проводят как в производственных условиях, так и на различных физических моделях. По результатам эксперимента можно получить математические модели в виде полиномов, используя методы регрессионного и корреляционного анализа. Соблюдение исходных гипотез, принятых при разработке этих методов, обеспечивает корректность получения результатов. В основе корреляционного анализа лежит следующая гипотеза -зависимая переменная величина у (выходной параметр) и независимые переменные Л', (факторы) - это случайные величины с распределением, подчиняющимся нормальному закону, и между ними существует корреляционная взаимосвязь. При корреляционном анализе определяют характер распределения и количественно оценивают разброс значений зависимой величины, получаемых при фиксированных значениях Однако во многих экспериментальных исследованиях возникает необходимость не только в количественной оценке степени взаимосвязи между входными факторами и выходным параметром, но и в определении характера этой взаимосвязи. Тогда более целесообразно применить регрессионный анализ, предполагающий связь случайной выходной величины у и неслучайных переменных X, в виде уравнения регрессии. При регрессионном анализе определяют функциональную зависимость между средними значениями коррелирующих величин, принимаемую в качестве усредненного закона взаимосвязи между ними и используемую для количественной оценки. Если в системе координат Х0y нанести среднее значение, у, соответствующее каждому значению Х„ и провести линию, соединяющую среднее значение у„ получим функциональную зависимость. Линию y = f(x) называют линией регрессии. Для того чтобы линия наилучшим образом соединяла среднее значение у„ ее проводят так, чтобы сумма квадратов расстояний всех точек, измеренных параллельной оси у, была наименьшей. Регрессионный анализ допустим при выполнении следующих условий: - значения переменной в каждом опыте являются независимыми, нормально распределенными случайными величинами; • ошибка независимых переменных пренебрежимо мала по сравнению с ошибкой зависимого переменного у, а Xi нет коррелированны друг с другом; • дисперсии зависимой переменной при переходе от опыта к опыту однородны (n- количество измерений, n - число опытов). В процессе составления математической модели корреляционный и регрессионный анализ позволяют решить следующие основные задачи: - вычислить коэффициенты регрессии для выбранного уравнения (полинома); • определить наличие связи между выходными параметрами и факторами X,, а также оценить количественно тесноту этой связи; • проверить точность вычисления коэффициентов регрессии b (оценить их значимость); • выявить, насколько выбранная форма уравнения регрессии отражает реальный процесс (проверка адекватности). Моделируемый процесс (объект) определяется многими независимыми и зависимыми переменными. Поэтому составление математической модели по экспериментальным данным требует постановки таких опытов, которые учитывали бы влияние всех основных факторов, оказывающих существенное (значимое) влияние на исследуемый объект или процесс. Для обработки и обоснования таких опытов применяют множественный регрессионный анализ, который позволяет установить зависимость выбранного показателя процесса у от определяющих факторов X т.е. определить коэффициенты При планировании эксперимента процесс (объект) представляют в виде «черного ящика», входными параметрами которого будут факторы Х„ а выходными - у„ являющиеся параметрами оптимизации. Тогда математическую модель записывают в виде функции отклика Пространство с координатами, в котором расположена поверхность отклика, называют факторным. Наиболее эффективны многофакторные планы, при которых одновременно варьируют несколькими факторами. Для проведения опытов составляют матрицы планирования, которые определяют число опытов и пределы изменения факторов. Количество вариантов опытов, которые необходимо поставить по матрице планирования, зависит от числа изучаемых факторов п. На двух уровнях для п факторов возможно 2П вариантов планирования. Для приближенного описания процесса (объекта) линейным уравнением и возможности оценки его адекватности достаточно поставить от п+2 до п+6 вариантов опытов. После составления матрицы планирования и выбора интервалов варьирования в соответствии с вариантами матрицы ставят опыты, по результатам которых рассчитывают линейное уравнение регрессии где у- вектор выхода (критерий оптимальности); bо- остаточный член уравнения регрессии; b1 - коэффициент регрессии, показывающий степень влияния i - гo фактора на вектор выхода; X1 - значения нормализованных уравнений факторов, влияющих на процесс; i -номер фактора. Вычисление коэффициентов регрессии заключается в том, что складываются значения вектора выхода всех вариантов, в которых данный фактор был на верхнем уровне, а из этой суммы вычитают сумму выхода тех вариантов, в которых данный фактор был на нижнем уровне. Затем полученное число делят на общее число вариантов N матрице планирования. Положительное значение коэффициента регрессии указывает на увеличение вектора выхода (критерия оптимизации), а отрицательное -на его уменьшение. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем больше данный фактор влияет на процесс (объект). Оба метода, экспериментальный и теоретический, взаимно дополняют друг друга и образуют тесное единство, так как при любом исследовании используют элементы обоих методов. 4. СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ Структура математических моделей технологических процессов и технических объектов весьма разнообразна. Общие черты математических описаний можно выделить на основе вида или формы уравнений, которые определяются характером протекания основного явления, совокупностью явлений и целью моделирования, то есть видом задачи, которую нужно решить исследователю. Структуру математических моделей технологических процессов и технических объектов можно представить конечными (алгебраическими и трансцендентными) уравнениями и непрерывными - обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными и др. Все уравнения могут быть линейными и нелинейными, а дифференциальные - первого или более высоких порядков. Чаще всего описания технологических процессов и объектов представляют системами уравнений. Конечные уравнения не содержат операторов дифференцирования и интегрирования. Их можно разделить на алгебраические, в которых над переменными проводят только действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональным показателем, и трансцендентные, в которые входят другие функции от переменных (показательные, тригонометрические и др.). Описания в виде конечных уравнений наиболее просты, хотя сложность зависит от числа уравнений и от вида входящих в них функций. Обычно наиболее просто решают алгебраические уравнения первой степени (линейные), а наиболее сложно - трансцендентные. Конечными уравнениями можно описать процессы на плоскости (одна независимая переменная) и в объеме (две независимые переменные). При большем числе переменных описание геометрически не интерпретируется. Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат функции лишь от одной независимой переменной. Сложность исследования модели возрастает при увеличении порядка уравнения, что практически эквивалентно увеличению числа дифференциальных уравнений в системе, так как уравнение n-го порядка всегда можно преобразовать в систему из n-уравнений первого порядка. Наиболее просто решают линейные дифференциальные уравнения, для которых разработаны специальные методы. Системы линейных дифференциальных уравнений удобно решать на ЭВМ. Нелинейность значительно усложняет решение. В поведении объектов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, обнаруживаются некоторые особенности, которые трудно предсказать. Сложность решения таких уравнений зависит от характера нелинейности. Уравнения, содержащие зависимую переменную второй степени, решить легче, чем уравнения с другими видами нелинейностей. Трудности, возникающие при решении систем дифференциальных уравнений, связаны с особенностями задания начальных условий. Чаще всего все начальные условия задаются при одном и том же значении независимой переменной. Начальными условиями при протекании многих технологических процессов обычно служат значения характеристик потоков в один и тот же момент времени (t = const). В описании машин и аппаратов это обычно характеристика потоков (расход, концентрация, температура) на входе в машину. Задачи с такими начальными условиями (задачи Коши) решаются сравнительно просто. Значительно сложнее задачи, в которых начальные условия заданы в различных точках (например, для одного потока на входе в аппарат, а для другого - на выходе, т. е. часть со стороны входа одного потока, часть со стороны входа другого). Это так называемые краевые задачи, которые иногда можно свести к задаче Коши при помощи дополнительных уравнений и упростить решение. Если же это не удается, то решение усложняется и требуется применение специальных расчетных приемов. Дифференциальные уравнения в частных производных содержат функции от нескольких независимых переменных. Задачи с этими уравнениями, как правило, отличаются наибольшей сложностью. В большинстве случаев наиболее эффективно их можно решить приближенными численными методами. При решении уравнений надо знать начальные и граничные условия. Граничные условия задаются величиной параметра (условия первого рода), нормальной производной параметра в каждой точке границы (условия второго рода) и линейной комбинацией условий первого и второго рода (граничные условия третьего рода). Кроме уравнений перечисленных типов, могут быть интегральные, логические и другие уравнения. При эмпирическом методе (экспериментальном исследовании) представить заранее вид уравнения трудно. Если выходная величина определяется одной независимой переменной X, а вид зависимости y=f(X) достаточно прост, то ее можно найти по виду графика, при многих аргументах или сложности графика это сделать трудно. Обычно исходят из следующих предпосылок. В общем виде выходная величина у зависит от контролируемых х и неконтролируемых входов г, т. е. Однако, если неконтролируемые входы влияют на у не очень сильно, это выражение можно разложить на две функции Таким образом, зависимость у от входа разделена на функцию φ от контролируемых переменных и шум ψ, Искомое эмпирическое уравнение должно описать функцию ; при этом шум будет фигурировать как случайная ошибка. Для нахождения φ(х1) обычно пользуются тем, что большинство функций, с которыми приходится иметь дело на практике, можно разложить в ряд Тейлора (степенной ряд). Если ограничиться первыми членами ряда, можно представить функцию многочленом, который будет приближенным выражением неизвестной функции φ(х1)-Степень приближения определяется величиной остатка ряда, т.е. его неучтенной части Для удовлетворительного описания процесса нужно, чтобы остаток был невелик по сравнению с шумом. Тогда дальнейшее уточнение функции не будет иметь смысла, так как нельзя выявить, действительно ли следующие члены ряда отражают уточненную функцию или они определяются случайными ошибками опытов. Вначале берут более простые многочлены; отклонение опытных точек от расчетных значений сравнивают со случайной ошибкой эксперимента, а величину случайной ошибки оценивают по результатам параллельных опытов. Если обе величины - одного порядка то описание считают удовлетворительным, если отклонение нельзя объяснить случайной ошибкой, то рассчитывают более сложный многочлен. Коэффициенты многочлена обычно рассчитывают методом наименьших квадратов. Рассмотрим функцию, зависящую от трех переменных f(x1,x2,x3) Предполагаем, что у не зависит от входных параметров и все его отклонения от среднего значения b0 объясняются случайными ошибками, то есть у = b0. Если различия между опытными и расчетными значениями у объясняются случайными ошибками, проверяют линейное приближение Если при следующей проверке уравнения будет установлена неадекватность, то результаты представляют многочленом второго порядка Если же и это уравнение неадекватно, то описывают процесс уравнением третьего порядка т. д. При увеличении многочлена повышается и точность описания, но усложняется анализ влияния каждой 'независимой переменной. С возрастанием числа коэффициентов в уравнениях увеличивается и число опытов, которые необходимо провести для их определения, так как минимальное число опытов равно числу коэффициентов, а для оценки адекватности нужно провести дополнительное количество опытов. Наиболее распространено представление эмпирических зависимостей многочленами, так как математические свойства этих приближенных формул хорошо изучены и с ними удобно проводить вычисления и анализ. Вычислительные машины позволили выбирать модели в виде полиномов даже для тех процессов, природа которых не описана математически. Некоторые свойства объекта удобнее описывать другими видами формул. В общем случае любой технологический процесс может быть описан множеством уравнений где хi - независимые переменные; bi - параметры модели. Модель Может быть линейной и нелинейной относительно независимых переменных и параметров. Использовать модель можно только в том случае, если известны количественные значения ее параметров. Во многих случаях целесообразно представить процесс несколькими моделями, позволяющими изучать процесс с различных сторон и решить поставленную задачу наиболее экономными способами. 4.1. Типы задач, решаемых численными методами на ЭВМ. Решение конечных уравнений Для процесса проектирования весьма характерна итерационная цикличность, причем на некоторых этапах выполняются большие объемы вычислений. В реальных инженерных задачах модель чаще выражена уравнениями, которые не имеют аналитического решения, либо оно чрезвычайно громоздко. В таких случаях применяются численные методы. Значение численных методов возросло с широким использованием ЭВМ. К числу задач, решаемых с помощью .вычислительной техники относятся: - решение алгебраических и трансцендентных уравнений; - решение задач на собственные значения; - решений обыкновенных дифференциальных уравнений; - решение дифференциальных уравнений в частных производных; - решение задач оптимизации; - обработка массивов числовых данных. Выбор подходящего алгоритма для решения уравнений зависит от характера рассматриваемой задачи. Задачи, сводящиеся к решению алгебраических и трансцендентных уравнений, можно классифицировать по числу уравнений и в зависимости от предполагаемого характера и числа решений. Решение линейных уравнений можно получить аналитическими методами достаточно просто. Нелинейные уравнения обычно делят на трансцендентные и алгебраические. Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например lgX или ех, называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В итерационных методах задается процедура решения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является Приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному. Итерационные методы наиболее удобны для реализации на ЭВМ. К ним относятся: метод половинного деления, метод Ньютона, метод хорд и касательных и др. В каждом из излагаемых методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней (нулей) уравнения f(X) = 0. Решение нелинейных уравнений включает два этапа: отделение корней и уточнение корня. Первый этап заключается в отыскании начального приближения корня или интервала, в котором он заключен. Такой интервал называют интервалом изоляции корня. Интервал изоляции определяется из физических соображений, графически, или табулированием функции. Условием нахождения корня на интервале [а, b] является следующее. Если на интервале [а, b] функция f(X) непрерывна и монотонна (сохраняет знак первой производной), а ее значения на концах отрезка [а, b] имеют разные знаки, то на рассматриваемом интервале один и только один корень уравнения f(X) = 0. То есть условием существования корня на отрезке [а, b] является f(a) - f(b) < 0. Уточнение корня - это итерационный процесс нахождения последовательности значений X1, X2,..., Xk приближений корня. Если эта последовательность сходится к X - истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится. Очередное приближение нельзя сравнить с истинным значением корня, так как истинное значение неизвестно. Поэтому точность полученного решения оценивается проверкой условия: либо /f(X)/ < ε, либо /Хn – Xn-1/ < ε. Если условие выполняется, итерационный процесс прекращается, а последнее найденное приближение считается решением, найденным с требуемой точностью ε. Метод половинного деления (рис.11) помогает найти корень уравнения /f(X)/ >0 с точностью ε, если известно, что корень уравнения принадлежит интервалу [а, b]. Рис.11. Метод половинного деления Метод половинного деления заключается в том, что на каждом шаге итерации интервал [а, b] делится напополам точкой «X» и та часть [а, X] или [X, b], которая не содержит корня, отбрасывается. Если функция меняет знак, значит, интервал содержит корень. Знаки функции f(X) сравниваются на границах интервалов [а, X] и [X, b]. В результате интервал изоляции уменьшается в 2 раза. Затем делится оставшийся интервал и так далее. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, то есть либо /Хn+1–Xn/ 6удет < ε, либо /f(Xn)/<ε (значение заданной функции в точке очередного приближения станет меньше заданного числа ε). Метод половинного деления не обладает высокой эффективностью, но обеспечивает сходимость и более точное приближенное значение корня. Метод касательных (метод Ньютона), в основе которого лежит разложение функции f(X) в ряд Тейлора, заключается в том, что на каждом шаге итерации к графику f(X) проводится касательная в точке начального приближения, совпадающей с одной из граничных' точек (рис.12). Далее находим точку пересечения касательной с осью абсцисс. Если касательная к f(X) проведена в точке Хп формула для нахождения точки пересечения касательной с осью абсцисс имеет вид: Рис.12. Метод касательных (Ньютона) Точка Хn+1 делит интервал изоляции корня на две части, одна из которых, не содержащая корня, отбрасывается, то есть проверяется, чтобы значение f(X) приближалось к «О». Итерация продолжается до тех пор, пока значение f(X) в точке пересечения касательной с осью «X» не станет меньше «8». На рис.13, показана блок-схема метода Ньютона. Рис.13. Блок - схема метода Ньютона Недостаток метода Ньютона - неверный выбор начальной точки - приводит к тому, что итерационный процесс не сходится. Например, точка пересечения выходит за интервалы [а, b] или внутри [а, b] есть точка перегиба. Во избежание зацикливания используется счетчик числа итераций - если за определенное число точность не достигнута, счет прекращается. В методе хорд вместо касательной проводится хорда и находится точка пересечения с осью абсцисс. Часть интервала после проверки знака f(X) отбрасывается. Затем проверяется точность результата по формулам f(X)<ε. В комбинированном методе хорд и касательных один конец интервала уменьшается с помощью метода хорд, другой - с помощью метода касательных. 4.2. Модели в виде непрерывных уравнений В процессе проектирования и разработки новых объектов: машин и технологических процессов инженер сталкивается при построении моделей с дифференциальными уравнениями, так как большая часть законов физики формулируется именно в виде дифференциальных (непрерывных) уравнений. Практически любая задача проектирования, связанная с расчетом потоков энергии или движения в конечном счете сводится к модели в виде дифференциальных уравнений. Для многих инженерных задач модели, выраженные дифференциальными уравнениями, уже получены и ими можно пользоваться. Это задачи о собственных колебаниях механической системы, задачи расчета деформации упругих элементов конструкции - стержней, балок, опор, валов, это балансовые уравнения потоков в процессах пищевого производства: сушка зерна, сепарация и т.д. Если готовые модели отсутствуют или не применимы к частному случаю, инженеру приходится самостоятельно выводить дифференциальные уравнения. Для вывода дифференциального уравнения необходимо понимать принципы дифференциального приращения. «Рассмотрим дифференциальное приращение времени τ» -этим выражением начинается вывод уравнений механики. «Возьмем элементарный (дифференциальный) объем V» - это выражение широко используется в гидромеханике, теплотехнике. Однако какие-либо правила построения отсутствуют, и этот процесс невозможно обобщить. В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. Получить дифференциальные уравнения, описывающие процесс или объект, - это только половина дела. Прежде чем можно будет найти решение, необходимо задать граничные или начальные условия. Дифференциальные уравнения можно разделить на две группы: уравнения, которые получают при решении задач с начальными условиями, и уравнения, которые получают при решении краевых задач. Решение задачи с начальными условиями требует «перехода» из известной области в неизвестную. В краевой задаче требуется найти решение, лежащее внутри области с заданными условиями на границе. На рис.14 показана схема, поясняющая эти понятия для одномерного случая. Рис.14. Схема одномерной задачи с начальными условиями (а) и одномерной краевой задачи (б) Начальными условиями при протекании технологических процессов служат значения характеристик потоков (независимых переменных) в один и тот же момент времени. Характеристики потоков в описании машин - это, например, расход, подача и другие параметры на входе в машину. Задачи с такими начальными условиями (задачи Коши) решаются довольно просто. Сложнее задачи, в которых начальные условия заданы в различных точках - граничные условия. Например, для одного потока - на входе в машину, а для другого - на выходе. Такие задачи являются краевыми. 4.2.1. Модели материального и энергетического баланса Математическое описание технологических процессов и машин во многих случаях удобно представить обыкновенными дифференциальными уравнениями, которыми можно очень компактно описать кинетику, динамику и упростить решение задачи. При описании объектов сначала составляют дифференциальные уравнения и решают их, т. е. устанавливают связи между переменными, которые входят в дифференциальные уравнения. Общие методы составления дифференциальных уравнений, пригодные для всех случаев, в настоящее время не разработаны. Поэтому навыки могут быть приобретены лишь в результате выполнения конкретных исследований. Порядок составления дифференциальных уравнений в общем случае может быть следующим: - уяснение и составление четкого представления о механизме действия излучаемого объекта, а также выяснение возможности применения известных законов для его описания в их общей математической формулировке; - выбор дифференциального элемента системы (например, элементарного размера, объема, массы dX , dV, dM) и математическая запись изменения каждой переменной процесса, происходящих в элементе за время τ; - составление уравнений материальных и энергетических; балансов, связывающих изменения различных переменных во времени, исходя из общего принципа [приход] - [расход] = [накопление]. В качестве примера рассмотрим материальный баланс потоков загрязнений в моечной воде на автомойке: где, - потоки соответственно главного (основного), рециркуляционного, прямого (свежего) и отводимого расходов воды: - концентрации загрязнений соответственно. При изменении промежутка времени на τ концентрация основного потока изменяется на Ci Тогда уравнение будет иметь вид: Заменив приращение и τ их дифференциалами, получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка: которое можно привести в каноническую формулу, учитывая, что cn=0, где, и Решая такое дифференциальное уравнение, получим зависимость изменения концентрации загрязнений в основном потоке воды во времени: Постоянная интегрирования С может быть определена из начальных условий r = 0 и cr = Q = const, подставив которые в выражение для сr и выполнив соответствующие требования, получим: Тогда искомая зависимость cr = f(τ) будет иметь вид При . = , т. е. при практически длительной эксплуатации очистных сооружений, концентрация Методы решения дифференциальных уравнений весьма разнообразны, и для практического применения следует выбирать наиболее рациональный вариант, используя специальную и справочную литературу. В общем случае необходимо отдавать предпочтение точным аналитическим методам решения дифференциальных уравнений. Получаемая при этом запись решения в аналитической форме позволяет установить конкретную степень влияния на процесс каждой переменной. При невозможности аналитического решения или других трудностях математического характера необходимо прибегать к решению дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ. 4.2.2. Понятие о задаче Коши и краевой задаче Сформулировать общие правила выбора метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений невозможно. В общем случае предпочтение надо отдавать точным аналитическим методам решения дифференциальных уравнений. При невозможности аналитического решения прибегают к реализации численными методами с помощью ЭВМ. Численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчетов. Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. В задаче Коши дополнительные условия называют начальными, а в краевой задаче - граничными. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время. Примером может служить задача о свободных колебаниях тела, подвешенного на Пружине. Движение такого тела описывается дифференциальным уравнением, в котором независимой переменной является время t Если дополнительные условия заданы в виде значения перемещения и скорости при t = 0, то имеем задачу Коши. Для той же механической системы можно сформулировать и краевую задачу. В этом случае одно из условий должно состоять в задании перемещения по истечении некоторого промежутка времени. В краевых задачах в качестве независимой переменной часто выступает длина. Известным примером такого рода является дифференциальное уравнение, описывающее деформацию упругого стержня. В этом случае граничные условия обычно задаются на обоих концах стержня. Задачу Коши можно сформулировать следующим образом. Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие у(хо)=уо. Требуется найти функцию у(х), удовлетворяющего как указанному, так и начальному условиям. Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя сначала значение производной, а затем задавая малое приращение X и переходя к новой точке X1=Хо+h. Положение новой точки определяется по наклону кривой, вычисленному с помощью дифференциального уравнения. Таким образом, график численного решения представляет собой последовательность коротких прямолинейных отрезков, которыми аппроксимируется истинная кривая y=f(X). Сам численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей. Численное решение задачи Коши широко применяется в технике. Почти в каждом пакете прикладных программ есть программа, позволяющая решать задачу Коши. В большинстве случаев используется либо метод Рунге-Кутта, либо метод прогноза и коррекции. Условно численные методы решения задачи Коши можно разделить на одношаговые и многошаговые (методы прогноза и коррекции). В одношаговых методах для нахождения следующей точки на кривой y=f(X) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге-Кутта. В методах прогноза и коррекции (многошаговые) для отыскания следующей точки кривой у=f(X) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Одношаговые методы предназначены для решения дифференциальных уравнений первого порядка вида где , при начальном условии у(хо)=уо. C помощью этих методов вычисляют последовательные значения у, соответствующие дискретным значениям независимой переменной X. В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие шаг h в степени до k включительно. Целое число k называется порядком метода. Погрешность на шаге имеет порядок k+1. Метод Эйлера - простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Однако на основе этого метода легче понять алгоритм других, более эффективных методов. Метод Эйлера основан на разложении у в ряд Тейлора в окрестности Х0 Если h мало, то членами, содержащими h во втором или более высоких порядках, можно пренебречь. Тогда Величину у'(х0) находим из дифференциального уравнения, подставив в него начальное условие. Таким образом можно получить приближенное значение зависимой переменной при малом смещении h от начальной точки. Этот процесс можно продолжить, используя соотношение и делая сколь угодно много шагов. Графически метод Эйлера показан на рис.15. Ошибка метода имеет порядок fr2, так как члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются. Рис. 15. Метод Эйлера Более высокая точность может быть достигнута, если для лучшей аппроксимации производной сохраняют большое число членов рядов Тейлора. Эта идея лежит в основе методов Рунге - Кутта. Наиболее распространенным из семейства методов Рунге - Кутта является метод, при котором удерживаются все члены, включая h4. Это метод четвертого порядка точности, для которого ошибка на шаге имеет порядок h5. В методах прогноза и коррекции для вычисления положения новой точки используется информация о нескольких ранее полученных точках. Для этого применяются две формулы, называемые соответственно формулами прогноза и коррекции. Схемы алгоритмов для всех таких методов примерно одинаковы, а сами методы отличаются лишь формулами. Когда рассматривается задача с граничными (краевыми) условиями, для получения решения используются две группы методов: • методы, основанные на замене решения краевой задачи решением нескольких задач Коши. • методы, в которых используется конечно-разностная форма дифференциального уравнения. Достоинство конечно-разностных методов в том, что они позволяют свести решение краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений. 4.3. Модели на основе метода сеток. Метод конечных разностей и метод конечных элементов В инженерных задачах искомая величина чаще всего зависит от нескольких переменных параметров. В этом случае уравнения модели содержат частные производные от этих параметров, называется дифференциальной краевой задачей и представляет собой математическую модель исследуемого объекта. Типы дифференциальных уравнений в частных производных при построении моделей классифицируются по своей математической природе и в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач: уравнения диффузии, волновое уравнение, уравнение установившегося течений жидкости, уравнение деформации пластин, уравнение теплопередачи и пр. Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе метода сеток Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области - узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции. Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных в общем случае алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функции. В общем случае алгоритм метода сеток состоит из трех этапов. Этап 1. Построение сетки в заданной области (дискретизация задачи). Этап 2. Получение системы алгебраических уравнений относительно узловых значений (алгебраизация задачи). Этап 3. Решение полученной системы алгебраических уравнений. Наиболее часто используются два метода сеток: метод конечных элементов (МКЭ); метод конечных разностей (МКР). Метод конечных разностей (ИКР) начал развиваться раньше МКЭ и является старейшим методом решения краевых задач. В основе МКР лежит конечно-разностная аппроксимация частных производных, входящих в дифференциальное уравнение. Аппроксимация осуществляется в три этапа. На первом этапе в заданной области с конечным множеством узлов строится сетка. Сетки, которые наиболее часто используются при решении уравнений в частных производных, следующие: прямоугольная, полярная, треугольная и скошенная. Наиболее употребляемая из них - прямоугольная сетка. Нередко приходится иметь дело с областями неправильной формы, подобными показанной на рис. 16. Хотя границы такой области нельзя точно задать с помощью какой-либо одной из указанных выше сеток, существуют специальные методы, с помощью которых можно так модифицировать стандартные сетки, что они позволяют описать границу сложной конфигурации. Рис. 16. Пример задачи с границей сложной конфигурации: 1- граничные узлы; 2 - внутренние узлы; 3 - шаг сетки На втором этапе дифференциальные уравнения в частных производных используются для получения разностного выражения, описывающего функциональные связи между соседними узлами сетки. Замену дифференциального оператора разностным аналогом можно представить следующим образом. Разложение в ряд Тейлора функции двух независимых переменных f(X, у) позволяет представить частную производную в виде где h - малое приращение X относительно его значения в точке L В приведенном выше выражении отброшены члены порядка lf2, а само оно называется центрально-разностной формулой, так как симметрично относительно исходной точки (Xh у). Такое конечно-разностное преставление удобно рассматривать как относящееся к трем соседним узлам двумерной сетки с шагом h (рис. 17), где индекс j присвоен независимой переменной у, а f относится к X. Для удобства обозначение f(Xi+ h,yi) заменим fi+1,j. Пользуясь этим обозначением и разложением в ряд Тейлора, получим выражение для частных производных: Здесь f, m - значения функции в узлах, расположенных в окрестности центральной Точки, которой соответствует fi,j Информацию о коэффициентах при fi,j и fi,m в конечно-разностных выражениях удобно представлять с помощью вычислительных шаблонов, являющихся диаграммами, показывающими, какой вклад вносят узлы сетки в рассматриваемую производную. Рис. 17. Двумерная сетка Замена операторов дифференцирования позволяет перейти от дифференциальной краевой задачи к разностному уравнению. Также следует аппроксимировать граничные условия. Совокупность разностного уравнения и разностных краевых условий называется разностной схемой краевой задачи. Разностное уравнение записывается для всех узлов сетки и в результате получают систему из "n" - уравнений с "n" - неизвестными. На третьем этапе решается система полученных алгебраических уравнений. Используются прямые и чаще итерационные методы. Метод конечных элементов для описания сплошных сред впервые был применен в середине 50-х годов XX столетия и с тех пор завоевал известность исключительно полезного инженерного метода. Он широко применяется в гидродинамике, теории поля, при расчете сложных напряженных состояний и в других областях. Хотя метод конечных элементов применяется для решения тех же задач, что и метод конечных разностей, основаны они на разных идеях. В методе конечных разностей производится разностная аппроксимация производных, входящих в дифференциальные уравнения. Математическая основа метода конечных элементов - вариационное исчисление. Дифференциальное уравнение, описывающее задачу, и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается непосредственно. В методе конечных элементов физическая задача заменяется кусочно-гладкой моделью. В этом смысле метод конечных элементов позволяет инженеру использовать свое интуитивное понимание задачи. Первый этап состоит в разделении тела на малые элементы простой формы, соприкасающиеся в точках, которые называются узлами. Разделение на элементы можно выполнить множеством разных способов, так как выбор размеров, формы и ориентации элементов целиком определяется представлениями инженера о том, как проще решить данную задачу. Элементы плоского тела имеют обычно треугольную или четырехугольную форму, а элементы трехмерных тел - форму тетраэдров или гексаэдров. Те участки тела, для которых из физических соображений требуется получить более детальную информацию, разбиваются на большее число мелких элементов. Если физические свойства тела изменяются в точке или вдоль линии, то можно изменять форму, размеры или ориентацию элементов на этом участке тела. Следующий этап применения метода конечных элементов состоит в выборе какой-либо простой схемы интерполяции, позволяющей выразить перемещение в любой точке внутри элемента через его значение в узлах. Обычно перемещение задается каким-нибудь простым полиномом. В пределах каждого элемента для интерполяции значений перемещения используются полиномы с коэффициентами, определяемыми в процессе решения. На следующем этапе выписываются зависимости между напряжениями и деформациями в узлах всех элементов и выводятся уравнения для системы в целом. Уравнения, относящиеся к отдельным элементам, объединяются в систему алгебраических уравнений, которые решаются на заключительном этапе. Оба метода, МКР и МКЭ, относятся классу сеточных методов приближенного решения краевых задач. С точки зрения теоретических оценок точности, методы обладают примерно равными возможностями. В зависимости, от формы области, краевых условий, коэффициентов исходного уравнения оба метода имеют погрешности аппроксимации от первого до четвертого порядка относительно шага. В.силу этого они успешно используются для разработки программных комплексов автоматизированного проектирования технических объектов. Методы конечных элементов и конечных разностей имеют ряд существенных отличий. Прежде всего, методы различны в том, что в МКР аппроксимируются производные искомых функций, а в МКЭ - само решение, т. е. зависимость искомых функций от пространственных координат и времени. Методы сильно отличаются и в способе построения сеток. В MKЭ строятся, как правило, регулярные сетки, особенности геометрии области учитываются только в около граничных узлах. В связи с этим МКР чаще применяется для анализа задач с прямолинейными границами областей определения функций. К числу традиционных задач, решаемых на основе МКР, относятся исследования течений жидкостей и газов в трубах, каналах с учетом теплообменных процессов и ряд других. В МКЭ разбиение на элементы производится с учетом геометрических особенностей области, процесс разбиения начинается от границы с целью наилучшей аппроксимации ее геометрии. Поэтому МКЭ наиболее часто используется для решения задач с произвольной областью определения функций, таких, как расчет на прочность деталей и узлов конструкций. Общей проблемой методов является высокая размерность результирующей системы алгебраических уравнений (несколько десятков тысяч в реальных задачах). Поэтому реализация МКЭ и МКР требует разработки специальных способов хранения матрицы коэффициентов системы и методов решения последней. Рис.18. Пример расчета напряжений в не пологой оболочке с помощью программной системы на основе метода МКЭ: а - эпюра мембранных напряжений; б - эпюра изгибных напряжений Расчетная модель, показанная на рис.18, состоит из 601 элемента. Порядок результирующей системы алгебраических уравнений – 3465. 5. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ Оптимизация играет важную роль в инженерном проектировании. Целью любой разработки конструкции пищевых машин является достижение наилучших показателей и характеристик - машина должна обеспечивать высокое качество продукта с максимальной производительностью при минимальных затратах энергии, иметь минимальную стоимость и т. д. Для обеспечения таких требований необходимо строить модели оптимизации. Алгоритм построения оптимизационной модели может быть сведен к следующему: - построение модели процесса или объекта; - выбор цели - критерия оптимизации и выражение его через проектные параметры; - составление ограничений пространства проектирования. Назначение математических моделей в процессе оптимизации состоит в установлении связи между независимыми переменными параметрами. Часто такая Модель является дескриптивной. В некоторых случаях производится прямая подстановка такой модели в выражение целевой функции или ограничений. В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них несовместима с другой. Например, необходимо обеспечить максимальную прочность, производительность при минимальных энергозатратах, стоимости. В таком случае конструктор либо сводит несколько критериев в один - компромиссную целевую функцию, либо выбирает главную цель, а остальные выражает в виде ограничений. Для построения компромиссной целевой функции конструктором вводится система приоритетов и в соответствие каждой целевой функции ставится некоторый безразмерный множитель а , выражающий «вес» каждого критерия. 5.1. Критерии оптимизации, целевая функция, проектные параметры, пространство проектирования Критериями оптимизации могут служить функциональные, ресурсные, экономические, удельные показатели. К критериям функциональной эффективности относятся производительность, вес, габариты, прочность, надежность и др. Критерии ресурсной эффективности - материалоемкость, энергоемкость, трудоемкость, время срабатывания объекта - позволяют определить потребление ресурсов проектируемым объектом. Критерии экономической эффективности представляют собой производную функцию ресурсных критериев, их комбинацию, выраженную в виде всеобщего эквивалента - денег. Например: удельные Фиведенные затраты - свертка ресурсных и экономических критериев, позволяющих выбирать вариант проекта с минимальными затратами по какому-либо ресурсу. К удельным критериям относятся также удельные показатели эффективности. Относительные (удельные) критерии - свертка ресурсных функциональных критериев. Например: производительность на единицу веса, мощность на единицу расхода горючего, энергоемкость на производительность и т.д. Проектные параметры - это независимые регулируемые переменные, которые полностью и однозначно определяют задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут быть любые величины, количественно описывающие систему или объект. Число проектных параметров обозначают через n, a сами параметры - через X - Х1, Х2, Х3, Хn. Число n характеризует степень сложности задачи проектирования. Оптимизация - процесс отыскания таких значений проектных параметров объекта, которые при наложенных ограничениях дают минимум (максимум) целевой функции. Следовательно, для применения математических методов оптимизации необходимо, чтобы целевая функция была выражена через проектные параметры. Целевая функция связывает проектные параметры с критерием оптимизации. Целевая функция минимизируется либо находится ее максимум. Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Пространством проектирования называется область, определяемая всеми n проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства (функциональные) и ограничения - неравенства (областные). Ограничения - равенства - это функциональная зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид: Если какое-либо из этих соотношений можно разрешить относительно одного из проектных параметров, то это позволяет исключить данный параметр из процесса оптимизации. Тем самым уменьшается число измерений пространства проектирования и упрощается решение задачи. Областные ограничения определяют пространство проектирования и выражаются неравенствами. В общем случае их может быть сколь угодно много, причем все они имеют вид: Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет экстремум. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования. Задача оптимизации может быть сформулирована в общем виде: найти значение параметров X1, Х2,..., Хn при которых целевая функция u = u(X1, Х2,..., Хn) принимает max или min значение при функциональных ограничениях: и областных ограничениях: 5.2. Условная и безусловная оптимизация. Аналитические и численные методы Структура оптимизационных задач весьма разнообразна. В соответствии с видом целевой функции, ограничений, с размерностью независимой переменной X = (X1; X2,..., Xn) можно выделить следующие: - задачи без ограничений, в которых X - одномерный вектор, называются задачами с одной переменной и составляют простейший класс оптимизационных задач безусловной оптимизации; - задача оптимизации с ограничениями в виде равенств-неравенств называется задачей условной оптимизации. Задачи условной оптимизации, в которых целевая функция и ограничения являются линейными, называются задачами линейного программирования. В сдачах целочисленного программирования переменные параметры должны принимать только целые значения. Задачи с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями называются задачей нелинейного программирования с линейными ограничениями. Например: квадратичная функция - задача квадратичного программирования, отношение линейных функций -задача дробно-линейного программирования и т. д. Существует достаточно методов решения оптимизационных задач: дифференцирование, метод множителей Лагранжа, численные методы и др. 5.2.1. Оптимизация дифференцированием Часто функциональные ограничения отсутствуют, и в таких случаях иногда бывает возможно временно пренебречь областными ограничениями, тогда задача сводится к безусловной оптимизации. Допуская, что целевая функция U дифференцируема, в этих случаях можно найти оптимум, взяв производную. Оптимум находится путем решения системы n уравнений, полученных приравниванием к нулю производных от целевой функции по каждому из параметров: В случае одного параметра этот метод эквивалентен нахождению точки, в которой тангенс угла наклона кривой U как функции X равен 0. В случае двух параметров геометрическим отображением функции U является поверхность. Приравнивая одновременно и нулю, получаем точку с нулевыми тангенсами угла наклона и, следовательно, максимальное (или минимальное) значение функции U. 5.2.2. Метод множителей Лагранжа В предыдущем разделе функциональные ограничения отсутствовали. Метод множителей Лагранжа применим и при наличии функциональных ограничений. Сущность этого метода состоит в следующем. Необходимо оптимизировать целевую функцию , поэтому Это выражение можно записать в более изящном виде как Функциональные ограничения имеют вид: Дифференцируя каждое из них, получаем Теперь каждое из этих т уравнений умножается на пока еще неизвестный параметр Л, называемый множителем Лагранжа, причем эти множители различны для разных уравнений. Результат имеет вид: Если теперь сложить вместе эти уравнения, прибавив к ним также уравнение для dtl, то получим: или Поскольку все параметры Л/ независимы, чтобы это уравнение удовлетворялось, каждый из п заключенных в скобки членов предыдущего уравнения должен равняться нулю. Отсюда получаем N уравнений вида Напомним, что имеется также т уравнений, определяющих ограничения Таким образом, имеется т + п уравнений и т + п неизвестных, в том числе п параметров X, и т множителей Лагранжа Xn Решение этой системы m + n уравнений дает искомое оптимальное значение. В качестве примера рассмотрим задачу о цилиндрическом резервуаре, объемом V=10м3, на который должен расходоваться минимум материала. Целевой функцией является выраженная через проектные параметры r и l площадь поверхности В данном случае уравнениями являются: Уравнение, описывающее функциональное ограничение, имеет вид и частные производные теперь можно получить три уравнения определяющих три неизвестных: t, l и λ. В данном случае уравнениями являются: Решая эту систему уравнений, получаем Во многих инженерных задачах метод множителей Лагранжа используется для оптимизации расхода ресурсов или минимизации затрат. Задачи с ограничениями по большому числу проектных параметров приводят к системам уравнений, для решения которых требуется применение ЭВМ. 5.2.3. Численные методы оптимизации. Понятие о методах одномерного поиска Если целевая функция содержит только один проектный параметр, то используются методы одномерной оптимизации, если несколько (n> 2) - методы многомерного поиска. Задача одномерной оптимизации сводится к следующему: найти max f(x), если аргумент Х а М1 и до [a, X1], если Mj≥M2 и т. д. пока не достигнем пика (рис.19). Рис. 13. Сужение интервала неопределенности Существует несколько способов систематического сужения интервала: метод общего поиска, метод деления интервала пополам, метод дихотомии, метод золотого сечения, метод Фибоначчи. Выбирай методы поиска, стремятся найти экстремум как можно быстрей, сделав как можно меньше шагов. Критериями сравнения этих методов являются их эффективность и универсальность. Наиболее эффективны метод Фибоначчи и метод золотого сечения, наименее - метод общего поиска. С точки зрения универсальности малоэффективный метод общего поиска имеет, по крайней мере, одно преимущество: его можно применять для не унимодальных функций, если они достаточно гладкие. Нередко заранее неизвестно, является рассматриваемая целевая функция унимодальной. В таких случаях следует воспользоваться несколькими разными алгоритмами и посмотреть, дают ли все один и тот же оптимум. Отсюда следует важный вывод, который следует иметь в виду, решая задачи оптимизации: не существует универсального алгоритма, который позволял бы решать любые задачи. Решая сложные задачи оптимизации, следует пользоваться разными методами, так как это позволяет увеличить долю удачных решений. 5.2.4. Методы многомерного поиска. Градиентный метод Реальные инженерные задачи редко сводятся к отысканию одного проектного параметра, чаще задача решается в некотором n - мерном пространстве, описывается функцией многих переменных. Многомерное пространство качественно отличается от одномерного. Прежде всего, с увеличением числа Измерений уменьшается вероятность унимодальности целевой функции. Кроме того, множество параметров, образующих многомерное пространство, гораздо мощнее множества параметров одномерного пространства. Объём вычислений, необходимых для сужения интервала неопределенности в многомерном пространстве, является степенной функцией, показатель которой равен размерности пространства. Так, если в Случае одномерного пространства для достижения f « ОД требуется вычислить 19 значений целевой функции, то в случае двумерного пространства это число составляет 361, трехмерного - 6859, четырехмерного - 130321, а пятимерного – 2476099. Поскольку при выборе оптимальной конструкции нередко приходится иметь дело с пятью и более переменными, серьезность трудностей, обусловленных многомерностью и становится очевидной. Методы оптимизации в многомерном пространстве делятся на две большие группы - прямые и косвенные. К прямым относится симплекс-метод, к косвенным, в которых используются производные -градиентные методы. Во многих, алгоритмах многомерной оптимизации используется информация о градиентах. Проиллюстрируем это положение примером. Представим, что альпинисту завязали глаза и предложили добраться до вершины унимодальной горы. Если все время двигаться вверх, то любая дороге приведет к вершине, кратчайшая из них будет самая крутая. Метод оптимизации, в основу которого положена идея движения по самой крутой тропе, называется методом наискорейшего подъема, или наискорейшего спуска, Рассмотрим случай, когда имеются два проектных параметра Xt и Xi и необходимо отыскать минимум функции , которая унимодальна и дифференцируема выберем начальные значения каждого параметра x10 и x20 Чтобы обеспечить лучшее угадывание значений по пути к min(maxi), рассматриваем изменения ∆x1 и ∆x2 и вычисляем tg угла наклона в данной точке (x10, x20) по поверхности (т.е. градиент в векторной терминологии). Когда наклон известен, очевидно, что следующая дочка должна браться в направлении, совпадающем с наиболее крутым наклоном. Вычислим в начальной точке (Х10, Xi) производимые целевой функции Обозначим их значения и Чтобы двигаться в направлении самого крутого наклона необходимо выбрать его так, чтобы и В обоих случаях коэффициент пропорциональности один и тот же. На рис.20 показано направление движения, но не показано, насколько нужно продвигаться. Коэффициент пропорциональности в этих двух уравнениях еще не определен. Было бы желательно двигаться в этом новом направлении до тех пор, пока функция V не обратиться в нуль или уменьшится. (В этой точке производится поиск нового направления наискорейшего спуска, и процесс повторяется.) Итак, пусть коэффициент пропорциональности равен l. Рис. 20. Градиентный метод. Определения направления движения Направление самого крутого наклона определяется соотношением: После перемещения на расстояние, соответствующее у, значения параметров становятся приближенно равными: , и целевой функцией будет Чтобы получить значение y при минимальном значении U,, полагаем Это значение U дает новые значения X1 и Х2, которые могут служить исходными точками для последующей итерации. Процесс нужно продолжать до тех пор, пока не будет найдена точка, в которой производные и достаточно близки нулю. Задачи, в которых рассматриваются три или большее число параметров, решаются точно так же, как" рассмотренный пример с двумя параметрами. Этот метод легко видоизменить применительно к расчетам на ЭВМ. 5.3. Модели линейного программирования Задачи оптимизации, в которых целевая функция является линейной функцией независимых переменных, а условия, определяющие допустимые значения этих переменных, имеют вид линейных уравнений и неравенств, называются задачами линейного программирования (ЗЛП). Общая постановка задачи линейного программирования сводится к следующему: необходимо найти такие значения переменных проектных параметров x1,x2,…,хn для которых целевая функция принимает min (max) значение на множестве точек (проектном пространстве), координаты которых удовлетворяют условиям: Обычно задача сводится к такому условию, что исходными величинами могут служить только положительные значения параметров: а коэффициенты aij, bij, p, (i =1,2,...,/n, j =1,2,...,/n) - действительные числа. В настоящее время разработан целый ряд алгоритмов, позволяющих найти оптимальный вариант при помощи ЭВМ. В задачах с двумя переменными возможна геометрическая интерпретация. Пространство проектирования представляет собой плоскость, ограниченную многогранником, образованным пересечением прямых - ограничений равенств и ограничений неравенств. Некоторые примеры представлены на рис.21. Если область допустимых решений неограниченная (рис.21,а), задача может быть как разрешимой, так и неразрешимой. Если образованный многогранник лежит вне области допустимых значений, образуется пустое множество (рис.21,6). Рис,21. Примеры допустимых областей: а - неограниченная допустимая область; б - пустое множество; в -Допустимая область проектирования. если допустимая область (рис.21,в) ограничена и не пуста, то она является выпуклым многогранником и ЗЛП всегда разрешима, а оптимальное значение достигается, по крайней мере, в одной из вершин многогранника. Для этого целевая функция представляется линией уровня. на которой функция имеет постоянное значение U(x)=const. Все линии уровня, принадлежащие каким-либо постоянным значениям, являются параллельными прямыми. Если сместить U(x) параллельно самой себе в одном направлении, то значения, принадлежащие линиям уровня, уменьшаются; при переносе в другом направлении - увеличиваются. В каждой точки допустимой области целевая функция принимает значение, принадлежащее той линии уровня, на которой лежит эта точка. Путем параллельного переноса прямой U=const в направлении меньших значений целевой функции в допустимой области достигают того, что прямая будет либо пересекать допустимую область в одной точке, либо проходить по отрезку, лучу или прямой.