Приближенное вычисление интегралов

Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹɪɚɛɨɬɚɉɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɣ ɧɚ ɗȼɆ ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚɡɚɞɚɱɢ Ɂɚɦɟɧɹɹ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɤɚɤɢɦ-ɥɢɛɨ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɨɧɧɵɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɜɢɞɚ b ° n f ( x) dx  ¤ ci f ( xi ) 9, i 0 a ɝɞɟ xi – ɜɵɛɪɚɧɧɵɟ ɭɡɥɵ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɢ ci – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɡɚɜɢɫɹɳɢɟɬɨɥɶɤɨɨɬɜɵɛɨɪɚɭɡɥɨɜɧɨɧɟɨɬɜɢɞɚɮɭɧɤɰɢɢ i = 0, 1, ..., ɩ), 9 – ɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣ ɱɥɟɧ ɢɥɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɡɚɜɢɫɢɬ ɤɚɤ ɨɬ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɭɡɥɨɜ ɬɚɤ ɢ ɨɬ ɜɵɛɨɪɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ Ɉɬɛɪɚɫɵɜɚɹ ɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣ ɱɥɟɧ 9 ɦɵ ɫɨɜɟɪɲɚɟɦ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɭɫɟɱɟɧɢɹ ɉɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ ɤ ɧɟɣ ɟɳɟ ɞɨɛɚɜɥɹɸɬɫɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ Ɋɚɡɨɛɶɟɦ ɨɬɪɟɡɨɤ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ >ɚ, b@ ɧɚ ɩ ɪɚɜɧɵɯ ɱɚɫɬɟɣ ɫɢɫɬɟɦɨɣɬɨɱɟɤ Wh  [ xi  x0 h, i  0,1,!, n, hN  b a ], ɢ ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɜ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɭɡɥɚɯ yi  f ( xi ) . Ʉɜɚɞɪɚɬɭɪɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɞɥɹ ɪɚɜɧɨɨɬɫɬɨɹɳɢɯ ɭɡɥɨɜ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɇɶɸɬɨɧɚ-Ʉɨɬɟɫɚ ɑɬɨɛɵ ɧɟ ɢɦɟɬɶ ɞɟɥɨ ɫ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚɦɢ ɜɵɫɨɤɢɯɫɬɟɩɟɧɟɣɨɛɵɱɧɨɪɚɡɛɢɜɚɸɬɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹɧɚ ɨɬɞɟɥɶɧɵɟ ɭɱɚɫɬɤɢ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɮɨɪɦɭɥɵ ɇɶɸɬɨɧɚ-Ʉɨɬɟɫɚ ɫ ɧɟɜɵɫɨɤɢɦɢ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɢ ɩɨɬɨɦ ɫɤɥɚɞɵɜɚɸɬ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɟ ɫɨɫɬɚɜɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ  ɇɚɢɛɨɥɟɟɩɪɨɫɬɵɟɢɡɮɨɪɦɭɥɬɚɤɨɝɨɬɢɩɚɩɪɢɜɟɞɟɧɵɧɢɠɟ 1. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ: b n ° f ( x) dx z ¤ f ( xi a ɝɞɟ xi i 1  xi 0,5h . ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɷɬɨɣɮɨɪɦɭɥɵ 1/ 2 1/ 2 ) h, h 2 (b a ) M 2, 9b 24 M 2  max f aa(X) . X[ a , b ] Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ɞɚɟɬ ɬɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɤɨɝɞɚɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹɮɭɧɤɰɢɹ f (x) ɥɢɧɟɣɧɚɢɛɨɬɨɝɞɚ f aa( x) y 0 . 2. Ɏɨɪɦɭɥɚɬɪɚɩɟɰɢɣ: b ¥ y0 ° f ( x) dx z h ¦§ a yn y1 2 y2 ! yn ´ ¶ 1 µ, ɝɞɟ yi  f ( xi ) (i  0,1,!, n) . Ɉɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧɢɦɟɟɬɜɢɞ h 2 (b a ) M 2, 9b 12 M 2  max f aa(X) . X[ a , b ] Ɏɨɪɦɭɥɚ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɢɦɟɟɬ ɬɚɤ ɠɟ ɤɚɤ ɢ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜɜɬɨɪɨɣɩɨɪɹɞɨɤɬɨɱɧɨɫɬɢ 9  O(h 2 ) . 3. Ɏɨɪɦɭɥɚɋɢɦɩɫɨɧɚ: b ° f ( x)dx z a 2 ; y2 h  y0 3 y2m ! y2m y4 2 = 4 ; y1 y3 ! y2m 1 = ɮɨɪɦɭɥɚ , b a b a .  n 2m Ɉɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧɢɦɟɟɬɜɢɞ ɝɞɟ h  9b h 4 (b a ) M 4, 180 M 4  max f ( 4) (X) . X[ a , b ] Ɏɨɪɦɭɥɚ ɋɢɦɩɫɨɧɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɱɧɨɣ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɞɨ ɬɪɟɬɶɟɣɫɬɟɩɟɧɢɜɤɥɸɱɢɬɟɥɶɧɨɬɚɤɤɚɤɜɷɬɨɦɫɥɭɱɚɟ f ( 4) ( x) y 0 . Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɜ ɮɨɪɦɭɥɟ ɋɢɦɩɫɨɧɚ ɱɢɫɥɨ ɭɡɥɨɜ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɧɟɱɟɬɧɨɟɬɟɩ ɱɟɬɧɨɟɩ=2ɬ ɉɪɢɦɟɪ ȼɵɱɢɫɥɢɬɶɢɧɬɟɝɪɚɥ 1 ° e x2 dx ɩɨɮɨɪɦɭɥɟɬɪɚɩɟɰɢɣɩɪɢɩ ɢɨɰɟɧɢɬɶɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɊɟɲɟɧɢɟɈɰɟɧɢɦɜɧɚɱɚɥɟɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣɱɥɟɧȾɥɹɷɬɨɝɨɧɚɯɨɞɢɦ ɜɬɨɪɭɸɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸɮɭɧɤɰɢɢ y  e x2 : y aa  2 (2 x 2 1) e x2 . ɇɚ ɨɬɪɟɡɤɟ > @ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɜɬɨɪɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ y aa(x) ɢɦɟɟɬɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟɡɧɚɱɟɧɢɟɩɪɢɯ Ɉɬɫɸɞɚ 9b h 2 (b a ) 2 – (0,1) 2 max y aa( x)   0,002 . 12 12 ɑɬɨɛɵ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ ɧɟ ɩɨɜɥɢɹɥɢ ɧɚ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ ɛɭɞɟɦ ɜɟɫɬɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫ ɨɞɧɢɦ ɡɚɩɚɫɧɵɦ ɡɧɚɤɨɦ ɬɟ ɫ ɱɟɬɵɪɶɦɹɡɧɚɤɚɦɢɩɨɫɥɟɡɚɩɹɬɨɣ ɉɨɮɨɪɦɭɥɟɬɪɚɩɟɰɢɣɩɨɥɭɱɢɦ 1 ° e x2 dx z 0,1 – 7,4620  0,7462 . Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɵɣɨɬɜɟɬɨɤɪɭɝɥɹɟɦɞɨɬɪɟɯɡɧɚɤɨɜ 1 ° e x2 dx z 0,746 . ȼɵɛɨɪ ɲɚɝɚ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ  ɉɭɫɬɶ ɧɚɦ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɬɚɤɨɣ ɲɚɝhɤɨɬɨɪɵɣɨɛɟɫɩɟɱɢɜɚɟɬ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɬɨɱɧɨɫɬɶ E ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚɩɨɜɵɛɪɚɧɧɨɣɮɨɪɦɭɥɟɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦɞɜɚɫɩɨɫɨɛɚɪɟɲɟɧɢɹɷɬɨɣɡɚɞɚɱɢ 1. ȼɵɛɨɪ ɲɚɝɚ ɩɨ ɨɰɟɧɤɟ ɨɫɬɚɬɨɱɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɉɭɫɬɶ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ E ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɮɨɪɦɭɥɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɨɫɬɚɬɨɱɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ 9 ɜɵɛɢɪɚɸɬ h ɬɚɤɢɦ ɱɬɨɛɵ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ 9  E / 2  Ɂɚɬɟɦ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɩɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɫ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɦ ɲɚɝɨɦ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɶ ɫ ɬɚɤɢɦ ɱɢɫɥɨɦ ɡɧɚɤɨɜ ɱɬɨɛɵ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹɧɟɩɪɟɜɵɲɚɥɚ E / 2 . ɁɚɦɟɱɚɧɢɟȻɵɜɚɸɬɫɢɬɭɚɰɢɢɤɨɝɞɚɞɨɩɭɫɬɢɦɭɸɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶE ɞɟɥɹɬ ɦɟɠɞɭ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɸ ɭɫɟɱɟɧɢɹɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɸ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹɧɟ ɩɨɪɨɜɧɭ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɟɫɥɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɱɟɧɶ ɬɪɭɞɨɟɦɤɢ ɧɨ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɵ ɫ ɥɸɛɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɬɨ ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɵɦ ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɲɚɝ h ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ 9  E  Ⱦɪɭɝɨɣ ɤɪɚɣɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣ ɦɨɠɟɬ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶɫɹ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɣ ɡɚɞɚɜɚɟɦɵɯ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨ ɤɨɝɞɚ ɬɪɭɞɧɨ ɨɛɟɫɩɟɱɢɬɶ ɛɨɥɶɲɭɸɬɨɱɧɨɫɬɶɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɡɧɚɱɟɧɢɣɮɭɧɤɰɢɢ ɉɪɢɦɟɪ  ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɨɪɦɭɥɵ ɋɢɦɩɫɨɧɚ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ P/2 ° P/4 sin x dx x ɫɬɨɱɧɨɫɬɶɸɞɨE=10-3. Ɋɟɲɟɧɢɟ ȼɵɛɟɪɟɦ ɲɚɝ h ɬɚɤɢɦ ɱɬɨɛɵ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ h 4 (b a ) max f ( 4) ( x)  0,5 – 10 3 . 180 x[ a, b] ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ f ( 4) ( x) : f ( 4) ( x )  sin x x 4 cos x x 2 12 sin x x 3 24 cos x x 4 24 sin x x5 . ɉɪɢɨɰɟɧɤɟ f ( 4) ( x) ɧɚɨɬɪɟɡɤɟ>P/4, P@ɜɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹɬɟɦɱɬɨ sin x ¥ 12 24 ´ cos x ¥ 6 ´ 4 ɢ  µ ¦1 ¦ 2 1µ ɧɚ ɷɬɨɦ ɨɬɪɟɡɤɟ 2 4 2 x § x x ¶ x §x ¶ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ ɢ ɭɛɵɜɚɸɬ ɉɨɷɬɨɦɭ ɨɧɢ ɞɨɫɬɢɝɚɸɬ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɜɬɨɱɤɟɯ= Pɩɪɢɱɟɦ ɜɟɥɢɱɢɧɵ f ( 4) ( x ) b sin x ¥ 12 ¦1 x § x2 24 ´ cos x ¥ 6 4 µ ¦ x4 ¶ x2 § x2 ´ 1µ  81 . ¶ Ɍɨɝɞɚɞɥɹɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹɲɚɝɚɪɚɫɱɟɬɚh ɦɵɩɨɥɭɱɚɟɦɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ h4 – P / 4 – 81  0,5 – 10 180 3 , ɨɬɤɭɞɚ h  0,19 . ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ ɲɚɝ ɪɚɫɱɟɬɚ h ɫɥɟɞɭɟɬ ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɬɚɤ ɱɬɨɛɵ ɪɚɡɞɟɥɢɬɶ ɨɬɪɟɡɨɤ >P/4, P@ ɧɚ ɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɵɯ ɱɚɫɬɟɣ ɍɤɚɡɚɧɧɵɦ ɞɜɭɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ h=P  ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ n  Ⱦɚɥɟɟ ɞɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɧɟ ɩɪɟɜɵɲɚɥɚ 0,5 – 10 3  ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɜɟɫɬɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫ ɱɟɬɵɪɶɦɹ ɡɧɚɤɚɦɢɩɨɫɥɟɡɚɩɹɬɨɣ ɉɨɮɨɪɦɭɥɟɋɢɦɩɫɨɧɚɩɪɢn ɧɚɯɨɞɢɦ P/2 ° P/4 sin x h dx z [ f ( x0 ) 3 x f ( x6 ) 2 ; f ( x2 ) 4 ; f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x5 )=]  0,6118 . f ( x4 )= Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɵɣɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɤɪɭɝɥɹɟɦɞɨɬɪɟɯɡɧɚɤɨɜ P/2 ° P/4 sin x dx  0,612 . x 2. Ⱦɜɨɣɧɨɣ ɩɟɪɟɫɱɟɬ  ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɨɬɵɫɤɚɧɢɟ max f ( k ) ( x) ɧɟɪɟɞɤɨ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɫɥɢɲɤɨɦ ɝɪɨɦɨɡɞɤɢɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɦ ɧɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɨɛɵɱɧɨɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɥɟɞɭɸɳɢɣɩɪɢɟɦ ȼɵɱɢɫɥɹɸɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥ I ɩɨ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɞɜɚɠɞɵ ɫɧɚɱɚɥɚ ɫ ɧɟɤɨɬɨɪɵɦ ɲɚɝɨɦ h, ɡɚɬɟɦ ɫ ɲɚɝɨɦ h ɬɟ ɭɞɜɚɢɜɚɸɬɱɢɫɥɨɩ Ɉɛɨɡɧɚɱɢɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɱɟɪɟɡ I h ɢ I h / 2 ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨɫɪɚɜɧɢɜɚɸɬɢɯȿɫɥɢ I h I h / 2  E ɝɞɟE - ɞɨɩɭɫɬɢɦɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɬɨɩɨɥɚɝɚɸɬ I z I h / 2 . ȿɫɥɢ ɠɟ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɱɬɨ I h I h / 2 r E  ɬɨ ɪɚɫɱɟɬ ɩɨɜɬɨɪɹɸɬ ɫ ɲɚɝɨɦhȼɤɚɱɟɫɬɜɟɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨɲɚɝɚɢɧɨɝɞɚɦɨɠɧɨɪɟɤɨɦɟɧɞɨɜɚɬɶ ɱɢɫɥɨ ɛɥɢɡɤɨɟ ɤ m E  ɝɞɟ m  ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɵ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɢ m  ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɵɋɢɦɩɫɨɧɚ ɍɤɚɡɚɧɧɵɣ ɩɪɢɟɦ ɲɢɪɨɤɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɧɚ ɗȼɆ ɬɚɤ ɤɚɤ ɨɧ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢɣɜɵɛɨɪɲɚɝɚɩɪɢɡɚɞɚɧɧɨɣɬɨɱɧɨɫɬɢɫɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɵɦ ɤɨɧɬɪɨɥɟɦɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ Ɉɬɦɟɬɢɦɱɬɨɞɥɹɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɣɨɰɟɧɤɢɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢɭɫɟɱɟɧɢɹ $ ɦɨɠɧɨɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹɩɪɢɧɰɢɩɨɦɊɭɧɝɟɫɨɝɥɚɫɧɨɤɨɬɨɪɨɦɭ $z 1 Ih 3 $z 1 Ih 15 I h / 2 ɞɥɹɮɨɪɦɭɥɵɬɪɚɩɟɰɢɣ I h / 2 ɞɥɹɮɨɪɦɭɥɵɋɢɦɩɫɨɧɚ ɉɪɢɦɟɪ ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ b I ° a dx x cos x ɫɬɨɱɧɨɫɬɶɸE=10-4 ɞɥɹa=0, b=P. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɋɯɟɦɭ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ȼɵɛɢɪɚɟɦ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɲɚɝ h ɪɚɡɛɢɟɧɢɹ ɨɬɪɟɡɤɚ [a, b] , ¨b a · ɧɚɩɪɢɦɟɪ h  E  0,01 ɇɚɯɨɞɢɦ n  ©  314  Ɉɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ª h ¸¹ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟɡɧɚɱɟɧɢɟɢɧɬɟɝɪɚɥɚɩɨɮɨɪɦɭɥɟɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ n Ih z ¤ f ( xi 1 / 2 ) h . i 1 Ⱦɚɥɟɟ ɜɵɱɢɫɥɹɟɦ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ I h / 2 ɫ ɲɚɝɨɦhɈɩɪɟɞɟɥɹɟɦɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ $  I h I h / 2 ȿɫɥɢ $ r E  ɲɚɝ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɭɦɟɧɶɲɚɟɦ ɜɞɜɨɟ ɬɟ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɞɥɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɯ ɲɚɝɨɜ h, h/2, h « ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɡɚɤɚɧɱɢɜɚɟɦ ɩɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɭɫɥɨɜɢɹ $  E . Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɵɣɪɟɡɭɥɶɬɚɬɪɚɜɟɧ I  2,0431 . ɉɪɨɝɪɚɦɦɚɪɟɚɥɢɡɭɸɳɚɹɞɚɧɧɭɸɫɯɟɦɭɩɪɢɜɟɞɟɧɚɜɩɪɢɥ Ɂɚɞɚɧɢɹɤɪɚɛɨɬɟ  Ɋɚɡɪɚɛɨɬɚɬɶ ɫɯɟɦɵ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜɬɪɚɩɟɰɢɣɢɋɢɦɩɫɨɧɚ  ɇɚɩɢɫɚɬɶ ɨɬɥɚɞɢɬɶ ɢ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ɩɪɨɝɪɚɦɦɵ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɣɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯɜɬɚɛɥȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹɡɧɚɱɟɧɢɹɢɧɬɟɝɪɚɥɚɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [a, b] ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɜɚɪɢɚɧɬɨɦ ɡɚɞɚɧɢɹ  ȼɟɥɢɱɢɧɭ ɲɚɝɚ ɨɛɟɫɩɟɱɢɜɚɸɳɟɝɨ ɬɪɟɛɭɟɦɭɸ ɬɨɱɧɨɫɬɶɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶɫɩɨɦɨɳɶɸɞɜɨɣɧɨɝɨɩɟɪɟɫɱɟɬɚ  Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ I Ih D – 100 % , I ɝɞɟI – ɬɨɱɧɨɟɡɧɚɱɟɧɢɟɢɧɬɟɝɪɚɥɚɜɵɱɢɫɥɟɧɧɨɟɱɟɪɟɡɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ I h – ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹɤɨɧɤɪɟɬɧɨɣɮɨɪɦɭɥɵɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ