Преобразования Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений

Применение преобразований Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений Лекция 15 Применение преобразований Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений Задача Коши для линейного уравнения + состоит в нахождении частного решения по заданным начальным условиям: ,……. Считая искомую функцию и правую часть уравнения функциямиоригиналами, переходим к изображениям Лапласа: ; ……и получаем операторное уравнение относительно . Возвращаясь к оригиналу, получаем окончательное частное решение y(t) Примеры решений дифференциальных уравнений Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения Шаг 1. Переходим к изображениям: Шаг 2 Шаг 3. Возвращаемся к оригиналу : = + Примеры решений дифференциальных уравнений Пример 2. Шаг 1. Шаг 2. Шаг 3. + + + Примеры решений дифференциальных уравнений Пример 3. x(t) Изображение правой части можно найти интегрированием или с использованием ступенчатой функции t 1 2 Операторное уравнение имеет вид , а его решение . Для возвращения к оригиналу используем теорему запаздывания. Поэтому находим оригинал для выражения а оригиналы для других слагаемых находим по теореме запаздывания: Системы линейных дифференциальных уравнений ; . При переходе к изображениям: = (. Пример. ; 1; Запись решений дифференциальных уравнений при помощи свертки. Формула Грина При переходе к изображениям при нулевых начальных условиях решение линейного дифференциального уравнения принимает вид: , где - передаточная функция. Функцией Грина (импульсной переходной характеристикой) называют отклик системы на импульсное входное воздействие Тогда согласно изображению свертки решение имеет вид Пример. Для уравнения находим передаточную функцию: Тогда при любом решение . Запись дифференциальных уравнений при помощи свертки. Формула Дюамеля. Переходной характеристикой называют реакцию системы на постоянное входное воздействие )η(t) , если правая часть уравнения непрерывна на интервале )η(t) , если правая часть уравнения является кусочно – непрерывной функцией: Запись дифференциальных уравнений при помощи свертки. Формула Дюамеля. ; ) Производная = и , что можно выразить формулой или графиком 1 . -1 Находим переходную характеристику : Решение: =