Представление результатов измерений

17.10.2016 г. КУРС ЛЕКЦИЙ: МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ ТЕМА 1. МЕТРОЛОГИЯ ЛЕКЦИЯ 14 № СОДЕРЖАНИЕ В ВВЕДЕНИЕ. ОCНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕТРОЛОГИИ (лекция 1) 1 ВИДЫ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ 1.1 Меры и калибраторы (лекция 2) 1.2 Измерительные преобразователи (лекция 3) 1.3 Измерительные приборы (лекция 4) ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ 2 2.1 Характеристики измерительных приборов (лекция 5) 2.2 Характеристики мер и калибраторов (лекция 6) 2.3 Характеристики измерительных преобразователей (лекция 6) 3 ВИДЫ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ (лекция 7) 4 СПОСОБЫ ИЗМЕРЕНИЙ СИЛЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА (лекция 8) 5 СПОСОБЫ ИЗМЕРЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕНИЯ (лекция 9) 6 ОСЦИЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ИЗМЕРЕНИЙ (лекция 10) 7 СПОСОБЫ ИЗМЕРЕНИЙ ЧАСТОТЫ (лекция 11) 8 СПОСОБЫ ИЗМЕРЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ (лекция 12) 9 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1 9.1 Составляющие погрешности измерения (лекция 13) 2 9.2 Запись результата измерения (лекция 13) 5 9.3 Вычисление погрешностей измерений (лекция 14) 8 9.3.1 Вычисление погрешностей прямых измерений 8 9.3.2 Вычисление погрешностей косвенных измерений 9 Примечание – Нумерация страниц, рисунков и таблиц сквозная в пределах раздела 9: в данной лекции нумерация продолжает нумерацию лекции 13. 7 17.10.2016 г. 9.2 Запись результата измерения … 9.3 Вычисление погрешностей измерений 9.3.1 Вычисление погрешностей прямых измерений а) При вероятности Р = 1 находят предельные значения погрешности измерения Δп путём арифметического суммирования предельных значений составляющих Δi,п: n Δп = ±  |  i ,п | (9.6) i 1 Составляющими могут быть: – основная погрешность Δо,п; – дополнительные погрешности Δд,п; – погрешность отсчитывания Δотс,п; – погрешность взаимодействия Δвз,п. Примечание – Методическая погрешность здесь не рассматривается: в ряде случаев она может быть существенно больше, чем перечисленные составляющие. При таком способе суммирования плохо то, что получается сильное завышение погрешности, ибо очень мало вероятно, чтобы все составляющие оказались на своих пределах и были при этом одного и того же знака (плюс или минус). Зато этот способ даёт полную гарантию. б) При вероятности Р < 1, например, при Р = 0,95, находят граничные значения погрешности измерения Δгр путём статистического суммирования предельных значений составляющих Δi,п: Δгр = ± К n  2i,п i 1 (9.7) Значение К зависит от законов распределения случайных величин Δi и от задаваемого значения вероятности Р. Если законы распределения неизвестны, рекомендуется принять, что для всех составляющих это закон равномерной плотности. При этом из теории вероятностей следует, что значения К при разных значениях Р соответствуют приведённым в таблице 9.1. Таблица 9.1 Р 0,9 0,95 0,99 К 0,95 1,1 1,4 8 17.10.2016 г. Значение Δгр может быть существенно меньше по сравнению с Δп, хотя Р и близко к единице. Максимальное снижение Δгр по сравнению с Δп будет, если все Δi,п одинаковы: Δi,п =А. При Р = 1 получим Δп = ± nA, а при Р < 1 Δгр = ± К nA 2 = ± КА n , т.е. п nA n =  ,  гр KA n K например, при n = 4 и К = 1,1 различие между предельным и граничным значениями получается примерно в два раза. Если, наоборот, какая-нибудь из Δi сильно преобладает над остальными, то Δгр ≈ Δп. 9.3.2 Вычисление погрешностей косвенных измерений Для вычисления погрешности мы располагаем известной функциональной зависимостью результата косвенного измерения Y от аргументов Х1, Х2,…, Хn: Y = f (Х1, Х2,…Хn) Пример: R = U/I здесь Y = R; Х1 = U; X2 = I. Требуется найти погрешность ΔY, возникающую от погрешностей ΔХ1, ΔХ2,… ΔХn. Упростим обозначения: ΔY = Δ; ΔХ1 = Δ1; ΔХ2 = Δ2;… ΔХn = Δn. Для решения нашей задачи в математике есть т.н. «формула полного дифференциала»:  n Y Y Y Y 1   2  ...  n   i X1 X 2 X n i 1 X i (9.8) Предельные значения Δ: n  п   i 1 Y  i ,п ; Р = 1. X i Частные случаи. 9 (9.9) 17.10.2016 г. n 1) Y = a1X1 + a2X2 +...+anXn =  a i X i , т.е. Y – линейная функция аргуменi 1 тов Х1, Х2,…, Хn. В данном случае Y Y Y  a1 ;  a 2 ;...  a n , следоваX1 X 2 X n тельно, n    a ii и i 1 n  п    | a i  i ,п |; P  1 i 1 (9.10) Примеры: а) Y = X1 + X2; здесь a1 = а2 = 1; Δ = Δ1 + Δ2; Δп = ± (|Δ1,п| + |Δ2,п|); Р = 1. б) Y = X1 – X2; здесь a1 = 1; а2 = – 1; Δ = Δ1 – Δ2; Δп = ± (|Δ1,п| + |Δ2,п|); Р = 1. Итак, Δп для суммы и разности одинаковы. 2) Y = X1a1·X2a2· … ·Xnan , где а1; а2;…аn – действительные числа, положительные и отрицательные, целые и дробные. X12 Пример: Y = ; здесь а1 = 2; а2 = – 0,5. X2 Частные производные: Y Y  a 1X1a1 1  X a22 ...X ann  a 1 ; X1 X1 Y Y  ...........................  a 2 ; X 2 X2 ................................................... Y Y  ............................  a n . X n Xn Далее:  Y 1  a 1Y 1  a 1Y1 ; X1 X1 Y  2  ...........  a 2 Y 2 ; X 2 ...................................... Y  n  ............  a n Y X n Следовательно, 10 17.10.2016 г. Δ = Y(a1δ1 + a2δ2 + ...+ anδn); δ= n   a 11  a 2  2  ...  a n  n   a i  i . Y i 1 Предельные значения: n  п    | a i  i,п |; Р  1. (9.11) i 1 Примеры: а) Y = X1X2; здесь а1 = а2 = 1; δ = δ1 + δ2; δп = ± (|δ1,п| + |δ2,п|); P =1. X б) Y = 1 ; здесь а1 = 1; a2 = – 1; δ = δ1 – δ2; δп = ± (|δ1,п| + |δ2,п|); P =1. X2 Итак, δп для произведения и частного одинаковы. Объединяя наши четыре примера, можно сказать так: для суммы и разности надо суммировать предельные значения абсолютных погрешностей, для произведения и частного – предельные значения относительных погрешностей. Мы рассмотрели арифметическое суммирование при Р = 1. При Р < 1 применяют статистическое суммирование: 2  Y   гр   K    i,п  , i 1  X i  n (9.12) где К зависит от задаваемого значения вероятности Р так же, как при прямых измерениях (см. таблицу 9.1). 11