Представление решений уравнения теплопроводности с помощью потенциалов

Лекция 11. Представление решений уравнения теплопроводности с помощью потенциалов. 1. Представление решений уравнения теплопроводности с помощью потенциалов. Пусть, как и в предыдущей лекции, – ограниченная область, – цилиндр высоты , – его боковая поверхность, – сечение цилиндра плоскостью , – фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Теорема. Пусть . Тогда для произвольной точки Замечание. По аналогии с уравнением Пуассона интеграл называют объёмным тепловым потенциалом с плотностью , интегралы и – тепловыми потенциалами простого слоя с плотностями и соответственно, а интеграл – тепловым потенциалом двойного слоя с плотностью . Доказательство теоремы. Применим вторую формулу Грина к функциям и в области (отметим, что , как функция переменных , бесконечно дифференцируема в замкнутой области ): откуда, с учетом того, что , получаем: Первой нашей целью будет показать, что интеграл стремится к , когда . Используя известное нам из прошлой лекции свойство фундаментального решения: при – оценим разность где последнее равенство получено в результате замены , а . Для оценки интеграла заметим, что при и , а потому и, следовательно, Теперь рассмотрим интеграл . Возьмем произвольное и выберем такое, что где – шар радиуса . Запишем как Тогда Для оценки интеграла заметим, что в силу непрерывности функции найдется такое, что , как только . Выберем теперь так, чтобы выполнялось неравенство . Тогда при для всех и значит для всех . Отсюда Итак, при , причем . Следовательно, . Окончательно получаем: Теперь вернемся к равенству (*) и осуществим предельный переход при в остальных зависящих от слагаемых. Благодаря ограниченности подынтегральной функции на боковой поверхности цилиндра Не столь благополучно обстоит дело с интегралом , поскольку единственная критическая точка функции лежит как раз на верхнем основании цилиндра . Заметим, однако, что интеграл является сходящимся. Действительно, интеграл монотонно убывает как функция благодаря неотрицательности подынтегральной функции. С другой стороны, По свойству ограниченной монотонной функции, существует Осуществив в (*) предельный переход при и произведя перестановку слагаемых, придем к равенству Наконец, учитывая, что при , заменим цилиндр на (и, соответственно, на ) и получим нужное нам соотношение. Теорема доказана.