Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. В ее основе лежат определения ряда основных понятий, таких, например, как «событие», «вероятность», «случайная величина», а также исходная система аксиом. Под опытом, или экспериментом, или испытанием будем понимать осуществление конкретного комплекса условий. Опыт называется случайным, если его результат нельзя точно предсказать до его осуществления. Например, пусть опыт заключается в подбрасывании монеты. Результат его – выпадение герба (Г) или решетки (Р) – нельзя предсказать заранее Точно так же при стрельбе по мишени нельзя заранее (до выстрела) предсказать, будет ли точное попадание в цель или промах. Аналогично при заполнении билета «Русское лото» невозможно заранее предсказать величину выигрыша. Причина случайности исхода опыта состоит в том, что на результат опыта влияет слишком много факторов, и учесть их все невозможно. Всякий результат опыта или наблюдения называется событием. В рассмотренных выше примерах случайных экспериментов событиями являются: выпадение герба или решетки, попадание в цель или промах, выигрыш в «Русское лото» определенной суммы. Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти, а может и не произойти. Все перечисленные выше события – случайные. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Например, выбор одной годной детали из партии годных деталей есть событие достоверное. Невозможным называется событие, которое в условиях данного опыта не может произойти. Например, невозможно поразить одну и ту же мишень три раза при двух выстрелах. Пусть при проведении опытов, проводимых в одинаковых условиях, событие произошло раз. Определение. Отношение числа опытов , в которых появилось событие , к общему числу испытаний называется относительной частотой появления события , то есть . В основе теории вероятностей лежит следующий экспериментальный факт: относительная частота появления события стремится к некоторому постоянному числу при увеличении числа опытов. Например, Бюффон провел 4040 подбрасываний симметричной монеты. Герб выпал 2048 раз, и, следовательно, относительная частота . Пирсон повторил те же опыты, увеличив число подбрасываний монеты до 24000, при этом герб выпал 12012 раз. Отсюда . Следовательно, при увеличении числа опытов относительная частота события «появление герба» стремится к числу . Пространство элементарных событий, операции над событиями, алгебра событий и борелевская алгебра. Аксиомы теории вероятностей Различают элементарные и составные события. Взаимоисключающие события, которые невозможно разложить на более простые события, называются элементарными. Все остальные события называются составными или разложимыми. Например, пусть событие состоит в том, что сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, равна шести. Это событие состоит из пяти возможных элементарных событий – выпадения на гранях костей следующих пар цифр: , , , , соответственно. Далее, пусть опыт заключается в определении – возраста человека при переписи населения. Каждое конкретное значение – элементарное событие. Событие, заключающееся в определении возраста лет, – составное. Итак, каждое составное событие представляется суммой элементарных событий. Множество всех элементарных событий в условиях данного эксперимента называется пространством элементарных событий и обозначается , а сами элементарные события (исходы опыта) – точками этого пространства. Событием является любое подмножество пространства элементарных событий. Будем говорить, что событие произошло, если исход опыта принадлежит . События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в условиях одного и того же опыта. Например, пусть из урны, в которой находятся белые, синие и красные шары, извлекается один шар. Тогда извлечение красного шара исключает появление синего или белого. Событие , которое обязательно произойдет, если не произойдет событие , называется противоположным событию . Например, выигрыш и проигрыш в лотерее – противоположные события. Говорят, что несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них. Например, события «извлечение белого шара», «извлечение красного шара», «извлечение синего шара» образуют полную группу событий в опыте извлечения шара из урны, в которой находятся белые, красные и синие шары. Пусть – пространство элементарных событий. Тогда всякое множество точек из есть событие. Невозможное событие в пространстве не имеет точек в , и обозначается . Так как достоверное событие является совокупностью всех элементарных событий из , то оно совпадает с пространством и так же обозначается . Противоположное событию событие состоит из точек , не принадлежащих , то есть является дополнением к в . Иными словами, . Говорят, что событие влечет событие , и пишут , если – часть подмножества . События и называются эквивалентными, если и . Определение. Суммой или объединением двух событий и называется событие, обозначаемое (или ), состоящее из всех исходов, составляющих и . Другими словами, сумма двух событий есть событие, состоящее в том, что произошло событие или . Определение. Произведением или пересечением двух событий и называется событие, обозначаемое (или ), состоящее из всех исходов, принадлежащих одновременно и и . В рассмотренном выше примере , то есть выпадение «тройки». Если и – несовместные события (не имеют общих исходов), то – невозможное событие. Определение. Событие, состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит, называется разностью событий и и обозначается (или ). Другими словами, . Введенные операции над событиями подчинены правилам операций над множествами. Приведем таблицу некоторых операций над событиями. 1. ; 7. ; 13. ; 2. ; 8. ; 14. ; 3. ; 9. ; 15. ; 4. ; 10. , ; 16. ; 5. ; 11. ; 17. ; 6. ; 12. ; 18. . Дискретные вероятностные пространства, классическое определение вероятности Пусть пространство элементарных событий состоит из счетного числа элементарных событий ., а – всевозможные подмножества множества . Каждому элементарному событию поставим в соответствие неотрицательное число такое, что . Число назовем вероятностью элементарного события . Если – произвольное событие, то вероятностью события назовем число , где суммирование по индексу распространяется на все элементарные исходы, составляющие событие . Нетрудно показать, что функция удовлетворяет аксиомам А1 – А5, и, следовательно, тройка является вероятностным пространством, называемым дискретным вероятностным пространством. Рассмотрим частный случай этого пространства, когда – пространство элементарных событий с конечным числом элементарных исходов. Каждому элементарному событию поставим в соответствие одинаковую вероятность . В результате получим пространство с равновероятными элементарными исходами. В этом пространстве вероятностью события называется число , где – число элементарных исходов, благоприятных появлению события в опыте; – общее число элементарных исходов. Такое определение вероятности называется классическим. Часто число называют относительной частотой появления события в опыте. Классическое определение вероятности служит математической моделью для тех опытов, в которых элементарные исходы симметричны, и, следовательно, можно предположить равновозможность их появления. Например, при однократном подбрасывании симметричной монеты можно выделить в два элементарных исхода и , то есть . Конечно, монета может встать на ребро, но это происходит очень редко, и поэтому данное элементарное событие можно исключить из пространства элементарных событий . В силу же симметричности монеты естественно предположить, что . Классическая схема вероятности применяется для решения задач из области азартных игр, организации лотерей, проведения выборочного контроля и выборочных статистических исследований. Исчисление вероятностей по классической схеме сводится к подсчету числа элементарных событий, благоприятных появлению события и общего числа элементарных исходов, входящих в . Для решение этих задач применяются методы комбинаторики. Пример. В урне 10 лотерейных билетов, из них 4 – выигрышные. Из урны наугад извлекают два билета. Найти вероятность того, что: а) оба билета выигрышные; б) оба билета без выигрыша; в) один билет выигрышный, а другой – нет. Пусть – событие, состоящее в том, что оба билета выигрышные; – оба билета без выигрыша; – один билет выигрышный, а другой – нет. а) Выбор двух билетов из десяти можно осуществить способами, а двух выигрышных билетов из четырех – . Тогда получаем . б) Имеется возможностей выбора билетов без выигрыша. В таком случае вероятность . в) Существует 4 возможности вытащить выигрышный билет и 6 возможностей – билет без выигрыша. Согласно правилу произведения имеется возможностей вытащить один билет с выигрышем, а другой – без выигрыша. Тогда по формуле (1.4.3) имеем . Пример. В партии из изделий являются бракованными. Для контроля выбирается изделий. Найти вероятность того, что из изделий окажутся бракованными (событие ). Выбор изделий из можно осуществить способами, а выбор бракованных из бракованных изделий – способами. После выбора бракованных изделий останется годных, находящихся среди изделий. Но из годных изделий выбрать годных можно способами. По правилу произведения число исходов, благоприятствующих выбору бракованных изделий из выбранных и годных изделий из годных, равно . Тогда искомая вероятность равна . Условные вероятности, независимые события, формула полной вероятности и формула Байеса Рассмотрение условных вероятностей начнем с примера. Пример. В семье два ребенка: а) Какова вероятность того, что оба ребенка – мальчики? б) Если известно, что один из детей – мальчик, то какова вероятность того, что оба ребенка – мальчики? в) Известно, что старший ребенок – мальчик. Какова вероятность того, что оба – мальчики? D Обозначим: М – мальчик, Д – девочка. Событие ММ означает, что оба ребенка – мальчики, причем старший мальчик – второй. а) Пространство элементарных событий и, значит, . б) Элементарное событие ДД исключается, поэтому , и тогда . в) Имеем , то есть . ▲ Этот пример показывает, что вероятность некоторого события существенно зависит от того, осуществились или нет некоторые условия. Имея некоторую дополнительную информацию об исходах опыта, можно построить новое вероятностное пространство, в котором вычисляются вероятности. Можно показать, что если – произвольное вероятностное пространство, , , , то вероятность события при условии, что произошло событие , определяется формулой . Эта вероятность называется условной вероятностью события при условии, что произошло событие , и обозначается . Таким образом, . Аналогично, , . Отсюда получаем формулу умножения вероятностей: . Теорема (умножения вероятностей). Для произвольных событий справедлива формула . Определение. События и называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого, то есть или . Для двух независимых событий формула умножения вероятностей принимает вид , то есть вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Если и независимые события, то независимы также следующие события: а) и; б) и ; в) и . Определение. События называются попарно независимыми, если любая пара их независима, то есть , . События называются независимыми в совокупности, если при любом выборе различных событий из данной совокупности выполняется равенство . Ясно, что из независимости событий в совокупности следует их попарная независимость. Однако попарная независимость событий не гарантирует их независимости в совокупности. Если события независимы в совокупности, то получаем равенство . Отсюда и свойства 80 вероятности следует утверждение: вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий равна . Пусть события попарно несовместны, то есть , , , и образуют полную группу событий (). Такие события иногда называют гипотезами. Теорема (о полной вероятности). Вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна . Это равенство называется формулой полной вероятности. С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Она дает возможность определить условные апостериорные (после опыта) вероятности , , если известны априорные (до опыта) вероятности гипотез , образующих полную группу событий. Формула Байеса имеет вид , . Схема испытаний Бернулли, предельные теоремы в схеме Бернулли Пусть производится серия из испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти событие . При этом представляет интерес исход не каждого отдельного испытания, а общее число появления события в результате определенного числа опытов. Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в каждом -м испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Рассмотрим испытания с двумя возможными исходами и , где событие назовем «успехом», а – «неудачей», причем будем считать, что в каждом испытании вероятность «успеха» и вероятность «неудачи» постоянны. Такую серию независимых испытаний с одной и той же вероятностью «успеха» называют испытаниями Бернулли или схемой Бернулли. Обозначим через вероятность появления раз события (успеха) в серии из независимых испытаний. Тогда справедлива формула Бернулли . Если придавать значения , то получим соответствующую последовательность вероятностей . Совокупность этих вероятностей называется биномиальным распределением вероятностей. Поскольку элементы множества определяют число появлений успеха при испытаниях, то ясно, что . Биномиальное распределение позволяет определить не только вероятность появления события ровно раз при испытаниях, но и вероятность того, что число появлений события заключено на некотором отрезке , . В силу несовместности событий искомая вероятность определяется соотношением . Можно показать, что при некотором числе вероятность как функция целочисленного аргумента достигает своего наибольшего значения. Число называется наиболее вероятным или наивероятнейшим числом появлений успеха в серии из испытаний Бернулли. Нетрудно заметить, что искомое число удовлетворяет неравенствам . Если число не является целым, то равно целой части этого числа , если же – целое число, то имеет два значения , . ▲ Вычисление вероятностей событий по формуле Бернулли в схеме независимых испытаний Бернулли при больших приводит обычно к затруднениям. Поэтому для вычисления соответствующих вероятностей применяют приближенные, достаточно простые формулы. Рассмотрим некоторые из них. Теорема (Пуассона). Если и , но при этом , , то , Это соотношение называют формулой или распределением Пуассона. Из-за малости вероятности распределение Пуассона называют также законом распределения редких явлений. Теорема (локальная теорема Муавра – Лапласа). Пусть вероятность успеха в испытаниях Бернулли равна , . Тогда вероятность того, что в этих испытаниях успех наступит раз, удовлетворяет при соотношению , где ; . Эта формула дает удовлетворительное значение вероятности при достаточно больших значениях и , а также если и не малы. На практике при большом числе испытаний и не слишком малой вероятности представляет интерес оценить вероятность того, что число появлений успеха лежит в некоторых границах. Теорема (интегральная теорема Муавра – Лапласа). Пусть – число успехов в серии из испытаний Бернулли, – вероятность наступления успеха при каждом испытании, . Тогда вероятность того, что в этих испытаниях успех появится не менее раз и не более раз, удовлетворяет при соотношению , где ; . Другими словами, при больших значениях , , , а также если и не малы, то имеет место приближенная интегральная формула Муавра – Лапласа , где функция называется интегралом вероятности Гаусса.