Предмет теоретической механики. Элементы статики

Раздел 1 Теоретическая механика Лекция 1. Предмет теоретической механики. Элементы статики Вопрос 1 Предмет и метод теоретической механики Под названием “механика” объединяется ряд наук, изучающих механическое движение и механическое взаимодействие твердых и деформируемых тел, а также жидких и газообразных сред. Механическое движение – один из видов движения материи, выражающееся в изменении с течением времени взаимных положений тел или их частей. Механическое взаимодействие – один из видов взаимодействия материи, вызывающий изменение механического движения тел или их частей, а также препятствующий изменению их взаимных положений. Теоретическая механика – изучает законы механического движения и механического взаимодействия, общие для любых тел. Общность законов, пригодность для любых тел и систем, достигается абстрагированием (отвлечением) от несущественных особенностей рассматриваемого тела и выделением наиболее важных особенностей. Именно по этому теоретическая механика является базовой наукой, на основе которой изучаются другие прикладные технические дисциплины. Методы теоретической механики. 1.Метод абстракций. 2. Метод логических рассуждений. 3. Метод математических вычислений. При изучении условий равновесия вполне допустимо пренебрегать малыми деформациями соответствующих твердых тел и рассматривать их как недеформируемые или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между каждыми двумя точками которого всегда остается постоянным. Теоретическая механика состоит из трех разделов: Статика – изучает условия относительного равновесия механических систем. Для осуществления равновесия необходимо определенное соотношение сил, поэтому в статике изучаются общие свойства сил, правила замены сил другими силами, эквивалентными с точки зрения равновесия. Кинематика – изучает механическое движение без учета сил, вызывающих это движение или влияющих на него. Таким образом, устанавливаются некоторые количественные меры движения с чисто геометрической точки зрения. Динамика – изучает механическое движение в связи с действующими силами на объект движения. Таким образом, изучается связь между движением и действующими силами. Вопрос 2. Предмет статики. Основные понятия статики Сила – мера механического взаимодействия. Сила моделируется вектором, характеризуемым направлением, величиной (модулем) и точкой приложения. Кинематическое состояние тела – состояние покоя или движения с неизменными параметрами. Система сил – совокупность сил, приложенных к рассматриваемому объекту. Равнодействующая – сила, эквивалентная системе сил, т.е. не изменяющая кинематическое состояние. Эквивалентная система сил – заменяет данную систему сил без изменения кинематического состояния объекта. Взаимно уравновешенная система сил – под ее действием объект находится в равновесии. Вопрос 3 Система сходящихся сил. Связи. Реакции связей Величина, являющаяся основной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой. Рассматриваемые в механике величины можно разделить на скалярные, т.е. такие, которые полностью характеризуются их числовым значением, и векторные, т.е. такие, которые помимо числового значения характеризуются еще и направлением в пространстве. Сила — величина векторная. Ее действие на тело определяется: 1) числовым значением или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы. Длина этого отрезка выражает в выбранном масштабе модуль силы, направление отрезка соответствует направлению силы, точка А является точкой приложения силы (силу можно изобразить и так, что точкой приложения будет конец силы). Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Распределённая нагрузка Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м). Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой. Для такой системы сил интенсивность q имеет постоянное значение. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей Q. По модулю Приложена сила Q в середине отрезка АВ. Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону. Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения. Равнодействующая Q таких сил определяется аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную треугольную пластину AВС. Так как вес однородной пластины пропорционален ее площади, то, по модулю Приложена сила Q на расстоянии а/3 от стороны ВС треугольника АВС Аксиомы статики 1. Аксиома инерции – Под действием взаимно уравновешенной системы сил тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. 2. Аксиома двух сил – Если тело под действием двух сил находится в равновесии, то эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Такие две силы представляют собой простейшую взаимно уравновешенную систему сил. 3. Аксиома присоединения – Если к заданной системе сил присоединить (или изъять) взаимно уравновешенную систему сил, то кинематическое состояние тела не изменится. Следствие из аксиомы присоединения – Кинематическое состояние тела не изменится, если силу перенести по линии ее действия. 4. Аксиома параллелограмма – Равнодействующая двух пересекающихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. 5. Аксиома действия и противодействия – Всякому действию соответствует равное и противоположное противодействие (III закон Ньютона). 6. Аксиома отвердевания – Равновесие деформируемого тела сохраняется при его затвердевании (обратное справедливо не всегда). Система сходящихся сил Система сходящихся сил – линии действия сил пересекаются в одной точке. План исследования любой системы сил соответствует последовательному решению трех вопросов : 1. Как упростить систему? 2. Каков простейший вид системы? 3. Каковы условия равновесия системы? 4. Перенесем все силы по линии их действия в точку пересечения (кинематическое состояние тела при этом не изменится – следствие из аксиомы присоединения). Сложим первые две силы F1 и F2 (аксиома параллелограмма). Количество сил уменьшилось на единицу. Сложим полученную равнодействующую R12 со следующей силой F3. Количество сил вновь уменьшилось на единицу. Повторим эту же операцию со следующей силой F4. Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил. Сложение сил построением параллелограммов можно заменить построением силового треугольника – выбирается одна из сил или изображается параллельно самой себе с началом в любой произвольной точке, все другие силы изображаются параллельными самим себе с началом, совпадающим с концом предыдущей силы. Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу последней из сил. 2. Простейший вид системы – сила, приложенная в точке пересечения исходных сил. Таким образом, сходящаяся система сил приводится к одной силе – равнодействующей (силе, эквивалентной исходной системе сил), равной геометрической сумме сил системы. 3. Если равнодействующая системы оказывается не равной нулю, тело под действием такой системы силы будет двигаться в направлении равнодействующей (система сил не уравновешена). Для того, чтобы уравновесить систему достаточно приложить силу, равную полученной равнодействующей и направленной в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Таким образом, условием равновесия системы сходящихся сил является обращение равнодействующей в ноль. Это условие эквивалентно замкнутости силового треугольника определенным образом, а именно, направление всех сил при обходе по контуру не изменяется по направлению: Связи и реакции связей Свободное тело – свобода перемещений тела не ограничивается никакими другими телами. Несвободное тело – его движение ограничено другими телами. Связь – тело, ограничивающее свободу перемещений объекта. Реакция связи – сила, действующая на объект со стороны связи. Принцип освобождаемости от связи – несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие соответствующими реакциями. Виды связей и их реакции: Общее правило для связей любого вида: Если связь препятствует одному или нескольким перемещениям (максимальное число перемещений – три поступательных и три вращательных), то по направлению именно этих и только этих перемещений возникают соответствующие реакции (силы и моменты). 1. Нить, шарнирный стержень: Реакция нити (стержня) Направлена по нити (по стержню). 2. Абсолютно гладкая поверхность: Реакция гладкой поверхности направлена перпендикулярно общей касательной плоскости, проведенной к соприкасающимся поверхностям тела и связи. 3. Неподвижный цилиндрический шарнир: Реакция неподвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и имеет произвольное направление. Реакцию неподвижного шарнира можно разложить на две составляющие, например, Rx и Ry, параллельные координатным осям. 4. Подвижный цилиндрический шарнир: Реакция подвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и плоскости опирания. 5. Неподвижный сферический шарнир: Реакция неподвижного сферического шарнира проходит через центр шарнира и имеет произвольное направление в пространстве. Реакцию неподвижного сферического шарнира можно разложить на три составляющие, например, Rx, Ry, Rz, параллельные координатным осям. 6. Жесткая плоская заделка: В жесткой плоской заделке возникает три реактивных усилия: две составляющие реактивные силы Rx и Ry, а также реактивный момент (пара сил) MA . Задачи статики : • 1) преобразование систем сил, действующих на твердое тело, в системы им эквивалентные, в частности приведение данной системы сил к простейшему виду; • 2) определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело. Решать задачи статики можно или путем соответствующих геометрических построений (геометрический и графический методы), или с помощью численных расчетов (аналитический метод). В курсе будет главным образом применяться аналитический метод, однако следует иметь в виду, что наглядные геометрические построения играют при решении задач механики чрезвычайно важную роль. Лекция 2. Кинематика точки и твёрдого тела. Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве и во времени независимо от тех причин (сил), которые обуславливают это движение. При таком узком подходе движение должно быть задано, а определяются лишь его пространственно-временные характеристики (путь, скорость, ускорение). В теоретической механике изучается простейшая форма движения материи – механическое движение, т.е. происходящее во времени изменение положения одного тела относительно другого, с которым связана система координат, называемая системой отсчета. Систему отсчета можно связать с любым телом (выбор определяется целью исследования). Эта система может быть как движущейся, так и условно неподвижной. При изучении движений на Земле за условно неподвижную систему отсчета обычно принимают систему осей, неизменно связанных с Землей. Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство, и все измерения проводятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается метр, а за единицу времени – одна секунда. Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано). Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) – значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Считается, что движение точки по отношению к какой-либо системе отсчета задано, если известен способ, по которому можно определить ее положение в любой момент времени. Установление математических способов задания движения точек или тел является одной из важных задач кинематики. Прежде, чем изучать движение тела, необходимо рассмотреть кинематику точки. Основные задачи кинематики точки • описание способов задания движения точки; • определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения). Скорость точки – это величина, которая характеризует как быстро и в каком направлении меняется положение точки в пространстве. Ускорение точки – это мера движения, которая характеризует как быстро и в каком направлении меняется скорость точки в пространстве. Вопрос 1 Способы задания движения точки. Скорость и ускорение точки 1. Векторный способ задания движения 2. Координатный способ задания движения 3. Естественный способ задания движения 1. Векторный способ Векторный способ задания движения точки состоит в том, что задается закон изменения радиус−вектора движущейся точки М как функции времени: Рис. 1 Положение точки М в пространстве относительно начальной точки О определяется радиусом – вектором: (см. рис. 1). Это равенство называется векторным уравнением движения точки или законом движения точки в векторной форме. Скорость и ускорение точки. Определение скорости точки Пусть радиус−вектор, определяющий положение точки М в момент времени t; – радиус−вектор, определяющий положение точки М в момент времени t1 = t + Δt Тогда , где ∆ r- вектор перемещения точки за промежуток времени Δt. Средней скоростью перемещения точки называется вектор, равный отношению вектора перемещения точки к промежутку времени Δt. Средняя скорость перемещения есть вектор, направленный по вектору перемещения. Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю, то есть Следовательно, скорость точки в данный момент времени равна векторной производной от радиуса−вектора точки по времени. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Определение ускорения точки Пусть - скорость точки в момент времени t - скорость точки в момент времени t1 = t + Δt ∆U- векторное приращение скорости точки за промежуток времени Δt. Средним ускорением точки называется вектор, равный отношению вектора приращения скорости точки к промежутку времени Δt. Среднее ускорение точки есть вектор того же направления, что и вектор приращения скорости. Ускорением в данный момент времени называется предельное значение среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю, то есть Таким образом Ускорение точки есть вектор, равный первой производной вектора скорости по времени или второй производной от радиуса−вектора точки по времени. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории. 2. Координатный способ Требует предварительного выбора системы координат. Чаще всего используют декартову прямоугольную систему координат. Рис. 2 Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами x, y, z, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значение координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости Эти уравнения называются уравнениями движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Уравнения являются параметрическими, в которых роль параметра играет время t. По ним легко определить уравнение траектории точки в декартовых координатах. Чтобы записать уравнение траектории в явном форме, надо исключить из них время. Как известно из математики, радиус−вектор выражается формулой: Где x (t), y (t), z (t) − проекции радиус−вектора на оси декартовой системы координат; Формула (1) выражает связь между координатным и векторным способами задания движения. Определение скорости точки По определению Так как Следовательно, Продифференцировав выражение, получаем: С другой стороны Следовательно, Проекции скорости точки на оси неподвижных декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Определение ускорения точки Из определения ускорения: Так как Следовательно, 3. Естественный способ Естественный способ задания движения точки применяется, когда траектория движения точки заранее известна. Траекторией может быть как прямая, так и кривая линия. Рис. 3 Движение точки определено, если известны следующие элементы: 1) траектория точки, 2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета, 3) закон движения точки вдоль траектории в виде Определение скорости точки Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1. Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt. Отношение пройденного пути Δs к промежутку времени Δt называется средней скоростью точки за время Δt. Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю, то есть Следовательно, Алгебраическое значение скорости в данный момент времени равно производной от дуговой координаты по времени. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Определение ускорения точки Пусть Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на естественные оси. Эти оси направлены следующим образом Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Ось Мτ направлена по касательной к траектории в положительном направлении отсчета дуговой координаты. Ось Мn направлена по главной нормали в сторону вогнутости траектории. Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена так, чтобы она образовывала с ними правую тройку. Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция вектора ускорения на бинормаль равна нулю, то есть Таким образом где Эта составляющая характеризует изменение скорости по модулю. Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от дуговой координаты по времени. Эта составляющая характеризует изменение скорости по направлению Проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой. Вектор ускорения точки изображается диагональю параллелограмма, построенного на касательной и нормальной составляющих. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю Вопрос 2. Понятие о простейшем движении твёрдого тела, понятие плоского движения твёрдого тела. Существует пять видов движения твердого тела: 1) поступательное движение; 2) вращение вокруг неподвижной оси; 3) плоское движение; 4) вращение вокруг неподвижной точки; 5) свободное движение. Первые два называются простейшими движениями твердого тела. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут прямыми линиями. Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках относительно Земли. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными. Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения. Так как расстояния между точками твердого тела должны оста­ваться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось , полуплоскость - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 3). Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси ), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла от времени t, т.е. . Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение . Лекция 3. Динамика механической системы Вопрос 1 Введение в динамику Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. Движение тел с чисто геометрической точки зрения рассматривалось в кинематике. В динамике, в отличие от кинематики при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел. Понятие о силе, как об основной мере механического действия оказываемого на материальное тело, было введено в статике. Но в статике мы не касались вопроса о возможных изменениях действующих сил с течением времени, а при решении задач считали все силы постоянными. Между тем на движущееся тело наряду с постоянными силами действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются. При этом переменными могут быть и заданные (активные) силы, и реакции связей. Как показывает опыт, переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата или сила, вызывающая колебания фундамента при работе мотора с плохо центрированным валом; от положения тела зависит ньютонова сила тяготения или сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды. В заключение отметим, что все введенные в статике понятия и полученные там результаты относятся в равной мере и к переменным силам, так как условие постоянства сил нигде в статике не использовалось. Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности материального тела является физическая величина, называемая массой тела. В классической механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела. Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае от формы тела, точнее, от взаимного расположения образующих его частиц, т. е. от распределения масс в теле. Чтобы при первоначальном изучении динамики отвлечься от учета формы тела (распределения масс), вводят абстрактное понятие о материальной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают изучение динамики с динамики материальной точки. Из кинематики известно, что движение тела слагается в общем случае из поступательного и вращательного. При решении конкретных задач материальное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда по условиям задачи допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела. Например, материальной точкой можно считать планету при изучении ее движения вокруг Солнца или артиллерийский снаряд при определении дальности его полета и т. п. Соответственно поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела. Изучать динамику мы начнем с динамики материальной точки, так как естественно, что изучение движения одной точки должно предшествовать изучению движения системы точек и, в частности, твердого тела. Динамика – раздел теоретической механики, изучающий механическое движение с самой общей точки зрения. Движение рассматривается в связи с действующими на объект силами. Раздел состоит из трех частей: Динамика точки – изучает движение материальной точки с учетом сил, вызывающих это движение. Основной объект - материальная точка – материальное тело, обладающей массой, размерами которого можно пренебречь. Динамика механической системы – изучает движение совокупности материальных точек и твердых тел, объединяемых общими законами взаимодействия, с учетом сил, вызывающих это движение. Аналитическая механика – изучает движение несвободных механических систем с использованием общих аналитических методов. Основные допущения: – существует абсолютное пространство (обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения. – существует абсолютное время (не зависит от материи и ее движения). Отсюда вытекает: – существует абсолютно неподвижная система отсчета. – время не зависит от движения системы отсчета. – массы движущихся точек не зависят от движения системы отсчета. Эти допущения используются в классической механике, созданной Галилеем и Ньютоном. Она имеет до сих пор достаточно широкую область применения, поскольку рассматриваемые в прикладных науках механические системы не обладают такими большими массами и скоростями движения, для которых необходим учет их влияния на геометрию пространства, время, движение, как это делается в релятивистской механике (теории относительности). Вопрос 2 Основное уравнение динамики. Дифференциальные и естественные уравнения движения Основные законы динамики – впервые открытые Галилеем и сформулированные Ньютоном составляют основу всех методов описания и анализа движения механических систем и их динамического взаимодействия под действием различных сил. Закон инерции (закон Галилея-Ньютона) – Изолированная материальная точка тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Отсюда следует эквивалентность состояния покоя и движения по инерции (закон относительности Галилея). Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. Свойство материальной точки стремиться сохранить неизменной скорость своего движения (свое кинематическое состояние) называется инертностью. Закон пропорциональности силы и ускорения (Основное уравнение динамики - II закон Ньютона) – Ускорение, сообщаемое материальной точке силой, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе этой точки: Здесь m – масса точки (мера инертности), измеряется в кг, численно равна весу, деленному на ускорение свободного падения: F – действующая сила, измеряется в Н (1 Н сообщает точке массой 1 кг ускорение 1 м/c2, 1 Н = 1/9.81 кг-с). Закон равенства действия и противодействия (III закон Ньютона) – Всякому действию соответствует равное по величине и противоположно направленное противодействие: Закон справедлив для любого кинематического состояния тел. Силы взаимодействия, будучи приложенные к разным точкам (телам) не уравновешиваются. Закон независимости действия сил – Ускорение материальной точки под действием нескольких сил равно геометрической сумме ускорений точки от действия каждой из сил в отдельности: или Основное уравнение динамики : - соответствует векторному способу задания движения точки. Дифференциальные уравнения движения материальной точки: Подставим ускорение точки при векторном задании движения в основное уравнение динамики: - дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. В координатном виде используем связь радиуса-вектора с координатами и вектора силы с проекциями: После группировки векторное соотношение распадается на три скалярных уравнения: или дифференциальные уравнения движения точки в координатном виде. Этот результат может быть получен формальным проецированием векторного дифференциального уравнения (1). Естественные уравнения движения материальной точки – получаются проецированием векторного дифференциального уравнения движения на естественные (подвижные) оси координат или - естественные уравнения движения точки. Вопрос 3 Две основные задачи динамики Две основные задачи динамики: 1. Прямая задача: Задано движение (уравнения движения, траектория). Требуется определить силы, под действием которых происходит заданное движение. 2. Обратная задача: Заданы силы, под действием которых происходит движение. Требуется найти параметры движения (уравнения движения, траекторию движения). Обе задачи решаются с помощью основного уравнения динамики и проекции его на координатные оси. Если рассматривается движение несвободной точки, то как и в статике, используется принцип освобождаемости от связей. В результате реакции связей включаются в состав сил, действующих на материальную точку. Решение первой задачи связано с операциями дифференцирования. Решение обратной задачи требует интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений и это значительно сложнее, чем дифференцирование. Обратная задача сложнее прямой задачи. Решение прямой задачи динамики - рассмотрим на примерах: Пример 1. Кабина весом G лифта поднимается тросом с ускорением a . Определить натяжение троса. 1. Выбираем объект (кабина лифта движется поступательно и ее можно рассматривать как материальную точку). 2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R. 3. Составляем основное уравнение динамики: 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось y: Определяем реакцию троса: Определяем натяжение троса: При равномерном движении кабины ay = 0 и натяжение троса равно весу: T = G. При обрыве троса T = 0 и ускорение кабины равно ускорению свободного падения: ay = -g. Пример 2. Точка массой m движется по горизонтальной поверхности (плоскости Oxy) согласно уравнениям: x = a×coskt, y = b×coskt. Определить силу, действующую на точку. 1. Выбираем объект (материальную точку). 2. Отбрасываем связь (плоскость) и заменяем реакцией N. 3. Добавляем к системе сил неизвестную силу F. 4. Составляем основное уравнение динамики: 5. Проецируем основное уравнение динамики на оси x,y : Определяем проекции силы: Модуль силы: Направляющие косинусы: Таким образом, величина силы пропорциональна расстоянию точки до центра координат и направлена к центру по линии, соединяющей точку с центром. Траектория движения точки представляет собой эллипс с центром в начале координат: Пример 3: Груз весом G подвешен на тросе длиной l и движется по круговой траектории в горизонтальной плоскости с некоторой скоростью. Угол отклонения троса от вертикали равен a. Определить натяжение троса и скорость груза. 1. Выбираем объект (груз). 2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R. 3. Составляем основное уравнение динамики: 4. Проецируем основное уравнение динамики на оси t,n, b: Из третьего уравнения определяем реакцию троса: Определяем натяжение троса: Подставляем значение реакции троса, нормального ускорения во второе уравнение и определяем скорость груза: Пример 4: Автомашина весом G движется по выпуклому мосту (радиус кривизны равен R) со скоростью V. Определить давление автомашины на мост. 1. Выбираем объект (автомашина, размерами пренебрегаем и рассматриваем как точку). 2. Отбрасываем связь (шероховатую поверхность) и заменяем реакциями N и силой трения Fтр. 3. Составляем основное уравнение динамики: 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось n: Отсюда определяем нормальную реакцию: Определяем давление автомашины на мост: Отсюда можно определить скорость, соответствующую нулевому давлению на мост (Q = 0): Решение обратной задачи динамики – В общем случае движения точки силы, действующие на точку, являются переменными, зависящими от времени, координат и скорости. Движение точки описывается системой трех дифференциальных уравнений второго порядка: После интегрирования каждого из них будет шесть постоянных C1, C2,…., C6: Значения постоянных C1, C2,…., C6 находятся из шести начальных условий при t = 0: После подстановки найденных значений постоянных получаем: Таким образом, под действием одной и той же системы сил материальная точка может совершать целый класс движений, определяемых начальными условиями. Начальные координаты учитывают исходное положение точки. Начальная скорость, задаваемая проекциями, учитывает влияние на ее движение по рассматриваемому участку траектории сил, действовавших на точку до прихода на этот участок, т.е. начальное кинематическое состояние. Пример 1 решения обратной задачи: Свободная материальная точка массы m движется по действием силы F, постоянной по модулю и величине. В начальный момент скорость точки составляла v0 и совпадала по направлению с силой. Определить уравнение движение точки. 1. Составляем основное уравнение динамики: 2. Выберем декартову систему отсчета, направляя ось x вдоль направления силы и спроецируем основное уравнение динамики на эту ось: или 3. Понижаем порядок производной: 4. Разделяем переменные: 5. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 6. Представим проекцию скорости как производную координаты по времени: 7. Разделяем переменные: 8. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 9. Для определения значений постоянных C1 и C2 используем начальные условия t = 0, vx = v0 , x = x0 : В итоге получаем уравнение равнопеременного движения (по оси x): Общие указания к решению прямой и обратной задачи. Порядок решения: 1. Составление дифференциального уравнения движения: 1.1. Выбрать систему координат – прямоугольную (неподвижную) при неизвестной траектории движения, естественную (подвижную) при известной траектории, например, окружность или прямая линия. В последнем случае можно использовать одну прямолинейную координату. Начало отсчета совместить с начальным положением точки (при t = 0) или с равновесным положением точки, если оно существует, например, при колебаниях точки. 1.2. Изобразить точку в положении, соответствующем произвольному моменту времени (при t > 0) так, чтобы координаты были положительными (s > 0, x > 0). При этом считаем также, что проекция скорости в этом положении также положительна. В случае колебаний проекция скорости меняет знак, например, при возвращении к положению равновесия. Здесь следует принять, что в рассматриваемый момент времени точка удаляется от положения равновесия. Выполнение этой рекомендации важно в дальнейшем при работе с силами сопротивления, зависящими от скорости. 1.3. Освободить материальную точку от связей, заменить их действие реакциями, добавить активные силы. 1.4. Записать основной закон динамики в векторном виде, спроецировать на выбранные оси, выразить задаваемые или реактивные силы через переменные время, координаты или скорости, если они от них зависят. 2. Решение дифференциальных уравнений: 2.1. Понизить производную, если уравнение не приводится к каноническому (стандартному) виду. например: или Лекция 4 Аналитическая механика Вопрос 1 Обобщенные координаты. Уравнения связей. Принцип возможных перемещений Рассмотрим механическую систему из п материальных точек , на которые наложено l голономных связей . Положение этой системы в пространстве может быть задано 3п декартовыми координатами, которые к тому же должны удовлетворять l уравнениям связей. Следовательно, число независимых координат s = 3п — l. (1) Независимые между собой параметры, которые при наименьшем числе однозначно определяют положение механической системы, называются обобщенными координатами и обозначаются , В качестве обобщенных координат можно принять s из 3п декартовых координат или, что удобнее, s других независимых величин: расстояния, длину отрезков и дуг, углы, площади, объемы. Обобщенные координаты могут и не иметь геометрического смысла. Декартовы координаты точек механической системы можно выразить через обобщенные координаты и время: , j = 1, 2,..., n. (2) Функции (2) предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми. При решении задач механики часто нет необходимости принимать во внимание уравнения голономных связей, если из условия задачи видно, как следует выбрать обобщенные координаты, необходимые и достаточные для определения возможных положений системы. Возможные перемещения, или вариации, , точек механической системы могут быть определены с использованием равенства (2) через вариации , обобщенных координат: j= 1, 2,..., n. (3) Отсюда следует, что для голономной системы число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы этой системы. Связи и их уравнения. Связями принято называть ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах. Если на перемещения системы не наложено никаких ограничений или связей, она называется свободной системой. При наличии одной или нескольких связей она становится несвободной системой. Уравнения, которым из-за наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени), принято называть уравнениями связей. В общем случае уравнение связи имеет вид: (1.1) в котором 6п + 1 аргументов: - 3п координат точек P; - 3п проекций их скоростей и время t. Функция f предполагается дважды непрерывно дифференцируемой. Например, если материальная точка может перемещаться только в некоторой пло­скости, совпадающей с плоскостью Оху декартовой системы координат, то уравнением связи будет z=0. Предположим, точка перемещается по сфере, радиус которой изменяется во времени: R =f (t).Если центр сферы совпадает с началом координат, а х, у, z — координаты движущейся точки, то уравнение связи будет х2 + у2 + z2 - f(t) = 0 . Когда две материальные точки Р1 и Р2 соединены нерастяжимой нитью длиной l, уравнение связи имеет вид l2 - ( - )2 0 . Если материальная точка перемещается в пространстве, оставаясь внутри или на границе первого октанта системы координат, условия связи задают неравенствами: х В зависимости от вида функции (1) связи подразделяют на: 1) геометрические и дифференциальные; 2) голономные и неголономные; 3) стационарные и нестационарные; 4) удерживающие и неудерживающие. К геометрическим связям относят такие связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы (и, может быть, время). Дифференциальными связями считают связи, уравнения которых, кроме координат точек механической системы, содержат и первые производные от этих координат по времени (и, может быть, время). Примеры дифференциальных связей: связи конька при движении его по льду, связи колеса при качении его без скольжения по некоторой поверхности. Геометрические связи и дифференциальные связи, уравнения которых могут быть проинтегрированы, называются голономными связями. Неголономными связями принято называть дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы. В качестве примера рассмотрим качение диска по наклонной плоскости без скольжения (рис. 1). Рис. 1 Положение диска определяется координатой хс центра С диска и углом поворота . При качении выполняется соотношение , или , где R — радиус диска. Следовательно, имеет место дифференциальная связь. Однако полученное уравнение можно проинтегрировать (), т. е. получить зависимость между координатами, определяющими положение диска. Таким образом, рассматриваемая связь — голономная. Механические системы по виду связей подразделяют на голономные с голономными связями и неголономные, на которые наложены неголономные связи. Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными связями, а в противном случае — нестационарными связями. Для точки, перемещающейся по сфере, связь нестационарная, в остальных примерах выше описаны стационарные связи. Кроме того, различают связи удерживающие, если налагаемые ими ограничения не зависят от положения системы, и неудерживающие связи, не обладающие таким свойством, в описании которых (см. уравнение (1.1)) имеется как знак равенства, так и знак неравенства. В двух первых примерах связи удерживающие. Механические системы с неудерживающими связями ниже не рассматриваются. Конструктивно связи осуществляют в виде поверхностей, стержней, нитей, шарниров, направляющих и др. Принцип возможных перемещений. Возможные перемещения. В статике действие связей учитывают их реакциями. Однако вместо реакций можно рассматривать перемещения, допускаемые связями. Тогда и в уравнениях равновесия (движения) механической системы не будет неизвестных реакций связей. Когда материальная, точка Р под действием приложенных сил перемещается по поверхности, движущейся в системе координат Oxyz (рис. 2), поверхность, уравнение которой f(, t) = 0 или f(x,y,z,t) = 0 , (2.2) является для точки Р удерживающей, нестационарной и голономной связью. Рис. 2. Элементарное действительное d и возможные перемещения точки Р Предположим, что в момент времени t точка занимает положение Р(х, у, z), определяемое радиус-вектором , а за время dt точка вместе с поверхностью переместится в положение , при этом радиус-вектор изменится на d . Перемещение точки из одного положения в другое, бесконечно близкое к первому, выражаемое дифференциалом радиус-вектора точки, представляет собой элементарное перемещение точки: Вектор d , действительное перемещение точки, направлен по касательной к траектории точки, так как d = dt. Если в некоторый момент времени t сообщить точке воображаемое малое перемещение, допускаемое ее связями, то радиус-вектор точки Р получит малое приращение называемое изохронной вариацией радиус-вектора точки. Это название отражает то, что изменение радиус-вектора происходит изохронно t. Любое допускаемое наложенными связями элементарное перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в некоторый момент времени, выражаемое изохронной вариацией радиус-вектора этой точки, называется возможным или виртуальным перемещением точки: Проекции, или вариации, возможного перемещения формально вычисляются как дифференциалы функции (2.2) при постоянном значении времени t и, следовательно, должны удовлетворять уравнению (2.3) Производные df/дх, df/ду, df/dz — компоненты вектора grad f, и уравнение (2.3) можно представить в виде скалярного произведения векторов: (2.4) Градиент функции f — это вектор, направленный вдоль внешней нормали к поверхности (2) в рассматриваемой точке Р. (Градиент – это вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой) Из уравнения (2.4) видно, что любой вектор возможного перемещения точки перпендикулярен к нормали к поверхности, по которой движется точка. Следовательно, в рассматриваемый момент времени векторы находятся в плоскости, касательной к этой поверхности в точке Р (рис. 3). Рис. 3. Возможные перемещения при стационарной связи Еще раз подчеркнем, что возможные перемещения точки представляют собой воображаемые малые перемещения, которые она могла бы совершать из данного положения без нарушения наложенных связей при отсутствии действующих на точку сил при остановленном времени. Отметим, что при стационарных связях вектор d точки будет одним из возможных д (см. рис. 3), а в случае нестационарной связи d не совпадает ни с одним из д (см. рис. 2). Возможное, или виртуальное, перемещение механической системы — это любая совокупность возможных перемещений точек данной системы, допускаемая всеми наложенными на нее связями. Возможные перемещения системы или твердого тела должны удовлетворять двум условиям: 1) быть малыми, чтобы конфигурация системы и ее положение в пространстве оставались неизменными; 2) связи, наложенные на систему, не должны нарушаться при ее возможных перемещениях. Рис. 4. Возможное перемещение: рычага Например, возможное перемещение рычага АВ (рис. 4) — поворот его на элементарный угол относительно точки О. При таком повороте точки А и В перемещаются по дугам окружностей и . Эти перемещения с точностью до величины первого порядка малости можно заменить возможными перемещениями = АА' и = ВВ' в виде прямолинейных отрезков на касательных к траекториям точек Возможным перемещением кривошипно-ползунного механизма ОАВ (рис. 5) будет перемещение, соответствующее повороту кривошипа ОА на бесконечно малый угол относительно оси О. Тогда возможное перемещение точки А кривошипа будет соответствовать отрезку касательной АА' к дуге окружности с центром в точке О: = АА' = ОА. Возможным перемещением ползуна В в этом случае является элементарный отрезок его прямолинейной траектории: = . Рис. 5. Возможное перемещение кривошипно-ползунного механизма Заметим, что перемещение кривошипно-ползунного механизма из положения, показанного на рисунке, в положение, когда = 0, нельзя рассматривать как возможное, так как при = 0 эффект наложенных связей будет другим, в частности изменяются условия равновесия механизма. Число степеней свободы механической системы. Любая механическая система может иметь множество возможных перемещений, среди которых можно выделить некоторое число перемещений, не зависящих одно от другого. Так, если для рычага АВ (см. рис. 4.) за независимое возможное перемещение принять вектор , то возможное перемещение точки С, например, можно выразить через следующим образом: Модули возможных перемещений точек рычага пропорциональны расстояниям от них до оси поворота. Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы. Число степеней свободы механической системы с геометрическими связями равно числу независимых координат, описывающих положение этой системы. Некоторые примеры. 1).Свободная точка в пространстве имеет три степени свободы. Независимыми являются три возможных перемещения точки вдоль трех координатных осей; положение точки определяется тремя независимыми координатами, например х, у, z. 2).Материальная точка при движении по поверхности обладает двумя степенями свободы. Ее положение на поверхности определяется двумя независимыми координатами. 3).Свободное твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. Оно может перемещаться вдоль координатных осей и поворачиваться относительно этих осей. 4).Механическая система из двух материальных точек, соединенных жестким стержнем, при движении в плоскости имеет три степени свободы. 5).Кривошипно-ползунный механизм, показанный на рис. 5, имеет одну степень свободы. Принцип возможных перемещений. Исследуем общие условия равновесия механической системы. Под равновесием понимается такое состояние механической системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил остаются в покое относительно рассматриваемой системы отсчета. Равновесие является частным случаем движения механической системы, когда скорости всех ее точек равны нулю. В основе аналитической статики лежит принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными удерживающими стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы суммарная элементарная работа всех действующих на нее активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю: (1) Это уравнение называется общим уравнением статики. Докажем необходимость условия (1). Когда система из п материальных точек находится в равновесии при действии активных сил и реакций идеальных удерживающих стационарных связей, для любой точки можно записать уравнение равновесия: . Определив работу заданных сил на возможном перемещении всех точек и просуммировав выражения почленно, найдем для всей системы: Равенство (1) в координатной форме: (2) Общее уравнение статики (1) в обобщенных координатах записывается в виде (3) где Q, — обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате ; s — число степеней свободы системы. В случае голономной системы число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы этой системы, вариации обобщенных координат в уравнении (3) не зависят одна от другой, и равенство (3) выполняется тогда и только тогда, когда множители при равны нулю. Следовательно, для равновесия системы с голономными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю: , i= 1, 2, ..., s. (4) Принцип возможных перемещений используют при изучении механических систем, находящихся в состоянии равновесия: из уравнений равновесия исключаются неизвестные реакции идеальных связей, причем нет необходимости рассматривать равновесие отдельных частей или тел системы. Если требуется определить силы трения и реакции связей, то их относят к активным силам. Число уравнений равновесия равно числу степеней свободы системы. Вопрос 2. Уравнения Лагранжа II рода. Кинетический потенциал. Предположим, что механическая система из п материальных точек имеет S степеней свободы. В случае голономных нестационарных связей радиус-вектор любой точки этой системы является функцией обобщенных координат и времени t: =(, t) Обобщенные координаты системы являются функциями времени. Поэтому радиус-вектор является сложной функцией времени и вектор скорости точки определяется по правилу дифференцирования сложной функции: == (3.1) или = (3.2) Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями. Из выражения (3.1) следует, что частная производная от по какой-либо обобщенной скорости равна коэффициенту при в правой части этого выражения, т.е. равна частной производной от по координате : (3.3) Кинетическая энергия механической системы, как известно, определяется по формуле: Т= (3.4) Из выражения (3.2) следует, что вектор скорости точки в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат, содержащихся в выражениях , обобщенных скоростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных: Т= Т (3.5) Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенной координате и обобщенной скорости , дифференцируя выражение (3.4) как сложную функцию: Преобразуем последнее выражение на основании равенства (3.3): Продифференцируем это выражение по времени: (3.6) Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (3.6), учитывая, что для несвободной материальной точки . 1. С помощью равенства, определяющего обобщенную силу, находим: == 2. Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение . Частная производная является функцией тех же переменных, от которых зависит радиус-вектор точки . Дифференцируем как сложную функцию времени: = (3.7) Найдем частную производную , дифференцируя по выражение (1): = (3.8) Правые части выражений (3.7) и (3.8) отличаются только последовательностью дифференцирования, которая при непрерывных функциях не имеет значения; следовательно, = Пользуясь этой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (3.6): == Подставляем найденные значения обеих сумм в равенство (3.6) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными связями, для которых : , или (3.9) Систему S дифференциальных уравнений (3.9) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы . Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем S уравнений движения механической системы в обобщенных координатах: Раздел 2. Сопротивление материалов Лекция 1 Основные понятия и определения сопротивления материалов Вопрос 1 Основные понятия При проектировании различных конструкций (сооружений, машин, приборов и др.) необходимо проводить расчеты на прочность. Неправильный расчет самой на первый взгляд незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции. Прочностью называется способность тел выдерживать необходимые внешние нагрузки в течение длительного времени не разрушаясь. Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость. Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных (обычно весьма малых) величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации. Жесткость - способность конструкции и ее элементов противостоять внешним нагрузкам в отношении деформаций (изменение формы и размеров). При заданных нагрузках деформации не должны превышать определенных величин, устанавливаемых в соответствии с требованиями к конструкции. Деформации многих конструкций при действии некоторого вида нагрузок незначительны, пока величины этих нагрузок меньше так называемых критических значений. При нагрузках же, превышающих (даже весьма незначительно) критические значения, деформации конструкций резко возрастают. Простейший пример такого явления представляет так называемый продольный изгиб сжатого стержня – при некотором значении сжимающей силы происходит выпучивание прямолинейного стержня, практически равносильное разрушению. Такое качественное изменение характера деформации конструкции при увеличении нагрузки называется потерей устойчивости. Расчет конструкции, имеющий целью не допустить потери устойчивости, называется расчетом на устойчивость. Устойчивостью называют свойство элементов машин или сооружений сохранять первоначальную форму упругого равновесия. Признаком потери устойчивости является внезапная смена одной формы равновесия другой. Основная задача курса сопротивления материалов - рациональный выбор формы и размеров поперечного сечения элементов, обеспечивающих прочность, жесткость, устойчивость и долговечность при минимальном расходе материалов. При проведении расчетов необходимо сочетать надежность работы сооружения с его дешевизной, получать необходимые прочность, жесткость и устойчивость при наименьшем расходе материала. Совокупность наук о прочности, жесткости и устойчивости сооружений называется строительной механикой. Одним из разделов строительной механики является - сопротивление материалов. Другими ее разделами являются теория упругости (математическая и прикладная), теория пластичности и теория сооружений (включающая статику, динамику и устойчивость сооружений). В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций и вопросы расчета некоторых простейших конструкций. В отличие от теоретической механики, в которой все тела рассматриваются как абсолютно твердые, в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкций изготовлены из материалов, которые при действии на них внешних сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются. В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики (в первую очередь статики) и математического анализа, а также используются данные из разделов физики, изучающих свойства различных материалов. Сопротивление материалов является наукой экспериментально-теоретической, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования. Краткий исторический обзор. Начало развития сопротивления материалов относят к 1638 году и связывают с именем итальянского ученого Галилея, выполнившего первые теоретические расчеты балок при изгибе. В 1660 году Роберт Гук сформулировал закон линейной пропорциональности между деформациями и внутренними силами. С развитием техники развивалась и наука о сопротивлении материалов. Много в этой области сделано русскими учеными. MB. Ломоносов разработал основы учения о твердости и сконструировал прибор для раздавливания материалов. Яков и Даниил Бернулли в начале XVIII столетия исследовали деформацию изгиба балок. Л. Эйлер решил задачу об устойчивости сжатого стержня. В 1850 году Д.И. Журавский разработал теорию скалывания при изгибе. Он же создал метод расчета составных балок. Широко известны работы Ф.С. Ясинского, И.Г. Крылова, А.Н. Динника. Н.В. Корноухова и др. Основные гипотезы сопротивления материалов. Так как реальные материалы обладают весьма сложной структурой, то для упрощения их заменяют некоторой идеальной средой, приняв ряд гипотез (допущений). 1. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его молекулярного строения), тем не менее, указанная особенность не является существенной, поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых существенно превышают не только межатомные расстояния, но и размеры кристаллических зерен. С понятием однородности тесно связано понятие сплошности среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а значит в теле конструкции нет пустот. Это допущение позволяет использовать в сопротивлении материалов методы математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисления). 2. Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. предполагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Материалы, имеющие различные свойства в разных направлениях, называют анизотропными (например, дерево). Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристаллов, принимается, что материал изотропен. Металлы и сплавы, как правило, изотропны. В настоящее время широкое распространение получили анизотропные композиционные материалы, состоящие из двух компонентов – наполнителя и связующего. Наполнитель состоит из уложенных в определенном порядке высокопрочных нитей – матрицы, что и определяет значительную анизотропию композита. Композиционные материалы имеют высокую прочность при значительно меньшем, чем металлы весе. 3. Принимается, что до определенной величины деформации материалов подчиняются закону Гука и весьма малы относительно размеров тела, поэтому все расчеты выполняются по исходной, т.е. недеформированной, схеме, к которой применим принцип независимости действия сил. 4. После снятия нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструкций абсолютно упругий. Это допущение справедливо, пока нагрузки не превышают определенного значения. При больших нагрузках в элементах конструкций появляются пластические деформации. 5. Перемещения, возникающие под действием внешних сил в упругом теле, малы по сравнению с его размерами. Это допущение называется принципом начальных размеров. Допущение позволяет при составлении уравнений равновесия пренебречь изменениями формы и размеров конструкции. 6. Предполагается, что в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, характер распределения напряжений не зависит от конкретного способа нагружения. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния и формулируемый следующим образом: особенности приложения внешних нагрузок проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. 7. Принимается гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские поперечные сечения стержня до деформации остаются плоскими и после деформации. 8. Считается, что ненагруженное тело свободно от каких бы то ни было внутренних сил любой природы. Основное внимание в сопротивлении материалов уделяется изучению брусьев, являющихся наиболее распространенными элементами многих конструкций. Брусом (или стержнем) называется элемент, длина которого значительно больше его поперечных размеров (рис. 1.1, а). Горизонтальный (или наклонный) брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой. Ось бруса представляет собой геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса, т. е. сечений, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к указанной оси. Элемент конструкции, длина и ширина которого во много раз превышают его толщину, называется оболочкой (рис. 1.1, б). Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью. Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластинкой (рис. 1.1, в). Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга (например, сплошная опора моста), называется массивным телом (рис. 1.1, г). Рис. 1.1 РАСЧЕТНАЯ СХЕМА НАГРУЗКИ Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к тому или иному элементу конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему. В сопротивлении материалов расчет реальной конструкции на действие реальных внешних нагрузок производится с помощью так называемых расчетных схем. При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которых малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т. е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса. Точки приложения сил на оси бруса и сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки. На расчетной схеме вместо бруса изображается его ось. При составлении расчетной схемы конструкции применяются и другие упрощения, облегчающие ее расчет. Рис. 2.1 На рис. 2.1, а показан брус и действующие на него (в плоскости чертежа) внешние сосредоточенные силы Р1 Р2, Р3. На рис. 2.1, б дана расчетная схема этого бруса с сосредоточенными силами Р и моментами М, приложенными к его оси. (Указанная схематизация основана на так называемом принципе Сен-Венана, согласно которому распределение напряжений на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки, превышающем размеры загруженного участка, не зависит от характера нагрузки, а зависит только от ее статического эквивалента.) Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например, к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными (не сосредоточенными) по поверхности или приводятся к распределенным по линии. Связи и опорные устройства Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к которым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и другое. Основным видом связей в расчетной схеме является шарнирная связь. Простой шарнир (рис. 1.2) накладывает две связи. Рис. 1.2 В расчетную схему входит основание, т.е. тело, на котоpое опирается cистема в целом, считающееся неподвижной. Неподвижность расчетной схемы относительно основания обеспечивается опорными связями (опорами). Все опорные связи условно делятся на три основных типа: - Подвижная шарнирная опора (рис.1.3, а). Такая опора не препятствует вращению конца бруса и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через ось катка (R). - Неподвижная шарнирная опора (рис.1.3, б). Такая опора допускает вращение конца бруса, но устраняет поступательное движение ее в любом направлении. Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена вдоль оси бруса (Н), другая - перпендикулярно к оси бруса (R). - Жесткая заделка или защемление (рис.1.3, в). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре в общем случае может возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (H и R) и момент защемления (М). При рассмотрении реального объекта в число внешних сил включаются не только заданные нагрузки, но и реакции связей (опор), дополняющие систему сил до равновесного состояния. Рис. 1.3 Вопрос 2 Определение внутренних усилий. Метод сечений Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение (увеличение или уменьшение) внутренних сил, т. е. появление дополнительных внутренних сил. В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. Поэтому под внутренними силами (или внутренними усилиями) в сопротивлении материалов понимают силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил. Рассмотрим элемент конструкции, на который действует система внешних сил, находящихся в равновесии (рис. 2.1, а). (Напоминаем, что в число внешних сил входят как заданные активные силы, так и реакции связей.) Мысленно рассечем элемент плоскостью I. Рис. 2.1 Силы воздействия отсеченной правой части элемента на его левую часть (на правый ее торец) являются по отношению к ней внешними; для всего же элемента в целом они являются внутренними силами. Этим силам (на основании известного закона механики: действие равно противодействию) равны по величине и противоположны по направлению внутренние силы воздействия левой части элемента на правую. В общем случае пространственной задачи взаимодействие между левой и правой частями элемента можно представить некоторой силой R, приложенной в произвольно выбранной точке О сечения I, и моментом М относительно некоторой оси, проходящей через эту точку (рис. 2.1,б, в). Сила R является главным вектором, а момент М — главным моментом системы внутренних сил, действующих по проведенному сечению. Определение внутренних сил, возникающих в брусе, обычно производится для сечений, перпендикулярных к его продольной оси; т. е. для поперечных сечений бруса. Точка О принимается расположенной на оси бруса, т. е. совпадающей с центром тяжести его поперечного сечения. Главный вектор R раскладывается на две составляющие силы: силу N, направленную вдоль оси бруса и называемую продольной силой, и силу Т действующую в плоскости поперечного сечения и называемую поперечной силой (рис. 2.2, а). Рис. 2.2 Момент М раскладывается на два составляющих момента: момент МК, действующий в плоскости поперечного сечения и называемый крутящим моментом, и момент МИ действующий в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению, и называемый изгибающим моментом (рис. 2.2, б). Каждому из внутренних усилий N, Т, МК и МИ соответствует определенный вид деформации бруса, Продольной силе . N соответствует растяжение (или, сжатие), поперечной силе Т – сдвиг, крутящему моменту МК – кручение, а изгибающему моменту МИ – изгиб. Различные их сочетания, например, сжатие с изгибом, изгиб с кручением и т. п., представляют собой сложные сопротивления. Внутренние усилия N и МК характеризуются каждое одним параметром – величиной усилия. Поперечная сила Т характеризуется двумя параметрами, например, величиной этой силы и ее направлением (в плоскости поперечного сечения бруса). Более удобно силу Т определять через составляющие ее поперечные силы QZ и QY, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в плоскости поперечного сечения бруса (см, рис. 2.2, а). Изгибающий момент МИ также характеризуется двумя параметрами; его обычно раскладывают на два составляющих изгибающих момента МZ и МY относительно осей z и у. Таким образом, взаимодействие любых двух частей конструкции характеризуется тремя составляющими N, QZ и QY главного вектора и тремя составляющими МК, МZ и МY главного момента внутренних сил, возникающих, в рассматриваемом поперечном сечении. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами, или внутренними усилиями. Рассмотрим общий прием определения внутренних усилий, называемый методом сечений. Рис. 2.3 Рассечем стержень (рис. 2.3, а) плоскостью /, совпадающей с поперечным сечением стержня. В полученном поперечном сечении в общем случае действует шесть внутренних усилий: N, QZ , QY , МК, МZ и Му (рис. 2.3,б,в). Правая часть стержня (рис 2.3, в) находится в равновесии; значит, внешние силы Р4 и Р5, приложенные к ней, уравновешиваются внутренними усилиями, действующими на правую часть. Но те же внешние силы уравновешиваются и нагрузками, приложенными к левой части стержня (силами Р1 , Р2 ,Рз), так как весь стержень в целом (рис 2.3, а) также находится в равновесии. Следовательно, нагрузки, приложенные к левой части стержня (силы Р1 , Р2 ,Рз), и внутренние усилия, действующие на правую часть, статически эквивалентны друг другу. Таким образом, проекция на какую-либо ось внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равна проекции на эту ось всех внешних сил, приложенных к левой части. Аналогично, момент относительно какой-либо оси внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равен моменту всех внешних сил, приложенных к левой части относительно этой оси. Из шести внутренних усилий, действующих в поперечном сечении стержня, проекции пяти усилий на каждую из осей х, у, и z равны нулю. Аналогично равны нулю и моменты пяти внутренних усилий относительно каждой из указанных осей. Это позволяет легко определять внутренние усилия в стержне, проецируя на ось х, или у, или z все внутренние усилия, действующие на правую часть стержня (рис. 2.3, в), и все внешние силы, приложенные к левой части (рис. 2.3,б), или определяя их моменты относительно одной из указанных осей. Определим, например, величину продольной силы N в поперечном сечении I, показанном на рис. 2.3. Из рис. 2.3, в видно, что проекция на ось х всех внутренних усилий, действующих на правую часть стержня, равна +N, если для проекций положительным считать направление справа налево. Поэтому сила N равна сумме проекций на ось х всех внешних сил, действующих на левую часть стержня (т. е. сил Р1 , Р2 ,Рз – см. рис. 2.3, б). Аналогично значение, например, крутящего момента МК в поперечном сечении стержня равно сумме моментов сил Р1 , Р2 ,Рз (рис. 2.3, б) относительно оси х, если положительными считать моменты, направленные по часовой стрелке (при взгляде с левого конца оси х на правый) и т. д. Внутренние силы, действующие в сечении со стороны левой части на правую, можно определить по внешним силам, приложенным не к левой, а к правой части. В этом случае полученные направления проекций внешних сил на выбранные оси и моментов относительно этих осей необходимо изменять на противоположные. Вопрос 3 Центральное растяжение-сжатие Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия (поперечные силы, изгибающие моменты и крутящий момент) равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием). На рис. 1.2, а изображен прямой брус, закрепленный одним концом и нагруженный на другом конце силой Р, направленной вдоль его оси. Во всех поперечных сечениях этого бруса возникают только продольные растягивающие силу, и, следовательно, такой брус по всей длине является центрально растянутым. При противоположно направленной силе Р (рис, 1.2, б) брус по всей длине испытывает сжатие. Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными. На рис. 2.2, а изображен брус, нагруженный силами Р1 и Р2, направленными вдоль его оси, двумя силами Р3, параллельными оси и приложенными на равных расстояниях от нее в поперечном сечении с, а также двумя силами Р4, направленными под углом а к оси бруса, и приложенными в поперечном сечении d на равных расстояниях от оси. На рис. 2.2, б изображена расчетная схема, полученная путем замены бруса его осью и переноса внешних нагрузок к этой оси. Силы Р1 и Р2 на расчетной схеме действуют вдоль оси бруса; силы Р3 и силы Р4, показанные на рис, 2.2, а, приводятся соответственно к силам 2Р3 и 2P4 cos, также направленным вдоль оси. Таким образом, на расчетной схеме (рис. 2.2, б) все внешние силы действуют вдоль оси бруса. Следовательно, в поперечных сечениях рассматриваемого бруса возникают только продольные силы. Определим в качестве примера продольную силу N, в сечении / — / (см. рис. 2.2, б). Рис. 2.2 На рис. 2.2, в, г показаны продольные силы N, действующие на левую (по отношению к сечению / — /) и на правую части бруса. Направления этих сил приняты в предположении, что они являются растягивающими (т. е. положительными). Если в результате расчета значение N получится со знаком «минус», то это будет означать, что в действительности брус в сечении / — / сжат. Для определения силы N воспользуемся методом сечений. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось бруса всех сил, действующих на левую его часть (см. рис. 2.2, в): откуда Этот же результат можно получить, и не составляя уравнения равновесия, а используя то положение, что на основании метода сечений проекция внутренних сил на ось бруса (т. е. продольная: сила), действующих со стороны левой его части на правую, равна сумме проекций на эту же ось всех внешних сил, прило­женных к левой части. Следовательно, Силы Р1 и 2Р3 взяты со знаком «плюс», потому что их направление совпадает с положительным направлением силы N/ действующей на правую часть бруса. Аналогично найдем продольные силы в сечениях //—//, III—III, IV—IV (рис. 2.2,б), проецируя силы, приложенные слева от этих сечений, на ось бруса: ; ; Очевидно, что на всем участке аЬ (между точками приложения сил Р1 и Р2) продольная сила постоянна и равна Р1, аналогично и на других участках (между точками приложения внешних сил) продольные силы имеют постоянные значения. Построим график, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называемый эпюрой продольных сил (эпюрой N). Для этого проведем ось эпюры ае, параллельную оси бруса (рис. 2.2, д), и перпендикулярно к ней отложим ординаты, изображающие в некотором масштабе величины продольных сил в поперечных сечениях бруса. Полученную таким путем эпюру принято штриховать (так же как и эпюры других внутренних усилий, рассматриваемые в последующих главах курса) прямыми линиями, перпендикулярными к ее оси. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину продольной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. В поперечном сечении, в котором к брусу приложена сосредоточенная сила, не перпендикулярная к его оси, значение продольной силы изменяется скачкообразно: слева от этого сечения, продольная сила имеет одно, а справа — другое значение, отличающееся на величину проекции (на ось бруса) указанной сосредоточенной силы. В соответствии с этим эпюра, изображенная на рис. 2.2, д, имеет скачки (уступы) в точках а, Ь, с, d, e, равные соответственно величинам Р1 —Р2, 2Р3, — 2P4cosa и значению реакции опорного закрепления бруса. Для построения эпюр внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях бруса, нет необходимости изображать и брус с действующими на него нагрузками и расчетную схему, а достаточно привести один из этих чертежей. Точно так же нет необходимости изображать отдельные части бруса, на которые он расчленяется поперечными сечениями. Например, для решения рассмотренной задачи можно изобразить лишь брус (рис. 2.2, а) или его расчетную схему (рис. 2.2, б), а также эпюру продольных сил N (рис. 2.2, д) и мысленно представить остальные схемы, приведенные на рис. 2.2. При действии на брус внешней распределенной осевой (т. е. направленной вдоль оси бруса) нагрузки продольные силы на участке, на котором такая нагрузка приложена, изменяются непрерывно. Лекция 2 Сдвиг. Кручение. Геометрические характеристики плоских сечений. Вопрос 1. Сдвиг, срез, смятие Сдвигом называют деформацию, представляющую собой искажение первоначально прямого угла малого элемента бруса (рис.1.1) под действием касательных напряжений . Развитие этой деформации приводит к разрушению, называемому срезом или, применительно к древесине, скалыванием. Примером сдвига является резка полосы ножницами. На сдвиг работают жесткие соединения конструкций – сварные, заклепочные и так далее. Деформация сдвига оценивается взаимным смещением граней 1 – 1 и 2 – 2 малого элемента (рис. 1.2), называемым абсолютным сдвигом и более полно – относительным сдвигом (углом сдвига) , являющимся безразмерной величиной. В предположении равномерного распределения касательных напряжений по сечению площадью А, они определяются по формуле , где Q – поперечная сила в данном сечении. Условие прочности записывается по минимальной площади среза Amin, отражающей минимальное число соединяющих элементов (заклепок, болтов, штифтов и т.д.) или минимальную длину сварного шва. При расчете болтовых или заклепочных соединений учитывается смятие контактирующих поверхностей, то есть пластическую деформацию, возникающую на поверхности контакта. , где Aсм – площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость. При выполнении проектного расчета, то есть при определении необходимого диаметра заклепки, болта или при определении их количества необходимо учитывать условие прочности на срез и на смятие, из двух значений следует взять большее число, округлив его до ближайшего целого в меньшую сторону. Примечания: 1. Так как болты и заклепки ослабляют соединяемые листы, последние проверяют на разрыв в ослабленных сечениях . В пределах упругости касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу – это закон Гука при сдвиге; G – модуль сдвига, Н/м2, характеризующий жесткость материала при сдвиге. Закон Гука при сдвиге через абсолютные деформации: , где а – расстояние между сдвигаемыми гранями; А – площадь грани. Модуль сдвига G, модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона материала связаны зависимостью Удельная потенциальная энергия деформации сдвига равна На практике чаще всего теория сдвига применяется к расчету болтов, заклепок, шпонок, сварных швов и других элементов соединений. Расчет заклепок на срез При простом растяжении или простом сжатии две части стержня, разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относительно другой. Растяжению сопротивляются нормальные, а сдвигу — касательные напряжения. На практике целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить именно путем сдвига. В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Заклепки во многих случаях уже вытеснены сваркой; однако они имеют еще очень большое применение для соединения частей всякого рода металлических конструкций: стропил, ферм мостов, кранов, для соединения листов в котлах, судах, резервуарах и т. п. Для образования заклепочного соединения в обоих листах просверливают или продавливают отверстия. В них закладывается нагретый до красного каления стержень заклепки с одной головкой; другой конец заклепки расклепывается ударами специального молотка или давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования второй головки. Мелкие заклепки (малого диаметра — меньше 8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции). Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соединения (рис. 1.3). Заклепки, расположенные в два ряда, соединяют два листа внахлестку. Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему препятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил P. Рис. 1.3 Для проверки прочности заклепок применим общий порядок решения задач сопротивления материалов. На каждую заклепку передаются по две равные и прямо противоположные силы: одна—от первого листа, другая — от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклепок ряда нагружаются больше, другие — меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклепки работают одинаково. Таким образом, при n заклепках в соединении, изображенном на рис. 1.3, на каждую из них действуют по две равные и противоположные силы (рис. 1.4); эти силы передаются на заклепку путем нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндрическую поверхность стержня. Силы стремятся перерезать заклепку по плоскости mk раздела обоих листов. Рис. 1.4 Для вычисления напряжений, действующих по этой плоскости, разделим мысленно заклепочный стержень сечением mk и отбросим нижнюю часть (рис. 1.4). Внутренние усилия, передающиеся по этому сечению от нижней части на верхнюю, будут уравновешивать силу т. е. будут действовать параллельно ей в плоскости сечения, и в сумме дадут равнодействующую, равную . Следовательно, напряжения, возникающие в этом сечении и действующие касательно к плоскости сечения, это — касательные напряжения . Обычно принимают равномерное распределение этих напряжений по сечению. Тогда при диаметре заклепки d на единицу площади сечения будет приходиться напряжение: Величина допускаемого касательного напряжения , или, как говорят, допускаемого напряжения на срез, принято определять в виде: . Зная , мы напишем условие прочности заклепки на перерезывание в таком виде: т. е. действительное касательное напряжение в материале заклепки должно быть равно допускаемому , или меньше его. Из этого условия можно определить необходимый диаметр заклепок, если задаться их числом, и наоборот. Обычно задаются диаметром заклепочных стержней d в соответствии с толщиной t склепываемых частей (обычно ) и определяют необходимое число заклепок : Знаменатель этой формулы представляет собой ту силу, которую безопасно может взять на себя каждая заклепка. Пусть тогда Рис. 1.5 При выводе формулы расчета заклепки на перерезывание, помимо оговоренных, допущена еще одна неточность. Дело в том, что силы действующие на заклепку, не направлены по одной прямой, а образуют пару. Эта пара уравновешивается другой парой, образующейся из реакций соединенных листов на головку заклепки (рис. 1.5) и ведет к появлению нормальных напряжений, действующих по сечению mk. Кроме этих нормальных напряжений, по сечению mk действуют еще нормальные напряжения, вызванные тем, что при охлаждении заклепочный стержень стремится сократить свою длину, чему мешает упор головок заклепки в листы. Это обстоятельство, с одной стороны, обеспечивает стягивание заклепками листов и возникновение между ними сил трения, с другой — вызывает значительные нормальные напряжения по сечениям стержня заклепки. Особых неприятностей эти напряжения принести не могут. На заклепки идет сталь, обладающая значительной пластичностью; поэтому даже если бы нормальные напряжения достигли предела текучести, можно ожидать некоторого пластического удлинения стержня заклепки, что вызовет лишь уменьшение сил трения между листами и осуществление в действительности той схемы работы заклепки на перерезывание, на которую она и рассчитывается. Поэтому эти нормальные напряжения расчетом не учитываются. При проектировании строительных конструкций применяется следующее условие прочности на срез для заклепок и болтовых соединений где Q – поперечная сила, равная внешней силе F, действующей на соединение; Rbs – расчетное сопротивление на срез; – расчетная площадь сечения болта или заклепки; d – диаметр заклепки или наружный диаметр болта; ns – число срезов одного болта или заклепки; – коэффициент условий работы соединения, имеющий значения в интервале ; n – число болтов или заклепок. Если величины F, Rbs, , ns известны, то задаваясь числом заклепок или болтов n, можно найти необходимый для обеспечения прочности на срез диаметр . А зная d, F, Rbs, , ns, можно определить потребное число заклепок или болтов Расчет заклепок на смятие и листов на разрыв Помимо среза заклепкам и соединяемым листам в конструкции угрожают и иные опасности. Так как передача сил на заклепочный стержень происходит путем нажатия стенок заклепочного отверстия на заклепку, то необходимо установить, не произойдет ли наружное обмятие этого стержня или стенок отверстия, — произвести проверку на смятие. Под смятием понимают пластическую деформацию, возникающую в соединениях на поверхностях контакта. Возникающие при этом напряжения являются нормальными, закон распределения которых по поверхности контакта достаточно сложен. На рис. 1.7 указана примерная схема передачи давлений на стержень заклепки. Закон распределения этих давлений по цилиндрической поверхности нам неизвестен; он во многом зависит от неправильностей формы заклепочного отверстиями стержня, вызванных условиями изготовления конструкции. Поэтому расчет производится условно. Принято считать, что неравномерное давление, передающееся на поверхность заклепки от листа, распределяется равномерно по диаметральной плоскости сечения заклепки. При этом напряжение по этой диаметральной плоскости оказывается примерно равным наибольшему сминающему напряжению в точке А поверхности заклепки. Рис. 1.7 Чтобы вычислить это условное напряжение смятия, необходимо разделить силу, приходящуюся на заклепку, на площадь диаметрального сечения ВСС'В'. Эта площадь представляет собой прямоугольник, одной стороной которого служит диаметр заклепки, другая же равна толщине листа, передающего давление на стержень заклепки. Так как давление на одну заклепку равно , то условие прочности на смятие будет иметь вид: где — допускаемое напряжение на смятие. Отсюда необходимое число заклепок Допускаемое напряжение на смятие принимают обычно в 2 - 2,5 раза больше основного допускаемого напряжения на растяжение и сжатие , так как расчет на смятие по существу является упрощенной проверкой прочности по контактным напряжениям. Таким образом, определяется число заклепок, необходимое для прочного соединения листов. Из двух полученных значений , конечно, надо взять большее. Если мы вернемся к рассмотренному ранее примеру и примем , , то получим: Таким образом, условие прочности заклепок на перерезывание требует постановки двадцати четырех заклепок; условие же прочности на смятие — пятнадцати заклепок. Очевидно, необходимо поставить двадцать четыре заклепки. В этом примере работа заклепок на срез оказывается опаснее работы их на смятие. Это обычно бывает в соединениях с так называемыми односрезными заклепками, в которых каждая заклепка перерезывается в одной плоскости. а) расчетная схема, б) действующие усилия Рис. 1.8 В несколько других условиях будут работать заклепки соединения, показанного на рис. 1.8, а. Здесь стык двух листов осуществлен при помощи двух накладок. Сила Р при помощи первой группы заклепок передается от левого листа обеим накладкам, а от последних при помощи второй группы заклепок передается правому листу. Называя через число заклепок, необходимое для передачи усилия Р от листа на накладки и от накладок на другой лист, получаем, что на каждую заклепку передается усилие от основного листа . Оно уравновешивается усилиями , передающимися на заклепку от накладок (рис. 1.8, б). Стержень заклепки теперь подвергается перерезыванию уже в двух плоскостях; средняя часть заклепки сдвигается влево. Допускают, что срезывающая сила равномерно распределяется по двум сечениям, mk и gf. Напряжение и условие прочности для двухсрезной заклепки принимает вид: и Таким образом, при двойном перерезывании число заклепок по срезыванию оказывается в два раза меньше, чем при одиночном перерезывании. Переходим к проверке на смятие. Толщина склепываемых листов ; толщина накладок не должна быть меньше 0,5t, так как две накладки должны взять от основного листа всю силу Р. Поэтому: Сила сминает и среднюю часть заклепки и верхнюю с нижней. Опаснее будет смятие той части, где площадь смятия меньше. Так как толщина среднего листа не больше суммы толщин обеих накладок, то в худших условиях по смятию будет средняя часть заклепки. Условие прочности на смятие останется таким же, как и при односрезных заклепках: Таким образом, для рассматриваемой конструкции число заклепок в первой и во второй группах определится из полученных условий. Пусть Тогда: . В этом случае при двухсрезных заклепках условия их работы на смятие тяжелее, чем на срезывание; следует принять . На двух рассмотренных примерах мы установили общие методы проверки прочности заклепочных соединений. В металлических конструкциях иногда приходится склепывать целые пакеты соединяемых элементов. В таких пакетах заклепки могут работать и на большее число срезов. Однако методы расчета многосрезных заклепок не отличаются от изложенных. Для вычисления касательных напряжений следует разделить силу, относящуюся к одной заклепке, на суммарную площадь среза, воспринимающую эту силу. Для вычисления же напряжений смятия следует найти ту часть заклепки, которая находится в наиболее опасных условиях, т. е. воспринимает наибольшую силу на наименьшем протяжении. Напряжения смятия получаются делением этой силы на площадь диаметрального сечения наиболее напряженной части заклепки. Затем останется написать два условия прочности и получить . Наличие заклепок вносит некоторые изменения и в проверку прочности на растяжение или сжатие самих склепанных листов. Опасным сечением каждого листа (рис. 1.9) будет теперь сечение, проходящее через заклепочные отверстия; здесь рабочая ширина листа будет наименьшей; принято говорить, что это сечение ослаблено заклепочным отверстием. Называя полную ширину листа b, получаем для него такое условие прочности: где — число отверстий, попадающих в сечение (в нашем случае — два). Рис. 1.9 Отсюда можно найти величину , задавшись толщиной листа t. Площадь ослабленного сечения называется площадью нетто, площадь же полного сечения листа называется площадью брутто. Этот учет влияния заклепочных отверстий на прочность склепываемых листов общепринят, но является весьма условным. На самом деле, влияние отверстия в листе вызывает у его краев, на концах диаметра, перпендикулярного к направлению растяжения, значительные местные напряжения, которые могут достичь предела текучести материала и вызвать остаточные деформации, захватывающие, однако, весьма небольшой объем материала листа. Некоторую опасность в отношении образования трещин эти местные напряжения могут представить лишь при действии переменных нагрузок в материале, имеющем низкий предел усталости. Однако в обычных условиях работы заклепочных соединений эта опасность может считаться исключенной. Во избежание возможности разрушения листов заклепками заклепки размещаются на определенных расстояниях друг от друга и от края листа. Расположение заклепок в плане производится как по условиям обеспечения прочности и плотности соединения, так и по чисто производственным соображениям. Расстояния между центрами заклепок принимаются не менее 3d и не более 7d. Расстояния до края листов должны быть не менее (рис.5.23). Чтобы длина стыка была возможно меньше, берут , а в целях меньшего ослабления сечения расстояние е берут возможно большим (до 7d), что позволяет уменьшить число рядов, а следовательно, и ослабление. Рис. 1.10. Практические рекомендации по расположению заклепок в соединении. При проектировании заклепочных соединений для котлов и резервуаров, где добиваются плотных швов, помимо расчета на срез производят проверку сопротивления скольжению за счет трения. Однако допускаемое напряжение по скольжению дается в МПа поперечного сечения заклепки; таким образом, проверка на трение при односрезных заклепках сводится к проверке на срез лишь с другим допускаемым напряжением. При двухсрезных заклепках в расчет на трение вводится, конечно, одна площадь сечения заклепки, но зато повышается почти вдвое допускаемое напряжение на трение за счет двух накладок. Поэтому так называемый расчет заклепок на трение является, по существу, проверкой прочности на срез с другими лишь допускаемыми напряжениями на квадратный сантиметр площади поперечного сечения заклепки. Правильнее было бы сохранить лишь один метод проверки заклепочных соединений на смятие и срез, учитывая влияние сил трения при назначении допускаемых напряжений в зависимости от способа клепки, качества отверстий и требований, предъявляемых ко шву в отношении плотности. В заклепочных соединениях для котлов принимают обычно допускаемое напряжение на скольжение (на 1 см2 площади заклепки): - от 50 до 70 МПа при швах внахлестку, - от 90 до 120 с двумя накладками. При проверке по этим данным, очевидно, надо вести расчет, как при заклепках одиночного перерезывания, с допускаемым напряжением от 50 до 70 или от 90 до 120 МПа. При проектировании строительных конструкций применяется следующий алгоритм расчета болтовых и заклепочных соединений на смятие. Рис. 1.11 Упрощая расчет, площадь, подвергающуюся смятию, принимают равной где d – диаметр заклепки (болта); n – их число; – наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении. Сминающей будет та же сила F, которая производит и срез. Таким образом, условие прочности на смятие имеет вид: где Rbp – расчетное сопротивление на смятие. Из условия можно найти либо необходимый диаметр d по известным величинам F, t, n, Rbp,: , либо определить потребное число заклепок n . Из двух значений диаметров, рассчитанных ранее по формулам, берут больший, округляя его до стандартного значения. Точно так же из двух значений n, выбирают большее число, естественно, округленное до большего целого. У к а з а н и я 1. В заклепочных и болтовых соединениях при действии поперечной силы Q , проходящей через центр тяжести соединения, распределение этой силы между заклепками или болтами принимают равномерным. 2. При действии на соединение момента, вызывающего сдвиг соединяемых элементов, распределение усилий на болты или заклепки следует принимать пропорционально расстояниям от центра тяжести соединения до рассматриваемого болта или заклепки. 3. Болты или заклепки, работающие одновременно на срез и растяжение, следует проверять отдельно на срез и на растяжение. Дополнительные задачи на сдвиг Задачи на сдвиг встречаются не только при расчете заклепочных и болтовых соединений. Имеются и другие элементы конструкций, испытывающие деформацию сдвига, и поэтому при их расчете необходимо всякий раз удовлетворять условию прочности на срез и условию прочности на смятие Например, при расчете соединения деревянных элементов в качестве условия применяется условие прочности на скалывание вдоль волокон где Rск – расчетное сопротивление скалыванию. Вопрос 2. Геометрические характеристики плоских сечений Прочность и жесткость стержней зависит от геометрических характеристик их поперечных сечений. Геометрическими характеристиками плоских сечений являются: площадь; координаты центра тяжести; статические моменты площади; полярный, осевые и центробежные моменты инерции, радиусы инерции. Рис. 2.1 Площадь поперечного сечения стержня определяет его прочность и жесткость при деформациях растяжения, сжатия, сдвига. При рассмотрении деформации растяжения-сжатия, мы считали, что продольная сила направлена вдоль оси стержня, проходящей через центр тяжести поперечных сечений, определяющих очертания оси бруса. Из курса теоретической механики мы знаем, что координаты центра тя-жести определяются через соответствующие статические моменты площади. Статическим моментом площади фигуры относительно некоторой оси называется взятая по всей ее площади F сумма произведений площади элементарных площадок dF на их расстояния до оси. Для двух взаимно перпендикулярных осей OX и OY, лежащих в плоскости фигуры, статические моменты определяются соотношениями: ; Статический момент может быть как положительным, так и отрицательным. Размерность статического момента – размерность единицы длины в третьей степени: , , . Обозначим координаты центра тяжести сечения точки С через и . Тогда статические моменты и можно выразить по известным из курса теоретической механики формулам: = F; = F. Откуда следует выражение для определения координат центра тяжести: = ; = ,или = ; =. Оси, относительно которых статический момент равен нулю, называются центральными осями. Отсюда вытекает следующее определение: центром тяжести плоской фигуры называется точка пересечения ее центральных осей. Чтобы вычислить координаты центра тяжести составной фигуры, ее разбивают на отдельные простые фигуры, положение центров тяжести которых известно, и используют соотношение: = ; = . Моменты инерции сечения. Моменты инерции поперечных сечений определяют жесткость стержня при действии внешних моментов, вызывающих деформации кручения или изгиба. Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, называется взятая по всей его площади F сумма произведений площадей элементарных площадок dF на квадраты их расстояний от этой оси, то есть: = ; = . Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок dF на квадраты их расстояний от этой точки, то есть: = , или = + . Центробежным моментом инерции плоской фигуры относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называют взятую по всей ее площади сумму произведений элементарных площадок на их расстояния от этих осей, то есть: = . Моменты инерции имеют размерность единицы длины в четвертой степени: , , . Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны и в ноль не обращаются! Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным или нулевым! Оси, для которых полярный момент инерции обращается в ноль, называются главными осями плоской фигуры. Если хотя бы одна из двух координатных осей является осью симметрии, то центробежный момент инерции равен нулю. Отношение осевых моментов инерции плоской фигуры к ее площади определяет радиусы инерции плоской фигуры: = ; = . Моменты инерции для различных фигур: 1. Для квадрата: == 2. Для прямоугольника: =; = 3. Для равностороннего треугольника: =; = 4. Для прямоугольного треугольника: =; = 5. Для круга: == 6. Для кольца: == Четверть круга Jy=Jx=0,055R4 Jxy=0,0165R4 Jx0=0,0714R4 Jy0=0,0384R Полукруг Моменты инерции относительно параллельных осей: Jx1 = Jx + a2F; Jy1 = Jy + b2F Моменты инерции стандартных профилей находятся из таблиц сортамента: Уголок Швеллер Двутавр Моменты инерции сечений сложной формы. Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси: , что непосредственно следует из свойств определенного интеграла. Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их. Пример. Определить момент инерции сечения относительно оси симметрии, a=10 см. Решение: Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I - Равнобедренный треугольник, II - прямоугольник, III - круг. Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле: . Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов: для равнобедренного треугольника: ; для прямоугольника: ; для круга: . Окончательно получим: Вопрос 3. Кручение. Кручение – это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор крутящий момент (Мк). Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил. Моменты этих пар называются скручивающими моментами (М). Рис. 3.1 Момент представлен в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестом – силу, направленную от наблюдателя. При кручении бруса в его поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. При этом в центре бруса касательные напряжения равны нулю, а в точках контура касательные напряжения – максимальны! = ·; где - полярный момент инерции: = 0,1 - для круга. Отношение полярного момента инерции к расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной его точки называется полярным моментом сопротивления (, ): = = , или = Для круга: = Если крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса имеет одно и то же значение, а размеры сечения постоянны по всей длине, то полный угол закручивания равен: = ; где G··- жесткость сечения при кручении (Н·, кН·). Условие прочности при кручении: = , где - допускаемое напряжение при кручении, зависящее от свойств материала бруса и от принятого коэффициента запаса прочности. При расчете скручиваемых брусьев на прочность возможны следующие три вида задач: - проверка напряжений (проверочный расчет): , - подбор сечения бруса (проектный расчет): , - определение допускаемой нагрузки: · . Условие жесткости при кручении: = , где - наибольший относительный угол закручивания бруса, - допускаемый относительный угол закручивания. Лекция 3 Прямой поперечный изгиб. Вопрос 1. Прямой поперечный изгиб. Изгибом называется деформация, сопровождающаяся изменением кривизны оси стержня. При изгибе прямолинейного стержня ось его получает криволинейное очертание; продольные волокна у вогнутой стороны стержня укорачиваются, а у выпуклой удлиняются (рис. 1.1). Рис. 1.1 Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов, действующих в плоскости, проходящей через его ось. Если в поперечных сечениях бруса не действуют никакие другие внутренние силовые факторы, кроме изгибающих моментов М, то изгиб называют чистым. В общем случае изгиба в поперечных сечениях возникают еще и внутренние поперечные силы Q. Если внешняя нагрузка, действующая на стержень, направлена перпендикулярно его оси, то изгиб называют поперечным (рис. 1.1). Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Если плоскость внешней нагрузки, проходит через одну из главных центральных осей инерции каждого поперечного сечения балки, то изгиб называют прямым (или плоским), в противном случае косым. При косом изгибе изогнутая ось стержня не расположена в плоскости действия нагрузки. В случае если после деформации ось стержня оказывается плоской кривой, то изгиб называется простым. В данном разделе мы будем изучать плоский поперечный изгиб. Рассмотрим три основные типа опор балок (рис. 1.2). 1. Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.2,а). В опоре возникает только одна реакция в виде силы А, перпендикулярной опорной плоскости (и оси балки). 2. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.2,б). В опоре возникает реактивная сила, проходящая через центр шарнира. Её составляющими являются сила А, препятствующая смещению закрепленного сечения в направлении, перпендикулярном оси балки, и сила RА, препятствующая смещениям вдоль оси балки. 3. Защемление или заделка (рис. 1.2,б). Защемленный конец балки не может ни смещаться, ни поворачиваться. В опоре могут возникать три реакции: силы А, RА и реактивный момент в заделке МА. Рис. 1.2 Мы будем рассматривать только статически определимые балки при плоской системе внешних нагрузок. Примеры схем таких балок приведены на рис. 1.3,а и 1.3,б, опорные реакции определяем из уравнений статики: ; ; . Рис. 1.3 Если внешние нагрузки перпендикулярны оси балки, то продольная составляющая опорной реакции RА равна нулю. К балкам могут быть приложены внешние нагрузки следующих видов (рис. 1.4): - сосредоточенная нагрузка Р ; - распределенная нагрузка интенсивностью q, Н/м; - пара сил М, Нм. Рис. 1.4 Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали, какой вид деформации называется изгибом. Выяснили, что изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Узнали, в каких случаях изгиб называют чистым, чем отличается прямой изгиб от косого изгиба. Рассмотрели три основные типа опор балок. Вопрос 2. Определение внутренних усилий при изгибе. 2.1. Внутренние силовые факторы при изгибе (изгибающий момент и поперечная сила) Рассмотрим балку на двух опорах, на которую действует система сил Р1, Р2, Р3 и опорные реакции А и В (рис. 2.1). Для определения внутренних усилий в сечении балки воспользуемся методом сечений. Проведем произвольное сечение I-I и рассмотрим равновесие одной отсеченной части, например, левой. Левая часть балки под действием внешних и внутренних сил находится в равновесии. Очевидно, что внутренние силы сводятся к поперечной силе Q и паре сил М, которые можно определить из уравнений статики: , , здесь точка 1 – центр тяжести поперечного сечения I-I удаленного от начала координат на расстояние . Рис. 2.1. Силу Q называют внутренней поперечной силой, а пару сил М – внутренним изгибающим моментом. Таким образом, поперечной силой называется алгебраическая сумма проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на перпендикуляр к оси балки. Изгибающим моментом называется алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести поперечного сечения балки. 2.2. Дифференциальные зависимости при изгибе Рассмотрим балку, загруженную произвольной нагрузкой (рис. 2.4). Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки малой длины dz. Рассмотрим равновесие выделенного элемента. В сечении с координатой z действует внутренняя поперечная сила Qz и изгибающий момент Мz. В сечении с координатой (z+dz) сила Qz и момент Мz получат приращение dQz и dМz, вызванное действием распределенной по длине нагрузки интенсивности q. Из-за малости dz будем считать dq=0. Рис. 2.4 Воспользуемся уравнениями статики. Рассмотрим сумму проекций всех сил, действующих на элемент, на ось у: ; ; (2.1) Итак, первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной его оси. Составим теперь уравнение равновесия элемента в виде суммы моментов, действующих на него сил, относительно центра тяжести правого сечения точки К (рис. 2.4): Здесь - величина второго порядка малости и ею можно пренебречь. Получаем, что: , или . (2.2) Первая производная от изгибающего момента, по длине балки равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского. Подставляя Qz= dMz/dz в первое соотношение, находим: . (2.3) Вторая производная от изгибающего момента по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки. 2.3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов Эпюрами поперечных сил Q и изгибающих моментов М называются графики изменения этих величин по длине балки. При построении и контроле правильности построения эпюр Q(z) и M(z) используют ряд правил, вытекающих из полученных выше дифференциальных зависимостей: - если участок балки нагружен распределенной нагрузкой постоянной интенсивности q ,то функция Q(z) будет линейной, а M(z) – квадратичной, при этом выпуклость кривой M(z) будет обращена на встречу направлению распределенной нагрузки; - если распределенная нагрузка отсутствует (q=0), то поперечная сила будет постоянна (Q(z)=const) , а изгибающий момент будет изменяться по линейному закону, при этом знак Q(z) будет определять направление наклона прямой: если Q(z)>0, то M(z) возрастает и наоборот; - если поперечная сила обращается в нуль, то изгибающий момент в этой точке достигает экстремального значения; - если в сечении приложена пара внешних сил, то на эпюре M(z) имеет место разрыв на величину момента пары, а на эпюре Q(z) изменений нет; - если в сечении приложена внешняя сосредоточенная сила Р, то на эпюре Q(z) имеет место разрыв на величину силы Р, а на эпюре M(z) происходит излом зависимости M(z). Рассмотрим последовательность построения эпюр Q и M. 1. Определяют опорные реакции из условий статического равновесия балки. В дальнейшем опорные реакции учитываются точно так же, как и другие внешние нагрузки. 2. Разбивают балки на участки с однородным нагружением. Границами участков являются: начало и конец балки; сечения в которых приложены внешние силы Pi, или пары сил ; начало и конец распределенной нагрузки qk. 3. Для каждого i - го участка методом сечения с учетом правила знаков определяют зависимости Q(zi) и M(zi), причем координата сечения zi может отсчитываться как от левого, так и от правого края балки. Следует помнить, что для силы Q правило знаков противоположное для левой и правой части, а также то обстоятельство, что при построении эпюры М надо определять знак внешней нагрузки только в зависимости от того, какую форму она придает изогнутой оси балки: выпуклостью вверх или вниз, независимо от того знака, который был присвоен этой нагрузке при построении эпюры Q. Правила знаков для эпюр Q и М разные! 4. В зависимости от вида функций Q(z) и M(z) определяют число опорных точек, по которым строят участок эпюры: одна точка, если Q=const (или M=const); две точки, лежащие на границах участка для линейной функции, три точки для квадратичной функции; две из них на границах участка и одна – точка экстремума, или, если экстремума нет, то рассматривают точку посередине участка. 5. Проверяют правильность построения эпюр Q и М, по правилам изложенным в начале данного подраздела. Рассмотрим примеры построения эпюр Q и M. Вывод: В рассмотренном вопросе мы выяснили, какие внутренние силовые факторы возникают при изгибе. Рассмотрели дифференциальные зависимости при изгибе. Узнали правила и последовательность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Вопрос 3. Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов. При определении знаков нагрузок используют следующие правила знаков. Поперечная сила считается положительной, если внешняя сила, расположенная слева от сечения, направлена вверх, или сила, расположенная справа от сечения, направлена вниз (рис. 2.2). Рис. 2.2 Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз, и наоборот (рис. 2.3). Рис. 2.3 Пример 1. Построить эпюры Q и М для балки, показанной на рис.2.5. Определим опорные реакции. Система нагружения симметричная, следовательно А=В. Учитывая, что находим А=В=Р. Разбиваем балку на участки. Здесь мы имеем три участка балки. Будем рассчитывать координаты сечения от левого края: 1 участок: ; 2 участок: ; 3 участок: . Рис. 2.5. Построим эпюру Q. 1) Q(z1)=P 2) Q(z2)=P - P= 0 3) Q(z3) =P - P - P = - Р На всех участках поперечная сила постоянна, что и отражено на эпюре Q (рис. 2.5,б). Скачки на эпюре соответствуют внешним нагрузкам. Построим эпюру M: 1) M(z1) = Pz1; при z1=0, M(z1) = 0, при z1=a, M(z1) = Pa. 2) M(z2) = Pz2 – P(z2 – a)= Pa = const. 3) M(z3) = Pz3 – P(z3 – a) – P(z3 – a - b)= - P(z3 – 2a - b) при z3 = a+ b, M(z3)=-P(a+ b–2a– b )= Pa; при z3 = 2a + b, M(z3) = – P(2a + b - 2a - b) = 0. На первом и втором участке зависимость М(z) - линейная, строится по двум точкам. На первом участке Q(z1)>0, поэтому M(z1) возрастает, на третьем участке, наоборот, Q(z3)< 0 и M(z3) убывает (рис.2 5,в). На втором участке Q(z2)=0, и поэтому M(z2)=const. Второй участок представляет собой пример частного случая изгиба, который во введении был назван чистым изгибом: в поперечных сечениях балки действует только изгибающий момент. Пример 2. Рассмотрим балку на двух шарнирных опорах, загруженную распределенной нагрузкой постоянной интенсивности q (рис. 2.6). Требуется построить эпюры Q и М. Определим опорные реакции. Из-за симметрии схемы нагружения А=В. Так как . Имеем один участок нагружения. Введем начало отсчета координаты сечения от левого края. Построим эпюру Q(z): Q(z )= A – qz = . Зависимость Q(z) - линейная. Для её построения необходимо задать две точки (рис.2.6,б): при z=0: Q(z) = при z = l: Q(z) = . Рис. 2.6. Перейдем к построению эпюры M(z): M(z) = . Уравнение M(z) является уравнением квадратичной зависимости: при z=0: M(z)=0 ; при z=l: M(z) = . Максимальный момент имеет место в сечении, в котором . Из эпюры Q(z), следует, что координата этого сечения z=. Следовательно, Mmax (z) = M(l/2) = . Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали правила знаков, принятые при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, и закрепили пройденный материал, рассмотрев два примера на построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Лекция 4. Сложное сопротивление. Косой изгиб. Внецентренное растяжение. Вопрос 1. Анализ напряжённого и деформированного состояния в точке тела Компоненты напряжений в точке. Если твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения. Совокупность напряжений, действующих на этих площадках, характеризует напряженное состояние в данной точке. Исследование напряженного состояния в теле связано с получением зависимостей, позволяющих определить напряжения по любой площадке в любой точке тела. В теле, нагруженном произвольной системой сил (рис. 1.1, а) выделим в окрестности некоторой точки элементарный объем в виде параллелепипеда, по граням которого действуют внутренние силы, заменяющие действие отброшенных частей тела (рис. 1.1, б). Рис. 1.1. Напряжения на гранях элементарного куба в окрестности произвольной точки нагруженного тела Полное напряжение, возникающее на гранях элемента, можно разложить на три составляющие. В обозначении нормального напряжения индекс указывает ось, параллельно которой оно направлено. В обозначении касательного напряжения два индекса: первый показывает, к какой оси перпендикулярна площадка, на которой действует напряжение, второй — направление действия напряжения. Величины называют компонентами напряжений в рассматриваемой точке. Закон парности касательных напряжений. Параллелепипед, выделенный в окрестности рассматриваемой точки, должен находиться в равновесии при действии сил, приложенных к его граням. Нормальные силы на гранях параллелепипеда взаимно уравновешены, и, следовательно, три уравнения равновесия тождественно удовлетворяются. Составив уравнения суммы моментов всех сил относительно координатных осей, можно получить следующие три равенства: (1.1) Итак, касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам и перпендикулярные к их общему ребру, одинаковы и направлены либо к ребру, либо от ребра. Это и есть закон парности касательных напряжений. Растягивающее нормальное напряжение считают положительным, сжимающее — отрицательным. Знак касательных напряжений зависит от направления осей координат. Главные площадки и главные напряжения. Определение напряжений по граням выделенного элемента — только первый шаг в решении задач, связанных с проверкой прочности детали (конструкции) при ее сложном напряженном состоянии, и называется определением напряженного состояния детали (конструкции). Составляющие полного напряжения зависят от ориентации площадки. Можно найти положение такого элементарного объема, по граням которого будут действовать только нормальные напряжения. Такие площадки принято называть главными, а нормальные напряжения на них - главными напряжениями . В теории упругости доказывается, что в общем случае в любой точке напряженного тела всегда есть как минимум три взаимно перпендикулярные главные площадки, при этом Линейное и плоское напряженное состояние Общие положения. В зависимости от числа главных напряжений, отличных от нуля, различают напряженное состояние тела трех видов: линейное, плоское и объемное. Если все три главных напряжения отличны от нуля, имеет место объемное (трехосное) напряженное состояние. При плоском (двухосном) напряженном состоянии одно из главных напряжений равно нулю, а остальные отличны от нуля. Если из трех главных напряжений только одно отлично от нуля, напряженное состояние линейное (одноосное). Оно имеет место обычно в элементах, работающих на осевое растяжение или сжатие. Исследование напряженного состояния в точке сводится к определению напряжений, возникающих на площадках, наклоненных под любым углом к главным. Линейное напряженное состояние. Рассмотрим случай линейного напряженного состояния, когда одно главное напряжение отлично от нуля (), а 2 = 3 = О (рис. 1.2, а). Чтобы установить зависимость между главными напряжениями и напряжениями, действующими по наклонной площадке, рассечем элемент наклонной плоскостью и рассмотрим условия равновесия элементарной призмы (рис. 1.2,б) Рис. .1.2. Напряжения на наклонной площадке при линейном напряженном состоянии adAa — dAaCos a Cos a = О, adAa — dAa Сosa Sin =О, откуда = (1.2) (1.3) Таким образом, max = при а = 45° ; Следовательно, при линейном напряженном состоянии наибольшие нормальные напряжения возникают по нормальным площадкам, а наибольшие касательные напряжения — по площадкам, расположенным под углом 45° к ним. Плоское напряженное состояние. В инженерной практике часто многие элементы конструкций и машин работают в условиях плоского напряженного состояния (рис. 1.3, а). Рис. 1.3. Напряжения по наклонной площадке при плоском напряженном состоянии Найдем нормальное и касательное напряжения по любой наклонной площадке, перпендикулярной к плоскости Оху. Для этого рассечем параллелепипед наклонной плоскостью и рассмотрим условия равновесия треугольной призмы (рис. 1.3, б, в). Силу в наклонном сечении представим двумя составляющими: adAa , adAa . Спроецируем все силы на направление напряжений и : Учитывая, что =, получим: (1.4) (1.5) Для определения напряжений и , действующих на площадке, перпендикулярной к заданной (рис. 1.3 г), необходимо в формулы (1.4) и (1.5) поставить вместо угол . В результате получаем: (1.6) (1.7) Сумма выражений (1.4) и (1.6) = const, т. е. сумма нормальных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам -величина постоянная. Очевидно, можно найти такие площадки, на которых нормальные напряжения будут иметь экстремальные значения, т. е. главные площадки. Чтобы определить положение главных площадок, достаточно выражение (1.5) приравнять нулю. Тогда (1.8) где - угол наклона главных площадок, отсчитываемый от линии действия (положительный угол отсчитывают против хода часовой стрелки). Подставив значение в уравнения (1.4) и (1.6), получим главные напряжения. Из выражений главных напряжений можно исключить и определить (1.9) В формуле (1.9) знак «плюс» перед радикалом соответствует максимальному главному напряжению , знак «минус» — минимальному . Если по уравнению (1.9) минимальное напряжение отрицательное, его обозначают , так как в этом случае (2 = 0. Если одно из напряжений , равно нулю, формулу (1.9) можно записать в виде . (1.10) Объемное напряженное состояние. Напряжения по наклонным площадкам к трем главным напряжениям определяются в этом случае по формулам: (1.11) , (1.12) где , — углы между нормалью к площадке и направлениями напряжений Вопрос 2. Сложное сопротивление бруса и его разновидности Основные понятия. В общем случае нагрузка на брус может быть такой, что в его поперечных сечениях возникает одновременно несколько внутренних силовых факторов (поперечная и продольная силы, изгибающий и крутящий моменты). Такой случай принято называть сложным сопротивлением бруса. Расчеты на прочность и жесткость бруса при сложном сопротивлении основываются обычно на принципе независимости действия сил. Опыт показывает, что, пока деформации малы, этот принцип может быть использован. Поэтому для определения полных напряжений и деформаций, возникающих в упругой системе в результате действия на нее любой системы нагрузок, можно геометрически суммировать напряжения и перемещения, соответствующие различным видам простейших деформаций. При простом напряженном состоянии элемента все напряжения одного вида (например, нормальные) суммируют алгебраически, а при сложном напряженном состоянии (имеют место и нормальные, и касательные напряжения) используют различные теории прочности. Необходимо отметить, что в некоторых случаях расчета деталей можно пренебречь второстепенными деформациями и привести, таким образом, сложное сопротивление к более простому. При расчете на жесткость определяют в общем виде деформацию от каждого силового фактора и, найдя суммарную деформацию, оценивают жесткость элемента. Косой изгиб. Если плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса, имеет место косой изгиб. В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях бруса возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы изгибающие моменты Мх , Му . Однако влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают. Рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения, в плоскости торца которой приложена сила F (рис. 2.1, а) и ее вектор составляет угол с главной осью инерции сечения Оу. Разложим силу F на две составляющие: Fх = Fsin и Fу = Fсos, которые создают в сечении, отстоящем на z от торца балки, изгибающие моменты М=Fz и М = Fz. Индексы х и у при М обозначают главные оси, относительно которых действуют изгибающие моменты. Рис. 2.1. Косой изгиб балки На основе принципа независимости действия сил нормальное напряжение в любой точке рассматриваемого поперечного сечения определяется как алгебраическая сумма нормальных напряжений вследствие прямого изгиба балки в двух плоскостях: (2.1) где х, у — координаты рассматриваемой точки в системе главных центральных осей сечения балки. Знак перед каждым слагаемым обычно назначают, ориентируясь на характер деформации балки. Например, для точки D (рис. 2.1, б) напряжение от Мх положительное — напряжение растяжения (сила F вызывает искривление бруса выпуклостью вверх), а напряжение от Му отрицательное — напряжение сжатия (сила Fх искривляет балку выпуклостью вправо), т. е. Уравнение нейтральной линии при косом изгибе получим, приравняв нулю выражение (2.1) для напряжений в ее точках: (2.2) где x , у — координаты точки, лежащей на нейтральной линии. Из уравнения (2.2) следует, что нейтральная линия при косом изгибе призматической балки проходит через центр тяжести ее сечения. Из выражения (2.1) и рис. 2.1, в видно, что тангенс угла наклона нейтральной линии к оси Ох tg= Нейтральная линия не перпендикулярна к силовой линии (см. уравнение (2.2), так как и плоскость действия сил не совпадает с плоскостью изгиба балки. Только в сечениях, когда 1Х = 1у (круглое или квадратное сечение), нейтральная и силовая линии пересекаются под углом 90°. Зная положение нейтральной линии в сечении балки, можно определить положение точек, где возникают наибольшие напряжения (точек А и В). По координатам этих точек в системе главных центральных осей инерции сечения находят напряжения и их знаки. Отложив значения напряжений на базисной линии, перпендикулярной к нейтральной линии, получают эпюру нормальных напряжений в сечении (рис. 2.1, в). Условие прочности при косом изгибе имеет вид (2.3) где Y, X— координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси. Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности где Wx , Wy — моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей. Если материал бруса не одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, проверку его прочности выполняют по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям. Проверку прочности брусьев круглого сечения ведут по формулам плоского изгиба по суммарному изгибающему моменту M= Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов по направлению главных осей: f= Изгиб с растяжением (сжатием). При таком виде сложного сопротивления внутренние силы в сечении приводятся только к продольной силе N и изгибающему моменту М, вызывающему либо плоский, либо косой изгиб. На рис. 2.2 показан случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консоль действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей инерции сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса. Разложим силу F на три составляющие. В данном случае положение опасного сечения очевидно, и нет необходимости строить эпюры внутренних силовых факторов. Напряжение в произвольно выбранной точке В с координатами х, у, если пренебречь действием поперечных сил, (2.4) где А — площадь поперечного сечения. Рис.2.2 Изгиб бруса с растяжением Если сечение имеет две оси симметрии (двутатвр, прямоугольник), наибольшее напряжение определяют по формуле (2.5) Так как напряженное состояние в любой точке бруса можно считать линейным (влиянием касательных напряжений пренебрегают), условие прочности имеет вид Внецентренное растяжение (сжатие). В некоторых случаях продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса (рис. 2.3, а). Применив метод сечений и приведя внецентренно приложенную силу F к центру тяжести, находим, что в любом поперечном сечении бруса действуют три внутренних силовых фактора (рис. 2.3, б): N = F, Мх = FyF , Му = FxF , где yF , xF — координаты точки приложения силы. В любой точке поперечного сечения нормальное напряжение определяется формулой (2.4). Чтобы найти точку в сечении, где действует максимальное напряжение, определим положение нейтральной линии. Для этого приравняем нулю выражение (2.4), подставив в него x;0 и yQ — координаты точки на нейтральной линии. Эта линия не проходит через центр тяжести сечения. Ее положение определяется точками пересечения с координатными осями: при ;у0 =0 х0 = — NIy /(АМу ), а при х0 = 0 у0 = —NIX I(AMX ). Отсюда следует, что нейтральная линия и действующая нагрузка расположены по разные стороны от центра тяжести сечения (рис. 2.3. в). Рис. 2.3. К анализу внецентренного нагружения бруса Кручение с изгибом. Одновременные кручение и изгиб характерны для работы валов машин и механизмов. В общем случае в поперечных сечениях вала возникают крутящий момент Мк , изгибающие моменты Мх , Му и поперечные силы QX, QY . Влиянием поперечных сил обычно пренебрегают из-за незначительности касательных напряжений, ими вызываемых, по сравнению с напряжениями от изгибающих и скручивающих моментов. Рассмотрим вал круглого сечения (рис. 2.4, а), нагруженный силой F и скручивающим моментом Т. Используя принцип независимости действия сил, строим эпюры изгибающих моментов от нагрузок, действующих в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а также эпюру крутящих моментов (рис. 2.4, б—г). Из рассмотрения эпюр видно, что опасным является сечение в заделке. Суммарный изгибающий момент определяем, как показано выше. Нормальные напряжения достигают максимума на поверхности вала: (2.6) Рис.2.4 Кручение с изгибом Касательные напряжения от скручивающего момента распределены вдоль любого радиуса сечения по линейному закону и достигают максимального значения в точках контура сечения: (2.7) Проведя в опасном сечении (в плоскости действия суммарного изгибающего момента) диаметр kd параллельно F, найдем наиболее опасные точки. Выделим в точке d элементарный объем (рис. 2.4, d). По четырем его граням действуют касательные напряжения от кручения, а по граням, параллельным плоскости поперечного сечения, действуют также нормальные напряжения от изгиба. Таким образом, при изгибе с кручением элемент. в опасной точке находится в плоском напряженном состоянии, и главные напряжения определяются формулой (1.10). Расчет в этом случае ведут по эквивалентному напряжению. По теории наибольших касательных напряжений условие прочности имеет вид Подставляя значения 1 и 3 , полученные по формуле (1.10), находим: . С учетом выражений (2.6) и (2.7) (2.8) По энергетической теории прочности Подставив вместо главных напряжений их значения, определенные по формуле (1.10), получим (2.9) Выражения (2.8) и (2.9) можно записать в виде где МЭ — эквивалентный (приведенный) изгибающий момент, равный числителю дроби в этих формулах (W — осевой момент сопротивления поперечного сечения бруса; для круга W = 0,1d3 ). Вопрос 3. Расчёт по теориям прочности Теории предельных состояний. Предельное напряженное состояние тела характеризуется началом текучести материала, значительными остаточными деформациями или появлением трещин, свидетельству­ющих о начале его разрушения. Оценка прочности детали по напряженному состоянию в опасной точке поперечного сечения является важной задачей сопротивления материалов. При простейших напряженных состояниях детали, характеризуемых только одним главным напряжением (растяжение, сжатие) или только касательным напряжением (чистый сдвиг), оценку ее прочности осуществляют сравнением действующих в ней напряжений с результатами опытов по разрушению образцов в лабораторных условиях при таком же напряженном состоянии. Большинство деталей при эксплуатации испытывают либо плоское, либо объемное напряженное состояние. Как показывают исследования, прочность материала при сложном напряженном состоянии зависит не только от значений главных напряжений, но и от их соотношения. Из-за неограниченности вариаций такого соотношения экспериментальное изучение предельного (опасного) состояния детали при сложном напряженном состоянии практически невозможно. Теории предельных состояний используют для определения условий прочности материала при сложном напряженном состоянии на основании экспериментальных данных, полученных при простых видах нагружения: растяжении, сжатии, чистом сдвиге. Некоторые из этих гипотез (теорий) связывают прочность материала с нормальными напряжениями, другие — с касательными напряжениями или с энергией деформации. Суть их состоит в том, что, определив главную причину разрушения материала, можно найти эквивалентное напряжение при сложном напряженном состоянии и составить условие прочности материала. Эквивалентное напряжение — это напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно с заданным. Оценка прочности материала заключается в сравнении эквивалентного (расчетного) напряжения при сложном напряженном состоянии с допускаемым напряжением при простом растяжении (сжатии). Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). Согласно этой теории, опасное состояние материала при любом напряженном состоянии имеет место, когда наибольшее по модулю нормальное напряжение достигает предельного значения для данного материала при простом растяжении или сжатии. Условие прочности = или = (3.1) где — допускаемое напряжение при простом растяжении, а — при сжатии. Рассматриваемая теория дает удовлетворительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов (бетона, камня, кирпича) и неприменима для пластичных материалов, так как не учитывает возможность появления пластических деформаций. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности). В этой теории в качестве критерия разрушения принято наибольшее по модулю относительное удлинение. Считается, что опасное состояние материала имеет место, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего предельному при простом растяжении или сжатии. Экспериментально эта теория не подтверждается. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности). Согласно этой теории, причиной разрушения материала является сдвиг, вызываемый касательными напряжениями. Полагают, что в общем случае напряженного состояния материал разрушается, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, предельного для данного материала. При объемном напряженном состоянии максимальное касательное напряжение определяют по формуле (1.13):. При линейном напряженном состоянии шах = /2. Условие прочности (3.2) Теория наибольших касательных напряжений хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Теория энергии формоизменения (энергетическая теория). Эта теория предполагает, что пластичный материал находится в опасном состоянии, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельного для данного материала значения. Условие прочности (3.3) Теория подтверждается для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Теория Мора. Эта теория базируется на опытных данных и исходит из предположения, что прочность материала в общем случае напряженного состояния зависит в основном от значений и направлений наибольшего и наименьшего 3 главных напряжений. Напряжение 2 не рассматривают. В теории Мора введен также коэффициент неравнопрочности материала к = , чтобы можно было ее распространить и на материалы, неодинаково сопротивляющиеся растяжению и сжатию. Теория Мора является по существу обобщенной теорией: она учитывает влияние на процесс разрушения и касательных, и нормальных напряжений. Условие прочности по теории Мора (3.4) Для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, [р ] = [с ] и к = 1. В этом случае теория прочности Мора и третья теория прочности эквивалентны. Теорию Мора используют для оценки прочности пластичных и хрупких материалов. Общие сведения о механизме разрушения тел. В зависимости от условий нагружения материал детали (конструкции) может находиться в различных. состояниях. Если внешние нагрузки таковы, что возникают только упругие деформации, материал находится в упругом состоянии. При росте нагрузки могут возникать остаточные деформации, тогда состояние материала будет пластическим. Дальнейший рост внешних нагрузок приводит к образованию трещин и разрушению детали. В сопротивлении материалов опасное состояние напряженного тела определяется двумя напряжениями — нормальным и касательным, которым соответствуют, и два различных типа разрушения: разрушение от действия происходит путем отрыва частиц материала (хрупкое разрушение); разрушение от действия является результатом пластической деформации материала. Возможен также и смешанный тип разрушения тела, когда трудно разграничить влияние и . По современным представлениям любой тип разрушения характеризуется зарождением и образованием микротрещин, их дальнейшим распространением, приводящим к разрушению тела. Существование микротрещин в объеме материала обусловлено разными причинами. Особенно опасными являются трещины в поверхностных слоях деталей, так как чаще всего на их поверхности и возникают максимальные напряжения от внешней нагрузки. В то же время наличие микротрещин в объеме детали не всегда приводит к ее разрушению. Только при определенных условиях нагружения трещина получает развитие. Энергия, затраченная на образование и распространение трещины, определяет тип разрушения. При хрупком разрушении материала эта энергия возрастает до критической. В критическом состоянии материала трещины распространяются без дополнительных затрат энергии, происходит внезапное разрушение детали (конструкции). При пластиче­ском же разрушении имеет место постоянный прирост энергии до конца разрушения тела. Понятие о теоретической прочности материалов. Реальная прочность материалов значительно ниже теоретической, установленной исходя из условий разрушения идеальной кристаллической решетки. Полагают, что теоретическая прочность материала при действии на него внешних нагрузок определяется силами связи между атомами идеальной кристаллической решетки, препятствующими отрыву или сдвигу одной плоскости атомов относительно другой. Различие между теоретической и реальной прочностью материалов объясняется наличием дефектов кристаллической решетки в реальных материалах. Дефекты структуры материала являются концентраторами напряжений, способствующими возникновению микротрещин, которые, развиваясь при росте нагрузки, приводят к разрушению детали. В пластичных материалах концентрация напряжений приводит к возникновению пластической деформации в микрообъемах материала, а затем к ее распространению по всему его объему. Лекция 5. Тонкостенные сосуды и оболочки. Устойчивость сжатых стержней. Вопрос 1. Расчет безмоментных оболочек вращения. Большинство элементов инженерных сооружений, подлежащих расчету на прочность, может быть сведено к расчетным схемам стержня или оболочки. До сих пор в основном рассматривались элементы конструкций, сводящиеся к схемам стержня. Перейдем теперь к оболочкам. Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности. Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной. В зависимости от формы очертания внешнего контура пластины могут быть круглыми, прямоугольными, трапециевидными и пр. Если срединная поверхность образует часть сферы, конуса или цилиндра, оболочку соответственно называют сферической, конической или цилиндрической. Геометрия оболочки определяется не только формой срединной поверхности. Нужно знать также закон изменения толщины оболочки. Однако все встречающиеся на практике оболочки имеют, как правило, постоянную толщину. Осесимметричными, или просто симметричными, оболочками называются такие, срединная поверхность которых представляет собой поверхность вращения. Будем полагать в дальнейшем, что нагрузка, действующая на такую оболочку, также обладает свойствами осевой симметрии. Для таких оболочек задача расчета значительно упрощается. Получается это потому, что все внутренние силы для такой оболочки по дуге круга не изменяются и зависят только от текущего радиуса или длины дуги, измеренной вдоль образующей тела вращения. Для несимметричных оболочек распределение напряжений определять значительно сложнее. К схеме осесимметричной оболочки сводится расчет очень многих строительных сооружений, котлов и баков, деталей машин и приборов. Со схемой пластины приходится иметь дело при расчетах плоских днищ баков, стенок различных резервуаров, плоских перегородок в самолетных конструкциях и многих других. Понятно, что расчет стенки бака или гибкой коробки вариометра не может быть произведен при помощи тех приемов, которые были изложены применительно к схеме стержня в предыдущих главах. Задача о расчете оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда можно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная на этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек. Если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, она не нагружена сосредоточенными силами или моментами, то к ее расчету может применяться безмоментная теория. Расчет на прочность осесимметричных оболочек производят по уравнению Лапласа: , где - окружное (экваториальное) напряжение, МПа; - меридиональное напряжение, МПа; - радиус кривизны в экваториальной плоскости, мм; - радиус кривизны в меридиональной плоскости, мм; p – давление внутри оболочки, МПа; t - толщина оболочки (стенки сосуда), мм. Для элемента, показанного на рис.1, можно составить еще одно уравнение, проецируя все силы на направление оси оболочки. Удобнее это делать, однако, не для элемента, а для части оболочки, отсеченной коническим нормальным сечением (рис.1) Pис. 1. Обозначив через Р осевую равнодействующую внешних сил, получим Отсюда легко найти меридиональное напряжение т. Таким образом, согласно безмоментной теории, напряжения т и в оболочке можно определить из уравнений равновесия. Теорема 1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то, независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления p на площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную заданной оси. Теорема 2. Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над жидкостью. Рассмотрим расчет двух видов симметричных оболочек, наиболее часто встречающихся на практике: сферической и цилиндрической. Вопрос 2. Устойчивость стержней. Деформируемые тела так же, как абсолютно твёрдые тела могут находиться в устойчивом и неустойчивом положении. Напомним, что при устойчивом равновесии тело, выведенное из первоначального положения внешним воздействием, возвращается к нему после устранения причины отклонения. При неустойчивом равновесии, напротив, незначительное возмущение вызывает резкое необратимое отклонение. Для деформируемых тел внешними возмущениями являются нагрузки, а за возможное отклонение следует принимать ту или иную дополнительную деформацию или связанное с ней отклонение от равновесного состояния, характеризуемого определённой формой и размерами тела. Поэтому для деформируемых тел правильнее говорить не о положении равновесия, а о форме равновесия. Рассмотрим стержень на двух шарнирных опорах (рис. 2), на который действует продольная сжимающая сила Р, приложенная к концу В, закреплённому шарнирно-подвижно. Под действием силы Р в шарнирно неподвижной опоре А возникает реакция А, направленная навстречу силе и равная ей по величине: А = -Р. Если силы, сжимающие стержень, невелики, то первоначальная форма равновесия, при которой ось стержня остаётся прямолинейной, является устойчивой. При снятии нагрузки стержень восстанавливает первоначальную форму. При увеличении сжимающей силы Р до величины Ркр, стержень получает незначительное искривление. Однако при снятии нагрузки восстанавливается прямолинейная первоначальная форма. При дальнейшем незначительном нарастании нагрузки характер деформации стержня резко изменяется, причём, и после снятия нагрузки ось остаётся криволинейной. Рис. 2 Описанное явление называется продольным изгибом и связано с потерей устойчивости. Напряжение в стержне быстро возрастает и возникает опасность разрушения. Таким образом, критическая сила (Ркр)- это наибольшее значение центрально приложенной сжимающей силы, до которого прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой. Исходя из сказанного, критическая сила должна рассматриваться как разрушающая нагрузка. Увеличение нагрузки свыше Pкр недопустимо, так как вызовет потерю устойчивости. Впервые задачу об определении критической силы для сжатого стержня на шарнирных опорах решил Леонард Эйлер, поэтому её называют задачей Эйлера. Вопрос 3. Понятие критической силы. Формула Эйлера. Рассмотрим стержень с шарнирно закреплёнными концами, сжатый силой Р (рис. 3.1). Найдём наименьшую силу Ркр, которая удержит стержень в искривлённом состоянии. Полагаем, что деформации остаются малыми и выполняется закон Гука. Приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси, как известно, имеет вид: , где М - изгибающий момент, ЕI - жёсткость сечения при изгибе. При изгибе стержня продольная сила Р создаёт в сечении с координатой z изгибающий момент М = -Ру , где· у - прогиб сечения (см. рис. 3.1.). Подставляя М = -Ру в уравнение (см.выше), получаем: . Обозначим: . (*) Тогда уравнение принимает вид: (**) Уравнение (**) является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка и решение его можно представить в форме: y = A1 sin kz + A2 cos kz. Постоянные интегрирования А1 и А2 определяем из граничных условий (условий закрепления стержня). На опорах прогибы равны нулю, следовательно, имеем два граничных условия: при z = 0, y = 0, отсюда 0 = A1 sin 0 + A2 cos 0;  A2 = 0; при z = l, y(l) = 0, следовательно, 0 = A1 sin kl. (9.4) Очевидно, , так как мы рассматриваем искривлённое состояние стержня (в противном случае при А1 = О, y(z) = О, и ось остаётся прямолинейной). Отсюда следует, что для обращения уравнения (9.4) в тождество должно выполняться условие: sin kl = О, тогда kl = ,2, ... ,n; Подставляя в соотношение (*) получаем, откуда: . Мы поставили задачу определения минимальной критической силы, которая соответствует n = 1 , поэтому Здесь Imin - минимальный из двух главных моментов инерции поперечного сечения стержня. Эта формула носит имя Эйлера. Под действием критической силы Ркр стержень искривляется по синусоиде . Здесь А1 - малая неопределённая величин, не равная нулю. Критическая сила при различных закреплениях концов стержня. Рассмотрим другие случаи закрепления стержня. На рис. 3.2 показана схема стержня защемлённого одним концом; второй конец свободен. Рис. 3.2 Мысленно дополнив изогнутую ось до полуволны (пунктиром показана симметричная несуществующая ветвь), приходим к только что рассмотренной задаче. Причём приведённая длина стержня l пр = 2l Воспользовавшись формулой Эйлера, находим: . На рис. 3.3 приведена схема стержня, один конец которого защемлён, а второй шарнирно опёрт. В данном случае точка перегиба изогнутой оси находится на расстоянии примерно равном 0,3l от жёсткой заделки. Подставляя в формулу длину, соответствующую одной полуволне lkp= 0.7l , находим . Очевидно, что все полученные выше результаты для Р кр можно свести к одной формуле: , где lпр = l - приведённая длина стержня, а - коэффициент приведения длины: = 1/т; m - число полуволн изогнутой оси стержня для заданных условий закрепления. Для консольного стержня т = 0.5, а = 2; для стержня с двумя шарнирными опорами т = 1 и = 1. Если оба конца стержня защемлены, то т = 2, = 0.5. Если один конец защемлён, а другой шарнирно опёрт, то m=10/7, а = 0.7. Раздел 3 Детали машин Лекция 1 Введение. Предмет «Детали машин». Основы проектирования и классификация механизмов, узлов и деталей. Вопрос 1. Введение. Предмет «Детали машин» История использования машин начинается с глубокой древности. Известно применение пружин в луках для метания стрел, катков для перемещения тяжестей. Такие простые детали машин, как металлические цапфы, примитивные зубчатые колеса, винты, кривошипы были известны до Архимеда. В эпоху возрождения Леонардо да Винчи (в 15 веке) создал новые механизмы: зубчатые колеса с перекрещивающимися осями, шарнирные цепи, подшипники качения. Уже тогда применялись канатные и ременные передачи, грузовые винты, шарнирные муфты. Всерьёз говорить о применении машин можно лишь с эпохи промышленной революции XVIII века, когда изобретение паровой машины дало гигантский технологический рывок и сформировало современный мир в его нынешнем виде. С тех же пор наметились основные закономерности устройства и функционирования механизмов и машин, сложились наиболее рациональные и удобные формы их составных частей - деталей. В процессе механизации производства и транспорта, по мере увеличения нагрузок и сложности конструкций, возросла потребность не только в интуитивном, но и в научном подходе к созданию и эксплуатации машин. Развитие промышленности и, особенно, самой передовой техники того времени – железнодорожного транспорта, потребовало большого количества инженеров-механиков. Поэтому в ведущих университетах Запада уже с 30-х годов XIX века, а в Санкт-Петербургском университете с 1892 года читается самостоятельный курс "Детали Машин". Без этого курса теперь невозможна подготовка инженера-механика любой специальности. Развитие теории и расчета деталей машин связаны с многими именами русских ученных. П.Л.Чебышев, математик и механик, изобретатель более 40 различных механизмов, в том числе и арифмометра. Н.Е. Жуковский, автор исследований по механике твердого тела, гидро- и аэродинамике. Л.В. Ассур, создатель рациональной классификации плоских шарнирных механизмов. В.Л. Кирпичев, автор первого учебника по деталям машин. Курс «Детали машин и основы конструирования» является заключительным разделом дисциплины «Механика». Курс «Детали машин» является связующим звеном между общетехническими и специальными дисциплинами. В пределах, рассмотренных учебным планом и программой, курс дает обучающимся основы расчета на прочность и жесткость деталей машин общего назначения, учит выбирать материалы, дает правила конструирования с учетом технологии изготовления и эксплуатации машин. Теоретические знания закрепляются расчетно-графическими работами, которые выполняются индивидуально. Детали машин – научная дисциплина, занимающаяся изучением, проектированием и расчетом деталей машин и узлов общего назначения. Механизмы и машины состоят из деталей. Встречающиеся почти во всех машинах болты, валы, зубчатые колеса, подшипники, муфты называют узлами и деталями общего назначения. Вопрос 2. Типовые детали и узлы, область их применения. В курсе «Детали машин» рассматриваются теоретические основы расчета и конструирования деталей машин и сборочных единиц (узлов), встречающихся в машинах самых разных назначений. Машина (от латинского machina) - механическое устройство, выполняющее движения с целью преобразования энергии, материалов или информации. Основное назначение машин - частичная или полная замена производственных функций человека с целью повышения производительности, облегчения человеческого труда или замены человека в недопустимых для него условиях работы. В зависимости от выполняемых функций машины делятся на: 1. энергетические машины (предназначены для преобразования видов энергии: электродвигатели, турбины) 2. информационные машины (предназначены для сбора, хранения, переработки и использования информации) 3. рабочие машины 3.1. транспортные (предназначены для перемещения изделий, грузов или людей: автомобили, самолеты) 3.2. технологические (предназначены для изменения формы, размеров или внутренних свойств обрабатываемого предмета: станки, термические агрегаты). В структурном отношении машина представляет собой единый комплекс механизмов, сборочных единиц (узлов) и деталей, обеспечивающих выполнения присущих функций. Механизм – это система твердых тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких тел в требуемые движения других тел. Сборочная единица – изделие, составные части которого подлежат соединению между собой на предприятии изготовителе сборочными операциями. Узел – сборочная единица, которую можно собирать отдельно от других составных частей изделия или изделия в целом, выполняющая определенную функцию в изделиях одного назначения. Например: подшипник качения, муфта упругая… Деталь – часть машины, изготовленная из одноименного по марке и наименованию материала без применения сборочных единиц. Например: вал, винт, заклепка, колесо зубчатое цилиндрическое… Детали и узлы, которые встречаются только в специальных типах машин, называют деталями и узлами специального назначения (клапаны, поршни, шатуны, шпиндели станков и т.п.); их изучают в специальных курсах (ДВС, металлорежущие станки и т.д.). Классификация элементов машин по функциональному назначению: 1. Корпусные служат для размещения и фиксации подвижных деталей механизма, для защиты их от действия неблагоприятных факторов внешней среды, а также для крепления механизмов в составе машин и агрегатов. Часто корпусные детали используются для хранения эксплуатационного запаса смазочных материалов. 2. Соединительные для разъемного и неразъемного соединения (например, муфты – устройства для соединения вращающихся валов; болты, винты, шпильки, гайки – детали для разъемных соединений; заклепки – детали для неразъемного соединения). 3. Передаточные механизмы и детали предназначены для передачи энергии и движения от источника (двигателя) к потребителю (исполнительному механизму), выполняющему необходимую полезную работу. 4. Упругие элементы необходимы для ослабления ударов и вибрации или для накопления энергии с целью последующего совершения механической работы (рессоры колесных машин). 5. Инерционные элементы предназначены для предотвращения или ослабления колебаний (в линейном или вращательном движениях) за счет накопления и последующей отдачи кинетической энергии (маховики, противовесы, маятники, шаботы). 6. Защитные детали и уплотнения для защиты внутренних полостей узлов и агрегатов от действия неблагоприятных факторов внешней среды и от вытекания смазочных материалов из этих полостей (пылевики, сальники, крышки, рубашки и т.п.). 7. Детали и узлы регулирования и управления предназначены для воздействия на агрегаты и механизмы с целью изменения их режима работы или поддержания его (режима работы) на оптимальном уровне (тяги, рычаги, тросы и т.п.). Общие сведения механизмов вращательного движения. Механизмы вращательного движения используют для передачи энергии от двигателя к рабочему органу машины. Необходимость применения таких механизмов обусловлена нецелесообразностью, а иногда и невозможностью непосредственного соединения рабочего органа машины в самом двигателе. Кроме того, иногда возникает необходимость в согласовании скоростей вращения вала двигателя и рабочих органов машины, в регулировании скорости движения исполнительного звена машины, в преобразовании вращающих моментов, в переводе нескольких исполнительных органов от одного двигателя. Принцип работы. Передача движения от ведущего звена к ведомому в рассматриваемых механизмах может осуществляться за счет их непосредственного контакта или соединения гибким звеном. К механическим передачам первого типа относят фрикционную, зубчатую и червячную передачи. В качестве гибкого звена обычно используют цепи и ремни. Механические передачи в этом случае называют соответственно цепными и ременными. Передача вращательного движения может осуществляться между параллельными, пересекающимися и перекрещивающимися валами. По характеру изменения скорости выходного звена механические передачи подразделяют на понижающие (редукторы) и повышающие (мультипликаторы). По характеру движения валов различают простые механизмы вращательного движения, у которых оси валов остаются неподвижными, и планетарные, у которых оси валов вращаются относительно неподвижной основной оси механизма. По конструктивному оформлению механические передачи бывают открытыми, не имеющими общего закрывающего их корпуса, полузакрытыми, имеющими лишь легкий кожух, защищающий передачу от загрязнения, и закрытыми, заключенными в общий корпус, обеспечивающий герметизацию и постоянное смазывание передачи. Основные характеристики механических передач 1. Передаточным отношением называют отношение угловых скоростей или частот вращения звеньев 1 и 2 механизма. где , – угловая скорость 1 и 2 звеньев; , – частота вращения 1 и 2 звеньев. Передаточное отношение будет положительным если направление вращения звеньев совпадают, и отрицательным – если звенья вращаются в разные стороны. Кроме того. Может быть определено передаточное число передачи по числу зубьев ведомого и ведущего колес или диаметру ведомого и ведущего колес: Если привод состоит из нескольких последовательно соединенных передач, его передаточное отношение (число) равно произведению передаточных отношений (чисел) всех передач: Механические передачи могут быть выполнены не только с постоянным передаточным отношением, но и с регулируемым – такие устройства называются вариаторами. Его изменение при этом может быть как ступенчатым, так и бесступенчатым. 2. Мощность, передаваемую телом вращения определяют по формуле , Вт – окружная сила, направленная по касательной к траектории точки ее приложения; – окружная скорость. 3. Вращающий момент , , Н·м 4. Коэффициент полезного действия К.П.Д. механического привода, состоящего из нескольких последовательно соединенных передач: При параллельном соединении механизмов Вопрос 3. Требования к деталям, основные критерии работоспособности деталей машин, приборов и механизмов и виды их отказов. При проектировании новых и модернизации старых машин, узлов и деталей необходимо учитывать новейшие достижения в области науки и техники. Основными требованиями, которым должны удовлетворять детали и узлы машин являются: - прочность; - жесткость; - долговечность или износостойкость; - теплостойкость; - виброустойчивость. Дополнительные требования: - коррозионная стойкость; - снижение массы деталей; (самолетостроение) - использование недефицитных и дешевых материалов; - простота изготовления и технологичность деталей и узлов; - удобство эксплуатации; - транспортабельность машин, узлов и деталей, удобство перевозки и переноски; - стандартизация имеет большое экономическое условие, так как обеспечивает высокое качество продукции, взаимозаменяемость деталей и позволяет вести сборку в условиях серийного производства; - красота форм (краски, эстетика, дизайн); - экономичность конструкции определяется широким использованием деталей и узлов стандартных и унифицированных деталей и узлов, продуманным выбором материалов. Основные критерии работоспособности деталей и влияющие на них факторы. Работоспособность – состояние изделия (машины, узлы, детали и т.п.), при котором оно способно выполнять заданные функции с параметрами установленными требованиями нормативно-технической документации. Она, как сложное свойство, характеризуется определенными условиями – критериями работоспособности: прочность, износостойкость, жёсткость, виброустойчивость, теплостойкость. Прочность – способность сопротивляться нагрузкам, не разрушаясь (и не имея при этом больших пластических деформаций). Это один из главных критериев работоспособности деталей, так как прочностные отказы происходят обычно внезапно и приводят часто к выходу из строя конструкции в целом.. Расчёты на прочность проводят по номинальным допускаемым напряжениям, по допускаемым коэффициентам безопасности и по вероятности безотказной работы. Инженерные расчеты деталей являются, как правило, приближенными, их выполняют обычно методами сопромата. В большинстве технических расчетов под нарушением прочности понимают не только разрушение, но и возникновение пластических деформаций. Расчёт на прочность состоит: 1. Предварительный расчёт (определяются приближённые параметры); 2. Проверочный расчёт (определение прочности в опасных местах). Условие прочности - , где - расчётное напряжение, - допускаемое напряжение. Жесткость – способность деталей сопротивляться изменению формы под действием сил. Деформации деталей от внешних сил, тепловых и других воздействий изменяют не только размеры и форму деталей. Но и характер их сопротивления. Последнее оказывает также существенное влияние на прочность и износостойкость деталей. Часто недостаточная жесткость столь же опасна как и малая прочность. Жесткость влияет на другие характеристики деталей и узлов машин (например, на вибрационную активность). Проверочный расчёт жесткости состоит в определении упругих деформаций: - удлинения; - прогиба; - поворота при изгибе; - закручивания. Износостойкость – способность деталей сопротивляться изнашиванию, то есть процессу разрушения и отделения материала с поверхности твердого тела и (или) накопления его остаточной деформации при трении. Следствие износа – уменьшение прочности и увеличение динамических нагрузок, нарушение герметичности и т.д. Виды изнашивания: абразивный износ, износ при заедании, износ при коррозии и т. д. Оценка сопротивлений по изнашиванию проводится по условию: ;; , где P- давление; PV – мощность трения, -рабочая температура; [ ] - допускаемые значения. В наиболее ответственных деталях машин износостойкость обеспечивается надлежащей смазкой, применением антифрикционных материалов и герметизацией областей трения. Износ деталей можно уменьшить следующими конструктивными, технологическими и эксплуатационными мерами: - создать при проектировании деталей условия, гарантирующие жидкостное трение; - выбрать соответствующие материалы для сопряженной пары; - наносить на детали покрытия; - соблюдать режимы смазки и защиты трущихся поверхностей от абразивных частиц; - соблюдать технологические требования при изготовлении деталей. Под теплостойкостью понимают способность деталей сохранять нормальную работоспособность в допустимых (заданных) пределах температурного режима, вызываемого рабочим процессом машин и трения в их механизмах. Температурный расчёт сводится к ограничению температуры . Нагрев деталей машин может вызвать следующие вредные последствия: понижение прочности материала и появление остаточных деформаций, так называемое явление ползучести (наблюдается в машинах с очень напряженным тепловым режимом, например, в лопатках газовых турбин); понижение защищающей способности масляных пленок, а следовательно, увеличение износа деталей; изменение зазоров в сопряженных деталях; в некоторых случаях понимание точности работы машины; для деталей, работающих в условиях многократно циклического изменения температур могут возникнуть и развиться микротрещины, приводящие в отдельных случаях к разрушению деталей (тепловой расчет червячных редукторов). Под виброустойчивостью понимают способность деталей и узлов работать в нужном режиме без недопустимых колебаний (вибраций). Вибрации вызывают дополнительные переменные напряжения и могут привести к усталостному разрушению деталей. Особенно опасным являются резонансные колебания. В связи с повышением скоростей движения машин опасность вибрации возрастает, поэтому расчеты параметров вынужденных колебаний приобретают все большее значение. Неработоспособное состояние наступает вследствие отказа. Отказ - событие, нарушающее работоспособность. Отказы делятся на постепенные и внезапные; полные и частичные; устранимые и неустранимые. Надежность - свойство изделия выполнять заданные функции, сохраняя свои показатели в пределах, установленных требованиями нормативно-технической документации, при соблюдении заданных условий использования, обслуживания, ремонта и транспортирования. Некоторые показатели для количественной оценки надежности изделий: наработка на отказ (среднее время работы изделия между двумя, соседними по времени отказами), коэффициент готовности или коэффициент технического использования (отношение времени работы изделия к сумме времен работы, обслуживания и ремонта в течение заданного срока эксплуатации), вероятностью безотказной работы в течение заданного срока. Виды отказов. Большинство машин (85–90%) выходит из строя из-за изнашивания деталей. Затраты на ремонт и техническое обслуживание машины в несколько раз превышают ее стоимость для автомобилей в 6 раз, для самолетов до 5 раз, для станков до 8 раз. На базе науки о трении и изнашивании (триботехники) в настоящее время решаются прикладные инженерные (триботехнические) задачи в области трения, формообразования деталей, обработки материалов разрушающими и деформирующими способами, возможности дости­жения требуемых свойств поверхностей трения, узлов и деталей за счет упрочняющих воздействий и нанесения специальных покрытий и т. п. Основные понятия, связанные с трением и сопутствующими ему явлениями определены в государственном стандарте (ГОСТ 23002-78). Триботехника — наука о контактном взаимодействии твердых тел при их относительном движении, освещающая весь комплекс вопросов трения, изнашивания и смазывания. Ряд терминов, относящихся к триботехнике, стандартизован. Приведем в сокращенном виде некоторые из них. Изнашивание — процесс разрушения и отделения материала с поверх­ности твердого тела, проявляющейся в постепенном изменении размеров и (или) формы тела. Износостойкость — свойство материала оказывать сопротивление изнашиванию в определенных условиях трения. Смазочный материал — материал, вводимый на поверхности трения для уменьшения силы трения и (или) интенсивности изнашивания. Трение (внешнее трение) − сопротивление относительному перемещению, возникающее между двумя телами в зоне соприкосновения поверхностей по касательной к ним и сопровождаемое рассеянием энергии. Трение покоя — трение двух тел при микроперемещениях до перехода к относительному движению. Трение движения — трение двух тел, находящихся в относительном движении. Трение без смазочного материала — трение двух тел при отсутствии на поверхности трения введенного смазочного материала любого вида. Трение скольжения — трение движения двух соприкасающихся твердых тел, при котором их скорости в точках касания различны по значению и направлению. Трение качения — трение движения двух твердых тел, при котором их скорости в точках касания одинаковы по значению и направлению. Сила трения — сила сопротивления при относительном перемещении одного тела по поверхности другого под действием внешней силы, направленной по касательной к общей границе между этими телами. Скорость скольжения — разность скоростей тел в точках касания при скольжении. Коэффициент трения — отношение силы трения двух тел к нормаль­ной силе, прижимающей эти тела одно к другому. Коэффициент сцепления — отношение неполной силы трения покоя двух тел к нормальной составляющей поверхностей трения силе, прижимающей тела одно к другому. Трение не является однозначно вредным или полезным. Это зависит от обстоятельств его возникновения и применения. Трение в механизмах чаще принято относить к вредным сопротивлениям из-за создаваемых им механических потерь, нагрева и износа деталей. Подсчитано, что около 33% мировых энергоресурсов тратится на преодоление трения. Однако всем очевидна и огромная польза трения, например, при торможении машин, гашении опасной вибрации или прогулках по гололёду, особенно в горах. В процессе эксплуатации механизма, машины или прибора неизбежно происходит изнашивание элементов его кинематических пар – разрушение и отделение материала с поверхности с постепенным изменением размеров и формы. Это снижает прочность деталей и точность механизма, кроме того, повышаются нагрузки, растёт вибрация и шум вследствие зазоров в кинематических парах. В дельнейшем изнашивание может привести к поломке деталей и выходу машины из строя. Количественная оценка результата изнашивания – износ, определяемый в установленных единицах. Износ − результат изнашивания, выраженный в единицах длины, объёма или массы. Допустимый износ не нарушает работоспособность детали. Предельный износ соответствует предельному состоянию изделия, когда дальнейшая его эксплуатация невозможна. Для повышения износостойкости применяют цементацию, азотирование, гальванические покрытия деталей, поверхностную закалку газовым пламенем, высокочастотную закалку, пластическое деформирование (обкатывание, раскатывание, прошивание, калибрование). Ремонт упрощается и удешевляется, если изношенная деталь проста и легко заменяется без разборки всей машины. Иногда более выгодна не замена, а ремонт изношенной детали путём наращивания изношенной поверхности наплавкой или напылением. В последнее время всё чаще применяют материалы на основе полимеров. Изнашивание деталей можно уменьшить следующими конструктивны­ми, технологическими и эксплуатационными мерами: - создать при проектировании деталей условия, гарантирующие трение со смазочным материалом; - выбрать соответствующие материалы для сопряженной пары; - соблюдать технологические требования при изготовлении деталей; - наносить на детали покрытия; - соблюдать режимы смазывания и защиты трущихся поверхностей от абразивных частиц (применение уплотняющих устройств). Изучение проблем изнашивания приобретает первостепенное значение при проектировании механических систем. В зависимости от характера происходящих процессов различают следующие виды изнашивания: - механическое − является результатом механических процессов — срезание и пластическое деформирование микронеров­ностей (шероховатостей), повреждение поверхностей абразивными частицами, повреждение в результате усталостных трещин; - абразивное − результат режущего и царапающего действия твёрдых частиц, находящихся в зоне контакта деталей. Абразивное изнашивание и пластическое деформирование в зоне сопряжения деталей предотвращается по возможности: точным опреде­лением действующих нагрузок; учетом свойств материала, влияния погрешностей и деформаций на распределение давлений в зоне контакта. - эрозионное − результат воздействия потоков жидкости и газа; - гидроэрозионное (газоэрозионное) – результат воздействия жидкости (газа); - гидроабразивное (газоабразивное) – результат воздействии твёрдых частиц, взвешенных в жидкости (газе); - коррозионно-механическое − механический контакт в сочетании с химическим и/или электрическим взаимодействием материала со средой; - усталостное – проявляется в отслаива­нии отдельных частиц металла с увеличением числа циклов нагружений и проявляется в наибольшей мере на отстающей поверхности (ножка зуба в зубчатой передаче, дорожка качения внутреннего кольца подшипника качения) и представляет значительную опасность при поверхностном упрочнении (азотирование, цементация и др.), поскольку в результате развития трещин под упрочненным слоем с поверхности трения отделяются крупные частицы металла. Для предотвращения усталостного выкрашивания проводится расчет с целью оценки величины контактных напряжений (оценка контактной прочности). - кавитационное − гидроэрозионное при движении тела в жидкости, когда пузырьки газа захлопываются вблизи поверхности с местным повышением давления и температуры; - молекулярно-механическое изнашивание проявляется при разрушении защитных пленок на контактирующих поверхностях, что вызывает действие сил молекулярного сцепления в зоне контакта их микронеровностей (явление схватывания), следствием чего является процесс возникновения и развития повреждений поверхностей трения — заедание. - при заедании – преимущественно наблюдается при высоких скоростях и давлениях с выдавливанием разъедающей трущиеся поверхности масляной пленки. В результате тепло не успевает отводиться, и происходит схватывание (сварка) частиц металла контактирующих поверхностей с дальнейшим отрывом их от более мягкой поверхности и прочным соединением с более твердой. Образовавшиеся неровности царапают рабочие поверхности деталей с более мягкой поверхностью, что приводит к выходу их из строя. Опасной формой заедания является задир — повреждение зоны контакта при высокой твердости контактирующих поверхностей в виде борозд глубиной до 100–200 мкм в направлении вектора скорости относительного движения. Уменьшение схватывания имеет место для поверхностей трения при большой разнице их твердости (стальной червяк и бронзовый венец червячного колеса, стальная шейка вала и бронзовые или латунные втулки в подшипниках скольжения), а также при применении смазок с антизадирными присадками. Одним из критериев оценки возможности проявления заедания является температура в зоне контакта, сравниваемая с допускаемой. - окислительное – аналогично коррозионно-механическому, но под основным влиянием химических реакций с кислородом или окисляющей средой (узлы пищевого, нефтехимического оборудования); - фреттинг-коррозия − при малых относительных колебательных контактирующих поверхностей. Этот вид изнашивания, нарушающий прочность соединения, характерен для заклепочных, шпоночных и шлицевых соединений, соединений с натягом, зубчатых муфт, рессор. - электроэрозионное − в результате воздействия разрядов при прохождении электрического тока. В обычных условиях сочетаются разные виды изнашивания, что очень затрудняет анализ условий работы машин. При назначении сроков службы кинематических пар принимают во внимание опыт эксплуатации машин в разных условиях. Вопрос 4. Основы проектирования механизмов, стадии разработки. Проектирование изделия – разработка комплекта документации, необходимой для его изготовления, наладки и эксплуатации в заданных условиях и в течение заданного срока. Конструирование машин – творческий процесс со свойственными ему закономерностями построения и развития. Основные особенности этого процесса состоят из многовариантности решения, необходимости согласования принимаемых решений с общими и специфическими требованиями, предъявляемыми к конструкциям, а также с требованиями соответствующих ГОСТов, регламентирующих термины, определения, условные обозначения, систему измерений, методы расчета и т.п. Детали, узлы, машины изготовляют по чертежам, выполненным на основе проектов – совокупности расчетов, графических материалов и пояснений к ним предназначенных для обоснования и определения параметров конструкции (кинематических, динамических, геометрических и других), ее производительности, экономической эффективности. Для особо ответственных конструкций проект дополняют макетом или действующей моделью. Основные задачи, решаемые при проектировании изделия: 1. Обеспечение заданных параметров изделия для работы в заданных условиях. 2. Обеспечение минимальных затрат на производство заданного количества изделий при сохранении заданных эксплуатационных параметров для каждого выпущенного изделия. 3. Сведение к минимуму эксплуатационных затрат при сохранении заданных эксплуатационных параметров изделия. Стадии разработки конструкторской документации и этапы работ установлены стандартом Первая стадия – разработка технического задания – документа, содержащего наименование, основное назначение, технические требования, показатели качества, экономические показатели и специальные требования заказчика к изделию. Техническое задание разрабатывают на основе требований заказчика с учетом достижений и технического уровня отечественных и зарубежных конструкций, патентного поиска, а также результатов научно-исследовательских работ и научного прогноза. Вторая стадия – разработка технического предложения – совокупности конструкторских документов, обосновывающих техническую и технико-экономическую целесообразность разработки изделия на основе предложений в техническом задании, рассмотрения вариантов возможных решений с учетом достижений науки и техники в стране и за рубежом, патентных материалов, возможностей машиностроительных заводов отрасли и смежных отраслей. Техническое предложение утверждается заказчиком и генеральным подрядчиком. Третья стадия – разработка эскизного проекта – совокупности конструкторских документов, содержащих принципиальные конструкторские решения и разработки общих видов чертежей, дающих представление об устройстве разрабатываемого изделия, принципы его действия, габаритах и основных параметрах сюда входит пояснительная записка с необходимыми расчетами. Четвертая стадия – разработка технического проекта - совокупности конструкторских документов, содержащих окончательное решение и дающих полное представление об устройстве изделия. Чертежи проекта состоят из общих видов и сборочных чертежей узлов, полученных с учетом достижений науки и техники на уровне работы узлов. На этой стадии рассматриваются вопросы надежности узлов, соответствие требованиям техники безопасности, условиям хранения и транспортирования и т.д. Пятая стадия – разработка рабочей документации - совокупности конструкторских документов, содержащих чертежи общих видов, узлов, деталей, оформленных так, чтобы по ним можно было изготовлять изделия и контролировать их производство и эксплуатацию. На этой стадии разрабатываются конструкции детали, оптимальные по показателям надежности технологичности и экономичности. Лекция 2 Расчет и проектирование механических передач Вопрос 1. Зубчатые, червячные передачи и передача винт-гайка. Схема создания современной машины предполагает введение промежуточного звена между двигателем и ее рабочим (исполнительным) органом. Как правило, этим промежуточным звеном является механическая передача. Механические передачи предназначены для выбора и регулирования оптимальных скоростей движения (повышения или понижения), преобразования видов движения (вращательного в поступательное и наоборот), изменения направления движения (реверсирования), вращательных моментов и сил, передачи мощности на расстояние. оборот), общее понятие «механическая передача» можно формулировать так: Передача – механизм, служащий для переноса механической энергии на расстояние с преобразованием скоростей, моментов, видов и законов движения. В машиностроении нашли широкое применение: - механические, - пневматические, - электрические, - гидравлические, - комбинированные виды передач. В курсе «Детали машин и основы конструирования» рассматриваются только механические передачи. Механические передачи условно можно разделить на три группы: - передачи, основанные на использовании сил трения между ее элементами; - передачи зацепления, работающие в результате давления между зубьями взаимодействующих деталей; - передачи, основанные на использовании закона направленного движения взаимодействующих ее элементов. Во всех механических передачах различают два основных звена: ведущее (входное), которое передает вращающийся момент, и ведомое (выходное), приводимое в движение от ведущих. Между этими звеньями в многоступенчатых передачах располагаются промежуточные звенья. Параметры передачи, относящиеся к ведущему звену, обозначаются индексом «1», «3» , а к ведомому – «2», «4» и т.д. Основные силовые и кинематические параметры – величины характеризующие механические передачи и по которым выполняется проектировочный расчет. К ним относятся: - мощность ведущего (кВт) и ведомого вала - частота вращения (об/мин) и - угловая скорость (рад/с) и (2.1) - коэффициент полноты действия (2.2) многоступенчатая передача: (2.3) - окружная скорость (м/с) (2.4) - вращающий момент (Н·м) и (2.5) - передаточное число(одноступенчатая передача) : (2.6) - для зубчатой передачи (2.7) Дополнение к данным параметрам механических передач: - на ведомом колесе направление окружной силы совпадает с направлением вращения, а на ведущем – противоположно ему; - вращающий момент на ведущем валу совпадает с направлением вращения вала, а на ведомом валу – противоположно; - передачи для повышения угловой скорости называют мультипликаторами или ускорителями; - передачи для понижения угловой скорости называют редукторами; - для многоступенчатых передач передаточное число равно произведению передаточных чисел ступеней, то есть Зубчатые передачи Механизм, предназначенный для передачи вращательного движения от одного вала к другому с помощью находящихся в зацеплении зубчатых колес, называется зубчатой передачей. Вращение ведущего зубчатого колеса преобразуется во вращение ведомого колеса путем нажатия зубьев первого на зубья второго. Меньшее зубчатое колесо передачи называется шестерней, большее – колесом. рис. 1 Зубчатые передачи – наиболее распространенный тип передач в современном машиностроении. Зубчатые передачи и колеса классифицируют по следующим признакам: 1. По взаимному расположению осей колес: - с параллельными осями (цилиндрические), - с пересекающимися (конические), - со скрещивающимися (винтовые). 2. По расположению зубьев относительно образующих колес: прямозубые, косозубые, шевронные, коническая, с круговым зубом, с внутренним зацеплением. 3. По конструктивному оформлению: открытые и закрытые. 4. По окружной скорости: - тихоходные (до 3 м/с), - для средних скоростей (3-15 м/с), - быстроходные (свыше 15 м/с). 5. По числу ступеней: одноступенчатые и многоступенчатые. 6. По расположению зубьев в передаче и колесах: - внешнее зацепление, - внутреннее зацепление, - реечное зацепление. 7. По форме профиля зуба: эвольвентные и неэвольвентные. 8. По точности зацепления. а- прямозубая, б – косозубая, в – шевронная, г – коническая, д – с круговым зубом, е – с внутренним зацеплением. ВИДЫ РАЗРУШЕНИЙ ЗУБЬЕВ. При работе зубчатой передачи между зубьями сопряженных зубчатых колес возникает сила давления F, направленная по линии зацепления. Кроме того, от скольжения зубьев между ними образуется сила трения. Под действием этих сил зубья находятся в напряженном состоянии. На их работоспособность оказывают влияние напряжения изгиба в поперечных сечениях зубьев и контактные напряжения в поверхностных слоях зубьев. Характер разрушения зубьев зубчатых колес зависит от условий работы передачи. 1. усталостное выкрашивание поверхностных слоев зубьев (закрытые хорошо смазываемые передачи) Выкрашивание начинается вблизи полюсной линии. Выкрашивание является следствием действия повторно-переменных контактных напряжений σн. 2. поломка зубьев (высоконагруженные мелкомодульные передачи) Прямые зубья разрушаются по сечению у основания зуба, косые-по наклонному сечению. Поломка является следствием действия повторно-переменных напряжений изгиба σF или перегрузки. 3. абразивное изнашивание боковой поверхности зубьев (открытые передачи) Первоначальный профиль зубьев искажается, уменьшается поперечное сечение зубьев. Абразивное изнашивание происходит при попадании в зацепление абразивных частиц, продуктов изнашивания и т.п. 4. заедание поверхности зубьев (высоконагруженные передачи при больших удельных нагрузках) В результате высокого давления происходит разрыв масляной пленки. Частицы материала одного зуба привариваются к другому зубу. Приварившиеся частицы материала образуют наросты, которые повреждают поверхности зубьев. Достоинства зубчатых передач: 1. Возможность передачи практически любых мощностей (до 50000 кВТ и более) при весьма широком диапазоне окружных скоростей (от долей м/с до 30... 150 м/с). 2. Постоянство передаточного отношения 3. Компактность, надежность и высокая усталостная долговечность передачи. 4. Высокий КПД (=0,97…0,99) при высокой точности изготовления и монтажа, низкой шероховатости рабочей поверхности зубьев, жидкой смазке и передаче полной мощности. 5. Простота обслуживания и ухода. 6. Сравнительно небольшие силы давления на валы и их опоры. 7. Может быть изготовлена из самых разнообразных материалов, металлических и неметаллических. Недостатки: 1. Ограниченность передаточного отношения. Для одной пары зубчатых колес по imax =12,5, но практически i≤7, лишь в открытых тихоходных, малонагруженных передачах imax≤ 15 (даже до 20). 2. Является источником вибрации и шума, особенно при низком качестве изготовления и монтажа и значительных скоростях. 3. При больших перегрузках возможна поломка деталей (пробуксовки исключены). 4. Относительная сложность изготовления высокоточных зубчатых колес. Применение: По применению и распространению в различных областях народного хозяйства зубчатые передачи по праву занимают первое место. В любой отрасли машиностроения, приборостроения, на транспорте, в пожарной технике, в военной технике и др. Зубчатые передачи находят широкое применение: автомобили, самолеты, тракторы, пожарные автомобили, подъемники, часы, измерительные приборы и т.д. Червячные передачи Червячная (или зубчато-винтовая) передача (рис. 2) представляет собой кинематическую пару, состоящую из червяка и червячного колеса. На рис. 3 показан привод от электродвигателя 3, соединенного муфтой 2 с ведущим валом червячного редуктора. Рис. 2 Рис. 3 Червяк - это винт с резьбой, нарезанной на цилиндре (архимедов, конволютный, эвольвентный и другие червяки, см. рис. 2, а) или на глобоиде (см. рис. 2, б). Архимедов червяк представляет собой цилиндрический винт с трапецеидальным профилем резьбы. В торцовом сечении витки этого червяка очерчены архимедовой спиралью. Конволютный червяк – это цилиндрический винт с прямолинейными очертаниями профиля впадин или витков в сечении, нормальном к боковой поверхности резьбы. Эвольвентный червяк можно рассматривать как косозубое цилиндрическое колесо с очень большим углом наклона зуба к образующей цилиндра и с малым числом зубьев. Профиль витков зубьев очерчен эвольвентой. Глобоидный червяк представляет собой винт, нарезанный на поверхности тора (глобоида). В центральной осевой плоскости червяка витки имеют прямолинейный профиль. Передачу с таким червяком называют глобоидной. Достоинства: 1.Возможность осуществления передачи (одноступенчатой) с большими передаточными числами . 2. Плавность зацепления и бесшумность работы. 3. Возможность осуществления самотормозящей передачи (у такой передачи КПД меньше 50%). 4. Небольшая масса передачи на единицу мощности при большом передаточном числе. Недостатки. 1. Сравнительно низкий КПД в несамотормозящих передачах =0,7...0,92 (большие значения для передач с многовитковым и шлифованным червяком). 2. Ограниченность передаваемой мощности - не выше 50...100 кВт. 3. Сильный нагрев передачи при длительной непрерывной работе. 4. Высокая стоимость материала венцов червячных колес (бронза) и инструмента для нарезания зубьев червячных колес (червячные фрезы), а также шлифовки червяка. Применение: Червячные передачи широко используются в пожарной технике. В частности, эти передачи введены в кинематические схемы приводов лебедок, установленных спереди автомобилей технической службы, выдвигания и сдвигания комплекта колен автомобильных лестниц. Передача винт-гайка Передача винт-гайка предназначена для преобразования вращательного движения в поступательное и в редких случаях для преобразования поступательного движения во вращательное. Второе возможно только при несамотормозящей винтовой паре. Рис. 4 Рис. 5 Для винтов применяют трапецеидальную резьбу, которую можно получать фрезерованием, ее прочность выше прочности прямоугольной резьбы, а потери на трение незначительно больше. В соответствии с ГОСТ трапецеидальную резьбу изготовляют с мелким, средним и крупным шагами. Наиболее распространена резьба со средним шагом. Резьба винтов и гаек в зависимости от назначения может быть правой или левой. Винты изготовляют из сталей Винты передач без термообработки изготавливают из стали 45, 50 и других, а с закалкой – из сталей 40Х, 40ХГ и других. Для уменьшения трения и износа резьбы гайки передач изготавливают из бронз. Достоинства: 1. Простота изготовления и надежность конструкции. 2. Большая несущая способность при небольших габаритах передачи. 3. Большой выигрыш в силе, получающийся вследствие медленного осевого перемещения винта (гайки). 4. Возможность обеспечения высокой точности перемещений. Недостатки: 1. Низкий КПД: = 0,6…0,85. 2. Тихоходность передачи. Применение: Передачу винт-гайка применяют при поднятии грузов (винтовые домкраты (рис. 4) в машинах для испытания материалов, при механической обработке материалов (ходовые винты станков, винтовые прессы, тиски, струбцины, нажимные устройства), при необходимости выполнения точных перемещений (измерительные приборы) и т. д. Вопрос 2. Ременные и цепные передачи. Ременные передачи Для приведения во вращение вала, находящегося на определенном расстоянии от ведущего звена, используют фрикционные передачи с гибкой связью. Эти передачи называют ременными. Ременная передача состоит из двух или большего числа шкивов и бесконечного ремня, надетого на шкивы с натяжением. Рис. 9 Различают следующие виды ременных передач: 1) в зависимости от формы поперечного сечения ремня - плоскоременные; - клиноременные; - поликлиноременные; - круглоременные 2) в зависимости от назначения передачи и взаимного расположения осей валов: - открытые (рис.10,а); - перекрестные (рис.10,б); - полуперекрестные (рис.10,в); - угловые (рис.10, г). Рис.10 Достоинства: 1. Возможность передачи энергии на значительные расстояния. 2. Простота и низкая стоимость конструкции. 3. Плавность и бесшумность хода, способность смягчать удары благодаря эластичности ремня и предохранять механизм от поломок при буксовании, вызванном перегрузкой. 4. Возможность передачи мощностей от долей киловатта до сотен киловатт (чаще до 50 кВт, реже до 300 кВт) при окружной скорости до 30 м/с (быстроходные плоскоременные передачи специальными цельноткаными бесшовными тонкими и легкими ремнями достигают скорости 50... 60 м/с, а сверхбыстроходные - до 100 м/с). 5. Простота обслуживания и ухода. 6. Относительно высокий КПД:  0,91... 0,98, большие значения для открытых плоскоременных передач. 7. Передаточное отношение i <7 (обычно i<4... 5). Недостатки: 1. Непостоянство передаточного отношения вследствие упругого скольжения, меняющегося в зависимости от нагрузки. 2. Относительно большие габариты передачи и невысокая долговечность ремня (особенно в быстроходных передачах). 3. Вытягивание ремня в процессе эксплуатации передачи приводит к необходимости дополнительных устройств (натяжной ролик ,натяжной винт) или к частой перешивке плоского ремня. 4. Неприменимость во взрывоопасных помещениях. 5. Большие нагрузки на валы и их опоры (подшипники). Ремни бывают: хлопчатобумажные, прорезиненные, шерстяные, кожаные. Применение: Несмотря на перечисленные недостатки, ременные передачи в промышленности и народном хозяйстве занимают второе место после зубчатых. В любой отрасли машиностроения и приборостроения можно встретить плоскоременную или клиноременную передачу: приводы насосов, вентиляторов, транспортеров, приводы комбайнов и других сельскохозяйственных машин; приводы в автомобильной, химической, нефтяной и других отраслях промышленности. Цепные передачи Рис.11 Передача энергии между двумя или несколькими параллельными валами, осуществляемая зацеплением с помощью гибкой бесконечной цепи и звездочек, называется цепной. (Рис. 11) Рис. 12 В машиностроении и народном хозяйстве находят применение следующие группы цепей: грузовые (рис. 13), применяемые для подвески, подъема и опускания груза в различных подъемно-транспортных механизмах при скоростях, не превышающих 0,25... 0,5 м/с; тяговые (рис. 14), применяемые для транспортировки грузов (транспортеры, элеваторы, бревнотаски, приводные рольганги, эскалаторы) при небольших скоростях – до 2…4 м/с; приводные, используемые для передачи энергии в широком диапазоне скоростей с постоянным передаточным отношением. Приводные цепи - зубчатые, роликовые и втулочные - применяют в велосипедах, мотоциклах, сельскохозяйственных машинах, станках, транспортерах, угольных комбайнах, приводах вспомогательного механизма прокатного оборудования, приводах подъемно-транспортных машин и т. д. Рис.13 Рис. 14 Достоинства: 1. Возможность передачи мощности на значительные расстояния при передаточном отношении обычно . 2.Сравнительно небольшие нагрузки на валы и их опоры. 3. Большой диапазон передаваемых мощностей: от долей киловатта до сотен киловатт и большой диапазон скоростей. 4. Возможность передачи энергии одной цепью нескольким валам с одинаковым или противоположным направлением вращения. 5. Высокий КПД:  =0,95...0,98 (при передаче полной мощности, тщательном уходе и хорошей смазке). Недостатки: 1. Цепные передачи дороже, требуют более высокой точности установки валов, чем ременные передачи, и более сложного ухода - смазки, регулировки. 2. Затруднительный подвод смазки к шарнирам увеличивает их износ, вследствие чего цепь вытягивается и требует установки натяжных устройств; срок службы передачи сокращается. 3.Основной причиной износа шарниров (кроме недостатка смазки), шума, дополнительных динамических нагрузок и неравномерности вращения ведомой системы является то, что цепь состоит из отдельных звеньев, которые располагаются на звездочках не по дугам окружностей, а по ломаным линиям. Вопрос 3. Фрикционные и рычажные передачи. Фрикционные передачи Механическая передача, служащая для передачи вращательного движения между валами с помощью сил терния, возникающих между дисками, цилиндрами или конусами, насаженными на валы и прижимаемыми один к другому называется фрикционной передачей. Рис.8 Для создания силы трения, достаточной для передачи заданного момента от ведущего вала к ведомому, во фрикционных передачах применяют различные нажимные устройства (пружины, рычаги и др.) Фрикционные передачи классифицируются по следующим признакам: 1. По назначению: - с нерегулируемым передаточным числом, - с бесступенчатым регулированием передаточного числа (вариаторы) безпромежуточного звена, - то же с промежуточным звеном. 2. По взаимному расположению осей валов: - цилиндрические (рис. 8) или конусные с параллельными осями, - конические и лобовые с пересекающимися осями, - торовые соосные. 3. В зависимости от условий работы: - открытые (работают всухую), - закрытые (работают в масляной ванне). 4. По принципу действия: - нереверсивные, - реверсивные. Достоинства: 1. Простота конструкции. 2. Плавность и бесшумность работы. 3.Возможность бесступенчатого регулирования скорости. 4. При перегрузках происходит проскальзывание катков, предохраняющее механизм привода от поломок. Недостатки: 1. Непостоянство передаточного отношения. 2. Ограниченность передаваемых мощностей - до 10...20 кВт (силовые фрикционные передачи со стальными закаленными катками, работающими в масле, могут передавать мощность до 200...300 кВт). 3. Большие нагрузки на валы и их опоры (подшипники), приводящие к громоздкости конструкции и большим потерям энергии на преодоление трения в опорах. 4. Сравнительно низкий КПД ( 0,7... 0,95). 5. Повышенный и зачастую неравномерный износ рабочих поверхностей катков. Из-за интенсивного износа поверхностей катков, работающих всухую, и их значительного нагрева окружная скорость силовой передачи не должна превышать 7...10 м/с (при  > 7 ... 10 м/с катки обычно работают в масле). Материалы: К материалам, применяемым для изготовления фрикционных катков, предъявляют следующие требования: износостойкость; высокий коэффициент трения, высокий модуль продольной упругости для обеспечения достаточной жесткости катков. Для передачи небольших моментов применяют материалы, обладающие в паре со сталью или чугуном повышенным коэффициентом трения: дерево, текстолит, кожа, резина, прорезиненная ткань, фибра. Перечисленные неметаллические материалы применяют для рабочей поверхности ведущего чугунного или стального катка. Ведомый каток, как правило, изготовляют из чугуна или стали без облицовочного покрытия. Применение: Вследствие недостатков фрикционных передач с постоянным передаточным числом в машиностроении применяют сравнительно редко (фрикционные прессы, молоты, лебедки в буровой технике). Эти передачи чаще применяют в приборах и аппаратах, где требуется плавность и бесшумность работы (магнитофоны, проигрыватели спидометры и т.п.). Наиболее распространены в машиностроении вариаторы – фрикционные передачи с переменным числом (металлорежущие станки, текстильные машины). Фрикционные передачи применяют в вибрографах, магнитофонах, киноаппаратах, проигрывателях, спидометрах и т. д. В машиностроении силовые передачи с условно постоянным передаточным отношением используют крайне редко. В качестве примера можно указать фрикционные лебедки, иногда применяемые в буровой технике. Вариаторы широко используются в различных отраслях промышленности. Их часто применяют в приводах конвейеров, сварочных и литейных машинах, металлорежущих станках и т. д. Использование фрикционной передачи в качестве предохранительного звена механизма не рекомендуется, так как при буксовании повреждаются рабочие поверхности катков. Вопрос 4. Планетарные и волновые передачи Планетарные передачи Сложные зубчатые механизмы, в которых ось хотя бы одного колеса подвижна, называются планетарными механизмами. К типовым планетарным механизмам относятся: • однорядный планетарный механизм; • двухрядный планетарный механизм с одним внешним и одним внутренним зацеплением • двухрядный планетарный механизм с двумя внешними зацеплениями; • двухрядный планетарный механизм с двумя внутренними зацеплениями. Элементы планетарного механизма имеют специальные названия: • зубчатое колесо с внешними зубьями, расположенное в центре механизма называется "солнечным"; • колесо с внутренними зубьями называют "короной" или "эпициклом"; • колеса, оси которых подвижны, называют "сателлитами"; • подвижное звено, на котором установлены сателлиты, называют "водилом" . Звено водила принято обозначать не цифрой, а латинской буквой (Н). Рис.6 Достоинства: Возможность получения большого передаточного отношения при малых габаритах и небольшой массе конструкции. Правда у многих схем планетарных передач с большими передаточными отношениями КПД невысок. Благодаря внутреннему зацеплению увеличивается нагрузочная способность передачи, повышается плавность зацепления и уменьшается шум. При симметричном расположении сателлитов силы в передаче взаимно уравновешиваются, снижаются потери энергии, уменьшается нагрузка на опоры и упрощается их конструкция. Недостатки: 1. Низкий КПД и повышенные требования к точности изготовления и монтажа. 2. При сборке передачи необходимо выдерживать условия соосности (сцепляемости сателлитов с центральными колесами), соседства (возможности размещения сателлитов по окружности) и одинаковости центральных углов между сателлитами. При определении передаточного отношения планетарного механизма наиболее часто применяют метод остановки водила Н (метод Виллиса). При указанном методе звеньям планетарной передачи мысленно сообщается дополнительное вращение с угловой скоростью, равной угловой скорости водила Н, но направленной в противоположную сторону. В полученном таким образом приведенном механизме водило окажется неподвижным и планетарная передача превращается в обычный зубчатый механизм, у которого все геометрические оси неподвижны. Применение Планетарные передачи применяют в подъемно-транспортных машинах, станках, авиамоторах, врубовых машинах, приборах, редукторах. Волновые передачи Волновой передачей называется зубчатый или фрикционный механизм, предназначенный для передачи и преобразования движения (обычно вращательного), в котором движение преобразуется за счет волновой деформации венца гибкого колеса специальным звеном (узлом) - генератором волн. Основными элементами дифференциального волнового механизма являются: входной или быстроходный вал с генератором волн, гибкое колесо с муфтой, соединяющей его с первым тихоходным валом, жесткое колесо, соединенное со вторым тихоходным валом, корпус.   Рис.7 Достоинства: 1. Большая несущая способность на единицу массы передачи (в 3...4 раза выше зубчатых передач). 2. Возможность получения больших передаточных отношений. 3. Плавность и бесшумность работы передачи. 4. Высокая кинематическая точность передачи. 5. Надежность зацепления (при многопарном зацеплении поломка зуба не нарушит работоспособности и точности передачи). 6. Возможность передачи движения в герметизированное пространство. 7. Малогабаритность и возможность рационального использования объема передачи при ее компоновке. Недостатки: 1. Сложность конструкции генератора волн. 2. Необходимость выбора оптимальной геометрии зубьев колес. 3. Из-за непрерывного значительного деформирования гибкого колеса представляют повышенные требования к выбору его материала (сталь, пластмасса) и технологии изготовления. 4. Маломощность передачи (до 3.. .5 кВт). 5. Невысокий КПД (в силовых передачах  = 0,75... ...0,90). Применение: Несмотря на указанные недостатки, область применения передач расширяется. Одноступенчатые и многоступенчатые волновые передачи применяют в силовых и кинематических автономных или встроенных редукторах и мультипликаторах; в башенных строительных кранах; в приводах космических аппаратов; в уникальных механизмах различного типа летательных аппаратов, луноходах, атомных реакторах, приводах прецизионных приборов и др. Лекция 3 Валы и оси Вопрос 1. Конструкция валов и осей. Деталь, на которую насаживают (подвижно или неподвижно) вращающиеся устройства (блок, зубчатое колесо и др.), называют осью или валом. Оси служат для поддержания вращающихся вместе с ними или на них различных деталей машин и механизмов. Оси бывают вращающиеся и неподвижные. Вращение оси вместе с установленными на них деталями осуществляются относительно ее опор, называемых подшипниками. Примером не вращающейся оси может служить ось блока грузоподъемной машины, а вращающейся оси - вагонная ось (или тракторы и автомобили) Оси воспринимают нагрузку от расположенных на них деталей и работают на изгиб. Оси представляют собой прямые стержни. Валы в отличие от осей предназначены для передачи крутящих моментов и в большинстве случаев для поддержания вращающихся вместе с ними относительно подшипников различных деталей машин (зубчатых колес, шкивов и т.п.). Валы работают одновременно на изгиб и на кручение, а иногда на растяжение и сжатие при осевых нагрузках. Некоторые валы не поддерживают вращающиеся детали (карданные валы), поэтому эти валы работают только на кручение. Валы классифицируют: по назначению - валы передач, несущие зубчатые колеса, шкивы, звездочки, муфты и другие детали или сборочные единицы передач; - коренные валы машин, которые кроме деталей передач несут еще и рабочие органы производственных машин или машин двигателей. Например, валы турбин, на которые насажены колеса или диски турбин; валы токарных и сверлильных станков, на которых установлены зажимные патроны; валы электродвигателей, на которые насажены роторы; коленчатые и кривошипные валы и т. д.; по форме геометрической оси - прямые (рис.1,а), получившие самое широкое распространение в различных отраслях машиностроения; - кривошипные и коленчатые (рис.1, б, в), используемые не только для передачи момента, но и для преобразования возвратно-поступательного движения во вращательное (поршневые двигатели) или, наоборот, вращательного движения в возвратно-поступательное (насосы, станки); - гибкие (рис.3) с изменяемой формой геометрической оси, применяемые в разнообразных приводах механизированного инструмента, например вал переносной сверлильной или завинчивающей установки, а также в не силовых приводах приборов, например спидометров и других приборов дистанционного измерения или управления. На рис. 3, а показаны проволочная навивка 1 вала и его сердечник 2, который для не усиленных валов после навивки вынимают. Гибкий вал обычного вида изображен на рис.3, б. На рис.3,в показана конструкция контрольного механизма (например, тахометра); Рис. 2 Рис. 3 по форме и конструктивным признакам - гладкие (см. рис.2) постоянного поперечного сечения (трансмиссионные, валы гребных винтов и др.); ступенчато-переменного поперечного сечения (см. рис.1) (валы большинства передач). Сюда же можно отнести шлицевые валы (рис.4) валы-червяки и валы-шестерни. Рис.4 Для уменьшения массы валы иногда делают полыми. Вал обычно работает на изгиб, кручение (вал прямозубого редуктора, фрикционной, ременной и цепной передач) или на изгиб, кручение и осевое сжатие (растяжение) - вал косозубого цилиндрического, конического и червячного редукторов. Соединение осей или валов с деталями передач (шкивами, зубчатыми колесами и т. п.), насаженными на них, осуществляется с помощью шпонок (см. рис.1, а), шлицев (см. рис.4), штифтов и т. д. Насаженные на вал (ось) детали удерживаются от сдвига в осевом направлении (косозубые цилиндрические, конические и червячные зубчатые колеса и др.) с помощью буртов или заплечиков на валу, специальных установочных колец, распорных втулок, стопорных винтов и т. д. Валы и оси изготовляют из углеродистой (Ст3, Ст4, Ст5, сталь 30, 35, 40, 45, 50) и легированной (сталь 40Х, 40ХН, 30ХН3А, 30ХГТ) сталей, значительно реже - из стального литья (сталь 35Л, 40Л, 45Л, 50Л) с соответствующей термической обработкой, а также качественного серого чугуна, высокопрочного чугуна (коленчатые валы), сплавов цветных металлов (часы, приборы) и пластмасс. Конструктивные формы цапф Опорные участки валов и осей называют цапфами. В зависимости от направления опорных реакций различают два вида цапф: Рис. 5 1. Цапфы, опорные реакции которых перпендикулярны оси вращения, называют шипами (концевые цапфы) или шейками (промежуточные цапфы) (рис. 5). Диаметр шипов меньше диаметра вала, так как шип не испытывает кручения; диаметр шейки не должен быть меньше диаметра вала, так как шейка передаёт вращающий момент и, следовательно, работает на кручение. Опорами шипов и шеек служат радиальные или радиально-упорные подшипники качения или подшипника скольжения. Участки осей или валов, на которых закреплены вращающиеся детали или сборочные единицы (зубчатые колёса, полумуфты), называют подступичными (рис. 5). 2. Цапфы, опорные реакции которых совпадают с осью вращения или параллельны ей, называют пятами (рис. 6). Опорами пят служат подпятники — упорные подшипники скольжения (рис. 7, а) или качения (рис. 7, б). Наибольшее распространение получили следующие конструкции пят: сплошная пята, рабочей поверхностью которой является плоский торец вала с канавками для смазки (рис. 6, а); кольцевая пята (рис. 6, б), рабочей поверхностью является кольцо торцовой части вала с канавками для смазки; гребенчатая пята (рис. 6, в), рабочей поверхностью которой являются кольцевые участки вала - гребни (или заплечики), на которых сделаны канавки для смазки. Эти пяты предназначены для передачи больших осевых сил. Рис.6 Рис. 7 Шипы и шейки вала или оси опираются на подшипники, опорной частью для пяты является подпятник. Буртик – кольцевое утолщение вала, составляющее с ним одно целое. Заплечик – переходная поверхность от одного сечения к другому, служащая для упора насаживаемых на вал или ось деталей. Галтель – криволинейная поверхность плавного перехода от меньшего сечения к большему. Галтели выполняют: постоянного радиуса переменного радиуса с поднутрением Переходные участки являются концентраторами напряжений. Для снижения концентрации напряжений в переходных участках выполняются разгрузочные канавки, увеличивающие радиусы галтелей. Критерии работоспособности валов. Конструкция, размеры и материал вала существенно зависят от критериев, определяющих его работоспособность. Работоспособность валов характеризуется в основном их прочностью и жесткостью, а в некоторых случаях виброустойчивостью и износостойкостью. Большинство валов передач разрушаются вследствие низкой усталостной прочности. Поломки валов в зоне концентрации напряжений происходят из-за действий переменных напряжений. Для тихоходных валов, работающих с перегрузками, основным критерием работоспособности служит статическая прочность. Жесткость валов при изгибе и кручении определяется значениями прогибов, углов поворота упругой линии и углов закрутки. Упругие перемещения валов отрицательно влияют на работу зубчатых и червячных передач, подшипников, муфт и других элементов привода, понижая точность механизмов, увеличивая концентрацию нагрузок и износ деталей. Для быстроходных валов опасно возникновение резонанса – явления, когда частота собственных колебаний совпадает или кратна частоте возмущающих сил. Для предотвращения резонанса выполняют расчет на виброустойчивость. При установке валов на подшипниках скольжения размеры цапф вала определяют из условия износостойкости опоры скольжения. В процессе работы валы и оси испытывают постоянные или переменные по величине и направлению нагрузки. Прочность валов и осей определяется величиной и характером напряжений, возникающих в них под действием нагрузок. Постоянные по величине и направлению нагрузки вызывают в неподвижных осях постоянные напряжения, а во вращающихся осях (и валах) — переменные. Характерной особенностью валов является то, что они работают при циклическом изгибе наиболее опасного симметричного цикла, который возникает вследствие того, что вал, вращаясь, поворачивается к действующим изгибающим нагрузкам то одной, то другой стороной. При разработке конструкции вала должно быть обращено самое пристальное внимание на выбор правильной его формы, чтобы избежать концентрации напряжений в местах переходов, причиной которых могут быть усталостные разрушения. С этой целью следует избегать: а) резких переходов сечений; б) канавок и малых радиусов скруглений; в) некруглых отверстий; г) грубой обработки поверхности. Для оценки правильного выбора геометрической формы вала пользуются гидравлической аналогией, которая гласит: "Если контур детали представить как трубу, в которой движется жидкость, то там, где поток турбулентный, возникнет концентрация напряжений". Причины поломок валов и осей прослеживаются на всех этапах их "жизни". - На стадии проектирования – неверный выбор формы, неверная оценка концентраторов напряжений. - На стадии изготовления – надрезы, забоины, вмятины от небрежного обращения. - На стадии эксплуатации – неверная регулировка подшипниковых узлов. Для работоспособности вала или оси необходимо обеспечить: - объёмную прочность (способность сопротивляться Mизг и Мкрут); - поверхностную прочность (особенно в местах соединения с другими деталями); - жёсткость на изгиб; - крутильную жёсткость (особенно для длинных валов). Вопрос 2. Расчет валов и осей на прочность и жесткость. Так как валы некруглого сечения применяют редко, то рассмотрим расчеты валов и осей только круглого сечения. Рассмотрим расчет осей. Они нагружены только изгибающими нагрузками и соответственно их рассчитывают на изгиб. После составления расчетной схемы и определения всех сил, действующих на ось, строят эпюру изгибающих моментов и по максимальному изгибающему моменту рассчитывают на ось. Расчет осей на статическую прочность при изгибе:   (проверочный расчет) (проектный расчет) Затем округляют диаметр оси до ближайшего стандартного ГОСТ 6636 - 89 - расчетное напряжение изгиба в опасном сечении, ; М - изгибающий момент в опасном сечении оси, ; - момент сопротивления оси, ; - допускаемое напряжение на изгиб, . Для вращающихся осей можно принимать из таблицы (см. справочник). Для не вращающихся осей следует повысить на 75%. Расчет вала редуктора состоит из двух этапов: Первым этапом является проектный расчет, цель которого - определение диаметра выходного конца вала. Расчет производится по крутящему моменту, передаваемому валом, действием изгибающих моментов на вал пренебрегают. После чего производится конструирование вала. Второй этап предусматривает проверочные расчеты на усталостную и статическую прочности. Расчетом вала на кручение пользуются иногда как предварительным, после которого вал рассчитывают на статическую прочность - совместное действие изгиба и кручения. Расчет валов, работающих только на кручение: - проверочный расчет; -  проектный расчет, где - расчетное напряжение кручения в опасном сечении вала, ; М - крутящий момент в опасном сечении вала, ; d - диаметр вала, ; - допускаемое напряжение кручения для вала, ; Расчет на усталостную прочность сводится к определению коэффициента запаса прочности материала вала при одновременном действии циклических нормальных (при изгибе) и касательных (при кручении) напряжений. (1) где - коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям: (2) - коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям: (3) Рассчитанный коэффициент запаса прочности сравнивается с допускаемым. Расчет на статическую прочность подразумевает проверку вала по нормальным эквивалентным напряжениям и сравнение расчетной величины с допускаемым значением. Так как ось в отличие от вала не передает механической работы и работает только на изгиб, то условие (уравнение) прочности оси имеет вид (4) где — изгибающий момент в опасном сечении оси; — осевой момент сопротивления круглого сечения оси. При выполнении проектировочного расчета на прочность оси допускаемые напряжения изгиба для вращающихся осей принимают как для симметричного цикла напряжений, а для неподвижных осей - как при статическом погружении или при изменении напряжений по отнулевому циклу. При прочих равных условиях (одинаковый материал, нагрузки, технология изготовления и т. д.) допускаемые напряжения изгиба для невращающихся осей в 1,5... 1,6 раза выше, чем для вращающихся, поэтому выгоднее применять неподвижные оси. В отдельных случаях вращающиеся оси по конструктивным признакам и экономическим условиям применять выгоднее, несмотря на большую затрату материала. Например, для некоторых типов железнодорожных вагонов целесообразнее применять оси, вращающиеся в подшипниках скольжения (буксах) или подшипниках качения. Расчет осей на статическую прочность Как указывалось выше, оси не испытывают кручения, поэтому их рас­считывают только на изгиб. Рис. 8. Расчетная схема оси: а — конструкция; б — расчетная схема; в — эпюра изгибающих моментов Последовательность проектировочного расчета. По конструкции узла (рис.8, а) составляют расчетную схему (рис.8, б), определяют силы, действующие на ось, строят эпюры изгибающих моментов; диаметр оси определяют по формуле (5) где Ми — максимальный изгибающий момент; — допускаемое напря­жение изгиба. Выбор . Во вращающихся осях напряжение изгиба изменяется по симметрично­му циклу: для них принимают , в неподвижных . Для вращающихся осей из Ст5 = 50 ÷ 80 МПа, для невра- щающихся = 100 ÷ 160 МПа (меньшие значения рекомендуется прини­мать при наличии концентраторов напряжений). Полученное значение диаметра оси d округляют до ближайшего большего стандартного размера: 16, 17, 18, 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100. Если ось в расчетном сечении имеет шпоночную канавку, то ее диа­метр увеличивают на 10 %. Проверочный расчет осей на статическую прочность. Этот расчет производят по формуле (6) где — расчетное напряжение изгиба в опасном сечении оси. Пример 1. Определить диаметр оси подвески крюка, грузоподъемная сила которого, F=10·103 Н (рис.9, а) Рис.9 Решение. Расчетная схема (рис.10, б) составлена в соответствии с конструкцией подвески (ось рассматривается как балка с шарнирными опорами, нагруженная сосредоточенными силами). Опорные реакции. При симметричном расположении блоков Эпюра изгибающих моментов М: в сечении А М = 0; в сечении Б М = в сечении В М = в сечении Г М = 0. Для удобства изготовления и сборки принимаем ось гладкой и неподвижной. Учитывая ответственность оси в крюковой подвеске, выбираем материал сталь Ст.5 с Требуемый диаметр оси определяем из условия прочности на изгиб: откуда По стандарту принимаем d=28 мм. Расчет валов на жесткость. Для нормальной работы передач и подшипников оси и валы должны быть достаточно жесткими. Жесткость на изгиб валов и осей обеспечивает равномерное распределение давления по длине контактных линий зубьев зубчатых и червячных колес, роликов равномерное распределение давления по длине контактных поверхностей подшипников скольжения. Параметры, характеризующие степень жесткости на изгиб осей и валов следующие: - угол наклона поперечного сечения вала и оси, рад; - наибольший прогиб оси или вала, мм. Для обеспечения жесткости на изгиб оси или вала необходимо, чтобы действительные значения Q и Y не превышали допускаемых значений: , Расчет валов на жесткость производят только после расчетов их на прочность. Для большинства валов жесткость на кручение не имеет существенного значения и такой расчет не производят. В тех случаях, когда деформация кручения валов должна быть ограничена определенными пределами, определяют жесткость на кручение по формуле: где φ - действительный угол закручивания для единицы длины вала, рад; - допускаемый угол наклона, рад; М - крутящий момент вала, Н·мм;   G - модуль сдвига материала, H·mm2 - полярный момент инерции площади сечения вала Y0=0,1d4, для вала круглого сечения. Допускаемые углы наклона: в станкостроении для длинных ходовых валиков тяжелых станков на 1 м длины; [φ]≤5-1 для карданных валов автомобилей [φ] достигает нескольких градусов на 1 м длины; 3)для трансмиссионных валов механического передвижения мостовых кранов [φ]≤1,5…2 на 1м длины вала. Рекомендации по конструированию валов и осей 1. Валы и оси следует конструировать по возможности гладкими с минимальным числом уступов. В этом случае существенно сокращается расход металла на изготовление вала, что особенно важно в условиях крупносерийного производства. В индивидуальном и мелкосерийном производстве применяют валы с бортами для упора колес. 2. Каждая насаживаемая на вал или ось деталь должна проходить до своей посадочной поверхности свободно во избежание повреждения других поверхностей. Рекомендуют принимать такую разность диаметров ступеней вала, чтобы при сборке можно было насадить деталь, не вынимая шпонку, установленную в пазу ступени меньшего диаметра. 3. Торцы валов и осей и их уступы выполняют с фасками для удобства установки деталей и соблюдения норм охраны труда. 4. В тяжелонагруженных валах или осях для снижения концентрации напряжений в местах посадочных поверхностей рекомендуют перепады ступеней выполнять минимальными с применением галтелей переменного радиуса. 5. При посадках с натягом трудно совместить шпоночный паз в ступице со шпонкой вала. Для облегчения сборки на посадочной поверхности вала предусматривают небольшой направляющий цилиндрический участок с полем допуска d9. 6. Для уменьшения номенклатуры резцов и фрез радиусы галтелей, углы фасок, ширину пазов на одном валу или оси рекомендуют выполнять одинаковыми. Если на валу несколько шпоночных пазов, то их располагают на одной образующей. 7. Для увеличения изгибной жесткости валов и осей рекомендуют детали на них располагать возможно ближе к опорам. 8. При разработке конструкции вала или оси надо иметь в виду, что резкие изменения их сечений (резьбы под установочные гайки, шпоночные пазы, канавки, поперечные сквозные отверстия под штифты и отверстия под установочные винты и др.) вызывают концентрацию напряжений, уменьшая сопротивление усталости. Лекция 4 Подшипники качения и скольжения Вопрос 1. Подшипники качения. Валы и оси поддерживаются специальными деталями, которые являются опорами. Название "подшипник" происходит от слова "шип" (англ. shaft, нем. zappen, голл. shiffen – вал). Так раньше называли хвостовики и шейки вала, где, собственно говоря, подшипники и устанавливаются. Подшипники служат опорами для валов и вращающихся осей, воспринимают радиальные и осевые нагрузки, приложенные к валу, и передают их на корпус машины. При этом вал должен фиксироваться в определенном положении и легко вращаться вокруг заданной оси. Во избежание снижения КПД машины потери в подшипниках должны быть минимальными. По характеру трения подшипники разделяют на две большие группы: - подшипники скольжения (трение скольжения); - подшипники качения (трение качения). Подшипники качения служат опорами для валов, осей и других вращающихся деталей. Они воспринимают радиальные и осевые усилия, приложенные к валу, и по виду трения относятся к опорам трения качения. Подшипники качения (рис.1) состоят из наружного 1 и внутреннего 3 колец с дорожками качения, шариков или роликов 2 (тел качения), которые катятся по дорожкам качения колец – сепаратора 4, разделяющего и направляющего шарики или ролики. Это обеспечивает их правильную работу. Рис.1 Материал: шарики, ролики, кольца подшипников качения изготовляют из сталей. Сепараторы подшипников качения выполняют из мягкой углеродистой стали, латуни, бронзы, алюминиевых сплавов, пластмасс (текстолит). Классификация подшипников качения осуществляется по следующим признакам: - по направлению воспринимаемой нагрузки — радиальные, в основном для радиальных нагрузок; радиально-упорные для совместных радиальных и осевых нагрузок; упорные для осевых нагрузок, упорно-радиальные для осевой и радиальной нагрузок; - по форме тел качения - шариковые, роликовые (с цилиндрическими, коническими, бочкообразными, игольчатыми и витыми роликами); - по числу рядов тел качения - однорядные, двухрядные четырехрядные; - по способу самоустановки - несамоустанавливающиеся, самоустанавливающиеся (сферические). В зависимости от нагрузочной способности и габаритов при одном и том же диаметре расточки внутреннего кольца подшипники по ГОСТу делятся на серии: по радиальным размерам - сверхлегкие, особо легкие, легкие средние, тяжелые; по ширине — узкие, нормальные, широкие, особо широкие. Кратко рассмотрим наиболее распространенные стандартные подшипники качения. Радиальные однорядные шарикоподшипники (рис.1, а) способны воспринимать радиальную и осевую нагрузки. Получили наибольшее распространение в машиностроении. Выдерживают большие угловые скорости вала (особенно с сепараторами из цветных металлов) и допускают перекос колец до 10'. Самые дешевые из подшипников качения. Радиальные роликоподшипники с короткими (рис.1, в) и длинными (не стандартизованы), цилиндрическими роликами воспринимают только радиальную нагрузку (если имеются борты на кольцах, то могут воспринимать незначительную осевую нагрузку). Нагрузочная способность подшипников значительно больше, чем шариковых, однако они не допускают перекоса колец, так как ролики начинают работать кромками и подшипники быстро выходят из строя. Роликовые подшипники с витыми роликами (рис.2) воспринимают радиальную нагрузку при невысоких угловых скоростях. Применяют при ударных нагрузках (удары смягчаются податливостью витых роликов). Не требуют высокой точности монтажа и специальной защиты от загрязнений. Игольчатые подшипники (рис.3) имеют ролики относительно большей длины и малого диаметра. Могут работать при значительных радиальных нагрузках, выдерживают ударные нагрузки при невысоких угловых скоростях. Не допускают осевой нагрузки и перекоса колец. СТСЭВ 1474 - 78 регламентируют размеры игольчатых подшипников без колец. Рис. 2 Рис. 3 Радиально-упорные шарикоподшипники (рис.4) применяют в подшипниковых узлах, воспринимающих одновременно радиальные и осевые нагрузки. Радиальная грузоподъемность этих подшипников на 30...40% больше, чем у радиальных однорядных шарикоподшипников. Применяются при средних и высоких угловых скоростях и неударных нагрузках. СТСЭВ 1476 - 78 регламентирует основные размеры радиально-упорных роликовых сферических одинарных подшипников. Шариковый радиально-упорный подшипник может воспринимать осевую нагрузку только в одном направлении. Рис. 4 Конические роликовые подшипники (рис.5) также предназначены для восприятия радиальной и осевой нагрузок. По сравнению с радиально-упорными шариковыми подшипниками обладают большой грузоподъемностью, возможностью раздельного монтажа внутреннего (вместе с роликами и сепараторами) и наружного колец, а также способностью воспринимать небольшие ударные нагрузки. Недостатком этих подшипников является большая чувствительность к несоосности и относительному перекосу колец. Рис. 5 Рис. 6 Шариковые (рис. 1,б) и роликовые (рис. 6) двухрядные сферические самоустанавливающиеся подшипники обладают повышенной грузоподъемностью по сравнению с однорядными. Допускают перекос колец до 2° и потому могут применяться для валов пониженной жесткости, а также в тех случаях, когда соосность посадочных мест не гарантирована. Упорные шарико- и роликоподшипники (рис. 7) предназначены для восприятия только осевой нагрузки. Устанавливаются в паре с радиальными шарико- или роликоподшипниками, центрирующими ось вала и ограничивающими свободу его перемещения в радиальном направлении. Изображенный на рис. 8 двойной упорный шарикоподшипник предназначен для восприятия двусторонней осевой нагрузки. Рис. 7 Рис. 8 Подшипники качения имеют ряд преимуществ перед подшипниками скольжения: 1. Значительно меньшие потери на трение, а следовательно более высокий КПД (до 0,995) и меньший нагрев. 2. Момент трения при пусках в 10...20 раз меньше, чем в подшипниках скольжения. 3. Экономия дефицитных материалов (баббита бронзы). 4. Меньшие габаритные размеры в осевом направлении. 5. Простота обслуживания и замены. 6. Меньший расход масла. 7. Малая стоимость вследствие массовости изготовления стандартных подшипников и относительно малые эксплуатационные расходы, а также их взаимозаменяемость, что упрощает ремонт машин и оборудования. Недостатки: 1. Ограниченная возможность применения при очень больших нагрузках и высоких угловых скоростях цапф (специальные закрытые подшипники качения могут работать сотни часов). 2. Непригодны для работы при значительных ударных и вибрационных нагрузках из-за высоких контактных напряжений и плохой способности демпфировать колебания. 3. Большие, чем у подшипников скольжения, габаритные размеры в радиальном направлении. 4. Неразъемность конструкции, что не позволяет применять подшипники качения в некоторых сборочных единицах (например, для шеек коленчатых валов). Вопрос 2. Подшипники скольжения. Подшипником скольжения называют опору для поддержания вала (или вращающейся оси). В таком подшипнике цапфа вращающегося вала (или оси) проскальзывает по опоре. Подшипники скольжения делятся на три основных типа: Неразъемные (глухие) подшипники в простейших конструкциях отливают как одно целое со станиной тихоходной машины, работающей с большими перерывами. Иногда их делают съемными (рис.9, а, б), прикрепляемыми болтами к станине машины. Неразъемные подшипники (рис. 10) делятся по ГОСТу на узкие (а), широкие (б), фланцевые (в, г) и гнездовые (д). Рис. 9 Рис. 10 Разъемные подшипники (рис.11) состоят из корпуса 1, двух вкладышей 4 (втулка из антифрикционного материала, разрезанная по образующей), крышки 2 и стяжных болтов 3. Износ рабочей поверхности вкладыша компенсируется поджатием крышки к верхней половине вкладыша. Масло для смазки подшипников скольжения поступает на трущиеся поверхности через отверстие в крышке из смазочного резервуара - масленки или из масляной ванны с помощью вращающегося кольца (рис.12). Кольцевая смазка может применяться только при сравнительно больших окружных скоростях цапфы. Рис. 11 Рис. 12 Подшипники с самоустанавливающимися вкладышами (рис. 13) применяют при больших отношениях длины цапфы (шипа или шейки) к ее диаметру При таких значениях обычный вкладыш не может следовать за отклонениями оси цапфы, вызванными деформацией вала, а это приводит к возникновению больших кромочных давлений между цапфой и вкладышем, нарушающих нормальную работу подшипника. Самоустанавливающийся вкладыш 1 подшипника (рис. 13) имеет выпуклую сферическую поверхность, опирающуюся на вогнутую сферическую поверхность кольца 2, запрессованного в гнездо корпуса подшипника. Это и позволяет вкладышу следовать за отклонениями оси деформируемого вала. Смазка подается через отверстие корпуса в канавку 3 вкладыша. Рис. 13 Опоры скольжения дли осевых нагрузок — подпятники - обычно объединяются в одном общем корпусе с подшипником, воспринимающим радиальные нагрузки вала и уравновешивающим их. Опорная часть подпятника (рис. 14) представляет собой кольцо 4 из чугуна, бронзы или другого антифрикционного материала с прорезанными по торцу смазочными канавками. Рис. 14 Это кольцо опирается на корпус 1. В изображенной на рис. 6 конструкции радиальная нагрузка опоры воспринимается втулкой 3, вставленной во вкладыш 2, прикрепленный винтами к корпусу. Во избежание проворачивания упорного кольца оно закреплено штифтом 5. Достоинства подшипников скольжения: 1. Высокая работоспособность при больших скоростях и ударных нагрузках. 2. Бесшумность и обеспечение виброустойчивости вала при работе подшипника в режиме жидкостного трения (масляный слой между поверхностями цапфы и вкладыша обладает способностью гасить колебания). 3. Небольшие размеры в радиальном направлении. 4. Достаточно высекая работоспособность в особых условиях (химически агрессивных средах, при бедной или загрязненной смазке) и т. д. Недостатки: 1. Большие потери на трение (не относится к подшипникам, работающим в режиме жидкостного трения, КПД которых > 0,99). 2. Значительные размеры в осевом направлении. 3. Необходимость применения дорогостоящих цветных сплавов (бронза, баббит) для вкладышей. 4. Сравнительная сложность конструкции и большой расход смазки. 5. Не обеспечена взаимозаменяемость подшипников при ремонте, так как большинство типов подшипников не стандартизовано. Материалы вкладышей подшипников скольжения должны иметь: → достаточную износостойкость и сопротивляемость заеданию при несовершенной смазке → сопротивляемость хрупкому разрушению при ударных нагрузках и сопротивлении усталости → низкий коэффициент трения и низкий коэффициент линейного расширения → высокую теплопроводность Изнашиваться должны вкладыши, а не цапфы вала!!! Вкладыши бывают: - металлические (бронзы, баббиты антифрикционной группы, цинковые сплавы) - металлокерамические (спеченные порошки меди или железа с добавлением графита, дисульфида, молибдена, олова или свинца) - неметаллические (специальные марки пластмасс, древеснослоистые материалы, резина и др) Подшипники скольжения работают только при наличии смазочного материала в зазоре между цапфой вала и вкладышем. СМАЗЫВАНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ Под действием радиальной силы Fr вал смещается относительно оси вкладыша на величину радиального зазора (цапфа лежит на вкладыше) При вращении вал вовлекает смазку в клиновой зазор между цапфой и вкладышем. В результате возникновения несущий масляный слой с большой гидродинамической подъемной силой, под действием которой вал всплывает. Смазку подводят в подшипник по ходу вращения цапфы вала в зону максимального зазора, где отсутствует гидродинамическое давление. Это достигается за счет наличия на вкладыше смазочных канавок, которые располагают в ненагруженной зоне. ПОДВОД СМАЗОЧНОГО МАТЕРИАЛА Жидкие смазочные материалы (масла) попадают в подшипники: - самотеком (разбрызгиванием) - с помощью смазочных устройств (масленок) - под давлением (насосами) масленка шариковая масленка фитильная масленка капельная масляный насос Консистентные (пластичные) смазки закладывают в полости подшипников при сборке или подают при помощи смазочных устройств под давлением. масленка колпачковая Смазку подают под давлением через шприц. пресс-масленка Смазку подают периодически, подвинчивая колпачок, заполненной смазкой КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ Критерием работоспособности опор скольжения является износостойкость. Работоспособность подшипников скольжения оценивают условным расчетом по среднему давлению р на рабочих поверхностях и удельной работе рυ сил трения. р = Fr/dl ≤ [ p] pυ ≤ [ pυ] Fr – радиальная сила, действующая на подшипник d и l – диаметр и длина шипа (шейки) вала υ – окружная скорость поверхности цапфы Сравнительная характеристика подшипников качения и скольжения При проектировании узла вал—подшипник перед конструктором стоит задача выбора типа опоры скольжения или качения. При возможности обеспечения жидкостного режима смазывания в узле можно рекомендовать опоры с подшипниками скольжения, имеющими следующие преимущества по сравнению с подшипниками качения: простота конструкции и компоновки; незначительные габаритные размеры; способность выдерживать большие радиальные и ударные нагрузки; возможность ремонта и низкая стоимость подшипника скольжения, особенно при больших диаметрах. Увеличение угловой скорости вала, имеющего подшипники качения, резко снижает их долговечность. Вследствие малой площади поверхности рабочих элементов подшипников качения эти опоры называются более жесткими, что является одной из причин шума, а иногда и вибрации узла, осо­бенно при больших угловых скоростях. Кольца подшипников качения — цельные (неразъемные). Это делает их непригодными в некоторых случаях, например, для установки на коленчатые валы. По сравнению с подшипниками качения подшипники скольжения требуют повышенного расхода смазочного материала, который должен поступать непрерывно, так как иначе происходит быстрый нагрев и заклинивание подшипникового узла. Подшипники качения по сравнению с подшипниками скольжения требуют, как правило, меньшего расхода энергии, удобнее в эксплуатации, не требуют постоянного ухода (смазывание их производится периодически), имеют незначительный рабочий радиальный зазор, значительно меньший расход цветных материалов; более высокая точность и меньшая стоимость вследствие стандартизации и централизованного массового производства. Вследствие незначительной ширины колец подшипников качения достигается компактность узла, что важно при стесненных габаритных размерах в осевом направле­нии. По этим и многим другим причинам подшипники качения имеют са­мое широкое применение в современном машиностроении, и в большин­стве случаев они вытеснили подшипники скольжения. Общие тенденции применения подшипников качения. Вопрос 3. Конструкции подшипниковых узлов. Работоспособность, надежность, долговечность подшипников качения зависят не только от материала, качества изготовления, но и от того, как они установлены. Неправильно установленные подшипники качения быстро выбывают из строя. Подшипники качения должны точно фиксировать положение вала и не испытывать дополнительных нагрузок от деформации вала: а) длинные валы могут иметь значительные температурные деформации и поэтому укрепление их в корпусе осуществляется одной неподвижной опорой, другие опоры этих валов выполняют плавающими, т.е.допускают осевое перемещение вала (рис. 15); б) короткие валы при отсутствии значительного нагрева можно крепить посредством двух опор, с тем чтобы одна из них удерживала вал в одном, а другая в другом осевом направлении; в) для предупреждения защемления тел качения в радиальном подшипнике предусматривают зазор 0,2.. .0,3 мм между крышкой подшипника и наружным кольцом. Оба кольца подшипников, фиксирующих валы от осевого перемещения, а так же вращающиеся кольцо подшипников для предотвращения их поворота посадочным поверхностям при динамических нагрузках соответственно закрепляют на валах и в корпусах. Это закрепление осуществляют посредством посадок колец на валы и в корпусах с натягом, а так же с помощью других различных средств закрепления. Посадки внутренних колец подшипников качения на вал осуществляют по системе отверстия, а посадки наружных колец в корпусах по системе вала. Рис. 15 Расчетная схема определения сил, действующих на подшипники качения: 1-для радиальных и радиально -упорных шарикоподшипников; 2 и 3 - при отсутствии осевой силы. Внутренние кольца подшипников дополнительно закрепляют на валу: уступом вала, распорной трубкой и пружинным стопорным кольцом, закладываемым в кольцевую канавку вала, торцевой шайбой, в которой внутренний зуб входит в паз на валу, а один из пружинных зубьев отгибается на шлиц гайки и другими средствами. Закрепление внутренних колец подшипников качения на валах постоянного d (например, трансмиссионные валы осуществляют с помощью конической разрезной закрепительной втулки и упорной гайки со стопорной шайбой (в СХМ и комбайнах). Наружные кольца подшипников качения закрепляют во вращающемся корпусе посредством соответствующей посадки и дополнительно следующими средствами; для предупреждения перемещения в осевом направлении - уступом, заплечиком, буртиком, в корпусе, стакане или крышке подшипниками. Монтаж и демонтаж подшипников качения: нагрев в масляной ванне до Охлаждение сухим льдом. Необходимо, чтобы усилие передавалось на то кольцо, которое напрессовывается. Смазка подшипников. Смазка подшипников качения влияет на их долговечность, уменьшает трение между телами качения, предохраняет их от коррозии, способствует охлаждено подшипников. Для смазки подшипников качения применяют консистентные смазки и жидкие минеральные масла. 1. Консистентные смазки применяют при . 2. Жидкие минеральные масла применяют при . Жидкое масло подается к подшипнику качения в виде масляной ванны, или разбрызгиванием масляным туманом или капельной смазкой. Уровень масла во избежании повышенных потерь должен быть не выше центра нижнего шарика или ролика. При смазке разбрызгиванием применяют диски, крыльчатки, специальные шестерни или быстровращаюшимися колесами. В настоящее время начинают применять подшипники с одноразовой смазкой. Такие подшипники имеют встроенное уплотнение, т.е. имеют защитные шайбы (их выпускают уже заправленные смазкой). Лекция 5.1 Соединения деталей Вопрос 1. Неразъемные соединения Детали объединяются в машину посредством соединений. Соединения состоят из соединительных деталей и прилегающих частей соединяемых деталей, форма которых подчинена задаче соединения. В отдельных конструкциях специальные соединительные детали могут отсутствовать. Все соединения делятся на: Неразъёмные, разборка которых возможна лишь при разрушении соединяющих или соединяемых деталей; Разъёмные, позволяющие разборку без разрушения. Выбор типа соединения определяет конструктор. Детали могут соединяться между собой подвижно и неподвижно. Подвижные соединения – это различные виды шарниров. К неподвижным соединениям относятся разъемные – шпоночные, шлицевые, резьбовые, профильные и неразъемные – заклепочные, сварные, клеевые и паяные и другие. Неподвижность шпоночного и шлицевого соединений относительна. В направлении оси вала при необходимости возможна свобода перемещения соединяемой детали (шестерни, полумуфты и т.д.). Выбор вида соединения конкретной конструкции определяется ее назначением и устройством, экономическими и другими параметрами. Рассмотрим некоторые из приведенных видов соединений. Сварные соединения Не имеют соединяющих деталей. Выполняются за счёт местного нагрева и диффузии (перемешивания частиц) соединяемых деталей. Создают, практически, одну целую, монолитную деталь. Весьма прочны, т.к. используют одну из самых могучих сил природы - силы межмолекулярного сцепления. Сварку (дуговую электросварку) изобрел в 1882 году российский инженер Н.И. Бенардос. С тех пор технология процесса значительно усовершенствована. Прочность сварного шва теперь практически не отличается от монолита, освоена сварка всех конструкционных материалов, включая алюминий и неметаллы. Сварка — это технологический процесс получения неразъемного соединения металлических или неметаллических деталей с применением нагрева (до пластического или расплавленного состояния), выполненного таким образом, чтобы место соединения по механическим свойствам и своему составу по возможности не отличалось от основного материала детали. Рис. 1. Получение сварного шва газовой сваркой Сварным соединением называют неразъемное соединение деталей с помощью сварных швов. По взаимному расположению свариваемых элементов различают следующие виды соединений (рис.2): - стыковые; - нахлесточные лобовые и фланговые (рис.3); - с накладками (рис.4); - тавровые. Свариваемые элементы располагаются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Соединение может быть выполнено угловыми или стыковыми швами. - угловые. Применяются для изготовления тары из листовой стали, ограждений и др. Выполняются угловыми швами. Эти соединения передают малые нагрузки и поэтому не рассчитываются на прочность. а) Стыковые соединения б) Нахлёсточные соединения в) Тавровые соединения г) Угловые соединения Рис. 2 Виды сварных соединений Рис. 3. Нахлесточное соединение: а — соединение лобовыми швами; б — соединение фланговыми швами Рис. 4. Соединения с накладками Достоинства и недостатки сварных соединений по сравнению с заклепочными (или литыми деталями). Достоинства: • простота конструкции сварного шва и меньшая трудоемкость в изготовлении, обусловленной сравнительной простотой технологического процесса сварки. • значительное снижение массы конструкции при тех же габаритах. При замене заклепочных соединении сварными экономия в весе получается за счет отказа от применения различных накладок, необходимых в заклепочных соединениях, а также части веса самих заклепок; при замене литых деталей сварными конструкциями вес их уменьшается за счет более высоких механических свойств прокатного металла. • возможность соединения деталей любых форм; • герметичность и плотность соединения; • бесшумность технологического процесса сварки; • возможность автоматизации сварочного процесса; • сварное соединение дешевле заклепочного. • соединение деталей может выполняться встык без накладок. • возможность сварки толстых профилей. Недостатки: • возникновение остаточных напряжений в свариваемых элементах; • коробление деталей из-за неравномерного нагрева в процессе сварки; • зависимость качества шва от исполнителя и трудность контроля; применение автоматической сварки устраняет этот недостаток. • склонность к образованию трещин в местах перехода от шва к цельному металлу вследствие термических напряжений, возникающих при остывании. Трещины особенно опасны при динамических нагрузках (вибрационных и ударных), поэтому в таких случаях сварные швы стараются не применять, заменяя их заклепочными соединениями. Термические напряжения могут быть частично или полностью устранены термообработкой сварного соединения (низкотемпературным отжигом). Термическая обработка исключает также последующее коробление сварных конструкций. Область применения. В настоящее время сварные соединения почти полностью вытеснили заклепочные соединения. Сварка применяется для соединения элементов сосудов, испытывающих давление (резервуары, котлы); для изготовления турбин, доменных печей, мостов, химической аппаратуры; с помощью сварки изготовляют станины, рамы и основания машин, корпуса редукторов, зубчатые колеса (рис.2), шкивы, звездочки, маховики, барабаны и т. д. Сварку широко применяют как способ получения заготовок деталей из проката в мелкосерийном и единичном производстве, а также в ремонтном деле. Общее условие проектирования сварных соединений – обеспечение равнопрочности шва и свариваемых деталей. Заклёпочные соединения Образуются с помощью специальных деталей – заклёпок. Заклёпка имеет грибообразную форму и выпускается с одной головкой (закладной) вставляется в совместно просверленные детали, а затем хвостовик ударами молотка или пресса расклёпывается, образуя вторую головку (замыкающую). При этом детали сильно сжимаются, образуя прочное, неподвижное неразъёмное соединение. Рис.5. Заклёпочные соединения: а — внахлёстку двухрядным швом; б — встык с одной накладкой; в — встык с двумя накладками однорядными швами. Заклёпки изготавливают из сравнительно мягких материалов: Ст2, Ст3, Ст10, Ст15, латунь, медь, алюминий. Заклёпки стандартизованы и выпускаются в разных модификациях: • Сплошные с полукруглой головкой (рис.6. а) ГОСТ 10299-80, 14797-85 для силовых и плотных швов; • Сплошные с плоской головкой (рис.6. б) ГОСТ 14801-85 для коррозионных сред; • Сплошные с потайной головкой (рис.6. в) ГОСТ 10300-80, 14798-85 для уменьшения аэро- и гидросопротивления (самолёты, катера); • Полупустотелые (рис.6. г, д, е) ГОСТ 12641-80, 12643-80 и пустотелые (рис.6. ж, з, и) ГОСТ 12638-80, 12640-80 для соединения тонких листов и неметаллических деталей без больших нагрузок. Рис. 6. Виды заклепок. Достоинства заклёпочного соединения: ◦ соединяют не свариваемые детали; ◦ не дают температурных деформаций; ◦ детали при разборке не разрушаются. Недостатки заклёпочного соединения: • детали ослаблены отверстиями; • высокий шум и ударные нагрузки при изготовлении; • повышенный расход материала. На современном этапе развития технологии заклепочноесоединение уступает место сварке и склеиванию, обеспечивающим большую производительность и более высокую прочность соединения. Однако, по-прежнему находит применение в следующих случаях: в соединениях, где необходимо исключить изменение структуры металла, коробление конструкции и перегрев расположенных рядом деталей; соединение разнородных, трудно свариваемых и не свариваемых материалов; в соединениях с затруднительным доступом и контролем качества; в случаях, когда необходимо предотвратить распространение усталостной трещины из детали в деталь. Большинство соединений в самолётах по-прежнему выполняется клёпкой. Паяные соединения Паяные соединения — неразъемные соединения, образуемые силами молекулярного взаимодействия между соединяемыми деталями и присадочным материалом, называемым припоем. Пайка — процесс соединения материалов в твердом состоянии припоями, которые при расплавлении затекают в зазор, смачивают паяемые поверхности и при кристаллизации образуют паяный шов. Припой-сплав (на основе олова, меди, серебра) или чистый металл, вводимый в расплавленном состоянии в зазор между соединяемые деталями. Температура плавления припоя ниже температуры плавления материалов деталей. По конструкции паяные соединения подобны сварным (рис. 7, а - в), преимущественное применение имеют соединения внахлестку. Стыковое соединение и соединение в тавр применяют при малых нагрузках. Никакой другой процесс, кроме пайки, не вмещает в себя такой широкий круг физико-химических явлений, протекающих в твердой, жидкой и газовой фазе: восстановление и диссоциация, испарение и возгонка, смачивание и капиллярное течение, диффузия и растворение, пластифицирование и адсорбционное понижение прочности и т. д. В отличие от сварки пайка позволяет соединят не только однородные, но и разнородные материалы: черные и цветные металлы, сплавы, керамику, стекло и др. Рис. 7. Виды паяных соединений: а – стыковое; б – внахлестку; г-е – косым срезом; г – муфтовое; д – торцевое; е – донное. При пайке поверхности деталей очищают от окислов и обезжиривают с целью получения хорошей смачиваемости поверхности припоем качественного заполнения им зазоров. Нагрев припоя и деталей в зависимости от их размеров осуществляют паяльником, газовой горелкой, электронагревом, в термических печах и др. Для уменьшения вредного влияния окисления поверхности деталей при пайке применяют флюсы (на основе буры, канифоли, хлористого цинка), а также паяют в вакууме или в среде нейтральных газов (аргон). Расплавленный припой растекается по нагретым поверхностям стыка деталей и при охлаждении затвердевает, прочно соединении детали. Размер зазора в стыке определяет прочность соединения. При малом зазоре лучше проявляется эффект капиллярного течения припоя, процесс растворения материалов деталей в расплавленном припое распространяется на всю толщину паяного шва (прочность образующегося раствора на 30…60% выше прочности припоя). Размер зазора принимают 0,03…0,2 мм в зависимости припоя (легкоплавкий или тугоплавкий) и материала деталей. Припой с температурой плавления до 400 °С называют легкоплавкими. Наиболее широкое применение имеют оловянные-свинцовые, оловянно-свинцовые сурьмянистые припои (ПОС90, ПОС61). Эти припои не следует применять для соединений, работающих при температуре свыше 100 °С или подверженных действию ударных нагрузок. Припои с температурой плавления свыше 400 0С называют тугоплавкими (серебряные или на медной основе). Припой на медной основе (ВПр1, ВПр2) отличаются повешенной хрупкостью, их применяют для соединения деталей, нагруженных статической нагрузкой. Серебряные припои (ПСр40, ПСр45) применяют для ответственных соединений. Они устойчивы против коррозии и пригодны для соединения деталей, воспринимающих ударную и вибрационную нагрузки. Достоинством паяных соединении является возможность соединения разнородных материалов, стойкость против коррозии, возможность соединения тонкостенных деталей, герметичность, малая концентрация напряжений вследствие высокой пластичности припоя. Пайка позволяет получать соединения деталей в скрытых и труднодоступных местах конструкции. Недостатком пайки по сравнению со сваркой является сравнительно невысокая прочность, необходимость малых и равномерно распределенных зазоров между соединяемыми деталями, что требует их точной механической обработки и качественной сборки, а также предварительной обработки поверхностей перед пайкой. Применение паяных соединений в машиностроении расширяется в связи с внедрением пластмасс, керамики и высокопрочных сталей, которые плохо свариваются. Пайкой соединяют листы, стержни, трубы и др. Ее широко применяют в автомобилестроении (радиаторы и др.) и самолетостроении (обшивка с сотовым промежуточным заполнением). Пайка является одни из основных видов соединений в радиоэлектронике и приборостроении. Клеевые соединения В настоящее время все шире применяют неразъемные соединения металлов и неметаллических материалов, получаемые склеиванием. Это соединения деталей неметаллическим веществом посредством поверхностного схватывания и межмолекулярной связи в клеящем слое. Клеевые соединения позволили расширить диапазон применения в конструкциях машин сочетаний различных неоднородных материалов — стали, чугуна, алюминия, меди, латуни, стекла, пластмасс, резины, кожи и т. д. Наибольшее применение получили клеевые соединения внахлестку, реже — встык. Склеивание деталей возможно с помощью универсальных клеев. В настоящее время имеется более 100 различных марок клеев с различными физико-химическими свойствами. Применение современных клеев позволяет довести прочность клеевых соединений до 80% по отношению к прочности склеиваемых материалов. Достоинства клеевых соединений: • Коррозионная и бензомаслостойкость. • Уменьшение массы конструкции по сравнению с другими видами неразъёмных соединений. • Невысокая концентрация напряжений в месте соединения. • Возможность соединения практически любых встречающихся в промышленности конструкционных материалов. • Возможность соединения деталей практически любой толщины при любой форме сопрягающихся поверхностей. • Герметичность и достаточная надёжность соединения. • Высокая усталостная прочность, превосходящая в ряде случаев прочность паянных и сварных соединений. • Отсутствие коробления соединяемых деталей. • Значительно меньшие, чем при сварке и клёпке, трудовые затраты на единицу продукции. • Прочность и плотность соединения обеспечивается хорошей зачисткой склеиваемых поверхностей и сдавливанием их при температурах от 15 до 100 °С с последующей выдержкой от нескольких минут до нескольких часов. Недостатки клеевых соединений: • «Старение», т.е. снижение прочности соединения с течением времени (некоторые клеи обладают высокой устойчивостью против «старения»). • Низкая теплостойкость – прочность соединения нарушается при сравнительно невысоких температурах 60…100 °С. (В последнее время созданы некоторые марки клеев на основе элементоорганических и неорганических полимеров, удовлетворительно работающих при t≤1000 °C. Однако большинство из них не обладает достаточной эластичностью). Область применения. Клеевые соединения широко применяют в самолетостроении, при изготовлении режущего инструмента, электро- и радиооборудования, в оптической и деревообрабатывающей промышленности, строительстве, мостостроении. В настоящее время созданы некоторые марки клеев на основе полимеров, удовлетворительно работающих при температуре до 1000°. Клеевыми соединениями создают новые конструкции (сотовые, слоистые), отдельные зубчатые колеса соединяют в общий блок, повышают прочность сопряжения зубчатых венцов со ступицами, ступиц с валами, закрепляют в корпусе неподвижное центральное зубчатое колесо планетарной передачи, наружное кольцо подшипника качения, стопорят резьбовые соединения, крепят пластинки режущего инструмента и др. Вопрос 2. Разъемные соединения. Резьбовые соединения Являются наиболее совершенным, а потому массовым видом разъёмных соединений. Применяются в огромном количестве во всех машинах, механизмах, агрегатах и узлах. Основные детали соединения имеют наружную либо внутреннюю винтовую нарезку (резьбу) и снабжены огранёнными поверхностями для захвата гаечным ключом. Болт – длинный цилиндр с головкой и наружной резьбой. Проходит сквозь соединяемые детали и затягивается гайкой – деталью с резьбовым отверстием. Винт – внешне не отличается от болта, но завинчивается в резьбу одной из соединяемых деталей. Шпилька – винт без головки с резьбой на обоих концах. Рис. 8. Резьбовые соединения Резьбовые соединения различают по назначению на: • резьбы крепёжные (рис. 10) для фиксации деталей (основная – метрическая с треугольным профилем, трубная – треугольная со скруглёнными вершинами и впадинами, круглая, резьба винтов для дерева) должны обладать самоторможением для надёжной фиксации; • резьбы ходовые (рис. 9) для винтовых механизмов (прямоугольная, трапецеидальна симметричная, трапецеидальная несимметричная упорная) должны обладать малым трением для снижения потерь. а) б) в) Рис. 9 Резьбы ходовые: а – прямоугольная, б – трапецеидальная, в – упорная. а)б) в) г) Рис. 10. Резьбы крепежные: а – метрическая, б – трубная цилиндрическая, в – круглая, г – винты для дерева. Конструкции винтов и гаек весьма многообразны. Для малонагруженных и декоративных конструкций применяются винты и болты с коническими и сферическими головками (как у заклёпок), снабжёнными линейными или крестообразными углублениями для затяжки отвёрткой. Для соединения деревянных и пластмассовых деталей применяют шурупы и саморезы – винты со специальным заострённым хвостовиком. Рис. 11. Исполнения винтов Болты и гайки стандартизованы. В их обозначении указан наружный диаметр резьбы. Резьбовые соединения имеют ряд существенных достоинств: • высокая надёжность; • удобство сборки-разборки; • простота конструкции; • дешевизна (вследствие стандартизации); • технологичность; • возможность регулировки силы сжатия. Недостатки резьбовых соединений: • концентрация напряжений во впадинах резьбы; • низкая вибрационная стойкость (самоотвинчивание при вибрации). Это серьёзные недостатки, однако, их можно свести к минимуму и, практически, полностью исключить. Это делается посредством правильного проектировочного расчёта и специальных мер стопорения, называемых на техническом языке "контровка". Известны следующие виды стопорения: 1. Стопорение дополнительным трением, за счёт создания дополнительных сил трения, сохраняющихся при снятии с винта внешней нагрузки. Контргайка воспринимает основную осевую нагрузку, а сила трения и затяжки в резьбе основной гайки ослабляется. Необходима взаимная затяжка гаек. Самоконтрящиеся гайки с радиальным натягом резьбы после нарезания резьбы и пластического обжатия специальной шейки гайки на эллипс. Иногда самоконтрящиеся гайки выполняются с несколькими радиальными прорезями. Гайки с полиамидными кольцами без резьбы, которая нарезается винтом при завинчивании, обеспечивают большие силы трения. Применяют полиамидную пробку в винте. Контргайка цангового типа (слева) при навинчивании обжимается на конической поверхности. Контргайка арочного типа (справа) при навинчивании разгибается и расклинивает резьбу. Пружинные шайбы обеспечивают трение в резьбе. Повышают сцепление врезанием своих острых срезов. Изготавливаются для правой и левой резьбы. Создают некоторое смещение нагрузки. У пружинных шайб с несколькими отогнутыми усиками сила упругости направлена строго по оси болта. Стопорение пружинными шайбами ненадёжно. При спокойных нагрузках резьбы стопорят специальными винтами через медную или свинцовую прокладку или деформированием гайки с прорезями, перпендикулярными оси. 2. Стопорение специальными запирающими элементами, полностью исключающими самопроизвольный проворот гайки. Шплинты ГОСТ 397-79 сгибают из проволоки полукруглого сечения плоскими сторонами внутрь. Выпадению шплинта препятствуют его петля и разогнутые концы. Шайбы с лапками ГОСТ 11872-80 стопорят гайки со шлицами при регулировке подшипников качения на валу. Внутренний носик отгибается в канавку винта, а наружные лапки – в шлицы гайки. У шайб с лапками ГОСТ 3693/95-52 одна отгибается по грани гайки, а другая по грани детали. Стопорение такими шайбами, как и шплинтами, весьма надёжно и широко распространено. В групповых соединениях головки болтов обвязывают проволокой через отверстия с натяжением проволоки в сторону затяжки резьбы. 3. И, наконец, стопорение может выполняться также пластическим деформированием или приваркой после затяжки. Винты и гайки обычно выполняются из Ст3, Ст4, Ст5, Ст35, Ст45. Наиболее напряжённые соединения из Ст40, 40ХН. Декоративные винты и гайки выполняются из цветных металлов и пластмасс. Выбор материалов, как и всех параметров резьбовых соединений, определяется расчётом на прочность. Соединение деталей с натягом Соединение двух деталей по круговой цилиндрической поверхности можно осуществить непосредственно без применения болтов, шпонок и т. д. Для этого достаточно при изготовлении деталей обеспечить натяг посадки, а при сборке запрессовать одну деталь в другую (рис.12) Рис.12 Натягом N называют положительную разность диаметров вала и отверстия до сборки: После сборки соединения на сопрягаемых контактных поверхностях деталей вследствие упругих деформаций возникает давление р и соответствующее ему трение, обеспечивающее необходимую неподвижность сопрягаемых деталей соединения. Разность между размерами отверстия и вала и определяют характер соединения - так называемую посадку, то есть большую или меньшую свободу перемещения одной детали относительно другой или степени их неподвижности. Если размер отверстия больше размера вала, то положительная разность между этими размерами называется зазором (S). Если размер вала до сборки больше размера отверстий, то положительная разность между этими размерами называется натягом (N). Сборка двух деталей любого соединения с натягом может осуществляться: запрессовкой, нагреванием охватывающей детали (ступицы), охлаждением охватываемой детали (вала). Надежность и прочность соединения зависят от размера натяга, устанавливаемого конструктором в соответствии с характером и значением передаваемой нагрузки: давление р и соответствующие ему силы трения и моменты трения должны быть больше внешних сдвигающихся сил и моментов ( – среднее давление). Шпоночные соединения Передают вращающий момент между валом и колесом. Образуются посредством шпонки, установленной в сопряжённые пазы вала и колеса. Шпонки применяются для подвижного или неподвижного соединения деталей типа шкивов, маховиков, зубчатых колес и т. д. с валом или осью. В таких соединениях часть шпонки входит в паз вала, а часть в паз ступицы колеса (рис. 13). Формы и размеры шпонок определяются стандартами и зависят от диаметра вала и условий эксплуатации соединения деталей. Обычно шпонки представляют собой детали призматической, сегментной или клиновидной формы (рис. 13). Наибольшее распространение имеют призматические шпонки. Передача вращения от вала колес (или наоборот) производится рабочими боковыми гранями шпонки. При этом между пазом ступицы колеса и верхней гранью шпонки должен быть небольшой зазор (рис. 13, а). Сегментные шпонки (рис. 13, б) применяются для соединения с валом деталей, имеющих сравнительно короткие ступицы. Рабочими поверхностями у сегментных шпонок, как и у призматических, являются боковые грани. Клиновые шпонки применяются для образования неподвижного соединения вала с колесом (рис. 13, в). При этом рабочими поверхностями являются верхняя и нижняя грани клиновой шпонки. Рис. 13. Шпоночные соединения Достоинства: • просты, надёжны; • удобны в сборке-разборке; • дёшевы. Недостатки: • ослабляют сечение валов и ступиц колёс; • концентрируют напряжения в углах пазов; • нарушают центрирование колеса на валу (для этого приходится применять две противоположные шпонки). Шпоночные соединения могут быть: • ненапряжёнными, выполняемыми призматическими или сегментными шпонками (рис.16). Они передают момент только боковыми гранями; • напряжёнными, выполняемыми клиновыми шпонками. Они передают момент за счёт сил трения по верхним и нижним граням. Наибольшее распространение получили ненапряженные шпоночные соединения. В напряженных - клиновых шпоночных соединениях, осуществляется радиальный натяг за счет клинообразной формы шпонки, который воспринимает значительную часть окружного усилия. Однако эти шпоночные соединения создают смещение ступицы относительно оси вала, следствием чего является дисбаланс вращающихся деталей. Поэтому такие шпонки в настоящее время применяются сравнительно редко, а в точном машиностроении совершенно не используются. Призматические и сегментные шпонки стандартизованы и подбираются по таблицам ГОСТ в зависимости от диаметра вала. Длина шпонок рассчитывается. Материал шпонок - Ст. 45, Ст. 50, для призматических шпонок - чистотянутая по профилю. Как правило, применяют лишь одну шпонку вследствие трудности пригонки нескольких (не более двух). Шпонки всех основных типов стандартизованы. Для призматических шпонок стандарт указывает ширину и высоту сечения. Глубина шпоночного паза в валу принимается как 0,6 от высоты шпонки. Зубчатые (шлицевые) соединения Образуются выступами на валу, входящими в сопряжённые пазы ступицы колеса. Шлицевые соединения можно рассматривать как многошпоночные, в которых шпонки как бы изготовлены заодно с валом. В последние годы, в связи с общим повышением напряжений в деталях машин, шлицевые соединения получили самое широкое распространение взамен шпонок. В сравнении со шпоночными шлицевые соединения имеют большую нагрузочную способность, лучше центрируют соединение и меньше ослабляют вал. Рис. 14. Виды шлицов По профилю различают следующие шлицевые соединения (рис. 14): • прямобочные (а) - число шлиц Z = 6, 8, 10, 12; • звольвентные (б)- число шлиц Z = 12, 16 и более; • треугольные (в) - число шлиц Z = 24, 36 и более. В основном используются прямобочные шлицы (а), реже встречаются эвольвентные (б) ГОСТ 6033-57 и треугольные (в) профили шлицов. Прямобочные шлицы могут центрировать колесо по боковым поверхностям (а), по наружным поверхностям (б), по внутренним поверхностям (в). Шлицевые соединения применяются с центрированием ступицы по валу (рис. 15): а) по боковым граням; б) по наружному диаметру; в) по внутреннему диаметру. Рис. 15. Центрирование шлицов В сравнении со шпонками шлицы имею достоинства: • имеют большую несущую способность; • лучше центрируют колесо на валу; • усиливают сечение вала за счёт большего момента инерции ребристого сечения по сравнению с круглым; Недостаток: требуют специального оборудования для изготовления отверстий. Основными критериями работоспособности шлицов являются: • сопротивление боковых поверхностей смятию (расчёт аналогичен шпонкам); • сопротивление износу при фреттинг-коррозии (малые взаимные вибрационные перемещения). Штифтовые соединения Образуются совместным сверлением соединяемых деталей и установкой в отверстие с натягом специальных цилиндрических или конических штифтов (рис.16). Рис.16. Штифтовые соединения Соединения предназначены для точного взаимного фиксирования деталей, а также для передачи небольших нагрузок. Конструкции штифтов многообразны (рис.16). Известны цилиндрические (а,б), конические (в,г,д), цилиндрические пружинные разрезные (е), просечённые цилиндрические, конические и др. (ж,з,и,к), простые, забиваемые в отверстия (б,в), выбиваемые из сквозных отверстий с другой стороны (гладкие, с насечками и канавками, пружинные, вальцованные из ленты, снабжённые резьбой для закрепления или извлечения (д) и т.д. Применяются специальные срезаемые штифты, служащие предохранителями. Рис. 17. Конструкции штифтов Гладкие штифты выполняют из стали 45 и А12, штифты с канавками и пружинные – из пружинной стали. При закреплении колёс на валу штифты передают как вращающий момент, так и осевое усилие. Достоинства штифтовых соединений: • простота конструкции; • простота монтажа-демонтажа; • точное центрирование деталей благодаря посадке с натягом; • работа в роли предохранителя, особенно при креплении колёс к валу. Недостатком штифтовых соединений является ослабление соединяемых деталей отверстием. Клеммовые соединения • Клеммовые соединения применяют для закрепления на осях, валах, стойках, штангах различных устройств (рычагов, разъемных муфти шкивов и т. д.) за счет сил трения (без шпонок, шлицев или установочных винтов). Один из примеров клеммового соединения (закрепление рычага на валу) изображен на рис. 18. Рис. 18. Закрепление рычага на валу с применением клеммового соединения. По конструктивным признакам различают два основных типа клеммовых соединений: а) со ступицей, имеющей прорезь (рис. 18, а); б) с разъемной ступицей (рис.18, б). Разъемная ступица несколько увеличивает массу и стоимость соединения, но при этом становится возможным устанавливать клемму в любой части вала независимо от формы соседних участков и других расположенных на валу деталей. При соединении деталей с помощью клемм используют силы трения, которые возникают от затяжки болтов. Эти силы трения позволяют нагружать соединение как моментом (T=Fl), так и осевой силой Fа. Ранее отмечалось, что передача нагрузки только силами трения недостаточно надежна. Поэтому не рекомендуют применять клеммовые соединения для передачи больших нагрузок. Преимущество клеммового соединения заключается в том, что можно закрепить деталь в любом месте оси, вала и т. д. Неподвижность клеммового соединения обеспечивается силами трения, возникающими на сопрягаемых поверхностях при затяжке болтов. Профильные соединения Под профильными (бесшпоночными) соединениями понимают такие соединения, у которых втулка сажается на круглую (фасонную) поверхность вала без шпонок и замещающих их зубьев. Профильные соединения применяют для передачи вращающего момента от вала к ступице. В профильных соединениях контакт вала и ступицы осуществляется по некруглой поверхности. Профильные соединения имеют в поперечном к оси соединения сечении плавный некруглый профиль поверхности контакта вала и ступицы; чаще применяют равноосные соединения треугольного профиля. Применяемый профиль обладает свойством равноосности — постоянством диаметрального размера. Профильные соединения в осевом направлении могут быть цилиндрическими или коническими. Рис.19. Профильное соединение Рекомендуемая литература а) Основная: 1. В.Н. Тарасов, И.В. Бояркина, М.В. Коваленко, Н.П. Федорченко, Н.И. Фисенко. Теоретическая механика. – М.: Издательство «ТрансЛит», 2012, 560с. 2. М.Х. Ахметзянов, И.Б. Лазарев. Сопротивление материалов – учебник для бакалавриатов. – М.: Юрайт, 2013, 300 с. 3. Сопротивление материалов – учебник для студ. учреждений высш. проф.образования./ А.Г. Схиртладзе, Б.В. Романовский, В.В. Волков, А.Н. Потемкин – М.: Издательский центр «Академия», 2012, 416 с. 4. П.Ф. Дунаев, О.П. Леликов Детали машин. Курсовое проектирование. - М: Машиностроение, 2013. - 560 с.