Поверхности вращения и переноса

4. Поверхности вращения и переноса Поверхности могут быть заданы графически (двумя проекциями) и аналитически (уравнением). Кинематические поверхности формируются непрерывным движением в пространстве некоторой линии по определенной траектории. На любой кинематической поверхности можно выделить два вида линий: образующие и направляющие. Направляющие и образующие обладают следующим свойством: линии одного вида не пересекаются между собой, но каждая линия одного вида пересекает все линии другого. Следовательно, всякую поверхность можно представить как перемещение образующей по направляющей. В энциклопедии [9] описано 500 видов поверхностей. Наибольшее распространение в технике получили поверхности вращения и переноса. Это объясняется тем, что многие из них обрабатываются на металлорежущих токарных, карусельных, фрезерных и шлифовальных станках. Параметрическая модель любой поверхности p(t, τ) изображается параметрическими линиями p(ti, τ) и p(t, τj), которые образуют на ней каркас. Алгоритм его построения:  задаются целые числа n и m, определяющие размеры ячейки сетки: i = 0…n, j = 0…m;  выполняется разбиение диапазона параметров ti = {t0, t1,…tn} и τj = {τ0, τ1,…τm};  строятся продольные p(t, τj) и поперечные линии p(ti, τ). Важнейшее значение при конструировании поверхностей имеет правильный выбор кинематических элементов. В зависимости от характера движения образующей, поверхность можно получить ее вращением вокруг координатной оси (поверхности вращения), переносом вдоль направляющей линии (поверхности переноса) или комбинированием элементарных преобразований (пример – винтовые поверхности). Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо линии вокруг некоторой прямой i (оси вращения) (рис. 28). В зависимости от формы образующей поверхности могут быть линейчатыми (образующая – прямая) или не линейчатыми (образующая – кривая). Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность вращения по линиям, называемым меридианами. Главный меридиан, расположен в плоскости параллельной картинной плоскости, и проецируется на неѐ без искажений. Плоскости, ортогональные оси вращения, пересекают поверхность по параллелям. Наибольшая и наименьшая параллели называются соответственно экватором и горлом. Проекциями параллелей на плоскость проекций будут окружности, которые проецируются на неѐ без искажения. В табл. 6 приведены поверхности, образованные вращением прямой и кривыми второго порядка (кониками) вокруг оси вращения. Рис. 28. Поверхность вращения Таблица 6 Поверхности вращения Образующая Прямая, параллельная оси координат Прямая, пересекающая ось координат Прямая, скрещивающаяся с осью координат Дуга окружности Окружность, отстоящая от оси Половина эллипса Одна ветвь гиперболы Две ветви гиперболы Одна ветвь параболы Поверхность Круговой цилиндр Круговой конус Однополостный гиперболоид Сфера Круговой тор Круговой эллипсоид Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Круговой параболоид Поверхности вращения обладают некоторыми важными свойствами, используемыми при конструировании деталей различных машин и механизмов. Например, поверхность может сдвигаться без деформации вдоль самой себя при вращении вокруг оси. Меридиан поверхности вращения является кратчайшей (или геодезической) линией поверхности. Простейшими поверхностями вращения являются поверхности второго порядка (квадрики): сфера, круглый прямой цилиндр и конус, рис. 29. Рис. 29. Круговой цилиндр, сфера и круговой конус Кинематическая поверхность вращения вокруг координатной оси описывается моделью [5]: p(t, τ) = po(τ) R(t), τн ≤ τ ≤ τк, 0 ≤ t ≤ 2π, (6) где po(τ) – параметрическое уравнение образующей линии; R(t) – матрица вращения вокруг оси; τн – начальное значение параметра; τк – конечное значение параметра. Круговой цилиндр. Построение боковой поверхности кругового цилиндра с радиусом оснований r и высотой h, например, можно создать вращением образующей прямой вокруг одной из осей координат на угол 360° (рис. 29). Выполним вращение вокруг оси y. Подставим в формулу (6) уравнение образующей po(τ) = [r τ 0] и матрицу вращения Ry(t). Получим кинематическую модель круглого цилиндра: p(t, τ) = [r cos(t) τ -r sin(t)], 0 ≤τ ≤ H, 0 ≤ t ≤ 2π. Сфера. Поскольку сфера симметричная поверхность, получить сферу можно путем поворота дуги окружности радиуса r вокруг осей координат x, y или z, проходящих через центр сферы на угол 360° (рис. 29). В качестве примера выполним вращение вокруг оси z. Кинематическая модель сферы p(t, τ) = pо(τ) Rz(t), где pо(τ) = r [sin(τ) 0 cos(τ)] – образующая полуокружность с центром в начале координат, принадлежащая плоскости xz; Rz(t) – матрица вращения вокруг оси z. Найдем модель сферы p(t, τ) = r [sin(τ) cos(t) sin(τ) sin(t) cos(τ)], 0 ≤τ ≤ π, 0 ≤ t ≤ 2π. Круговой конус. Боковую поверхность прямого кругового конуса с радиусом основания r и высотой h можно построить вращением прямой (образующей), пересекающей ось координат, на угол 360°вокруг одной из осей (рис. 29). Кинематическая модель поверхности, описывается функцией p(t, τ) = pо(τ) Ry(t), где po(τ) = [r(1-τ) h τ 0] – параметрическое уравнение прямой в отрезках, принадлежащей плоскости xy; – матрица вращения вокруг оси y. Получим p(t, τ) = [r(1-τ) cos(t) h τ -r(1-τ) sin(t)], 0 ≤τ ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2π. Тор. Тор образуется вращением образующей линии (окружности, эллипса или дуги) радиуса r вокруг оси координат радиусом R ≠ 0, расположенной в плоскости этой линии (рис. 30). Произвольная прямая пересекает тор в общем случае в четырех точках, следовательно, это поверхность четвертого порядка. В зависимости от соотношения радиусов r и R получаются открытый (кольцо) (r < R), закрытый (r = R) и самопересекающийся (r > R) торы. Форму тора имеют обода маховиков и шкивов, галтели, создаваемые с целью уменьшения напряжений в месте перехода. Пример. Окружность pо(τ) = r [sin(τ) cos(τ) 0] + [R 0 0] = r [sin(τ) + R/r rcos(τ) 0] радиуса r смещенная в плоскости xy вдоль оси x на величину R, вращается вокруг оси y. Используя формулу (6), найдем уравнение поверхности тора p(t, τ) = r [(sin(τ)+R/r) cos(t) cos(τ) -(sin(τ)+R/r) sin(t)], 0 ≤τ ≤ 2π, 0 ≤ t ≤ 2π. а) r < R б) r = R в) r > R Рис. 30. Торы: а – открытый; б – закрытый; в – самопересекающийся Однополостный гиперболоид. Однополостный гиперболоид вращения образуется при вращении одной ветви гиперболы вокруг еѐ мнимой оси (рис. 31, а) или прямой вокруг оси, скрещивающейся с ней (рис. 31, б). Параллелью такой поверхности будет окружность, а меридианом – гипербола. а) б) в) Рис. 31. Способы образования однополостного (а и б) и двуполостного (в) гиперболоидов Рассмотрим подробнее образование гиперболоидов (рис. 31). Гиперболу, принадлежащую плоскости xy pо(τ) = [ach(τ) bsh(τ) 0], повернем вокруг оси y (рис. 31, а). По формуле (6) найдем кинематическую модель поверхности (рис. 32) p(t, τ) = [ach(τ) cos(t) bsh(τ) -ach(τ) sin(t)], - ≤τ ≤ , 0 ≤ t ≤ 2π. При вращении прямой pо(τ) = [R (1-τ) hτ rτ] вокруг оси y (рис. 31, б) получим кинематическую модель однополостного гиперболоида высотой h с разными радиусами нижнего R и верхнего r оснований (рис. 31, б): p(t, τ) = [R (1-τ) hτ rτ] Ry(t) = [R (1-τ)cos(t) + rτ sin(t) hτ -R(1-τ)sin(t)+r τ cos(t)], 0 ≤τ ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2π. Если R = r (рис. 32), то p(t, τ) = r [(1-τ)cos(t) + τ sin(t) h/r τ (1-τ)sin(t)+τ cos(t)]. а) б) в) Рис. 32. Гиперболоиды: а и б – однополостные; в – двуполостные Двуполостный гиперболоид . Поверхность может быть получена вращением гиперболы pо(τ) = [bsh(τ) ach(τ) 0], принадлежащей плоскости xy, вокруг еѐ действительной оси y (рис. 31, в). Запишем кинематическую модель двуполостного гиперболоида (рис. 32) p(t, τ) = [bsh(τ) ach(τ) 0] Ry(t) = [bsh(τ) cos(t) ach(τ) -bsh(τ)sin(t)], 0 ≤τ ≤ , 0 ≤ t ≤ 2π. Идея применить однополостный гиперболоид вращения была использована русским инженером В. Г. Шуховым при строительстве Шуховской мачты в Москве, состоящей из шести секций, высотой по 25 м. а) б) Рис. 33. Шуховская мачта и еѐ геометрическая модель При вращении прямой pо(τ) = [R (1-τ) hτ r τ] вокруг оси y получим кинематическую модель самого нижнего однополостного гиперболоида высотой h с радиусами нижнего R и верхнего r оснований: pi(t, τ) = [R (1-τ)cos(t) + rτ sin(t) hτ R(τ-1)sin(t)+r τ cos(t)], 0 ≤τ ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2π, i = 1. Каждая следующая секция строится преобразованиями масштабирования и переноса предыдущей секции. pi+1(t, τ) = pi(t, τ) + [dx dy dz], 0 ≤τ ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2π, 1 ≤ i ≤ 5, где sx = sz = 0,833, sy = 1 – принятые коэффициенты масштабирования вдоль осей; dx = dz = 0, dy = 25 – перемещения вдоль осей координат; i – номер секции. Эллипсоид вращения. Каноническое уравнение эллипсоида с центром в начале координат (x/a)2+ (y/b)2+ (z/c)2 = 1, где a, b и c – полуоси (a > 0, b > 0 и c > 0). Если a ≠ b ≠ c, то эллипсоид будет трехосным. В случае, если какиелибо два коэффициента равны друг другу, то получается эллипсоид вращения. При a = b = c эллипсоид превращается в сферу. Точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии – центром эллипсоида. Эллипсоид вращения (сфероид) может быть получен вращением половины эллипса вокруг одной из его осей (рис. 34, а). Образующая – эллипс с центром в начале координат pо(τ) = [asin(τ) bcos(τ) 0] xy вращается вокруг оси y. В этом случае получим модель поверхности p(t, τ) = [asin(τ) cos(t) b cos(τ) - asin(τ) sin(t)], 0 ≤τ ≤ π, 0 ≤ t ≤ 2π. Произвольный эллипсоид, у которого a ≠ b ≠ c и a ≠ c, получается равномерным сжатием или растяжением сферы вдоль трех взаимно перпендикулярных осей (рис. 34, б). Уравнение поверхности трехосного эллипсоида p(t, τ) = p(t, τ) S(t), где p(t, τ) = r [sin(τ) cos(t) cos(τ) -sin(τ) sin(t)] – кинематическая поверхность сферы радиуса r; – матрица масштабирования, sx = a/r – коэффициент масштабирования вдоль оси x; sy = b/r – коэффициент масштабирования вдоль оси y; sz = c/r – коэффициент масштабирования вдоль оси z. Получим p(t, τ) = r [sin(τ) cos(t) cos(τ) -sin(τ) sin(t)] = = r [sin(τ) cos(t) sx cos(τ) sy -sin(τ) sin(t) sz] = = [a sin(τ) cos(t) b cos(τ) -c sin(τ) sin(t)]. а) б) Рис. 34. Эллипсоиды: а – сфероид; в – трехосный (после деформирования сферы: sx = 1,5; sy = 1; sz = 0.5) Круговой параболоид. Круговой параболоид образуется вращением одной ветви параболы с центром в начале координат, принадлежащей плоскости xy вокруг своей оси (рис. 35). Кинематическая модель параболоида p(t, τ) = pо(t, τ) Ry(t) = [aτ bτ2 0] Ry(t) = = [aτ cos(t) bτ2 - aτ sin(t)], 0 ≤τ ≤ , 0 ≤ t ≤ 2π. Рис. 35. Круглый параболоид Многие поверхности вращения, линейчатые поверхности (конические и цилиндрические) могут быть получены как вращением, так и переносом образующей. Кинематическая модель поверхности переноса (заметания, экструзии) образуется движением образующей вдоль направляющей [5]: (7) где po(τ) – параметрическое уравнение образующей линии с базовой точкой в начале координат; pн(t) – параметрическое уравнение направляющей; tн – начальное значение параметра; tк – конечное значение параметра. Рассмотренная ранее боковая поверхность кругового цилиндра может быть образована движением образующей прямой po(τ)=[0 τ 0] по кругу Та же поверхность получается, если перенести центр образующей окружности по направлению y на расстояние H: Цилиндрические поверхности могут быть получены переносом прямой по направляющей линии pн(t) параллельно прямой S (рис. 36). Например, боковая поверхность эллиптического цилиндра, ориентированного вдоль оси y с полуосями a, b и высотой , получается движением образующей прямой po(τ) = [0 τ 0] y по эллиптической траектории pн(t) = [a cos(t) 0 -b sin(t)] xz: p(t, τ) = [a cos(t) τ -b sin(t)], 0 ≤τ ≤ H, 0 ≤ t ≤ 2π. Рис. 36. Образование цилиндрической поверхности В качестве направляющей может быть любая плоская кривая: эллипс, спираль, циклическая кривая, гипербола, парабола и т. п. (рис. 37). Нетрудно установить, что поменяв местами в формуле (7) слагаемые, можно сформировать одну и ту же цилиндрическую поверхность. а) б) в) г) д) е) ж) з) и) Рис. 37. Цилиндрические поверхности с направляющими: а – эллипс; б – спираль; в – циклическая кривая; с – парабола; д – гипербола; е – астроида; ж – кардиоида; з – кривая с r(t) = 4 + sin(3t); и – кривая с r(t) = 4 + sin(6t) Коническая поверхность (рис. 38) образуется переносом прямой линии (образующей), проходящей через неподвижную вершину точку О и последовательно через все точки направляющей pн(t) (окружность, эллипс, гиперболы и т. п). Запишем два уравнения образующей: – p(t) = O - pн(t) – вершина над или перед направляющей; – p(t) = pн(t) - O – вершина под или за направляющей. Получим соответствующие модели поверхностей: p(t, τ) = (O - pн(t)) τ и p(t, τ) = (pн(t) - O) τ. а) б) Рис. 38. Коническая поверхность: а – вершина О над или перед направляющей; б – вершина О под или за направляющей а) б) в) г) д) е) Рис. 39. Конические поверхности с направляющими: а – спираль; б и в – циклические кривые; г – кардиоида; д – кривая с r(t) = 4 + sin(3t); е – кривая с r(t) = 4 + sin(6t) Контрольные вопросы : 1. Как образуется кинематическая поверхность. 2. Как формируется поверхность вращения. 3. Напишите параметрическую модель поверхности вращения. 4. Назовите несколько поверхностей вращения. 5. Как образуются поверхность переноса. 6. Что такое линейчатая поверхность. 7. Напишите параметрическую модель поверхности переноса. 8. Назовите несколько поверхностей переноса. 9. Напишите параметрическую модель сферы. 10. Напишите параметрическую модель кругового цилиндра. 11. Напишите параметрическую модель кругового конуса. 12. Как из сферы получить трехосный эллипсоид. 13. Какие поверхности называются квадриками. 14. Перечислите два способа получения цилиндрической поверхности.