Поверхности вращения

5.2 Поверхности вращения В начертательной геометрии поверхность определяется как совокупность последовательных положений линии перемещающейся в пространстве по определенному закону. Линию, производящую поверхность, в каждом ее положении называют образующей. На рис. 1 изображенная поверхность образуется движением прямой образующей L1L2, по кривой направляющей t1 t2 t3. При перемещении  L1L2,  остаётся постоянно параллельной заданному направлению S.                                                            Поверхность вращения -это поверхность, которая образуетсявращением какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой – оси поверхности (рис.2)                                                                                                                                                                       Рис.1                                                                      Рис.2    На рис. 2 показана поверхность вращения, где кривая abc– образующая, прямая i - ось, расположенная в одной плоскости с abc. Каждая точка образующей описывает окружность. Такие окружности называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором, наименьшую – горлом поверхности. ПлоскостьW, проходящую через ось поверхности вращения и параллельную одной из плоскостей проекций называют главной меридиональной плоскостью, а линию по которой она пересекает поверхность – главным меридианом (abc).Точка пересечения меридиана поверхности вращения с осью называется вершиной поверхности вращения. Цилиндр вращения - это часть цилиндрической поверхности ограниченной поверхностью вращения и заключенной между двумя плоскими сечениями(основаниями).Конус вращения – это часть конической поверхности ограниченной поверхностью вращения и заключенной между вершиной и плоским сечением (основанием) (рис.3).                                                                                                                                                                                                                                                                       Рис. 3. Цилиндр и конус вращения   При задании поверхности вращения на эпюре указывают проекции её оси, главного меридиана и экватора (рис. 4).С точки зрения изображения целесообразным является условие перпендикулярности оси поверхности вращения плоскостям проекций П1, П2, П3.                                                                                                                                            Рис. 4. Изображение цилиндра и конусана эпюре Монжа Пересечение поверхностей вращения проецирующей плоскостью При построении линии пересечения кривой поверхности с проецирующей плоскостью исходим из следующего: - одна проекция искомой линии пересечения (в приведенном примере фронтальная совпадает со следом плоскости); - остальные проекции линии пересечения находим, решая задачу о построении недостающих проекций точек, лежащих на поверхности. При этом, выбирая точки, включаем в их число характерные точки:а) точки на очерковой линии; б) точки – границы видимости; в) при соединении точек учитываем характер кривой (вогнутость, выпуклость).  Возможные случаи пересечения прямого кругового цилиндра проецирующими плоскостями  Любая плоскость пересекает поверхность прямого кругового цилиндра: 1.По окружности, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра (Рис.5,а); 2.По двум образующим, если плоскость параллельна оси цилиндра и отстоит от нее на расстоянии L, которое меньше радиуса r цилиндра (Рис.5,б); 3.По эллипсу, если плоскость произвольно наклонена к оси цилиндра (Рис.5,в).                                                                                                    а                             б                                          в Рис.5.Пересечение цилиндра проецирующими плоскостями Третий случай пересечения цилиндра рассмотрим подробнее. Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости П1. Следовательно, все точки цилиндрической поверхности и линия ее пересечения с проецирующей плоскостью проецируются на П1в окружность. На ней отмечают горизонтальные проекции точек1, 2, 3, 4, 5. По фронтальным и горизонтальным проекциям характерных точек находим их профильные проекции. Профильная проекция линии пересечения цилиндра с проецирующей плоскостью – эллипс. Возможные случаи пересечения прямого кругового конуса проецирующими плоскостями  При пересечении прямого кругового конуса плоскостью получаются следующие плоские сечения:  1.    Окружность– если секущая плоскость параллельна основанию конуса (Рис.6,а). 2.    Треугольник– если секущая плоскость проходит через вершину конуса (Рис.6,б). 3.    Парабола– если секущая плоскость параллельна одной образующей (Рис.6,в). 4.    Ветвь гиперболы– если секущая плоскость перпендикулярна основанию (Рис.6,г). 5.    Эллипс– если секущая плоскость пересекает все образующие (Рис.6,д)                                                                                                                                                                                                                                                а                                 б                              в                              г                                 д Рис.6. Случаи пересечения прямого кругового конуса проецирующими плоскостями   Построение развёрток цилиндра и конуса   На рис.7 показано построение развертки боковой поверхности усеченного цилиндра. Эта боковая поверхность цилиндра в развернутом состоянии является прямоугольником, основание которого равно длине окружности (πD), а высота – образующей цилиндра (L).                   Рис.7. Построение развёртки боковой поверхности прямого кругового цилиндра При построении развёртки боковой поверхности прямого кругового конуса необходимо соблюдать ту же последовательность действий, что и при построении развертки боковой поверхности правильной четырехгранной пирамиды, но полученные точки на развертке соединяем не ломаной линией, а плавной кривой (Рис.8).                 Рис.8. Построение развёртки боковой поверхности прямого кругового конуса