Поверхности в пространстве

íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ÉÍ.î.ü.âÁÕÍÁÎÁ æÁËÕÌØÔÅÔ ¥æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÎÁÕËÉ¥ ëÁÆÅÄÒÁ ¥ðÒÉËÌÁÄÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ¥ èÏÒØËÏ×Á î.ç. üÌÅÍÅÎÔÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉÊ íÏÓË×Á 2014 ïçìá÷ìåîéå 2 ïÇÌÁ×ÌÅÎÉÅ 1 ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ 2 çÌÁÄËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å 2.1 ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å . . . . 2.2 ðÒÉÍÅÒÙ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 òÅÇÕÌÑÒÎÙÅ É ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 çÌÁÄËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 ëÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ É ÎÏÒÍÁÌØ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ëÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 úÁÍÅÎÁ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ (ÒÅÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . 5 7 7 8 13 14 14 16 17 18 3 ðÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 3.1 úÁÄÁÞÁ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÄÌÉÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . 3.2 ðÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . 3.3 ðÒÉÍÅÒÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 óËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å . 3.5 ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . 3.6 õÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÒÉ×ÙÍÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . 3.7 ðÌÏÝÁÄØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 ÷ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . 20 20 21 4 ÷ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 4.1 ÷ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . 4.2 ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÒÉÃÙ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . 4.3 ðÒÉÍÅÒÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 30 î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 23 24 26 26 27 28 32 32 ïçìá÷ìåîéå 4.4 3 çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 óÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÊÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 5.1 ëÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÑ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . 5.2 óÐÅÃÉÁÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ . . . . . . . . . . . . . . 5.3 óÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÊÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . 36 36 37 38 6 ëÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 6.1 ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 6.2 îÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ôÅÏÒÅÍÁ íÅÎØÅ . . . 41 41 42 5 7 çÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 44 7.1 7.2 7.3 üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. çÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ðÒÉÍÅÒÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . æÏÒÍÕÌÁ üÊÌÅÒÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 46 47 8 çÁÕÓÓÏ×Á É ÓÒÅÄÎÑÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 8.1 óÒÅÄÎÑÑ É ÇÁÕÓÓÏ×Á ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . 8.2 æÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ É ÓÒÅÄÎÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 ëÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÑ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÏ ÚÎÁËÕ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 íÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 48 9 ìÉÎÉÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ 9.1 õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 çÌÁ×ÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . 52 52 54 10 áÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 56 11 çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 11.1 îÏÒÍÁÌØÎÁÑ É ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 æÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ . . . . . . 11.3 çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 49 50 50 59 60 62 ïçìá÷ìåîéå 4 11.4 ðÒÉÍÅÒÙ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 12 ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ 12.1 äÅÒÉ×ÁÃÉÏÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ËÁË ÏÂßÅËÔÙ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ . . . 12.3 ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ çÁÕÓÓÁ É ðÅÔÅÒÓÏÎÁ-íÁÊÎÁÒÄÉ-ëÏÄÁÃÃÉ . . . . . . . . . 12.4 ôÅÏÒÅÍÁ âÏÎÎÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 66 69 13 úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ óÐÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ 73 î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 70 71 1 1 ðòåäéóìï÷éå 5 ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ðÒÅÄÌÁÇÁÅÍÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÕÞÅÂÎÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÃÅÌØÀ ÏÂÅÓÐÅÞÉÔØ ÕÞÅÂÎÏ-ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍÉ ÍÏÄÕÌØ ¥ëÒÉ×ÙÅ É ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å¥ ÄÉÓÃÉÐÌÉÎ ¥äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ¥ É ¥äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ É ÏÓÎÏ×Ù ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ¥, ÉÚÕÞÁÅÍÙÈ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ ¥ðÒÉËÌÁÄÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ¥ É ¥ôÅÈÎÉÞÅÓËÁÑ ÆÉÚÉËÁ¥ íçôõ ÉÍ. î.ü.âÁÕÍÁÎÁ. éÚÄÁÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÐÏÓÏÂÉÑ [21] É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å × ÏÂß¾ÍÅ, ÐÒÅÄÕÓÍÏÔÒÅÎÎÏÍ ÕÞÅÂÎÏÊ ÐÒÏÇÒÁÍÍÏÊ. ÷ÙÂÏÒ ÔÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÌÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÎÏÇÏÌÅÔÎÅÇÏ ÐÒÅÐÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÄÁÎÎÏÊ ÄÉÓÃÉÐÌÉÎÙ × íçôõ ÉÍ. î.ü.âÁÕÍÁÎÁ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÐÏÖÅÌÁÎÉÊ ÐÒÅÐÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ, ÞÉÔÁÀÝÉÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÕÒÓÙ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÓÔÉ ¥ðÒÉËÌÁÄÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ¥, Á ÔÁËÖÅ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÔÅÍÁÔÉËÉ ËÕÒÓÏ×ÙÈ É ÄÉÐÌÏÍÎÙÈ ÐÒÏÅËÔÏ×. éÚÌÏÖÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÅÔÓÑ ÒÁÚÂÏÒÏÍ ÐÒÉÍÅÒÏ×, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÈ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ, É ÕÐÒÁÖÎÅÎÉÑÍÉ, ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÌÖÎÏ ÐÏÍÏÞØ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ × ÕÓ×ÏÅÎÉÉ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ. ÷ ËÏÎÃÅ ÐÏÓÏÂÉÑ ÐÒÉ×ÅÄÅÎ ÓÐÉÓÏË ÚÁÄÁÞ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÄÌÑ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÎÑÔÉÊ ÐÏ ÄÁÎÎÏÍÕ ÒÁÚÄÅÌÕ ËÕÒÓÁ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÍÅÌËÉÍ ÛÒÉÆÔÏÍ ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ É ÔÅÏÒÅÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ. ëÁÖÄÏÅ ÐÏÎÑÔÉÅ × ÍÅÓÔÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÙÄÅÌÅÎÏ ËÕÒÓÉ×ÏÍ. úÎÁÞÅÎÉÑ ÄÒÕÇÉÈ ÔÅÒÍÉÎÏ×, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÈ × ÐÏÓÏÂÉÉ, ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÓÔÕÄÅÎÔÕ ×ÔÏÒÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁ æî. þÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÎÁÊÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÏÇÏ ÉÌÉ ÉÎÏÇÏ ÐÏÎÑÔÉÑ × ÕÞÅÂÎÉËÁÈ ÓÅÒÉÉ ¥íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÔÅÈÎÉÞÅÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ¥, ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÐÒÅÄÍÅÔÎÙÍ ÕËÁÚÁÔÅÌÅÍ, ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍ × XXI ×ÙÐÕÓËÅ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÈ × ÐÏÓÏÂÉÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ××ÅÄÅÎÙ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÙÐÕÓËÁÈ ÄÁÎÎÏÊ ÓÅÒÉÉ. îÉÖÅ ÐÒÉ×ÅÄÅÎ ÓÐÉÓÏË ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÇÄÅ ÎÁÒÑÄÕ Ó ËÒÁÔËÏÊ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ËÏÊ ÄÁÎÙ ÓÓÙÌËÉ ÎÁ ×ÙÐÕÓËÉ ÓÅÒÉÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÉÈ ÂÏÌÅÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏÅ ÏÐÉÓÁÎÉÅ. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ Imf ¡ ÏÂÒÁÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÐÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f : X → Y X × Y ¡ ÄÅËÁÒÔÏ×Ï ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× X É Y I I î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 1 ðòåäéóìï÷éå 6 {x| P } ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P I f ◦ g ¡ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ (ÆÕÎËÃÉÊ) f É g I (⃗a, ⃗b) ¡ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ⃗a É ⃗b III ∥⃗a∥ ¡ ÄÌÉÎÁ ×ÅËÔÏÒÁ ⃗a III ⃗a × ⃗b ¡ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ⃗a É ⃗b III ⃗a ⃗b⃗c ¡ ÓÍÅÛÁÎÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ⃗a, ⃗b É ⃗c III ⃗r = x⃗i + y⃗j + z⃗k ¡ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒ ÔÏÞËÉ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á IR3 III AT ¡ ÍÁÔÒÉÃÁ, ÔÒÁÎÓÐÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ Ë ÍÁÔÒÉÃÅ A III Rg A ¡ ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉÃÙ A III E ¡ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ III dim L ¡ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L IV span {⃗ai } ¡ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× {⃗ai } IV ⃗r(t) ¡ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ t V C k (a, b) ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ (ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÉÌÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a, b) É ÉÍÅÀÝÉÈ ÎÁ ÜÔÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÄÏ ÐÏÒÑÄËÁ k ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ (ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÇÌÁÄËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ËÌÁÓÓÁ C k ) V Fx , Fy ,... Fxx , Fxy ,... ¡ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ É ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ V î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 2 7 çÌÁÄËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÉÄÙ ÕÒÁ×- ÎÅÎÉÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. ðÒÉÍÅÒÙ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. ìÉÎÅÊÞÁÔÙÅ, ÃÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÉÅ, ËÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. òÅÇÕÌÑÒÎÙÅ É ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. òÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. çÌÁÄËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ëÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ É ÎÏÒÍÁÌØ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ëÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. úÁÍÅÎÁ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ (ÒÅÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ). ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 2.1 ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÏÍ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÏÂßÅËÔÅ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ (ÓÍ. ÔÁËÖÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ × ÐÏÓÏÂÉÉ [21]). ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ S × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å IR3 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÂÒÁÚ ÏÂÌÁÓÔÉ D ⊆ IR2 ÐÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f : D → IR3 ËÌÁÓÓÁ C k , k ≥ 1. ïÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ S ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÒÁÚÎÙÍÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ f (É ÒÁÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÇÌÁÄËÏÓÔÉ C k ). ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ ËÌÁÓÓÁ C k × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å IR3 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÁÒÕ (S, f ), ÇÄÅ f : D → IR3 , f ∈ C k (D), D ⊆ IR2 ¡ ÏÂÌÁÓÔØ, S = Imf = f (D). ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÅÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S. åÓÌÉ (S, f ) ¡ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÔÏ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ S (× ÓÍÙÓÌÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 1) ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÀ f . îÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÏÂÌÁÓÔØ D, ××ÅÄÅÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (u, v), É ÐÕÓÔØ Oxyz ¡ ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å IR3 . òÉÓ.1 úÁÐÉÓØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f × ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (u, v) ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É (x, y, z) × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å IR3 ÄÁÅÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ:    x = x(u, v),   y = y(u, v),     z = z(u, v), (u, v) ∈ D. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 8 ðÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÐÉÓÁÎÙ × ×ÅËÔÏÒÎÏÊ ÆÏÒÍÅ: ⃗r = x(u, v)⃗i + y(u, v)⃗j + z(u, v)⃗k, (u, v) ∈ D. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÀÔ ÔÁËÖÅ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ ⃗r = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}, (u, v) ∈ D, ÉÌÉ    ⃗r =   x(u, v) y(u, v) z(u, v)    ,  (u, v) ∈ D. üÔÏ ÎÅ ×ÐÏÌÎÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ, ÔÁË ËÁË ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ É ÎÁÂÏÒ ÅÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÎÏ ÜÔÏÔ ×ÉÄ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÕÄÏÂÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ⃗r = ⃗r(u, v), (u, v) ∈ D, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ðÅÒÅÍÅÎÎÙÅ (u, v) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S. 2.2 òÉÓ.2 ðÒÉÍÅÒÙ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å 1. ðÌÏÓËÏÓÔØ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÌÏÓËÏÓÔØ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ P0 É ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÁÑ Ä×ÕÍ ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ ⃗a É ⃗b ÚÁÄÁÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ⃗r = ⃗r0 + ⃗au + ⃗bv, u, v ∈ IR, ÇÄÅ ⃗r0 ¡ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒ ÔÏÞËÉ P0 . òÉÓ.3 2. çÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ. ðÕÓÔØ × ÏÂÌÁÓÔÉ D ⊆ IR2 ÚÁÄÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÑ h(x, y) ∈ C k (D). çÒÁÆÉË ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï { } •h = (x, y, z) ∈ IR3 |(x, y) ∈ D, z = h(x, y) , ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å          9 x = u, y = v, z = h(u, v), (u, v) ∈ D, ÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ⃗r = {x, y, h(x, y)} , (x, y) ∈ D. (1) ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× (u, v) ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÚÑÔØ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ (x, y). òÉÓ.4 3. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ×ÒÁÝÅÎÉÑ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ S, ÐÏÌÕÞÁÅÍÁÑ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Oz ËÒÉ×ÏÊ γ, ÌÅÖÁÝÅÊ × ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Oxz É ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ   γ: x = ρ(u), z = z(u), u ∈ (a, b), ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÀ          x = ρ(u) cos v, y = ρ(u) sin v, z = z(u), u ∈ (a, b), v ∈ (α, β). ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÂÌÁÓÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ v ×ÚÑÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (α, β). åÓÌÉ β = α + 2π, ÔÏ ÉÚ ¥ÐÒÉ×ÙÞÎÏÊ¥ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÎÁÄÏ ×ÙÂÒÏÓÉÔØ ËÒÉ×ÕÀ γ, ÐÏ×ÅÒÎÕÔÕÀ ÎÁ ÕÇÏÌ α. åÓÌÉ |α −β| < 2π, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÞÁÓÔØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ |α − β| > 2π, ÔÏ ÒÁÚÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÂÕÄÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÏÄÎÉ É ÔÅ ÖÅ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. òÉÓ.5Á, õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÐÏÌÕÞÁÅÍÏÊ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = h(x) ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Ox. 4. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. óÏÓÔÁ×ÉÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. 2 2 2 Á) ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÀ ÜÌÌÉÐÓÏÉÄÁ x2 + y2 + z2 = 1 ÐÏÄÓËÁÖÕÔ ÆÏÒÍÕÌÙ, a b c Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù É ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å:          x = r cos θ cos φ, y = r cos θ sin φ, z = r sin θ, (2) úÁÍÅÎÉ× × ÔÒÅÈ ÆÏÒÍÕÌÁÈ (2) r ÎÁ a, b É c, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, θ ÎÁ u, φ ÎÁ v, ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÜÌÌÉÐÓÏÉÄÁ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å          x = a cos u cos v, y = b cos u sin v, z = c sin u, u ∈ (− π2 , π2 ), v ∈ (0, 2π), 10 (3) ÉÌÉ π π ⃗r = {a cos u cos v, b cos u sin v, c sin u}, u ∈ (− , ), v ∈ (0, 2π). 2 2 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× 2 2 2 y x u É v ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ f (D) ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÌÌÉÐÓÏÉÄÏÍ 2 + 2 + z2 = 1 ÂÅÚ a b c ÐÏÌÏ×ÉÎÙ ÜÌÌÉÐÓÁ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ ⃗r = {a cos u, 0, c sin u}, u ∈ [− π2 , π2 ]. 2 Â) ðÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÄÎÏÐÏÌÏÓÔÎÏÇÏ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄÁ x2 + a y 2 − z 2 = 1 ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (3) ÚÁÍÅÎÏÊ sin u É cos u ÎÁ ÓÏÏÔb 2 c2 ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ:          x = a ch u cos v, y = b ch u sin v, z = c sh u, u ∈ IR, v ∈ (0, 2π), (4) ÉÌÉ ⃗r = {a ch u cos v, b ch u sin v, c sh u}, u ∈ IR, v ∈ (0, 2π). 2 2 ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ f (D) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÐÏÌÏÓÔÎÙÍ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄÏÍ x2 + y2 − a b z 2 = 1 ÂÅÚ ×ÅÔ×É ÇÉÐÅÒÂÏÌÙ ⃗r = {a ch u, 0, c sh u}, u ∈ IR. c2 2 2 2 ×) ä×ÕÐÏÌÏÓÔÎÙÊ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄ x2 + y2 − z2 = −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÍ a b c ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ É ÚÁÄÁÔØ ÅÇÏ ÃÅÌÉËÏÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ ÎÅÌØÚÑ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ⃗r = {a sh u cos v, b sh u sin v, c ch u}, u > 0, v ∈ (0, 2π), (5) ÚÁÄÁÅÔ ×ÅÒÈÎÀÀ (z > 0) ÐÏÌÏÓÔØ ÂÅÚ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ ×ÅÔ×É ÇÉÐÅÒÂÏÌÙ ⃗r = {a sh u, 0, c ch u}, u ≥ 0. õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÉÖÎÅÊ ÐÏÌÏÓÔÉ Ä×ÕÐÏÌÏÓÔÎÏÇÏ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄÁ. 2 2 y x Ç) üÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÉÊ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ z = 2 + 2 , ÂÕÄÕÞÉ ÇÒÁÆÉËÏÍ ÆÕÎËa b ÃÉÉ, ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÀ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 11 x2 y 2 ⃗r = {x, y, 2 + 2 }, x, y ∈ IR. (6) a b üÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÉÊ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ⃗r = {au cos v, bu sin v, u2 }, u > 0, v ∈ (0, 2π). (7) 2 2 y x Ä) çÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ z = 2 − 2 ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ a b ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÉ: x2 y 2 ⃗r = {x, y, 2 − 2 }, x, y ∈ IR, a b (8) ⃗r = {au ch v, bu sh v, u2 }, u, v ∈ IR, (9) ⃗r = {a(u + v), b(u − v), 4uv}, u, v ∈ IR. (10) 2 2 2 Å) ëÏÎÕÓ x2 + y2 = z2 ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÀ: a b c ⃗r = {au cos v, bu sin v, cu}, u ∈ IR, v ∈ (0, 2π). (11) õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. ïÐÉÛÉÔÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ f (D) ÄÌÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÊ Ç) Å). 5. ìÉÎÅÊÞÁÔÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å IR3 ÚÁÄÁÎÁ ËÒÉ×ÁÑ γ : ⃗r = ρ⃗(t), t ∈ (a, b), É ÚÁÄÁÎÁ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÑ ⃗a(t), t ∈ (a, b). ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ρ⃗(t) ËÒÉ×ÏÊ γ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÁ ÐÒÑÍÁÑ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÁ ⃗a(t). óÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ ÐÒÑÍÙÈ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÌÉÎÅÊÞÁÔÕÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ (ÓÍ. ÒÉÓ.5). âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ, ÄÁÄÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ òÉÓ.6 ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ìÉÎÅÊÞÁÔÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å IR3 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ⃗r = ρ⃗(u) + v⃗a(u), u ∈ (a, b), v ∈ IR, (12) ÇÄÅ ρ⃗(u), ⃗a(u) ∈ C k (a, b) ¡ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÉ. ëÒÉ×ÁÑ γ : ⃗r = ρ⃗(t), t ∈ (a, b), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÌÉÎÅÊÞÁÔÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, Á ÐÒÑÍÙÅ ⃗r = ρ⃗(u0 ) + v⃗a(u0 ), v ∈ IR ¡ ÅÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 12 úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÌÉÎÅÊÞÁÔÕÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ, ×ÙÂÉÒÁÑ ÒÁÚÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ËÒÉ×ÙÅ γ É ÒÁÚÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÆÕÎËÃÉÉ ⃗a(t). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÐÒÉÍÅÒÏ× ÌÉÎÅÊÞÁÔÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. Á) ðÌÏÓËÏÓÔØ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÞÁÔÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ. Â) çÅÌÉËÏÉÄ. ðÕÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÏÓÔÕÐÁÔÅÌØÎÏ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ, ÐÅÒÅÓÅËÁÑ ÄÒÕÇÕÀ ÐÒÑÍÕÀ ÐÏÄ ÐÒÑÍÙÍ ÕÇÌÏÍ, É ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ ×ÏËÒÕÇ ÜÔÏÊ ÐÒÑÍÏÊ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ËÏÔÏÒÕÀ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ Ä×ÉÖÕÝÁÑÓÑ ÐÒÑÍÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ òÉÓ.7 ÐÒÑÍÙÍ ÇÅÌÉËÏÉÄÏÍ. 3 ÷×ÅÄÅÍ ÄÅËÁÒÔÏ×Õ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Oxyz × IR ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÐÒÑÍÁÑ ÓÏ×ÐÁÌÁ Ó ÏÓØÀ Oz, É ÐÕÓÔØ Ä×ÉÖÕÝÁÑÓÑ ÐÒÑÍÁÑ ÉÍÅÅÔ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÓËÏÒÏÓÔØ c É ÕÇÌÏ×ÕÀ ÓËÏÒÏÓÔØ ω. åÓÌÉ × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÜÔÁ ÐÒÑÍÁÑ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÏÓØÀ Ox, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÅÌÉËÏÉÄÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÐÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ          x = v cos ωt, y = v sin ωt, z = ct, t, v ∈ IR, ÇÄÅ t (×ÒÅÍÑ), v (ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ÎÁ Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ÐÒÑÍÏÊ)¡ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ ××ÅÓÔÉ ÎÏ×ÙÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒ u = ωt É ÐÏÌÏÖÉÔØ a = ωc , ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÅÌÉËÏÉÄÁ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ⃗r = {v cos u, v sin u, au} , u, v ∈ IR. (13) ×) ïÄÎÏÐÏÌÏÓÔÎÙÊ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄ É ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÌÅÖÁÔ Ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÐÒÑÍÙÈ. ëÁÖÄÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÐÒÑÍÙÈ, ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÐÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ. òÉÓ.8 Ç) ãÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ìÉÎÅÊÞÁÔÕÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ⃗r = ρ⃗(u) + v⃗a(u) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÃÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÅÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. Ä) ëÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ìÉÎÅÊÞÁÔÕÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÎÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÅÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÐÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÔÏÞËÕ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 2.3 13 òÅÇÕÌÑÒÎÙÅ É ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ¡ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C k , k ≥ 1, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ f : D → IR3 , D ⊆ IR2 . îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ñËÏÂÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÁ  Jf =     xu xv yu yv zu zv       = xu yu zu x v y v zv T  , ∂x É Ô.Ä. ÇÄÅ ⃗r(u, v) = x(u, v)⃗i + y(u, v)⃗j + z(u, v)⃗k, xu = ∂u ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ôÏÞËÁ (u0 , v0 ) ∈ D ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ (S, f ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ, ÅÓÌÉ Rg Jf |(u0 ,v0 ) = 2. ÷ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÏÞËÁ (u0 , v0 ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÏÂÏÊ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ (S, f ), f ∈ C k (D), k ≥ 1, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ, ÅÓÌÉ Rg Jf = 2 ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÏÂÌÁÓÔÉ D. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ Rg Jf = 2 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ⃗ru × ⃗rv ̸= ⃗0. ðÒÉÍÅÒÙ. 1. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = h(x, y), ÇÄÅ h(x, y) ∈ C 1 (D), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ. éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÀ (1), ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ: ⃗rx = {1, 0, hx }, ⃗ry = {0, 1, hy }. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ ñËÏÂÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ  Jf =  1 0 hx 0 1 hy T  . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ Rg Jf = 2. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ×ÒÁÝÅÎÉÑ z = x2 + y 2 , ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÊ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ. 2. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÒÕÇÕÀ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÀ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ: { } ⃗r = u cos v, u sin v, u2 , u, v ∈ IR. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ (14) 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 14 íÁÔÒÉÃÁ ñËÏÂÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ  Jf =  cos v sin v 2u −u sin v u cos v 0 T  . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ (0, v), v ∈ IR ¡ ÏÓÏÂÙÅ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ f (0, v) = O, ÇÄÅ O(0, 0, 0) ¡ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. òÉÓ.9a,b 3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÉÎÅÊÞÁÔÕÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÅÊ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÕÖÉÔ ÐÁÒÁÂÏÌÁ îÅÊÌÑ { } ⃗r = u3 , u2 , v , u, v ∈ IR. íÁÔÒÉÃÁ ñËÏÂÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ  Jf =  3u2 2u 0 0 0 1 T  . óÎÏ×Á ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ (0, v), v ∈ IR ¡ ÏÓÏÂÙÅ, É ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ f (D) ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÕÀÝÁÑ, ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ¡ ÏÓÏÂÙÅ. 2.4 çÌÁÄËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ×ÙÄÅÌÉÍ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÍ ÉÚÕÞÁÔØ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÕÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ (S, f ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÒÏÓÔÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : D → IR3 ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÏÓÔÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ¡ ÜÔÏ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÂÅÚ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÒÏÓÔÕÀ ÒÅÇÕÌÑÒÎÕÀ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÕÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ (S, f ) ËÌÁÓÓÁ C k , k ≥ 1, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ ËÌÁÓÓÁ C k (× ÓÌÕÞÁÅ k = 1 ¡ ÐÒÏÓÔÏ ÇÌÁÄËÏÊ). çÌÁÄËÉÅ (ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÙÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ) ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C k , k ≥ 1 ¡ ÏÂßÅËÔ ÎÁÛÅÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ. 2.5 ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v), (u, v) ∈ D ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ. ÷ ÓÉÌÕ ÐÒÏÓÔÏÔÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ-ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S É ÔÏÞËÁÍÉ ÏÂÌÁÓÔÉ D: ËÁÖÄÏÊ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 15 ÔÏÞËÅ P ∈ S Ó ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏÍ ⃗r(u, v) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÔÏÞËÁ A(u, v) ∈ D, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (u, v) ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ¥ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ¥ ÔÏÞËÉ P . òÉÓ.10 ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÅÒÅÍÅÎÎÙÅ (ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ) (u, v) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v), (u, v) ∈ D. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍÉ ÌÉÎÉÑÍÉ (ÉÌÉ ËÒÉ×ÙÍÉ) ÎÁ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÒÉ×ÙÅ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ u = const ÉÌÉ v = const. éÔÁË, ÎÁ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔÓÑ Ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÌÉÎÉÊ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÉ×ÙÈ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ ⃗r = ⃗r(u0 , v), ×ÔÏÒÏÇÏ ⃗r = ⃗r(u, v0 ). ðÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÓÌÕÖÉÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ v, Á ×ÔÏÒÏÇÏ ¡ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ u. þÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÏÄÎÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, Á ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÅÓÔØ ×ÓÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÌÉÎÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÓÅÔØÀ (ÎÁ) ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ÷ ÏÂÌÁÓÔÉ D (ËÁË É ÎÁ ×ÓÅÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ) ÔÁËÖÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ u = const É v = const É Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØÀ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ É ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÐÒÑÍÙÈ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ D. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÜÔÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÓÅÔÉ × ÏÂÌÁÓÔÉ D ÐÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f . îÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ 4,5,7, É 8 ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÑÈ ÐÏÓÔÒÏÅÎÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÓÅÔÉ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 2.6 16 ëÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ É ÎÏÒÍÁÌØ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ëÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ëÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ Ë ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ P0 É ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ × ÔÏÞËÅ P0 ËÏ ×ÓÅÍ ÇÌÁÄËÉÍ ËÒÉ×ÙÍ, ÌÅÖÁÝÉÍ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÐÒÏÈÏÄÑÝÉÍ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ P0 . ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. îÏÒÍÁÌØÀ Ë ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÏÒÍÁÌØ Ë ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 . òÉÓ.11 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÏÒÍÁÌØ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ¡ ÜÔÏ ÐÒÑÍÁÑ (× ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ×ÅËÔÏÒÁ ÎÏÒÍÁÌÉ). ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ëÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ TP S Ë ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ×ÅËÔÏÒÏ× ÓËÏÒÏÓÔÉ × ÔÏÞËÅ P ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÇÌÁÄËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÐÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ P . ëÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á TP S ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P . îÁÊÄÅÍ ÂÁÚÉÓ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á TP S. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÇÌÁÄËÕÀ ËÒÉ×ÕÀ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ   γ: u = u(t), v = v(t). ëÒÉ×ÁÑ γ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ËÒÉ×ÏÊ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (γ ⊂ S ⊂ IR3 ) É ÉÍÅÅÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ⃗r = ⃗r(t), ÇÄÅ ⃗r(t) = ⃗r(u(t), v(t)). îÁÊÄÅÍ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ γ. ðÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÍÅÅÍ ⃗r‘ = u⃗ ‘ ru + v‘ ⃗rv . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ⃗r‘ ∈ Span{⃗ru ,⃗rv }. á ÔÁË ËÁË ×ÅËÔÏÒÙ ⃗ru É ⃗rv ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ × ÓÉÌÕ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÓÔÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÔÏ {⃗ru |P , ⃗rv |P } ¡ ÂÁÚÉÓ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á TP S, ÇÄÅ P ¡ ÔÏÞËÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ó ÒÁÄÉÕÓ×ÅËÔÏÒÏÍ ⃗r(t), É dim TP S = 2 (ÄÁÌÅÅ ÚÎÁË ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ |P ÂÕÄÅÔ, ËÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÏÐÕÓËÁÔØÓÑ). ìÀÂÏÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ξ⃗ ∈ TP S ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎ ÐÏ ÜÔÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ ξ⃗ = ξ 1⃗ru + ξ 2 ⃗rv . î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 17 òÉÓ.12 1 2 ôÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ ξ , ξ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ξ⃗ ∈ TP S ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÁÚÉÓÁ {⃗ru ,⃗rv }, ÂÕÄÅÍ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ÔÁË:  ξ⃗ ↔ ξ =  ξ1 ξ2  . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,  ⃗r‘ = u⃗ ‘ ru + v‘ ⃗rv ↔  u‘ v‘  . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ ⃗ru É ⃗rv Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÌÉÎÉÊ v = const É u = const ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. òÉÓ.13 õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v) × ÔÏÞËÅ P0 (u0 , v0 ) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ⃗r = ⃗r(u0 , v0 ) + u⃗ru (u0 , v0 ) + v⃗rv (u0 , v0 ), u, v ∈ IR. (15) (⃗r − ⃗r(u0 , v0 ), (⃗ru × ⃗rv )(u0 , v0 )) = 0, (16) ÉÌÉ Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÏÒÍÁÌÉ ⃗r = ⃗r(u0 , v0 ) + t(⃗ru × ⃗rv )(u0 , v0 ), t ∈ IR. 2.7 (17) úÁÍÅÎÁ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ (ÒÅÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ) ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v), (u, v) ∈ D ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ. úÁÍÅÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÐÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ××ÅÓÔÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÒÁÚÎÙÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, (u, v) É (u′ , v ′ ). òÉÓ.14 ′ −1 ÷ ÔÁËÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F = (f ) ◦ f : D → ′ D É F −1 = f −1 ◦ f ′ : D′ → D, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅËÃÉÅÊ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÔÁË ËÁË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f = f ′ ◦ F É f ′ = f ◦ F −1 ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÇÌÁÄËÉÍÉ, ÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÇÌÁÄËÏÓÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ F É F −1 . ôÏÇÄÁ ÜÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ¡ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍÙ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. úÁÍÅÎÏÊ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (u, v) → (u′ , v ′ ) ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v), (u, v) ∈ D, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍ F : D → D′ . î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 2.8 18 ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v), (u, v) ∈ D ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, F : D → D′ ¡ ÚÁÍÅÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S, D′ ⊂ IR2 (u′ , v ′ ), ÇÄÅ IR2 (u′ , v ′ ) ¡ ÐÌÏÓËÏÓÔØ IR2 , ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ××ÅÄÅÎÙ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (u′ , v ′ ). ôÁË ËÁË F É F −1 ¡ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍÙ, ÔÏ × ÏÂÌÁÓÔÑÈ D É D′ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ (u, v) É (u′ , v ′ ) ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÙÒÁÖÁÔØ ÄÒÕÇ ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÁ:    u′ = u′ (u, v),  v ′ = v ′ (u, v), (u, v) ∈ D,    u = u(u′ , v ′ ),  v = v(u′ , v ′ ), (u′ , v ′ ) ∈ D′ . F : É F −1 : úÁÍÅÎÁ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ ÚÁÍÅÎÕ ÂÁÚÉÓÏ× {⃗ru ,⃗rv } ÓÒÁÚÕ ×Ï ×ÓÅÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ TP S. îÁÊÄÅÍ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒÅÈÏÄÁ ÏÔ ÓÔÁÒÙÈ ÂÁÚÉÓÏ× Ë ÎÏ×ÙÍ. éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ    ⃗ru′ = uu′⃗ru + vu′⃗rv ,   ⃗rv′ = uv′⃗ru + vv′⃗rv . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ ÐÅÒÅÈÏÄÁ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉÃÅÊ ñËÏÂÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F −1 :  T = uu′ uv′ v u′ v v ′    ∂(u, v)  = , ∂(u′ , v ′ ) Á ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÀÔÓÑ ÐÏ ÚÁËÏÎÕ   ξ1 ξ2    = uu′ uv′ v u′ v v ′   ξ ′1 ξ ′2  , ÉÌÉ     ξ ′1 ξ ′2     = u′u u′v vu′ vv′   ξ1 ξ2  ,  ξ1  ξ ′1  ′   É ξ = ¡ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ξ⃗ ÇÄÅ ξ = ξ2 ξ ′2 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÁÚÉÓÏ× {⃗ru ,⃗rv } É {⃗r′u ,⃗r′v } ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 2 çìáäëéå ðï÷åòèîïóôé ÷ ðòïóôòáîóô÷å 19 ÷ ÍÁÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÚÁËÏÎ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁË:  ξ = Jξ ′ , J =  u u′ u v ′ vu ′ vv ′  . î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 3 20 ðÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÁÄÁÞÁ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÄÌÉÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ðÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ- ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ. ðÒÉÍÅÒÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÍ → → r u, − r v ). ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. íÁÔÒÉÃÁ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ËÁË ÍÁÔÒÉÃÁ çÒÁÍÁ ÂÁÚÉÓÁ (− úÁËÏÎ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÒÉ ÒÅÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔØ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ. úÁÄÁÞÁ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÕÇÌÁ ÍÅÖÄÕ ËÒÉ×ÙÍÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 3.1 úÁÄÁÞÁ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÄÌÉÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, γ : u = u(t), v = v(t) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S. úÁÄÁÞÕ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÄÌÉÎÙ ÄÕÇÉ ËÒÉ×ÏÊ γ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÐÏÓÏÂÏÍ. úÁÐÉÛÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÊ γ ËÁË ËÒÉ×ÏÊ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å IR3 : γ : ⃗r = ⃗r(t), ÇÄÅ ⃗r(t) = ⃗r(u(t), v(t)). ôÏÇÄÁ ÄÌÉÎÁ ÄÕÇÉ ËÒÉ×ÏÊ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ: l(γ)|ba ∫b = a ∥⃗r‘ ∥ dt = ∫b √ x‘ 2 + y‘ 2 + z‘ 2 dt . (18) a ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÐÒÉÛÌÏÓØ ÐÅÒÅÐÉÓÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÅ × ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ u, v ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S, × ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ x, y, z × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å IR3 . åÓÌÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÌÉÎÙ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S, ÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÏÐÙÔÁÔØÓÑ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÐÒÏÃÅÄÕÒÙ ÐÅÒÅÐÉÓÙ×ÁÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÐÏÄËÏÒÅÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ: x‘ 2 + y‘ 2 + z‘ 2 = (xu u‘ + xv v) ‘ 2 + (yu u‘ + yv v) ‘ 2 + (zu u‘ + zv v) ‘ 2= = (x2u + yu2 + zu2 ) u‘ 2 + 2(xu xv + yu yv + zu zv ) u‘ v‘ + + (x2v + yv2 + zv2 ) v‘ 2 = E(t) u‘ 2 + 2F (t) u‘ v‘ + F (t) v‘ 2 , ÇÄÅ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 21 E(t) = E(u(t), v(t)), E(u, v) = (⃗ru , ⃗ru ), F (t) = F (u(t), v(t)), F (u, v) = (⃗ru , ⃗rv ), G(t) = G(u(t), v(t)), G(u, v) = (⃗rv , ⃗rv ). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÏÌÕÞÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÄÌÉÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ: l(γ)|ba = ∫b √ E(t)u‘ 2 + 2F (t)u‘ v‘ + F (t)v‘ 2 dt . (19) a 3.2 ðÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ äÌÑ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÙ (19) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÆÕÎËÃÉÉ E(u, v), F (u, v), G(u, v) ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÐÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÄÌÉÎÕ ÌÀÂÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÄÁÎÙ × ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ, ÎÅ ÎÁÈÏÄÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ × ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ I = E du2 + 2F du dv + G dv 2 , ÇÄÅ E = E(u, v) = (⃗ru , ⃗ru ), (20) F = F (u, v) = (⃗ru , ⃗rv ), (21) G = G(u, v) = (⃗rv , ⃗rv ), (22) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v). íÁÔÒÉÃÁ  G= E F F G   ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S. ÷ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÄÌÑ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÔÁËÖÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ d⃗r 2 É ds2 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ ⃗r(u, v) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÑ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× u, v. ôÏÇÄÁ ÅÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ d⃗r = ⃗ru du + ⃗rv dv É d⃗r 2 = (d⃗r, d⃗r) = (⃗ru du + ⃗rv dv,⃗ru du + ⃗rv dv) = = (⃗ru , ⃗ru ) du2 + 2(⃗ru , ⃗rv ) du dv + (⃗rv , ⃗rv ) dv 2 = I. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 22 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÆÕÎËÃÉÀ s(t) ¡ ÄÌÉÎÕ ÄÕÇÉ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ γ : u = u(t), v = v(t) , t ∈ [a, b], ÏÔ ÔÏÞËÉ a ÄÏ ÔÏÞËÉ t: s(t) = l(γ)|ta ∫t √ E(t)u‘ 2 + 2F (t)u‘ v‘ + F (t)v‘ 2 dt . = a ôÏÇÄÁ d(s(t)) = (d(s(t)))2 = √ E(t) u‘ 2 + 2F (t) u‘ v‘ + F (t) v‘ 2 dt , ( ) E(t) u‘ 2 + 2F (t) u‘ v‘ + F (t) v‘ 2 dt2 = = E du2 + 2F du dv + G dv 2 u=u(t), v=v(t) . äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv 2 = I . ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ: g = det G = EG − F 2 = (⃗ru , ⃗ru )(⃗rv , ⃗rv ) − (⃗ru , ⃗rv )2 = 2 2 2 2 = ∥⃗ru ∥ ∥⃗rv ∥ − = ∥⃗ru ∥ ∥⃗rv ∥ ( 1 ( )2 d ∥⃗ru ∥ ∥⃗rv ∥ cos (⃗ru , ⃗rv ) = ) d 2 − cos (⃗ru , ⃗rv ) = ∥⃗ru ∥2 ∥⃗rv ∥2 sin2 (⃗rud , ⃗rv ) = = ∥⃗ru × ⃗rv ∥2 . óÏÂÅÒÅÍ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ: g = det G = EG − F 2 = ∥⃗ru × ⃗rv ∥2 . (23) úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÏÎÑÔÉÅ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÍÏÖÎÏ ××ÅÓÔÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ïÄÎÁËÏ, ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÍÏÇÕÔ ÌÅÖÁÔØ ÔÏÞËÉ, ÇÄÅ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ⃗ru ÉÌÉ ⃗rv , × ÔÁËÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÐÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (23)) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ËÌÁÓÓÁ C k , k ≥ 1, ÍÁÔÒÉÃÁ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ, × ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ¡ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ. ðÏÄÞÅÒËÎÅÍ ÅÝÅ ÒÁÚ, ÞÔÏ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÚÕÞÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÇÌÁÄËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C k , k ≥ 1. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 3.3 23 ðÒÉÍÅÒÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 1. îÁÊÄÅÍ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = h(x, y). ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ: ⃗rx = {1, 0, hx }, ⃗ry = {0, 1, hy }. úÁÔÅÍ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ (20) (22) ×ÙÞÉÓÌÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ: E = (⃗rx , ⃗rx ) = 1 + h2x , F = (⃗rx , ⃗ry ) = hx hy , G = (⃗ry ,⃗ry ) = 1 + h2y . éÔÁË, ÐÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = h(x, y), ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ I = (1 + h2x ) dx2 + 2hx hy dx dy + (1 + h2y ) dy 2 , Á ÅÅ ÍÁÔÒÉÃÁ  G= 1 + h2x hx hy hx hy 1 + h2y (24)  . (25) 2. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ⃗r = {ρ(u) cos v, ρ(u) sin v, z(u)}: ⃗ru = {ρ′ cos v, ρ′ sin v, z ′ }, ⃗rv = {−ρ sin v, ρ cos v, 0}, E = (⃗ru , ⃗ru ) = (ρ′ )2 + (z ′ )2 , F = (⃗ru , ⃗rv ) = 0, G = (⃗rv ,⃗rv ) = ρ2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,  I = ((ρ′ )2 + (z ′ )2 ) du2 + ρ2 dv 2 , G =  (ρ′ )2 + (z ′ )2 ) 0 ρ2  . 3. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÃÅÐÎÏÊ ÌÉÎÉÉ y = a ch x a ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Ox, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁÔÅÎÏÉÄÏÍ É ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé { } u u ⃗r = u, a ch cos v, a ch sin v . a a ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ËÁÔÅÎÏÉÄÁ: { ⃗ru = ⃗rv = E = F = G = 24 (26) } u u 1, sh cos v, sh sin v , a a { } u u 0, −a ch sin v, a ch cos v , a a u u (⃗ru , ⃗ru ) = sh2 + 1 = ch2 , a a (⃗ru , ⃗rv ) = 0, u (⃗rv ,⃗rv ) = a2 ch2 . a óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, u 2 u du + a2 ch2 dv 2 . a a 4. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÇÅÌÉËÏÉÄÁ: I = ch2 (27) ⃗r = {u cos v, u sin v, av} , ⃗ru = {cos v, sin v, 0} , ⃗rv = {−u sin v, u cos v, a} , E = (⃗ru , ⃗ru ) = 1, F = (⃗ru , ⃗rv ) = 0, G = (⃗rv ,⃗rv ) = u2 + a2 , I = du2 + (u2 + a2 ) dv 2 . 3.4 (28) óËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÷ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á TP S Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍÉ (ÔÁË ËÁË × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ×), Á ÍÁÔÒÉÃÁ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé  G|P = E F F G     =  P (⃗ru , ⃗ru ) (⃗ru , ⃗rv ) (⃗ru , ⃗rv ) (⃗rv , ⃗rv ) 25   P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÅÊ çÒÁÍÁ ÂÁÚÉÓÁ {⃗ru |P , ⃗rv |P } Å×ËÌÉÄÏ×Á ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á TP S. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓËÁÌÑÒÎÏÅ  ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÄ×ÕÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× 1 ξ  η1  ⃗ ⃗   ξ, ⃗η ∈ TP S, ξ ↔ ξ = , ⃗η ↔ η = ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ ξ2 η2 ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (ÚÎÁË ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÞÅÇÏ-ÌÉÂÏ × ÔÏÞËÅ P (|P ) ÏÐÕÓËÁÅÍ): ⃗ ⃗η ) = ξ T Gη. (ξ, ⃗ ⃗η ) úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÕ ÖÅ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ (ξ, ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ, ÐÒÏ×ÅÄÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ: ⃗ ⃗η ) = (ξ 1 ⃗ru + ξ 2 ⃗rv , η 1 ⃗ru + η 2 ⃗rv ) = (ξ, ) ( = ξ 1 η 1 (⃗ru ,⃗ru ) + ξ 1 η 2 + ξ 2 η 1 (⃗ru ,⃗rv ) + ξ 2 η 2 (⃗rv ,⃗rv ) = = ( ξ 1, ξ 2 )  E F F G    η1 η2   = ξ T Gη. ÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ⃗ ⃗η ) = ξ T Gη. (ξ, η)G = (ξ, éÚ ËÕÒÓÁ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ (•, •)G ¡ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å TP S (ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× TP S ∼ = IR2 ).  ξ1 äÌÉÎÁ ×ÅËÔÏÒÁ ξ =  2  ↔ ξ⃗ ∈ TP S × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å IR2 ξ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: √ √ ∥ξ∥G = (ξ, ξ)G = ξ T Gξ. √ ⃗ ξ). ⃗ ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ∥ξ∥G = ∥ξ⃗ ∥ = (ξ, ôÁËÖÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÞÉÓÌÏ ( ⃗ = E(ξ 1 )2 + 2F ξ 1 ξ 2 + G(ξ 2 )2 I(ξ) ) P ⃗ 2, = ξ T G|P ξ = ∥ξ∥ ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ ξ⃗ ∈ TP S. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 3.5 26 ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ôÅÏÒÅÍÁ. ðÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (u, v) → (u′ , v ′ ) ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÍÁÔÒÉÃÁ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÐÏ ÚÁËÏÎÕ G′ = JT GJ. (29) ⃗ ξ) ⃗ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ë×ÁÄÒÁÔ ÄÌÉÎÙ ×ÅËÔÏÒÁ (ξ, ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ξ⃗ ∈ TP S É Ä×ÕÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (u, v) É (u′ , v ′ ) ÉÍÅÅÍ ξ ′T G′ ξ ′ = ξ T Gξ. éÓÐÏÌØÚÕÑ ÚÁËÏÎ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ξ = Jξ ′ , ÐÏÌÕÞÉÍ ξ ′T G′ ξ ′ = ξ T Gξ = (Jξ ′ )T G(Jξ ′ ) = ξ ′T (JT GJ)ξ ′ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ξ ′ ∈ IR2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, G′ = JT GJ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ × ËÁÖÄÏÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å TP S ¥ÏÂÙÞÎÕÀ¥ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ÷ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1 ÓÐÏÓÏÂ. ðÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏÌÏÖÉ⃗ = ∥ξ∥ ⃗ 2. ÔÅÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ, ÔÁË ËÁË I(ξ) 2 ÓÐÏÓÏÂ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÍÉÎÏÒÙ ÍÁÔÒÉÃÙ G: 1) –1 = E = (⃗ru , ⃗ru ); 2) –2 = det G = ∥⃗ru × ⃗rv ∥2 . ÷ ÓÉÌÕ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÓÔÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ –1 > 0, –2 > 0. ðÏ ËÒÉÔÅÒÉÀ óÉÌØ×ÅÓÔÒÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ × ËÁÖÄÏÊ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. 3.6 õÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÒÉ×ÙÍÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ õÇÌÏÍ ÍÅÖÄÕ ËÒÉ×ÙÍÉ × ÔÏÞËÅ ÉÈ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ë ÜÔÉÍ ËÒÉ×ÙÍ, ÐÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÔÏÞËÅ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ. ôÁË ËÁË ÍÙ ÉÚÕÞÁÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÄÁÄÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 27 ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. õÇÌÏÍ ÍÅÖÄÕ ÇÌÁÄËÉÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ γ1 : ⃗r = ⃗r1 (t) É γ2 : ⃗r = ⃗r2 (t) × ÔÏÞËÅ ÉÈ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÓËÏÒÏÓÔÅÊ ÜÔÉÈ ËÒÉ×ÙÈ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÓÉÎÕÓ ÕÇÌÁ φ ∈ [0, π] ÍÅÖÄÕ ÇÌÁÄËÉÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ cos φ = (⃗r‘ 1 , ⃗r‘ 2 ) . ∥⃗r‘ 1 ∥∥⃗r‘ 2 ∥ ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ Ä×Å ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v) É ÚÁÄÁÎÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ × ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ u Év   u = u (t), i γi :  v = vi (t), i = 1, 2. ôÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ γi  ξ⃗i = ⃗r‘ i ↔ ξi =  u‘i v‘i  , ÇÄÅ ⃗ri (t) = ⃗r(ui (t), vi (t)), i = 1, 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÔÏÞËÅ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÇÌÁÄËÉÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ cos (γ1d , γ2 ) 3.7 (⃗r‘ 1 , ⃗r‘ 2 ) (ξ⃗1 , ξ⃗2 ) (ξ1 , ξ2 )G = = = = ∥⃗r‘ 1 ∥∥⃗r‘ 2 ∥ ∥ξ⃗1 ∥∥ξ⃗2 ∥ ∥ξ1 ∥G ∥ξ2 ∥G √ ξ1T Gξ2 √ ξ1T Gξ1 ξ2T Gξ2 . ðÌÏÝÁÄØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÷ ËÕÒÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÂÙÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÐÌÏÝÁÄÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÔÁËÖÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [10], [15]): ∫∫ ∫∫ √ σ= ∥⃗ru × ⃗rv ∥ du dv = EG − F 2 du dv. D D ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÎÁÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÄÌÉÎÙ ËÒÉ×ÙÈ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ËÒÉ×ÙÍÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÐÌÏÝÁÄØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÑÓØ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 3.8 28 ÷ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÷ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. éÚÏÍÅÔÒÉÉ. éÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ôÅÏÒÅÍÁ Ï ÐÅÒ×ÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍÁÈ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. òÁÚ×ÅÒÔÙ×ÁÀÝÉÅÓÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ÷ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ¡ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÆÁËÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÙ ÐÒÉ ÐÏÍÏÝÉ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÊ, ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÍÙÈ ÎÁ ÓÁÍÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÂÅÚ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ Ë ÏÂßÅÍÌÀÝÅÍÕ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍÕ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ. ÷ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÐÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ. éÎÏÇÄÁ ÅÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÖÅ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ëÁË ÂÙÌÏ ÐÏËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, ÄÌÑ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÎÁÔØ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÄÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÷ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÄÅÌ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ÅÅ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ ÚÒÅÎÉÑ ÎÁ ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ S1 , S2 ¡ Ä×Å ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ i : S1 → S2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÄÌÉÎÙ ËÒÉ×ÙÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÜÔÉÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÑÈ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. âÉÅËÔÉ×ÎÏÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ i : S1 → S2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S1 É S2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ i : S1 → S2 . áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ É ÄÌÑ ÇÌÁÄËÉÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. ôÅÏÒÅÍÁ (Ï ÐÅÒ×ÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍÁÈ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ). ä×Å (ÇÌÁÄËÉÅ) ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÙ ÔÁË, ÞÔÏ ÉÈ ÐÅÒ×ÙÅ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÓÏ×ÐÁÄÕÔ. ðÒÉÍÅÒ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÁÔÅÎÏÉÄ É ÇÅÌÉËÏÉÄ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙ. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ËÁÔÅÎÏÉÄÁ (27): ( ( u u u I = ch du2 + a2 ch2 dv 2 = d a sh a a a 2 ))2 ( 2 +a ) u sh + 1 dv 2 . a 2 î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 3 ðåò÷áñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 29 ðÏÓÌÅ ÚÁÍÅÎÙ      u“ = a sh u a, v“ = v, (30) ÐÏÌÕÞÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ I = d“ u2 + (“ u2 + a2 ) d“ v 2 , ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÇÅÌÉËÏÉÄÁ (28). éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÐÅÒ×ÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍÁÈ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÇÌÁÄËÁÑ { } u u ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ⃗r = u, a ch a cos v, a ch a sin v , (u, v) ∈ D, ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÁ “ ÇÄÅ ÏÂÌÁÓÔØ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ⃗r = {“ u cos v“, u“ sin v“, a“ v }, (“ u, v“) ∈ D, “ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÐÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ (30). îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ D ÐÏÎÑÔÉÅ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÅÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÉ (ÓÍ. Ð.2.4). ÷ ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÐÅÒ×ÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍÁÈ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ, Á ÓÁÍÕ ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ËÁË ÒÁÚÄÅÌ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, ÏÂÝÉÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÏÄÉÎ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÙÊ ÔÉÐ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ¥ÕÓÔÒÏÅÎÙ¥ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÐÌÏÓËÏÓÔØ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÚ×ÅÒÔÙ×ÁÀÝÅÊÓÑ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÌÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÒÉÍÅÒ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÃÉÌÉÎÄÒ ⃗r = {a cos v, a sin v, u} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚ×ÅÒÔÙ×ÁÀÝÅÊÓÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ. ðÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ z = 0 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ I = dx2 + dy 2 . ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÃÉÌÉÎÄÒÁ: I = du2 + a2 dv 2 = du2 + (d(av))2 = d“ u2 + d“ v 2 , u“ = u, v“ = av. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ×ÎÅÛÎÑÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÉÚÕÞÁÅÔ ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ÏÂÝÉÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÉÚ ÄÁÎÎÏÊ Ó ÐÏÍÏÝØÀ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ôÁËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÒÕÐÐÙ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÒÉÍÅÒ Ó ÃÉÌÉÎÄÒÏÍ É ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×ÎÅÛÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 4 ÷ôïòáñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 4 30 ÷ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÷ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁ- ÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ. ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÒÉÃÙ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ðÒÉÍÅÒÙ: ×ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 4.1 ÷ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C 2 , γ : u = u(t), v = v(t) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S. ÷ÅËÔÏÒ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ: ⃗n = ⃗ru × ⃗rv ⃗ru × ⃗rv = √ . ∥⃗ru × ⃗rv ∥ g ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (⃗r, ⃗n), ÇÄÅ ⃗r(t) = ⃗r(u(t), v(t)): ⃗r‘ = ⃗ru u‘ + ⃗rv v, ‘ ⃗r = ⃗ruu u‘ 2 + 2⃗ruv u‘ v‘ + ⃗rvv v‘ 2 + ⃗ru u + ⃗rv v, (⃗r, ⃗n) = (⃗ruu , ⃗n)u‘ 2 + 2(⃗ruv , ⃗n)u‘ v‘ + (⃗rvv , ⃗n)v‘ 2 , ÔÁË ËÁË ⃗n ⊥ ⃗ru É ⃗n ⊥ ⃗rv . ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ II = L du2 + 2M du dv + N dv 2 , ÇÄÅ L = L(u, v) = (⃗ruu , ⃗n) = ⃗ru⃗rv⃗ruu √ , g (31) M = M (u, v) = (⃗ruv , ⃗n) = ⃗ru⃗rv⃗ruv √ , g (32) N = N (u, v) = (⃗rvv , ⃗n) = ⃗ru⃗rv⃗rvv √ , g (33) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ËÌÁÓÓÁ C 2 . íÁÔÒÉÃÁ  B= L M M N   î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 4 ÷ôïòáñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 31 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ   ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S. u‘ ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ (⃗r, ⃗n) = ξ T Bξ, ÇÄÅ ξ =   ↔ ξ⃗ = ⃗r‘ . v‘ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. þÉÓÌÏ ⃗ = ξ T Bξ = L(ξ 1 )2 + 2M ξ 1 ξ 2 + N (ξ 2 )2 , II(ξ)   P ξ1  , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁξ2 ÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ ξ⃗ ∈ TP S. ⃗ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ þÉÓÌÏ II(ξ) ⃗ = II(⃗r‘ ) = ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÔÁË ËÁË II(ξ) (⃗r, ⃗n), ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ γ : ⃗r = ⃗r(t) (ÉÌÉ × ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ γ : u = u(t), v = v(t)) ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ P É ÉÍÅÅÔ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ⃗r‘ = ξ⃗ ∈ TP S. ÇÄÅ ξ⃗ ∈ TP S, ξ⃗ ↔ ξ =  õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. äÏËÁÖÉÔÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÁËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. úÁÍÅÞÁÎÉÑ. 1. ÷ÔÏÒÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ËÏÍÐÁËÔÎÏ × ×ÉÄÅ II = (d2⃗r, ⃗n). 2. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ (d2⃗r, ⃗n) = −(d⃗r, d⃗n). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, (d⃗r, ⃗n) = 0, ÔÁË ËÁË d⃗r = ⃗ru du +⃗rv dv É ⃗ru ⊥ ⃗n, ⃗rv ⊥ ⃗n. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, d(d⃗r, ⃗n) = (d2⃗r, ⃗n)+(d⃗r, d⃗n) = 0. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÉÍÅÅÍ Ä×Á ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÅÅ ËÒÁÔËÏÊ ÚÁÐÉÓÉ: II = (d2⃗r, ⃗n) = −(d⃗r, d⃗n). (34) úÁÐÉÛÅÍ ÐÏÄÒÏÂÎÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ (d2⃗r, ⃗n) É (d⃗r, d⃗n): (d2⃗r, ⃗n) = (⃗ruu , ⃗n) du2 + 2(⃗ruv , ⃗n) du dv + (⃗rvv , ⃗n) dv 2 , (d⃗r, d⃗n) = (⃗ru du + ⃗rv dv, ⃗nu du + ⃗nv dv) = = (⃗ru , ⃗nu ) du2 + ((⃗ru , ⃗nv ) + (⃗rv , ⃗nu )) du dv + (⃗rv , ⃗nv ) dv 2 . 3. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÎÁÂÏÒ ÆÏÒÍÕÌ ÄÌÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ: L = (⃗ruu , ⃗n) = −(⃗ru , ⃗nu ), (35) M = (⃗ruv , ⃗n) = −(⃗ru , ⃗nv ) = −(⃗rv , ⃗nu ), (36) N = (⃗rvv , ⃗n) = −(⃗rv , ⃗nv ). (37) õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. äÏËÁÖÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÙ (35) (37). î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 4 ÷ôïòáñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 4.2 32 ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÒÉÃÙ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ôÅÏÒÅÍÁ. ðÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (u, v) → (u′ , v ′ ) ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ËÌÁÓÓÁ C 2 ÍÁÔÒÉÃÁ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÐÏ ÚÁËÏÎÕ B′ = JT BJ. (38) äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (⃗r, ⃗n) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ξ⃗ ∈ TP S É Ä×ÕÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (u, v) É (u′ , v ′ ) ÉÍÅÅÍ ξ ′T B′ ξ ′ = ξ T Bξ ÉÌÉ (× ÓÉÌÕ ÚÁËÏÎÁ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ξ = Jξ ′ ) ξ ′T B′ ξ ′ = ξ T Bξ = (Jξ ′ )T B(Jξ ′ ) = ξ ′T (JT BJ)ξ ′ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ξ ′ ∈ IR2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, B′ = JT BJ. 4.3 ðÒÉÍÅÒÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 1. îÁÊÄÅÍ ×ÔÏÒÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = h(x, y). ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ×ÅËÔÏÒ ÎÏÒÍÁÌÉ: ⃗rx = {1, 0, hx }, ⃗ry = {0, 1, hy }, ⃗rxx = {0, 0, hxx }, ⃗rxy = {0, 0, hxy }, ⃗ryy = {0, 0, hyy }, ⃗rx × ⃗ry = {−hx , −hy , 1}, ⃗rx × ⃗ry 1 ⃗n = =√ {−hx , −hy , 1}. ∥⃗rx × ⃗ry ∥ 1 + h2x + h2y úÁÔÅÍ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ (31) (33) ×ÙÞÉÓÌÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ: î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 4 ÷ôïòáñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé L = (⃗rxx , ⃗n) = √ M = (⃗rxy , ⃗n) = √ N = (⃗ryy , ⃗n) = √ 33 hxx , 1 + h2x + h2y hxy , 1 + h2x + h2y hyy 1+ h2x . + h2y éÔÁË, ×ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = h(x, y), ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ II = hxx dx2 + 2hxy dx dy + hyy dy 2 √ , (39) 1 + h2x + h2y Á ÅÅ ÍÁÔÒÉÃÁ B= √  h2x 1+ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ  1 + h2y hxx hxy hxy hyy   (40) 1 ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉÃÅÊ çÅÓÓÅ 1 + h2x + h2y √  Hh =  hxx hxy hxy hyy   ÆÕÎËÃÉÉ h(x, y). 2. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ×ÔÏÒÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ⃗r = {ρ(u) cos v, ρ(u) sin v, z(u)}: ⃗ru = {ρ′ cos v, ρ′ sin v, z ′ }, ⃗rv = {−ρ sin v, ρ cos v, 0}, ⃗ruu = {ρ′′ cos v, ρ′′ sin v, z ′′ }, ⃗ruv = {−ρ′ sin v, ρ′ cos v, 0}, ⃗rvv = {−ρ(u) cos v, −ρ(u) sin v, 0}, ⃗ru × ⃗rv = {−ρz ′ cos v, −ρz ′ sin v, ρρ′ }, √ ∥⃗ru × ⃗rv ∥ = ρ (z ′ )2 + (ρ′ )2 , î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 4 ÷ôïòáñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé ⃗n = ⃗ru × ⃗rv = ∥⃗ru × ⃗rv ∥ L = (⃗ruu , ⃗n) = √ 1 (z ′ )2 + (ρ′ )2 ρ′ z ′′ − z ′ ρ′′ √ (z ′ )2 + (ρ′ )2 34 {−z ′ cos v, −z ′ sin v, ρ′ }, , M = (⃗ruv , ⃗n) = 0, N = (⃗rvv , ⃗n) = ρz ′ √ (z ′ )2 + (ρ′ )2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, II = (ρ′ z ′′ − z ′ ρ′′ ) du2 + ρz ′ dv 2 √ (z ′ )2 + (ρ′ )2 . (41) îÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÃÉÌÉÎÄÒÁ ⃗r = {a cos v, a sin v, u}, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ρ(u) = a, z(u) = u, ÐÏÌÕÞÉÍ  II = a dv 2 , B =  0 0 0 a  . (42) ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ. õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ×ÔÏÒÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. 4.4 çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ îÁÊÄÅÍ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅ h ÔÏÞËÉ P (u, v) ∈ S ÏÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P (u0 , v0 ). òÉÓ.15 äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÉÍ ÒÁÚÎÏÓÔØ ⃗r − ⃗r0 ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ôÅÊÌÏÒÁ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ: ⃗r − ⃗r0 = ⃗ru (u0 , v0 )(u − u0 ) + ⃗rv (u0 , v0 )(v − v0 ) + 1{ ⃗ruu (u0 , v0 )(u − u0 )2 + 2⃗ruv (u0 , v0 )(u − u0 )(v − v0 )+ + 2 } ( ) + ⃗rvv (u0 , v0 )(v − v0 )2 + ⃗o (u − u0 )2 + (v − v0 )2 . î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 4 ÷ôïòáñ ë÷áäòáôéþîáñ æïòíá ðï÷åòèîïóôé 35 ôÏÇÄÁ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ ⃗ru ⊥ ⃗n, ⃗rv ⊥ ⃗n, É ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÅ ÐÏÒÑÄËÁ ×ÙÛÅ ×ÔÏÒÏÇÏ, ÐÏÌÕÞÉÍ 1{ (⃗ruu (u0 , v0 ), ⃗n)(u − u0 )2 + 2 } + 2(⃗ruv (u0 , v0 ), ⃗n)(u − u0 )(v − v0 ) + (⃗rvv (u0 , v0 ), ⃗n)(v − v0 )2 . h = (⃗r − ⃗r0 , ⃗n) ≈ úÁÍÅÎÑÑ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ u É v ÎÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ (u − u0 = –u = du, v − v0 = –v = dv) É ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÙ (31) (33), ÐÏÌÕÞÁÅÍ h≈ } 1{ L(u0 , v0 ) du2 + 2M (u0 , v0 ) du dv + N (u0 , v0 ) dv 2 . 2 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ 12 ×ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÅ P (u0 , v0 ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÑ ÔÏÞËÉ P (u, v) ÏÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P (u0 , v0 ). î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 5 óïðòéëáóáàýéêóñ ðáòáâïìïéä ðï÷åòèîïóôé. 5 36 óÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÊÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ëÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÑ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ (ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÉÅ, ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ, ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ É ÔÏÞËÉ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ). òÁÓÐÏÌÏÖÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÌÉ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. óÐÅÃÉÁÌØÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. óÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÊÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ÷ÉÄ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÇÏÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ ÄÌÑ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÒÁÚÎÙÈ ÔÉÐÏ×. ïÍÂÉÌÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ. 5.1 ëÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÑ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C 2 , P0 (u0 , v0 ) ∈ S, L0 = L(u0 , v0 ), M0 = M (u0 , v0 ), N0 = N (u0 , v0 ),  B0 = B|P0 =  L0 M0 M 0 N0  . ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ôÏÞËÁ P0 ∈ S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ: 1. ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÏÊ (ÔÏÞËÏÊ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÉÐÁ), ÅÓÌÉ det B0 > 0; 2. ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ (ÔÏÞËÏÊ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÉÐÁ), ÅÓÌÉ det B0 < 0; 3. ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ (ÔÏÞËÏÊ ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÉÐÁ), ÅÓÌÉ det B0 = 0 É L20 + N02 ̸= 0; 4. ÔÏÞËÏÊ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ L0 = M0 = N0 = 0. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (u, v) → (u′ , v ′ ) ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ËÌÁÓÓÁ C 2 ÍÁÔÒÉÃÁ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÐÏ ÚÁËÏÎÕ B′ = JT BJ. äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ sign det B′ = sign (det B(det J)2 ) = sign det B. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÉÐÙ ÔÏÞÅË ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ôÅÏÒÅÍÁ. 1. åÓÌÉ P0 ¡ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ, ÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ P0 ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÙ ÐÏ ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 . î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 5 óïðòéëáóáàýéêóñ ðáòáâïìïéä ðï÷åòèîïóôé. 37 2. åÓÌÉ P0 ¡ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ, ÔÏ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÂÌÉÚËÏ ÏÔ ÎÅÅ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÐÏ ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1. åÓÌÉ P0 ¡ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ, ÔÏ det B0 > 0. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ L0 > 0, ÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ B0 ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ; ÅÓÌÉ L0 < 0, ÔÏ B0 ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅ h ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÚÎÁË × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ P0 , × ËÏÔÏÒÏÊ ÐÉÛÅÔÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ôÅÊÌÏÒÁ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. 2. åÓÌÉ det B0 < 0, ÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ B0 ¡ ÚÎÁËÏÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅ h ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁËÏ× É ÔÏÞËÉ ÌÅÖÁÔ ÐÏ ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÒÉÍÅÒÙ. 1. ÷ÓÅ ÔÏÞËÉ ÜÌÌÉÐÓÏÉÄÁ, ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ, Ä×ÕÐÏÌÏÓÔÎÏÇÏ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÉÍÉ. 2. ÷ÓÅ ÔÏÞËÉ ÏÄÎÏÐÏÌÏÓÔÎÏÇÏ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄÁ É ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÍÉ. 3. ÷ÓÅ ÔÏÞËÉ ÃÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÉÈ É ËÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÌÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ. 4. ÷ÓÅ ÔÏÞËÉ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ. 5. åÝÅ ÏÄÉÎ ÐÒÉÍÅÒ ÔÏÞËÉ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ ¡ ÜÔÏ ÔÏÞËÁ (0, 0, 0) ¥ÏÂÅÚØÑÎÅÇÏ ÓÅÄÌÁ¥, Ô.Å. ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ z = x3 − 3xy 2 . õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ×ÙÞÉÓÌÉ× ×ÔÏÒÙÅ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÉÌÉ ÐÒÉÍÅÎÉ× ÄÏËÁÚÁÎÎÕÀ ×ÙÛÅ ÔÅÏÒÅÍÕ. 5.2 óÐÅÃÉÁÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ðÕÓÔØ S ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, P0 ∈ S. ÷×ÅÄÅÍ × IR3 ÓÐÅÃÉÁÌØÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Oxyz ÄÌÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. îÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ O ÐÏÍÅÓÔÉÍ × ÔÏÞËÕ P0 , Á ÐÌÏÓËÏÓÔØ Oxy ÓÏ×ÍÅÓÔÉÍ Ó ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 . óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÐÅÃÉÁÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÄÌÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 (ÉÚ-ÚÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌÁ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ òÉÓ.16 5 óïðòéëáóáàýéêóñ ðáòáâïìïéä ðï÷åòèîïóôé. 38 × ×ÙÂÏÒÅ ÏÓÅÊ Ox É Oy), ÎÏ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÏÞËÁ P0 = O ÉÍÅÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (0, 0, 0). òÉÓ.17 ôÅÏÒÅÍÁ. çÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ P0 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y), ÐÒÉÞÅÍ f |P0 = fx |P0 = fy |P0 = 0. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ Oxyz ¡ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÄÌÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 . úÁÐÉÛÅÍ × ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ⃗r = ⃗r(u, v). ôÁË ËÁË ⃗ru |P0 , ⃗rv |P0 ∈ Oxy, ÔÏ zu |P0 = zv |P0 = 0. ÷ ÓÉÌÕ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÓÔÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ  Rg  x u y u zu x v y v zv    = Rg  xu y u 0 xv yv 0   = 2, ÔÏ ÅÓÔØ xu y u ̸= 0. x v yv óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ   x = x(u, v),  y = y(u, v), ÍÏÖÎÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ P0 ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ u, v:   u = u(x, y),  v = v(x, y). ôÏÇÄÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ S × ÜÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ P0 ÚÁÄÁ¾ÔÓÑ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y), ÇÄÅ f (x, y) = z(u(x, y), v(x, y)). ôÁË ËÁË ÔÏÞËÁ P0 ∈ S ÉÍÅÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (0, 0, 0), ÔÏ f (0, 0) = 0. äÁÌÅÅ, ÉÍÅÅÍ fx |P0 = (zu ux + zv vx )|P0 = 0, Ô.Ë. zu |P0 = zv |P0 = 0. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ fy |P0 = 0. 5.3 óÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÊÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ × ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ P0 ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ S ËÌÁÓÓÁ C 2 ÚÁÄÁÅÔÓÑ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y). ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z= ) 1( fxx (0, 0)x2 + 2fxy (0, 0)xy + fyy (0, 0)y 2 , 2 î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 5 óïðòéëáóáàýéêóñ ðáòáâïìïéä ðï÷åòèîïóôé. 39 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÍÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÏÍ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P0 . äÁÌÅÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÇÌÁÄËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 . úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÅÒ×ÁÑ É ×ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÅÅ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÇÏÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ × ÔÏÞËÅ P0 ÒÁ×ÎÙ, ÄÌÑ ÉÈ ÍÁÔÒÉà ÉÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ:  G|P0 = Góð |P0 =  1 + fx2 (0, 0) fx (0, 0)fy (0, 0) fx (0, 0)fy (0, 0) 1 + fy2 (0, 0)  B|P0 = Bóð |P0 =  fxx (0, 0) fxy (0, 0) fxy (0, 0) fyy (0, 0)    = 1 0 0 1  ,  . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ Ó ÉÈ ÐÏÍÏÝØÀ, ÔÁËÖÅ ÂÕÄÕÔ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÄÌÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÅÅ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÇÏÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÉ P1 É P2 , ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÅÅ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÍÕÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÕ × ÔÏÞËÅ P0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÐÒÏÅËÔÉÒÕÀÔÓÑ × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÔÏÞËÕ A ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ (ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ) × ÔÏÞËÅ P0 . íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ |P1 P2 | = o |P0 A|2 ÐÒÉ A → P0 (ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ôÅÊÌÏÒÁ). ðÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ É Å¾ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÊÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ËÁÓÁÀÔÓÑ Ó ÐÏÒÑÄËÏÍ òÉÓ.18 2. ôÅÏÒÅÍÁ. ÷ÉÄ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÇÏÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÉÐÁ ÔÏÞËÉ ÕËÁÚÁÎ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉÃÅ: ôÉÐ ÔÏÞËÉ óÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÊÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÁÑ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÉÊ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÃÉÌÉÎÄÒ ÔÏÞËÁ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÏÒÄÉÎÁÔ ÄÌÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y). (x, y) → (“ x, y“) ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Oxy  B= ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏ× ÔÏÞËÅ P0 É ÚÁÄÁÄÉÍ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÁË úÁÔÅÍ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ fxx (0, 0) fxy (0, 0) fxy (0, 0) fyy (0, 0)   î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 5 óïðòéëáóáàýéêóñ ðáòáâïìïéä ðï÷åòèîïóôé. 40 Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ. ôÏÇÄÁ × ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (O, x“, y“, z) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÇÏÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ: ) 1( λ1 x“2 + λ2 y“2 . (43) 2 äÁÌÅÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÒÁÚÎÙÈ ÔÉÐÏ×. 1) ÷ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ det B > 0, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ λ1 λ2 > 0. ôÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (43) ÚÁÄÁÅÔ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÉÊ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ. 2) ÷ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ det B < 0, λ1 λ2 < 0, É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (43) ÚÁÄÁÅÔ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ. 3) ÷ ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ det B = 0, λ1 λ2 = 0, ÎÏ λ21 + λ22 ̸= 0, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÌÉ λ1 = 0, ÉÌÉ λ2 = 0. ôÏÇÄÁ (43) ¡ ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÃÉÌÉÎÄÒ. 4) ÷ ÔÏÞËÅ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ B = 0 É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (43) ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ z = 0. z= ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ôÏÞËÁ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÉÐÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÏÊ (ÉÌÉ ÔÏÞËÏÊ ÏËÒÕÇÌÅÎÉÑ), ÅÓÌÉ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÊÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÏÍ ×ÒÁÝÅÎÉÑ. ðÒÉÍÅÒÙ. 1. ìÀÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÓÆÅÒÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÏÊ. 2. ôÏÞËÉ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÌÌÉÐÓÏÉÄÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÉÌÉ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ¡ ÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ. 2 2 2 3. îÁ ÔÒÅÈÏÓÎÏÍ ÜÌÌÉÐÓÏÉÄÅ x2 + y2 + z2 = 1, a > b > c, É Ä×ÕÐÏa b c 2 2 2 y x z ÌÏÓÔÎÏÍ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄÅ A + B + C = 1, A < B < 0 < C, ÉÍÅÀÔÓÑ ÐÏ 4 ÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ÐÌÏÓËÏÓÔÉ y = 0. îÁ ÏÄÎÏÐÏÌÏÓÔÎÏÍ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄÅ ÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË ÎÅÔ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 6 ëòé÷éúîá ëòé÷ïê îá ðï÷åòèîïóôé 6 41 ëÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ëÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈ- ÎÏÓÔÉ. îÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. îÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ôÅÏÒÅÍÁ íÅÎØÅ. 6.1 ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C 2 ; γ ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ËÌÁÓÓÁ C 2 , γ ⊂ S. ëÒÉ×ÁÑ γ ÚÁÄÁÎÁ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ    u = u(t), v = v(t),   u‘ ξ⃗ ¡ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ γ, ξ⃗ ↔ ξ, ξ =  . v‘ ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ P ∈ γ ⊂ S ËÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ k ̸= 0. ôÏÇÄÁ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÐÅÒ æÒÅÎÅ É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÅËÔÏÒ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ ⃗ν . ðÕÓÔØ θ = (⃗nd , ⃗ν ), ÇÄÅ ⃗n = ⃗ru × ⃗rv ¡ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ∥⃗ru × ⃗rv ∥ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S. ôÁË ËÁË ×ÅËÔÏÒÙ ⃗ν É ⃗n ÅÄÉÎÉÞÎÙÅ, ÔÏ cos θ = (⃗n, ⃗ν ) = (⃗n, ⃗ν ). ∥⃗n∥∥⃗ν ∥ ôÅÏÒÅÍÁ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ L du2 + 2M du dv + N dv 2 II k cos θ = = I E du2 + 2F du dv + G dv 2 ÉÌÉ k cos θ = ⃗ Lu‘ 2 + 2M u‘ v‘ + N v‘ 2 ξ T Bξ II(ξ) = = . ⃗ E u‘ 2 + 2F u‘ v‘ + Gv‘ 2 ξ T Gξ I(ξ) (44) (45) äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÕÀ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁÃÉÀ ËÒÉ×ÏÊ: t = s. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÅËÔÏÒÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ ÉÍÅÅÍ d2⃗r = k⃗ν . ds2 õÍÎÏÖÉÍ ÓËÁÌÑÒÎÏ ÎÁ ⃗n: î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 6 ëòé÷éúîá ëòé÷ïê îá ðï÷åòèîïóôé  42  d2⃗r   , ⃗n . k(⃗ν , ⃗n) = ds2 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,   ( ) ( ) d2⃗r du dv dv 2 du 2 + 2M +N = k cos θ =  2 , ⃗n = L ds ds ds ds ds L du2 + 2M du dv + N dv 2 = = ds2 L du2 + 2M du dv + N dv 2 = . E du2 + 2F du dv + G dv 2 ðÅÒ×ÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÏËÁÚÁÎ. ðÏÄÓÔÁ×É× × ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ du = udt, ‘ dv = vdt ‘ É ÓÏËÒÁÔÉ× ÎÁ dt2 ÞÉÓÌÉÔÅÌØ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ, ÐÒÉÄÅÍ Ë ×ÔÏÒÏÍÕ ×ÁÒÉÁÎÔÕ ÆÏÒÍÕÌÙ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÷ÓÅ ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 , ÉÍÅÀÝÉÅ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÂÝÕÀ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ É ÏÂÝÕÀ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÉÍÅÀÔ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ. 6.2 îÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ôÅÏÒÅÍÁ íÅÎØÅ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. îÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÓÅÞÅÎÉÅÍ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÒÉ×ÁÑ, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÐÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÞÅÒÅÚ ÎÏÒÍÁÌØ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P . þÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÅÞÅÎÉÊ. ëÁÖÄÏÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ × ÔÏÞËÅ P . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÓÅÞÅÎÉÉ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ξ⃗ ∈ TP S. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÓÅÞÅÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÓÅÞÅÎÉÉ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ξ⃗ ∈ TP S, ÉÌÉ ÐÒÏÓÔÏ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ξ⃗ ∈ TP S. òÉÓ.19 äÌÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ξ⃗ ÐÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÄÌÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ: ⃗ II(ξ) . k=± ⃗ I(ξ) î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 6 ëòé÷éúîá ëòé÷ïê îá ðï÷åòèîïóôé 43 ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. þÉÓÌÏ ⃗ ⃗ = II(ξ) kP (ξ) ⃗ I(ξ) P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 × ÔÏÞËÅ P × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ξ⃗ ∈ TP S. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ξ⃗ ∈ TP S ÒÁ×ÎÁ ËÒÉ×ÉÚÎÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ξ⃗ ∈ TP S, ×ÚÑÔÏÊ Ó ÚÎÁËÏÍ ÐÌÀÓ, ÅÓÌÉ ×ÅËÔÏÒ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ ⃗νn É ×ÅËÔÏÒ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ⃗n ÓÏÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÙ, É Ó ÚÎÁËÏÍ ÍÉÎÕÓ, ÅÓÌÉ ⃗νn ↑↓ ⃗n. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÎÏÒÍÁÌØ⃗ ÎÕÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ξ⃗ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ k(ξ). 2 ôÅÏÒÅÍÁ íÅÎØÅ. òÁÄÉÕÓ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÒÁ×ÅÎ ÒÁÄÉÕÓÕ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ × ÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÅ É Ó ÔÏÊ ÖÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÏÍÕ ÎÁ ËÏÓÉÎÕÓ ÕÇÌÁ ÍÅÖÄÕ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ ËÒÉ×ÏÊ É ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ, ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ × ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÍÅÅÍ k cos θ = ⃗ ⃗ II(ξ) ⃗ = II(ξ) . , k(ξ) ⃗ ⃗ I(ξ) I(ξ) ⃗ ÷ ÓÉÌÕ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, k cos θ = k(ξ). ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ ÒÁÄÉÕÓ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ R = k1 É ÒÁÄÉÕÓ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ Rn = ± 1 . äÌÑ ÎÉÈ ÉÍÅÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R = ⃗ k(ξ) ±Rn cos θ. äÌÑ ÕÇÌÁ 0 ≤ — ≤ π 2 ÍÅÖÄÕ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ ËÒÉ×ÏÊ É ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍ cos — = ± cos θ, ÐÒÉÞÅÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÚÎÁËÏ× ± ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÏÔ ÖÅ ÚÎÁË, ÞÔÏ É × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏËÁÚÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ËÒÁÔËÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ íÅÎØÅ R = Rn cos —. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 7 çìá÷îùå îáðòá÷ìåîéñ é çìá÷îùå ëòé÷éúîù ðï÷åòèîïóôé 7 44 çÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ çÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ: ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, ÍÅÔÏÄ ÎÁÈÏÖÄÅ- ÎÉÑ, Ó×ÏÊÓÔ×Á, ÐÒÉÍÅÒÙ. æÏÒÍÕÌÁ üÊÌÅÒÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÐÁÒÁÇÒÁÆÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÇÌÁÄËÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 . 7.1 üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. çÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ îÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÅ P ⃗ II(ξ) ξ T Bξ ⃗ ⃗ k(ξ) = kP (ξ) = = T ⃗ ξ Gξ I(ξ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÁ TP S ∼ = IR2 (ÔÏ ÅÓÔØ ÆÕÎËÃÉÅÊ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ξ = (ξ 1 , ξ 2 )T ÉÌÉ ÆÕÎËÃÉÅÊ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ). ïÎÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (ξ⃗ ↔ (0, 0)T ). ⃗ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ × Ó×ÏÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÉôÅÏÒÅÍÁ 1. æÕÎËÃÉÑ k(ξ) ÂÏÌØÛÅÇÏ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ⃗ = k(ξ). ⃗ óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÍÅÅÍ k(λξ) ⃗ ÎÁ ×ÓÅÊ ÅÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ k(ξ) ⃗ = 1 ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ. ïÇÒÁÎÉÞÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ ÄÅÌÅÎÉÑ É ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ∥ξ∥ ⃗ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ∥ξ∥ ⃗ = 1. ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ k(ξ) ⃗ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ k(ξ) ⃗ = 1, ÔÏ ÏÎÁ ÏÎÁ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÎÁ ÚÁÍËÎÕÔÏÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ∥ξ∥ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ⃗ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ ËÒÉ×ÉÚÎÁÍÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÅ P . ×ÉÚÎÙ kP (ξ) îÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÀÔÓÑ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑÍÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ôÅÏÒÅÍÁ 2. çÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ, Á ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ¡ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÐÁÒÙ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ (I, II). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ É ÐÒÉÒÁ×ÎÑÅÍ ÉÈ Ë ÎÕÌÀ: î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 7 çìá÷îùå îáðòá÷ìåîéñ é çìá÷îùå ëòé÷éúîù ðï÷åòèîïóôé 45   ⃗    ∂k(ξ)  T ⃗  1  ∂ ∂k(ξ) ξ Bξ ∂ξ   = =  =    T Gξ ⃗ ⃗ ⃗ ξ ∂k( ξ)   ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2Bξ ξ T Bξ · 2Gξ (B − kG)ξ  = T − = 2 = 0 ⇔ (B − kG)ξ = 0. ξ Gξ ξ T Gξ (ξ T Gξ)2 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ξ⃗ ¡ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, k ¡ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÁÒÙ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ (I, II). éÔÁË, ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ËÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ  det(B − kG) =  L M M N    −k E F F G   L − kE M − kF = 0. M − kF N − kG = äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÅ ÇÌÁ×ÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÅ k, ÎÁÄÏ ÒÅÛÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÏÄÎÏÒÏÄÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:  (B − kG)ξ = 0 ⇔  L − kE M − kF M − kF N − kG   ξ1 ξ2    =  . óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ É ÇÌÁ×ÎÙÈ ËÒÉ×ÉÚÎ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ôÅÏÒÅÍÁ 3. 1. ÷ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ) ÇÌÁ×ÎÙÈ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ. 2. çÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÇÌÁ×ÎÙÍ ËÒÉ×ÉÚÎÁÍ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ. 3. ÷ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÉÚ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ  G= 1 0 0 1  ,  B= k1 0 0 k2  , ÔÏ ÅÓÔØ I = du2 + dv 2 , II = k1 du2 + k2 dv 2 , ÇÄÅ k1 , k2 ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 7 çìá÷îùå îáðòá÷ìåîéñ é çìá÷îùå ëòé÷éúîù ðï÷åòèîïóôé 46 ôÅÏÒÅÍÁ 3 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÒÁ×ÎÙ, ÔÏ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÌÀÂÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÇÌÁ×ÎÙÍ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ k1 = k2 = k, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (B−kG)ξ = 0 ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ Ä×Á ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ. ìÀÂÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑ ÜÔÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÎÏ×Á ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅÍ, ÔÏ ÅÓÔØ ÂÕÄÅÔ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ. ÷ ÔÁËÉÈ ÔÏÞËÁÈ B ≡ kG (ÔÁË ËÁË Rg(B − kG) = T ⃗ ξ T (kG)ξ II(ξ) ξ Bξ ⃗ = T = T ≡ k. 0) É k(ξ) = ⃗ ξ Gξ ξ Gξ I(ξ) ìÀÂÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÌÉÂÏ × ÔÏÞËÅ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ, ÌÉÂÏ × ÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ. 7.2 ðÒÉÍÅÒÙ 1. ìÀÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÓÆÅÒÙ ÒÁÄÉÕÓÁ a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÏÊ, ÌÀÂÏÅ ÎÁÐÒÁ⃗ = 1. ×ÌÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÇÌÁ×ÎÙÍ, k(ξ) a 2. îÁÊÄÅÍ ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ × ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÃÉÌÉÎÄÒÁ ⃗r = {a cos v, a sin v, u}. éÓÐÏÌØÚÕÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÐÒÏÃÅÄÕÒÕ, ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ÃÉÌÉÎÄÒÁ:  G= 1 0 0 a2  ,  B= 0 0 0 a  . äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÇÌÁ×ÎÙÈ ËÒÉ×ÉÚÎ ÒÅÛÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: det(B − kG) = −k = ak(ak − 1) = 0. 0 a − a2 k 1. ðÏÌÕÞÁÅÍ k1 = 0, k2 = a äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÇÏ k1 = 0, ÚÁÐÉÛÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ (B − k1 G)ξ1 = 0:   0 0 0 a   ξ1 ξ2    =   .  1 åÅ ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ ξ1 = C1  . 1: úÁÔÅÍ ÎÁÈÏÄÉÍ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÅ k2 = a î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 7 çìá÷îùå îáðòá÷ìåîéñ é çìá÷îùå ëòé÷éúîù ðï÷åòèîïóôé  (B − k2 G)ξ2 = 0 ⇔   1 0 −a 0 0     ξ1 ξ2    =    ⇔ ξ2 = C2  1 47  .  1 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ   ↔ ⃗ru ,   ↔ ⃗rv , ÔÏ ÅÓÔØ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ 1 × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÃÉÌÉÎÄÒÁ ÚÁÄÁÀÔ ×ÅËÔÏÒÙ ⃗ru É ⃗rv . òÉÓ.20 7.3 æÏÒÍÕÌÁ üÊÌÅÒÁ ðÕÓÔØ ξ⃗1 , ξ⃗2 ¡ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ, k1 , k2 ¡ ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ d ⃗ kP (ξ) ⃗ = ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 × ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÅ P , φ = (ξ⃗1 , ξ), kP (φ) = k(φ). ôÅÏÒÅÍÁ (ÆÏÒÍÕÌÁ üÊÌÅÒÁ) k(φ) = k1 cos2 φ + k2 sin2 φ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÉÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ξ⃗1 É ξ⃗2 (ÇÌÁ×ÎÙÈ ÐÁÒÙ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ Ó ÍÁ  ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ)   1 0 k 0  ÔÒÉÃÁÍÉ G =  òÉÓ.21 ÉB= 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ 0 1 0 k2 k1 (ξ 1 )2 + k2 (ξ 2 )2 ξ T Bξ ⃗ = = k(φ) = k(ξ) = T (ξ 1 )2 + (ξ 2 )2 ξ Gξ  ξ1 2  ξ2 2  + k √  = = k1  √ 2 1 2 2 2 1 2 2 2 (ξ ) + (ξ ) (ξ ) + (ξ ) = k1 cos2 φ + k2 sin2 φ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 8 çáõóóï÷á é óòåäîññ ëòé÷éúîù ðï÷åòèîïóôé 8 48 çÁÕÓÓÏ×Á É ÓÒÅÄÎÑÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ çÁÕÓÓÏ×Á É ÓÒÅÄÎÑÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ó×ÑÚØ ÓÒÅÄÎÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ É ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ- ×ÉÚÎÙ. æÏÒÍÕÌÙ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÉÅ ÇÁÕÓÓÏ×Õ É ÓÒÅÄÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ëÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÑ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÏ ÚÎÁËÕ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. íÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÁË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÒÅÄÎÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. 8.1 óÒÅÄÎÑÑ É ÇÁÕÓÓÏ×Á ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C 2 , k1 = k1 (u, v) É k2 = k2 (u, v) ¡ ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ ⃗r(u, v). ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. þÉÓÌÏ K(u, v) = k1 (u, v)k2 (u, v) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ (ÐÏÌÎÏÊ) ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ ⃗r(u, v). þÉÓÌÏ H(u, v) = k1 (u, v) + k2 (u, v) 2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÒÅÄÎÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ ⃗r(u, v). ëÒÁÔËÏ: K = k1 k2 ¡ ÇÁÕÓÓÏ×Á (ÐÏÌÎÁÑ) ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S, k2 ¡ ÓÒÅÄÎÑÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S. H = k1 + 2 óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂßÑÓÎÑÅÔ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÔÅÒÍÉÎÁ ¥ÓÒÅÄÎÑÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ¥. ôÅÏÒÅÍÁ. ∫2π 1 k(φ) dφ (ÓÒÅÄÎÑÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÅÓÔØ ÓÒÅÄÎÅÅ ÚÎÁ1. H = 2π ÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ); π k(φ) + k(φ + ) 2 . 2. H = 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙËÌÁÄËÁÈ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁ üÊÌÅÒÁ, ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ É ÔÁÂÌÉÞÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ: î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 8 çáõóóï÷á é óòåäîññ ëòé÷éúîù ðï÷åòèîïóôé 49 1. 1 2π ∫2π 1 k(φ) dφ = 2π ∫2π {k1 cos2 φ + k2 sin2 φ} dφ = ∫2π 1 1 − cos 2φ 1 + cos 2φ + k2 } dφ = {k1 2π 0 2 2 k1 + k2 1 k1 + k2 2π = = H; = 2π 2 2 = 2. π k(φ) + k(φ + ) = 2 ( ) ) ( π π = k1 cos φ + k2 sin φ + k1 cos (φ + ) + k2 sin2 (φ + ) = 2 2 2 2 2 2 = k1 cos φ + k2 sin φ + k1 sin φ + k2 cos φ = k1 + k2 = 2H. 8.2 2 2 2 æÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ É ÓÒÅÄÎÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ äÏËÁÖÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ: K= det B EN − 2F M + LG ; H= . det G 2 det G (46) òÁÓËÒÏÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ det(B − kG) = 0: L − kE M − kF = (EG−F 2 )k 2 −(EN −2F M +LG)k+(LN −M 2 ) = 0. M − kF N − kG äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ Ak 2 − Bk + C = 0. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ÷ÉÅÔÁ B ÄÌÑ ËÏÒÎÅÊ k1 É k2 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÆÏÒÍÕÌÙ k1 k2 = C A , k1 + k2 = A . éÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ É ÓÒÅÄÎÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎ, ÐÏÌÕÞÉÍ (46). ðÒÉÍÅÒ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÇÌÁ×ÎÕÀ É ÓÒÅÄÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÄÌÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y). îÁÐÏÍÎÉÍ (ÓÍ. (25) É (40)), ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ  G= 1 + fx2 fx fy fx fy 1 + fy2  , B= √ 1 1 + fx2 + fy2   fxx fxy fxy fyy î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ  . 8 çáõóóï÷á é óòåäîññ ëòé÷éúîù ðï÷åòèîïóôé 50 ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ × ÆÏÒÍÕÌÙ (46) ÐÏÌÕÞÉÍ H= (1 + fy2 )fxx − 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy 3 (1 + fx2 + fy2 ) 2 , 2 fxx fyy − fxy K= . (1 + fx2 + fy2 )2 8.3 (47) (48) ëÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÑ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÏ ÚÎÁËÕ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÷ ÒÁÚÄÅÌÅ 5.1 ÂÙÌÁ ××ÅÄÅÎÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÑ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÏ ÚÎÁËÕ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÍÁÔÒÉÃÙ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ. ôÁË ËÁË det B É det G > 0, ÔÏ sign det B = sign K É ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀK = det G ÝÅÅ ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ÷ ÜÌÌÉÐÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÇÁÕÓÓÏ×Á ËÒÉ×ÉÚÎÁ K > 0; × ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ K < 0; × ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ É × ÔÏÞËÁÈ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ K = 0. 8.4 íÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. áËËÕÒÁÔÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÄÁÔØ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏÎÑÔÉÑ ×ÁÒÉÁÃÉÏÎÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÐÌÏÝÁÄØ ÞÁÓÔÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÐÌÏÝÁÄÉ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÇÒÁÎÉÃÅÊ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÔÁ ËÒÉ×ÁÑ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ôÅÏÒÅÍÁ. çÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÅÅ ÓÒÅÄÎÑÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ: H = 0. ðÒÉÍÅÒÙ. 1. äÌÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) ÕÓÌÏ×ÉÅ H = 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (ÓÍ. (47)) (1 + fy2 )fxx − 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy = 0, î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 8 çáõóóï÷á é óòåäîññ ëòé÷éúîù ðï÷åòèîïóôé 51 ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÐÌÏÓËÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ. 2. íÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÅÌÉËÏÉÄ É ËÁÔÅÎÏÉÄ. õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. äÏËÁÖÉÔÅ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÓÌÉ× ÓÒÅÄÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (46) î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 9 ìéîéé ëòé÷éúîù 9 52 ìÉÎÉÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ìÉÎÉÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. çÌÁ×ÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ðÅÒ×ÁÑ É ×ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÇÌÁ×ÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ. 9.1 õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÉÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ, ÅÓÌÉ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ËÒÉ×ÏÊ Å¾ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÉÍÅÅÔ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ. ôÅÏÒÅÍÁ (ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ). çÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ   γ: u = u(t) v = v(t) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÉÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ËÌÁÓÓÁ C 2 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÉ u(t) É v(t) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ v‘ 2 −u‘ v‘ u‘ 2 E F G = 0. L M N (49) äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ. ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÁÑγ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ  u ‘ ÌÉÎÉÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. ôÏÇÄÁ ÅÅ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ξ⃗ ↔ ξ =   ÉÍÅÅÔ v‘ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÔÏ ÅÓÔØ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÍÁÔÒÉÞÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (B − kG)ξ = 0, ÇÄÅ k ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÇÌÁ×ÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ. úÁÐÉÛÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ ÏÂÙÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ:    (L − kE)u‘ + (M − kF )v‘ = 0, (M − kF )u‘ + (N − kG)v‘ = 0. ðÒÉÒÁ×ÎÑ× ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ k, ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÒÉÄÅÍ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ: Lu‘ + M v‘ M u‘ + N v‘ = , E u‘ + F v‘ F u‘ + Gv‘ ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ËÏÔÏÒÏÅ ÐÏÌÕÞÉÍ (Lu‘ + M v)(F ‘ u‘ + Gv) ‘ = (E u‘ + F v)(M ‘ u‘ + N v) ‘ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ (50) 9 ìéîéé ëòé÷éúîù 53 ÉÌÉ (LF − EM )u‘ 2 + (LG − EN )u‘ v‘ + (M G − F N )v‘ 2 = 0. (51) ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ (49) äÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(t) É v(t) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ (49). òÁÓËÒÙ× ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÐÏ ÐÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (51). úÁÔÅÍ ÐÒÏ×ÅÄÅÍ ×ÙËÌÁÄËÉ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÐÏÒÑÄËÅ É ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (50). ÷×ÅÄÅÍ ×ÅÌÉÞÉÎÕ k, ÐÏÌÏÖÉ× Lu‘ + M v‘ M u‘ + N v‘ = . (52) E u‘ + F v‘ F u‘ + Gv‘   u ‘ ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒÁ ξ⃗ ↔ ξ =   É ×ÅÌÉÞÉÎÙ k ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÕÒÁ×ÎÅv‘ ÎÉÅ (B − kG)ξ = 0, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ξ⃗ ËÒÉ×ÏÊ γ ÉÍÅÅÔ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÅ ÇÌÁ×ÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÅ k. ôÁË ËÁË ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ γ, ÔÏ ËÒÉ×ÁÑ γ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÉÅÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. k= úÁÍÅÞÁÎÉÅ 1. õÍÎÏÖÉ× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (51) ÎÁ dt2 É ÉÓÐÏÌØÚÏ×Á× ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á udt ‘ = du, vdt ‘ = dv, ÐÒÉÄÅÍ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ÓÐÏÓÏÂÕ ÚÁÐÉÓÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ dv 2 −du dv du2 (53) E F G = 0. L M N   α úÁÍÅÞÁÎÉÅ 2. ÷ÅËÔÏÒ ξ⃗ ↔ ξ =   ÉÍÅÅÔ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ β ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ α É β ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ β 2 −αβ α2 E F G = 0. L M N (54) ðÒÉÍÅÒ. îÁÊÄÅÍ ÌÉÎÉÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÃÉÌÉÎÄÒÁ ⃗r = {a cos v, a cos v, u}. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÙ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ÃÉÌÉÎÄÒÁ ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 9 ìéîéé ëòé÷éúîù 54  G= 1 0 0 a2   , B= 0 0 0 a  . óÏÓÔÁ×ÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÃÉÌÉÎÄÒÁ: v‘ 2 −u‘ v‘ u‘ 2 1 0 a2 = 0. a (55) òÁÓËÒÙ×ÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ  (55) ⇔ u‘ v‘ = 0 ⇔   u‘ = 0 u = C1 ⇔ v‘ = 0 v = C2 . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÉÎÉÑÍÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÃÉÌÉÎÄÒÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÌÉÎÉÉ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÃÉÌÉÎÄÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. 9.2 çÌÁ×ÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (u, v) ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ, ÅÓÌÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÌÀÂÏÊ ÎÅÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 . úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ (u, v) ¡ ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏ  1 ÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v), ÔÏ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÙ ⃗ru ↔     É ⃗rv ↔   ÉÍÅÀÔ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ (ÔÁË ËÁË ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÁ1 ÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÄÌÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÌÉÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÉÑÍÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ). ôÅÏÒÅÍÁ (ÐÅÒ×ÁÑ É ×ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÇÌÁ×ÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ). åÓÌÉ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ËÌÁÓÓÁ C 2 ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (u, v) ¡ ÇÌÁ×ÎÙÅ, ÔÏ × ÎÅÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ F = M = 0, Á ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ × ÇÌÁ×ÎÙÈ L, k = N . ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ ⃗ru , ⃗rv ÒÁ×ÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ k1 = E 2 G î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 9 ìéîéé ëòé÷éúîù 55 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÅËÔÏÒÙ ⃗ru É ⃗rv ÚÁÄÁÀÔ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. çÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÇÌÁ×ÎÙÍ ËÒÉ×ÉÚÎÁÍ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÎÅÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ F = (⃗ru ,⃗rv ) = 0.   1 ÷ÅËÔÏÒ ⃗ru × ÂÁÚÉÓÅ {⃗ru ,⃗rv } ÉÍÅÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ⃗ru ↔  . óÌÅÄÏ×Á0 ÔÅÌØÎÏ, ÉÍÅÅÍ   L − k1 E M − k1 F M − k1 F N − k1 G   1    =     ⇔    L − k1 E = 0 F =0 k1 = L , E =⇒   M = 0. M − k1 F = 0  áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒÁ ⃗rv ↔    L − k2 E M − k2 F M − k2 F N − k2 G   1    =     ⇔ 1   ÉÍÅÅÍ    M = 0, M − k2 F = 0 F =0 =⇒   k2 = N . N − k2 G = 0 G ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ ÐÅÒ×ÁÑ É ×ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ËÌÁÓÓÁ C 2 ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ I = Edu2 + Gdv 2 É II = Ldu2 + N dv 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (u, v) ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ¡ ÇÌÁ×ÎÙÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÐÉÛÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ: v‘ 2 −u‘ v‘ u‘ 2 E G = 0. L 0 N (56) ä×Å ÐÁÒÙ ÆÕÎËÃÉÊ u = C1 , v = t É u = t, v = C2 , ÇÄÅ C1 É C2 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (56). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÌÉÎÉÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÉÑÍÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (u, v) ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ¡ ÇÌÁ×ÎÙÅ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 10 áóéíðôïôéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 10 56 áÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ áÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÌÉÎÉÊ. ÷ÉÄ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÌÉÎÉÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÌÉÎÉÑÍÉ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ëÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ξ⃗ ∈ TP S ÉÍÅÅÔ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÜÔÏÍ ÎÁ⃗ = 0. ÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ: kP (ξ) ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÎÉÅÊ, ÅÓÌÉ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Å¾ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÉÍÅÅÔ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ: γ ¡ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÌÉÎÉÑ ⃗ = 0, ∀P ∈ γ. ⇔ kP (ξ) ôÅÏÒÅÍÁ (ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÌÉÎÉÊ). çÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ   γ: u = u(t) v = v(t) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÎÉÅÊ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÉ u(t) É v(t) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Lu‘ 2 + 2M u‘ v‘ + N v‘ 2 = 0. (57)  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ξ⃗ ¡ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ γ, ξ⃗ ↔   u‘  . v‘ ôÏÇÄÁ ⃗ = k(ξ) Lu‘ 2 + 2M u‘ v‘ + N v‘ 2 ‘ 2 + 2M u‘ v‘ + N v‘ 2 = 0. 2 2 = 0 ⇔ Lu E u‘ + 2F u‘ v‘ + Gv‘ úÁÍÅÞÁÎÉÅ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÌÉÎÉÊ (57) ÔÁËÖÅ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÀÔ × ×ÉÄÅ Ldu2 + 2M du dv + N dv 2 = 0. (58) ôÅÏÒÅÍÁ. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÌÉÎÉÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ L = N = 0, ÔÏ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 10 áóéíðôïôéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 57 ÅÓÔØ ËÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉÃÁ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ   M . B= M 0 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ   γ: u=t v = C. äÌÑ ÎÅÅ ÉÍÅÅÍ u‘ = 1, v‘ = 0. ôÁË ËÁË ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÎÉÅÊ, × ÓÉÌÕ (57) ÉÍÅÅÍ L = 0. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÕÀ ÌÉÎÉÀ   γ: u=C v = t, ÐÏÌÕÞÁÅÍ N = 0. 2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ L = N = 0 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÌÉÎÉÊ (57) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2M u‘ v‘ = 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÌÉÎÉÑÍÉ. ðÒÉÍÅÒÙ. 1. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÐÒÑÍÏÇÏ ÇÅÌÉËÏÉÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÌÉÎÉÊ, ÔÁË ËÁË L = N = 0, × ÞÅÍ ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍÉ. 2. îÁÊÄÅÍ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ z = x2 y. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÌÉÎÉÊ (58) ÄÌÑ ÔÁËÉÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ (ÓÍ. (39)) fxx dx2 + 2fxy dx dy + fyy dy 2 = 0. (59) äÌÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ z = x2 y ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (59) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2y dx2 + 4x dx dy = 0, ÉÌÉ dx(ydx + 2x dy) = 0. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ   dx = 0, ydx + 2x dy = 0. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 10 áóéíðôïôéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 58 òÅÛÉ× ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ Ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÁÓÉÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÌÉÎÉÊ:  x = C1 ,  xy 2 = C2 . 3. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ z = xy ÔÁËÖÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÌÉÎÉÊ, ÔÁË ËÁË ÍÁÔÒÉÃÁ çÅÓÓÅ ÆÕÎËÃÉÉ z = xy ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ  H= 0 1 1 0  . î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 11 çåïäåúéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 11 59 çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ îÏÒÍÁÌØÎÁÑ É ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. îÏÒÍÁÌØÎÁÑ (ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ) ËÒÉ×ÉÚÎÁ ËÁË ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÒÏÅËÃÉÉ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ (ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ) ÐÌÏÓËÏÓÔØ. æÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ôÅÏÒÅÍÁ Ï ÇÌÁ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ. ôÅÏÒÅÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ. üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ. 11.1 îÏÒÍÁÌØÎÁÑ É ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ðÕÓÔØ S ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, γ : ⃗r = ⃗r(s), γ ⊂ S ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S, s ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÁÚÉÓ {⃗τ , ⃗n, ⃗b} ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á IR3 , ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ×: 1. ⃗τ ¡ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ËÒÉ×ÏÊ γ; 2. ⃗n ¡ ×ÅËÔÏÒ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S; 3. ⃗b = ⃗τ × ⃗n (ÎÅ ÐÕÔÁÔØ Ó ×ÅËÔÏÒÏÍ ÂÉÎÏÒÍÁÌÉ β⃗ ËÒÉ×ÏÊ γ!). 2 ÷ÅËÔÏÒ ËÒÉ×ÉÚÎÙ d ⃗r2 ËÒÉ×ÏÊ γ ÒÁÚÌÏÖÉÍ ÐÏ ÂÁÚÉÓÕ {⃗τ , ⃗n, ⃗b}: ds d2⃗r = α1⃗τ + α2⃗n + α3⃗b. ds2 ôÁË ËÁË ×ÅËÔÏÒÙ ÓËÏÒÏÓÔÉ É ÕÓËÏÒÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ, ÏÔÎÅÓÅÎÎÏÊ Ë ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍÕ ÐÁÒÁÍÅÔÒÕ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ, ÔÏ     d2⃗r   d2⃗r d⃗r   , ⃗τ = , = 0. α1 = ds2 ds2 ds ( ) 2 ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ α2 = d ⃗r2 , ⃗n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ds ( ) 2 ⃗ d r ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ γ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ kn . ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ α3 = , ⃗b ds2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ γ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ kg . éÔÁË,     d2⃗r  d2⃗r ⃗    kn = , ⃗n , kg = ,b . ds2 ds2 î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 11 çåïäåúéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 60 2 ôÁË ËÁË d ⃗r2 = k, ÔÏ ds k 2 = kn2 + kg2 . ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. 1. îÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÒÁ×ÎÁ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ⃗τ ÉÌÉ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÚÎÁËÁ ËÒÉ×ÉÚÎÅ ÐÒÏÅËÃÉÉ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØ (⃗τ , ⃗n). 2. çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÒÁ×ÎÁ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÚÎÁËÁ ËÒÉ×ÉÚÎÅ ÐÒÏÅËÃÉÉ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ ÐÌÏÓËÏÓÔØ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1. äÌÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÉÍÅÅÍ   2 ⃗r II(⃗τ ) d kn =  2 , ⃗n = = k(⃗τ ). I(⃗τ ) ds ⃗ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ξ⃗ c ÔÏÞÎÏÓÔØÀ îÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ k(ξ) ÄÏ ÚÎÁËÁ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ⃗ ðÒÏÅËÃÉÑ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØ (⃗τ , ⃗n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ξ. ÍÁÌØÎÙÍ ÓÅÞÅÎÉÅÍ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ⃗τ . 2. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÃÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÕÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ Sc , ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÕÖÉÔ ËÒÉ×ÁÑ γ, Á ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÔÏÞËÅ P (ÜÔÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÐÒÏÅËÃÉÀ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ ÐÌÏÓËÏÓÔØ). ðÒÏÅËÃÉÑ γ“ ËÒÉ×ÏÊ γ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ ÐÌÏÓËÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÓÅÞÅÎÉÅÍ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Sc × ÔÏÞËÅ P × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ⃗τ . ðÒÉÍÅÎÉÍ ÔÅÏÒÅÍÕ íÅÎØÅ Ë ËÒÉ×ÏÊ γ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Sc : R = Rn cos — ⇒ kn = k cos — ÉÌÉ k“ = k cos —, ÇÄÅ — ¡ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ ËÒÉ×ÏÊ γ É ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÅÊ Ó ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ, Á k“ ¡(ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ γ“ . ) ( ) 2 d ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, kg = d ⃗r2 , ⃗b = k⃗ν , ⃗b = k cos (⃗ν , ⃗b). ôÁË ËÁË ds d “ cos (⃗ν , ⃗b) = ± cos —, ÔÏ kg = ±k. 11.2 æÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ôÅÏÒÅÍÁ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 11 çåïäåúéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 61 1. kg = k⃗ν ⃗τ ⃗n, ‘ 2. kg = ⃗r⃗‘r⃗n3 . ∥⃗r∥ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1. éÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ É ×ÅËÔÏÒÁ ⃗b, ÐÏ( ) 2 ÌÕÞÉÍ kg = d ⃗r2 , ⃗b = (k⃗ν , ⃗b) = k(⃗ν , ⃗τ × ⃗n) = k⃗ν ⃗τ ⃗n. ds 2. ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁÎÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ⃗r = ⃗r(t), ÅÅ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ËÁÓÁÔÅÌØ‘ ÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ⃗τ = ⃗r‘ . éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÒÁ×ÉÌÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÐÏ∥⃗r∥ ÌÕÞÉÍ    r d2⃗r d⃗τ dt d  ⃗r‘  1   ⃗  = k⃗ν = 2 = =  ds ds dt ∥⃗r‘ ∥ ds ∥⃗r‘ ∥  ∥⃗r‘ ∥  d ⃗r‘ ∥⃗r‘ ∥   − dt 2  . ∥⃗r‘ ∥  ôÏÇÄÁ   r 1   ⃗  kg = k⃗ν ⃗τ ⃗n =  ∥⃗r‘ ∥  ∥⃗r‘ ∥ d ⃗r‘ ∥⃗r‘ ∥  ⃗r ⃗r‘ r‘  ⃗ dt  ⃗n = ⃗n = −  ∥⃗r‘ ∥2  ∥⃗r‘ ∥ ∥⃗r‘ ∥2 ∥⃗r‘ ∥ ⃗r⃗r‘ ⃗n . ∥⃗r‘ ∥3 ðÒÉÍÅÒ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÕÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ×ÉÎÔÏ×ÏÊ ÌÉÎÉÉ ⃗r = {cos t, sin t, t}, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ 1) ÃÉÌÉÎÄÒÅ; 2) ÇÅÌÉËÏÉÄÅ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ×ÔÏÒÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ, ÓÍÅÛÁÎÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÂÕÄÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÆÏÒÍÕÌÅ ⃗r⃗r‘ ⃗n = (⃗r × ⃗r‘ , ⃗n). 1. ÷ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (u, v) ÃÉÌÉÎÄÒÁ ⃗r = {cos v, sin v, u} ×ÉÎÔÏ×ÁÑ ÌÉÎÉÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ u = t, v = t. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ⃗r‘ × ⃗r: ⃗r‘ = {− sin t, cos t, 1}, ⃗r = {− cos t, − sin t, 0}, ⃗r‘ × ⃗r = {sin t, − cos t, 1}. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 11 çåïäåúéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 62 îÁÊÄÅÍ ×ÅËÔÏÒ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ ⃗n Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÁÈ ËÒÉ×ÏÊ γ: ⃗ru ⃗rv ⃗ru × ⃗rv ⃗n|γ = = = = {0, 0, 1}, {− sin v, cos v, 0}, {− cos v, − sin v, 0}, {− cos t, − sin t, 0}. ôÏÇÄÁ ⃗r⃗r‘ ⃗n = 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, kg = 0. 2. ÷ÉÎÔÏ×ÁÑ ÌÉÎÉÑ ÎÁ ÇÅÌÉËÏÉÄÅ ⃗r = {u cos v, u sin v, v} ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ u = 1, v = t. îÁÊÄÅÍ ×ÅËÔÏÒ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ ⃗n: {cos v, sin v, 0}, {−u sin v, u cos v, 1}, {sin v, − cos v, u}, √ 1 + u2 , 1 ⃗n|γ = √ {sin t, − cos t, 1}. 2 √ ôÏÇÄÁ ⃗r⃗r‘ ⃗n = −(⃗r‘ × ⃗r, ⃗n) = − 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, √ 2 1 kg = − √ 3 = − . 2 ( 2) ⃗ru ⃗rv ⃗ru × ⃗rv ∥⃗ru × ⃗rv ∥ = = = = òÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÊ ÐÒÉÍÅÒ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÌÅÖÉÔ ËÒÉ×ÁÑ. ïÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ ËÒÉ×ÁÑ, ÒÁÓÐÏÌÁÇÁÑÓØ ÎÁ ÒÁÚÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÑÈ, ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÎÕÀ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÕÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ. äÁÌÅÅ ÂÕÄÅÔ ÐÏËÁÚÁÎÏ (ÓÍ. ÒÁÚÄÅÌ 12.2), ÞÔÏ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÅÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅËÔÏÍ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. 11.3 çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ËÒÉ×ÙÅ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÁÍÉ ÐÒÑÍÙÈ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 11 çåïäåúéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 63 ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ Å¾ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉÍÅÒ Ó ×ÉÎÔÏ×ÏÊ ÌÉÎÉÅÊ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ ËÒÉ×ÁÑ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ, Á ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ¡ ÎÅÔ. ôÅÏÒÅÍÁ (Ï ÇÌÁ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ). çÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÇÄŠž ËÒÉ×ÉÚÎÁ k ̸= 0, ÇÌÁ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØ ⃗ν ËÒÉ×ÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÀ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ γ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ. éÓÐÏÌØk̸=0 ÚÕÅÍ ÐÅÒ×ÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ: kg = 0 ⇒ ⃗ν ⃗τ ⃗n = 0, ÔÏ ÅÓÔØ ×ÅËÔÏÒÙ ⃗ν , ⃗τ , ⃗n ËÏÍÐÌÁÎÁÒÎÙ. îÏ ⃗ν ⊥ ⃗τ , ⃗n ⊥ ⃗τ . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ⃗ν ∥ ⃗n. ïÂÒÁÔÎÏ, ÐÕÓÔØ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØ ⃗ν ËÒÉ×ÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÀ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ⃗ν ∥ ⃗n. ôÏÇÄÁ ⃗ν ⃗τ ⃗n = 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, kg = 0. ôÅÏÒÅÍÁ (ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ). çÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ γ : ⃗r = ⃗r(t) ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÑ ⃗r(t) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ⃗r‘⃗r⃗n = 0, ÇÄÅ ⃗n ¡ ×ÅËÔÏÒ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÐÕÝÅÎÏ ××ÉÄÕ ÅÇÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÓÔÉ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅÓËÏÌØËÏ ÔÅÏÒÅÍ, ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÉÈ ×ÁÖÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ. ôÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ. þÅÒÅÚ ÌÀÂÕÀ ÔÏÞËÕ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÌÀÂÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ É ÐÒÉÔÏÍ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ. ôÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÒÁÅ×ÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ P ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÁÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ÜÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ Ó ÔÏÞËÏÊ P ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ. üÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ ÞÁÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÀÔ ÔÁË: ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÌÉÚËÉÈ ÔÏÞÅË ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 11 çåïäåúéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 64 ôÅÏÒÅÍÁ (ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ ). äÕÇÁ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ Ä×Å ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÌÉÚËÉÅ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÄÌÉÎÕ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÐÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ. 11.4 ðÒÉÍÅÒÙ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ 1. ðÒÑÍÁÑ, ÃÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÁÝÁÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ÜÔÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 2. íÅÒÉÄÉÁÎ ÌÀÂÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ, ÔÁË ËÁË ÐÒÏÅËÃÉÑ ÍÅÒÉÄÉÁÎÁ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ ÐÌÏÓËÏÓÔØ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÏÊ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÍÅÒÉÄÉÁÎÁ kg = 0. 3. çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ¡ ÄÕÇÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ (É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ). 4. îÁÊÄÅÍ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ÎÁ ÐÒÑÍÏÍ ËÒÕÇÏ×ÏÍ ÃÉÌÉÎÄÒÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ v , a sin v , u} (ÐÁÕÄÏÂÓÔ×Á ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÚÁÄÁÄÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ⃗r = {a cos a a ÒÁÍÅÔÒ v Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ¡ ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÃÉÌÉÎÄÒÁ). ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÃÉÌÉÎÄÒÅ × ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ γ : u = u(t), v = v(t). ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ v = C1 (ÏÂÒÁÚÕÀÝÁÑ ÃÉÌÉÎÄÒÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ. åÓÌÉ v(t ‘ 0 ) ̸= 0, ÔÏ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÒÉ×ÕÀ γ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ × ×ÉÄÅ u = u(v). ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ v , a sin v , u(v)} (v ¡ ÐÁÒÁÍÅÔÒ). îÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ u(v), ⃗r = {a cos a a ÚÁÄÁÀÝÁÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÕÀ, ÐÏÄÌÅÖÉÔ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ. äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ ⃗r′⃗r′′⃗n = 0 (ÛÔÒÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÕ v) ÎÁÍ ÐÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ: ′ ⃗r = ⃗r′′ = ⃗ru = ⃗rv = ⃗ru × ⃗rv = { } v v − sin , cos , u′ , a a } { v 1 v ′′ 1 − cos , − sin , u , a a a a {0, 0, 1} , { } v v − sin , cos , 0 , a a { } v v − cos , − sin , 0 . a a î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 11 çåïäåúéþåóëéå ìéîéé îá ðï÷åòèîïóôé 65 óÏÓÔÁ×ÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ (× ÓÍÅÛÁÎÎÏÍ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ ⃗r‘⃗r⃗n ×ÅËÔÏÒ ⃗n ÚÁÍÅÎÉÍ ÎÁ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ⃗ru × ⃗rv ): v − sin a v cos a u′ 1 cos v − 1 sin v u′′ = 0. −a a a a v − sin v 0 − cos a a õÐÒÏÓÔÉ× ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÐÏÌÕÞÉÍ v cos v u′ − sin a a u′′ = 0 ⇔ u′′ = 0 ⇔ u = C2 v + C3 . v sin v 0 cos a a éÔÁË, ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÍÉ ÎÁ ÃÉÌÉÎÄÒÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÒÉ×ÙÅ ⃗r = {a cos C1 , a sin C1 , u}, v v ⃗r = {a cos , a sin , C2 v + C3 } a a É, × ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ, ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ. íÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÍÉ ÎÁ ÃÉÌÉÎÄÒÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÇÏ ÐÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ, ×ÉÎÔÏ×ÙÅ ÌÉÎÉÉ É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (ÐÒÉ C2 = 0). î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 12 ïóîï÷îùå õòá÷îåîéñ ôåïòéé ðï÷åòèîïóôåê 12 66 ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ äÅÒÉ×ÁÃÉÏÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ: ÆÏÒÍÕÌÙ çÁÕÓÓÁ É ÆÏÒÍÕÌÙ ÷ÅÊÎÇÁÒÔÅÎÁ. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ çÁÕÓÓÁ É ðÅÔÅÒÓÏÎÁ-íÁÊÎÁÒÄÉ-ëÏÄÁÃÃÉ. ôÅÏÒÅÍÁ çÁÕÓÓÁ (theorema egregium). ôÅÏÒÅÍÁ Ï ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÅ ÒÁÚ×ÅÒÔÙ×ÁÀÝÅÊÓÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ËÁË ÏÂßÅËÔÙ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ôÅÏÒÅÍÁ âÏÎÎÅ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÁÍÉ. 12.1 äÅÒÉ×ÁÃÉÏÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÁÎÁÌÏÇ ÆÏÒÍÕÌ æÒÅÎÅ ÄÌÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C 2 . ÷ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÂÁÚÉÓ {⃗ru ,⃗rv , ⃗n} ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á IR3 . éÚÕÞÉÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÐÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ÔÏÞËÉ ÐÏ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. úÁ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÉ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ. þÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÊ ⃗ru , ⃗rv , ⃗n ÐÏ u É v Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÆÕÎËÃÉÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ×. òÁÚÌÏÖÉÍ ÜÔÉ ×ÅËÔÏÒÙ ÐÏ ÂÁÚÉÓÕ {⃗ru ,⃗rv , ⃗n}: ⃗ruu = •111⃗ru + •211⃗rv + λ⃗n, (60) ⃗ruv = •112⃗ru + •212⃗rv + µ⃗n, (61) ⃗rvv = •122⃗ru + •222⃗rv + ν⃗n, (62) ⃗nu = α11⃗ru + α12⃗rv + α10⃗n, (63) ⃗nv = α21⃗ru + α22⃗rv + α20⃗n. (64) éÚÌÏÖÉÍ ÓÈÅÍÕ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× λ, µ, ν, •ijk , αij . 1. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× λ, µ, ν ÕÍÎÏÖÉÍ ÓËÁÌÑÒÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (60) (62) ÎÁ ⃗n. ðÏÌÕÞÉÍ (⃗ruu , ⃗n) = λ, (⃗ruv , ⃗n) = µ, (⃗rvv , ⃗n) = ν, ÉÌÉ λ = L, µ = M, ν = N. (65) 2. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ •ijk ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ ëÒÉÓÔÏÆÆÅÌÑ. äÌÑ ÎÉÈ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ×ÁÖÎÁÑ î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 12 ïóîï÷îùå õòá÷îåîéñ ôåïòéé ðï÷åòèîïóôåê 67 ôÅÏÒÅÍÁ. óÉÍ×ÏÌÙ ëÒÉÓÔÏÆÆÅÌÑ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ É ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ (É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× •111 É •211 ÕÍÎÏÖÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (60) ÎÁ ⃗ru É ⃗rv . ðÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:      (⃗ru ,⃗ru )•111 + (⃗rv ,⃗ru )•211 = (⃗ruu ,⃗ru ), (⃗ru ,⃗rv )•111 + (⃗rv ,⃗rv )•211 = (⃗ruu ,⃗rv ). (66) ÷ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ •111 É •211 Ó ÍÁÔÒÉÃÅÊ  G= (⃗ru ,⃗ru ) (⃗ru ,⃗rv ) (⃗ru ,⃗rv ) (⃗rv ,⃗rv )    = E F F G  , ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÁÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ ëÒÁÍÅÒÁ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ É ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ. äÌÑ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: 1 1 (⃗ruu ,⃗ru ) = (⃗ru ,⃗ru )u = Eu . 2 2 äÌÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÍÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (66) ×ÙÐÏÌÎÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ : (⃗ru ,⃗ru )v = 2(⃗ruv ,⃗ru ), (⃗ru ,⃗rv )u = (⃗ruu ,⃗rv ) + (⃗ru ,⃗ruv ), ÏÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ 1 1 (⃗ruu ,⃗rv ) = (⃗ru ,⃗rv )u − (⃗ru ,⃗ru )v = Fu − Ev . 2 2 äÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ëÒÉÓÔÏÆÆÅÌÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (ÎÁ ⃗ru É ⃗rv ÎÁÄÏ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (61) É (62)). õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÏÌÕÞÉÔÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ëÒÉÓÔÏÆÆÅÌÑ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ É ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 12 ïóîï÷îùå õòá÷îåîéñ ôåïòéé ðï÷åòèîïóôåê 68 3. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ α10 = α20 = 0. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÕÍÎÏÖÉÍ ÓËÁÌÑÒÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (63) (64) ÎÁ ⃗n: (⃗nu , ⃗n) = α10 , (⃗nv , ⃗n) = α20 . îÏ, ÔÁË ËÁË ×ÅËÔÏÒ ⃗n ¡ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ, ÔÏ (⃗n, ⃗n) ≡ 1 É (⃗n, ⃗n)u = 2(⃗nu , ⃗n) = 0, (⃗n, ⃗n)v = 2(⃗nv , ⃗n) = 0. 4. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× αij ÕÍÎÏÖÉÍ ÓËÁÌÑÒÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (63) (64) ÎÁ ⃗ru É ⃗rv . ðÏÓÌÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (63) ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ:    (⃗ru ,⃗ru )α11 + (⃗ru ,⃗rv )α12 = (⃗nu ,⃗ru ), (⃗ru ,⃗rv )α11 + (⃗rv ,⃗rv )α12 = (⃗nu ,⃗rv ). ÉÌÉ (ÓÍ. (35)) (37))   Eα11 + F α12 = −L, F α11 + Gα12 = −M. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ ëÒÁÍÅÒÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ  α11 −L F −M G M F − LG , = = EG − F 2 E F F G α12 E −L F −M = E F F G = LF − EM . EG − F 2 áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ α21 É α22 : α21 −M F −N G F N − GM = = , EG − F 2 E F F G α22 E −M F −N = E F F G = F M − EN . EG − F 2 î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 12 ïóîï÷îùå õòá÷îåîéñ ôåïòéé ðï÷åòèîïóôåê 69 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ •ijk , λ, µ, ν, αij ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ (60) (64) ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÙ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍ, ÐÒÉÞÅÍ ÓÉÍ×ÏÌÙ ëÒÉÓÔÏÆÆÅÌÑ •ijk ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ (É ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ). õÒÁ×ÎÅÎÉÑ (60) (62), × ËÏÔÏÒÙÅ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× •ijk , λ, µ, ν, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ çÁÕÓÓÁ1 . õÒÁ×ÎÅÎÉÑ (60) (62), × ËÏÔÏÒÙÅ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× αij , ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ ÷ÅÊÎÇÁÒÔÅÎÁ. ÷ÓÅ ÐÑÔØ ÆÏÒÍÕÌ × ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÅÒÉ×ÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ . 12.2 çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ËÁË ÏÂßÅËÔÙ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ôÅÏÒÅÍÁ. çÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ É ÆÕÎËÃÉÉ u, v, ÚÁÄÁÀÝÉÅ ËÒÉ×ÕÀ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ γ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ γ : u = u(t), v = v(t). ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ Ä×ÁÖÄÙ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÀ ⃗r(t) = ⃗r(u(t), v(t)): ⃗r‘ = ⃗ru u‘ + ⃗rv v, ‘ ⃗r = ⃗ruu u‘ 2 + 2⃗ruv u‘ v‘ + ⃗rvv v‘ 2 + ⃗ru u + ⃗rv v. ÷ÅËÔÏÒÙ ⃗ruu ,⃗ruv ,⃗rvv ÒÁÚÌÏÖÉÍ ÐÏ ÂÁÚÉÓÕ ⃗ru ,⃗rv , ⃗n, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÄÅÒÉ×ÁÃÉÏÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ. ôÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ⃗r = A⃗ru + B⃗rv + C⃗n, ÐÒÉÞÅÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ A É B ÚÁ×ÉÓÑÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ É ÆÕÎËÃÉÊ u(t), v(t). ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÓÍÅÛÁÎÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ⃗r‘⃗r⃗n = = = = 1 (⃗ru u‘ + ⃗rv v)(A⃗ ‘ ru + B⃗rv + C⃗n)⃗n = (⃗ru u‘ + ⃗rv v)(A⃗ ‘ ru + B⃗rv )⃗n = (uB ‘ − vA)⃗ ‘ ru⃗rv ⃗n = (uB ‘ − vA)(⃗ ‘ ru × ⃗rv , ⃗n) = (uB ‘ − vA)(∥⃗ ‘ r × ⃗rv ∥ ⃗n, ⃗n) = √ u (uB ‘ − vA) ‘ ∥⃗ru × ⃗rv ∥ = (uB ‘ − vA) ‘ EG − F 2 çÁÕÓÓ(Gauss) ëÁÒÌ æÒÉÄÒÉÈ (30.04.1777 23.02.1855) ¡ ÎÅÍÅÃËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 12 ïóîï÷îùå õòá÷îåîéñ ôåïòéé ðï÷åòèîïóôåê 70 ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÔÁËÖÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ. éÓÐÏÌØÚÕÑ ×ÔÏÒÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ‘ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ kg = ⃗r⃗‘r⃗n3 , ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ. ∥⃗r∥ õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÏÌÕÞÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ: ) ( ) } √ {( g u + •111 u‘ 2 + 2•112 u‘ v‘ + •122 v‘ 2 v‘ − v + •211 u‘ 2 + 2•212 u‘ v‘ + •222 v‘ 2 u‘ √ kg = , E u‘ 2 + 2F u‘ v‘ + Gv‘ 2 (67) 2 ÇÄÅ g = EG − F . 12.3 ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ çÁÕÓÓÁ É ðÅÔÅÒÓÏÎÁ-íÁÊÎÁÒÄÉ-ëÏÄÁÃÃÉ ðÕÓÔØ S : ⃗r = ⃗r(u, v) ¡ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C 3 . ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÉ ⃗r(u, v) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (⃗ruu )v = (⃗ruv )u , (68) (⃗ruv )v = (⃗rvv )u , (69) (⃗nu )v = (⃗nv )u . (70) ó ÄÁÎÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ ÐÒÏÄÅÌÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÍÁÎÉÐÕÌÑÃÉÉ. óÎÁÞÁÌÁ × (68) (70) ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ⃗ruu , ⃗ruv , ⃗rvv , ⃗nu , ⃗nv , ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÄÅÒÉ×ÁÃÉÏÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ (60) (64). úÁÔÅÍ ×ÙÐÏÌÎÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ËÏÔÏÒÙÈ × ÜÔÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ ÓÎÏ×Á ÐÏÑ×ÑÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ⃗ruu , ⃗ruv , ⃗rvv , ⃗nu , ⃗nv . åÝÅ ÒÁÚ ÉÓÐÏÌØÚÏ×Á× ÄÅÒÉ×ÁÃÉÏÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ ÔÒÅÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÉÄÁ βi1⃗ru + βi2⃗rv + βi3⃗n = 0, i = 1, 2, 3, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÓÉÓÔÅÍÅ ÉÚ ÄÅ×ÑÔÉ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ βij = 0, i, j = 1, 2, 3, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÛØ ÔÒÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ (ÆÏÒÍÕÌÏÊ) çÁÕÓÓÁ, ÏÓÔÁÌØÎÙÅ Ä×Á ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ íÁÊÎÁÒÄÉ-ðÅÔÅÒÓÏÎÁ2 -ëÏÄÁÃÃÉ3 . ÷ÙÐÉÛÅÍ ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. 2 3 ðÅÔÅÒÓÏÎ ëÁÒÌ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ(25.05.1828 1.05.1881) ¡ ÒÕÓÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ëÏÄÁÃÃÉ(Codazzi) äÅÌØÆÉÎÏ (7.03.1824 21.07.1873) ¡ ÉÔÁÌØÑÎÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 12 ïóîï÷îùå õòá÷îåîéñ ôåïòéé ðï÷åòèîïóôåê 71 æÏÒÍÕÌÁ çÁÕÓÓÁ: E Eu Ev 1 K = − 2 F Fu F v 4g G G u Gv      Fv − Gu   1  Ev − Fu   − . − √  √ √  2 g g g u v (71) õÒÁ×ÎÅÎÉÑ íÁÊÎÁÒÄÉ-ðÅÔÅÒÓÏÎÁ-ëÏÄÁÃÃÉ: E Eu L 2g(Lv − Mu ) − (EN − 2F M + GL)(Ev − Fu ) + F Fu M = 0, (72) G Gu N E Ev L 2g(Mv − Nu ) − (EN − 2F M + GL)(Fv − Gu ) + F Fv M = 0. (73) G Gv N õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÐÒÏÐÕÝÅÎÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ É ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ ÆÏÒÍÕÌÙ (71) (73) ÎÁ ÎÁÌÉÞÉÅ ÏÐÅÞÁÔÏË. ôÅÏÒÅÍÁ çÁÕÓÓÁ (theorema egregium). çÁÕÓÓÏ×Á ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÔÏÌØËÏ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÅÒ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ É ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ. éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ çÁÕÓÓÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÐÌÏÓËÏÓÔØ É ÓÆÅÒÁ ÎÅÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙ. îÅÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙ ÔÁËÖÅ Ä×Å ÓÆÅÒÙ ÒÁÚÎÙÈ ÒÁÄÉÕÓÏ×. õÐÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ É ×ÎÅÛÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. 12.4 ôÅÏÒÅÍÁ âÏÎÎÅ óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ É ËÒÕÞÅÎÉÅÍ. ôÅÏÒÅÍÁ âÏÎÎÅ.4 ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ 4 E = E(u, v), F = F (u, v), G = G(u, v), (74) L = L(u, v), M = M (u, v), N = N (u, v), (75) âÏÎÎÅ(Bonnet) ðØÅÒ ïÓÓÉÁÎ (22.11.1819 22.06.1892) ¡ ÆÒÁÎÃÕÚÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 12 ïóîï÷îùå õòá÷îåîéñ ôåïòéé ðï÷åòèîïóôåê 72 ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D ⊆ IR2 (u, v), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ: 1) ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÏÂÌÁÓÔÉ D Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ E du2 + 2F du dv + G dv 2 ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ; 2) ÆÕÎËÃÉÉ (74) (75) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ çÁÕÓÓÁ-íÁÊÎÁÒÄÉðÅÔÅÒÓÏÎÁ-ëÏÄÁÃÃÉ (71) (73) × ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÐÒÉÞÅÍ ÓÁÍÉ ÆÕÎËÃÉÉ É ×ÓÅ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ × ÏÂÌÁÓÔÉ D. ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÐÏÌÏÖÅÎÉÑ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C 2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ E du2 + 2F du dv + G dv 2 É L du2 + 2M du dv + N dv 2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍÉ ÆÏÒÍÁÍÉ. ôÅÏÒÅÍÁ âÏÎÎÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÊ 1 É 2 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎËÃÉÑ ⃗r(u, v), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ d⃗r2 = E du2 + 2F du dv + G dv 2 É (d⃗r2 , ⃗n) = L du2 + 2M du dv + N dv 2 , ÇÄÅ ⃗n = ⃗ru × ⃗rv . ∥⃗ru × ⃗rv ∥ ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ ⃗a, ⃗b É ⃗c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ, ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ ⃗b É ⃗c ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, ÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ⃗r(u0 , v0 ) = ⃗a, ⃗ru (u0 , v0 ) = ⃗b, ⃗rv (u0 , v0 ) = ⃗c, ÇÄÅ (u0 , v0 ) ¡ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ ×ÅËÔÏÒÆÕÎËÃÉÀ ⃗r(u, v). î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 13 úáäáþé äìñ óáíïóôïñôåìøîïê òáâïôù 13 73 úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ 1. ðÒÑÍÁÑ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÏÓÔÕÐÁÔÅÌØÎÏ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ, ÐÅÒÅÓÅËÁÑ ÄÒÕÇÕÀ ÐÒÑÍÕÀ ÐÏÄ ÐÒÑÍÙÍ ÕÇÌÏÍ, É ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ ×ÏËÒÕÇ ÜÔÏÊ ÐÒÑÍÏÊ. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ Ä×ÉÖÕÝÁÑÓÑ ÐÒÑÍÁÑ (ÐÒÑÍÏÊ ÇÅÌÉËÏÉÄ). äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÑÍÏÊ ÇÅÌÉËÏÉÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ. îÁÊÔÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÕÀ ÓÅÔØ ÎÁ ÇÅÌÉËÏÉÄÅ. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÇÅÌÉËÏÉÄÕ × ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÅ. 2. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÃÅÐÎÏÊ ÌÉÎÉÉ y = a ch xa ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Ox (ËÁÔÅÎÏÉÄ). óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÅ P (0, a, 0). 3. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ x = a + b cos u, z = b sin u, 0 < b < a, ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Oz (ÔÏÒ). 4. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÔÒÁËÔÒÉÓÙ ×ÏËÒÕÇ ÅÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ (ÐÓÅ×ÄÏÓÆÅÒÁ). îÁÊÔÉ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÐÓÅ×ÄÏÓÆÅÒÙ. 5. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. 6. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ⃗r = {2uv, u − v, u + v}, u, v ∈ IR, ÒÅÇÕÌÑÒÎÁ. 7. îÁÊÔÉ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ Á) ⃗r = {u, 2u cos v, 3u sin v}, u, v ∈ IR; Â) ⃗r = {sin u, 2 cos u cos v, 4 cos u sin v}, u, v ∈ IR. 8. îÁÚ×ÁÔØ É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Á) ⃗r = {sin u, 2 cos u cos v, 4 cos u sin v}, u ∈ (− π2 , π2 ), v ∈ (0, π); Â) ⃗r = {u, 2u cos v, 3u sin v}, u < 0, v ∈ (− π2 , π2 ); ×) ⃗r = {u2 , 2u cos v, 4u sin v}, u > 0, v ∈ (0, π). Ç) ⃗r = {sinh u, 2 cosh u cos v, 4 cosh u sin v}, u < 0, v ∈ (0, π); Ä) ⃗r = {cosh u, 2 sinh u cos v, 4 sinh u sin v}, u > 0, v ∈ (0, π); Å) ⃗r = {2uv, u − v, u + v}, u, v ∈ IR. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 13 úáäáþé äìñ óáíïóôïñôåìøîïê òáâïôù 74 9. îÁÊÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ⃗r = {u2 , 2u cos v, 4u sin v} × ÔÏÞËÅ P (1, 0, 4). 10. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ Á) ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ; Â) ÇÌÁ×ÎÙÈ ÎÏÒÍÁÌÅÊ; ×) ÂÉÎÏÒÍÁÌÅÊ ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ⃗r = ρ⃗(s). âÕÄÕÔ ÌÉ ÜÔÉ ÐÏ×ÅÒÎÏÓÔÉ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍÉ? óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É ÎÏÒÍÁÌÉ × ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 11. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÃÉÌÉÎÄÒÁ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ËÒÉ×ÁÑ ⃗r = ρ⃗(u) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÅÊ, Á ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ×ÅËÔÏÒÕ ⃗e. 12. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÏÎÕÓÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ËÒÉ×ÁÑ ⃗r = ρ⃗(u) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÅÊ. 13. äÁÎÙ Ä×Å ËÒÉ×ÙÅ ⃗r = ρ⃗1 (u) É ⃗r = ρ⃗2 (v). óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÓÔÏÍ ÓÅÒÅÄÉÎ ÏÔÒÅÚËÏ×, ËÏÎÃÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÄÁÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÅÓÔØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÐÅÒÅÎÏÓÁ (ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ ÐÅÒÅÎÏÓÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÏÂÒÁÚÕÅÍÁÑ ÐÒÉ ÐÏÓÔÕÐÁÔÅÌØÎÏÍ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÉ ÏÄÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ×ÄÏÌØ ÄÒÕÇÏÊ ËÒÉ×ÏÊ). 14. ðÕÓÔØ ⃗r = ρ⃗(u) ¡ ËÒÉ×ÁÑ Ó ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ ÎÕÌÑ ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ k. þÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÅÅ ÔÏÞËÕ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÁ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ, É × ÜÔÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ⃗r = ρ⃗(u) É ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÒÁÄÉÕÓÏÍ a, ÐÒÉÞÅÍ a > 0, ak < 1. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÁËÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÏÂÒÁÚÕÅÔ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÔÒÕÂÏÏÂÒÁÚÎÕÀ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ S. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÎÏÒÍÁÌØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ËÒÉ×ÕÀ ⃗r = ρ⃗(u) É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÀ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. 15. óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ ÎÏÒÍÁÌÑÍÉ ×ÉÎÔÏ×ÏÊ ÌÉÎÉÉ ⃗r = {a cos t, a sin t, bt}. 16. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ë ËÒÉ×ÏÊ γ. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ËÒÉ×ÏÊ γ ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ ÐÌÏÓËÏÓÔØ. 17. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÏÒÍÁÌØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÇÌÁ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÀ ÍÅÒÉÄÉÁÎÁ É ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÓØ ×ÒÁÝÅÎÉÑ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 13 úáäáþé äìñ óáíïóôïñôåìøîïê òáâïôù 75 18. îÁÊÔÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ S, ÚÎÁÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÅÅ ÎÏÒÍÁÌÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. 19. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÎÏÒÍÁÌÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÐÒÑÍÕÀ, ÔÏ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÂÕÄÅÔ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ ×ÒÁÝÅÎÉÑ. 20. îÁÊÔÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ξ⃗ ∈ TP S, ÅÓÌÉ S : ⃗r = {u, 2u cos v, 3u sin v}, P (1, 0, 3), ξ⃗ ↔ ξ = (4, 6)T . 21. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ ξ⃗ = ⃗i + 2⃗j + 6⃗k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : ⃗r = {u, 2u cos v, 3u sin v} × ÔÏÞËÅ P (1, 2, 0). 22. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÚÁÄÁÞ 1 5. 23. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ x2 − z 2 + 2y = 0 × ÔÏÞËÅ P (0, 2, 2). 24. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÅÒ×ÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 10. 25. ðÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ds2 = du2 + (u2 + a2 )dv 2 . Á) îÁÊÔÉ ÐÅÒÉÍÅÔÒ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ËÒÉ×ÙÈ u = ± 12 av 2 , v = 1; Â) ÎÁÊÔÉ ÕÇÌÙ ÜÔÏÇÏ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ; ×) ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ËÒÉ×ÙÈ u = ±av, v = 1; Ç) ÎÁÊÔÉ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÒÉ×ÙÍÉ u + v = 0 É u − v = 0. 26. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ξ⃗1 É ξ⃗2 Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ P (1, 2), ÅÓÌÉ ξ1 = (1, 2)T , ξ2 = (−1, 2)T , Á ÐÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ I = (u2 + 1)du2 + uvdudv + v 2 dv 2 . 27. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÒÉ×ÙÍÉ γ1 : u = v 2 É γ2 : v = 1 ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ ÉÈ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÐÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ I = du2 + uvdudv + dv 2 . 28. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÙÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ, ÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅ ÅÅ ÍÅÒÉÄÉÁÎÙ ÐÏÄ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÕÇÌÏÍ (ÔÁËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÏËÓÏÄÒÏÍÁÍÉ). 29. óÅÔØ ËÒÉ×ÙÈ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÅÔØÀ þÅÂÙÛÅ×Á, ÅÓÌÉ Õ ÌÀÂÏÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÕÅÍÏÇÏ ÌÉÎÉÑÍÉ ÓÅÔÉ, ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÒÁ×ÎÙ. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÅÔØ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÌÅÔÓÑ ÓÅÔØÀ þÅÂÙÛÅ×Á ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Ev = Gu = 0. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 13 úáäáþé äìñ óáíïóôïñôåìøîïê òáâïôù 76 30. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÐÅÒÅÎÏÓÁ ⃗r = U (u) + V (v) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÌÉÎÉÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÕÀ ÓÅÔØ. 31. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ×ÔÏÒÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÚÁÄÁÞ 1 5. 32. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ×ÔÏÒÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ x2 − z 2 + 2y = 0 × ÔÏÞËÅ P (0, 2, 2). 33. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ×ÔÏÒÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 10. 34. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÔÏÞÅË ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÑÈ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. 35. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÔÏÞËÉ (0, 0, 0) ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ: a) z = x2 + y 2 ; b) z = (x2 + y 2 )2 . 36. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÉÐÙ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ z = x2 + 6xy + y 3 . 37. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÉÐÙ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ z 3 − 3xy 2 − x = 0. 38. îÁÊÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÇÏÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ Ë ÜÌÌÉÐÓÏÉÄÕ x2 y 2 z 2 + + =1 a 2 b 2 c2 × ÔÏÞËÅ (0, 0, c). 39. îÁÊÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÇÏÓÑ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ Ë Ä×ÕÐÏÌÏÓÔÎÏÍÕ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄÕ x2 y 2 z 2 + − 2 = −1 a2 b2 c × ÔÏÞËÅ (0, 0, c). 40. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÇÌÁÄËÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ C 2 ËÁÓÁÅÔÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÄÏÌØ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÐÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÏÊ, ÌÉÂÏ ÔÏÞËÏÊ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ. 41. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÕÐÌÏÝÅÎÉÑ, ÔÏ ËÒÉ×ÁÑ ÐÌÏÓËÁÑ. 42. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ ÇÌÁÄËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÁ C 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ L M N = = . E F G 43. äÌÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ⃗r = {(a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v} ÎÁÊÔÉ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ, ÇÁÕÓÓÏ×Õ É ÓÒÅÄÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÉÐÙ ÔÏÞÅË ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 13 úáäáþé äìñ óáíïóôïñôåìøîïê òáâïôù 77 44. îÁÊÔÉ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ, ÇÁÕÓÓÏ×Õ É ÓÒÅÄÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÇÅÌÉËÏÉÄÁ. 45. îÁÊÔÉ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ 2 x − z 2 + 2y = 0 × ÔÏÞËÅ P (0, 2, 2). 46. îÁÊÔÉ ÇÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÅ P (2, 1), ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÐÅÒ×ÁÑ É ×ÔÏÒÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ √ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ: I = du2 + (1 + u2 )dv 2 , II = −2dudv/ u2 + 1. 47. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÇÁÕÓÓÏ×Õ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : x = y 2 − z 2 × ÔÏÞËÅ P (0, 1, 1). 48. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÒÅÄÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S : y = x2 + z 2 × ÔÏÞËÅ P (1, 2, 1). 49. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÔÅÎÏÉÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ. 50. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÅÌÉËÏÉÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ. 51. îÁÊÔÉ ÇÁÕÓÓÏ×Õ É ÓÒÅÄÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ë ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. 52. îÁÊÔÉ ÇÁÕÓÓÏ×Õ É ÓÒÅÄÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ ÎÏÒÍÁÌÑÍÉ ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. 53. îÁÊÔÉ ÇÁÕÓÓÏ×Õ É ÓÒÅÄÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÂÉÎÏÒÍÁÌÑÍÉ ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. 54. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÍÂÉÌÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ 2 H = K. 55. îÁÊÔÉ ÌÉÎÉÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÇÅÌÉËÏÉÄÁ. 56. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ËÁÔÅÎÏÉÄÁ. 57. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ z = xy 2 . 58. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÇÅÌÉËÏÉÄÁ. 59. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÏÄÎÏÐÏÌÏÓÔÎÏÇÏ ÇÉÐÅÒÂÏÌÏÉÄÁ. 60. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ⃗r = {2uv, u − v, u + v}. 61. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÁÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÎÉÉ, ÇÄÅ ÅÅ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÁÑÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÌÉÎÉÉ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 62. îÁÊÔÉ ÌÉÎÉÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ. 63. îÁÊÔÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ⃗r = {(a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v} × ÔÏÞËÅ (a + b, 0, 0) × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ξ = (1, 2). 64. îÁÊÔÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÕÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ×ÉÎÔÏ×ÙÈ ÌÉÎÉÊ (u = const) ÇÅÌÉËÏÉÄÁ ⃗r = {u cos v, u sin v, av}. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ 13 úáäáþé äìñ óáíïóôïñôåìøîïê òáâïôù 78 65. îÁÊÔÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÕÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÓÆÅÒÅ. 66. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÎÉÉ ÒÁ×ÎÁ ÅÅ ËÒÉ×ÉÚÎÅ. 67. ä×Å ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ γ. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÒÉ×ÁÑ γ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ É ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 68. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ËÒÉ×ÏÊ, ÇÄÅ ÅÅ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÎÏÒÍÁÌØ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÌÅÖÉÔ × ÓÏÐÒÉËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ. 69. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ËÒÉ×ÏÊ, ÇÄÅ ÅÅ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÅÅ ÓÐÒÑÍÌÑÀÝÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 70. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ËÒÉ×ÏÊ ÅÅ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ÒÁ×ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ. 71. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÁÑ ÌÉÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÐÒÑÍÁÑ. 72. îÁÊÔÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ËÒÕÇÌÏÇÏ ËÏÎÕÓÁ. 73. îÁÊÔÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ ÇÅÌÉËÏÉÄÁ. 74. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ äÁÒÂÕ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÎÉÉ ÎÁ ÒÁÚ×ÅÒÔÙ×ÁÀÝÅÊÓÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎ ÐÏ ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ. 75. îÁÊÔÉ ÇÁÕÓÓÏ×Õ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÐÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ds2 = du2 + B 2 (u, v)dv 2 . 76. îÁÊÔÉ ÇÁÕÓÓÏ×Õ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÐÅÒ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ds2 = du2 + e2u dv 2 . 77. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÁÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ë ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚ×ÅÒÔÙ×ÁÀÝÅÊÓÑ. 78. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÞÁÔÁÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ⃗r = ⃗r0 + v⃗a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚ×ÅÒÔÙ×ÁÀÝÅÊÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ⃗r′0⃗a⃗a′ = 0. 79. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÄÏÌØ ÌÉÎÉÉ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁÚ×ÅÒÔÙ×ÁÀÝÕÀÓÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ óðéóïë ìéôåòáôõòù 79 óÐÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1] áÌÅËÓÁÎÄÒÏ× á.ð. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ÏÂÝÕÀ ÔÏÐÏÌÏÇÉÀ. ¡ í.: îÁÕËÁ, 1977. ¡ 368 c. [2] áÌÅËÓÁÎÄÒÏ× á.ä., îÅÃ×ÅÔÁÅ× î.à. çÅÏÍÅÔÒÉÑ. ¡ í.: îÁÕËÁ, 1990.¡ 672 c. [3] áÒÎÏÌØÄ ÷.é. ïÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ¡ í.: îÁÕËÁ, 1971. ¡ 240 Ó. [4] ÷ÅÒÎÅÒ á.ì., ëÁÎÔÏÒ â.å., æÒÁÎÇÕÌÏ× ó.á. çÅÏÍÅÔÒÉÑ. þ.2. ¡ óðÂ.: óÐÅÃÉÁÌØÎÁÑ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÁ, 1997. ¡ 320 Ó. [5] çÉÌØÂÅÒÔ ä., ëÏÎ-æÏÓÓÅÎ ó. îÁÇÌÑÄÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. ¡ í.: îÁÕËÁ, 1981. ¡ 344 Ó. [6] äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ: õÞÅÂÎÏÅ ÐÏÓÏÂÉÅ / ðÏÐÏ× ÷.ó., ðÕÓÔÏ×ÁÌÏ×Á ç.ð., èÏÒØËÏ×Á î.ç. É ÄÒ.: ÐÏÄ ÒÅÄ. ñËÏ×ÅÎËÏ í.ç. ¡ í.: éÚÄ-×Ï íçôõ, 1990. ¡ 104 Ó. [7] äÕÂÒÏ×ÉÎ â.á., îÏ×ÉËÏ× ó.ð., æÏÍÅÎËÏ á.ô. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. íÅÔÏÄÙ É ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ. ô.1. éÚÄ-Å 4-Å, ÉÓÐÒÁ×ÌÅÎÎÏÅ É ÄÏÐÏÌÎÅÎÎÏÅ. ¡ í.: üÄÉÔÏÒÉÁÌ õòóó, 1998. ¡ 336 Ó. [8] ëÁÎÁÔÎÉËÏ× á.î., ëÒÉÝÅÎËÏ á.ð. áÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. (óÅÒ. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÔÅÈÎÉÞÅÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ; ÷ÙÐ. III). ¡ í.: éÚÄ-×Ï íçôõ, 2000. ¡ 388 Ó. [9] ëÁÎÁÔÎÉËÏ× á.î., ëÒÉÝÅÎËÏ á.ð. ìÉÎÅÊÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ. (óÅÒ. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÔÅÈÎÉÞÅÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ; ÷ÙÐ. IV). ¡ í.: éÚÄ-×Ï íçôõ, 1999. ¡ 336 Ó. [10] ëÁÎÁÔÎÉËÏ× á.î., ëÒÉÝÅÎËÏ á.ð., þÅÔ×ÅÒÉËÏ× ÷.î. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. (óÅÒ. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÔÅÈÎÉÞÅÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ; ÷ÙÐ. V). ¡ í.: éÚÄ-×Ï íçôõ, 2000. ¡ 456 Ó. [11] ëÏÒÎ ç., ëÏÒÎ ô. óÐÒÁ×ÏÞÎÉË ÐÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÄÌÑ ÎÁÕÞÎÙÈ ÒÁÂÏÔÎÉËÏ× É ÉÎÖÅÎÅÎÒÏ×. ¡í.: îÁÕËÁ, 1977. ¡ 832 Ó. [12] íÉÝÅÎËÏ á.ó., æÏÍÅÎËÏ á.ô. ëÕÒÓ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ.¡ í.: éÚÄ-×Ï ¥æÁËÔÏÒÉÁÌ-ÐÒÅÓÓ¥, 2000. ¡ 448 Ó. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ óðéóïë ìéôåòáôõòù 80 [13] íÉÝÅÎËÏ á.ó., óÏÌÏ×ØÅ× à.ð., æÏÍÅÎËÏ á.ô. óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ ÐÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ.¡ í.:éÚÄ-×Ï íçõ, 1981. ¡ 184 Ó. [14] ðÏÇÏÒÅÌÏ× á.÷. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. ¡ í.: 1974.¡ 176 c. îÁÕËÁ, [15] ðÏÚÎÑË ü.ç., ûÉËÉÎ å.÷. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ: ðÅÒ×ÏÅ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï. éÚÄ. 2-Å. ¡ í.: åÄÉÔÏÒÉÁÌ õòóó, 2003. ¡ 408 Ó. [16] òÁÛÅ×ÓËÉÊ ð.ë. ëÕÒÓ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. éÚÄ. 4-Å. ¡ í.: åÄÉÔÏÒÉÁÌ õòóó, 2003. ¡ 664 Ó. [17] òÏÚÅÎÄÏÒÎ ü.ò. úÁÄÁÞÉ ÐÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. - í.: æéúíáôìéô, 2008.¡ 144 Ó. [18] òÏÚÅÎÄÏÒÎ ü.ò. ôÅÏÒÉÑ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. ¡ 2-Å ÉÚÄ. ¡ í.: æéúíáôìéô, 2006.¡ 304 Ó. [19] óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ ÐÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ðÏÄ ÒÅÄ. á.ó.æÅÄÅÎËÏ. ¡ í.: îÁÕËÁ, 1979. ¡ 272 Ó. [20] ûÉËÉÎ å.÷., æÒÁÎË-ëÁÍÅÎÅÃËÉÊ í.í. ëÒÉ×ÙÅ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å: óÐÒÁ×ÏÞÎÉË Ó ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÅÍ ÄÉÓËÅÔÙ ¥ðÌÏÓËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ¥. ¡ í.:æÁÚÉÓ, 1997. [21] èÏÒØËÏ×Á î.ç., þÅÒÅÄÎÉÞÅÎËÏ á.÷. üÌÅÍÅÎÔÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÐÏÌÏÇÉÉ. ëÒÉ×ÙÅ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ¡ M.: éÚÄ-×Ï íçôõ, 2007. ¡ 48 Ó. î.ç.èÏÒØËÏ×Á »ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÕÒÓ ÌÅËÃÉʼ