Поток векторного поля через поверхность

ЛЕКЦИЯ 5 Поток векторного поля через поверхность Предположим, что в некоторой части пространства задано течение несжимаемой жидкости с постоянной скоростью . Перпендикулярно скорости движения поставлена проницаемая пластинка площадью S (рис. 1). Объем жидкости П, протекающий через данную пластинку за единицу времени, очевидно, будет , (1) так как все частицы жидкости, находящиеся в начальный момент перед пластинкой на расстоянии не более чем , за единицу времени пройдут через пластинку. Величину этого объема называют потоком постоянного вектора через площадку . Пусть теперь пластинка поставлена к потоку под некоторым углом (рис. 2), где угол – угол между вектором скорости и перпендикуляром к площадке , направленным в сторону общего потока жидкости. В этом случае через пластинку пройдут за единицу времени те частицы, которые отстояли от этой пластинки на расстоянии не более , т.е. . (2) Очевидно, что (1) – частный случай (2), т.к. при , (). Рис. 1. Поток вектора скорости Рис. 2 Поток вектора скорости перпендикулярно площадке под углом к площадке Равенство (2) можно записать в векторном виде: , где – проекция вектора на направление вектора нормали . Теперь можно определить поток произвольного вектора через поверхность (замкнутую или незамкнутую) (рис. 3). В каждой точке поверхности построим единичный вектор нормали и условимся для замкнутой поверхности считать за положительное направление нормали – направление внешней нормали. Если поверхность незамкнута, то направление нормали произвольно (оговаривая какое из направлений мы выбираем), при этом векторы во всех точках поверхности должны лежать по одну ее сторону. Рис. 3. Поток произвольного вектора через поверхность Разобьем поверхность (см. рис. 3) на большое число элементарных площадок, в каждой из которых выберем произвольно точку и построим в ней . Составим интегральную сумму , где – число элементарных площадок разбиения, – угол между векторами и . Потоком Р поля вектора через поверхность называется предел интегральной суммы при стягивании каждой элементарной площадки в точку . (3) Физический смысл потока векторного поля в случае гидродинамической интерпретации при представляет поток вектора скорости через поверхность, т.е. объем жидкости , протекающий за единицу времени через эту поверхность: . Если поверхность замкнута, то ориентируя поверхность по внешней нормали (рис. 4), будем иметь: а) , если жидкость вытекает, т.к. (косинус острого угла), б) , если жидкость втекает, т.к. (косинус тупого угла); Рис. 4. Втекание и вытекание жидкости через замкнутую поверхность Таким образом, общий поток жидкости Р можно записать: . При этом: если П>0, то жидкости вытекает больше, чем втекает, т.е. внутри жидкости имеются источники; если П<0, то внутри жидкости имеются стоки; если П=0, то внутри жидкости либо нет источников и стоков, либо есть источники и стоки, но они компенсируют друг друга. Заметим, что и в случае положительного потока внутри жидкости могут быть источники и стоки, но источники превалируют над стоками. Аналогично, при отрицательном стоке внутри жидкости также могут быть источники и стоки, но стоки превалируют над источниками. Гидрологи называют поток воды в реках расходом (объём жидкости, протекающий через поперечное сечение в единицу времени). ПРИЛОЖЕНИЕ 5 (Вспомогательный материал) Двойной интеграл по поверхности . В подавляющем большинстве случаев вычисление двойного интеграла сводится к двум последовательным интегрированиям: . Тройной интеграл по объему . Как и в случае двойных интегралов, основной прием, на котором базируется вычисление тройных интегралов, состоит в сведении тройного интеграла к повторному интегрированию, т.е. замене интегрирования по объему интегрированием по каждой из переменных в отдельности: . Криволинейный интеграл по координатам на плоскости легче представить на конкретной физической задаче. Пусть в плоскости задана какая-то кривая АВ, в каждой точке М которой задана сила . Компоненты силы на оси координат означим . Определим работу по перемещению точки вдоль некоторой линии АВ. Если сила постоянна, а путь АВ прямолинеен, то работа равна, как известно из физики, произведению величины этой силы на длину пути и косинус угла между вектором силы и направлением перемещения, т.е. работа равна скалярному произведению . В общем случае, когда сила переменна, а путь криволинеен, то необходимо эту кривую АВ разбить на части точками . Соединив полученные точки отрезками прямых, получим ломаную линию. Считая, что вдоль каждого звена ломаной линии работа постоянна, а путь прямолинеен, можем найти работу по перемещению вдоль всей ломанной: , где – количество точек разбиения линии . Эту сумму можно принять за приближенное значение работы в силовом поле. Для получения точного значения этой работы надо перейти в последней сумме к пределу, устремив максимальную длину отрезка ломаной линии к нулю. Если при этом сумма стремится к некоторому конечному пределу, то его называют криволинейным интегралом вектора по контуру АВ: Если контур замкнут, то криволинейный интеграл по замкнутому контуру записывают . В этом случае криволинейный интеграл называют циркуляцией (круговое движение) вектора по замкнутому контуру . Если циркуляция положительна, то контур будет вращаться в положительном направлении (против направления обхода часовой стрелки), если циркуляция отрицательна – в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Если величина циркуляции равна нулю, то контур вращаться не будет. Итак, циркуляция по данному контуру характеризует вращательное движение поля на данном контуре.