Потери энергии; уравнения Бернулли для расчета простого трубопровода

3.4 Потери энергии Потери удельной энергии (напора) обусловлены наличием сил внутреннего (вязкого) трения в движущийся жидкости. Они делятся на потери энергии по длине потока и местные. 2 n k ∑h = ∑h тр 1 1 + ∑ hм , (3.9) 1 n где ∑h тр – потери энергии по длине, м; 1 n – количество участков, где определяются потери; k ∑h м – местные потери, м; 1 k – количество местных сопротивлений. Местными сопротивлениями называют те участки трубопровода, где происходит изменение скорости жидкости по величине или направлению. Потери по длине на участке трубопровода постоянного диаметра hтр l υ2 =λ , d 2g (3.10) где λ – безразмерный коэффициент потерь на трение по длине, l – длина участка трубопровода, м. Если заменить скорость жидкости в формуле (3.10) на расход: υ= 4Q , πd 2 то получим другое выражение для расчета потерь: hтр = 0,0827 Q2 l λ d4 d (3.11) Коэффициент потерь на трение определяется для ламинарного режима по формуле Пуазейля: 64 λ= (3.12) Re Подставив выражение (3.12) в формулу (3.10), получим hтр = 64 l υ 2 64 ⋅ν l υ 2 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , Re d 2 g υ ⋅ d d 2 g отсюда hтр = 32νl υ d 2g (3.13) 22 Из формулы (3.13) видно, что потери при ламинарном режиме зависят от первой степени скорости (расхода). При турбулентном режиме течения величина коэффициента потерь по длине определяется по опытным графикам (график Мурина и т.д.), различным эмпирическим формулам, наиболее универсальной из которых является формула Альтшуля: ⎛ ∆ 68 ⎞ λ = 0,11⎜ + ⎟ ⎝ d Re ⎠ 0 , 25 , (3.14) где ∆ – шероховатость внутренней поверхности трубы, м; d – внутренний диаметр трубы, м. Потери энергии в местном сопротивлении: hм = ζ υ2 2g (3.15) где ζ – безразмерный коэффициент местных потерь; υ – скорость жидкости, как правило, после местного сопротивления. В данном случае имеются исключения для выхода из трубы и внезапного расширения трубы — здесь берется скорость до местного сопротивления. Коэффициент местных потерь зависит от вида местного сопротивления, при турбулентном течении не зависит от числа Re, а при ламинарном определяется по выражению: A ζ лам = ζ турб + , (3.16) Re где А – коэффициент, зависящий от вида местного сопротивления. Наиболее употребляемые коэффициенты местных потерь рассмотрим ниже (см. рис. 3.11). Значения коэффициентов даны для турбулентного режима течения. Вход в трубу ζвх=0,5 Выход из трубы ζвых=1 23 Внезапное расширение ⎛ d2 ⎞ ζв.р.= ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ D ⎠ hв.р.= ζв.р. 2 υ12 2g Внезапное сужение ⎛ d2 ⎞ ζв.с.=0,5 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ D ⎠ 2 Поворот Коэффициент ζпов зависит от характера этого поворота, поэтому обобщенно может быть принят ζпов=1. Рис. 3.11 Суммарные потери для участка трубопровода постоянного диаметра, который содержит k местных сопротивлений, определяется по формуле: 2 ∑h = 1 k k υ12 ⎛ l ⎞ ⎞ Q2 ⎛ l ⎜ λ + ∑ ζ i ⎟ = 0,0827 4 ⎜ λ + ∑ ζ i ⎟ 2g ⎝ d 1 ⎠ d ⎝ d 1 ⎠ (3.17) Для трубопровода, содержащего несколько участков разного диаметра, потери записывают по участкам (см. рис. 3.12): Рис. 3.12 24 ⎞ Q 2 ⎛ l1 Q 2 ⎛ l2 ⎞ ∑ h = 0,0827 d 4 ⎜⎜ λ1 d + ζ вх + ζ пов + ζ в. р. ⎟⎟ + 0,0827 d 4 ⎜⎜ λ2 d ⎟⎟ + 1 ⎝ 1 2 ⎝ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎞ Q ⎛ l + 0,0827 4 ⎜⎜ λ3 3 + ζ в.с. + ζ пов + ζ др + ζ вых ⎟⎟ d3 ⎝ d3 ⎠ 3.5 Применение уравнения Бернулли для расчета простого трубопровода Цель расчета — определение неизвестных параметров потока: давления (напора) или силы, расхода (скорости) жидкости; диаметра трубопровода. Общий алгоритм расчета 1) Выбираем плоскость сравнения для отсчета высот (напоров) на нижнем координатном уровне в задаче — на том уровне, от которого отсчитывается вверх заданная или искомая в задаче высота Н. 2) Выбираем сечения для составления уравнения Бернулли: 1-е сечение — на поверхности жидкости в баке, откуда она вытекает; на поверхности поршня гидроцилиндра, откуда жидкость вытесняется. 2-е сечение — на поверхности жидкости в баке, куда она втекает; на поверхности поршня гидроцилиндра, куда всасывается жидкость; в конечном сечении трубопровода, откуда жидкость вытекает в атмосферу. 3) Записываем уравнение Бернулли в общем виде (выражение 3.7) и определяем его составляющие, применяя при этом следующие правила: 3.1) Принимаем все высоты (напоры) неизменными, т.е. несмотря на перетекание жидкости из бака в бак этим процессом пренебрегаем. 3.2) Скорость жидкости на поверхности ее в баке принимаем равной нулю. 3.3) Кинетической энергией жидкости, движущийся под воздействием поршня гидроцилиндра или за этим поршнем, можно пренебречь ввиду малости. 3.4) Давление в левую и правую части уравнения Бернулли записываем в относительном виде: если давление в баке или гидроцилиндре избыточное, то Ризб со знаком «плюс», если давление в баке или гидроцилиндре вакуумметрическое, то Рвак со знаком «минус»; если жидкость вытекает в атмосферу или бак открыт, то Р=0. 3.5) Потери записываем в общем виде (выражение 3.17). Если трубопровод имеет участки разного диаметра, то потери записываем по участкам. 4) Приводим уравнение Бернулли к расчетному виду, подставив в него все составляющие и при определении давления (напора) или силы решаем это уравнение относительно неизвестной величины. При определении расхода (скорости) жидкости или диаметра трубопровода приводим уравнение Бернулли к расчетному виду типа: H расп = ∑ h , (3.18) где H расп – располагаемый напор в задаче, м — все члены уравнения Бернулли, не содержащие расхода (скорости), скомпонованные в левой его части. 5) Определяем режим течения жидкости, вычисляем числа Рейнольдса (по выражению 3.6) и сравниваем их с критической величиной Reкр=2320 для круглой трубы. 25 6) Определяем коэффициенты потерь по длине и местные для соответствующего режима течения. 7) Подставляем коэффициенты потерь в выражение для потерь и определяем потери энергии. 8) При определении давления (напора) или силы подставляем величины потерь в расчетное уравнение и находим искомую величину. 9) При определении расхода жидкости находим величины потерь при нескольких значениях произвольно выбранного расхода (предварительно определив для каждой величины числа Re и коэффициенты потерь) и строим графическую зависимость потерь от расхода. 10) При определении диаметра находим величины потерь при нескольких значениях произвольно выбранного диаметра (предварительно определив для каждой величины диаметра числа Re и коэффициенты потерь) и строим графическую зависимость потерь от диаметра. 11) Графически решаем расчетное уравнение H расп = ∑ h , отложив на оси ординат построенных графиков величины располагаемого напора, проведя горизонталь из точки H расп до пересечения с графиком и опустив из точки пересечения перпендикуляр к оси абсцисс, находим искомый расход или диаметр. 12) При необходимости определения скорости жидкости в трубе или скорости поршня гидроцилиндра находим ее по выражению (3.3). Примеры расчетов Пример 1. Определить давление Pизб при заданных остальных параметрах. Решение 1) Выбираем плоскость сравнения и обозначаем ее на чертеже . 2) Выбираем сечения 1-1 и 2-2 и обозначаем их на чертеже. 3) Записываем уравнение Бернулли в общем виде и определяем его составляющие p1 α1υ12 p2 α 2υ 22 z1 + + = z2 + + + ∑ h1− 2 ρg 2 g ρg 2 g z1 = 0 (совпадает с плоскостью сравнения) z2 = H P1 = Pизб P2 = 0 υ1 = 0 υ2 = Q2 4Q α 2υ22 ; , 0827 α2 = πd 2 2 g d4 Q2 ⎛ l ⎞ λ + ζ вх ⎟ 4 ⎜ d ⎝ d ⎠ 4) Подставляем составляющие в уравнения Бернулли и решаем его относительно величины Ризб: ∑ h = 0,0827 26 ⎛ Q2 Q2 ⎛ l ⎞⎞ Pизб = ρg ⎜⎜ H + 0,0827 4 α 2 + 0,0827 4 ⎜ λ + ζ вх ⎟ ⎟⎟ d d ⎝ d ⎠⎠ ⎝ 5) Определяем режим течения 4Q Re = πdν Пусть Re>2320, т.е. имеем турбулентный режим течения, α2=1. 6) Определяем коэффициенты потерь: ⎛ ∆ 68 ⎞ λ = 0,11⎜ + ⎟ ⎝ d Re ⎠ ζ вх = 0,5 0 , 25 7) Подставляем коэффициенты потерь в расчетное уравнение и определяем искомую величину Ризб в Па. Пример 2. Определить расход Q и скорость поршня гидроцилиндра υп при заданных остальных параметрах. Решение 1) Выбираем плоскость сравнения и обозначаем ее на чертеже . 2) Выбираем сечения 1-1 и 2-2 и обозначаем их на чертеже. 3) Записываем уравнение Бернулли в общем виде и определяем его составляющие p α υ2 p α υ2 z1 + 1 + 1 1 = z 2 + 2 + 2 2 + ∑ h1− 2 ρg 2g ρg 2 g 4Q → пренебрегаем ввиду малости πd 2 z2 = H υ2 = 0 F 4F P1 = Pизб = = 2 S П πd P2 = 0 z1 = 0 υ1 = Q2 ⎛ l ⎞ λ + ζ вх + 2ζ пов + ζ вых ⎟ 4 ⎜ d ⎝ d ⎠ 4) Приводим уравнения Бернулли к расчетному виду H расп = ∑ h ∑ h = 0,0827 4F − H = ∑h πD 2 ρg 4F − H , м. где H расп = πD 2 ρg 5) Составляем расчетную таблицу 27 Qi , м3/с Re i = Произвольно задаемся Q1< Q2< Q3< Q4< Q5 Определяем для каждого значения Q .....................5 значений..................... 4Qi πdν ⎛ ∆ 68 ⎞ ⎟⎟ λi = 0,11⎜⎜ + d Re i ⎠ ⎝ ζвх=0,5 ζпов=1 ζвых=1 0 , 25 ∑h , м i Определяем для каждого значения Q .....................5 значений..................... Коэффициенты потерь определены в данном случае для турбулентного режима течения Определяем для каждого значения Q .....................5 значений..................... 6) По результатам расчета строим графическую зависимость потерь от расхода и графически решаем расчетное уравнение. Если последнее значение ∑h в таблице меньше, чем Нрасп, следует расширить таблицу, добавив произвольно Q6, Q7 и т.д., пока величина потерь не превысит величину Нрасп. 7) Определяем скорость поршня 4Q , м/с. υ П = искомый πD 2 28 Пример 3. Определить диаметр трубопровода d при заданных остальных параметрах. Решение 1) Выбираем плоскость сравнения и обозначаем ее на чертеже . 2) Выбираем сечения 1-1 и 2-2 и обозначаем их на чертеже. 3) Записываем уравнение Бернулли в общем виде и определяем его составляющие p α υ2 p α υ2 z1 + 1 + 1 1 = z 2 + 2 + 2 2 + ∑ h1− 2 ρg 2 g ρg 2 g υ1 = 0 υ2 = 0 z1 = 0 z2 = H P1 = 0 P2 = − Pвак Q2 ⎛ l ⎞ λ + ζ вх + ζ пов + ζ вых ⎟ 4 ⎜ d ⎝ d ⎠ 4) Приводим уравнения Бернулли к расчетному виду типа H расп = ∑ h ∑ h = 0,0827 Pвак − H = ∑h , ρg P где вак − H = H расп , м. ρg 5) Составляем расчетную таблицу d i , м3/с Re i = 4Qi πdν ⎛ ∆ 68 ⎞ ⎟⎟ λi = 0,11⎜⎜ + d Re i ⎠ ⎝ ζвх=0,5 ζпов=1 ζвых=1 ∑h , м i Произвольно задаемся d1< d2< d3< d4< d5 Определяем для каждого значения d .....................5 значений..................... 0 , 25 Определяем для каждого значения d .....................5 значений..................... Коэффициенты потерь определены в данном случае для турбулентного режима течения Определяем для каждого значения d .....................5 значений..................... 6) По результатам расчета строим графическую зависимость потерь от диаметра и графически решаем расчетное уравнение. 29 Если первое значение следует расширить ∑ h1* ≤ 2 H расп . ∑h таблицу, в таблице в несколько раз превышает величину Нрасп, добавив произвольно d1 < d1* < d 2 , так, чтобы 30