Построение простейших математических моделей

Лекция 7. Построение простейших математических моделей. Невозможно представить современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность математического моделирования состоит в замене исходного объекта его "образом" – математической моделью – и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод познания сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и компьютеров, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что без математического моделирования не рассматривается всерьез ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект (и даже некоторые социально-политические проекты). Рассмотрим некоторые подходы к построению простейших математических моделей: 1) применение фундаментальных законов природы; 2) применение вариационных принципов; 3) применение аналогий; 4) применение иерархических цепочек. 7.1. Фундаментальные законы природы. Наиболее распространенный метод построения моделей состоит в применении фундаментальных законов природы к конкретной ситуации. Эти законы общепризнаны, многократно подтверждены опытом и служат основой 1 множества научно-технических достижений. Поэтому их обоснованность не вызывает сомнений, что, помимо всего прочего, обеспечивает исследователю мощную психологическую поддержку. На первый план выдвигаются вопросы, связанные с тем, какой закон (законы) следует применять в данном случае и как это сделать. Пример (закон сохранения импульса). Неподвижно стоящая в безветренную погоду на поверхности озера лодка начнет двигаться вперед, если сделать несколько шагов от ее носа к корме. Так проявляет себя закон сохранения импульса, утверждающий: полный импульс системы, не испытывающей действия внешних сил, сохраняется. На передвижение гребца лодка реагирует смещением в противоположную сторону. Принцип реактивного действия положен в основу многих замечательных технических устройств, например, ракеты, выводящей на орбиту вокруг Земли искусственный спутник, для чего ей требуется развить скорость примерно 8 км/с. Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей. Пусть в момент времени t ракета с топливом имеет массу m, скорость относительно неподвижной системы отсчета (Земли) v̄ и импульс p̄ = mv̄. (1) За время ∆t от ракеты отделяется некоторая масса газа ∆mг , скорость которой относительно ракеты ū. Относительно выбранной неподвижной системы отсчета ее скорость будет ū + v̄, а импульс p̄г = ∆mг (ū + v̄). (2) Масса ракеты станет m + ∆m, где ∆m = −∆mг , (3) p̄р = (m + ∆m)(v̄ + ∆v̄). (4) скорость v̄ + ∆v̄, а импульс 2 В общем случае на ракету действуют внешние силы (силы гравитационного притяжения Земли, Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой она движется). В соответствии с основным законом динамики изменение импульса системы (ракета – выбрасываемые газы) равно импульсу результирующей внешних сил F̄ ∆t: (p̄р + p̄г ) − p̄ = F̄ ∆t, или, учитывая, (1) – (4), (m + ∆m)(v̄ + ∆v̄) − ∆m(ū + v̄) − mv̄ = F̄ ∆t. Раскрыв скобки и пренебрегая произведением ∆m ∆v̄ как бесконечно малой величиной высшего порядка, получим: m∆v̄ − ∆m ū = F̄ ∆t. Разделив последнее соотношение на ∆t и переходя к пределу при ∆t → 0, получим уравнение dm dv̄ = F̄ + ū . dt dt Это уравнение динамики тела переменной массы впервые было получено m профессором Петербургского политехнического института И.В. Мещерским и носит его имя. Рассмотрим случай, когда внешние силы отсутствуют (F̄ = 0), т.е. система ракета – выбрасываемые газы является замкнутой. Сравнивая полученное уравнение dv̄ dm = ū (5) dt dt со вторым законом Ньютона, отметим, что левая часть представляет собой m произведение массы и ускорения ракеты. Следовательно, справа должна стоять сумма сил, которые действуют на ракету. Отсюда приходим к выводу, что на ракету со стороны газов действует сила F̄р = ū dm dt , которая называется реактивной. Она прямо пропорциональна быстроте изменения массы тела dm dt и относительной скорости ū отделяемых частиц и направлена в сторону, противоположную вектору ū (т.к. dm dt < 0). 3 Направим ось X по направлению скорости полета. В проекции на эту ось уравнение (5) примет вид: m dm dv = −u . dt dt Разделив на m и умножив на dt, получим dm . m dv = −u Для нахождения скорости ракеты через время t после начала движения проинтегрируем это выражение, учитывая, что за время t скорость увеличивается от 0 до v(t), а масса уменьшается от m0 до m(t): Z v(t) Z m(t) dv = −u m0 dm . m Отсюда получаем формулу для расчета скорости ракеты v(t) = u ln m0 , m(t) где m0 – начальная масса ракеты вместе с топливом. Эта простая формула была получена в 1903 г. К.Э. Циолковским и носит его имя. Из нее следует, что конечная скорость, приобретаемая ракетой при отсутствии внешних сил, не зависит от закона изменения массы и ограничена только отношением начальной и конечной масс ракеты. Оценим максимальную скорость ракеты. Предельная относительная скорость истечения газов через сопло umax определяется химическим составом и температурой сгорания топлива и обычно не превосходит 3 – 4 км/с. Максимальное значение отношения масс m0 m ограничено прочностью конструкции, и для современных материалов его можно принять ≈ 10. Тогда предельная скорость простейшей одноступенчатой ракеты не превысит 7 км/с (при umax = 3 км/с), что меньше первой космической скорости. Отсюда следует, что даже в самой идеальной ситуации (масса спутника равна 0, отсутствуют гравитация и сопротивления воздуха и т.д.) ракета рассматриваемого типа не способна достичь первой космической скорости. 4 Для получения космических скоростей Циолковский предложил использовать многоступенчатые ракеты, которые представляют собой несколько "посаженных" друг на друга ракет. Когда горючее первой ракеты (ступени) полностью использовано, она отделяется и начинают работать двигатели второй ступени и т.д. Для запуска космических кораблей и искусственных спутников применяются трехступенчатые ракеты. Замечания. 1) Первая космическая скорость (круговая скорость) – минимальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты. Первая космическая скорость для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли, составляет 7,9 км/с. 2) В природе и технике нередки случаи, когда масса тел изменяется с течением времени за счет потери или приобретения вещества. Так, масса метеорита при полете в атмосфере уменьшается в результате отрыва или сгорания его частиц; масса дождевой капли растет при падении в перенасыщенном водяным паром воздухе; масса дрейфующей льдины увеличивается при намерзании и уменьшается при таянии; масса машины для поливки улиц уменьшается при вытекании водяных струй; масса ракеты уменьшается в результате вытекания газов, которые образуются при сгорании топлива, и т.д. Во всех этих случаях имеют дело с движением тел переменной массы. 7.2. Вариационные принципы. Еще один подход к построению моделей, по своей широте и универсальности, сопоставимый с возможностями, даваемыми фундаментальными законами, состоит в применении так называемых вариационных принципов. Вариационные принципы – общие утверждения о рассматриваемом объекте (системе, явлении), согласно которым из всех возможных вариантов его поведения (движения, эволюции) выбираются лишь те, для которых некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения. Пример 1. Автомобиль движется с постоянной скоростью v и должен попасть из точки A в точку B и при этом коснуться некоторой прямой линии l (рис. 1). Найти путь, требующий минимальных затрат времени. Предста5 r A 6 r B 6 a b β ?  Cr α β α c ? - l Рис. 1. Различные траектории движения из точки A в точку B с касанием прямой линии l. Жирной линией выделен быстрейший путь. вим затраченное время как функцию величины α – угла между прямой l и отрезком AC пути от точки A до прямой l:   |AC| + |CB| a b 1 t(α) = = + . v sin α sin β(α) v (6) Здесь a и b – длины перпендикуляров, опущенных из точек A и B на прямую l, β(α) – угол между прямой l и отрезком пути из точки касания C до точки B. Условие экстремальности t(α) по аргументу α означает, что dt dα = 0, или, учитывая (6), a cos α b cos β(α) dβ = 0. + · sin2 α sin2 β(α) dα Для любых значений α справедливо равенство (7) c = a ctg α + b ctg β(α), (8) где c – расстояние между проекциями точек A и B на прямую l (одинаковое для всех траекторий). Дифференцируя его по α, получаем соотношение a b dβ + · = 0, 2 2 sin α sin β(α) dα (9) которое вместе с условием минимальности (7) дает cos α = cos β(α), т.е. равенство углов α и β. Далее, пользуясь (8) и (6), находим α∗ = arcctg c , a+b tmin = t(α∗ ) = 6 a+b . v sin α∗ Замечание. Условие минимальных затрат привело к выбору соответствующей траектории по правилу "угол падения равен углу отражения". Но такому же закону подчиняется и ход светового луча, попадающего на отражающую поверхность! Может и в общем случае лучи света движутся по траекториям, обеспечивающим быстрейшее попадание сигнала из одной точки в другую? Да, именно так и происходит согласно известному вариационному принципу Ферма, опираясь на который можно получить все основные законы геометрической оптики. r A 6 I va a Cr β 6 α ? l b r B ? II vb  - c Рис. 2. Возможные траектории световых лучей, идущих из точки A в точку B и преломляющихся на линии l – границе двух сред. Жирной линией выделена траектория, отвечающая закону преломления cos α cos β = va . vb Пример 2. Рассмотрим преломление лучей на границе двух сред (рис. 2). Свет, выходящий из точки A, движется в первой среде со скоростью va , преломляется и, переходя через линию раздела, двигается во второй среде со скоростью vb и попадает в точку B. Если α – угол падения луча, а β(α) – угол его преломления, то время прохождения из A в B равно t(α) = |AC| |CB| a b + = + . va vb va sin α vb sin β(α) Условие минимальности t(α) записывается в виде dt dα (10) = 0, или, учитывая (10), a cos α b cos β(α) dβ + · = 0, va sin2 α vb sin2 β(α) dα а продифференцированное по α условие постоянства величины c по-прежнему выражается формулой (9). Здесь величины a, b и c имеют тот же смысл, что и в предыдущем примере. Исключая из последней формулы производную 7 dβ dα , приходим к равенству cos α va = , cos β vb т.е. к известному закону преломления света. Замечание. Сформулированные применительно к какому-либо классу явлений вариационные принципы позволяют единообразно строить соответствующие математические модели. Их универсальность выражается также в том, что, используя их, можно в определенной степени отвлекаться от конкретной природы процесса. Так, водитель автомобиля, следующий принципу "минимального времени" и желающий попасть из точки A, находящейся на песчаной почве (одна скорость), в точку B, расположенную на травянистом лугу (другая скорость), обязан поехать не по прямой, соединяющей точки A и B, а по ломаной траектории, сделав необходимое "преломление" на линии, разделяющий песок и траву. Оставшиеся два подхода (применение аналогий и применение иерархических цепочек) будут рассмотрены в следующих лекциях. 8