Построение эпюры продольной силы N(x)

Построение эпюры продольной силы N(x) qx(x) = |dN(x)/ dx| Из геометрического смысла производной следуют правила для проверки соответствия эпюры сил расчетной схеме нагружения: 1.  Если на участке отсутствует распределенная нагрузка (q=0), то сила постоянна. 2.  Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то сила изменяется по линейному закону. 3.  В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, эпюра сил имеет скачок на величину этой силы. 4.  Эпюра должна выходить из нуля и уходить в нуль (вне твердого тела внутренней силы нет). Построить эпюру для расчетной схемы: Σ Fx = 0 , – R – q a + F2 – F1 = 0. Здесь применено правило знаков статики. Распределенная нагрузка интенсивностью q действует на длине а = 2 м. Из уравнения следует: R= – q a + F2 – F1 = – 2·2 + 7 – 4 = – 1 кН. Знак «минус» показывает, что направление реакции должно быть противоположным. Чтобы не усложнять чертеж, направление реакции оставим прежним, а в расчетах будем подставлять R = – 1 кН. В данном случае имеем 2 участка длиной а и b соответственно: 1-й участок (левый). ΣFx = 0 , – R – q x + N1 = 0:, N1 = R+ q x. при х= 0 N1 = + R = – 1 кН (сжатие), при х = а N1 = + R + q a = –1 + 2·2 = +3 кН (растяжение). 2-й участок (правый). Поперечное сечение проводится где-то между силами F2 и F1 . Рассмотрим равновесие также левой части. Все действия здесь аналогичны, поэтому ограничимся сокращенной записью, которой обычно оформляются расчеты. 2-й участок. а ≤ х ≤ а + b : N2 = R + q a – F2 = – 1+2·2 –7 = –4 кН (сжатие). 1.4. Напряжения Как отмечалось, внутреннее усилие – это равнодействующая по сечению дополнительных межатомных сил, то есть это равнодействующая распределенного по сечению усилия. Оно, как и внешнее распределенное усилие, описывается интенсивностью по площади сечения или напряжением. Напряжение (упрощенно) – это внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади, или это равнодействующая элементарных (межатомных) сил по единице площади сечения. По величине напряжений судят о прочности деталей, так как при превышении определенного уровня напряжения происходит разрушение. . Разложим силу ΔS на составляющие (рис. 1.13,а): нормальную к сечению ΔN и касательную к сечению ΔQ. Соответственно этим компонентам вводятся напряжения (рис. 1.13,б): – нормальное напряжение, – касательное напряжение. Эти напряжения связаны векторным соотношением , где . По величине напряжений судят о прочности деталей. Условие прочности обычно записывают в виде: расчетное (фактическое) напряжение σmах в опасной точке не должно превышать допустимого значения [σ]: σmах [σ] или τmах [τ] . Напряжения в международной системе единиц (СИ) измеряется в паскалях: 1 Па = 1 Н/м2; однако в практических расчетах удобнее пользоваться мегапаскалями (МПа): 1 МПа = 106 Па = 106 Н/м2 = 1 Н/мм2 . Для пересчета со старых единиц измерения, которые встречаются в справочниках, можно пользоваться соотношением 1 МПа 10 кгс/см2 = 0,1 кгс/мм2 (точнее 1 МПа = 9,8 кгс/см2). При применении метода сечений определяются компоненты внутренних усилий в сечении. По рис. 1.14 нетрудно установить связь между напряжениями и внутренними усилиями. Рис. 1.14. Связь между напряжениями и внутренними усилиями р = dS / dA ; ; ; ; ; ; ; . 1.7. Деформации и перемещения Деформация в точке (в строгом, узком смысле) – это изменение формы и размеров бесконечно малого элемента. Отношения Δа /а называют относительной линейной деформацией: . Она характеризует изменение линейных размеров элемента. Очевидно, что линейная деформация будет меняться при изменении положения ребра (его направления). Для полной характеристики деформации в точке вводят угловые деформации – величину изменения первоначально прямых углов граней (рис. 1.23,б): . γ – угол сдвига. Он характеризует изменение формы элемента (его перекос) и зависит от положения граней элемента. Деформации элемента связаны с соответствующими напряжениями: линейная – с нормальным напряжением (рис. 1.23,г), угловая – с касательными (рис. 1.23,д). Для идеально упругих материалов существует прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями: ε = σ / Е ; γ = τ / G . Величины E, G – модули упругости, характеризуют свойства материалов (будут разъяснены позднее). Перемещение – это изменение положения элемента тела (детали) в заданной системе координат при переходе из недеформированного (ненагруженного) в деформированное (нагруженное) состояние. Оно описывается линейными и угловыми координатами нового положения сечения и зависит от деформированного состояния каждого элемента конструкции, условий закрепления и нагружения. В качестве примера (рис. 1.24) покажем перемещения при изгибе консольной балки (можно наблюдать на масштабной линейке). По величине перемещений судят о жесткости детали. Условие жесткости записывают в виде: расчетные (фактические) перемещения в заданном месте не должны превышать допустимых значений: Δ mах [Δ] . Для балки перемещения Δ – это или прогиб, или угол поворота сечения, или оба вместе. 3. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ – СЖАТИЕ Центральным растяжением или сжатием называют такой вид простого нагружения, при котором точки приложения внешних сил совпадают с центром массы сечений и направлены вдоль продольной оси бруса. Внутренние усилия. В поперечных сечениях бруса возникает только нормальная (продольная) сила N, которая в произвольном поперечном сечении численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось х всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. 3.1. Напряжения Введем гипотезу плоских сечений (гипотезу Я. Бернулли): Сечения плоские и поперечные до нагружения остаются таковыми и при нагружении. Из гипотезы следует, что и . Предполагая, что напряжения пропорциональны деформациям, имеем . . При центральном растяжении – сжатии напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы и равны нормальной (продольной) силе, действующей в сечении, деленной на площадь всего сечения. Так как напряжения во всех сечениях однозначно связаны с напряжением в поперечном сечении, то условие прочности при центральном растяжении – сжатии обычно записывают для поперечного сечения: . Как учитываются механические характеристики материалов при проектировании? Основной задачей расчета конструкций является обеспечение их надежной работы. В нормативно-технической документации надежностью называется свойство конструкции сохранять в течение требуемого времени или наработки в установленных пределах значения всех своих эксплуатационных показателей, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения. Иначе говоря, в надежной инженерной конструкции не те-ряется работоспособность, то есть не происходит нарушения нормальной работы и тем более разрушения конструкции. Состояние (а также соответствующие нагрузки, напряжения и перемещения), при котором инженерная конструкция, или узел, или деталь перестают выполнять требуемые функции, то есть теряют работоспособность, называют предельным. Для хрупких материалов таким предельным состоянием яв-ляется появление трещин и разрушение, и опасным напряжением является предел прочности (σв). Для пластичных материалов такими предельными состояниями являются сначала текучесть – появление больших пластические деформации при неизменной нагрузке, а потом и появление трещин и разрушение. В большинстве случаев недопустимым считается уже первое предельное состояние – текучесть, а предельным или опасным напряжением – предел текучести σт. При расчете машиностроительных конструкций и соединений на прочность основным является метод расчета по допускаемым напряжениям. В этом методе проводится сравнение максимальных расчетных напряжений, действующих хотя бы в одной – опасной – точке детали, и предельных напряжений для материала детали. Прочность элемента конструкции считают обеспеченной, если выполняется условие прочности. [n] – нормативный коэффициент запаса прочности, [n] > 1. Нормативный коэффициент запаса прочности устанавливается с учетом следующих факторов: 1) точности расчета действующих нагрузок и их характера – чем точнее и полнее учитываются нагрузки, действующие на конструкцию, тем меньше принимаемый коэффициент запаса прочности; 2) степени точности расчета напряжений – чем точнее про-изводится расчет прочности, тем меньше принимаемый коэф-фициент запаса прочности; 3) свойств материалов – при улучшении механических свойств, уменьшении их разброса нормативный коэффициент запаса прочности понижается; 4) условий работы, вида нагружения (растяжение, сжатие, изгиб и срез), степени ответственности детали или конструкции и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности может быть представлен в виде произведения частных коэффициентов запаса прочности, учитывающих перечисленные факторы: [n] = [n1]·[n2]·[n3]·[n4]... В машиностроении в конструкциях, работающих при ста-тических нагрузках, для пластичных материалов в большинстве случаев допускаемые напряжения назначают по отношению к пределу текучести σт как [σ] = σт / [n] , где коэффициент запаса прочности обычно принимается равным [n] = 1,3...1,5; для хрупких материалов (и реже для пластичных) – по отношению к пределу прочности, [σ] = σв/ [n] ([n] = 2,0...2,4 ). Для стальных конструкций средние значения пределов со-ставляют: σт =240 МПа, σв = 340 МПа, При [n]=1,5 [σ]=160 Мпа. Условие прочности применяют для решения трех видов задач. – Проверка прочности. Известными являются все параметры. Проверяется выполнение условия прочности. – Проектный расчет. Известными являются нагрузки, па-раметры материала, продольные размеры стержня. Определяется необходимая площадь [А] или размеры поперечного сечения. При центральном растяжении – сжатии . – Расчет грузоподъемности. Известными являются размеры детали и характеристики материала. Определяется допускаемая нагрузка. 3.2. Деформации и перемещения. Закон Гука 1. Продольная деформация . . Это закон Гука для всего стержня. Он применим при условии N(x)=const, жесткость поперечного сечения стержня при растяжении – сжатии ЕA(x)= const, то есть для призматического или цилиндрического стержня из однородного материала, в сечении которого по всей длине действуют одинаковые продольные силы. Рассмотрим варианты закона Гука. Если взять поперечное сечение на расстоянии х от заделки, то его перемещение относительно заделки при нагружении силой F определится как . Это можно наблюдать, растягивая резиновую ленту. По этой формуле построим эпюру продольных перемещений (см. рис. 3.3): в заделке , что очевидно (если в заделке есть перемещение, то там не возможно появление реактивной силы); на свободном торце и равно продольной деформации стержня. Если в стержне параметры EА и N постоянны по участкам (рис. 3.4), то удлинение стержня определяется как сумма удлинений участков: Для примера на рис. 3.4 эпюра продольных перемещений построена относительно сечения заделки. Перемещение границы между первым и вторым участками равно деформации первого участка. Перемещение некоторого сечения на втором участке относительно заделки равно перемещению этого сечения относительно границы участков плюс деформация первого участка. Рассмотрим стержень, в котором параметры EА и N переменны: N(x)= var и EA(x)= var . Выделим в нем бесконечно малый участок длиной dx, применив два раза метод сечений. Пренебрегая изменениями параметров на этом участке, по закону Гука имеем . Удлинение стержня . Из выражения для деформаций бесконечно малого участка с учетом того, что – нормальное напряжение в поперечном сечении стержня, – относительная продольная деформация, можно получить закон Гука для бесконечно малого объема (для точки): Этот закон Гука, который ранее ввели в качестве основного принципа, является экспериментальным и описывает свойства материала. Связь этих величин определяется материалом, его физико-механической постоянной Е. Её называют модуль продольной упругости, или модуль упругости первого рода, или модуль Юнга. Она определяется экспериментально. Величина модуля продольной упругости: – для стали Е = (1,9…2,15)105 МПа; – для чугуна и алюминиевых сплавов Е = (0,7…0,8)105 МПа; – для бронзы Е = (1,1…1,2)×105 МПа; – для дерева (при нагружении вдоль волокон) Е = (0,08…0,12)×105 МПа. Рис. 3.5. Диаграмма относительных упругих деформаций Если построить график зависимости , то модуль продольной упругости Е будет равен тангенсу угла наклона графика к оси (оси абсцисс) с учетом масштабов по осям (рис. 3.5): . 2. Поперечная деформация Рассмотрим нагружение стержня продольной растягивающей силой F (см. рис. 3.3). При удлинении стержень сужается, размеры его поперечного сечения уменьшаются (при сжатии стержень расширяется). Для изотропных материалов форма поперечного сечения не меняется (например, круглое сечение останется круглым). При растяжении абсолютная продольная деформация , относительная , абсолютная поперечная деформация , относительная . Как показывают эксперименты, в зоне выполнения закона относительные продольная и поперечная деформации, имеющие противоположные знаки, пропорциональны между собой: , где m – коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона, физико-механическая постоянная материала (безразмерная величина), характеризует податливость в поперечном направлении. Для всех материалов он лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (резина), то есть ; для металлов и сплавов . Границы коэффициента Пуассона имеют физический смысл. Так при продольная и поперечная деформации будут иметь одинаковые знаки, что в известных материалах не наблюдается. Пример 3.1 Для заданной расчетной схемы (рис. 3.6,а) ступенчатого бруса оценить его прочность и определить абсолютное удлинение. Брус имеет по длине два участка. Материал – сталь-3: допускаемое напряжение [σ]=160 МПа, модуль продольной упругости Е=2·10 5 МПа. Длина участков: l1 = 0,5 м, l2 = 0,3 м. Площадь поперечного сечения по участкам: А1 =10 мм2, А2 =20 мм2. Рис. 3.6. Пример 3.1. Центральное растяжение – сжатие: 1.  Реакция опоры. Определяется из суммы проекций сил на ось х: –R–ql1+F2–F1 = 0 , R = –ql1+F2–F1 = –5·0,5+3–2 = –1,5 кН. 2.  Внутренние усилия. 1-й участок. 0 ≤ x ≤l1 (рассматривается правая часть бруса, рис. 3.6,б): N1 = R+qx (на эпюре наклонная прямая); N1(0) = R= –1,5 кН; N1(l1) = R+ ql1 = –1,5+5·0,5 =1 кН. 2-й участок. 0 ≤ x ≤l2 (рассматривается левая часть бруса, рис. 3.6,б): N2= –F1 = –2 кН = const. Эпюра нормальных сил показана на рис. 3.6,в. 3.  Напряжения. 1-й участок. σ1 = N1 / A1; σ1(0) = –1,5·103/10 = –150 МПа, σ1(l1)=1,0·103/10 =100 МПа. 2-й участок. σ2 = N2 / A2 = –2,0·103/20 = –100 МПа. Для стали допускаемое напряжение [σ]=160 МПа считается одинаковым и при растяжении, и при сжатии. Наибольшее по модулю напряжение (рис. 3.6,г) при сжатии σmax = 150 МПа, то есть условие прочности выполняется. 3. Продольные перемещения. 1-й участок. N1 = R+qx (на эпюре парабола, рис. 3.6,д): – в защемлении Δl1(0) = 0+0 = 0, – на границе участков Δl1(l1)=0+(Rl1+ql12/2)/(EA1)= =(-1,5·103·0,5·103+5·(0,5·103)2/2)/(2·105·10)= –6,25·10–2 мм. Наибольшее перемещение будет в сечении, где N=0 : xm(N=0)=R/q=1,5/5=0,3 м, Δl1(xm)=0+(R xm +q xm 2/2)/(EA1)= =(-1,5·103·0,3·103+5·(0,3·103)2/2)/(2·105·10)= –11,25·10–2 мм. 2-й участок. Δl2 = N l2 /(EA2) = σ2 l2 /E = –100 0,3·103/(2·105) = –15·10–2 мм. Удлинение всего бруса (рис. 3.6,д) Δl = Δl1 +Δl2 = –6,25·10–2–15·10–2 = –21,25·10–2 мм.