Постоянное электрическое поле

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к первому изданию ............................................................. 6 Предисловие ко второму изданию ........................................................... 8 Список литературы, использованной при написании 2-й части «Курса лекций по физике» ................................................................... 9 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ (электростатика) Лекция № 1 .............................................................................................. 10 § 1. Исторический обзор. Закон сохранения заряда ......................... 10 § 2. Закон Кулона .................................................................................. 12 § 3. Электрическое поле ....................................................................... 14 Итоги лекции № 1..................................................................................... 18 Лекция № 2 .............................................................................................. 19 § 1. Поток вектора напряженности электрического поля ................ 19 § 2. Теорема Гаусса............................................................................... 20 § 3. Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей ...................................................................................... 22 Итоги лекции № 2..................................................................................... 27 Лекция № 3 .............................................................................................. 29 § 1. Работа сил электростатического поля в случае двух точечных зарядов .............................................................................. 29 § 2. Потенциал ....................................................................................... 30 § 3. Циркуляция вектора напряженности электрического поля ................................................................................................. 32 § 4. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом ........................................................................... 33 § 5. Расчет потенциалов электрических полей для простейших случаев .................................................................................... 36 Итоги лекции № 3..................................................................................... 38 Лекция № 4 .............................................................................................. 40 § 1. Проводники и диэлектрики .......................................................... 40 § 2. Электрический диполь .................................................................. 40 § 3. Классификация диэлектриков ...................................................... 42 § 4. Поляризация диэлектрика............................................................. 43 3 § 5. Напряженность электрического поля в диэлектрике ................ 45 Итоги лекции № 4..................................................................................... 50 Лекция № 5 .............................................................................................. 52 § 1. Заряженный проводник................................................................. 52 § 2. Проводник во внешнем электрическом поле ............................. 53 § 3. Электроемкость, конденсаторы ................................................... 55 Итоги лекции № 5..................................................................................... 62 Лекция № 6 .............................................................................................. 64 § 1. Сила тока, плотность тока ............................................................ 64 § 2. Уравнение непрерывности ........................................................... 66 § 3. Связь между плотностью тока и скоростью движения свободных зарядов ........................................................................ 67 § 4. Закон Ома для однородного участка цепи .................................. 68 § 5. Закон Ома в дифференциальной форме ...................................... 71 § 6. Электродвижущая сила ................................................................. 72 Итоги лекции № 6..................................................................................... 74 Лекция № 7 .............................................................................................. 76 § 1. Работа электрического тока. Закон Джоуля-Ленца ................... 76 § 2. Закон Ома для неоднородного участка цепи .............................. 78 § 3. Правила Кирхгофа ......................................................................... 80 § 4. Электрическое поле Земли ........................................................... 83 Итоги лекции № 7..................................................................................... 84 МАГНЕТИЗМ Лекция № 8 .............................................................................................. 87 § 1. Магнитное поле ............................................................................. 87 § 2. Закон Био – Савара – Лапласа ...................................................... 90 § 3. Примеры применения закона Био – Савара – Лапласа .............. 93 Итоги лекции № 8..................................................................................... 96 Лекция № 9 .............................................................................................. 98 § 1. Циркуляция вектора ...................................................................... 98 § 2. Применение теоремы о циркуляции для вычисления магнитного поля бесконечно длинного соленоида.................. 101 § 3. Поток вектора магнитной индукции ......................................... 103 Итоги лекции № 9................................................................................... 105 Лекция № 10 .......................................................................................... 106 § 1. Закон Ампера ............................................................................... 106 § 2. Единица измерения магнитной индукции ................................ 108 4 § 3. Рамка с током в магнитном поле ............................................... 109 § 4. Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле ................................................................. 113 Итоги лекции № 10................................................................................. 114 Лекция № 11 .......................................................................................... 116 § 1. Сила Лоренца ............................................................................... 116 § 2. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле ........................................................................................ 118 § 3. Примеры физических явлений, в которых проявляется действие силы Лоренца ............................................................... 121 Итоги лекции № 11................................................................................. 124 Лекция № 12 .......................................................................................... 126 § 1. Явление электромагнитной индукции ...................................... 126 § 2. Индуктивность, явление самоиндукции ................................... 130 § 3. Энергия магнитного поля ........................................................... 132 § 4. Примеры технических процессов и физических явлений, основанных на электромагнитной индукции ................... 133 Итоги лекции № 12................................................................................. 136 Лекция № 13 .......................................................................................... 138 § 1. Магнетики. Намагниченность .................................................... 138 § 2. Магнитное поле в магнетиках .................................................... 139 § 3. Типы магнетиков ......................................................................... 143 § 4. Применение магнетиков ............................................................. 148 Итоги лекции № 13................................................................................. 149 Лекция № 14 .......................................................................................... 151 § 1. Первая пара уравнений Максвелла в интегральной форме ........ 151 § 2. Вторая пара уравнений Максвелла в интегральной форме ........ 153 § 3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме ........... 157 § 4. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме ............................................................................................ 157 § 5. Принцип относительности в электродинамике ........................ 158 Итоги лекции № 14................................................................................. 160 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Тест № 4. Электростатика..................................................................... 162 Ответы на вопросы теста № 4 «Электростатика»............................... 164 Тест № 5. Магнетизм ............................................................................. 168 Ответы на вопросы теста № 5 «Магнетизм» ....................................... 170 5 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ (электростатика) ЛЕКЦИЯ № 1 Электрическое поле, закон Кулона, напряженность электрического поля § 1. Исторический обзор. Закон сохранения заряда Электрические явления были известны давно. Еще древние греки обнаружили, что если кусочек янтаря потереть о шерстяную ткань, то он будет притягивать мелкие предметы. Янтарь по-гречески – «электрон», отсюда название данной области физических явлений – «электричество» – и название элементарной частицы, носителя элементарного электрического заряда – «электрон». Вначале исследование электрических явлений практически не проводилось, пока уровень накопленных знаний и уровень развития производительных сил не позволил достаточно быстро провести фундаментальные исследования электрических явлений, и теперь электротехника, радиотехника, электроника и другие, связанные с ними области техники, являются одним из основных направлений трудовой деятельности, без которых современное человечество существовать не может. К концу XVIII в. было установлено, что существует два типа электрических зарядов: одноименные заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются. Известный американский ученый, философ и государственный деятель XVIII в. Бенджамин Франклин чисто условно предложил считать заряды, возникающие на стеклянной палочке, если ее потереть о сукно, положительными, а на янтаре или пластмассе – отрицательными. Взаимодействие зарядов разных знаков показано на рис. 1.1. 10 Заряды разных знаков притягиваются друг к другу F21 F12 q q F12 Заряды одного знака отталкиваются F21 q q r12 F21 F12 q q Рис. 1.1 Электрический заряд Впоследствии экспериментально было доказано, что существует элементарный электрический заряд, меньше которого в природе наблюдать не удается. Величина элементарного заряда обозначается буквой «е». Элементарный заряд является неотъемлемым свойством некоторых элементарных частиц. Так, электрон является носителем отрицательного элементарного заряда «–е», протон – носитель положительного заряда «+е». Величина элементарного заряда в системе СИ: е = 1,6021892  10-19 Кл. Любой заряд содержит целое число элементарных зарядов: q   Ne , т. е. заряды могут принимать только дискретные значения, меняться с шагом (ступенькой), равной е, но поскольку шаг очень мал, то для заряда q  e можно считать, что значение заряда изменяется непрерывно. Положительные и отрицательные заряды могут объединяться, при этом образуются нейтральные атомы и молекулы. Нейтральный атом или молекула могут под воздействием внешних сил отдавать электрон, при этом образуются пары из положительного и отрицательного, но равных по модулю, зарядов. Но в том и другом случае суммарный заряд электрически изолированной системы не меняется. Этот факт подтвержден экспериментально. 11 Можно сформулировать закон сохранения заряда: суммарный заряд электрически изолированной системы не изменяется. § 2. Закон Кулона Взаимодействие точечных зарядов в воздухе экспериментально изучал в 80-е гг. XVIII в. французский физик Шарль Кулон. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других заряженных тел. Точечный заряд – модельное понятие (см. ч. 1, лекция 1). Кулон установил, что сила взаимодействия точечных зарядов пропорциональна величине взаимодействующих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, т. е.:  q q F k 122 , r (1.1) где q 1 и q 2 – модули величин взаимодействующих зарядов; r – расстояние между ними; k – коэффициент пропорциональности, который следует определить из опыта. Сила – вектор, поэтому нужно определить не только модуль силы (формула (1.1)), но и ее направление. Направление вектора можно задать с помощью единичного вектора. Единичный вектор – это вектор, модуль которого равен единице. Следовательно    F  F e F  Fe F ,  где eF – единичный вектор по направлению силы. На основании опыта было установлено, что сила направлена вдоль линии, соединяющей заряды (см. рис. 1.1), следовательно, для силы, действующей   на второй  заряд со стороны первого, единичный вектор e F равен r21/r21, где r21 – радиус-вектор, проведенный из точки, где находится первый заряд, в точку, где находится второй. Модуль его действительно равен 1 и направлен он вдоль линии, соединяющей заряды. Силу Кулона, действующую на заряд 1 со стороны заряда 2, можно записать как 12   q 1q 2 r12 . F12  k 2 r r12 12 На заряд 2 со стороны заряда 1 действует сила   q 1q 2 r21 . F21  k 2 r r21 21 (1.2а) (1.2б) Формулы (1.2) дают не только величину, но и направление силы в полном соответствии с опытными данными. Из них видно, что заряды одинакового знака отталкиваются, а разного – притягиваются. Отметим, что по формуле (1.2) можно также рассчитать силу взаимодействия двух заряженных тел со сферически-симметричным распределением заряда, даже в том случае, когда модель точечного заряда применить нельзя. Например, по этим формулам определяют силу взаимодействия заряженных шаров, при этом в качестве r12 надо брать расстояние между центрами шаров. Система единиц измерения В системе СИ единицей заряда является кулон (Кл). Кулон не относится к основным единицам системы СИ, он является производной единицей от единицы силы тока – ампера (см. лекцию № 6). Сила взаимодействия зарядов в системе СИ, естественно, должна получиться в ньютонах. Если в формулу (1.1) подставить величину заряда в кулонах, а расстояние между ними – в метрах, очевидно, что сила взаимодействия не получится в ньютонах. Необходимо подобрать соответствующее значение коэффициента k с подходящей размерностью. Опытным путем установлено, что заряды в 1 Кл на расстоянии 1 м в вакууме взаимодействуют с силой 9  109 H. Подставляя значения заряда, расстояния и силы в формулу (1.1) для коэффициента k, получаем значение: k  9  10 9 Н  м2 Кл 2 . (1.3) Принято для удобства вместо коэффициента k использовать выражение: 13 k 1 , 4 0 где  0 – электрическая постоянная, значение ее, как следует из (1.3), равно:  0  8,85  10 12 Ф (фарад на метр). м (1.3а) Фарада – единица электрической емкости (см. лекцию № 5). Кл 2 Ф . Размерность равна 2 м Нм Окончательное выражение для силы взаимодействия электрических зарядов в вакууме (1.2) имеет следующий вид:   q1q 2 r12 . F12  (1.4) 2 r 40 r 12 § 3. Электрическое поле Согласно современным представлениям, взаимодействие покоящихся электрических зарядов на расстоянии осуществляется через электрическое поле. Каждый электрический заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что создает силу, действующую на каждый электрический заряд, помещенный в электрическое поле. Напряженность электрического поля Если электрическое поле проявляет себя тем, что на заряд действует сила, то характеристика поля должна выражаться через эту силу. Для того, чтобы измерить силу, действующую на заряд в данной точке пространства, можно взять точечный положительный заряд и найти действующую на него силу. Такой заряд называют пробным. В частности, из выражения (1.4) видно, что кулоновскую силу можно представить как величину пробного заряда (q пр  q 2 ), умноженную на выражение, зависящее только от величины заряда – источника поля (q1  q) и от расстояния до него: 14   F  q пр E  r , где  Er   (1.5)  q r 40 r 2 r – напряженность электрического поля точечного заряда в вакууме. В общем случае, для электрического поля, создаваемого произвольным распределением зарядов,  напряженностью электрического поля E называют, по определению, векторную величину, равную отношению си лы F , действующей на пробный заряд qпр, к величине пробного заряда (рис. 1.2):   F . E q пр (1.6)  F  E q пр Рис. 1.2 (1.7) Единица напряженности в системе СИ имеет название вольт на метр (В/м). При такой напряженности на заряд 1 Кл действует сила в 1 Н. Происхождение единицы напряженности см. (3.14), (3.17).  Зная E ( r ) – напряженность электрического поля в любой точке  пространства, легко найти силу F , действующую на неподвижный точечный заряд q, помещенный в данную точку:    F( r )  qE ( r ). (1.7а) Принцип суперпозиции электрических полей Опытным путем установлено, что если имеется несколько точечных зарядов, то сила взаимодействия каждой пары зарядов определяется законом Кулона и не зависит от электрических полей, создаваемых другими зарядами. Из сказанного вытекает, что если есть N зарядов, то сила, действующая на заряд с номером k со стороны всех остальных, равна векторной сумме N   Fk   Fki , (1.8) i 1 ik  где Fki определяется формулой (1.4). 15 Вспоминая определение напряженности электрического поля (1.7), видим, на основании (1.8), что напряженность электрического поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов системы в отдельности:  N E   Ei . (1.9) i 1 Это утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей. На рис. 1.3 принцип суперпозиции электрических полей в точке А иллюстрируется для случая, когда электрическое поле создается двумя разноименными точечными зарядами q1 и q2. Принцип суперпози E1 ции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов. Для этого достаточно     разбить систему зарядов E2 E  E1  E 2 на достаточно малые доли q, найти напряжен q1 q2 ность поля E каждой из долей (см. формулу (1.6)) Рис. 1.3 и просуммировать согласно (1.9). Это иллюстрирует рис. 1.4. При предельном переходе к  бесконечно малому разбиению для результирующего поля E имеем:    E  lim  E i   dE. V0 V q dV  r dq  dE Рис. 1.4 16 Графическое изображение электрических полей Чтобы получить наглядное представление об электрическом поле, его можно изобразить с помощью линий напряженности электрического поля (их называют также силовыми линиями). Линия напряженности – это линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением напряженности электрического поля в данной точке. Линии напряженности выходят из положительного заряда и уходят в бесконечность либо заканчиваются на отрицательном заряде. В том месте, где модуль напряженности поля больше, линии проводят гуще, меньше – реже, так, что густота линий пропорциональна модулю напряженности. На рис. 1.5 а, 1.5, б показаны силовые линии для точечного положительного и отрицательного зарядов, на рис. 1.5, г показана картина поля для 2 равных по величине одноименных зарядов, на рис. 1.5, в – для 2 равных по величине разноименных зарядов. а) поле положительного заряда б) поле отрицательного заряда в) поле двух разноименных зарядов г) поле двух одноименных зарядов Рис. 1.5 17 ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 1 1. Наблюдением над природными явлениями в эксперименте установлено, что в природе существуют электрические заряды, которые взаимодействуют на расстоянии. 2. Сила взаимодействия двух точечных зарядов, кулоновская сила определяется выражением (1.4):   q1q 2 r12 . F12  4 0 r 2 r 3. Заряды бывают положительные и отрицательные, одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Суммарный заряд электрически изолированной системы тел не меняется. Единица измерения заряда в системе СИ – кулон (Кл). 4. Взаимодействие на расстоянии объясняется тем, что каждый электрический заряд создает в пространстве электрическое поле. Электрическое поле действует на другие заряды, находящиеся в этом поле. 5. Электрическое поле характеризуется вектором напряженности электрического поля, который определяется формулой (1.7):   Fq , E q  здесь Fq – сила, действующая со стороны электрического поля на положительный точечный заряд q. 6. Принцип суперпозиции электрических полей утверждает, что напряженность электрического поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов системы в отдельности (1.9):  N E   Еi. i 1 18 ЛЕКЦИЯ № 2 Теорема Гаусса и ее применение § 1. Поток вектора напряженности электрического поля Допустим, что в каждой точке пространства определено значение  напряженности электрического поля E . Выберем в пространстве элемент площади S , площадка должна  быть настолько малой, чтобы в пределах ее вектор E можно было считать постоянным. Ориентация площадки определяется вектором единичной нормали n к ней, единичная нормаль – это перпендикуляр  к площадке (рис. 2.1), причем n =1. Рис. 2.1  Здесь n – вектор единичной нормали к поверхности S.  Поток вектора E через площадку S по определению равен: Ф  E cos S , (2.1)   n где  – угол между векторами и E .  Если ввести обозначения: E n  E cos  – проекция вектора E на  направление нормали n и Sn  S cos  – проекция S на плоскость, перпендикулярную вектору Е, то выражение (2.1) для  Ф можно записать в следующих эквивалентных видах:   Ф  E n S  ESn  E, n S . (2.1а)   19 Если имеется большая поверхность, в пределах которой значения   E и направление E могут меняться, поверхность следует разбить на элементы, каждый из которых можно считать элементом плоскости, в пределах которого значение E постоянно. В пределах каждого элемента для потока справедливо выражение (2.1). Поток через всю поверхность примерно равен сумме потоков через отдельные элементы: N N   Ф   Ф i   E i n i Si .  i 1 i 1  В пределе, когда площадь элемента выбирается все меньше, а число элементов N стремится к бесконечности, выражение для потока переходит в интеграл: Ф   E n dS . (2.2) S § 2. Теорема Гаусса Вычислим поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность. Первоначально будем считать, что поверхность – сфера, а в центре ее находится точечный заряд q. Напряженность электрического поля точечного заряда определяется выражением (1.6). Вектор нормали к сферической поверхности совпадает с направлением радиуса сферы, поэтому в данном случае поток равен: Ф   E n dS   q 4 0 r 2 dS. Здесь знак интеграла снабжен кружком, который означает, что интеграл берется по замкнутой поверхности. Поскольку на поверхности сферы расстояние r от заряда до поверхности постоянно, то поток: Ф q 4  0 r 2  dS. 2 Так как  dS  4r (площадь сферической поверхности), то для потока Ф получаем: q Ф . 0 20 Если заряд находится вне замкнутой поверхности, то поток вектора напряженности, создаваемый этим зарядом, равен нулю, так как каждая силовая линия дважды пересекает поверхность: один раз, когда силовая линия входит в объем, ограниченный поверхностью, она учитывается со знаком « – », другой, когда выходит – со знаком « + » (рис. 2.2).  Поток через E первый участок равен потоку через второй по модулю, но имеет q противоположный ФE  0 ФE  0 знак, следовательно, поток через замкнутую поверхность будет равен 0. СледоваРис. 2.2 тельно, Ф = 0, если внутри замкнутой поверхности заряд q = 0. Полученные результаты легко обобщаются на случай произвольной поверхности и на случай, когда внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью, находится несколько зарядов. Можно сформулировать следующую теорему, известную как теорема Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на  0 – электрическую постоянную: Ф   E n dS   qi i 1 0 . (2.3) Как видно из доказательства, теорема Гаусса являетсяследствием закона Кулона, но информация о направлении вектора E в теореме Гаусса отсутствует. По этой причине перед применением теоремы  Гаусса необходимо определить направление вектора E . Теорема Гаусса в ряде случаев позволяет достаточно просто рассчитать электрические поля, мы приведем несколько таких примеров. Однако, этим роль теоремы Гаусса не исчерпывается: она является одним из уравнений Максвелла (см. лекцию 14). 21 § 3. Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости Если заряд распределен в тонком поверхностном слое заряженного тела, то его можно охарактеризовать поверхностной плотностью заряда. Поверхностная плотность заряда – это заряд, приходящийся на единицу площади поверхности:  Единица измерения: dq . dS   Кл / м 2 . (2.4) Из соображений симметрии очевидно, что в случае равномерно заряженной плоскости, напряженность электрического поля перпендикулярна плоскости. Выберем на плоскости площадку S и построим «гауссов ящик», как показано на рис. 2.3. Боковые поверхности перпендикулярны площадке S и парал лельны вектору E . Подсчитаем поток вектора напряженности элек трического поля: на боковой поверхности E n  0, так как вектор E параллелен боковой поверхности, на торцах E n  E . Следовательно, поток равен (см. рис. 2.3): Ф  E n dS  0  S бок  E  2S. S Г . ящ. Найдем суммарный заряд внутри ящика. Ясно, что это заряд на площадке S, значит:  q i  S . На основании теоремы Гаусса (2.3) получаем: 0  Sбок  E  2S  S , 0 откуда следует – напряженность электрического поля, создаваемого бесконечной заряженной плоскостью, по модулю равна:  (2.5) E . 2 0 22  dq dS поверхностная плотность заряда равномерно заряженная плоскость , боковая поверхность S En  E торец 1 Кл м2 S En  0 S En  E En  0 "«гауссов гауссов ящик» ящик" торец 2 Рис. 2.3  Напомним, что направлен вектор E перпендикулярно заряженной плоскости. Рассмотрим, на основе теоремы Гаусса, поле двух бесконечных, параллельных, разноименно заряженных плоскостей, поверхностные плотности зарядов на которых равны по величине и противоположны по знаку. Поле такой системы плоскостей, согласно принципу суперпозиции, равно векторной сумме (рис. 2.4):    E  E1  E 2 . Из рис. 2.4 видно, что между плоскостями E вне их поле равно нулю. , 0 23 (2.6)   E1   E1  E2  E2 E  E 2  E1  0 E  E1  E 2   E1  E2  E2  E2  E2  0 E  E1  E 2  0 Рис. 2.4 В дальнейшем мы познакомимся со специальным электротехническим устройством – плоским конденсатором, который, в частности, может представлять собой две разноименно заряженные плоскости. Формула (2.6) дает нам значение напряженности электрического поля плоского конденсатора. Поле равномерно заряженной сферической поверхности также можно найти с помощью теоремы Гаусса. Электрический заряд равномерно распределен по поверхности сферы, величина заряда на единицу площади, также как и для плоскости, характеризуется поверхностной плотностью заряда . В силу  симметрии задачи вектор E перпендикулярен поверхности сферы, т. е. направлен по радиусу, и одинаков по всем направлениям. Через точку, в которой необходимо найти напряженность элек трического поля (ее задает вектор E ), мысленно проведем сферическую поверхность, центр которой совпадает с центром заряженной сферы (рис. 2.5) – «гауссову сферу». Применяя теорему Гаусса (2.3), получим: E(r)  1 q  2 , при r > R. 40 r Если r < R, то E = 0. 24 Если точка находится вне или на поверхности сферы, r  R , весь заряд, находящийся на заряженной сфере, находится внутри мысленно проведенной поверхности – «гауссовой сферы». Значит:  q i  q. i 1 Поток Ф легко найти, так как на «гауссовой сфере» E n  const, следовательно: Рис. 2.5 Ф   E n dS  E n  dS  E 4r 2 . Приравнивая заряду q, деленному на  0 , по теореме Гаусса (2.3)  поток вектора E , созданный зарядом q для напряженности поля Е, получим: E q 4  0 r 2 . (2.7) Таким образом, для точек вне или на сферической поверхности электрическое поле равномерно заряженной сферы такое же, как у точечного заряда, находящегося в центре сферы, величина которого равна суммарному заряду сферической поверхности. Внутри сферы поле равно нулю. Поле равномерно заряженного шара вычисляется аналогично. Напряженность электрического поля вне шара или на его поверхности такая же, как у точечного заряда: E q 40 r 2 , при r  R , (2.8) где q   dV – полный заряд шара. V Вывод формулы (2.8) аналогичен случаю заряженной сферы, предоставляем сделать его читателю. 25 Поле внутри шара отлично от поля внутри сферы. Если провести сферическую поверхность через точку, в которой определяется напряженность электрического поля, то внутри сферы окажется только часть заряда шара: q '   dV  V  E 4 3 r . 3 Применяя теорему Гаусса (9.4.4.), (2.3) получим: «гауссова сфера» + ++ +++ ++ ++ +++ + + +++ R +++ + + + + q r E(r)  внутри – объемно заряженный шар 1 q  2 4 0 r при r > R. При r  R : E( r )  1 qr  3 4 0 R Рис. 2.6 Объемную плотность заряда можно выразить через полный заряд шара: q  . 4 3 R 3 Окончательно для поля внутри шара получаем: E qr 4 0 R 3 . (2.9) Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной нити Линейная плотность заряда  определяется следующим образом:  dq , [] = Кл/м. dl 26 Выражение для напряженности поля можно получить, построив «гауссову поверхность» вокруг заряженной нити (рис. 2.7). Вывод предоставляется читателю, приводим окончательный результат: E  , при r  R. 20 r (2.10)  E r +  , Кл м 2  const + + + + R «гауссов цилиндр» (воображаемый) Рис. 2.7 ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 2 1. Для вектора напряженности электрического поля можно ввести понятие потока вектора через поверхность (см. рис. 2.1 и формулу (2.2)): Ф   En dS . S 2. Для потока вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность справедлива теорема Гаусса (формула (2.3)): N  E n dS   qi i 1 0 . 3. Теорема Гаусса является следствием закона Кулона, но не со держит информацию о направлении вектора E в каждой точке пространства. 27 4. Пользуясь теоремой Гаусса, можно достаточно легко найти значение напряженности электрического поля для случаев, когда на E правление вектора определяется из соображений симметрии: а) поле бесконечной равномерно заряженной плоскости (см. формулу (2.5), рис. 2.3):  ; E 2 0 б) поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R (см. рис. 2.5): q E(r )  , при r  R , 40 r 2 E  0, при r  R ; в) поле равномерно заряженного шара радиуса R (см. рис. 2.6): E(r )  q , при r  R , 4 o r 2 E( r )  q r ; 40 R 3 г) поле бесконечной равномерно заряженной нити радиуса R (см. формулу (2.10), рис. 2.7): E(r )   , 20 r 28 при r  R. ЛЕКЦИЯ № 3 Потенциал электростатического поля – его энергетическая характеристика § 1. Работа сил электростатического поля в случае двух точечных зарядов Если на заряд в электрическом поле действует сила, то при перемещении заряда в пространстве эта сила совершает работу. Как известно из механики (см. ч. 1, формула (5.4)), работа сил по перемещению тела на расстояние ds равна: dA  Fds cos .  Для точечных зарядов сила, ddrr cos Cos dr dr действующая на заряд q', направ 1 E лена вдоль линии, соединяющей заряды q и q', т. е. по радиус-век  тору r (заряд q находится в начале r1   r координат) (рис. 3.1). q'    Вектор d s бесконечно малого r  dr q перемещения заряда q'совпадает,  2 r2 при таком выборе системы координат, с вектором dr – бесконечно Рис. 3.1 малым приращением радиус-век тора r заряда q'. Значит ds – модуль бесконечно малого перемеще  ния – равен модулю вектора dr , т. е. ds  d r . Из рисунка видно, что  d r cos   dr , здесь dr – бесконечно малое приращение длины векто ра dr . Следовательно, ds cos   dr . Подставляя в выражение для работы значение модуля силы из закона Кулона (1.4) и ds cos   dr , получаем: dA  qq 4 0 r 29 2 dr. Работа на всем пути, от точки 1 до точки 2, равна, как известно из механики (см. ч. 1, (5.5)), определенному интегралу от dA в пределах от r1 до r2 : qq  r2 dr qq  qq    dA   dr    .  2 4  0 r1 r 2 4  0 r1 4  0 r2 r1 r1 4  0 r r2 A 12 r2 qq  (3.1) § 2. Потенциал Из выражения (3.1) видно, что работа зависит только от начального r1 и конечного r2 положения заряда и не зависит от формы траектории, т. е. электростатические силы – консервативные силы и, как показано в ч. 1 (лекция № 6, § 2), работу, совершаемую такими силами, можно представить как разность значений потенциальной энергии заряда в точках 1 и 2, т. е.: A12  Wп1  Wп 2 . (3.2) С учетом этого, из формулы (3.1) следует, что qq ' Wп   C – потенциальная энергия взаимодействия двух 40 r точечных зарядов; С – постоянная величина. Поскольку работа электростатических сил выражается через разность потенциальных энергий, постоянная С при вычислении работы исчезает, ее можно выбрать произвольно. Обычно выбирают константу С = 0, при таком выборе константы потенциальная энергия Wп стремится к нулю при r, стремящимся к бесконечности. В этом случае потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме дается следующей формулой: Wп  qq . 40 r (3.3) Из формулы (3.3) видно, что потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов можно представить как произведение величины второго заряда q ' на функцию , зависящую от величины первого заряда q и расстояния до точки, в которой находится второй заряд: 30 Wп  q ( r ), где ( r )  q 40 r (3.4) – потенциал электростатического поля точечного заряда В общем случае электростатический потенциал  поля, создаваемого произвольным распределением зарядов, равен, по определению, отношению потенциальной энергии Wп пробного заряда q  в электростатическом поле к величине этого пробного заряда:  W ( r )  п . q (3.5) Единица потенциала в системе СИ – вольт (В): 1В  1 Дж . 1 Кл  Зная ( r ) – потенциал электростатического поля в любой точке  пространства, легко найти потенциальную энергию Wп ( r ) любого точечного заряда q, помещенного в данную точку пространства:   Wп ( r )  q( r ). (3.6) Следовательно, работу электростатического поля по перемещению электрического заряда можно выразить, используя (3.2) и (3.6), следующим образом: A12  q(1  2 ), (3.7) здесь 1 и 2 – потенциалы поля в точках, между которыми переместился заряд. Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов Пусть электрическое поле создается системой, состоящей из N точечных зарядов q i . Найдем работу A12 , совершаемую этим полем при перемещении пробного заряда q  из точки 1 в точку 2. В отличие от вывода формулы (3.1), когда источником поля был один заряд, здесь нам надо учесть принцип суперпозиции электрических полей (1.8), тогда: 31 2 A12  2 N   N 2  N   Fd s    Fi d s    Fi d s   A12i , 1 1 i 1 i 11 i 1 здесь A12i – работа, совершаемая над зарядом q  полем одного заряда q i . Ее мы можем найти по формуле (3.1), тогда: N q i q q i q  . i 14 0 r1i i 14 0 r2i N A12   (3.8) Из (3.8) и (3.2) следует, что потенциальная энергия Wп заряда q  в поле системы N точечных зарядов: q i q , i 1 4 0 ri N Wп   (3.9) здесь ri – расстояние между зарядом с номером i и пробным зарядом q . Применяя определение потенциала (3.8) с учетом (3.9), получим формулу для потенциала поля, создаваемого системой из N точечных зарядов: N qi (3.10)   . i 1 4 0 ri Под знаком суммы в формуле (3.10) стоят потенциалы i , создаваемые каждым из зарядов системы в отдельности (см. формулу (3.4)). Следовательно, (3.10) можно записать в следующем виде: N    i . i 1 (3.11) Формула (3.11) выражает принцип суперпозиции для потенциала электростатического поля: потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. § 3. Циркуляция вектора напряженности электрического поля Из формулы (3.7) следует, что при перемещении заряда в электрическом поле по замкнутой траектории работа, совершаемая силами поля, равна нулю. В самом деле, при замкнутой траектории заряд 32 возвращается в исходную точку, т. е. начальная точка 1 совпадает с конечной точкой 2, значит  и A12 = q(), если траектория замкнута. Выразим работу A12 через напряженность электрического поля, для этого в формулу для вычисления работы 2 A12   Fcosdl (3.12) 1 необходимо подставить, в соответствии с (1.5), F = qE. В формуле (3.12) перемещение заряда обозначено через dl. После подстановки получим: 2 2 1 1 A12   qE cos dl  q  E l dl , (3.13) здесь мы через E l обозначили E cos  – проекцию вектора напря женности на направление вектора dl . Если траектория замкнута, то из (3.13) и (3.7) следует, что:  E l dl  0 , (3.14) кружок у знака интеграла в (3.14) обозначает, что интеграл берется по замкнутому контуру. Интеграл вида (3.14) по замкнутому контуру на зывают циркуляцией вектора E . Следовательно, циркуляция векто ра E электростатического поля, вычисленная по любому замкнутому контуру, равна нулю. Это общее свойство всех полей консервативных сил (потенциальных полей). § 4. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Напряженность и потенциал характеризуют один и тот же физический объект – электрическое поле. Напряженность – силовая характеристика, потенциал – энергетическая. Связь между этими характеристиками найдем, воспользовавшись тем, что работу dA сил элек тростатического поля можно выразить через напряженность E электростатического поля (см. (1.5) и ч. 1 (5.3)):     dA  Fdl  qEdl 33 и через потенциал (см. (3.7)): dA  q(1   2 )  qd. Приравнивая правые части этих формул, сокращая на q и распи-   сывая скалярное произведение Edl через компоненты, получим: E x dx  E y dy  E z dz  d. (3.15) Полагая в (3.15) dy = dz = 0, получим: Ex   d( x, y, z)   . dx x y,zconst (3.16) В (3.16) производную от потенциала – функции трех переменных x, y, z – мы берем при условии, что аргументы y и z функции (x, y, z) при взятии производной по аргументу х считаются постоянными. Такая производная называется в математике частной производной и обозначается круглой буквой «». Аналогичные рассуждения дают выражения для компонент поля Ey и Ez :  . z (3.16а)          . E   e x  ey  ez  x  y  z   (3.17) Ey    ; y Ez    Для вектора E из (3.16) и (3.16а) имеем: Если ввести следующее обозначение: r r  r  r    ex  e y  ez , x y z (3.18) то формула (3.17) запишется в компактном виде:   E  . 34 (3.19)  Введенный нами математический объект  называется операто-  ром градиента и формула (3.19) читается так: «вектор E равен минус градиент ».  Другое название значка  – набла, тогда формула (3.19) читается  E так: « равен минус набла ». Эквипотенциальные поверхности, их связь с силовыми линиями Для наглядного изображения электрического поля можно, наряду с линиями напряженности, силовыми линиями (см. лекцию № 1, § 3), использовать эквипотенциальные поверхности. Из самого названия следует, что эквипотенциальные (лат. аequus – равный) поверхности – это поверхности равного потенциала. Следовательно, уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид: ( x , y, z )  const . Форма эквипотенциальных поверхностей связана с формой силовых линий: эквипотенциальные поверхности расположены так, что в каждой точке пространства силовая линия и эквипотенциальная поверхность взаимно перпендикулярны. Для доказательства   const рассмотрим перемещение заряда q на расстоя E ние dl вдоль эквипотен циальной поверхности /2 /2 E (рис. 3.2). /2 /2 Выразим работу сил 1 q электрического поля по dl 2 перемещению заряда через разность потенРис. 3.2 циалов (см. (3.7)) и через напряженность (см. (3.13)): q(1   2 )  dA  qE cos dl. Так как поверхность эквипотенциальна, то (1   2 ) и слева в записанном двойном равенстве стоит ноль. Значит, хотя бы одна из 35 величин, стоящих справа, должна быть равна нулю. Так как q, E и dl не равны нулю, то нулю равен cos , т. е.:  cos   0, значит   , 2 что и требовалось доказать. Если условиться проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов между двумя соседними поверхностями была одинакова, то по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля. Это следует из формул (3.16), (3.16а). Направлен вектор напряженности будет в сторону уменьшения потенциала, об этом говорит знак «минус» в формулах (3.16) и (3.16а). Если рассечь эквипотенциальную поверхность плоскостью, то в сечении получаются линии равного потенциала, эквипотенциальные линии. § 5. Расчет потенциалов электрических полей для простейших случаев Пользуясь формулами (3.16), можно рассчитать потенциал электрического поля для задач, рассмотренных в лекции № 2. Потенциал электрического поля между двумя бесконечными равномерно заряженными плоскостями Выберем ось х, перпендикулярную плоскостям (см. рис. 2.4, формулу (2.6)). Напряженность электрического поля: E y  E z  0;  . 0 Ex  Следовательно, потенциал не зависит от переменных y, z, а только от х. Из (3.16) и (2.6) имеем: Ex   d   , dx  0 следовательно: x2  x 2     x 1     x1    x 2  x 1 . dx   0 0 36 (3.20) Эквипотенциальные поверхности представляют плоскости, параллельные заряженным плоскостям и расположенные между ними. Формулу (3.20) можно записать в следующем виде: 2  1  E x ( x 2  x1 ), (3.21) откуда получим связь между напряженностью и разностью потенциалов для однородного поля: 1  2 , x E (3.22) здесь у напряженности мы опустили индекс x, обозначили x 2  x1  x и убрали знак «минус», поменяв местами 1 и 2 . Потенциал поля равномерно заряженной сферы В силу симметрии задачи потенциал точки зависит только от расстояния до центра сферы, поэтому напряженность равна производной от потенциала по r: E d q  . dr 40 r 2 Здесь мы учли формулу (1.6). Выразим d: r2 q dr . 2 4  r o r1 d    После интегрирования получим, что разность потенциалов равна: r1   r2   q 40 1 1    ,  r1 r2  (3.23) при условии, что r1 и r2 больше радиуса сферы R. Принимая    0, получаем для случая r2 = : r   q . 40 r 37 (3.24) Потенциал равномерно заряженной сферы при r > R совпадает с потенциалом точечного заряда, находящегося в центре сферы и равного полному заряду сферы. Эквипотенциальные поверхности – концентрические окружности, центр которых совпадает с центром сферы. Потенциал поля равномерно заряженной нити равен: r1   r2   r  ln 2 . 20 r1 (3.25) Эта формула также справедлива только при r1 и r2 больших, чем радиус нити. Получается она аналогично формуле (3.23). ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 3 1. Работа электростатических сил не зависит от формы траектории, т. е. электростатические силы консервативны, и для них можно ввести понятие потенциальной энергии. 2. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме определяется формулой (3.3): Wп  qq . 40 r 3. По определению потенциал электростатического поля равен отношению потенциальной энергии Wп пробного заряда q  в электростатическом поле к величине этого заряда (см. (3.5)):  W ( r )  'п . q Единица потенциала в системе СИ – вольт (В): 1В  1 Дж . 1 Кл 4. Потенциал поля точечного заряда q в вакууме (см. (3.4)): (r )  q . 40 r 38 5. Принцип суперпозиции для потенциала утверждает, что потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности (3.11): N    i . i 1 6. Связь между напряженностью и потенциалом определяется формулой (3.17) или (3.19) с учетом (3.18), т. е.:   E  , где          ex  ey  ez . x y z 7. Потенциал электрического поля можно изобразить с помощью линий равного потенциала, эквипотенциальных линий. Вектор напряженности электрического поля перпендикулярен эквипотенциальным линиям и направлен в сторону уменьшения потенциала. 39 ЛЕКЦИЯ № 4 Электрическое поле в диэлектриках § 1. Проводники и диэлектрики До сих пор мы рассматривали электрическое поле в свободном пространстве (вакууме), теперь рассмотрим электрическое поле в веществе. Все вещества можно разбить на три большие группы: диэлектрики (изоляторы), полупроводники и проводники. Проводники – это вещества, в которых есть свободные электрические заряды. Концентрация свободных зарядов в металлических проводниках того же порядка, что и концентрация атомов. Эти заряды могут перемещаться в пределах проводника, если в нем создано электрическое поле. Диэлектрики – это вещества, в которых почти нет свободных электрических зарядов. В модели идеального диэлектрика свободные заряды отсутствуют. Полупроводники по концентрации свободных зарядов занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. У них концентрация свободных зарядов очень сильно зависит от температуры. Свойства полупроводников будут рассмотрены в части 5 настоящего курса лекций. § 2. Электрический диполь Система из двух равных разноименных зарядов образует электрический диполь, характеристика диполя – вектор электрического дипольного момента, который по определению равен:   p e  qr , (4.1) где q– модуль заряда; r – вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Направление электрического дипольного момента совпадает с направлением от отрицательного к положительному заряду. Линии напряженности электрического поля диполя показаны на рис. 1.5, в. 40 Если диполь находится в однородном внешнем электрическом поле, то на него действует пара сил (рис. 4.1), вращательный момент которой (см. ч. 1 (8.4)) равен: M  Fr sin . Подставляя F  qE из (1.5) и учитывая определение электрического дипольного момента (4.1), получаем значение модуля момента сил: M  pe E sin , направление его определяется Рис. 4.1 по правилу правого винта (см. ч. 1, лекция 7, § 4). Следовательно, момент сил равен векторному произведению:    (4.2) M  pe , E .   Суммарная сила, действующая на диполь в однородном электрическом поле:    F  F1  F2  0, поэтому диполь в электрическом поле поступательно не перемещает  ся, а только поворачивается по полю. При p e , параллельном E , диполь будет находиться в устойчивом равновесии. Диполь в электрическом поле обладает потенциальной энергией, равной алгебраической сумме потенциальных энергий зарядов, образующих диполь. Используя (3.5), получим: Wп  Wп  Wп  q   , здесь  и  – потенциалы поля в точках расположения положительного и отрицательного заряда; q – модуль заряда. Знак «минус» у   учитывает знак заряда. Из (3.21) имеем:     Ex , из рис. 4.1 видно, что x  r cos  , следовательно, потенциальная энергия диполя в элек41   трическом поле равна скалярному произведению векторов pe и E , взятому со знаком «минус»:   Wп  p e E cos   (p e , E). (4.3)  В положении устойчивого равновесия, когда вектор pe паралле лен E , потенциальная энергия диполя минимальна. § 3. Классификация диэлектриков Все вещества состоят из атомов и молекул, в каждом атоме и молекуле есть положительные и отрицательные заряды, хотя, в целом, они электрически нейтральны. Все отрицательные заряды можно заменить одним, эквивалентным, находящимся в центре распределения отрицательных зарядов, положительные – эквивалентным, находящимся в центре распределения положительных зарядов. В связи с этим, диэлектрики можно разбить на 3 группы. 1. Центры распределения положительных и отрицательных зарядов не совпадают, молекула вещества имеет собственный дипольный момент. Такие молекулы называются полярными, а диэлектрик – полярным диэлектриком. Примером такого диэлектрика является вода (H2O): в молекуле есть отрицательно заряженный ион кислорода и два положительно заряженных H  иона водорода (рис. 4.2). 2. Вторую группу составляют диэлектрики, молекулы которых не имеют собственного дипольного моO мента, это молекулы с симметричным строением, у них центры распределений зарядов совпадают между собой и собственный дипольный  момент равен нулю. Такие H диэлектрики называются неполярными, к ним относятся  2e  2e многие двухатомные газы (H2, N2, O2 и т. д.). Рис. 4.2 42 3. Третью группу составляют ионные кристаллы, в них существуют решетки положительных и отрицательных ионов, как бы вставленные одна в другую. Отдельные молекулы в этом случае выделить не удается. § 4. Поляризация диэлектрика Если диэлектрик поместить во внешнее электрическое поле, то в диэлектрике возникает отличный от нуля дипольный момент. В диэлектриках первой группы в электрическом поле на отдельные молекулы действует момент сил, старающийся повернуть их так, чтобы дипольный момент был ориентирован по полю. Из-за теплового движения диполи точно по полю не устанавливаются, но появляется преимущественная ориентация диполей по полю. При этом результирующий дипольный момент становится отличным от нуля. Появление в диэлектрике в электрическом поле отличного от нуля дипольного момента называется поляризацией диэлектрика. В диэлектриках первой группы имеет место ориентационная или дипольная поляризация. В диэлектриках второй группы в электрическом поле центры распределений положительных и отрицательных зарядов смещаются в противоположных направлениях вдоль направления электрического поля за счет деформации электронных орбит, при этом у каждой молекулы àòîì âîäîðîäà б) атом по водорода в возникаетà) дипольный момент, ориентированный полю (рис 4.3). â îòñóòñòâèè ïîëÿ: электриче ском поле - - + v + v r = r (E) + q- = q + = q а) атом водорода в отсутствии поля б) атом водорода в электрическом поле Рис. 4.3 43 E Такой дипольный момент называют индуцированным, а механизм возникновения поляризации – электронной или деформационной поляризацией. В диэлектриках третьей группы ионные подрешетки положительных и отрицательных ионов смещаются друг относительно друга. Каждый ион в подрешетке совершает за счет теплового движения случайные хаотические смещения относительно своего положения в подрешетке, под действием внешнего электрического поля центр этих хаотических движений смещается вдоль направления электрического поля, что эквивалентно смещению подрешеток. Электрическое поле в диэлектриках Количественной характеристикой степени поляризации диэлектрика служит дипольный момент единицы объема диэлектрика. Если объем диэлектрика V , то дипольный момент единицы объема равен сумме дипольных моментов всех молекул, находящихся в объеме, деленной на объем:   1 P (4.4)  pi. ΔV ΔV  Вектор P (4.4) называют поляризованностью диэлектрика. Выше мы обсуждали механизмы поляризации диэлектрика. Для диэлектриков первой группы и не слишком сильных полей можно считать, что степень ориентации дипольных моментов молекул пропорциональна величине напряженности электрического поля, для диэлектриков второй и третьей групп также можно принять, что смещение центров распределений зарядов пропорционально напряженности электрического поля. Таким образом, можно предположить, что поляризованность пропорциональна напряженности электрического поля:   P   0 E . (4.5) Опыт показывает, что это справедливо для большинства диэлектриков. Коэффициент  в формуле (4.5) называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика. 44 Единицы измерения Из формулы (4.1) следует, что единица измерения электрического дипольного момента p e   Кл  м . (4.6) Из формулы (4.4) следует, что единица измерения поляризованности P  Кл 3 м  Кл2 . (4.6а) м м Если подставить в (4.5) размерность поляризованности (4.6а), размерность произведения  0 E (см. (2.6)), то получим, что  – величина безразмерная. § 5. Напряженность электрического поля в диэлектрике Электрическое поле, которое создается зарядами, не принадлежащими материалу диэлектрика, будем называть внешним или сторонним. Источники этого поля находятся внутри диэлектрика или вне его. Заряды, находящиеся в диэлектрике, но не принадлежащие его материалу, также будем называть сторонними. Под действием стороннего электрического поля диэлектрик поляризуется, появляется дипольный момент, как об этом сказано выше. Электрические диполи создают электрическое поле, которое накладывается на стороннее. Это поле создано зарядами, которые не могут свободно перемещаться в диэлектрике, поэтому их называют связанными, а поле электрических диполей – полем связанных зарядов. Напряженность электрического поля в диэлектрике, согласно принципу суперпозиции (1.9), равна:   ' E  E0  E , (4.7)  E 0 – напряженность стороннего (внешнего) поля; ' E – напряженность поля, создаваемого связанными зарядами. Чтобы количественно оценить напряженность электрического поля в диэлектрике, рассмотрим диэлектрик, находящийся между двумя бесконечными равномерно заряженными плоскостями с разноименными зарядами (рис. 4.4). 45   +  '  - '  + - + - + + - + - + + + - + E0 Рис. 4.4  - E' + - E  E 0  E' ' E'  0 Поле, создаваемое плоскостями, это стороннее поле E 0 , см. (2.6): E0   . 0 Диэлектрик между плоскостями будет поляризован. В любом объеме, который будет во много раз больше размеров молекулы, будет содержаться большое число диполей; средний связанный положительный заряд равен среднему отрицательному, так как в одном, отдельно взятом диполе положительный заряд равен отрицательному. Следовательно, суммарный связанный заряд объема примерно равен нулю. Однако на границах диэлектрика дело обстоит иначе: все диполи ориентированы по полю, поэтому на поверхности диэлектрика, прилежащей к положительно заряженной плоскости, будут расположены только отрицательные заряды диполей, а на поверхности, прилежащей к отрицательно заряженной плоскости, – положительные заряды. Иными словами, на границах поляризованного диэлектрика появляются отличные от нуля, поверхностные связанные заряды. Найдем величину этих зарядов. Выделим в диэлектрике (см. рис. 4.4) цилиндр с площадью основания S и высотой d, равной толщине диэлектрика. Цилиндр расположен так, что его основания находятся на правой и левой поверхностях диэлектрика. Суммарный дипольный момент p этого цилиндра с одной стороны равен, по (4.4): 46   p  PV, где V  Sd – объем цилиндра;  P – поляризованность диэлектрика. С другой стороны, по определению (4.1), модуль дипольного момента выделенного цилиндра: p  q d , где q  S – модуль связанного заряда на торцах цилиндра. Сравнивая два выражения для дипольного момента, получаем, что: ' '  P. (4.8) '   0E. (4.8а) Учитывая (4.5), получим: Поле связанных зарядов, согласно (2.6), равно: ' , 0 подставляя сюда  из (4.8а), получим: E  E   E . (4.9)  Из рис. 4.4 видно, чтополе связанных зарядов E  направлено на- встречу внешнему полю E0 . С учетом этого, из (4.7) для модуля напряженности поля в диэлектрике получим: E  E 0  E, подставляя сюда E из (4.9), имеем: E  E0  E. Выражая Е, получим: E E0 . 1  Введем обозначение:   1  , 47 (4.10) тогда для напряженности поля Е в диэлектрике имеем: E E0 .  (4.11) Величину  называют диэлектрической проницаемостью,  – величина безразмерная, как и . Диэлектрическая проницаемость – электрическая характеристика однородного и изотропного диэлектрика. Термин изотропность означает одинаковость свойств по всем направлениям; изотропными являются газы, жидкости и аморфные вещества. У анизотропных диэлектриков, к ним относятся кристаллы, диэлектрические свойства различны по различным направлениям, и поэтому их электрические свойства нельзя учесть одной скалярной величиной. В этом случае вводят тензор диэлектрической проницаемости, который представляет собою совокупность девяти величин. В свободном пространстве или вакууме диэлектрическая проницаемость  = 1. Физические процессы на Земле часто происходят не в вакууме, а в воздухе. Воздух – диэлектрик, диэлектрическая проницаемость его измерена: воз  1   106 , для нормальных условий –   650 , т. е. приближенно  воз  1. Если электрические процессы происходят в диэлектрике, значения напряженности и потенциала поля меняются. Из формулы (4.11) видно, что в диэлектрике напряженность электрического поля между двумя бесконечными равномерно заряженными плоскостями равна: E  , 0 а не E  , 0 как в вакууме. Аналогично меняются все остальные выражения, если в однородном и изотропном диэлектрике находится сторонний заряд. На пряженность электрического поля E равна:     q r (см. (1.6)). q r вместо E  E , 40r 2 r 40r 2 r Потенциал:  q , 40r вместо 48 (3.4), т. е. во всех случаях электрические свойства однородной и изотропной среды учитываются тем, что  0 в формулах заменяется на  0  . Для удобства при расчете электрических полей в диэлектрике вводится новая величина – вектор электрического смещения (или электрическая индукция):   D   0 E . (4.12) Используя формулы (4.8) и (4.8а), а также формулу (4.10), можно  связать вектор электрического смещения D с вектором напряженно-   сти электрического поля E и вектором поляризации P :    D   0 E  P. (4.12а)  В вакууме вектор P равен нулю и вектор электрического смещения пропорционален вектору напряженности:   D  0E . (4.12б) Напряженность электрического поля – физическая величина, силовая характеристика электрического поля. Вектор электрического смещения – вспомогательная величина, введенная для удобства расКл четов. Единица измерения – [D]  2 . м  Удобство от введения вектора D состоит в том, что его величина зависит лишь от распределения в пространстве свободных зарядов q. Используя (2.3), (4.11) и (4.8), можно показать, что теорема Га усса для вектора D имеет следующий вид:  Dn dS   qi , (4.13) V S здесь  q i – сумма свободных зарядов в объеме V, ограниченном V замкнутой поверхностью S. 49 ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 4 1. Диэлектрики – это вещества, в которых нет свободных зарядов. 2. Если молекулы диэлектрика имеют собственный электрический дипольный момент, диэлектрик называют полярным; если у молекул нет собственного дипольного момента – диэлектрик называют неполярным. В электрическом поле у молекул неполярного диэлектрика появляется индуцированный дипольный момент. 3. Электрическим диполем называют два разноименных, равных по величине, заряда, связанных между собой. Электрический диполь характеризуется дипольным моментом (4.1):   pe  qr . В электрическом поле диполь обладает потенциальной энергией (4.3):   Wp  (p e , E) и на него действует момент сил, стремящийся повернуть диполь по полю. 4. В электрическом поле у диэлектрика появляется отличный от нуля дипольный момент, процесс этот называется поляризацией диэлектрика, возникающие при этом заряды – связанными. 5. Дипольный момент единицы объема называют поляризованностью. Поляризованность пропорциональна напряженности электрического поля в диэлектрике (4.5):   P   0 E , коэффициент  – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика. 6. Напряженность электрического поля в однородном и изотропном диэлектрике и напряженность электрического поля сторонних зарядов в вакууме связаны соотношением (4.9): E E0 ,  где  – диэлектрическая проницаемость диэлектрика. 50 7. Электрические свойства однородной и изотропной среды учитываются тем, что  0 в формулах, полученных для поля в вакууме, заменяется на произведение .  8. Вектор электрического смещения D – вспомогательная физическая величина, зависящая только от распределения в пространстве  свободных зарядов. Вводится вектор D формулами (4.12) или (4.12а):   D   0E;    D   0 E  P,  здесь P – поляризуемость диэлектрика. 9. Теорема Гаусса для вектора D имеет следующий вид (4.13):  D dS   q , n i V S где  q i – сумма свободных зарядов в объеме V, ограниченном замкV нутой поверхностью S. 51 ЛЕКЦИЯ № 5 Проводник в электрическом поле § 1. Заряженный проводник Если проводник зарядить, то свободные заряды в нем придут в движение и двигаться они будут до тех пор, пока напряженность электрического поля в проводнике не станет равной нулю, так как сила, действующая на заряд, равна:   F  qE (см. (1.5), (1.7)).  Если E  0 , то, согласно (3.16):       0, x y z т. е. равны нулю все производные потенциала, следовательно, внутри заряженного проводника потенциал постоянен, т. е. объем проводника и его поверхность – эквипотенциальны. Если Е = 0 повсюду внутри проводника, значит, равен нулю поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность внутри проводника. Согласно теореме Гаусса, из этого следует, что объемная плотность заряда внутри проводника равна нулю. Весь заряд проводника распределен по его поверхности. Напряженность электрического поля вне проводника перпендикулярна его поверхности, так как она эквипотенциальна (см. рис. 3.2). Возьмем на поверхности проводника небольшой участок площадью S и построим на нем «гауссов ящик», как это делается при расчете поля вблизи равномерно заряженной плоскости. Внутри проводника Е = 0, следовательно: Ф E  ES , на основании теоремы Гаусса: ФE  S , 0 52 следовательно, напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника:  . (5.1) E  0 Если ввести вектор электрического смещения (см. (4.12)), то из (5.1) следует: (5.1а) D  . Для уединенного проводника при заданном его потенциале поверхностная плотность зарядов определяется кривизной его поверхности. Плотность зарядов растет с уменьшением радиуса положительной кривизны (выпуклости) и уменьшается с уменьшением радиуса отрицательной кривизны (вогнутости). Поэтому, если у проводящего тела есть острие, вблизи острия больше напряженность электрического поля и поверхностная плотность зарядов. Этот эффект используется в технике, например, в громоотводах. Вблизи острия громоотвода больше напряженность электрического поля, сильнее ионизируется воздух. С острия происходит стекание заряда, что уменьшает вероятность грозового разряда, а если он и происходит, то разряд проходит через острие, что уменьшает вероятность повреждения здания и поражения людей. Напротив, если стекание заряда нужно уменьшить, проводник делают в виде шара. § 2. Проводник во внешнем электрическом поле Если внести проводник в область, где существует электрическое поле, то в начальный момент времени поле в проводнике существует. Под действием силы, действующей на заряды в электрическом поле, свободные заряды придута) в движение и будут переме E щаться, пока напряженность электрического поля не станет равной нулю. В результате движения зарядов в противоположных концах проводника возникают поверхностные заряды противоположного знака, которые называют индуцированными заРис. 5.1а рядами (рис. 5.1а, 5.1б, 5.1в). 53 б)  E0   F   eE Электроны под действи  F   e E ем силы начинают двигаться против поля. Рис. 5.1б Перераспределившиеся заряды создают поле E  , направленное навстречу E0 . Когда величина E  сравняется с E0 , тогда результирующее поле в проводнике: E  E0  E'  0, перераспределение электроРис. 5.1в нов закончится. Поле индуцированных зарядов накладывается на стороннее поле и приводит к его изменению, в итоге:    E  E 0  E  0 внутри проводника. Вне проводника напряженность электрического поля вблизи его поверхности перпендикулярна поверхности, так как поверхность проводника – эквипотенциальная. Часть силовых линий поля разрывается – они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных индуцированных зарядах. Если внутри проводника есть полость, то электрическое поле в ней и во всем проводнике равно нулю. Этот эффект используется для экранирования от электрических полей. Если какое-то устройство нужно экранировать от внешних полей, его помещают в металлический экран, чаще сделанный из легкого металла с хорошей проводимостью – алюминия. Например, для качественной работы радио- и телеприемников отдельные их узлы помещают в металлические экраны. 54 § 3. Электроемкость, конденсаторы Как мы установили, потенциал заряженного проводящего тела постоянен во всех точках тела. Спрашивается, как связаны между собой заряд и потенциал тела? Если посмотреть расчет потенциала заряженной сферы (формула (3.23)), то видно, что потенциал пропорционален заряду. Справедливость этого утверждения для всех тел произвольной формы была проверена расчетами и экспериментом. Таким образом, можно утверждать, что: q  C, (5.2) где q – заряд тела;  – его потенциал. Коэффициент пропорциональности между потенциалом и зарядом называется электроемкостью или просто емкостью уединенного проводника: C q .  (5.3) Единица измерения емкости – это емкость тела, у которого при заряде в 1 Кл потенциал равен 1 В. Единица измерения емкости имеет свое наименование – «фарад» 1 Ф = 1 Кл / В. Уединенные проводники обладают небольшой емкостью. Однако, если вблизи проводника расположены другие тела, емкость проводника возрастает; так как на окружающих телах возникают индуцированные заряды. Вблизи заряженного тела индуцируются заряды противоположного знака, это приводит к уменьшению потенциала тела и, соответственно, к увеличению емкости. В технике широко используются специальные устройства, которые накапливают (конденсируют) заметные по величине заряды при относительно небольших потенциалах. Такие устройства называются конденсаторами. Заряды на обкладках конденсатора имеют одинаковую величину q и противоположны по знаку. Проводники, образующие конденсатор, называют обкладками. Основной характеристикой конденсатора является его емкость, которая определяется из соотношения: 55 C q , U (5.4) где U  1  2 – разность потенциалов или напряжение между обкладками конденсатора; q – заряд конденсатора. Емкость плоского конденсатора Наиболее распространенный тип конденсатора – это плоский конденсатор: две близко расположенные разноименно заряженные пластины, между которыми находится диэлектрик (рис. 5.2). Если размер обкладок конденсатора намного больше расстояния между ними, поле между  ними такое же, как в слуS чае двух бесконечных плоскостей. Поле вне пластин практически равно нулю, т. е. конденсатор не оказывает влияния на работу других устd ройств. Емкость конденсатора, согласно формуле Рис. 5.2 (5.4), равна: C q , U (5.4а) заряд q  S , где S – площадь пластины. Напряжение U, согласно (3.20), равно: U  d,  0 где d – расстояние между обкладками, следовательно, емкость плоского конденсатора равна: C  0 S . d 56 (5.5) Из выражения (5.5) видно, что емкость конденсатора пропорциональна площади обкладок и относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика и обратно пропорциональна расстоянию между обкладками. Емкость сферического конденсатора Емкость сферического конденсатора может быть найдена аналогично. Сферический конденсатор – это две концентрические проводящие сферы (рис. 5.3), разделенные диэлектриком. Воспользовавшись выражением (3.23), (5.4а) и (4.11), для емкости сферического конденсатора получаем выражение: C 40 . 1 1  R1 R 2 (5.6) Емкость цилиндрического конденсатора равна: C  20  l , r2 ln r1 (5.7) Рис. 5.3 здесь l – длина конденсатора; r1, r2 – радиусы обкладок. Соединения конденсаторов При применении конденсаторов их часто соединяют между собой. На схемах конденсатор условно обозначают в виде двух параллельных линий. Если они соединены, как показано на рис. 5.4а, соединение называется последовательным. На рис. 5.4б показано параллельное соединение конденсаторов.  Найдем эквивалентную емкость C при последовательном соединении конденсаторов. Как видно из рис. 5.4а, напряжение на эквивалентном конденсаторе: U  U1  U 2 , 57 (5.8) заряд на обкладках конденсаторов одинаков по величине. Можно написать: q  C U; q  C1U1; q  C2 U 2 ,  где C – емкость эквивалентного конденсатора. U1 C1 + C2 - + Q1 Q - Рис. 5.4а Q2 + U + Q U2 C1 - C2 U Рис. 5.4б Из этих выражений можно найти значения U, U1 , U 2 и, подставив в формулу (5.8), для емкости последовательного соединенных конденсаторов получается выражение: 1 1 1 .    C C1 C2 (5.9) Легко можно показать, что при параллельном соединении емкость эквивалентного конденсатора равна: C  C1  C 2 . Доказательство предоставляется читателю (здесь, в отличие от предыдущего случая, напряжение на конденсаторах одинаково, а заряды – складываются). Энергия и плотность энергии электрического поля На рис. 5.5 изображен плоский конденсатор, его левая пластина закреплена, а правая может двигаться вдоль горизонтального направления. Левая пластина заряжена положительным зарядом q+, на правой – такой же по величине отрицательный заряд q-. 58 а) q q E    F  q E б) q 2 q   F  qE  (см.(2.6)) 2 0 1 V  E x Рис. 5.5 Со стороны электрического поля положительной пластины на правую, отрицательную, будет действовать сила (1.5):   F  qE ,  , а q   S (см. формулу (2.5) и рис. 5.5); 20      – поверхностная плотность заряда; S – площадь пластины. Перемещая правую пластину на расстояние х (см. рис. 5.5, б), эта сила совершит работу: здесь E    2 A12  Fx  q  E  x   S x  Sx. 2 0 2 0 59 Выразим поверхностную плотность заряда через напряженность результирующего поля Е (2.6) между обкладками конденсатора:   0E. С учетом этого, работа A12 может быть выражена через напряженность Е поля конденсатора: A12  2 0 E 2 0E 2  Sx  Sx  Sx. 2 0 20 2 Произведение Sx дает объем V , из которого исчезло поле Е при перемещении правой пластины. С учетом этого: 0E 2 A12  V. 2 (5.10) Как известно из механики (см. ч. 1, (6.2)), работа равна убыли потенциальной энергии: A12  Wп1  Wп2 , в данном случае речь идет о потенциальной энергии правой пластины в поле левой. С другой стороны, мы можем считать, что потенциальная энергия была запасена в электрическом поле. Так как поле исчезло из объема V , значит, убыль потенциальной энергии следующим образом связана, в соответствии с (5.10), с напряженностью поля: 0 E 2 Wп1  Wп 2  V. 2 (5.11) Введем понятие плотности энергии электрического поля w в соответствии со следующим определением: w ΔW , ΔV где W – энергия электрического поля, запасенная в объеме V. 60 (5.12) С учетом (5.11) из (5.12) для плотности энергии электрического поля в вакууме получим:  0E 2 . w 2 Если пространство, где создано электрическое поле напряженностью Е, заполнено диэлектриком, то в соответствии с выводом (4.7) из лекции 4,  0 следует заменить на 0 , тогда, для плотности энергии электрического поля в диэлектрике, имеем: w ε 0 εE 2 2 . (5.13)  Если поле E неоднородно, то тогда, зная плотность энергии поля в каждой точке, можно следующим образом найти энергию поля, заключенную в любом объеме V:   0E 2 ( r ) W   w ( r )dV   dV. (5.14) 2 V V Энергия заряженного конденсатора Энергию W заряженного конденсатора найдем, умножив w из (5.13) на объем конденсатора V = Sd. Выразив, в соответствии с (3.22), напряженность электрического поля Е через разность потенциалов (напряжение) U, получим: 2 0  U   0 S U 2 W .   Sd  2 d d 2 С учетом формулы емкости плоского конденсатора (5.5) для энергии заряженного до напряжения U конденсатора емкостью С имеем следующее выражение: CU2 W . 2 (5.15) Формула (5.15) верна для конденсаторов любой формы, хотя получили мы ее для частного случая плоского конденсатора. 61 ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 5 1. Если зарядить проводник, то заряды на поверхности проводника располагаются так, что напряженность электрического поля в проводнике Е = 0. Внутри проводника нет зарядов, все заряды размещены на поверхности проводника. Потенциал электрического поля постоянен внутри и на поверхности проводника. Напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника перпендикулярна поверхности и равна:  . 0 E 2. Если нейтральный проводник поместить в электрическое поле, в нем возникают индуцированные заряды, расположенные на поверхности проводника так, что внутри проводника Е = 0. Потенциал проводника постоянен, поверхность проводника – эквипотенциальная поверхность. Электрическое поле индуцированных зарядов накладывается на внешнее и изменяет его так, что напряженность электрического поля перпендикулярна поверхности проводника. Силовые линии заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. 3. Электрическая емкость С уединенного проводника по определению равна отношению заряда q на проводнике к его потенциалу (5.3): C q .  4. Емкость конденсатора С равна, по определению, отношению заряда конденсатора q к разности потенциалов – напряжению U между обкладками конденсатора (5.4): C q . U 5. Емкость плоского конденсатора находится по формуле (5.5): C  0 S , d где S – площадь пластин; d – расстояние между ними. 62 6. Плотность энергии электрического поля w – это отношение энергии электрического поля W к объему V, занятому полем (5.12): w ΔW . ΔV 7. Плотность энергии электрического поля рассчитывается по формуле (5.13): 0E 2 w , 2 здесь  – диэлектрическая проницаемость среды; Е – напряженность электрического поля. 8. Энергия W конденсатора емкостью С, заряженного до напряжения U, находится по формуле (5.15): CU2 W . 2 63 ЛЕКЦИЯ № 6 Постоянный электрический ток § 1. Сила тока, плотность тока Выше (см. лекцию № 5) мы установили, что если проводник внести в электрическое поле, то под действием поля свободные заряды проводника смещаются – говорят, что возникают индуцированные заряды. Поле индуцированных зарядов компенсирует внешнее, напряженность электрического поля становится равной нулю и движение зарядов прекращается. Предположим, что мы искусственно создали условия, при которых индуцированный заряд не формируется, например, мы с помощью тонких проводников (их называют проводами) отводим заряды с одной стороны от исследуемого проводника и подводим с другой (рис. 6.1). Рис. 6.1 В результате в проводнике присутствует электрическое поле и существует постоянное упорядоченное движение зарядов под действием электрического поля. Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. Если направленное движение происходит под действием электрического поля, ток называют током проводимости, если упорядоченное движение – это движение зарядов под действием механического перемещения макроскопического тела, то ток называется конвекционным. 64 Количественной характеристикой электрического тока служит сила тока. Если через поперечное сечение проводника за время dt проходит заряд dq, то по определению сила тока: I dq . dt (6.1) Сила тока – скалярная величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение в единицу времени. За направление тока условно принимается направление перемещения положительных зарядов. Единица силы тока – «ампер» (А); единицы силы тока и заряда связаны соотношением: 1 Кл = 1 А · с. (6.1а) Если сила тока и его направление не меняются во времени, то такой ток называют постоянным, если меняются, то ток называют переменным. Плотность тока Ток может протекать через проводник большого сечения, при этом величина заряда, переносимого через отдельные участки сечения, может меняться. Более того, может меняться и направление движения зарядов (рис. 6.2). В связи с этим вводится понятие плотности тока. Выделим в проводнике площадку dS , перпендикулярную направлению движения зарядов в этой точке проводника. Пусть сила тока, протекающего через эту площадку, равна dI . Плотность тока по определению равна: j dI . dS (6.2) Рис. 6.2 Плотность тока характеризуется не только своей величиной j, но и направлением движения зарядов. Следовательно, плотность тока – вектор, формула (6.2) определяет его модуль. 65 Плотность тока – это векторная физическая величина, модуль которой равен силе тока через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов в данной точке проводника, а направление совпадает с направлением движения зарядов. Чуть позже мы покажем, что направление плотности тока совпа дает с направлением напряженности поля E в данной точке. Из формулы (6.2) следует, что единица измерения плотности тока:  j  1 A м 2 . Графически движение зарядов в проводнике может быть представлено с помощью линий вектора плотности тока. § 2. Уравнение непрерывности Для вектора плотности тока можно определить поток вектора плотности тока через поверхность S точно так же, как это было сделано в лекции № 2 для напряженности электрического поля. Рассмотрим произвольное тело объемом V (рис. 6.3а). Тело содержит в своем объеме заряды, которые через поверхность тела могут заходить в объем V и покидать его. dq 0 dt dq 0 dt Рис. 6.3а Рис. 6.3б В силу закона сохранения заряда (лекция № 1), поток вектора плотности тока через поверхность тела должен равняться скорости убывания заряда в объеме тела, т. е. имеет место соотношение:  j n dS   66 dq , dt (6.3) которое называется уравнением непрерывности в интегральной форме. В стационарном состоянии, когда величина заряда не меняется со временем: dq  0, dt  и поток вектора j через любую замкнутую поверхность равен нулю (рис. 6.3б) Следовательно, линии тока в стационарном случае – замкнутые линии или приходят из бесконечности и уходят в бесконечность. § 3. Связь между плотностью тока и скоростью движения свободных зарядов Будем считать, что проводник представляет цилиндр сечением dS, напряженность электрического поля направлена вдоль оси цилиндра. Упорядоченное направленное движение зарядов направлено при этом вдоль оси цилиндра (см. рис. 6.1). Для упрощения рассуждений мы будем считать эти заряды положительными. Определим заряд, проходящий через сечение 2 за время dt. Очевидно, что все заряды, находящиеся в отрезке цилиндра высотой dl  vdt, пройдут через сечение 2. Здесь v – скорость упорядоченного движения зарядов. Величина заряда, находящегося в этом объеме, равна: dq = (q0nSv)dt, где q0 – величина заряда одного носителя заряда; n – концентрация носителей зарядов, их число на единицу объема; vSdt – объем части цилиндра. По определению (6.1) сила тока, протекающего через сечение проводника, равна: I dq  q 0nvS, dt модуль плотности тока в соответствии с (6.2): j I  q 0nv. S 67  Направление вектора j совпадает с направлением скорости зарядов, поэтому:   j  q 0nv . (6.4) § 4. Закон Ома для однородного участка цепи Как связаны между собой разность потенциалов, приложенная к проводнику (см. рис. 6.1), и сила тока, протекающего по проводнику? На основании многочисленных экспериментальных данных немецкий физик Георг Ом установил, что ток, протекающий по проводнику, пропорционален разности потенциалов 1 – 2  U – напряжению, приложенному к проводнику: I U . R (6.5) Формула (6.5) выражает закон Ома для однородного участка цепи. Коэффициент R – электрическое сопротивление проводника или просто сопротивление. Единица измерения сопротивления, как видно из (6.5), равна 1 (В/А). Она имеет название «Ом» R   1 B  1 Oм. A Следует подчеркнуть, что, хотя закон Ома выполняется в большинстве случаев, есть среды или устройства, для которых он не выполняется. К ним относится такое известное устройство, как диод. На рис. 6.4 показаны графики зависимости силы тока от приложенного напряжения. Рис. 6.4 68 В том случае, когда справедлив закон Ома – зависимость тока I от напряжения U изображается прямой 1, в диоде – кривая 2. Для диода закон Ома не выполняется, ток растет не линейно, а приблизительно по закону: I  I0ekU . Сопротивление Сопротивление проводника зависит от размеров проводника, его формы, материала проводника. Рассмотрим цилиндрический проводник, у которого длина (l) намного больше размеров поперечного сечения (проволока). Ясно, что сопротивление пропорционально длине проводника: чем больше длина, тем больше сопротивление. Сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения S: чем больше площадь поперечного сечения, тем больше свободных зарядов участвуют в переносе электричества и тем меньше сопротивление проводника. На основании вышесказанного, для сопротивления проволоки получаем выражение: R  l , S (6.6) где  – удельное сопротивление проводника, коэффициент, характеризующий свойства материала, из которого сделан проводник. Удельное сопротивление – одна из основных электрических характеристик материала проводника, имеются справочные данные на все электротехнические материалы. Единица измерения удельного сопротивления – Омм. Это сопротивление куба с длиной ребра 1 м. При изменении температуры  для металлов меняется по закону:   0 1  t , (6.7) где  – температурный коэффициент сопротивления; t – температура проводника в градусах Цельсия. Устройства, обладающие определенным электрическим сопротивлением, широко используются в электротехнике и радиотехнике. Их называют сопротивлением или резистором; изготавливают из проволоки, намотанной на каркас, или из специальных смесей. 69 Соединения сопротивлений При практическом использовании резисторы (сопротивления) часто соединяют между собой последовательно или параллельно (рис. 6.5). I1 R1 U R1 U1 R2 I R2 U2 I2 Последовательное U Параллельное Рис. 6.5 Условно на схемах резисторы изображают в виде прямоугольника. Значение эквивалентных сопротивлений R* легко найти из рис. 6.5. Для последовательного соединения имеем: U  U1  U 2 ; U1  IR1; U 2  IR 2 ; U  IR . Подставляя значения U1 , U 2 , U в первую формулу, получаем для последовательного соединения: R   R1  R 2 , (6.8а) для параллельного соединения из закона сохранения заряда следует, что: I  I1  I 2 . Выражая токи I, I1 , I 2 через общее напряжение U и соответствующие сопротивления, используя закон Ома (6.5), получим: 1 1 1   . R  R1 R 2 Детали доказательства предоставляем читателю. 70 (6.8б) Проводимость Величина, обратная сопротивлению (1/R), называется проводимостью. Глядя на формулы (6.8), можно сказать, что при последовательном соединении складываются сопротивления, при параллельном – проводимости. Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью: 1  . (6.9)  Единица измерения проводимости – Ом–1, единица измерения удельной проводимости – Ом1  м 1 . Единица измерения проводимости имеет собственное название = «сименс» (См). § 5. Закон Ома в дифференциальной форме Выше уже говорилось, что свойства проводников могут меняться по сечению. Представляет интерес выяснить, как меняется плотность тока по сечению проводника в зависимости от изменения проводимости. Для этого установим связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля. Рассмотрим случай однородного цилиндрического проводника. В данном случае имеем: I  jS, S – поперечное сечение проводника (см. рис. 6.1, формулу (6.2)), l , (см. формулу (6.6)), S U  El. (см. формулу (3.22)). R  Подставляя эти соотношения в формулу закона Ома (6.5), получаем: 1 j  E.  Плотность тока и напряженность электрического поля – векторы, поскольку положительный заряд двигается по направлению вектора  E , окончательно получаем с учетом (6.9):   j  E . 71 (6.10) Соотношение (6.10) называют законом Ома в дифференциальной форме. Формула (6.10) справедлива в каждой точке проводника, даже если он неоднороден по своим характеристикам. Только нужно  помнить, что в этом случае проводимость x, y, z  , а, возможно, и E x , y, z  – функции пространственных координат. § 6. Электродвижущая сила В начале лекции было предположено, что созданы условия, при которых свободные заряды в электрическом поле не формируют индуцированные заряды. Рассмотрим, как технически реализуются такие условия. Из уравнения непрерывности (6.3) следует, что в стационарном состоянии линии вектора плотности тока должны быть замкнуты. Следовательно, электрические цепи постоянного тока представляют замкнутые контуры, а свободные заряды перемещаются по замкнутым траекториям (рис. 6.6а). Заряды под действием электрического поля перемещаются от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. При своем движении заряды теряют Источник тока часть своей кинетической энергии, сталкиваясь с неподвижными атомами криРис. 6.6а сталлической решетки проводника. Эти потери компенсируются за счет q работы сил электрического поля A потенциальной  v  const уменьшения энергии зарядов в электрическом поле (заряды скатываются с потенциальной горки, рис. 6.6б). В результате, на тех участA ках, где поле ускоряет заряды, B устанавливается постоянная B средняя скорость их движения. Однако, при движении зарядов по замкнутому контуру работа сил электрического поля, в соРис. 6.6б ответствии с (3.7), равна нулю. 72 Это значит, что существуют такие участки замкнутой траектории, на которых электрическое поле будет тормозить заряды. Для того, чтобы движение зарядов было непрерывным, в электрической цепи должно быть устройство, в котором над зарядом сторонними, не электрическими силами, совершается работа, он приобретает дополнительную потенциальную энергию, поднимается на потенциальную ступеньку от Вк А (рис. 6.6б). Дальше заряд движется с потенциальной «горки» под действием электростатических сил. Существует глубокая аналогия между движением свободных электрических зарядов по замкнутой цепи и механическим движением, например, ребятишек на ледяной горке. Гравитационные силы, скатывающие ребенка с горки, потенциальны, как и электростатические. Для того, чтобы опять скатиться с горки, ребенок должен забраться на нее, т. е. сторонние, не гравитационные силы (его собственные ножки!) должны совершить работу по увеличению потенциальной энергии (надо забраться на горку!). А дальше – вниз, под действием гравитационных сил. В электрической цепи устройство, в котором над зарядом совершают работу сторонние, не электростатические силы, называют источником тока. Природа сторонних сил может быть различной. Например, в аккумуляторах они возникают за счет энергии химических реакций. В электрических генераторах – за счет сил, возникающих при взаимодействии движущихся зарядов с магнитным полем. На схемах химические источники тока изображают в виде 2 параллельных линий, положительно заряженный электрод изображают более длинной чертой. Электродвижущей силой  источника (ЭДС) называется отношение работы сторонних сил по перемещению заряда q к величине перемещенного заряда:  A ст.сил . q (6.11) Ясно, что ЭДС измеряется в тех же единицах, что и потенциал (3.5) – в вольтах. Второй характеристикой источника тока является внутреннее сопротивление. Под действием сторонних сил свободные заряды участвуют в упорядоченном движении так же, как и под действием 73 сил в электрическом поле, их движение можно охарактеризовать сопротивлением, как и движение зарядов под действием электрического поля. Это сопротивление называют внутренним. Впервые химические источники тока создал в конце XVIII в. итальянский ученый Алессандро Вольта. Он брал круглые пластинки из серебра и цинка и прокладывал между ними бумагу, смоченную в серной кислоте. Соединяя их последовательно, он получил первые химические источники тока. Открытие Вольта стало прорывом в новую область. Примерно через 30 лет после создания первых источников тока был разработан электрический телеграф, использовавший азбуку Морзе, и началось практическое применение электричества. ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 6 1. Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов (см. § 1, рис. 6.1). 2. Сила тока I равна, по определению (6.1), отношению электрического заряда dq, прошедшего через поперечное сечение проводника за время dt, к промежутку времени: I dq . dt 3. Плотность тока j равна, по определению (6.2), отношению силы тока dI, протекающей через площадку dS , расположенную перпендикулярно направлению движения зарядов, к площади этой площадки: j dI . dS  4. Вектор плотности тока j пропорционален заряду одного но- сителя е – концентрации носителей n и скорости v их упорядоченного движения (6.4):   j  env . 5. Закон Ома для однородного участка цепи выражается формулой (6.5): I U , R 74 где R – сопротивление проводника (6.6): l R  , S где  – удельное сопротивление материала; l – длина; S – площадь поперечного сечения проводника. 6. Закон Ома в дифференциальной форме (6.10) имеет следующий вид:   j  E , где  – удельная проводимость проводника. 7. Электродвижущей силой  источника называется отношение работы сторонних сил по перемещению заряда q к величине перемещенного заряда (6.11):  A ст. сил q 75 . ЛЕКЦИЯ № 7 Работа и мощность электрического тока § 1. Работа электрического тока. Закон Джоуля – Ленца Если по проводнику течет ток силой I, то, в соответствии с (6.1), за время dt через сечение проводника пройдет заряд: dq  Idt . Заряд, равный dq, в сечении 1 войдет в проводник и точно такой же заряд выйдет из проводника в сечении 2 (см. рис. 6.1). Можно считать, что за время dt заряд сместился из сечения 1 в сечение 2, при этом над зарядом электростатическими силами совершена работа (см. (3.7)): dA12  dq1  2   IUdt. (7.1) Мощность, развиваемая на участке цепи между точками 1 и 2, по определению равна: dA12 P  IU. (7.2) dt Работа, совершаемая током, приводит к выделению энергии. Это может быть механическая энергия, если ток протекает по обмоткам электродвигателя, химическая – при зарядке аккумулятора. Если нет переходов в другие виды энергии, работа переходит в тепловую энергию. Заменяя, согласно закону Ома (6.5), напряжение U в формулах (7.1) и (7.2): U  RI, получаем формулы для количества тепла dQ и мощности P: dQ  I2Rdt; (7.3) P  I2R. (7.4) Формулу (7.3) называют законом Джоуля – Ленца. 76 Количество тепла в системе СИ измеряют в джоулях, но часто используется и внесистемная единица – калория. Если измерять тепло в калориях, в формуле (7.3) появляется переводной коэффициент, равный значению 1 Дж в калориях, – 0,24 кал/Дж: dQ  0,24I 2 Rdt, кал. (7.3а) Точно так же, как выводится закон Ома в дифференциальной форме, выводится закона Джоуля – Ленца в дифференциальной форме. Этот закон определяет количество тепла, выделяющееся в единичном объеме проводника в единицу времени – удельную тепловую мощность тока w: w dQ . dVdt (7.5) Рассмотрим однородный цилиндрический проводник. Подставим в формулу (7.4) из (6.6) и (6.2) значения: l R  ; S I  jS. После подстановки получаем: P  j2 V, (7.6) где V  Sl. Из формулы (7.6) видно, что мощность, выделяемая в единице объема проводника, удельная тепловая мощность тока, равна: w  j2 . (7.7) Для w, пользуясь законом Ома в дифференциальной форме (формула (6.10)), можно записать на основе (7.6) следующие эквивалентные выражения закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: w  jE  E 2  j2 . (7.8) Для количества тепла dQ, выделяющегося в объеме dV за время dt, из (7.8) получаем: dQ  wdVdt  E 2 dVdt . (7.9) 77 В случае неоднородного проводника формулы (7.8) и (7.9) позволяют найти количество тепла, выделяемого в каждой точке объема неоднородного проводника. Открытие того факта, что электрический ток, проходя по проводнику, совершает работу, которая легко переводится в тепло, механическую работу либо другие виды энергии, – одно из важнейших открытий XIX в. Это открытие независимо было сделано англичанином Дж. Джоулем и академиком Санкт-Петербургской академии наук Э.Х. Ленцем. Оно показало, что с помощью электрического тока энергию легко передавать на расстояние. Если раньше вблизи каждого завода строилась паровая машина, от которой механическая энергия с помощью валов и трансмиссий передавалась в цехи к станкам, то теперь тепловую или гидроэлектростанцию можно построить вдали от города и завода, вблизи дешевых источников энергии и передавать ее на завод. Одновременно значительно расширились возможности в изготовлении станков, наилучшим образом приспособленных к выполнению тех или других технологических операций. Короче говоря, техническая революция конца XIX – начала XX вв. заложена в открытии Джоуля и Ленца. § 2. Закон Ома для неоднородного участка цепи Рассмотрим участок цепи, содержащий сопротивление и источник тока. Такой участок называется неоднородным (рис. 7.1). В соответствии с (3.7) и (6.11), работа, совершаемая над зарядом на участке между точками 1 и 2, равна: dA12  dq1  2   dq12 .  I 1 R Если нет перехода работы ни в какие другие виды энергии, кроме тепловой, то:   (7.10) 2 Рис. 7.1 dA12  dQ . Согласно (7.3): dQ  I2 Rdt. Заряд dq выразим из (6.1): dq  Idt . 78 Подставляя эти соотношения в формулу (7.10), получаем: IR  1  2  12 , откуда: I 1   2  12 , R (7.11) где R – полное сопротивление цепи: R = Rн + r, здесь Rн – сопротивление нагрузки; r – внутреннее сопротивление источника. Выражение (7.11) называется законом Ома для неоднородной цепи. Закон Ома для замкнутой цепи Рассмотрим замкнутую цепь, показанную на рис. 7.2. При протекании тока по замкну+ той цепи, точки 1 и 2 (см. рис. 7.1) совпадают, поэтому: Rн 1  2  0. + Полное сопротивление R цепи равно сумме сопротивления нагрузки Rн и внутреннего сопротивления источника r:  - r + Рис. 7.2 R  R н  r. На основании (7.11) получаем: I  . Rн  r (7.12) Формула (7.12) – закон Ома для замкнутой цепи. Из формулы (7.12) с использованием (6.5), видно, что если по цепи протекает ток I, то напряжение на сопротивлении нагрузки U, оно же напряжение на клеммах источника тока и ЭДС, связаны следующим соотношением: U    Ir  , здесь произведение Ir дает падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника. 79 Для того, чтобы измерить ЭДС, надо сделать так, чтобы ток был равен нулю, I = 0, т. е. разомкнуть цепь – R н   . Измеренное в этом случае напряжение на клеммах источника тока называется напряжением холостого хода: UXX   . Чтобы определить внутреннее сопротивление источника тока, нужно сделать R н  0 , замкнуть клеммы источника между собой и измерить силу тока, которая называется током короткого замыкания. Если известно , то по формуле (7.12) можно найти r: r  . I кз Так как на внутреннем сопротивлении падает часть напряжения, то там теряется часть мощности источника. Найдем значение R н , при котором мощность, выделяющаяся на сопротивлении нагрузки, максимальна. Мощность на нагрузке, согласно (7.4) и (7.12), равна: 2 P Rн, 2 R н  r  dP  0. dR н Вычисляя производную, получим: мощность максимальна, если 2 r  R н   0 , 3 R н  r  откуда следует, что мощность, выделяющаяся на сопротивлении нагрузки максимальна, когда R н  r . В этом случае говорят, что нагрузка согласована с внутренним сопротивлением источника тока. § 3. Правила Кирхгофа До сих пор мы рассматривали простые электрические цепи, в которых токи легко рассчитываются с помощью закона Ома. Однако, на практике обычно имеют дело с разветвленными электрическими це80 пями, для подобных цепей немецкий ученый Г. Кирхгоф предложил 2 правила, которые значительно облегчают расчеты. Пример разветвленной цепи показан на рис. 7.3. Узлом называется точка разветвления в схеме, где сходится не менее трех проводников, например, точка В. В схеме можно выделить замкнутые контуры, например, контур АВС. Для каждой ветви цепи произвольно выбирается направление тока. На рис. 7.3 указаны направления токов I1 , I 2 , I3 и т. д. Если ток втекает в узел, он берется со знаком «+», вытекающий из узла – со знаком «–». R1 I1 1 R2 B R5 I5 I2 R3 R4 A I3 2 D C 3 I4 Рис. 7.3 Первое правило Кирхгофа утверждает: алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в узле, равна нулю: N  Ik  0 . (7.13) k 1 Это правило является следствием закона сохранения заряда и уравнения непрерывности (см. лекцию № 6). Для каждого контура, который можно выделить в цепи произвольно, выбираем направление обхода и составляем сумму  I k R k . k 1 Для цепи, изображенной на рис. 7.3, направление обхода контура АВС выбрано по часовой стрелке, контура BСD – против часовой стрелки. Эти направления указаны на рис. 7.3. Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, произведение I k R k берется со знаком «+», в противном случае – со знаком «–». ЭДС берется со знаком «+», если при обходе мы выходим из положительного полюса источника. 81 Запишем закон Ома (7.11) для каждой ветви замкнутого контура: I k R k  k  k 1   k ; k = 1, 2 … n. (7.14) Складывая уравнения (7.14), получаем:  I k R k  [(1  2 )  (2  3 )...(n  2  n 1 )  (n 1  n )]    k . k Выражение в квадратных скобках равно 1  n , но так как кон- тур замкнут, то n  1 , следовательно, выражение в скобках равно 0. Таким образом, M L I R   . k k k k (7.15) Второе правило Кирхгофа утверждает: алгебраическая сумма произведений I k R k в каждом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре. Измерение силы тока и напряжения Приборы для измерения силы тока называют амперметрами, напряжения – вольтметрами. Для того, чтобы измерить силу тока, протекающего через сопротивление, через амперметр должен пройти весь ток. Поэтому амперметр включается последовательно с сопротивлением (рис. 7.4а). Чтобы измерить напряжение, Рис. 7.4а вольтметр должен быть включен параллельно сопротивлению (рис. 7.4б). Включаемый в схему измерительный прибор должен как можно меньше влиять на величину тока и напряжения в элементах электрической цепи, поэтому внутреннее сопротивление амперметра должно быть как можно меньшим, сопроРис. 7.4б тивление вольтметра – как можно большим. 82 § 4. Электрическое поле Земли В заключение остановимся на электрическом поле Земли. То, что Земля обладает магнитным полем, хорошо известно, менее известно о существовании у Земли электрического поля. Электрическое поле в атмосфере Верхние слои земной атмосферы ионизированы под действием ультрафиолетового и корпускулярного (потока заряженных частиц) излучения Солнца, космических лучей. Ионизированные слои образуют ионосферу, – проводящий верхний слой атмосферы Земли. Таким образом, Земля представляет из себя как бы сферический конденсатор: одна обкладка которого – поверхность морей и океанов, вторая – ионосфера Земли. Конденсатор заряжается за счет источника тока, находящегося между обкладками конденсатора, внутри него – это грозовые явления в атмосфере. Разогретые у поверхности Земли слои воздуха поднимаются вверх, при этом за счет трения они заряжаются и в верхних слоях тропосферы образуются значительные заряды, в основном, это заряженные грозовые облака. В нижней части грозовых облаков обычно образуются отрицательные заряды, в верхней – положительные. При грозовых разрядах на Землю поступают большие отрицательные заряды, кроме того, при высокой напряженности электрического поля наблюдается «истечение электричества» с остриев, расположенных на земной поверхности. В результате земная поверхность заряжается отрицательно, а в атмосфере остаются положительно заряженные ионы. Напряженность электрического поля вблизи поверхности Земли составляет для спокойной атмосферы 130 В/м, но быстро падает с высотой по экспоненциальному закону, на высоте 10 км она составляет уже 3–4 В/м. Поскольку тело человека – проводник, эквипотенциальные линии изгибаются вблизи тела человека, огибая его. Потенциал тела человека приблизительно равен нулю. Через тело человека токи не текут, поэтому мы не замечаем электрического поля. Однако исследования показывают, что если человек достаточно долго находится в замкнутом экранированном пространстве, где нет электрического поля (кабина машины, самолет), он испытывает чувство дискомфорта, повышенную утомляемость. 83 Электрическое поле в земной коре Выше мы говорили об электрическом поле в атмосфере. Электрическое поле существует и в земной коре, особенно в верхних ее слоях. Поля делятся на региональные, охватывающие целые континенты, и локальные, ограниченные сравнительно небольшими участками. Значения напряженности электрического поля связаны с процессами, протекающими в ионосфере, с солнечной активностью и вариациями магнитного поля Земли. Горизонтальная составляющая электрического поля в земной коре составляет 0,1–10 мВ/км. Локальные поля имеют разное происхождение: это поля в месте контакта горных пород разного химического состава, поля, возникающие при фильтрации соленой воды через горные породы, и т. д. Изучение электрических полей используются при исследовании состава земной коры. ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 7 1. Ток силой I за время dt, протекая по проводнику, на концах которого поддерживается разность потенциалов U, совершает работу (7.1): dA  UIdt , мощность тока Р при этом определяется формулой (7.2): P  UI. 2. Закон Джоуля – Ленца утверждает, что если работа электрического тока (7.1) не переходит ни в какие другие виды энергии, кроме тепловой, то количество тепла dQ, выделившееся в проводнике за время dt, определяется формулой (7.3): dQ  I2Rdt, при этом тепловая мощность тока находится по формуле (7.4): P  I2R. 84 3. Удельная тепловая мощность тока w определяется в соответствии с (7.5) как отношение количества тепла dQ, выделившегося за время dt в объеме dV, к величинам dV и dt: dQ . dVdt w 4. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме выражается эквивалентными формулами (7.8): w  ρj 2  jE  σE 2 , здесь j – плотность тока;  – удельное сопротивление проводника;  – его удельная проводимость (  ); Е – напряженность электрического поля в данном месте проводника. 5. Закон Ома для неоднородного участка цепи выражается формулой (7.11): I 1  2  12 , R здесь 1  2 – разность потенциалов на участке; 12 – ЭДС, действующая на участке; R – сопротивление участка цепи. 6. Для сложных разветвленных цепей расчеты проводятся на основании 2 правил Кирхгофа (формулы (7.13) и (7.15)). Первое правило Кирхгофа утверждает: алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в узле, равна нулю: N I к  0. к 1 Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений – Iк R к – в каждом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре: M N I R  ε к к к 1 к 1 85 к. 7. Прибор для измерения силы тока – амперметр – включается в цепь последовательно, прибор для измерения напряжения – вольтметр, включается параллельно. 8. Земля имеет свое электрическое поле как в атмосфере, так и в земной коре. Имеется несколько физических механизмов, поддерживающих электрическое поле, они связаны с существованием ионосферы, солнечной активностью, неоднородностями в строении земной коры. 86 МАГНЕТИЗМ ЛЕКЦИЯ № 8 Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Закон Био – Савара – Лапласа Магнетизм, также как и электрические явления, был замечен еще в глубокой древности. Было отмечено, что если взять два куска особой руды, то образцы либо взаимно притягиваются, либо отталкиваются. Первые месторождения такой руды были найдены в Малой Азии, в области Магнезия, по имени которой явление получило название магнетизм. Цилиндрический стержень из магнитного материала называют магнитом, торцы – полюсами. Еще китайцы в XI в. или раньше установили, что если небольшой магнит, магнитную стрелку подвесить на нитке, то он ориентируется в пространстве так, что один из полюсов будет направлен на север, другой – на юг. Полюс, который ориентируется на север, называют северным, противоположный – южным. Интенсивное изучение явления магнетизма началось после создания источников тока, когда была доказана связь электрического тока с магнитными явлениями. В 1820 г. датский ученый Х. Эрстед обнаружил, что если вблизи проводника с током поместить магнитную стрелку, то под действием тока стрелка поворачивается. Меняется направление тока – меняется угол поворота. § 1. Магнитное поле Электрический ток, как мы знаем, – это упорядоченное движение электрических зарядов (см. лекцию № 6, § 1). Магнитные свойства веществ (магнитной стрелки) объясняются внутриатомными движениями электрических зарядов (см. лекцию № 12, § 3). Поэтому на более глубоком уровне действие проводника с током на магнитную стрелку, обнаруженное Эрстедом, можно объяснить взаимодействием движущихся зарядов. Движущийся заряд является источником магнитного поля; магнитное поле оказывает силовое воздействие на другой движущийся в нем заряд. 87 Как мы знаем из лекции № 1, электрические заряды взаимодействуют посредством электрического поля. В случае, если заряды неподвижны, они взаимодействуют только через электрические поля. Для движущихся зарядов ситуация усложняется: кроме электрического поля возникает еще и магнитное. На рис. 8.1 изображены два поло  жительных движущихся заряда q1 и q2 и силы FE и FB , действующие на заряд q2 со стороны электрического и магнитного полей заряда q1 (разумеется, картина симметрична и такие же силы действуют на заряд q1 со стороны полей заряда q2). Для ситуации, изображенной на рис. 8.1, магнитное взаимодействие зарядов   q1 v1 F создает силы B , противоположные по направлению силам электрического взаимо действия FE .    r Заряд q1 создает в точке, удаленной на FB  q  [ v 2 B1 ] расстояние r, электрическое поле напряженностью:  2 q2 v2 q E  1 2   4  r FE  q 2 E1  и магнитное поле с индукцией B1 . Рис. 8.1 На заряд q2 действуют две силы:   FE  q 2 E1 – электрическая;   FB  q 2 v2B1 – магнитная сила, или сила Лоренца, см. (11.1).  Если q2 неподвижен, на него действует только FE . Оказывается, что отношение величины силы FB к силе FE равно отношению произведения скоростей зарядов v1 и v 2 к квадрату скорости света, т. е. FB v1v 2  2 . FE c   Следовательно, магнитное взаимодействие зарядов сравнимо с электрическим лишь при скоростях частиц, приближающихся к 8 скорости света c  3  10 м / с . Скорости упорядоченного движения электронов в металле, даже при максимально возможных значениях 3 плотности тока, имеют порядок 10 м / с , значит, магнитная сила при таких скоростях меньше электрической примерно в 1023 раз! 88 Тем не менее, магнитная сила достаточно большая и проявляется в чистом виде (без электрической!) при взаимодействии проводников с током. Дело в том, что электрическое взаимодействие проводников с током отсутствует, так как электрические поля движущихся зарядов вне проводника компенсируются электрическими полями неподвижных зарядов проводника противоположного знака. Эта ситуация изображена на рис. 8.2, который иллюстрирует, почему проводник с током создает только магнитное поле и реагирует только на магнитное поле. Проводник с током I1 электрически нейтрален (qi = 0) и не создает вокруг себя электрическое поле, только магнитное. Проводник с током I2 не реагирует на электрическое поле, так как он не заряжен (qi = 0), на проводник с током действует сила только со стороны магнитного поля. В опытах Эрстеда при Рис. 8.2 изменении направления тока стрелка отклонялась в противоположную сторону – значит, магнитное поле характеризуетсявекторной величиной. Силовую характеристику магнитного поля B называют вектором магнитной индукции, хотя по аналогии с электрическим полем следовало бы назвать напряженностью магнитного поля. Но исторически сложилось так, что напряженностью называют вспомогательную характеристику магнитного поля. Как мы знаем, электрическое поле проявляет себя тем, что в электрическом поле на заряд действует сила (1.5):   F  qE . Аналогично в случае магнитного поля можно показать, что на рамку с током в магнитном поле действует механический момент сил. Маленькая рамка с током по отношению к вектору магнитной ин дукции B выполняет такую же роль, как точечный заряд по отношению  к вектору напряженности электрического поля E: рамка с током позво89 ляет определить среднюю величину и направление вектора магнитной  индукции B в области пространства, сравнимой с размерами рамки. Если рамку с током к тому же сделать очень маленькой, то можно сказать, что с ее помощью можно определить величину и направление   магнитного поля в каждой точке пространства, т. е. функцию B( r ) . На рис. 8.3 плоскость рамки совпадает с направлением вектора магнит ной индукции B . Направление тока указано стрелками. Это положение рамки используется для определения  B модуля вектора . a В этом положении на рамку действует максимальный вращающий моРис. 8.3 мент. Модуль вектора магнитной индукции пропорционален максимальному вращающему моменту: B M max ; IS S  a d. Положение рамки, изображенное на рис. 8.4, определяет направление  вектора B .  Рис. 8.4 Направление вектора B совпадает   с направлением положительной нормали n к рамке. Направление n связано с направлением тока I правилом правого винта (см. рис. 8.4), на нѐм кривые стрелки показывают направление вращения правого винта. В этом положении рамка находится в состоянии устойчивого равновесия. § 2. Закон Био – Савара – Лапласа Экспериментально магнитное поле, создаваемое током, изучали французкие ученые Ж. Био и Ф. Савар, результаты этих исследований математически оформил их соотечественник П. Лаплас. 90 Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: поле системы токов равно сумме полей,  создаваемых каждым током. Вектор магнитной индукции B равен  векторной сумме полей Bi , создаваемых каждым источником поля в отдельности:   B   Bi , i  где Bi – вектор магнитной индукции поля, созданного i-м током. Для того, чтобы можно было определить магнитное поле любой системы токов, достаточно найти выражение для вектора магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока. Под элементом тока понимают элемент проводника с током с учетом его направления, т. е. элемент тока – это вектор, рав Id l ный (рис. 8.5). На основании опытов Ж. Био и Ф. Савара П. Лапласом установ  лено, что вектор магнитной индукции поля dB в точке r , созданного элементом тока Idl, равен (рис. 8.5):    r I dl     0  r . dB  (8.1) 4 r2    0 I[d l   r] dB   ; 4 r3  0 4  10 7 Гн / м  I dl магнитная постоянная.  r  Рис. 8.5 91 Формула (8.1) является математическим выражением закона Био – Савара – Лапласа.  Направление dB определяется направлением векторного произ-   ведения. Оно перпендикулярно плоскости, в которой лежат dl и r и определяется правилом правого винта:   а) винт установить перпендикулярно плоскости dl и r ;   б) вращать от dl к r ;  в) поступательное движение винта покажет направление dB –  вектора магнитной индукции, созданного элементом dl проводника с током I. (Вспомните, что это правило было использовано в ч. 1, лекция № 7, § 4.) Результирующее поле, созданное проводником, находится по принципу суперпозиции магнитных полей:   B dB.  по проводнику  Модуль вектора dB : dB   0 Id l  sin  .  2 4 r (8.2) Единица измерения магнитной индукции – «тесла» (Тл). О магнитных зарядах Электрическое поле создается электрическими зарядами. Согласно классической теории магнетизма, магнитное поле не имеет иных источников, кроме движущихся зарядов. В 1931 г. английским физиком П.А.М. Дираком была выдвинута гипотеза о существовании в природе магнитных зарядов (монополь Дирака). Однако ни в одном эксперименте не удалось пока обнаружить магнитные заряды. В настоящее время можно считать экспериментально установленным, что магнитных зарядов нет. Графическое изображение магнитного поля Магнитное поле графически изображается, как и электрическое, с помощью линий магнитной индукции (магнитных силовых линий). 92 Линии магнитной индукции: 1) замкнуты,  так как в природе нет магнитных зарядов; 2) вектор B направлен по касательной к линии магнитной индукции; 3) густота линий магнитной индукции пропорциональна модулю  вектора B . § 3. Примеры применения закона Био – Савара – Лапласа В этом параграфе мы применим закон Био – Савара – Лапласа для расчета магнитного поля в двух простейших случаях: в центре кольца с током и в случае прямого проводника с током. Магнитное поле в центре кольца с током Чтобы найти поле в центре кольца с током, мысленно разобьем его на множество элементов тока (рис. 8.6а). Каждый элемент тока, согласно закону Био – Савара – Лапласа, соз дает магнитное поле с индукцией dB , определяемой формулой (8.6а). Прежде всего проверим,   dB как направлены векторы dB , создаваемые каждым элемен r R том тока. Пользуясь приведен ным выше правилом правого dl винта для определения направ  /2  I ления dB , легко убедиться, что  в центре кольца все векторы dB Рис. 8.6а направлены в одну сторону, перпендикулярно плоскости кольца. Следовательно, векторную сум му dB можно заменить арифметической, и для магнитной индукции в центре кольца получаем на основе (8.2) выражение: B   0 I sin dl . 4 r 2  Из геометрии задачи видно, что   ; sin   1; r  R  const. 2 93 Вынося из-под знака интеграла постоянные величины 0 / 4, I, R , получаем:  I B  0 2 dl . 4 R –2  Интеграл по окружности равен ее длине:  dl  2R. Таким образом, магнитная индукция в центре кольца равна: B 0I . 2R (8.3) Вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плос кости кольца, направление вектора B определяется по правилу правого винта для кольцевого тока: винт установить перпендикулярно плоскости кольца и поворачивать по направлению тока в кольце, направление  поступательного движения винта покажет направление вектора B . Магнитный диполь Используя более сложные математические методы, можно на основе закона Био – Савар – Лапласа рассчитать магнитную индукцию, создаваемую кольцом с током в любой точке пространства. При этом оказалось, что картина магнитного поля вне кольца с током полностью аналогична электрическому полю, создаваемому электрическим диполем (рис. 8.6б). Магнитное поле кольца, по которому течет ток, вне кольца можно рассматривать как поле магнитного диполя.  B r I Рис. 8.6б 94 Более того, магнитное поле любого контура с током или поле движущихся зарядов, локализованных в ограниченной области пространства, на больших расстояниях приближенно можно рассматривать как магнитное поле диполя. Такой диполь характеризуется ди польным магнитным моментом p m . Модуль дипольного магнитного момента: (8.4) p m  IS, где S – площадь контура с током. Направление вектора магнитного момента контура с током совпадает с направлением положительной нормали к контуру (см. рис. 8.4).  Если силу тока I выразить через магнитный момент p m , то выражение (8.3) для вектора магнитной индукции преобразуется к виду:   0 2pm . B (8.5) 4 R 3 Можно показать, что на больших расстояниях от кольцевого контура с током величина магнитной индукции на оси кольцевого тока дается следующей формулой:   0 2pm . B (8.5а) 3 4r Здесь, в отличие от (8.5), r – расстояние от центра кольца до той точки, где ищется поле (см. рис. 8.6б). Применение закона Био – Савара – Лапласа для нахождения магнитного поля прямого тока (рис. 8.7)  dl Независимо от положения  b  r  sin  на проводнике все dB направле ны в одну сторону – от нас. Знаr d I чит, B   dB – без векторов! Воспользуемся выражении rd  dl  sin  ем (8.2) для модуля вектора dB , в котором выразим переменные dl  величины r и dl через угол , затем проинтегрируем полученное Рис. 8.7 выражение по d: 95 B r  0 I  dl  sin   0 dl  sin    I  ;  4 4 r2 r2 b , sin  dl  r  dα b  d  ; sin α sin 2   0 I  b  d sin 2  0I  B   2  2  sin     sin   d  4  sin  b 4b   2 2 1 1 0I  cos 1  cos  2 . 4b (8.6) Для бесконечного проводника 1 = 0, 2 = , сos1 – сos2 = 2, следовательно, из (8.6) получим: B 0I . 2b (8.7)  Формулы (8.6) и (8.7) определяют модуль вектора B . Направлен вектор, как видно из приведенного выше вывода, перпендикулярно  плоскости, проходящей через точку r и проводник с током. Если представить плоскость, перпендикулярную прямому проводнику с током, то силовые линии магнитного поля будут концентрическими окружностями, лежащими в этой плоскости. Направление силовой линии совпадает с направлением вращения правого винта, расположенного вдоль тока, если вращать винт так, чтобы он перемещался по направлению тока. Из формулы (8.7) видно, что модуль вектора  B остается постоянным вдоль силовой линии. ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 8 1. Источником магнитного поля является движущийся заряд; магнитное поле оказывает силовое воздействие на другой движущийся в нем заряд. 2. Магнитное взаимодействие зарядов сравнимо с электрическим лишь при скоростях частиц, сравнимых со скоростью света 8 c  3  10 м / с . 96 3. Проводник с током создает только магнитное поле и реагирует только на магнитное поле. 4. Маленькая рамка  с током позволяет определить величину и направление вектора B – силовой характеристики магнитного поля (см. рис. 8.3, 8.4).  5. Для вектора магнитной индукции B справедлив принцип суперпозиции:   B   Bi , i   где B – магнитная индукция результирующего поля; Bi – магнитная индукция, создаваемая каждым из источников поля.  d B 6. Вектор магнитной индукции , создаваемый элементом тока   Idl в точке r (см. рис. 8.5), определяется законом Био – Савара – Лапласа (8.1):   r I dl   0  r  B . 4 r 2 7. Поле в центре кольцевого тока радиуса R рассчитывается по формуле (8.3), полученной на основе закона Био – Савара – Лапласа: B 0I . 2R  p 8. Дипольный магнитный момент m произвольного контура с током – это вектор, направление которого определяется по правилу правого винта, в соответствии с рис. 8.4, а модуль – по формуле (8.4): p m  IS, где I – ток в контуре; S – площадь контура. 9. Магнитная индукция поля прямого проводника с током дается формулой (8.6) (см. рис. 8.7): B 0 I (cos 1  cos  2 ). 4 R 97 ЛЕКЦИЯ № 9 Циркуляция и поток вектора магнитной индукции Вектор магнитной индукции – физическая величина, характеризующая магнитное поле точно так же, как напряженность электрического поля характеризует электрическое поле. Для вектора магнитной индукции можно ввести понятие циркуляции по замкнутому контуру  и потока вектора B через поверхность. § 1. Циркуляция вектора  Циркуляция вектора B – это интеграл вида:  B1dl . Интеграл берется по замкнутому контуру (рис. 9.1).  Найдем циркуляцию вектора B по  B контуру в виде окружности, охватывающей бесконечный прямой проводник с то ком. Пусть плоскость этой окружности перпендикулярна проводнику с током, Bl  B  сos  центр ее находится на проводнике. Выбранный нами контур совпадает с линией Замкнутый контур магнитной индукции прямого проводника (силовой линией).  Значение вектора B вдоль силовой Рис. 9.1 линии равно по (8.7): B 0I , 2R где R – радиус окружности.  Циркуляция вектора B вдоль силовой линии равна:  B l dl   Bdl   98 0I dl . 2R Длина элемента дуги окружности, как известно из определения радианной меры угла, равна: dl  Rd . Подставляя значения dl в выражение для циркуляции и вынося из-под знака интеграла постоянные величины, получаем:  2  Bdl  0 I d   0 I . 2 0  (9.1) Формула (9.1) легко обобщается на случай произвольного плоского контура, охватывающего проводник с током (рис. 9.2) B l dl  B  cos   dl   Bd l B   B  r  d;   r  B d I  dl dl B  dl  сos   r  d Рис. 9.2  Bl dl   B  dl B   0 I r  d  0 I 0I   d    2   0 I . 2 r 2  2 Если контур не охватывает проводник с током, ток находится за контуром, то, как видно из рис. 9.3, циркуляция век тора B вдоль контура равна 0. При обходе контура от 1  через 3 к 2 r поворачивается по часовой стрелке, от 2 к 1 через 4 – на тот же угол против часовой стрелки. В результате 1  r 4 I 3 2 Рис. 9.3 99 φ2 φ1  dφ  φ dφ  φ dφ  0   B dl  0. 1 1 2 По результатам проведенного анализа можно сформулировать следующую теорему о циркуляции:  Циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на  0 , т. е. N  B dl    I l i 1 i (рис. 9.4). (9.2) Например: I1 I4 I3 l I2  B dl   I l 1  I 2  I3  Ток I4 в сумму не входит! Рис. 9.4 Знак у силы тока выбирается в соответствии с правилом правого винта: выбирается направление обхода контура, если направление тока совпадает с направлением смещения правого винта, который вращается по направлению обхода контура, берется знак «+», в противном случае – знак «–». Как видим, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру может отличаться от нуля, в то время как циркуляция 100 вектора напряженности электростатического поля по замкнутому контуру всегда равна нулю (см. (3.14)). Векторное поле, у которого циркуляция по замкнутому контуру отлична от нуля, называют вихревым, или соленоидальным. Если циркуляция по замкнутому контуру всегда равна нулю, то поле называют потенциальным. Таким образом, электростатическое поле потенциально, а магнитное – соленоидально. § 2. Применение теоремы о циркуляции для вычисления магнитного поля бесконечно длинного соленоида Соленоид – провод, навитый на цилиндрический каркас. На один метр длины – n витков: N , l n где N – число витков на длине l (рис. 9.5). Рис. 9.5 Выберем такой контур, как на рис. 9.5, так как из соображений  симметрии вектор B может быть направлен только вдоль оси соленоида.  Тогда циркуляция вектора B разбивается на четыре интеграла: 2 3 4 1  B dl   B dl   B dl   B dl   B dl . l l 1 l 2 l 3 101 l 4  В интервалах от точки 2 до точки 3 и от точки 4 до точки 1 B перпендикулярен сторонам контура, значит Bl  0 и выражение для циркуляции упрощается: 2 4  B dl   B dl   B dl . l l l 1 3 Можно показать, что вне бесконечного соленоида B = 0, следовательно: 4  Bl dl  0, 3  Значит циркуляция вектора B будет иметь совсем простой вид: 2  B dl   B dl . l l 1 Так как внутри соленоида B = Bl = const, то циркуляция легко вычисляется: 2 2  B dl   B dl  B dl  B  l . l l 1 1 По теореме о циркуляции (9.2) B  l  0  Ii . i Сумма токов, охватываемых контуром, равна числу витков в пределах контура nl, умноженному на силу тока в витке:  I i  nlI. i Откуда магнитное поле бесконечного соленоида: B  0 nI . (9.3)  Направлен B вдоль оси соленоида, в соответствии с правилом правого винта. 102 Магнитное поле тороида Тороид – провод, навитый на тор (бублик), рис. 9.6. Контур для вычисления циркуляции – окружность раI диуса r, центр еe – в центре тороида. R Из соображений симмет рии B направлен по касательной к контуру, т. е. Вl = В. Тогда r  Bl dl  B  2r. По теореме о циркуляции: B  2r   0  I i , где I i i  n 2RI ; Рис. 9.6 i R – радиус тора. Магнитное поле тороида: R 0nI . r B (9.4)  B Вне тора поле = 0 (докажите!). При r/R  1, B = 0nI, (сравните с (9.3)). (9.5) § 3. Поток вектора магнитной индукции Поток вектора магнитной индукции определяется аналогично потоку вектора напряженности электрического поля (см. лекцию № 2, § 1). Для однородного магнитного поля (рис. 9.7) поток  B вектора определяется формулой Ф  B  S  cos α  BnS; Bn  Bcos α. (9.6) 103 Рис. 9.7 Если поле неоднородно, поверхность разбивают на элементарные площадки, в пределах которых поле считается однородным (рис. 9.8, 9.9) dФ  BdScosα  Bn dS, (9.7)    B  B( r ) здесь Bn  Bcosα – состав ляющая вектора B ,  направленная по нормали n к площадке dS.  Поток вектора B через произвольную поверхность S в неоднородном поле (см. рис. 9.9) равен сумме потоков через элементарные площадки, т. е. интегралу по поверхности S от dФ:  dS  n Рис. 9.8 Ф   dФ . (9.8) S   B E(( rr )) l   dФ   E n  dS B  B( r ); dS Ф   dФ   Bn dS. S Ф  S E n dS S S Рис. 9.9 Поверхность S, изображенная на рис. 9.9, «натянута» на контур l. Поскольку магнитные силовые линии замкнуты, то поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю. Если на одном элементе замкнутой поверхности магнитные силовые линии входят в объем, ограниченный поверхностью S, то обяза104 тельно на другом элементе эти силовые линии выходят из объема. На первом элементе поток отрицателен, на втором – положителен, в сумме они компенсируют друг друга так, что общий поток равен нулю:  Bn dS  0 . (9.9) s ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 9 1. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции утвержда B ет, что циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на  0 (9.2):  Bl dl  0  Ii . i 2. В отличие от электростатического поля, для которого циркуля  ция вектора E равна нулю, циркуляция вектора B отлична от нуля. По этой же причине электростатическое поле называют потенциальным, а магнитное – соленоидальным (или вихревым). 3. Соленоидом называют провод, навитый на цилиндрический каркас. 4. Магнитное поле бесконечного соленоида однородно, индукция его может быть найдена по формуле (9.3): B  0nI, где n – число витков на единицу длины соленоида; I – сила тока в соленоиде.  5. Поток Ф вектора магнитной индукции B по определению (9.8)  B равен интегралу от n – нормальной составляющей вектора B , взятому по поверхности S:  Ф  Bn dS,  где Bn  Bсos(nB). S  6. Поток вектора B через любую замкнутую поверхность равен нулю (9.5):  B dS  0. n 105 ЛЕКЦИЯ № 10 Закон Ампера. Рамка с током в магнитном поле § 1. Закон Ампера Источником электрического поля, как мы знаем из лекции № 1, является электрический заряд, электрическое поле действует на другой заряд с силой:   F  qE . Источником магнитного поля (см. лекцию № 8) является электрический ток (движущийся электрический заряд) и, по аналогии с электрическим полем, можно ожидать, что магнитное поле действует на другой ток с силой, пропорциональной силе тока и магнитной индукции поля. Обобщив опытные данные о действии магнитного поля на проводник с током, французский ученый Ампер установил, что на элемент тока в магнитном поле действует сила   (10.1) dF  I dl , B , где I – сила тока. Формула (10.1) является математическим выражением закона Ампера, ее иллюстрирует рис. 10.1.  Модуль вектора dF равен:     dFd l и B  B  B  dl    dF  I  [d l  B] I Рис. 10.1  dF  IBdlsinα, (10.2)  d F направление определяется по правилам векторного произведения (см. рис. 10.1).   Если векторы dl и B взаимно перпендикулярны, можно использовать более удобное правило – правило левой руки: левую руку располагают так, чтобы силовые линии вектора магнитной индукции входи106 ли в ладонь, а четыре пальца были направлены по току, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы, действующий на проводник с током. Силу, действующую на проводник с током в магнитном поле, называют силой Ампера. Для того, чтобы найти силу Ампера, действующую на проводник сложной формы или больших размеров, нужно разбить проводник на элементы тока и затем найти векторную сумму сил, действующих на элементы тока. Сила магнитного взаимодействия двух бесконечных прямолинейных токов Пусть имеются два бесконечных прямых параллельных проводника, по которым текут токи I1 и I 2 (рис. 10.2a). Ток I1 создает в точке, где находится второй проводник, в соответствии с (8.7)  поле с индукцией B1 : B1  d I1  0 I1 . 2 d I2 Рис. 10.2а На рис. 10.2б токи I1 и I2 направлены «на нас». Модуль силы Ампера, действующий на единицу длины проводника с током I2, в соответствии с (10.2) равен: F21   0 I 2 I1 , 2 d (10.3) 1  так как угол   . 2 d B1 2 F12 F21 B2 Пользуясь правилом левой руки, определяем, что сила направлена вдоль лиРис. 10.2б нии 1 – 2 в сторону первого проводника (см. рис. 10.2б). Аналогично, сила, действующая на единицу длины проводника с током I1 : F12  F21, и направлена в сторону 2-го проводника. Таким образом, проводники с параллельными токами, текущими в одном направлении, взаимно притягиваются с силой, определяемой в расче107 те на единицу длины формулой (10.3). Легко показать, что проводники с противоположно направленными токами взаимно отталкиваются с силой, также определяемой формулой (10.3). § 2. Единица измерения магнитной индукции Мы знаем, что единицы измерения делятся на основные и производные. Для механики основные единицы: единицы измерения длины (метр), времени (секунда), массы (килограмм), все остальные единицы – производные, выражаются через основные с помощью соответствующих физических законов и выражающих их формул. Как уже отмечалось (см. ч. 1, лекция № 4, § 2), эти три единицы с логической точки зрения являются достаточными для введения производных от них и построения системы единиц, пригодной во всех разделах физики. К таким системам единиц относится, например, гауссова система единиц, в основе которой лежат сантиметр, грамм и секунда. Эта система до сих пор широко используется в физике. Для практических же целей в качестве основных единиц выбирают такие, которые можно воспроизвести с наибольшей точностью. При этом не ограничиваются тремя упомянутыми основными величинами. В электромагнетизме вводится еще одна основная единица. В системе СИ в качестве такой единицы выбрана единица силы тока – ампер. Единица измерения заряда – кулон (1 Кл = 1 А · с). Значение ампера определяется по взаимодействию параллельных токов: если по двум параллельным, прямым, бесконечным проводникам протекают токи силой в 1 А, то на единицу длины проводника 7 действует сила 2  10 H . Подставляя значения силы тока и силы взаимодействия в формулу (10.3), получаем выражение: 2 10 7 H   0 2 1 A 1 A 1 м , 4 1м из которого видно, что магнитная постоянная  0 равна  0  4 107 H 7 Гн .  4   10 2 м A Здесь Гн – «генри» – единица измерения индуктивности (см. лекцию № 12, § 2). 108 Единица измерения магнитной индукции определяется из закона Ампера (10.1), она имеет специальное название – «тесла» (Тл): B  1H H 1 ; 1 A 1 м Aм H 1 Тл  1 . Aм Единица измерения потока вектора магнитной индукции Ф имеет наименование «вебер»: 2 1 Вб  1 Тл  м . § 3. Рамка с током в магнитном поле Рассмотрим прямоугольную рамку с током, расположенную так, что магнитные силовые линии лежат в плоскости рамки (рис. 10.3а). Направление тока указано стрелками. На каждую из сторон рамки дейF1 ствует согласно (10.1) сила Ампера. p m Силы, действующие на стороны B  рамки, параллельные B , равны нулю; a S  на стороны, перпендикулярные B , – равны по величине и противоположны по направлению, модуль сил равен: F2 d Рис. 10.3а F1  F2  IBa. Механические моменты сил F1 и F2 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и проходящей через ее центр, равны по модулю и одинаково направлены. Суммарный момент сил равен по модулю: M  IBad  ISB . Рамка с током – замкнутый контур; вспоминая определение магнитного диполя и положительной нормали к контуру, данные в лекции № 8, формула (8.4), видим, что, если вектор магнитной индук ции B лежит в плоскости рамки, то на рамку с током действует механический момент сил, равный M  p m B , стремящийся повернуть   рамку так, чтобы магнитный момент p был параллелен B . 109 Аналогично можно рассмотреть случай, когда вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки. В этом случае механический момент равен нулю, так как плечи всех сил относительно оси вращения равны нулю. Суммарная сила, действующая на рамку с током, также равна нулю (рис. 10.3б).  В промежуточном случае, когда вектор B  F pm I  F Рис. 10.3б  B и нормаль к рамке образуют угол , вектор  B можно разложить на две составляющие: па раллельную и перпендикулярную вектору p m :    B  B  B .  B Момент сил, создаваемых составляющей , равен нулю,  а момент сил, создаваемых составляющей B, равен: M  pmB sin  , (10.4) так как B  B sin  . Обобщая, можно сказать, что механический момент, действующий на рамку с током в магнитном поле, равен:    (10.5) M  pm , B .  M Модуль вектора определяется формулой (10.4), а направление определяется по правилу определения направления векторного произведения (см. лекцию № 8, § 2). Если рамка с током под действием момента сил поворачивается в магнитном поле, то над ней силами поля совершается работа:    A12    2 Md . 1 (10.6) Так как при повороте рамки к положению равновесия (см. рис. 10.3б) угол  уменьшается, то в формуле (10.3) стоит знак «минус» (угол изменяется при таком бесконечно малом повороте на величину минус d). Подставляя в (10.3) выражение для М из (10.4) и интегрируя, получим: A12  p m Bcos  2  p m Bcos 1 , 110 (10.6а) или A12  (p m B cos 1  p m B cos  2 ). Как известно из механики, работа A12 равна убыли потенциальной энергии: A12  Wп1  Wп 2 . Сравнивая две последние формулы, получим: Wп  p m B cos . (10.7) Формулу (10.7) можно записать короче, используя общепринятое обозначение скалярного произведения векторов:   Wп  (p m B). (10.7а) Следовательно, рамка с током обладает в магнитном поле потен-   циальной энергией, равной скалярному произведению векторов pm и B   pm ии B , взятому с обратным знаком. Рамка с током представляет частный случай замкнутого контура с током. Можно показать, что формулы (10.5) и (10.7) для механического момента и потенциальной энергии справедливы для любого замкнутого контура, для любого магнитного диполя. Таким образом, на магнитный диполь, замкнутый контур с током, в магнитном поле действует механический момент, определяемый формулой (10.5), магнитный диполь обладает в магнитном поле потенциальной энергией (10.7) или  (10.7а).  При параллельности p m и B вращающий момент равен нулю, потенциальная энергия минимальна и рамка находится в состоянии устойчивого равновесия. Силы, действующие на контур, растягивают его (см. рис. 10.3б).  При антипараллельных pm и B момент также равен нулю, но потенциальная энергия максимальна, равновесие неустойчиво. Силы, действующие на контур, сжимают его. Суммарная сила, действующая на магнитный диполь в однородном поле, равна нулю, следовательно, поступательно магнитный диполь в однородном магнитном поле не перемещается, он может только вращаться. 111 За счет чего же возникают силы взаимодействия двух магнитов? Они возникают в неоднородном магнитном поле  и пропорциональны производным от вектора магнитной индукции B по координатам. Действие неоднородного магнитного поля на контур с током по-   p казано на рис. 10.4, 10.5. При антипараллельных m и B (рис. 10.4) силы, перпендикулярные  оси магнитного поля, сжимают контур, а силы, параллельные оси dF, – выталкивают его в область более слабого поля.  B  B  const  B  dF dl  dF I  ток  dF  dF  pm  dF  dF  B dl Рис. 10.4   p При параллельных m и B (рис. 10.5) силы, перпендикулярные  оси dF , растягивают контур, силы dF втягивают его в область более сильного поля. В неоднородном осесимметричном поле сила, действующая на контур с током, направлена по оси симметрии поля z и равна: F  pm   p где  – угол между m и B . dB cosα , dz 112 (10.8)  B  const  B  B  B I  ток  dF  dF  pm dl  dF  dF dl  dF  dF Рис. 10.5 § 4. Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера, если проводник перемещается, то магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током. Рассмотрим проводник с током, находящийся в магнитном поле, перпендикулярном плоскости, в которой может перемещаться проводник (рис. 10.6). Сила, действующая на проводник с током, в соответствии с (10.2), равна: F  IBl. Под действием этой силы проводник перемещается параллельно самому себе на расстояние dх. Совершаемая при этом работа равна: dA  Fdx  IBldx  IBdS. Рис. 10.6 113 Поток вектора магнитной индукции через площадку dS = ldx, которую прошел («замѐл») проводник, равен: dФ  BdS. Так что элементарная работа, совершаемая над проводником, равна: dA  IdФ. (10.9) Если в магнитном поле находится рамка с током, то работа dA, совершаемая при ее повороте на угол «минус d», в соответствии с (10.6а), равна: dA  pm B cos 2  pm B cos 1 ,  где  – угол между нормалью к плоскости рамки и вектором B ,  2  1  d . Если вспомнить выражение (8.4) для магнитного момента диполя и определение магнитного потока (9.7), то получается, что и в этом случае работа равна: dA  IdФ . Таким образом, обобщая, можно сказать, что формула (10.9) справедлива в общем случае. ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 10 1. На проводник с током в магнитном поле действует сила, величина которой определяется законом Ампера (10.1):   dF  I dl , B .   2. Два параллельных прямых проводника с током взаимодействуют с силой (10.3), равной F  0 2 I1 I 2 . 4 d Исходя из этой формулы, определяется значение единицы силы тока – ампер. Из закона Ампера определяется единица магнитной индукции – тесла (Тл). 114 3. Рамка с током обладает дипольным магнитным моментом. В магнитном поле на магнитный диполь действует момент сил, стремящийся повернуть диполь по полю (10.5):    M  pmB .   4. В магнитном поле магнитный диполь обладает потенциальной энергией (10.7а):   W   pmB .   5. Элементарная работа, совершаемая в магнитном поле силой Ампера, равна (10.9): dA  IdФ. 115 ЛЕКЦИЯ № 11 Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в магнитном поле § 1. Сила Лоренца Электрический ток – это направленное, упорядоченное движение свободных зарядов (см. лекцию № 6, § 1).  Если на проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера FA , то объясняется это тем, что на каждый движущийся заряд в магнитном поле действует сила, которую называют силой Лоренца – Fл . Движущиеся заряды взаимодействуют с ионами атомного остова проводника, передают им свой импульс, в результате, согласно законам механики, возникает сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле. Сила Ампера равна сумме сил Лоренца, действующих на каждый заряд. Исходя из выражения для силы Ампера, определим силу, действующую на каждый заряд, т. е. силу Лоренца.  d F Рис. 11.1 иллюстрирует связь силы Ампера A , действующей на   отрезок проводника dl , по которому течет ток I и сил Лоренца Fл , действующих со стороны магнитного поля на носители тока в проводнике – заряды qо, упорядоченно движущиеся со скоростью v . В формуле для силы Ампера (10.1) сила тока I выражена, в соответствии с (6.2) и (6.4), через величину заряда одного носителя qо, концентрацию носителей заряда n и скорость их упорядоченного    движения v . Используя тот факт, что векторы dl и v имеют одина d l ковые направления, можно вектор вынести из векторного произ ведения, а на его место внести вектор v . Произведение ndlS дает dN – число носителей заряда в проводнике, оставшаяся часть формулы – это сила, действующая на один носитель, т. е. сила Лоренца. Поделив  d F силу Ампера A на число носителей заряда dN, мы получим силу Лоренца:    dFA q o dN vB  Fл    q o vB . dN dN   116   Рис. 11.1 Таким образом, сила Лоренца – сила, действующая на движущийся в магнитном поле заряд произвольной величины – определяется следующим выражением:   Fл  q [vB] . (11.1) Направление силы Лоренца для положительного заряда совпадает  с направлением векторного произведения vB , для отрицательного – противоположно ему (рис. 11.2). Напомним, что Поле «от нас» направление вектор  ного произведения  B B Fл определяется по правилу правого винта: винт устанавлива   q q v v V V ют перпендикуляр   Fл но v и B , вращают   от v к B , поступаРис. 11.2   117 тельное движение винта укажет направление векторного произведения. Для определения направления силы Лоренца, так же, как и силы Ампера, можно воспользоваться правилом левой руки (см. лекцию № 10, § 1). Если одновременно присутствуют электрическое и магнитное поле, то сила, действующая на движущийся заряд, равна векторной сумме сил со стороны электрического поля и силы Лоренца (11.1):    F  qE  q vB . (11.2)   Выражение (11.2) называют формулой Лоренца, силу (11.2) – силой Лоренца. § 2. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле   B Рассмотрим случай, когда вектор v (рис. 11.3). Линии индукции направлены за чертеж, В = const.  В этом случае sin vB  1 , модуль силы Лоренца равен: Fл  qvB .   По второму закону Ньютона (см. ч. 1, (4.4)), ускорение, создаваемое силой Fл , так же как и сила, перпендикулярно скорости. Модуль ускорения получим, подставляя во второй закон Ньютона в качестве равнодействующей силу Лоренца: Рис. 11.3 a Fл qvB .  m m (11.3) Из механики известно (см. ч. 1, рис. 3.3), что при криволинейном движении ускорение можно представить как сумму тангенциально  го a  и нормального a n ускорений. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, действие его приводит к из118 менению модуля скорости. Нормальное ускорение перпендикулярно вектору скорости, действие его приводит к изменению направления скорости и не меняет ее модуль. Нормальное ускорение равно (см. ч. 1, рис. 3.4а): v2 an  . (11.4) R Ускорение, создаваемое силой Лоренца, – нормальное ускорение. Если на частицу не действуют другие силы, кроме силы Лоренца, то скорость остается постоянной по величине, в однородном магнитном поле постоянным остается нормальное ускорение. Следовательно, частица движется в магнитном поле  по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной вектору B . Радиус окружности можно получить, подставляя выражение (11.4) для нормального ускорения в формулу (11.3): R mv . qB (11.5) Время, за которое частица совершает один оборот, называется периодом обращения. Длина окружности, как известно, l  2R  2 mv . qB Скорость движения по окружности постоянна, поэтому период обращения: T l 2 m  . v q B Обратите внимание, что период не зависит от скорости частицы.  Рассмотрим случай, когда параллельv   на B . Тогда sin( vB ) = 0 (рис. 11.4) и, следовательно:   Fл  q  v  B  sin vB  0;  a  Fл m (11.6)  В r v q, m Рис. 11.4  0. 119  Так как a  0 , то частица движется  равномерно и прямолинейно вдоль направления магнитного поля B .   В общем случае, когда угол между скоростью v и вектором B имеет произвольное значение:     vB    ,   вектор скорости можно разложить на две составляющие – перпенди кулярную вектору B : v  v sin  и параллельную: v = v cos  (рис. 11.5).  B  const L  R Заряженная частица будет участвовать в двух движениях: по окружности, радиус которой определяется скоростью v  в соответствии с формулой (11.5), и с постоянной скоростью v ll вдоль линий магнитной индукции. В результате частица будет двигаться по спирали. Радиус спирали:  v  v  v R mv  . qB Шаг спирали – расстояние, проходимое за один оборот частицы по окружности: Рис. 11.5 L  v T  v  2 R 2 m . v v qB 120 § 3. Примеры физических явлений, в которых проявляется действие силы Лоренца Эффект Холла Пусть проводник с током помещен в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока. Электрический ток – упорядоченное, направленное движение свободных зарядов, в магнитном поле на движущиеся заряды действует сила Лоренца, но заряды в твердом теле не могут двигаться по окружности из-за столкновений с ионами, составляющими остов твердого тела. Имеет место только упорядоченный, направленный дрейф   в направлении, перпендикулярном векторам B и плотности тока j . Рассмотрим прямоугольный проводник (рис. 11.6).  B z y  Fл  E q  v I d b x Рис. 11.6 Пусть ток течет в направлении оси х, вектор магнитной индукции направлен по оси z. Вспоминая выражения (6.2) и (6.4) для плотности тока, имеем: I  jS , где S  bd,   j  env . В последней формуле мы в качестве заряда одного носителя q0 подставили элементарный заряд е. Сила Лоренца, действующая на элементарный положительный заряд, равна: Fл  evB и направлена против оси y. Под действием силы Лоренца свободные заряды будут смещаться против оси y, при этом на передней и задней 121 поверхности проводника накапливаются заряды противоположных знаков. Направление напряженности электрического поля, создаваемого в проводнике этими зарядами, противоположно силе Лоренца. Модуль суммарной силы, действующей на заряд, согласно формуле Лоренца (11.2) и рис. 11.6, равен: F  eE  evB. Накопление зарядов прекратится, когда сила F станет равной нулю, т. е. при условии E  vB. В опыте можно измерять не напряженность электрического поля, а разность потенциалов между боковыми поверхностями проводника. Используя связь (3.17) между напряженностью электрического поля и разностью потенциалов для холловского напряжения U н между передней и задней гранями проводника, получим: Uн  Eb  vBb. Если воспользоваться выражениями (6.4) для силы и плотности тока и выразить из него v, то для разности потенциалов U н получаем выражение: j Uн  Bb  RbjB. (11.7) en Эффект появления разности потенциалов на боковых поверхностях проводника, помещенного в магнитное поле, называют эффектом Холла. Американский физик Э. Холл открыл его, еще будучи студентом. Разность потенциалов U н называют ЭДС Холла, коэффициент R – коэффициентом Холла. R 1 . en (11.8) Эффект Холла широко используется в измерительной технике. Если известны R, j, b, то, измеряя ЭДС Холла, можно определить магнитную индукцию В. Если известны j, B, b, по ЭДС Холла можно определить коэффициент Холла, а по нему концентрацию n и знак заряда е. Из приведенного выше объяснения появления эффекта Холла легко показать, что для положительных и отрицательных зарядов си122 ла Лоренца направлена в одну сторону (доказательство этого предоставляем читателю). На передней поверхности проводника, в зависимости от знака свободных зарядов, будут накапливаться положительные или отрицательные заряды. Следовательно, по знаку ЭДС Холла можно судить о знаке свободных зарядов. Более строгий анализ эффекта Холла показал, что в выражение для коэффициента Холла должен входить еще коэффициент А, зависящий от типа кристаллической решетки проводника. В ковалентных кристаллах: А = 3 / 8  1,17; в ионных: A  1,11; в металлах: А = 1. Магнитное поле Земли Как известно, Земля состоит из тяжелого, возможно, металлического ядра (внутренняя часть ядра твердая, внешняя – жидкая), жидкой оболочки – мантии и твердой оболочки – земной коры. Согласно современным представлениям, магнитное поле Земли создается конвекционными токами, существующими в жидком металлическом ядре Земли. Кольцевые конвекционные токи создают поле, аналогичное полю магнитного диполя, поэтому магнитное поле Земли на высотах до трех радиусов Земли – это поле магнитного диполя. На больших высотах структура магнитного поля Земли сложнее. В северном полушарии находится южный магнитный полюс. Магнитный полюс Земли не совпадает с географическим, поэтому силовые линии образуют угол с меридианом. Угол между географическим меридианом и силовыми линиями поля называют углом магнитного склонения, угол между направлением силовых линий и горизонтальной плоскостью называют углом наклонения магнитного поля. Вблизи экватора магнитные силовые линии направлены практически горизонтально, вблизи магнитных полюсов – вертикально. На Землю налетают потоки заряженных частиц, в значительной степени – это «солнечный ветер», поток заряженных частиц, испускаемых Солнцем, особенно из области солнечных пятен. Кроме того, это потоки заряженных частиц, приходящих из космоса. Вблизи экватора угол между скоростью налетающих частиц и вектором магнитных силовых линий близок к , поэтому частицы двигаются по окружности, не проникают в атмосферу Земли и не достигают поверхности. В средних широтах они двигаются по спирали и также не проникают в атмосферу. Вблизи полюсов скорость налетающих частиц прибли123 зительно параллельна магнитным силовым линиям, частицы проникают в атмосферу, ионизируют газ. При этом наблюдается свечение газа – полярное сияние. Появляющиеся при этом токи в верхних слоях атмосферы возмущают магнитное поле Земли, возникают магнитные бури, нарушающие работу навигационных приборов, радиосвязь. Заряженные частицы, вращающиеся вокруг Земли, «захвачены магнитным полем» и остаются вблизи Земли достаточно долго. Они образуют радиационные пояса вокруг Земли. Соображения, которые приведены выше, носят только предварительный характер. Более подробный анализ показал, что вблизи Земли существуют два радиационных пояса: внутренний – в экваториальных широтах и внешний, который доходит до полюсов. Частицы внутреннего пояса образуются при бомбардировке атмосферы космическими лучами и за счет частиц, возникающих при радиационных процессах на Земле, например, при ядерных взрывах. Внешний радиационный пояс, в значительной степени, создается за счет частиц «солнечного ветра». Радиус траектории, по которой движется частица, соизмерим с радиусом Земли, поэтому фактически движение происходит не в однородном магнитном поле, а в поле магнитного диполя. Анализ показывает, что при этом частица совершает как бы колебательные движения по спиральной траектории: полпериода движется из южного полушария в северное, полпериода – из северного в южное. Нижняя граница радиационных поясов находится примерно на высоте 600 км над поверхностью Земли. Орбиты полетов пилотируемых спутников выбираются так, чтобы они не попадали в радиационные пояса. ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 11 1. На движущийся заряд в магнитном поле действует сила Лоренца (11.1):   Fл  q vB .   Если одновременно присутствуют электрическое и магнитное поля, сила, действующая на заряженную частицу, равна (11.2):    F  qE  q vB .   Эта сила также называется силой Лоренца. 124  v заряженной частицы перпендикулярна векто2. Если скорость  ру индукции B однородного магнитного поля, то частица движется по окружности, радиус которой определяется формулой (11.5): R mv . qB   Если v параллельна B , то частица движется с постоянной скоростью вдоль силовой линии. В общем случае частица движется по спирали, накручивающейся на силовую линию. 3. Если неподвижный проводник  с током находится в магнитном поле, вектор магнитной индукции B которого перпендикулярен век тору плотности тока j , между боковыми поверхностями возникает разность потенциалов, ЭДС Холла (11.7): Uн  j Bb  RbjB, en где R – коэффициент Холла; b – расстояние между боковыми поверхностями. 4. Магнитное поле Земли на высотах до трех радиусов Земли аналогично полю магнитного диполя. Магнитное поле Земли «захватывает» налетающие на Землю заряженные частицы, предохраняя живые существа от губительного воздействия. Вокруг Земли существуют два радиационных пояса: внешний и внутренний – это заряженные частицы, захваченные магнитным полем Земли. 125 ЛЕКЦИЯ № 12 Явление электромагнитной индукции § 1. Явление электромагнитной индукции В 1823 г. английский физик Майкл Фарадей записал в своем дневнике: «Обратить магнетизм в электричество». Эту задачу Фарадей решил в 1831 г., когда впервые наблюдал на опыте явление электромагнитной индукции. Фарадей использовал в своем опыте две катушки, намотанные на одном цилиндрическом каркасе. Катушки были изолированы друг от друга. Одна из катушек соединялась с электрической батареей, а другая – с гальванометром. При замыкании цепи тока в первой катушке Фарадей наблюдал отклонение стрелки гальванометра, включенного во вторую катушку. При размыкании первой цепи гальванометр отклонялся в обратную сторону. При протекании постоянного тока в цепи первой катушки стрелка гальванометра была неподвижна. Явление получило название электромагнитной индукции, а возникающие токи называют индукционными. Закон Фарадея Если по замкнутому проводнику течет ток, значит в нем действует ЭДС. Найдем ЭДС, возникающую в контуре, изображенном на рис. 12.1, где одна сторона поступательно движется в магнитном поле вдоль направляющих проводящих шин перпендикулярно силовым линиям (рис. 12.1).  На рис. 12.1 магнитное поле B направлено от нас. Если мы тянем подвижную сторону со скоростью v , то на заряд +q действует сила Лоренца   F  q vB .   Можно считать, что заряд под действием силы Лоренца проходит расстояние l, равное длине подвижного проводника, при этом работа, совершаемая магнитным полем, равна: A  NFl  Nqo vBl , 126 где N – число носителей заряда, прошедших через сечение; l – длина проводника; qо – заряд одного носителя. vdt 1  Fл проводящая рамка 2  v  B  const q l подвижная сторона рамки Рис. 12.1 Работу, совершаемую магнитным полем, можно представить как работу, совершаемую источником ЭДС, возникающей в проводнике, движущемся в магнитном поле. Величину ЭДС найдем, воспользовавшись определением ЭДС (6.11):   ΔA  vBl . ΔNq За время dt площадь прямоугольной рамки, ограниченной проводящими шинами и подвижным проводником, увеличивается на dS  lvdt . Соответственно, магнитный поток увеличивается на dФ  BdS  Blvdt . Сравнивая с выражением для ЭДС, видим, что   dФ . dt 127 Ранее, в лекции № 8, мы выбирали направление положительной нормали к контуру согласно правилу «правого винта». Теперь, исходя из направления нормали, выберем направление положительного обхода контура также согласно правилу «правого винта»: за направление положительного обхода принимается направление вращения правого винта, при котором он перемещается в направлении нормали. Направление положительной нормали выберем совпадающим с на правлением вектора B , при этом Ф  0. Из рис. 12.1 видно, что направление действия ЭДС противоположно принятому направлению положительного обхода контура, так что выражение для ЭДС, возникающей в контуре, следует записать в виде:  dФ . dt (12.1) ЭДС, возникающая в контуре при изменении потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, называют ЭДС электромагнитной индукции. Значение ее определяется формулой (12.1), которая является математическим выражением закона Фарадея. Направление ЭДС индукции удобно определять по правилу Ленца, которое утверждает: индукционные токи всегда направлены так, чтобы компенсировать изменения потока вектора магнитной индукции, приводящие к их появлению. Опыт показывает, что ЭДС возникает не только тогда, когда проводник поступательно перемещается, но в любом случае, когда изменяется поток вектора магнитной индукции. Это происходит, если контур вращается вокруг оси, лежащей в плоскости контура, или если меняется значение вектора магнитной индукции (рис. 12.2). Во всех случаях ЭДС определяется выражением (12.1). Если ЭДС возникает из-за изменения со временем вектора магнитной индукции (см. рис. 12.2), объяснить возникновение ЭДС силой Лоренца в этом случае нельзя. Поэтому Дж. Максвелл, знаменитый английский физик XIX в., предположил, что переменное магнитное поле приводит к появлению вихревого электрического поля, а ЭДС,  возникающую в контуре, можно выразить через циркуляцию вектора E вихревого поля. Контур из проводящего материала позволяет только выявить ЭДС, а первичным является электрическое поле, возникающее в переменном магнитном поле. 128 Рис. 12.2 Если контур состоит из нескольких, последовательно соединенных витков, например, соленоид, то ЭДС электромагнитной индукции возникает в каждом витке. Поскольку они соединены последова129 тельно, суммарная ЭДС, возникающая в контуре, равна сумме ЭДС, возникающих в каждом витке:   k k   k dФ k d  dt dt Ф k. k Сумму магнитных потоков, связанных с каждым витком, называют потокосцеплением, или полным потоком:    Фk . (12.2) k Используя (12.2), ЭДС электромагнитной индукции (12.1) можно выразить через скорость изменения потокосцепления :  d . dt (12.3) § 2. Индуктивность, явление самоиндукции Электрический ток, текущий в контуре, согласно закону Био – Савара – Лапласа создает магнитное поле, вектор магнитной индук ции B которого пропорционален силе тока I. Магнитный поток Ф, в соответствии с определением (9.7) и формулой (9.8), пропорционален вектору магнитной индукции В. Следовательно, магнитный поток Ф и полный магнитный поток  (потокосцепление) должны быть пропорциональны силе тока, текущему в контуре (рис. 12.3).   LI . (12.4) I( t ) Коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током Ф( t ) ~ B ~ I называют индуктивностью контура. Индуктивность не зависит от силы Рис. 12.3 тока, а определяется только размерами, конфигурацией контура, магнитными свойствами окружающей контур среды. B( t ) ~ I 130 За единицу индуктивности принимается индуктивность такого проводника или контура, у которого при силе тока 1 А возникает потокосцепление (полный поток), равное 1 Вб. Название единицы индуктивности – «генри» (Гн): 1 Гн  1 Вб . А Если ток в контуре зависит от времени (I = I(t)), то магнитный поток тоже будет переменным (Ф = Ф(t)) и возникает ЭДС индукции. ЭДС индукции, возникающую за счет изменения тока в контуре, называют ЭДС самоиндукции сам: сам   d d(LI) .  dt dt Если L = const, то сам   L dI . dt (12.5) Индуктивность соленоида Вычислим индуктивность соленоида, изображенного на рис. 12.4. Рис. 12.4 Число витков на единицу длины: N . l Магнитный поток через один виток: n Ф1 = BS. 131 Потокосцепление:  = NФ1 = NBS = nIS = nlnIS = 0n2VI. Здесь мы использовали формулу (9.3) для магнитного поля соленоида. С другой стороны, по (12.4):  = LI, следовательно, индуктивность соленоида: L  0 n 2 V . (12.6) § 3. Энергия магнитного поля Рассмотрим соленоид, по которому течет ток I (рис. 12.5). При размыкании цепи ЭДС самоиндукции поддерживает ток в соленоиде и совершает положительную работу за счет энергии, накопленной в соленоиде. Найдя I  ток работу, можно найти энергию соленоида. L По катушке L течет ток I, поддерживаемый источником . При размыкании цеR 2 пи (ключ переводим в положение 2) ток I поддерживается за счет ЭДС самоиндукции 1 сам, возникающей за счет уменьшения тока I.  В соответствии с (6.11), работа, совер  шаемая сам по перемещению заряда dq, равна: Рис. 12.5 dA   сам dq   сам Idt   d Idt   Id. dt Здесь мы сначала выразили dq через силу тока I, использовав определение (6.1), а затем применили (12.3), выразив сам через скорость изменения потокосцепления . Вся работа: LI 2 A   dA    Id    Id(LI)   L  IdI  . 2 I I I I Эта работа равна энергии, накопленной в соленоиде: 132 2 LI (12.7) W . 2 При уменьшении тока уменьшается магнитное поле соленоида, следовательно, формула (12.7) дает значение энергии магнитного поля в объеме соленоида. Выразим энергию магнитного поля через характеристику поля – магнитную индукцию В. Для этого ток I, используя (9.3), выразим через индукцию B, индуктивность L подставим из (12.6): В = 0nI,  L = 0n2V. I = В/(0n), Тогда: 2 LI 2  0 n 2 V  B  B2    WA  V. 2 2   0 n  2 0 (12.8) Введем понятие плотности энергии магнитного поля, точно так же, как соотношением (5.12) введена плотность энергии электрического поля. Тогда, с учетом (12.8), для плотности энергии магнитного поля в вакууме имеем: W B2 Дж w  , . V 2 0 м3 (12.9) B2 W   w (r )dV   dV. 2  V V (12.10)   Если магнитное поле неоднородно, т. е. B  B( r ), зная плотность  энергии wr  в каждой точке пространства, можно найти энергию поля W, заключенную в любом объеме V: Подчеркнем еще раз, что выражения для плотности энергии магнитного поля, приведенные в настоящем параграфе, справедливы для магнитного поля в вакууме. Влияние вещества на магнитное поле будет рассмотрено в лекции № 13. § 4. Примеры технических процессов и физических явлений, основанных на электромагнитной индукции 133 Вращающаяся рамка в магнитном поле Рассмотрим замкнутый контур или рамку, вращающуюся в магнитном поле вокруг оси, лежащей в плоскости рамки (рис. 12.6).  Угол  между нормалью к плоскости и вектором B меняется со временем по закону:   t. Следовательно, поток вектора магнитной индукции, согласно (9.6), равен: Ф  BS cos( t ),  где S – площадь рамки. При вращении в рамке, в соответствии с законом Фарадея (12.1), возникает ЭДС электромагнитной индукции:   B   n dФ  BS sin t   0 sin t , dt изменяющаяся со временем по гармоническому закону, т. е. пропорционально функции (sin t). Рис. 12.6 На этом принципе основана работа всех электрогенераторов, установленных на электростанциях. В России, как и в Европе, принят стандарт промышленной частоты  = 50 Гц, так как   , то соответствующая круговая частота 1   100   314 c . Трансформатор Трансформаторы были разработаны и внедрены в практику русскими учеными П.П. Яблочковым и И.Ф. Усагиным. Трансформатор состоит из 2 катушек N2 (обмоток), намотанных на один замкнуN1 тый железный сер2 1 дечник (рис. 12.7). 134 Рис. 12.7 В первой катушке N1 витков, во второй – N2. Если присоединить к первичной катушке источник с переменной ЭДС , в катушке возникает переменный ток, создающий переменное магнитное поле и переменный магнитный поток в железном сердечнике. Магнитный поток локализован в основном только внутри железного сердечника, поэтому точно такой же поток пронизывает вторую катушку (вторичную обмотку), во вторичной обмотке возникает ЭДС . Потокосцепление (12.2) в первой обмотке: Ф1, во второй: 22Ф2. Соответственно:   1   2 d 1 dt d 2 dt dФ ; 1 dt N N dФ . 2 dt Отношение ЭДС первичной и вторичной обмотки равно: 1 N1 .  2 N2 (12.11) Магнитный поток локализован в железном сердечнике и не рассеивается, преобразование ЭДС происходит следующим образом: энергия электрического тока преобразуется в энергию магнитного поля, затем энергия магнитного поля во второй катушке снова преобразуется в энергию электрического тока. Если потерь энергии нет, мощность на входе и выходе должна быть одна и та же: 1I1  2 I2 . Откуда следует: I1  2 N 2   . I 2 1 N1 135 (12.12) Сравнивая (12.11) и (12.12), видим, что если трансформатор понижает напряжение, то сила тока увеличивается, если повышает – уменьшается. Трансформатор достаточно просто решил проблему управления напряжением и током в электрической цепи. Поскольку это возможно только в случае переменного тока, в промышленных цепях используется переменный ток. Токи Фуко Если взять массивный проводник и поместить его в переменное магнитное поле, то в проводнике возникают индукционные токи, их называют токи Фуко. Токи Фуко используются в металлургии, чтобы расплавить материал при получении чистых сплавов. Токи Фуко в некоторых случаях играют отрицательную роль, например, разогревая железный сердечник трансформатора. Для борьбы с токами Фуко сердечник трансформатора делают из тонких пластин, покрытых лаком для изоляции. ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 12 1. Закон электромагнитной индукции Фарадея утверждает, что, если поток вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, меняется во времени, в контуре возникает ЭДС электромагнитной индукции (12.1), равная:  dФ . dt 2. Анализируя причины появления ЭДС, когда во времени меняется вектор магнитной индукции, Максвелл пришел к выводу, что переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле. 3. Если контур имеет сложную форму (состоит из нескольких витков), то ЭДС, возникающая в контуре, равна сумме ЭДС в каждом витке. Вводится понятие полного потока, или потокосцепления, равного сумме потоков, связанных (сцепленных) со всеми витками контура. Потокосцепление равно ((11.2), (11.3)): 136    Ф i  NФ;  d . dt 137 4. Вектор магнитной индукции пропорционален силе тока, протекающего в контуре и, соответственно, полный поток пропорционален силе тока (12.4): LI. Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью и измеряется в генри (Гн). 5. При изменении силы тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции, равная (12.4): dI  сам  L . dt 6. В соленоиде, по которому протекает ток I, запасена энергия (12.6): LI 2 W . 2 7. Энергия соленоида – это энергия магнитного поля в соленоиде, плотность энергии магнитного поля в вакууме равна (12.9): B2 w . 2 0 8. Энергия неоднородного магнитного поля может быть найдена, в соответствии с (12.10), интегрированием плотности энергии по интересующему нас объему: B2 W   w (r )dV   dV. 2  V V 138 ЛЕКЦИЯ № 13 Магнитное поле в веществе § 1. Магнетики. Намагниченность В предыдущих лекциях мы рассматривали магнитное поле в вакууме, теперь же рассмотрим магнитное поле в веществе. Анализ можно провести аналогично тому, как это делалось для электрического поля: предполагается, что у молекул (атомов) вещества есть собственные магнитные дипольные моменты, которые при отсутствии поля ориентированы произвольно, а в присутствии магнитного поля ориентируются по полю, либо магнитные дипольные моменты молекул (атомов) возникают, индуцируются полем. Вещество, которое под действием магнитного поля приобретает магнитный момент,  называют магнетиком. Магнитное поле B в веществе представляет  сумму поля B0 , создаваемого внешними, сторонними источниками  и внутреннего поля B магнитных диполей:    B  B0  B . (13.1) Известно, что магнитных зарядов нет (см. лекцию № 8), но поле кругового тока, вне контура с током, эквивалентно полю магнитного диполя. А. Ампер предположил, что на молекулярном и атомном уровне в веществе существуют круговые молекулярные токи. Теперь известно, что это токи, создаваемые электронами, вращающимися по орбитам. Эти токи частично объясняют магнитный момент магнетика, вторая причина – магнитный дипольный момент электрона, см. § 3 настоящей лекции. Намагничивание магнетика характеризуется магнитным моментом единицы объема вещества. Эту величину называют намагниченностью:  p   i mi (13.2) J , ΔV  где  p m i – сумма всех магнитных моментов в объеме V. i 139 Магнитный дипольный момент, согласно (8.4), имеет размерность: p m   A  м 2 . Из формулы (13.2) следует, что размерность намагниченности равна: A  м2 A J   3  . м м § 2. Магнитное поле в магнетиках Рассмотрим круглый стержень из магнетика, на который намотан соленоид (рис. 13.1). Ток I, текущий по соленоиду, создает внешнее магнитное поле. Модуль вектора магнитной индукции этого поля B0 равен, в соответствии с (9.3): B0   0 nI. (13.3)  B Вектор 0 направлен по оси стержня. Молекулярные круговые Рис. 13.1 токи на рис. 13.1 показаны в сечении S. Из рисунка видно, что в местах касания круговых токов они текут в противоположных направлениях и друг друга компенсируют. Поскольку диаметры токов малы, точек касания много, то можно считать, что внутри магнетика молекулярные токи друг друга компенсируют и остается молекулярный ток, текущий по поверхности магнетика. Найдем jl – линейную плотность молекулярного тока I, текущего по поверхности магнетика. Ток, текущий по кольцу цилиндра высотой l (см. рис. 13.1), равен: I  j l . l 140 Магнитный момент кольца с током, по определению (см. (8.4)), равен: p m  SI   Sjl l  jl V, (13.4а) где V – объем магнетика. С другой стороны, магнитный момент равен, согласно определению намагниченности (13.2): p m  JV. (13.4б) Приравнивая выражения (13.4а) и (13.4б), получаем, что линейная плотность молекулярных токов равна намагниченности магнетика: jl  J. (13.5) Для определения вектора магнитной индукции, создаваемого молекулярными токами, текущими по поверхности магнетика, можно воспользоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, аналогично тому, как это было сделано при выводе формулы (9.3). Действительно, молекулярный ток I, текущий по поверхности цилиндра, так же, как и ток соленоида, создает внутри магнетика поле B. Для нахождения B из формулы (9.3) следует учесть, что в этом «молекулярном соленоиде» всего лишь один широкий виток, охватывающий весь стержень из магнетика. В формуле (9.3) n – число витков на единицу длины, значит, nI – ток на единицу длины. В «молекулярном соленоиде» ток на единицу длины равен отношению I'/l. Для B из (9.3) получаем следующее выражение: B   0 с учетом (13.5): jl I   0 l   0 jl , l l B   0 J. Это соотношение справедливо и в векторной форме, таким образом, магнитная индукция поля в магнетике, согласно (13.1), равна:    B  B0  0 J. (13.6) 141 При расчете магнитной индукции нам известны лишь сторонние токи, поэтому удобно ввести вспомогательный вектор H – вектор напряженности магнитного поля:    B  μ0J H ; (13.7) μ0 H  nI , (13.8) напряженность магнитного поля определяется внешними, сторонними токами и не зависит от молекулярных токов в магнетике. Можно провести аналогию между вектором напряженности магнитного поля   H и вектором электрического смещения D в электростатике. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной инr  дукции B , вектор H носит вспомогательный характер. Для большинства магнетиков можно принять, что намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля:   J  H . (13.9) Коэффициент  называют магнитной восприимчивостью.  Подставляя выражение для J в формулу (13.6) и учитывая фор-  мулы (13.3) и (13.8) для вектора B, получаем:   B  (1  )0 H. Множитель    называют относительной магнитной проницаемостью:   1  . (13.10) С учетом (13.10) связь между вектором магнитной индукции и вектором напряженности магнитного поля будет иметь следующий вид:   B  0H. (13.11) Рассмотрим магнитное поле в свободном пространстве (вакууме). Если магнетика нет, намагниченность J = 0. Следовательно,   , относительная магнитная проницаемость   . Тогда в вакууме связь 142  между вектором магнитной индукции и напряженностью магнитB  ного поля H , в соответствии с (13.11):   (13.12) B  0H . Следовательно, согласно (8.3), напряженность магнитного поля в центре кольца с током равна: I H , 2R значит, размерность Н равна А/м. Учитывая размерность намагниченности (см. текст после определения (13.2)), из (13.9) получаем, что магнитная восприимчивость  – величина безразмерная, относительная магнитная проницаемость  – тоже величина безразмерная. Аналогично тому, как в электростатике результаты, полученные для электрического поля в вакууме, справедливы для диэлектрика, если заменить 0 на 0, так и результаты для магнитного поля в вакууме справедливы для магнетиков, если заменить 0 на 0. Так, закон Био – Савара – Лапласа в вакууме:    r I dl ,    0  r dB  , 4 r 2 в магнетике:    r I dl ,   0  r  dB  , 2 4 r (13.13) для напряженности магнитного поля:   r I dl ,  1  r  dH  . 2 4 r (13.14) Все формулы, основанные на законе Био – Савара – Лапласа, преобразуются аналогично, например, магнитная индукция на оси соленоида с сердечником из магнетика: B  0nI, 143 напряженность магнитного поля: H  nI. (13.15) Плотность энергии магнитного поля в магнетике: B2 w , 2 0 (13.16) эквивалентные формулы для плотности энергии: BH 0 H 2 w  . 2 2 (13.17) § 3. Типы магнетиков Классификация магнетиков проводится по значениям магнитной восприимчивости  и относительной магнитной проницаемости :  диамагнети ки ( вода , медь , графит , кварц ) – 6 6 не зависят от температур ы    ( 0,1  10)  10 ,  ~ 1  ( 0,1  10)  10 ;   1,   0,   1   1,   0,   1, парамагнет ики ( алюминий , платина , натрий )  7 7  –   (1  10)  10 ,  ~ 1  (1  10)  10 зависят от температур ы  при Т  300 К ;   1,   0,   1,  ферромагне тики ( железо , никель , кобальт )  зависят от температур ы  –   5 000 для Fe, при Т  300 К , вне области и нелинейно от поля B 0   насыщения Постараемся хотя бы качественно, исходя из внутреннего строения вещества, объяснить, почему магнетик относится к тому или другому классу. Кольцевые токи в магнетике образуются электронами, движущимися по приблизительно круговым орбитам. Если частота вращения электрона , то через сечение орбиты за 1 с проходит заряд: q  e, где е – элементарный заряд, модуль заряда электрона. 144 Следовательно, электрон, вращающийся по орбите, эквивалентен круговому току, сила которого: I  e. Магнитный дипольный момент равен: p m  IS  er 2, где r – радиус орбиты. Его называют орбитальным магнитным моментом электрона. Скорость электрона на орбите равна: v  2r, орбитальный механический момент L равен: 2 L  mvr  m2r . Отношение магнитного момента электрона к механическому называют магнитомеханическим (или гиромагнитным) отношением: g pm e .  L 2m (13.18) В квантовой механике доказывается, что проекция орбитального механического момента L на заданное направление z может принимать только дискретные, квантованные значения, т. е. L z  n  . Значение  шага, кванта дискретизации, равно:  h , 2 где h = 6,626 · 10–34 Дж · с – постоянная Планка, n = 1, 2, 3, – целое число. Величину  также называют постоянной Планка. Из определения (13.18) следует, что магнитный дипольный момент рm меняется с шагом: Б  g   e , 2m (13.19) который называют магнетоном Бора. В квантовой механике показано, что электрон, кроме орбитального механического момента, обладает собственным механическим моментом, который называют спином. Соответственно, электрон 145 обладает собственным магнитным дипольным моментом, связанным со спином. Термин «спин» произошел от английского глагола to spin – вращаться. Сразу после открытия у электрона собственных моментов –   механического L S и магнитного p m S – их попробовали объяснить вращением электрона вокруг собственной оси. Это привело к ряду противоречий и от представлений об электроне, вращающемся наподобие волчка, пришлось отказаться. В настоящее время считается, что собственный (спиновый) механический момент электрона и собственный (спиновый) магнитный момент являются такими же неотъемлемыми свойствами электрона, как его масса и заряд. Согласно законам квантовой механики, L Sz – проекция спинового механического момента на заданное направление z – может принимать только квантованные значения: 1 ms   , 2 гиромагнитное отношение для спинового магнитного момента в два раза больше, чем для орбитального, поэтому магнитный момент равен: L sz  m s , где 1 p ms  2 Б  ms ; ms   . 2 (13.20) Магнитный момент электрона может быть ориентирован только в двух взаимно противоположных направлениях. Диамагнетизм Рассмотрим химические соединения, у которых электронная оболочка симметрична, т. е. электронные орбиты расположены в пространстве так, что орбитальные дипольные магнитные моменты отдельных электронов и их спиновые магнитные моменты взаимно компенсируют друг друга, суммарный магнитный момент молекулы равен нулю. Если такое вещество поместить в магнитное поле, то на движущиеся электроны будет действовать сила Лоренца, стремящаяся повернуть орбиту электрона. Как следствие, начнется вращение электронной орбиты относительно вектора магнитной индукции. 146 Вращение электронных орбит эквивалентно появлению кольцевого электрического тока. Согласно правилу Ленца, этот ток направлен так, чтобы создаваемое им магнитное поле было направлено против вызывающего вращение магнитного поля. В этом случае возникающий магнитный дипольный момент направлен против поля, т. е.   , вектор магнитной индукции уменьшается. Это явление называется диамагнетизмом. Так как возникающий магнитный дипольный момент не зависит от теплового движения, то магнитная восприимчивость  и магнитная проницаемость  у диамагнетиков не зависит от температуры. Парамагнетизм Рассмотрим теперь вещества, у которых орбитальные или спиновые магнитные дипольные моменты электронов полностью не компенсируются. Собственные магнитные моменты таких атомов и молекул отличны от нуля. Если это вещество поместить в магнитное поле, то магнитные дипольные моменты отдельных атомов будут стремиться ориентироваться по полю, так как в этом случае потенциальная энергия магнитного диполя минимальна (см. (10.7а)). Тепловое движение будет нарушать эту ориентацию, но преимущественная ориентация магнитных диполей по полю приведет к появлению дипольного момента магнетика, направленного по полю. Разумеется, в этом случае также наблюдается вращение электронных орбит, но дипольный момент, возникающий за счет вращения, так называемый естественный диамагнетизм, намного меньше дипольного момента за счет ориентации орбитальных моментов атомов, в результате суммарный дипольный момент ориентирован по полю, т. е.   . Это явление называют парамагнетизмом. Так как степень ориентации орбитальных магнитных моментов зависит от температуры, поэтому у парамагнетиков наблюдается зависимость магнитной восприимчивости  и проницаемости  от температуры. Ферромагнетизм У большинства веществ спины электронов в атомах ориентированы так, что спиновые магнитные моменты компенсируют друг друга. У элементов переходной группы (железо, никель, хром), редкоземельных элементов, а также их сплавов, строение электронных оболочек таково, что из-за обменного взаимодействия электронов (чисто квантового эффекта) энергетически выгодно, чтобы собственные 147 магнитные моменты электронов были направлены в одну сторону. Они упорядочены в пределах области спонтанного намагничивания – магнитного домена (от французкого domaine – область). Магнитные домены достаточно большие объекты – их можно увидеть в микроскоп. В пределах одного домена магнитные моменты электронов ориентированы в одном направлении. Магнитные моменты разных доменов в отсутствии внешнего  поля ориентированы по-разному, B0  0 так, чтобы энергия созданного ими поля была минимальная (рис. 13.2а). При включении внешнего Рис. поля расширяются за счет сосе13.2а дей те домены, которые ориентированы по полю (рис. 13.2б,  13.2в). B0 Затем переориентируются оставшиеся домены и ферромагнетик намагничивается до насыщения (рис. 13.2г). Рис. 13.2б Из вышесказанного следует, что у ферромагнетиков магнитная восприимчивость – не посто  B0 H . янная величина, а функция  Магнитная индукция B нелинейно зависит от внешнего поля   B0 . Зависимость B от H показаРис. 13.2в на на рис. 13.3 (внешнее поле и Н однозначно связаны между со бой, см. § 2 настоящей лекции). B0 При включении внешнего поля В нелинейно растет с увеличением Н, после достижения насыщения намагниченность остается постоянной и кривая Рис. 13.2г В(Н) переходит в прямую. Если теперь уменьшить внешнее поле, уменьшение В пойдет по кривой, лежащей выше первоначальной. Объясняется это тем, что из-за сил внутреннего трения между ними домены сохраняют, хотя бы частично, ориентацию, которая была до уменьшения внешнего поля. 148 B Остаточная индукция H Hc – коэрцитивная сила B0 0 Рис. 13.3 Зависимость магнитной индукции в ферромагнетике от «предыстории» образца называется гистерезисом, кривая зависимости В(Н) – петлей гистерезиса (от греческого hysteresis – запаздывание). Значение В при Н, равном нулю, называют остаточной индукцией, значение Н, при котором магнитная индукция равна нулю, – коэрцитивной силой Нс. § 4. Применение магнетиков Ферромагнетики находят широкое применение в технике, поскольку они позволяют из-за больших значений магнитной восприимчивости  и магнитной проницаемости  получать сильные магнитные поля. Если петля гистерезиса узкая, коэрцитивная сила мала, то такие материалы называют магнитомягкими, их используют там, где нужно получить переменные во времени магнитные поля. Из них делают сердечники трансформаторов, катушек громкоговорителей, используют при изготовлении электродвигателей и электрогенераторов. Если петля гистерезиса широкая, коэрцитивная сила велика – это магнитожесткие материалы. Из них делают постоянные магниты, остаточная индукция определяет величину магнитной индукции постоянного магнита. Запоминающие устройства современных персональных компьютеров (дискеты, винчестеры), магнитофонные ленты также делают из магнитожестких материалов. 149 Применение парамагнетиков для получения сверхнизких температур Обычный метод охлаждения тел состоит в том, что тем или другим способом у тела нужно отнять (отвести от него) определенное количество тепла (тепло – это энергия хаотического движения молекул, см. ч. 4 данного курса). При этом температура тела понижается. Трудность получения сверхнизких температур состоит в том, что при температурах 1–2 К все тела находятся в твердом состоянии и отвод тепла в этом случае затруднителен. Используя намагничивание и последующее размагничивание парамагнетиков, можно отвести тепло от тела. На первом этапе включают магнитное поле, магнитные диполи устанавливаются по полю. Потенциальная энергия диполя в магнит  ном поле  (pmi B) отрицательна, т. е. меньше, чем энергия диполя вне поля. Уменьшение потенциальной энергии приводит к увеличению кинетической энергии хаотического движения молекул, в данном случае тепловой энергии. Избыток тепловой энергии отводится за счет теплового контакта, например, с жидким гелием. На втором этапе тепловой контакт прекращается, магнитное поле выключается. Если магнитного поля нет, магнитные диполи снова начинают хаотически двигаться, но необходимую для этого энергию, поскольку теплового контакта нет, диполи берут от окружающих молекул. Средняя энергия теплового движения и температура тела уменьшаются. Таким методом удается получить температуры порядка 10–3 К. Исследование палеомагнетизма Земли Большинство горных пород Земли относится к парамагнетикам. В жидком состоянии магнитная восприимчивость  больше, чем в твердом, поэтому в момент отвердения горных пород в них остается остаточная намагниченность, направление и величина которой позволяют судить о магнитном поле Земли, существовавшем в момент образования горной породы. Зная возраст горных пород (его можно определить радиоактивными методами), по результатам измерения остаточной намагниченности можно судить об изменении магнитного поля Земли в различные геологические эпохи. ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 13 1. Вещество, которое под действием магнитного поля приобретает магнитный момент, называют магнетиком. 150 Поле в магнетике представляет сумму поля, создаваемого внешними, сторонними источниками, и внутреннего поля, создаваемого кольцевыми микротоками. Намагничивание магнетика характеризуется магнитным моментом единицы объема вещества (13.2):   J p mi i V . Магнитный момент единицы объема называют намагниченностью. 2. Вектор магнитной индукции в магнетике равен (13.4):    B  B0   0 J. Вводится вспомогательный вектор напряженности магнитного  поля H , равный (13.5):    B  0 J H . 0 Физической, силовой характеристикой магнитного поля является   H вектор B , вектор носит вспомогательный характер. 3. Намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля (13.6):   J  H, где  – магнитная восприимчивость.  Вектор магнитной индукции B и напряженность магнитного по ля H связаны соотношением:   B  0 H, где      – относительная магнитная проницаемость. 4. Классификацию магнетиков проводят по значениям  и : а)      ,    – диамагнетики; б)      ,    – парамагнетики; в)        >  – ферромагнетики.   У ферромагнетиков B нелинейно зависит от H , наблюдается гистерезис (см. рис. 13.3). 151 ЛЕКЦИЯ № 14 Уравнения Максвелла Уравнения Максвелла выражают связи между характеристиками   электромагнитного поля: E (1.7); B (лекция № 8, § 1); D (4.12); H (13. 11), связывают электрические и магнитные поля с зарядами и токами. Великим английским физиком Дж. К. Максвеллом в 1861–1865 гг. сформулированы уравнения на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Развивая идеи М. Фарадея, Максвелл впервые ввел точный термин «электромагнитное поле». § 1. Первая пара уравнений Максвелла в интегральной форме  E В первую пару уравнений Максвелла входят только векторы  и B , в этих уравнениях отсутствуют заряды и токи:  E l dl   d  Bn dS ; dt s  Bn dS  0 . s Первое уравнение первой пары – это закон Фарадея – Ленца d  El dl   dt  Bn dS . 1  B (14.1) На рис. 14.1 S – произвольная поверхность, «натянутая» на контур l. По замкнутому контуру l берется интеграл в левой части рассматриваемого уравнения, в правой части уравнения интеграл берется по поверхности S. Нетрудно видеть, что это уравнение – обоб152  E S  E l Рис. 14.1 щенная формулировка закона электромагнитной индукции (12.1). В самом деле, из (9.7) и (9.8) следует, что:  B n dS  Ф. s dФ , как в (12.1). dt Левую часть уравнения (14.1)  E l dl домножим и поделим на q – 1  заряд пробной частицы, помещенной в электрическое поле E : значит в (14.1) справа стоит  qE1dl   F1dl  A  . q q q Здесь мы воспользовались определением напряженности электрического поля (1.7), определением работы (Ч.1, (5.3)) и определением электродвижущей силы (6.11). В результате получили закон Фарадея – Ленца (12.1):  d . dt Второе уравнение первой пары утверждает, что нет магнитных зарядов (см. лекцию № 8, конец § 2, лекцию № 9, конец § 3)  B dS  0 . n s  Поток вектора B через произвольную замкнутую поверхность равен нулю (см. (9.9)). Причина этого – замкнутость линий индукции. Линии индукции замкнуты, так как в природе отсутствуют магнитные заряды. На рис. 14.2 изображена замкнутая поверхность S, которуюпронизывают линии вектора B . Так как эти линии не могут начинаться или заканчи-  B Bn  0 Ф0 S (14.2) Bn  0 Ф0 Рис. 14.2 153 ваться в каком-либо месте, то они проходят через поверхность S дважды. Поток Ф, связанный с линией, входящей в поверхность, меньше нуля, с линией, выходящей из поверхности, связан поток положи тельного знака. Следовательно, суммарный поток вектора B , как и утверждает рассматриваемое уравнение, равен нулю. § 2. Вторая пара уравнений Максвелла в интегральной форме   Во вторую пару уравнений Максвелла входят векторы D и H . Кроме этих векторов, характеризующих электрическое и магнитное поле, вторая пара, в отличие от первой, содержит величины, характеризующие источники: это плотность электрического заряда  и плотность тока j:  Hl dl   jn dS  d  Dn dS; dt S  Dn dS   dV. S (14.3) (14.4) V Первое уравнение второй пары (14.3) – это теорема о циркуляции + что-то еще.  H l dl   jn dS  d  D n dS. dt S  B теорема о циркуляции (9.2) гласит: циркуляция Для вектора  вектора B по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на 0 , т. е.:  B l dl   0  I i . i l В вакууме (см. (13.12)): Тогда r r B   H .  (μ0H )1 dl  0  Ii , или  Hl dl  i Ii . 1 1 i 154 При непрерывном распределении тока через поверхность S сумма токов переходит в интеграл:  I i   jn dS , здесь j – плотность тока (6.2). Тогда имеем  H l dl   j n dS. 1 s Интеграл слева берется по произвольному воображаемому контуру l, интеграл справа – по произвольной поверхности S, «натянутой» на этот контур (рис. 14.3).  В веществе теорема о цирj D( t ) куляции для вектора H имеет тот же вид:  H  H l dl   jn dS , 1 s S но при этом в интеграле справа не учитываются микроскопические токи вещества, приво дящие к изменению магнитной H индукции в веществе. Мы получили из теоремы Рис. 14.3 о циркуляции первое слагаемое правой части рассматриваемого уравнения (14.3). Второе слагаемое в этом уравнении: + что-то еще – это «ток смещения».  Применим теорему о циркуляции вектора H к магнитному полю, созданному переменным электрическим током, перезаряжающим конденсатор (рис. 14.4). Интеграл в правой части теоремы о циркуляции берется по произвольной поверхности, натянутой  на контур l, вдоль которого вычисляется циркуляция вектора H. На рис. 14.4 на контур l, охватывающий ток I(t), перезаряжающий конденсатор, натянуты две поверхности. Ток I(t) проходит через поверхность S1, но не проходит через поверхность S2, расположенную между обкладками конденсатора. Таким образом, теорема о циркуляции перестает работать на поверхности S2, на которой плотность тока j = 0. Чтобы поправить дело, нужно для поверхности S2 на место плотности тока j поставить  H 155 какую-то другую величину, имеющую размерность плотности тока такую, чтобы интеграл от нее по поверхности S2 давал циркуляцию  вектора H:   jn dS S1  d l   Hl l   (?)n dS (j  0 на S2). S2  q Sпл S2 E( t )   ( t ) 0 D( t )  0 E( t )  ( t ) S1 I( t ) l – замкнутый контур, S1 и S2 – поверхности, «натянутые» на этот контур. Рис. 14.4 Максвелл предположил, что эта неизвестная величина, обозначенная нами знаком вопроса в интеграле по поверхности S 2 , должна быть связана с переменным во времени электрическим полем. Он показал, что этой величиной, позволяющей обобщить теорему о циркуляции, является производная по времени от вектора электрического  смещения D (см. формулы (4.12), (4.12а)). В самом деле, используя (4.12), (2.6) и (4.11), свяжем модуль электрического смещения D с поверхностной плотностью заряда (t) на пластинах нашего конденсатора. Затем мы найдем производную по времени от электрического смещения D, используя, что D = . В свою очередь,  по (2.4) выражается через заряд на обкладках конденсатора q, производная от которого по времени равна силе тока (6.1). Сила 156 тока, деленная на площадь S, дает плотность тока j (6.2). Записывая эти рассуждения в виде цепочки формул, имеем: D( t )   0 E  ( t )  dD d l dq I     j. dt dt S dt S Таким образом, производная по времени от модуля электрического смещения D равна плотности тока j. На S2 j = 0, но Величину dD dD dD .  j , значит ?   0 , а по величине dt dt dt d  Dn dS dt S Максвелл назвал «током смещения». Как видно, «ток смещения» – это переменное во времени электрическое поле. Первое уравнение второй пары утверждает, что магнитное поле создается током проводимости и переменным электрическим полем («током смещения»). Второе уравнение второй пары – это теорема Гаусса для век тора D .  В самом деле, теорема Гаусса (4.12) для вектора D утверждает:  D  D n dS   q i , V S q D S S – замкнутая поверхность с зарядами внутри где qi – свободные, не связанные заряды. Рис. 14.5 иллюстрирует это уравнение. При непрерывном распределении заряда  q1 V переходит в  ρdV . Таким V Рис. 14.5 образом, теорема Гаусса  для вектора D формально совпадает с рассматриваемым уравнением Максвелла (14.4). Разница в том, что теорема Гаусса (4.12) была доказана для электростатического поля. Максвелл обобщил эту теорему, 157 предположив, что она справедлива для любого электрического поля: и электростатического, и переменного. § 3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме Выпишем вместе систему уравнений Максвелла. Первая пара (см. (14.1), (14.2)):  El dl   l d  Bn dS; dt S  Bn dS  0. S Вторая пара (см. (14.3), (14.4)):  Hl dl   jn dS  S l d  Dn dS; dt S  Dn dS   dV. S V § 4. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме Применяя теорему Стокса, можно преобразовать интеграл по замкнутому контуру l в интеграл по поверхности S, натянутой на этот контур. Теорема Остроградского – Гаусса позволяет преобразовать интеграл по замкнутой поверхности S в интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью. Преобразовав левые части уравнений (14.1)–(14.4), можно получить систему Максвелла в дифференциальной форме. Первая пара:   B (14.5) E   ; t  (14.6) ( B)  0 .   158 Вторая пара:     D ; H  j  t  ( D )   .   (14.7) (14.8)  Здесь  – дифференциальный оператор набла:         .    e e ez x y  x y z Для получения полной замкнутой системы к этим уравнениям не обходимо добавить закон Ома в дифференциальной форме и связь D    с E , H с B:   см. (6.10); j  E ,    D 0  E,   B  0  H, см. (4.11); см. (13.11). Эти три векторных уравнения характеризуют свойства среды, они называются материальными уравнениями. Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики покоящихся сред. Уравнения Максвелла подтверждены огромной совокупностью опытных данных. Они лежат в основе современной электротехники и радиотехники, играют важную роль в развитии многих направлений современной физики: оптики, астрофизики, физики плазмы. Область применения уравнений Максвелла ограничена лишь большими частотами электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты. § 5. Принцип относительности в электродинамике В части 1 настоящего курса лекций мы познакомились с основами специальной теории относительности (СТО). Эта теория базируется на двух постулатах: принципе относительности и принципе постоянства скорости света. Согласно принципу относительности, все законы природы одинаково формулируются для всех инерциальных систем отсчета. В соответствии с этим, уравнения, выражающие законы природы, должны быть инвариантны относительно преобразо159 ваний Лоренца (ч. 1, (11.4)). Инвариантность уравнений относительно преобразований Лоренца означает, что их вид не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя вхо-     дящие в них величины E, B, D, H изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца. Пусть, как и в ч. 1, § 11, 12, буква К обозначает неподвижную систему отсчета, K – систему отсчета, движущуюся относительно К вдоль оси х равномерно и прямолинейно со скоростью V. Тогда формулы преобразования электрического и магнитного полей имеют следующий вид: E x  E x , E y   ( E y  VB), Bx  B x , здесь   By   ( B y  VE z / c 2 ), 1 1 V 2 E z   ( E z  VB y ); Bz   ( B z  VE y / c 2 ), (14.9) ; 2 c с – скорость света в вакууме.   Аналогичные формулы можно записать для векторов D и H . Из преобразований Лоренца для электромагнитного поля (14.9) видно, что одно и то же электромагнитное поле по-разному проявляется в различных инерциальных системах отсчета. Например, если в системе К существует только электрическое поле, направленное по оси y, т. е. E x  E z  0, E y  0 , то в соответствии с формулами (14.9) в системе K ' , движущейся относительно К со скоростью v, будут существовать электрическое и магнитное поля: E 'x  E 'z  0, E 'y  E y ; B x  B y  0, B z   VE y / c . ' ' ' 2 '  ' E и B Видно, что векторы взаимно перпендикулярны. Аналогично, из (14.9) следует, что если в системе К нет электрического поля, а только магнитное, то в системе K ' будут наблюдаться и электрическое, и магнитное поля. Из преобразований Лоренца для электромагнитного поля следует, '    что скалярное произведение векторов E и B' , а также H и D являются 160 инвариантами электромагнитного поля, т. е. остаются неизменными при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:   (14.10а) E  B  inv;   (14.10б) H  D  inv. Другими инвариантами электромагнитного поля являются: E 2  c2B2  inv; (14.11а) D 2  H 2 / c 2  inv. (14.11б) Из изложенного ясно, что разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное является относительным, т. е. зависящим от выбора инерциальной системы отсчета. ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 14 1. Уравнения Максвелла выражают связи между характеристиками электромагнитного поля и связывают электрические и магнитные поля с зарядами и токами. 2. Дж.К. Максвелл обобщил эмпирические законы электрических и магнитных явлений и, дополнив их гипотезой о том, что переменное электрическое поле порождает магнитное, получил систему уравнений, составляющих основу электродинамики покоящихся сред. 3. Система уравнений Максвелла может быть записана как в интегральной форме ((14.1)–(14.4)):  E l dl   l  B n dS d  Bn dS; dt S  0;  Hl dl   jn dS  d  Dn dS; dt S  D n dS   dV, S V 161 так и в дифференциальной форме ((14.5)–(14.8)):   B E   ; t  B  0;     D H  j  ; t  ( D )   .     Для получения полной замкнутой системы к уравнениям Максвелла необходимо добавить материальные уравнения, характеризующие свойства среды:   j  E;   D  0E;   B  0H. 4. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, при этом электрические и магнитные поля преобразуются по формулам (14.9): E x  E x , E y   ( E y  VB), Bx  B x , By   ( B y  VE z / c 2 ), E z   ( E z  VB y ), Bz   ( Bz  VE y / c 2 ). Таким образом, разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное является относительным, т. е. зависит от выбора системы отсчета. 5. Уравнения Максвелла подтверждены огромной совокупностью опытных данных. 161 ТЕСТ № 4 «Электростатика» 1. Два точечных заряда q1  36  10 9 Кл и q 2  64  109 Кл расположены на расстоянии r = 10 м друг от друга (рис. Т.4.1а). Найти направление и модуль напря женности результирующего Е ?  электрического поля Е в точке, удаленной от перr2 r1 вого заряда на r1 = 6 м, от второго на r2 = 8 м. Определить результирующий поq1 r +  q2 тенциал в этой точке. Рис. Т.4.1а  Ел  Ем  Е х  Еп  х 2. Электрическое поле создается двумя бесконечными равномерно заряженными плоскостями. Поверхностная плотность заряда положительной плоскости     , отрицательной    2 . Выразить через σ напряженность результирующего электрического поля слева от плоскостей (Ел), между ними (Ем) и справа от них (Еп). Построить график Е(х), расположив оси, как на рис. Т.4.2а. Рис. Т.4.2а 162 3. Дан график зависимости потенциала координаты х: х  . Записать связь напряженности электрического поля Ех(х) с потенциалом х  и построить график Ех(х), расположив оси, как на рис. Т.4.3а. х , В 30 20 10 х, м 1 В Е х х , м 3 2 5 4 х Рис. Т.4.3а 4. Даны три металлических электрода, левый и средний электроды – полые цилиндры, правый – плоскость (рис. Т.4.4а). Их потенциалы фиксированы: υ1 > υ2 > υ3. Построить три силовые линии, проходящие через точки 1, 2, 3. Что можно сказать о потенциале и напряженности электрического поля внутри среднего электрода? 3 2 1 2 1 Рис. Т.4.4а 163 3 S1  5. На рис. Т.4.5а изображены два точечных заряда и две воображаемые замкнутые поверхности S1 и S2. Заряд q1 = 10–9 Кл, q2 = –10–9 Кл. Чему равен поток S2 q2 +  q1 вектора Е через поверхность S1? Через поверхность S2? Рис. Т.4.5а ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ТЕСТА № 4 «Электростатика» 1. Треугольник, образованный сторонами r = 10 м, r1 = 6 м и r2 = 8 м, прямоугольный, так как его стороны связаны теоремой Пифагора: 62  82  102. В соответствии  с определением напряженности Е1      Fq Е  Е1  Е 2 Е , q    r1 векторы E1 и E2 направлены Е2 r2 как показано на рис. Т.4.1б. Вектор результирующей наq1 +  q 2 пряженности  Е определяется r как сумма векторов  векторная  Рис. Т.4.1б E1 и E2 .   Его модуль Е  Е12  Е 2 2 , так как Е1  Е 2 . Модули векторов Е1 и Е2 определим по формуле напряженности электрического поля точечного заряда: Еk q r где k  9  10 9 164 2 , Н  м2 Кл 2 . Таким образом: 9 Е1  9  10  9 Е 2  9  10  36  10 9 62 64  10 9 82 9 В ; м 9 В , м модуль результирующей напряженности: Е  92  92  9 2 В ; м Потенциалы складываются алгебраически:   1  2 . Здесь: 9 q1 9 36  10 1  k   9  10   54 В; r1 6 9 q2 9 (64  10 ) 2  k   9  10   72 В; r2 8   54  72  18 В .  2. Изобразим силовые линии полей, создаваемых положительной и отрицательной плоскостью (рис. Т.4.2б). Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной  плоскости Е  . С учетом на20 правлений этих линий проекция результирующего поля на ось х слева от плоскостей: Е+ Е─  3 2 0  Е л х   2 0 2   . Ел  Е  Е    2 0 2  0 2  0 Между плоскостями:  2 3 Eì  E  E    . 20 20 20    2 0 Рис. Т.4.2б 165 х Справа от плоскостей: Eï  E  E   2  .   20 20 20 По этим результатам строим график Ех(х). 3. Напряженность связана с потенциалом следующим отношением: Ех    . х У нас зависимость υ(х) линейна, значит    . х х Тогда Ех    . х Для участка 0 ≤ х ≤ 1 м: E x1   (1 м)  (0) 10 В  30 В В   20 . 1м 1м м х , В Для участка 1 < х < <3м 30 Ех2  0 , 20 10 х, м 1 В Е х х , м 2 3 4 5 х 1 (5)  (3)  53 30  10 В   10 . 53 м E x1   20 Так как здесь υ = const. Для участка 3 ≤ х ≤ ≤ 5: 2 3 5 4  10 Рис. Т.4.3б 166 Результаты изображены на рис. Т.4.3б. 4. Силовые линии перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. Внутри замкнутой полости υ = const, следовательно Е = 0, силовые линии прерываются на втором электроде (рис. Т.4.4б). 3 2   const E0 1 2 1 Рис. Т.4.4б 3  5. Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора Е через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхноS2 сти, деленной на ε0, т. е.: S1 N ФЕ   qi i 1 0 ; + q1 1 1 Ф 0   , , 4   k 4   9  10 9 м тогда 9 N Ф Е  36   10   q i . Рис. Т.4.5б i 1 Из рис. Т.4.5б следует, что для поверхности S1 1  q i  q1  10 9 i 1 Кл . Значит, 9 Ф Е  36   10  10 9  36 , В  м . Для поверхности S2 2  q i  10 9  10 9  0 . i 1 Значит, ФЕ  0 . 167  q2 ТЕСТ №5 «Магнетизм» 1. Магнитное поле создается двумя бесконечно длинными проводниками с токами I1 = 4 А, I2 = 3 А, направления токов противоположны. Расстояние между  проводниками r = 5 м. ОпреВ ? делить модуль и направление (указать на рис. Т.5.1а) вектоr1 r  2 I1 + r I2 ра В в точке, удаленной от первого проводника на расстояние r1 = 4 м и от второго – на r2 = 3 м. Рис. Т.5.1а 2. Две частицы одинаковой массы m поочерѐдно влетают в однородное маг- R1  q1 v  v q2 R2  В нитное поле с индукцией В . Их траектории – окружности радиусов R1 и R2 = 2R1 изображены на рис. Т.5.2а. Скорости частиц одинаковы. Магнитное поле направлено за чертеж. Определить знаки зарядов частиц и отношение модулей зарядов. Рис. Т.5.2а 168 3. Проводящая квадратная рамка, сторона которой равна а, движется за счѐт внешних сил с постоянной скоростью v (рис. Т.5.3а). В области I и III нет магнитного поля. В области II шириной b > а  магнитное поле В  const и направлено за чертеж. Описать, ссылаясь на соответствующие законы, какие явления и в каком порядке будут происходить в рамке, начиная с области I и заканчивая областью III. II b I III v=const а а В0  B  const В0 Рис. Т.5.3а 4. Две одинаковые лампочки подключаются, как это изображено на рис. Т.5.4а, к источнику постоянной ЭДС ε. Первая лампочка подключается через катушку индуктивности L, вторая – через резистор. Суммарное активное сопротивление резистора и лампочки 2 равно R. Точно такую же величину имеет суммарное активное сопротивление катушки индуктивности и лампочки 1. Какая из этих лампочек загорится раньше, какая – позже? Объяснить, ссылаясь на законы физики, определяющие явления Рис. Т.5.4а в данной цепи. 169 ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ТЕСТА № 5 «Магнетизм» 1. Треугольник со сторонами r1 = 4 м, r2 = 3 м, r = 5 м прямо 2 2 2 угольный, так как 3 + 4 = 5 . Направления векторов индукции B1  и B2 определяем в соответствии с правилом правого винта для прямого тока: правый винт устанавливаем вдоль тока, вращаем так, чтобы поступательное движение винта совпадало с направлением тока, направление вращения винта укажет  направление силовой линии магнитного поля. Векторы B1 и B2 направлены, как показано на рис. Т.5.1б. Модуль результирующего    вектора магнитной индукции опВ  В1  В 2  ределяется по теореме Пифагора: В1  В2 В  В12  В2 2 . r1 Рис. 5.1б r + I1 r2 I2 Модули векторов В1 и В2 определяются формулой магнитной индукции бесконечно длинного прямого проводника: Рис. Т.5.1б В 0  I , 2  r где 0  4  107 Гн / м . Таким образом 4  10  7  4 7 В1   2  10 Тл ; 2  4 4  10  7  3 7 В2   2  10 Тл . 2  3 Модуль результирующего вектора магнитной индукции: В 2  10   2  10  7 2 7 2 170  2 2  10  7 Тл . 2. На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца:     F л  q v  В .      Направление векторного произведения  v  В  определяется пра  вилом правого винта: винт устанавливают перпендикулярно плоско  сти, в которой лежат векторы v и В , вращают от первого перемно  жаемого вектора v ко второму В , по кратчайшему расстоянию. Поступательное движение винта укажет направление векторного произ   ведения  v  В  . Если заряд положительный, то направление силы      Лоренца совпадает с направлением векторного произведения  v  В  ,    для отрицательного заряда направление F л обратно направлению     v  В .      У нас для заряда q1 векторное произведение  v  В  указывает на   центр окружности, по которой движется этот R1 заряд, значит q1 > 0. Для q2 ситуация обратная, значит q2 < 0 (рис. Т.5.2б).  Радиус кривизны траектории определяq1 v В ется формулой  v q2 mv R , qB R2 откуда mv . q RB Следовательно: q1 R 2   2. q 2 R1 Рис. Т.5.2б 171 3. По закону Фарадея – Ленца в рамке наводится ЭДС индукции  dФ , dt где Ф  В  S  cos  – магнитный поток, пронизывающий рамку. При движении рамки в области I В = 0 и Ф = 0, следовательно ε = 0. Когда рамка начинает входить в область II, поток Ф меняется по закону: Ф  B а  v  t , где t – время, отсчитанное от момента начала вхождения рамки в область II, где присутствует магнитное поле. До тех пор, пока рамка не войдет полностью в магнитное поле, т. е. в течение времени t1 = a/v, ЭДС индукции в соответствии с законом Фарадея будет равна по модулю:  d(B  a  v  t )  B  a  v. dt b>а v=const а а  В0 B  const В0 vt Индукционный ток должен, по правилу Ленца, препятствовать тому изменению магнитного потока, которое вызвало этот индукционный ток. В нашем случае индукционный ток направлен против часовой стрелки (рис. Т.5.3б). При этом магнитное поле индукци онного тока В' будет направлено навстречу внеш- а   нему магнитному полю В . B  const После того, как рамка полностью войдет в магРис. Т.5.3б нитное поле, магнитный поток через рамку изменяться не будет, пока рамка не дойдет до правой границы магнитного поля в момент времени t2 = b / v. Значит, 172 в промежутке t1 < t < t2 ЭДС индукции станет равной нулю, следовательно, сила тока будет равна нулю. Начиная с момента времени t2, рамка начинает выходить из магнитного поля, опять возникает ЭДС индукции такой же величины, но противоположная по знаку. Индукционный ток на этом отрезке времени будет направлен по часовой стрелке. Наконец, когда рамка полностью выйдет из магнитного поля, ЭДС индукции станет равной нулю и ток прекратится. 4. При замыкании ключа k (рис. Т.5.4б) сила тока I начинает нарастать. По закону Фарадея – Ленца в катушке индуктивности возникает ЭДС самоиндукции сам  L dI . dt (Т.5.1) Знак «минус» в формуле (Т.5.1) указывает на правило Ленца: ЭДС самоиндукции  сам всегда препятствует изменению тока. В нашем случае  сам препятствует нарастанию тока. В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи имеем: I  R    сам . Рис. Т.5.4б (Т.5.2) Подставляя  сам из (Т.5.1), получим IR  L или dI , dt dI R   I  . dt L L (Т.5.3) Мы получим для силы тока I линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его общее решение является суммой общего решения однородного уравнения: dI R  I  0 dt L 173 (Т.5.4) и частного решения неоднородного уравнения (Т.5.3). Нетрудно проверить прямой подстановкой в уравнение (Т.5.4), что его общим решением является функция: I1 R  t  Ñ e L . (Т.5.5) Также легко убедиться в том, что функция I 2   удовлетворяет R уравнению (Т.5.3). Следовательно, общее решение уравнения (Т.5.3) имеет следующий вид: R  t  It   I1  I 2   С  е L . R (Т.5.6) Так как в начальный момент (t = 0) сила тока равна нулю, то R  0  0   Се L , R (Т.5.7) так как е0 = 1, то из (Т.5.7) следует, что С  . R (Т.5.8) Подставляя в (Т.5.6) значение С из (Т.5.8), получим формулу, определяющую зависимость силы тока в цепи лампочки 1 от времени: R  t    I  t    1  e L  . R   (Т.5.9) График этой функции изображен на рис. Т.5.5б. Сила тока асимптотически приближается к величине стационарного тока I2   . R Скорость нарастания тока – производная от силы тока по времени: R R R   t   t  t dI d     R   1  e L     e L  e L .  R L dt dt  R  L    174 (Т.5.10) I(t), А  R  0,63 R t, с τ Рис. Т.5.5б Из формулы (Т.5.10) видно, что при одинаковом R, чем больше индуктивность, тем меньше скорость нарастания тока. Индуктивность цепи лампочки 2 пренебрежимо мала по сравнению с L, поэтому лампочка 2 загорится почти мгновенно, а скорость роста тока лампочки 1 будет определяться постоянной времени  L . R При t = τ из формулы (Т.5.9) следует, что I t        1    1  е 1   1    0,63 . R R  2,718  R Итак, лампочка 2 загорится почти сразу, а лампочка 1 позже, изза ЭДС самоиндукции. 175