Последовательности. Свойства последовательностей. Предел последовательности

Лекция 1. Последовательности. Свойства последовательностей. Предел последовательности Определение 1.31. Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется последовательностью и обозначаются xn . Способы задания последовательностей 1) Аналитический. 2) Табличный. 3) Графический. 4) Описательный. 5) Рекуррентный. Если n-й член последовательности выражен через её предыдущие члены, то последовательность задана рекуррентно. Примеры. 1. Арифметическая прогрессия: a n  a n 1  d . Геометрическая прогрессия: bn  bn 1  q . Последовательность Фибоначчи: a1  1, a 2  1 , a n  2  a n  a n 1 . Определение 1.32. Имеем x1 , x2 , x3 ,, x n , . Тогда последовательности xn  путем последовательность последовательность, полученная из данной произвольного выбора из неё бесконечного числа членов, взятых в том порядке в каком они находились первоначально в xn  называется xn подпоследовательностью последовательности xn . cos n Пример. x n  : x n  n (рис. 16) выделим две подпоследовательности: при 1 , при n  2k xnk  2k . n  2 k  1 xn k  2k  1 Рис. 16 Пример. xn : x n   1 (рис. 17). Выделим две подпоследовательности: n 1,1,1,  ,1,  и  1,  1,  1, ,  1, Рис. 17 Определение 1.33. Последовательность называется стационарной, если все члены последовательности постоянны. Понятие четности и нечетности для последовательностей не имеет смысла, так как множество натуральных чисел не симметрично. Последовательность xn  называется периодической если l  N : n  N xn  xn l , l – период. Пример. xn : xn   1 периодическая с периодом 2. n Определение 1.34. xn строго возрастает  n  N xn  xn 1 . Определение 1.35. xn строго убывает  n  N xn  xn 1 . Определение 1.36. xn возрастает  n  N xn  xn 1 . Определение 1.37. xn убывает  n  N xn  xn 1 . Примеры. 1. xn : xn  n (рис. 18) строго возрастает: Рис. 18 2. 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; (рис. 19) возрастает: Рис. 19 3. xn : x n  1 (рис. 20) строго убывает: n Рис. 20  1 n 4. xn : xn  n (рис. 21) не монотонная: Рис. 21 Определение 1.38. xn ограниченная сверху  M n  N xn  M . Определение 1.39. xn ограниченная снизу  m n  N xn  m . Определение 1.40. xn ограниченная  M  0 n  N xn  M . Определение 1.41. xn неограниченная сверху  M n  N xn  M . Определение 1.42. xn неограниченная снизу  m n  N xn  m . Определение 1.43. xn неограниченная  M  0 n  N xn  M . Примеры. 1. xn : xn   1 (рис. 22) ограниченная сверху и снизу: n Рис. 22 2. xn : x n   n (рис. 23) ограниченная сверху и неограниченная снизу: Рис. 23 3. xn : xn   1  n (рис. 24) неограниченная сверху и снизу: n Рис. 24 Исследуйте последовательности на монотонность и ограниченность, используя рисунки 16, 18 – 24: 1 1  1 , 1. xn : x n  , 2. xn : xn   , 3. xn : xn  n n n n 5. xn : x n   n , 6. xn : xn   1  n , n Определение 1.44. Последовательность если   0 N n  N 7. x n  : x n  n x  n 4. xn : xn  n , cos n . называется бесконечно большой, 1 xn  .  Примеры бесконечно больших последовательностей: 1. xn : xn  n (рис. 18); 2. xn : x n   n (рис. 23); 3. xn : xn   1  n (рис. 24). n Определение 1.45. Последовательность xn  называется бесконечно малой, если   0 N n  N xn   . Примеры бесконечно малых последовательностей: 1 (рис. 20) n 1 2. xn : xn   (рис. 22) n n   1 3. xn : xn  (рис. 21) n 1. xn : x n  Теорема 1.3. последовательностей) (о связи Если бесконечно последовательность большой 1    xn  и бесконечно бесконечно малой малая, то последовательность xn  бесконечно большая. Предел последовательности Определение 1.46. Точка а числовой прямой называется пределом последовательности, если какова бы ни была окрестность точки а, она содержит все члены последовательности, начиная с некоторого номера. lim xn  a    0 N n  N xn  a   n Последнее неравенство равносильно    xn  a   , a    xn  a   . 8  n Пример. 1.1. lim  4   1   4 , на рисунке 25 изображена последовательность и n  n    -окрестность 4, при   1 все члена последовательности, начиная с девятого, находятся внутри  -окрестности. Рис. 25 Определение 1.47. Всякая последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся. Определение 1.48. Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся. Теорема 1.4. Предел бесконечно малой последовательности равен нулю. 1 lim xn      0 N n  N xn  . n  1  xn   1  Неравенство xn  равносильно совокупности неравенств  .  x   1 n   1 lim xn      0 N n  N xn  . n  1 lim xn      0 N n  N xn   . n  Теорема. 1.5. Бесконечно большая последовательность расходится. Основные теоремы о пределе последовательности Теорема 1.6. Если последовательность имеет предел, то он единственный. Теорема 1.7. Если последовательность сходится, то она ограничена. n Обратная теорема не верна, например, последовательность  1 ограничена и не сходится. Теорема 1.8. Если последовательности xn  и y n  сходятся, то сумма и разность этих последовательностей тоже будет сходиться lim  xn  yn   lim xn  lim yn .  n n  n Теорема 1.9. Если последовательности xn  и y n  сходятся, то произведение этих последовательностей тоже будет сходиться. lim  x n  y n   lim x n  lim y n n  n  n  Теорема 1.10. Если последовательности xn  и y n  сходятся, причем lim y n  0 то n   x  lim xn частное этих последовательностей тоже будет сходиться. lim n   n . n y yn  n  lim n Теорема 1.11. (о пределе промежуточной последовательности) Если последовательность z n  такая, что выполняется неравенство x n  z n  y n для всех значений n, начиная с некоторого номера, причем последовательности xn  и y n  сходятся к одному и тому же числу, то последовательность z n  сходится к этому же числу (рис. 26). Рис. 26 Теорема 1.12. (теорема Вейерштрасса) Если возрастающая (убывающая) последовательность xn  ограничена сверху (снизу), то она сходится. Теорема 1.13. (Теорема Больцано-Вейерштрасса) Из всякой ограниченной последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность. n Второй замечательный предел для последовательности  1 lim1    e , n  n иррациональное число e  2,71828... экспонента. Лекция 2. Предел функции. Асимптоты. Непрерывность функции и точки разрыва Предел функции в точке Пусть функция y  f  x  задана на некотором множестве Х, за исключением точки x0 . Возьмем из множества Х последовательность точек, отличных от x0 : x1 , x2 , ..., xn , ... сходящуюся к точке x0 . Значения функции в точках этой последовательности так же образуют числовую последовательность f  x1 , f  x2 , ..., f xn , ... по отношению к которой можно ставить вопрос о существовании и нахождении предела. Последовательность xn  можно составлять различными способами и каждый раз получать новую последовательность  f  xn  . Если последовательности  f  xn  соответствующие всевозможным последовательностям xn  , имеют один и тот же предел, например, число А, то lim f  x   A . Если хотя бы для одной последовательности xn  сходящейся к x0 x  x0 последовательность  f  xn  не имеет предела или имеет предел, но отличающийся от других, то функция y  f  x  в точке x0 предел не имеет. Определение 1.49. (по Гейне) lim f  x   A  xn : n  N xn  x0 lim xn  x0  n x  x0 lim f  xn   A (рис. 27) n  f xn  xn  Рис. 27 Определение 1.50. (по Коши) lim f  x   A  x  x0   0   0  x : 0  x  x0   f  x   A   (рис 28). Рис. 28 Односторонние пределы в точке Определение 1.51. (по Гейне) lim f  x   A  x  x0 0 xn : n  N xn  x0 lim xn  x0  lim f  xn   A n n Определение 1.52. (по Гейне) lim f  x   A  xn : n  N xn  x0 lim xn  x0  n x  x0  0 lim f  xn   A n Определение 1.53. (по Коши) lim f  x   A  x  x0 0   0   0  x :    x  x0  0 f  x   A   Определение 1.54. (по Коши) lim f  x   A  x  x0  0   0   0  x : 0  x  x0   f  x   A   Теорема 1.14. Если существует предел функции f в точке x0 и равен А: lim f  x   A , то существуют пределы функции слева и справа, причем односторонние x  x0 пределы равны пределу функции в точке lim f  x   lim f  x   A x  x0  0 x  x0  0 Бесконечные пределы в точке 1  1 Определение 1.56. lim f  x       0   0  x : 0  x  x0   f  x   x  x0  Определение 1.55. lim f  x       0   0  x : 0  x  x0   f  x   x  x0 Определение 1.57. lim f  x       0   0  x : 0  x  x0   f  x    x  x0 1  Предел функции на бесконечности Определение 1.58. (по Гейне) lim f  x   A  xn : lim xn    lim f xn   A . x  n n Определение 1.59. (по Гейне) lim f  x   A  xn : lim xn    lim f  xn   A . x  n n Определение 1.60. (по Гейне) lim f  x   A  xn : lim xn    lim f xn   A . x  n n Определение 1.61. (по Коши) lim f  x   A    0 с  x  c f  x   A   x  Определение 1.62. (по Коши) lim f  x   A    0 с  x  c f  x   A   x  Определение 1.63. (по Коши) lim f  x   A    0 с  0  x  c f  x   A   . x  Бесконечные пределы на бесконечности Определение 1.64. (по Гейне) lim f  x     xn : lim xn    lim f  xn    . x   n n Определение 1.65. (по Гейне) lim f  x     xn : lim xn    lim f  xn    . x   n n  Определение 1.66. (по Гейне) lim f  x     xn : lim xn    lim f  xn    . x  Определение 1.67. n (по Гейне) n lim f  x     lim f  x     x   xn : lim xn    lim f  xn    . n n Определение 1.68. (по Гейне) lim f  x     x   xn : lim xn    lim f  xn    . n n  Определение 1.69. (по Гейне) lim f  x     x  xn : lim xn    lim f  xn    . n n Определение 1.70. (по Гейне) x   xn : lim xn    lim f  xn    . n n Определение 1.71. (по Гейне) lim f  x     x   xn : lim xn    lim f  xn    . n n  Определение 1.72. (по Гейне) lim f  x     xn : lim xn    lim f  xn    . x  n n 1 x    1 Определение 1.74. (по Коши) lim f  x       0 с  x  c f  x   x    Определение 1.73. (по Коши) lim f  x       0 с  x  c f x   Определение 1.75. (по Коши) lim f  x       0 с  0  x  c f  x   x  1 .  1 x    1 Определение 1.77. (по Коши) lim f  x       0 с  x  c f  x   x    Определение 1.76. (по Коши) lim f  x       0 с  x  c f  x   Определение 1.78. (по Коши) lim f  x       0 с  0  x  c f  x   x  1 .  1  1 Определение 1.80. (по Коши) lim f  x       0 с  x  c f  x    x    Определение 1.79. (по Коши) lim f  x       0 с  x  c f  x    x   1 Определение 1.81. (по Коши) lim f  x       0 с  0  x  c f  x    . x   Теорема 1.15. Если функция y  f  x  имеет предел в точке x0 , то он единственный. Теорема 1.16. Если функция y  f  x  имеет предел в точке x0 , то существует окрестность точки x0 в которой функция ограничена. Теорема 1.17. Пусть функции y  f  x  и y  g  x  определены в окрестности точки x0 , lim f  x   A , lim g  x   B . Тогда: x  x0 x  x0 1) lim  f  x   g  x   A  B , x  x0 2) lim f  x   g  x   A  B , x  x0 f x  A  при B  0 . x  x0 g  x  B Теорема 1.18. Если lim f  x   A , lim g  x   B и для всех х из окрестности точки x0 3) lim x  x0 x  x0 выполняется неравенство f  x   g  x  , то A  B . Теорема 1.19. Если для всех х из окрестности точки x0 lim f  x   lim g  x   A , то lim   x   A . x  x0 x x0 f x    x   g x  , x  x0 y  f t  , Теорема 1.20. Пусть t  g x  , lim g  x   t0 , x  x0 lim f t   A t t0 функция y  f  g  x  определена U  x0  . Тогда lim f  g  x   A . x  x0 Если в теоремах 1.15 – 1.20 заменить x0 на  , то теоремы будут верны. Замечательные пределы sin x 1 x0 x Первый замечательный предел lim х 1  1 Второй замечательный предел lim 1    е или lim 1  х  х  е x  x0  х Эквивалентные бесконечно малые функции Определение 1.82. Две бесконечно малые функции называются эквивалентными,  х   1. если lim  х  Эквивалентные бесконечно малые при х  0 1. sin x  x ; 2. tg x  x ; n 6. 1  х   1  n  x ;   10. a x  1  x ln a ; 3. arcsin x  x ; 7. n 1  х  1   x ; n 4. arctg x  x ; 5. 1  cos x   8. ln 1  x   x ; 9. log a 1  x   x2 ; 2 x ; ln a  11. e x 1  x . Асимптоты кривой Определение 1.83. Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов lim f  x  или lim f  x  равен x  x0  0 бесконечности. x  x0  0 Определение 1.84. Прямая у=у0 называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если lim f  x   у 0 или lim f  x   у 0 . x   x   Определение 1.85. Прямая y  kx  b называется наклонной асимптотой графика f x  функции если lim  f  x   (kx  b)   0 . Причем k  lim , b  lim  f  x   kx  . x  x x x Непрерывность функции и точки разрыва Определение 1.86. Функция f непрерывна в точке х0, если предел функции в точке равен значению функции в этой точке lim f  x   f  x 0  . x  x0 Если в точке функция не является непрерывной, то она терпит разрыв в этой точке. Определение 1.87. Если предел функции y  f  x  в точке x0 существует и неравен значению функции в точке lim f  x   f  x 0  (рис. 29) или функция не определена в этой x  x0 точке, то точка х0 (рис. 30) называется точкой устранимого разрыва. Рис. 29 Рис. 30 Определение 1.88. Если в точке x0 существуют конечные односторонние пределы lim f  x  и lim f  x  , причем lim f  x   lim f  x  (рис. 31), то точка x0 называется x  x0  0 x  x0  0 x  x0  0 x  x0  0 точкой разрыва первого рода (скачок). Величина скачка f  x0  0  f  x0  0 . Не важно равно или нет f  x0  одному из односторонних пределов. Рис. 31 Определение 1.89. Если хотя бы один из односторонних пределов lim f  x  или x  x0  0 lim f  x  равен бесконечности (рис. 32) или не существует (рис. 33), то точку x0 x  x0  0 называют точкой разрыва второго рода. Рис. 32 Рис. 33 Свойства функций, непрерывных в точке Теорема 1.21. Если функция y  f  x  непрерывна в точке x0 , то существует такая окрестность точки x0 в которой функция ограничена. Теорема 1.22. Если функция y  f  x  непрерывна в точке x0 и f  x0   0 ( f  x0   0 ), то существует окрестность точки x0 , что для всех х входящих в эту окрестность выполняется неравенство f  x   0 ( f  x   0 ). Теорема 1.23. Если функции y  f  x  и y  g  x  непрерывны в точке x0 , то f x  функции y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x  и y  ( g  x0   0 ) непрерывны в точке x0 . g x  Теорема 1.24. Если функция t  g  x  непрерывна в точке x0 , функция y  f t  непрерывна в точке t0  g  x0  , то функция y  f  g  x  непрерывна в точке x0 . Непрерывность функций на множестве Определение 1.90. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Теорема 1.25. (I теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на a; b  , то она ограничена на нем. Если функция y  f  x  непрерывна на a; b  , то она ограничена на нем, значит, ограничено множество значений функции, следовательно, существуют m  inf E  f  и M  sup E  f  . Теорема 1.26. (II теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на a; b  , то она достигает на нем своего наименьшего и наибольшего значения, то есть существует точка с  a; b  , такая, что f с   m и существует точка d  a; b  , такая, что f d   M . Теорема 1.27. (I теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на a; b  и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то существует хотя бы одна точка с  a; b  в которой f c   0 . Рис. 34 Теорема 1.28. (II теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на a; b  , причем f a   f b  , тогда для любого числа С, заключенного между числами f a  и f b  , найдется точка с  a; b  в которой f c   C . Следствие. Если функция непрерывна на a; b  и m  inf f  x  , M  sup f  x  , то a;b  a;b  функция y  f  x  на a; b  принимает все значения из m; M  . Метод интервалов. Необходимо решить неравенство f  x   0 , где функция y  f  x  непрерывна на a; b  . Решим уравнение f  x   0 , оно имеет n корней a  x1  x2  ...  xn  b . Можно утверждать, что внутри интервалов a; x1  ,  x1 ; x2  , …, xn ; b  функция y  f x  сохраняет постоянный знак. Поэтому достаточно взять на каждом из интервалов одну пробную точку и посмотреть в ней знак функции. Тот же знак будет иметь функция на всем интервале. Объединим промежутки, на которых f  x   0 и получим решение неравенства. Теорема 1.29. Если функция y  f  x  монотонна и непрерывна на a; b  , тогда на  f a ; f b  определена, монотонна и непрерывна обратная функция x  f 1  y  . Задания 1. Вычислите предел последовательности:  n  0,25 5. lim ; n  8n  1 6. lim 3 n  n    16. lim 2 n  n2 1 ; 14. lim n  n 2 2  n  n 1   17. lim  2 n  2n  n  1    ;  n3  5   24. lim  3 n  n  4    2n  4 n 5 ; n  3n  n  1   29. lim  2 n  2 n  n  1     n 5  ; 28. lim  4 n  n  6    2 x    1.7. lim x   x  1  x 1 ; n2  2n  3n  5   30. lim  2 n 2 n  2n  1     3 n 2 1 n 6 ; 2 x 2  cos x ; x 5x 2  1 1.3. lim  1.5. lim 9 x 4  5 x 2  1  3x 2 ; 1.6. lim 3 2 x  5  5 32 x 5  1 x 4  1  5 x 1 ; 1.8. lim ; 6 x   5 x7 x x7 1  3 x 2  1 x   x 2  2x ; x2  x  2 ; x 3 x 2  2 x  8 1.9. lim x 5  2 x 4  3x 3 3x 2  4 x  1 x 2  x  20 1.10. lim ; 1.11. lim ; 1.12. lim 2 ; x 0 x 5 x 1 x  3 x  2 x 3 1  3x  x 2  25 2x2  7 x  3 x3  7 x  6 x 3  7 x 2  15 x  9 1.13. lim 2 ; 1.14. lim 3 ; 1.15. lim ; x 3 3 x  8 x  3 x2 x  4 x 2  x  6 x 3 x 4  6 x 3  10 x 2  6 x  9 2 sin 2 x  sin x  1 2 x 2  15 x  8 x  17  5 1.16. lim ; 1.17. lim ; 1.18. lim 3 ; 2 x 8 x 8 x 8 x 2 x  2 sin x  3 sin x  1 6 3 x  11  3 x  12  2 x x2  2  3 ; 1.20. lim ; 1.21. ; lim 4 x  2 3 x  1  3 x  3 x4 x 5 x4 x2  6x  5  6 x  5 sin x x sin 3 x 1.22. lim ; 1.23. lim ; 1.24. lim ; x0 5 x x 0 sin 3 x x  0 sin 2 x 1.19. lim ;  n 2  4n  1   ; 27. lim  2 n  n  4 n  5     2n  6n  7  n2 5  32. lim  2 . n  2 n  20 n  1    x  n 2 1 n 8 n 2 ;    2n 2  n ;  n2  6   ; 23. lim  2 n  n  3    2 ; 3  n 6  19. lim  3  n 3n  1   ; ; n2 1. Вычислите предел функции: x3  2 x 2  3x  4 sin 10 x 1.1. lim ; 1.2. lim 2 ; 3 x  x  x  5 1  2x 1.4. lim 3 3 2 n 2 1 n4 26. lim   ; n  n  1   n3 1 n 1 n 1 n n 1 n 3 1 3n  3n  5n  1   31. lim  2 n  3n  3n  2    n   n2  5  22. lim  2  n   n   3 21. lim 1   ; n   n 2 15. lim  n 1  18. lim   n  n  2   ;  n2  3   ; 25. lim  2 n n  5    n5 4  n2 2n3 3n  13  3n  33 ; n  3n  5 2  3n  7 2 12. lim  n  n2  n ; n 3 1 1  n1  20. lim  2  2  ; n  n 6  4. lim 3 2n 2  1 n2  n n  3n  5 ; 7. lim ; 8. lim ; 9. lim 2 n  n  3 n  n  2 n  2 n  3n  2 11. lim n 1  n ; 3n n2 n 1 2n 2 ; n  n 2  1 2n  1 ; n  3n  4 3. lim n  22  n  32 ; n  n  2 2  n  32  n2 n3  10. lim   2  ; n  n  1 n 1  13. lim 1 1  3  2. lim  8  2  ; n  n   1 1. lim 9  ; n  n 1.25. lim sin 8 x ; sin 5 x  sin 3x 1.28. lim sin x  tg x ; x3 x0 x0 1  cos x ; x2 x 1  sin 1  sin x  cos x 2; 1.29. lim ; 1.30. lim x0 x    x 3x 1.26. lim x0 tg 2 x ; x 3 x3  2 sin x  sin a 1.31. lim ; x a xa 2  2 x  1  7  x3  1.32. lim  2 ; x   x  4    1.27. lim x 0 15  x x 1.33. lim 1   ; x 0  3 6 5 x  x x 1.34. lim 1  6 x  6 x 2 12 x ; 1.35. lim 1   . x0 x0  3 2. Вычислите предел с помощь эквивалентных бесконечно малых: arcsin 5 x  tg 2 6 x  tg 3 x arctg 6 x  1  cos x  2.1. lim ; 2.2. lim ; 2.3. lim ; 2 x  0 arcsin x x  0 arctg 3 x  sin 2 x x0 x 2 arcsin 3 x  sin  5 x 5 1  cos x 2 x  1  1 ; 2.6. lim 2  1 ; 2.7. lim 1  sin 3 x  1 ; 2.4. lim ; 2.5. lim x 0 1  3 x  1 x0 x  0 ln 1  tg 2 x  x  0 log 1  x  x4 2 3 x 1 log 5 1  sin 3 x  cos3 3x  1 6  x 1 sin 7x 2.8. lim ; 2.9. lim ; 2.10. lim ; 2.11. lim . tg x 2 x0 x  x  5 x  1 3 1 sin 2 x sin 2x 3 4  x 3. Найдите асимптоты кривой: x2 1 3  2x2 2 x 3  3x 2  x  1 2x 1 x2 3.1. y  ; 3.2. y  ; 3.3. y  ; 3.4. y  ; x 1 x x 2  4x  3 7 x  2x2  4 cos 2 x  6 x 2 x2  5 3.5. y  ; 3.6. y   2x ; 3.7. y  x 2  x . x2  9 x2 1 4. Постройте график функции, найдите точки разрыва и классифицируйте их: x x x3 1 4.1. f ( x)  sign x ; 4.2. f ( x)  2 ; 4.3. f ( x)  ; x x 1  x 3  1, x  1,   x 2  4 x  6, если x  2,  x,  1  x  0  4.4. f ( x)   2 ; 4.5. f ( x )  log 2 2  x , если 2  x  2, . sin  x  2 , если x  2.  x , 0  x  1,   2, x  1. 2  x 1 5. Доопределить функцию f ( x )  так, чтобы она стала непрерывной. x 1