Понятия математических моделей и методов. Этапы построения экономико-математических моделей

Дисциплина: « Мат емат ические мет оды в экономике» 1 Лектор: Доцент кафедры экономической кибернетики Светлова Галина Николаевна 2 Лит ерат ура 3 1. Красс, 2007. М.С.Математические методы и модели. М.: Финансы и статистика 2. Красс М.С.,Чупрынов Б.П. Основы математики. М.: Финансы и статистика, 2005. 3. Кремер Н.Ш. и др. Исследование операций в экономике. М.: ЮНИТИ, 1997, 2003, 2004. 4.Экономико-математические методы и модели. Под ред. С.И.Макарова и С.А.Севастьяновой.-2-е изд., перераб. и доп. – М.:Финансы и статистика, 2003. 5. Лядина Н.Г., Ермакова Е.А., Светлова Г.Н. и др. Математические методы в экономике. Линейное и дискретное программирование: Практикум. М.: Изд-во Р ГАУ –МСХА им. Тимирязева, 2009. 6. Лядина Н.Г., Ермакова Е.А., Светлова Г.Н., Уразбахтина Л.В. Математические методы в экономике. Нелинейное программирование и модели исследования операций : Практикум. М.: Изд-во РГАУ –МСХА им. Тимирязева, 2012. 7. Лядина Н.Г., Ермакова Е.А., Уразбахтина Л.В. Математические методы в экономике АПК. Нелинейное и выпуклое программирование. Учебное пособие. М.: Изд-во РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева, 2012. 4 Лекция 1. Мат емат ические мет оды и модели в экономике 5 План 1. Понятия математических моделей и методов. 2. Этапы построения экономикоматематических моделей. 3.Классификация задач исследования операций. 4. Основные понятия и определения линейного программирования. 6 1 Мет од (от греческого слова methodos – путь исследования) представляет собой способ (совокупность приемов, операций) достижения какойлибо цели, решения конкретной задачи. 7 Оптимальное решение - это наилучшее решение из всех допустимых с точки зрения выбранного критерия. Процесс выбора наилучшего варианта решения называется оптимизацией. 8 Модель – это образ какого-либо процесса (явления, системы), используемый в качестве его заменителя 9 Мат емат ическая модель – это система математических соотношений в абстрактной форме описывающих существенные свойства изучаемого процесса или системы. 10 Экономикомат емат ическая модель ( по В.С.Немчинову) – концентрированное выражение наиболее существенных взаимосвязей и закономерностей изучаемой экономической системы в математической форме. 11 Эт апы пост роения 2 экономико-мат емат ических 1. Изучение проблемы, важнейших моделей черт и свойств моделируемого процесса (объекта, системы) и постановка задачи. 2. Построение математической модели. 3. Подготовка исходной информации . 4. Выбор метода и численное решение модели. 5. Анализ численных результатов и их применение. 12 Мат емат ическое программирование – это раздел математики, который занимается изучением методов решения задач управления, планирования на нахождение максимального или минимального значения функции 13 Основны е переменны е (неизвест ны е), которые обозначаются Xj, где j =1, 2, ..., n (или j = 1 ÷ n). 14 Ограничение - это математическое выражение, связывающее переменные в виде равенств или неравенств. Все ограничения образуют сист ему ограничений задачи. 15 Целевой ф ункцией называется математическое выражение, для которого требуется найти экстремальное (то есть максимальное или минимальное) значение, например, max Z = n C j X j j 1 где Cj- коэффициент целевой функции. 16 3 17 Задачи линейного программирования - общая задача линейного программирования, которая решается симплексным методом 18 - Транспорт ная задача (метод потенциалов) 19 - ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 20 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 21 Нелинейное программирование 22 - дробно-линейное программирование - задача квадратичного программирования -динамическое программирование … 23 Специальны е модели исследования операций - теория игр - сетевое планирование и управление - системы массового обслуживания -управление запасами … 24 4 Основны е определения линейного программирования 25 Задача линейного программирования состоит из целевой ф ункции, сист емы ограничений и условий неот рицат ельност и переменны х. 26 ОГРАНИЧЕНИЯ Например, при i = 1, 2,...m. n  aij x j aio j 1 n  aij x j aio j 1 n  aij x j aio j 1 27 Условия неот рицат ельност и переменны х записываются в виде xj ≥ 0 , j = 1, 2, ..., n, (или j = 1 ÷ n). 28 Мат емат ическая запись задачи линейного n программирования max Z   C j j 1 x j n   aij x j aio , i 1,2,..., m   j 1  x 0, j 1,2,..., n j  29 Исходная запись max Z = 75x1 + 32x2 + 18x3  9,1 x1  2,2 x2  6,4 x3 2,7 4,2 x  0,1x 9,0  1 3   2,8 x1  6,3 x2  8,7 x3 0  x1 0; x2 0; x3 0 30 Каноническая форма задачи линейного программирования содержит целевую функцию, все ограничения равенства, все переменные неотрицательные. 31 Каноническая ф орма записи max Z = 3 x1 + 4 x2 + 0 x3 + 0 3 x1  4 xx2  x3 12 4  2 x1  3x2  x4 6  x 0; j 1 4  j 32 Переменная, коэффициенты которой образуют единичный вектор-столбец, называется базисной. 33 Число базисных решений не превышает числа сочетаний из n по m, где n - число переменных, а m - число линейно независимых ограничений n! C  m!(n  m)! m n 34 Задача. Фирма производит две модели изделий, на изготовление которых расходуется сырье А и В. Данные по расходу представлены в таблице. Вид сырья Расход на единицу изделий Запасы сырья Модель №1 Модель №2 А 2 2 12 В 1 2 8 Прибыль от реализации ед. изделий, ден. ед. 2 4 Сколько изделий каждой модели надо производить, чтобы получить максимум прибы ли. 35 Исходная ф орма записи 1.По использованию сырья А: 2х1+2х2<=12 2. По использованию сырья В: х1+2х2<=8 Условия неотрицательности переменных: Х1>=0, Х2>=0 Целевая функция: максимум прибыли Max Z=2х1+4х2 36 Каноническая ф орма записи 1.По использованию сырья А: 2х1+2х2+х3=12 2. По использованию сырья В: х1+2х2+х4=8 Условия неотрицательности переменных: Х1>=0, Х2>=0, Х3>=0, Х4>=0 Целевая функция: максимум прибыли Max Z=2х1+4х2+0х3+0х4 37 Основная матрица системы ограничений  х1  2 1  х2 х3 2 1 2 х4   0 1  Базисные переменные : х3, х4 Свободные переменные: х1, х2 38 Базисное решение: Х (0,0,12,8) Опорное решение: Х (0,0,12,8) 39 Фундамент альная т еорема: Если область допустимых решений задачи линейного программирования непустая, выпуклая, ограниченная, то задача всегда имеет оптимальное решение, совпадающее хотя бы с одной из вершин области допустимых решений или с одним из опорных решений системы ограничений задачи. 40