Понятие производной, её геометрический и механический смысл

Понятие производной, её геометрический и механический смысл 1. Задача о касательной. Пусть дана некоторая кривая 𝑦 = 𝑓(𝑥). Возьмём на кривой точку 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) и дадим абсциссе этой точки приращение ∆𝑥. Тогда функция получит приращение ∆𝑦 = ∆𝑓 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0 ). От точки М0 перейдём к точке 𝑀(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥)). Угловой коэффициент секущей М0 М 𝑘сек = 𝑡𝑔𝜑 = 𝑡𝑔∠𝑀𝑀0 𝑁 = 𝑀𝑁 𝑀0 𝑁 = 𝛥𝑦 𝛥𝑥 . Если приращение аргумента 𝛥𝑥 стремится к нулю, то точка М стремится по кривой к точке М0. При этом секущая примет некоторое предельное положение. Определение. Касательной к кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке М0 называется предельное положение секущей М0 М: 𝑀0 𝑇, когда точка М, двигаясь по кривой, стремится к точке М0 . При стремлении 𝛥𝑥 к нулю угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной 𝛥𝑦 . 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝑘кас = 𝑡𝑔𝛼 = 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑔𝜑 = 𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑥→0 2. Задача о скорости. Положение точки, движущейся прямолинейно, определяется её расстоянием, отсчитываемым от некоторой начальной точки, – пройденным путём. Уравнение движения точки: 𝑠 = 𝑠(𝑡), где 𝑡 – время движения. Дадим переменной 𝑡 некоторое 1 приращение 𝛥𝑡. За промежуток времени 𝛥𝑡 приращение пути составит 𝛥𝑠 = 𝑠(𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝑠(𝑡). Отношение 𝛥𝑠 𝛥𝑡 = 𝑣ср – средняя скорость точки за время 𝛥𝑡. Скоростью точки в момент времени 𝑡 (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость 𝑣ср , за промежуток времени 𝛥𝑡, стремящийся к нулю. 𝑣мгн = 𝑙𝑖𝑚 𝑣ср = 𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑡→0 𝛥𝑠 𝛥𝑡→0 𝛥𝑡 . Сопоставляя операции, проводимые в первой и второй задаче, можно увидеть, что, по существу, проводились одни и те же шаги: независимой переменной давалось приращение, находилось соответствующее приращение функции, отношение приращения функции к приращению аргумента и затем вычислялся предел этого отношения при стремлении к нулю приращения аргумента. Таким образом, приходим к основному понятию дифференциального исчисления – производной. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена на множестве Х, и 𝑥0 – точка множества Х. Дадим 𝑥0 приращение 𝛥𝑥 так, чтобы точка 𝑥0 + 𝛥𝑥 не вышла за границы множества Х. Найдём приращение функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 : 𝛥𝑓 = 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥0 ). Составим отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента 𝛥𝑓 𝛥𝑥 . Определение. Производной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 называется конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. 𝑦′ = 𝑓′(𝑥0 ) = 𝑑𝑓 𝛥𝑓 = 𝑙𝑖𝑚 𝑑𝑥 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 Процесс отыскания производной функции называется дифференцированием функции. Для того чтобы найти производную функции в точке нужно: 1) вычислить значение функции в этой точке, 2) найти значение аргумента, полученное при приращении аргумента 𝛥𝑥; 3) вычислить значение функции в полученной точке; 4) найти приращение функции в заданной точке; 5) найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Если он существует и конечен, 2 то он является значением производной в заданной точке. Исходя из рассмотренных задач о касательной и о скорости, можно сформулировать геометрический и механический смысл производной. Геометрический смысл производной: производная функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥 численно равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведённой к кривой в точке с абсциссой 𝑥. 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘 = 𝑡𝑔𝛼. Механический смысл производной: мгновенная скорость движущейся прямолинейно материальной точки численно равна производной от пути по времени. 𝑠 ′ (𝑡) = 𝑣(𝑡). Уравнение касательной, проходящей через точку (𝑥0 , 𝑦0 ): 𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) Определение. Нормалью к кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке М называется прямая, проходящая через эту точку, перпендикулярно касательной, проведённой к кривой в точке М. Уравнение нормали, проходящей через точку (𝑥0 , 𝑦0 ): 𝑦 − 𝑦0 = − 1 (𝑥 − 𝑥0 ). 𝑓 ′ (𝑥0 ) Понятие функции, дифференцируемой в точке Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена в (𝑎, 𝑏), и пусть в точке 𝑥0 этого интервала функция имеет конечную производную, отличную от нуля. Определение. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется дифференцируемой в точке 𝑥0 , если её приращение в этой точке можно записать в виде 𝛥𝑓 = 𝐴 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝛼(𝛥𝑥) ⋅ 𝛥𝑥, где 𝐴 – действительное число, отличное от нуля, 𝛼(𝛥𝑥) – бесконечно малая функция при 𝛥𝑥 → 0. Теорема. Для того чтобы функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Доказательство. Необходимость. Дано: функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥0 . Доказать, что в этой точке 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет конечную производную. Доказательство. Исходя из определения дифференцируемой функции её приращение в точке 𝑥0 может быть записано в виде 𝛥𝑓 = 𝐴 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝛼(𝛥𝑥) ⋅ 𝛥𝑥. 3 Разделим обе части этого равенства на 𝛥𝑥 и вычислим предел полученного отношения при 𝛥𝑥 → 0. 𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑓 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 (𝐴 + 𝛼(𝛥𝑥)) = 𝐴 + 0 = 𝐴. По определению производной 𝑓′(𝑥) = 𝐴. 𝛥𝑥→0 Достаточность – самостоятельно! Функция, имеющая конечную производную в точке 𝑥0 , дифференцируема в этой точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с её непрерывностью. Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥0 , то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в точке 𝑥0 , следовательно, приращение функции в этой точке может быть записано в виде: 𝛥𝑓 = 𝑓 ′ (𝑥0 )𝛥𝑥 + 𝛼(𝛥𝑥)𝛥𝑥. Если 𝛥𝑥 → 0, то 𝛥𝑓 → 0, то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, что, по определению означает, что функция непрерывна в точке 𝑥0 . Утверждение, обратное данному, не выполняется. Пример. Функция 𝑦 = |𝑥| непрерывна в точке 𝑥 = 0, но не дифференцируема в ней. Найдём приращение функции в указанной точке: 𝛥𝑦(0) = 𝑦(0 + 𝛥𝑥) − 𝑦(0) = |𝛥𝑥| − |0| = |𝛥𝑥|. Найдём предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 𝛥𝑥 → 0: |𝛥𝑥| 1, 𝛥𝑥 → +0, ={ −1, 𝛥𝑥 → −0. 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝑙𝑖𝑚 Правила дифференцирования 1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций. ′ (𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥)) = 𝑢′ (𝑥) ± 𝑣 ′ (𝑥). Доказательство (по определению производной) – для суммы двух функций. 𝑦 = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥), 𝛥𝑦 = (𝑢(𝑥 + 𝛥𝑥) + 𝑣(𝑥 + 𝛥𝑥)) − (𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)), 4 𝛥𝑦 (𝑢(𝑥 + 𝛥𝑥) + 𝑣(𝑥 + 𝛥𝑥)) − (𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚 = 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝑢(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑣(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 + 𝑙𝑖𝑚 = 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝛥𝑥 𝛥𝑢 𝛥𝑣 = 𝑙𝑖𝑚 + 𝑙𝑖𝑚 = 𝑢′(𝑥) + 𝑣′(𝑥) 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝑙𝑖𝑚 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется ′ по формуле (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)) = 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥). Доказательство (по аналогии с предыдущим) Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной. ′ Если 𝑦 = 𝑓(𝑥) – дифференцируемая функция, 𝑘 – константа, то (𝑘𝑓(𝑥)) = 𝑘𝑓 ′ (𝑥). Следствие 2. Производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна производной первого множителя, умноженной на все остальные сомножители, плюс производная второго множителя, умноженная на остальные сомножители, плюс и т. д., плюс производная последнего множителя, умноженная на все остальные множители. 3. Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по 𝑢(𝑥) ′ формуле ( ) = 𝑣(𝑥) 𝑢′ 𝑣−𝑢𝑣 ′ 𝑣2 . Производная обратной функции Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) в интервале (𝑎; 𝑏) имеет производную, не обращающуюся в этом интервале в нуль, а 𝑥 = 𝜑(𝑦) – функция, обратная для функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Теорема. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет конечную производную, отличную от 1 нуля, тогда обратная функция 𝑥 = 𝜑(𝑦) имеет производную 𝑥 ′ = ′ . 𝑦 Производная сложной функции Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑢) дифференцируема во множестве U, а функция 𝑢 = 𝜑(𝑥) дифференцируема во множестве 𝑋, при этом каждому значению 𝑥 ∈ Х соответствует 𝜑(𝑥) ∈ 𝑈. 𝑦 = 𝑓[𝜑(𝑥)] Теорема о производной сложной функции. Производная сложной функции по независимой переменной равна производной функции промежуточного аргумента по этому аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по 5 независимой переменной. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦𝑥′ = 𝑓𝑢′ ⋅ 𝑢𝑥′ = 𝑑𝑓 𝑑𝑢 ⋅ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 . Доказательство. Пусть 𝑥0 – произвольная точка множества X. Дадим этой точке произвольное приращение 𝛥𝑥 так, чтобы точка 𝑥0 + 𝛥𝑥 не вышла за границы множества Х. Найдём приращение функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 : 𝛥𝑓 = 𝑓(𝑢(𝑥0 + 𝛥𝑥)) − 𝑓(𝑢(𝑥0 )). Обозначим 𝑢(𝑥0 ) = 𝑢0 ∈ 𝑈, 𝑢(𝑥0 + 𝛥𝑥) = 𝑢0 + 𝛥𝑢. Так как функция 𝑦 = 𝑓(𝑢) дифференцируема во множестве U, то её приращение в точке 𝑢0 можно записать: 𝛥𝑓 = 𝑓 ′ (𝑢0 )𝛥𝑢 + 𝛼(𝛥𝑢) ⋅ 𝛥𝑢. Из дифференцируемости функции 𝑢 = 𝜑(𝑥) следует, что её приращение в точке 𝑥0 можно записать 𝛥𝑢 = 𝑢′ (𝑥0 )𝛥𝑥 + 𝛽(𝛥𝑥)𝛥𝑥. Тогда приращение функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 примет вид 𝛥𝑓 = 𝑓 ′ (𝑢0 )𝑢′ (𝑥0 )𝛥𝑥 + 𝛾(𝛥𝑥)𝛥𝑥, следовательно, функция 𝑦 = 𝑓[𝜑(𝑥)] дифференцируема в точке 𝑥0 , и её производная будет равна 𝑑𝑓(𝑢(𝑥) 𝛥𝑓 = 𝑙𝑖𝑚 = 𝑓 ′ (𝑢0 ) ⋅ 𝑢′ (𝑥0 ). 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝑑𝑥 Что и требовалось доказать. Производная сложной функции равна произведению производных от функций её составляющих. Таблица производных элементарных функций 1. (𝐶)′ = 0 2. (𝑥)′ = 1 3. (𝑢𝛼 )′ = 𝛼𝑢𝛼−1 ⋅ 𝑢′ ′ 4. (√𝑢) = 1 ′ 1 2√𝑢 1 ⋅𝑢 10. (𝑠𝑖𝑛 𝑢)′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 ⋅ 𝑢′ 11. (𝑐𝑜𝑠 𝑢)′ = − 𝑠𝑖𝑛 𝑢 ⋅ 𝑢′ 1 12. (𝑡𝑔 𝑢)′ = 2 ⋅ 𝑢′ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 ′ ′ 13. (𝑐𝑡𝑔 𝑢) = − 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑢 1 5. ( ) = − 2 ⋅ 𝑢′ 𝑢 𝑢 14. (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑢)′ = 6. (𝑎𝑢 )′ = 𝑎𝑢 𝑙𝑛 𝑎 ⋅ 𝑢′ 15. (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑢)′ = − 7. (𝑒 𝑢 )′ = 𝑒 𝑢 ⋅ 𝑢′ 16. (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢)′ = 8. (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢)′ = 1 𝑢 𝑙𝑛 𝑎 1 ⋅ 𝑢′ 𝑢 ⋅ 𝑢′ ⋅ 𝑢′ √1−𝑢2 1 ⋅ 𝑢′ √1−𝑢2 1 ⋅ 𝑢′ 1+𝑢2 1 17. (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑢)′ = − 1+𝑢2 ⋅ 𝑢′ ⋅ 𝑢′ 9. (𝑙𝑛 𝑢)′ = Вывод формулы 1 𝑦 = 𝐶, 𝐷(𝑦) = 𝑅, 𝑋 = 𝑅 1) 𝑦(𝑥0 ) = 𝐶, 2) 𝑥0 + 𝛥𝑥 ∈ 𝑅; 6 3) 𝑦(𝑥0 + ∆𝑥) = 𝐶; 4) ∆𝑦 = 𝑦(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑦(𝑥0 ) = 𝐶 − 𝐶 = 0; 5) lim Δ𝑦 ∆𝑥→0 Δ𝑥 = lim ∆𝑥→0 Δ𝑥 = 0. 𝐶 ′ = 0 Логарифмическое дифференцирование Метод логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала обе части равенства 𝑦 = 𝑓(𝑥) логарифмируют по основанию 𝑒, а затем обе части равенства дифференцируют по 𝑥, помня при этом, что 𝑦 является функцией от 𝑥. Из полученного соотношения выражают 𝑦 ′ . Дифференцирование показательно-степенной функции Метод логарифмического дифференцирования удобно применять при дифференцировании показательно-степенной функции – функции 𝑦 = [𝑢(𝑥)]𝑣(𝑥) , где 𝑢(𝑥) – положительная функция. 𝑦 = [𝑢(𝑥)]𝑣(𝑥) . 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑣 ⋅ 𝑙𝑛 𝑢, (𝑙𝑛 𝑦)′ = (𝑣 ⋅ 𝑙𝑛 𝑢)′𝑥 = 𝑣′ 𝑙𝑛 𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑢′ 𝑢 𝑦′ 𝑢′ = 𝑣 ′ 𝑙𝑛 𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑦 𝑢 𝑢′ Следовательно, 𝑦′ = 𝑦 ⋅ (𝑣′ 𝑙𝑛 𝑢 + 𝑣 ⋅ ), 𝑢 𝑦′ = 𝑢𝑣 ⋅ 𝑣′ ∙ 𝑙𝑛 𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑢𝑣−1 ∙ 𝑢′. Для того чтобы продифференцировать показательно-степенную функцию, нужно продифференцировать её как показательную функцию и прибавить производную этой функции как степенной. Производные функций, заданных неявно уравнением 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎 Для нахождения производной функции, заданной неявно уравнением 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, нужно продифференцировать по переменной 𝑥 обе части уравнения, задающего функцию, рассматривая 𝑦 как функцию от 𝑥. Затем из полученного равенства выразить 𝑦′. Производные высших порядков Определение. Производной второго порядка функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется производная от производной первого порядка. Обозначение 𝑦 ″ , 𝑓 ″ (𝑥), 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 . 7 Определение. Производной n-го порядка функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется производная от производной (n-1)-го порядка. Обозначение 𝑦 (𝑛) , 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥 𝑛 . Механический смысл второй производной: мгновенное ускорение движущейся неравномерно материальной точки численно равно второй производной от пути по времени: 𝑠"(𝑡0 ) = 𝑎(𝑡0 ) . Производные функций, заданных параметрически { 𝑥 = 𝜑(𝑡), 𝑡 ∈ (𝛼, 𝛽). (1) 𝑦 = 𝜓(𝑡). Теорема. Если функции 𝑥 = 𝜑(𝑡) и 𝑦 = 𝜓(𝑡) имеют производные 𝑥 ′ = 𝜑 ′ (𝑡) и 𝑦 ′ = 𝜓 ′ (𝑡), причём 𝜑 ′ (𝑡) ≠ 0. Тогда функция 𝑦 = 𝑦(𝑥) имеет производную, которая вычисляется по формуле 𝑑𝑦 𝑦𝑡′ 𝜓 ′ (𝑡) ′ = 𝑦𝑥 = ′ = ′ 𝑑𝑥 𝑥𝑡 𝜑 (𝑡) Доказательство. Так как функция 𝑥 = 𝜑(𝑡) дифференцируема на (𝛼, 𝛽), тогда она непрерывна на этом множестве. Обозначим (𝑎, 𝑏) – множество значений этой функции. Тогда она имеет обратную функцию 𝑡 = 𝑡(𝑥) = 𝜑 −1 (𝑥). Так как 𝜑 ′ (𝑡) ≠ 0, тогда производная обратной функции будет равна 𝑡𝑥′ = 1 (2). 𝜑 ′ (𝑡) Любому 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) соответствует 𝑡 ∈ (𝛼, 𝛽), которому в свою очередь соответствует 𝑦 = 𝜓(𝑡) = 𝑦(𝑡(𝑥)). Подставим 𝑡 = 𝜑 −1 (𝑥) во второе уравнение системы (1), получим 𝑦 = 𝜓(𝜑 −1 (𝑥)). Это говорит о том, что система уравнений (1) определяет 𝑦 как функцию от 𝑥, обозначим её 𝑦 = 𝑓(𝑥). В таком случае говорят, что функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) задана параметрически. Её производная 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝜓 ′ (𝑡) = ⋅ = . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝜑 ′ (𝑡) Производная второго порядка функции, заданной параметрически ′ ′ 𝑑2𝑦 𝑑 𝜓 ′ (𝑡) 𝜓 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 𝜓 ′ (𝑡) 1 𝜓 ″ (𝑡)𝜑 ′ (𝑡) − 𝜓 ′ (𝑡)𝜑 ″ (𝑡) = =[ ′ ] ⋅ ′ = ( )=[ ′ ] ⋅ (𝜑 ′ (𝑡))3 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝜑 ′ (𝑡) 𝜑 (𝑡) 𝑑𝑥 𝜑 (𝑡) 𝜑 (𝑡) Односторонние производные Пусть в интервале (𝑎, 𝑏) определена непрерывная функция 𝑦 = 𝑓(𝑥). 8 Определение. Правосторонней производной (правой производной) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю справа, оставаясь при этом больше нуля. 𝛥𝑓 𝛥𝑥→+0 𝛥𝑥 𝑦+′ = 𝑙𝑖𝑚 Определение. Левосторонней производной (левой производной) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю слева, оставаясь при этом меньше нуля. 𝛥𝑓 𝛥𝑥→−0 𝛥𝑥 𝑦−′ = 𝑙𝑖𝑚 Теорема. Для того чтобы функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали конечные односторонние производные, равные между собой. В соответствующих точках график функции имеет одностороннюю касательную. Функция 𝑦 = |𝑥| непрерывна в точке 𝑥 = 0, но не дифференцируема в ней. Правосторонняя производная функции в точке 𝑥 = 0 равна 1, а левосторонняя -1. Бесконечные производные Если отношение приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, стремится к +∞ или −∞, то это несобственное число называют бесконечной производной. Геометрическое истолкование бесконечной производной: касательная к кривой в этом случае параллельна оси ординат. В случае а) производная равна +∞, в случае б) −∞ (обе односторонние производные совпадают по знаку), в случаях в) и г) односторонние производные различаются знаками. 9