Понятие об электромагнитном поле.Уравнения Максвелла.

Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà Ãëàâà 1 15  Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 1.1. Êîðïóñêóëÿðíûé è êîíòèíóàëüíûé ïîäõîäû ê îïèñàíèþ ìàòåðèàëüíûõ îáúåêòîâ. Ôèçè÷åñêèå ïîëÿ .......................................................................................................................................... 16 1.2. Õàðàêòåðèñòèêè ôèçè÷åñêèõ ïîëåé. Ïîíÿòèå î ïîòîêàõ è öèðêóëÿöèÿõ ................................................................................................................................................................................ 18 1.3. Óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè â ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìàññû, ÷èñëà ÷àñòèö è ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ......................................................................................... 23 1.4. Ïåðåõîä îò «äàëüíîäåéñòâèÿ» ê «áëèçêîäåéñòâèþ» â ñèñòåìå íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ. Ïîíÿòèå îá ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå .......................................................................................... 26 1.5. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ. Èíâàðèàíòíîñòü çàêîíà Ãàóññà ................................................................................................................................................................................................. 29 1.6. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïðèðîäà ìàãíèòíîãî ïîëÿ .......................................................................................... 32 1.7. Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè è òîê ñìåùåíèÿ ....................................................................................... 40 1.8. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â âàêóóìå .......................................................................................... 42 1.9. Âåêòîðû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñïëîøíîé ñðåäå ............................................................... 47 1.10. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ ñïëîøíîé ñðåäû ........................................................... 54 1.11. Ýëåêòðîäèíàìè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ ìàòåðèàëüíûõ ñðåä ............................................ 55 1.12. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ìàòåðèàëüíûõ ñðåä ............................................................................................................................................................... 58 1.13. Óðàâíåíèå áàëàíñà ìîùíîñòåé â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ........................................................................................................................... 62 1.14. Âíóòðåííèå è âíåøíèå çàäà÷è ýëåêòðîäèíàìèêè ...................................................................... 65 1.15. Ñòàöèîíàðíîå ïîëå, ýëåêòðîñòàòèêà è ìàãíèòîñòàòèêà ..................................................... 66 16 ÃËÀÂÀ 1 Ãëàâà 1. Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 1.1. Êîðïóñêóëÿðíûé è êîíòèíóàëüíûé ïîäõîäû ê îïèñàíèþ ìàòåðèàëüíûõ îáúåêòîâ. Ôèçè÷åñêèå ïîëÿ  ñîâðåìåííîé ôèçèêå ïðè îïèñàíèè çàêîíîâ ïðèðîäû èñïîëüçóþòñÿ äâà ïîäõîäà.  ðàìêàõ ïåðâîãî ïîäõîäà àíàëèç ÿâëåíèÿ ïðîâîäèòñÿ íà îñíîâå ïðîñòåéøåé ìîäåëè âåùåñòâà — ìîäåëè ÷àñòèöû (êîðïóñêóëû). Òàêîé ïîäõîä íàçûâàåòñÿ êîðïóñêóëÿðíûì. Êîðïóñêóëÿðíûé ïîäõîä ïîçâîëèë íå òîëüêî óñòàíîâèòü ìíîãèå ôóíäàìåíòàëüíûå çàêîíû ïðèðîäû, íî è îïèñàòü äâèæåíèå ñèñòåì âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ïðè íàëè÷èè âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.  îñíîâå òàêîãî àíàëèçà ëåæèò âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ êàæäîé èç ïîäîáíûõ ñèñòåì â âèäå ñîâîêóïíîñòè íåçàâèñèìûõ «÷àñòèöåïîäîáíûõ» îáúåêòî⠗ «êâàçè÷àñòèö», ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ «êîëëåêòèâíîå äâèæåíèå â ñèñòåìàõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ» ÷àñòèö. Ïðè ýòîì «êâàçè÷àñòèöû» äåëÿòñÿ íà äâå êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûå ãðóïïû — èíäèâèäóàëüíûå è ñóùåñòâåííî êîëëåêòèâíûå. Èíäèâèäóàëüíûå «êâàçè÷àñòèöû» (èëè ïðîñòî ÷àñòèöû) ìîæíî ââåñòè, íàïðèìåð, äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö (ôîòîíîâ, ýëåêòðîíîâ è äð.). Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ìîäåëè êîëëåêòèâíûõ «êâàçè÷àñòèö» ìîãóò ñëóæèòü ýëåìåíòû èäåàëüíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¸òêè òâ¸ðäîãî òåëà. Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåø¸òêà íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé, åñëè ïðè å¸ ðàññìîòðåíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ëþáûìè îòêëîíåíèÿìè îò ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðû â ïðîñòðàíñòâåííîì ðàñïîëîæåíèè îáðàçóþùèõ å¸ ÷àñòèö (àòîìîâ, ìîëåêóë, èîíîâ), íåîãðàíè÷åííîé â òð¸õ èçìåðåíèÿõ. Òàêèì îáðàçîì, â èäåàëüíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¸òêå ÷àñòèöû îáðàçóþò ïðîñòðàíñòâåííóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó. Åñëè äàëåå ïðåíåáðå÷ü êîíå÷íîñòüþ ðàçìåðîâ è âíóòðåííåé ñòðóêòóðîé ÷àñòèö, ìû ïðèõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè ñâÿçàííûõ íåïîäâèæíûõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ ïåðèîäè÷åñêè â ïðîñòðàíñòâå. Òàêàÿ ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü îïèñûâàåò èäåàëüíóþ êðèñòàëëè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, à å¸ ýëåìåíòû åñòü ñóùåñòâåííî êîëëåêòèâíûå «êâàçè÷àñòèöû».  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà N ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö (ñîðòà ÷àñòèö), îáðàçóþùèõ îäèí èäåàëüíûé êðèñòàëë (ïåðèîä) êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¸òêè, ââîäÿò ñîâîêóïíîñòü N íîðìàëüíûõ ìîä èëè «êâàçè÷àñòèö» ñóùåñòâåííî êîëëåêòèâíîãî òèïà.  ðåàëüíûõ (íåèäåàëüíûõ) îáúåêòàõ ïðè ãðîìàäíîì ÷èñëå ÷àñòèö ( 1 !!  ), ïîäîáíûå «êâàçè÷àñòèöû», âõîäÿùèå â îáúåêò, íå îáëàäàþò âíåøíèìè ïðèçíàêàìè ðåàëüíûõ ÷àñòèö è, â ÷àñòíîñòè, «ðàçìàçàíû» ïî êîíå÷íîìó îáú¸ìó '9 . Ìîäåëü ÷àñòèöû (êîðïóñêóëû) ê òàêèì îáúåêòàì ÿâíî íåïðèìåíèìà. Òðóäíîñòè åù¸ áîëåå âîçðàñòàþò, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ÷àñòèöû â ìàêðîñêîïè÷åñêîì îáúåêòå äâèæóòñÿ, êàê ïðàâèëî, õàîòè÷åñêè. Ïîýòîìó òî÷íîå çàäàíèå ñîñòîÿíèÿ êàæäîé èç íèõ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íåâîçìîæíî. Âñ¸ ýòî âûíóæäàåò îòêàçàòüñÿ îò ìîäåëè ÷àñòèöû (êîðïóñêóëû) è îáðàòèòüñÿ ê äðóãîé èäåàëèçèðîâàííîé ìîäåëè âåùåñòâà — ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû (êîíòèíóóìà). Âïåðâûå òàêóþ ìîäåëü âåùåñòâà ââåëè, ïî-âèäèìîìó, Ðåíå Äåêàðò è Ìàéêë Ôàðàäåé. Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 17  ýòîé ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷àñòèöû ðàñïîëîæåíû ñòîëü òåñíî ( 1 o f ), ÷òî äèñêðåòíàÿ ñòðóêòóðà âåùåñòâà íå ïðîÿâëÿåòñÿ. Òåì ñàìûì ìîäåëè êîíòèíóóìà è êîðïóñêóëû êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íû è âçàèìíî ïðîòèâîïîëîæíû. Ââåäåíèå ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû (êîíòèíóóìà) ïðè îïèñàíèè ÿâëåíèé ïðèðîäû îáîñíîâûâàåòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, äâóìÿ îáñòîÿòåëüñòâàìè. Âî-ïåðâûõ, ýòà ìîäåëü äîâîëüíî óíèâåðñàëüíà, èáî â îïðåäåë¸ííûõ óñëîâèÿõ ëþáûå ìàòåðèàëüíûå îáúåêòû ñ áîëüøèì ÷èñëîì ÷àñòèö 1 !!  , âêëþ÷àÿ ãàçû è ãàçîïîäîáíûå ñèñòåìû, ìîãóò òðàêòîâàòüñÿ êàê ñïëîøíàÿ ñðåäà ( 1 o f ). Áîëåå òîãî, ýòà ìîäåëü ïîçâîëÿåò îïèñàòü è ñàìî ôóíäàìåíòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå, îñóùåñòâëÿåìîå ÷åðåç ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Âî-âòîðûõ, îíà âñ¸-òàêè äîâîëüíî ïðîñòà, èáî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñïëîøíóþ ñðåäó âñåãî äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ëîêàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè — ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò è âðåìåíè, ÷åðåç êîòîðûå íàõîäÿòñÿ îñòàëüíûå åãî (ñîñòîÿíèÿ) õàðàêòåðèñòèêè. Òàêèì îáðàçîì, ïðè îïèñàíèè ÿâëåíèé ïðèðîäû ñóùåñòâóåò äóàëèçì, ñâÿçàííûé ñ äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ìîäåëÿìè âåùåñòâà: êîðïóñêóëÿðíîé ìîäåëüþ è ìîäåëüþ ñïëîøíîé ñðåäû. Ïîëå (â òîì ÷èñëå è ýëåêòðîìàãíèòíîå) ââîäèòñÿ êàê íåêàÿ êîíòèíóàëüíàÿ (óñðåäí¸ííàÿ) õàðàêòåðèñòèêà èäåàëèçèðîâàííîé ìîäåëè âåùåñòâà — ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû. Äâóì óêàçàííûì ìîäåëÿì âåùåñòâà ñîîòâåòñòâóþò è äâå ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûå êîíöåïöèè âçàèìîäåéñòâèÿ òåë: êîíöåïöèÿ «äàëüíîäåéñòâèÿ» è êîíöåïöèÿ «áëèçêîäåéñòâèÿ». Ñîãëàñíî êîíöåïöèè «äàëüíîäåéñòâèÿ», «êâàçè÷àñòèöà» â êîðïóñêóëÿðíîé ìîäåëè âåùåñòâà íåïîñðåäñòâåííî âçàèìîäåéñòâóåò ñ êàæäîé äðóãîé «êâàçè÷àñòèöåé» ñèñòåìû.  ñîîòâåòñòâèè ñ êîíöåïöèåé «áëèçêîäåéñòâèÿ» âçàèìîäåéñòâèå òåë ïðîèñõîäèò íå íåïîñðåäñòâåííî, à ÷åðåç ïîëå, ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû. Ïðè êîíòèíóàëüíîì ïîäõîäå ðåàëüíûé ìàòåðèàëüíûé îáúåêò (íàïðèìåð, äèýëåêòðèê) çàìåíÿåòñÿ íåêîòîðîé èäåàëèçèðîâàííîé (óïðîù¸ííîé) ìîäåëüþ ñïëîøíîé ñðåäû, äëÿ îïèñàíèÿ êîòîðîé ââîäÿò ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿþùèå å¸ ñîñòîÿíèå è äâèæåíèå.  îáùåì ñëó÷àå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ñâîéñòâà ñïëîøíîé ñðåäû â ñðåäíåì è çàâèñÿùèå òîëüêî îò ïîëîæåíèÿ G U ýëåìåíòà ñðåäû '9 â ïðîñòðàíñòâå è ìîìåíòà âðåìåíè t, íàçûâàþòñÿ ôèçè÷åñêèìè ïîëÿìè.  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà îïèñûâàåìîãî ÿâëåíèÿ ïðèðîäû ôèçè÷åñêèå ïîëÿ ìîãóò áûòü êàê ñêàëÿðíûìè, òàê è âåêòîðíûìè. Ê ñêàëÿðíûì ïîëÿì, â ÷àñòíîñòè ïîëÿì îòíîñÿòñÿ îòíîñÿòñÿ ïîëÿ ïëîòíîñòè Gìàññû 0 , ìîùíîñòè G W è ò.ï. Ê âåêòîðíûì G G è ìàãíèòíîå ïîëÿ, ïîëå îáú¸ìíîé ïîëÿ ñêîðîñòè Y , ñèëû ) , ýëåêòðè÷åñêîå ( + G ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà - è ò.ï. Ïðåäìåò ìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè ñîñòàâëÿåò èçó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé â ïðîñòðàíñòâå è ñòðóêòóðàõ, çàïîëíåííûõ ñïëîøíîé ñðåäîé. Ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà îïåðèðóåò ôèçè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè, óñðåäí¸ííûìè ïî ýëåìåíòàðíûì îáú¸ìàì, íå èíòåðåñóÿñü ìîëåêóëÿðíûì ñòðîåíèåì (ñîñòîÿíèåì) ñðåäû.  ñâÿçè ñ ýòèì âìåñòî èñòèííûõ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ çíà÷åíèé ïîëåé âî âñåõ ðàññìîòðåíèÿõ áåðóòñÿ èõ óñðåäí¸ííûå çíà÷åíèÿ. Ïðè ýòîì ïîëàãàåòñÿ, ÷òî äâèæåíèå çàðÿäîâ â çàäàííûõ òî÷êàõ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè ïîëåé â ýòèõ òî÷êàõ. 18 ÃËÀÂÀ 1 1.2. Õàðàêòåðèñòèêè ôèçè÷åñêèõ ïîëåé. Ïîíÿòèå î ïîòîêàõ è öèðêóëÿöèÿõ Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì íàãëÿäíûå õàðàêòåðèñòèêè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ íà ïðèìåðå ïîëÿ îáú¸ìíîé ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà R. Ñêàëÿðíîå ïîëå R â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè t â ïðîñòðàíñòâå (íà ïëîñêîñòè) ìîæíî â ñðåäíåì õàðàêòåðèçîâàòü ñîâîêóïíîñòüþ ïîâåðõíîñòåé (ëèíèé), ñâÿçûâàþùèõ òî÷êè ñïëîøíîé ñðåäû ñ îäèíàêîâûìè çíà÷åíèÿìè 5 5L FRQVW . Èõ íàçûâàþò ýêâèïîòåíöèàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè èëè ïîâåðõíîñòÿìè îäèíàêîâîãî óðîâíÿ (ðèñ. 1.1à). Ãóñòîòà ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ñîçäà¸ò íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î ïðîñòðàíñòâåííîé êîíôèãóðàöèè ïîëÿ îáú¸ìíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà — ãäå îíè ðàñïîëîæåíû ãóùå, òàì ïëîòíîñòü çàðÿäà âûøå. Áîëåå òî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé «áûñòðîòû» èçìåíåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå ñëóæèò ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ èëè ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ ìàêñèìàëüíîãî âîçðàñòàíèÿ ïîëÿ R: G G G $ U JUDG 5 U  (1.2.1) G Ïðè ýòîì G G ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ 5 U ñàì ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêèì âåêòîðíûì ïîëåì $ U .  äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ýòîò âåêòîð, ïî îïðåäåëåíèþ, âñåãäà íàïðàâëåí â ñòîðîíó ìàêñèìàëüíîãî âîçðàñòàíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è ïåðïåíäèêóëÿðåí ê ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êó ýêâèïîòåíöèàëüíîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 1.1á). Ïåðåéä¸ì ê âåêòîðíûì ïîëÿì. Èõ íàãëÿäíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîùå âñåãî ââåñòè, ðàññìàòðèâàÿ äâèæóùóþñÿ æèäêîñòü. Åñëè òå÷åíèå æèäêîñòè óñòàíîâèëîñü, òî â íåé íåòðóäíî ðàçëè÷àòü îáëàñòè ëàìèíàðíîãî è âèõðåâîãî äâèæåíèé, êîòîðûå íàãëÿäíî îòðàæàþò ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïîëÿ ñêîðîñòè æèäêîñòè. Äëÿ íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå ïðè ôèêñèðîâàííîì t ââîäÿòñÿ ñèëîâûå ëèíèè ïîëÿ — êðèâûå, íàïðàâëåíèÿ êàñàòåëüíûõ ê êîòîðûì â êàæäîé òî÷êå ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðíîãî ïîëÿ (ðèñ. 1.2). Ãóñòîòà ñèëîâûõ ëèíèé õàðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü ïîñëåäíåãî â äàííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà. Ïîíÿòèå î ñèëîâûõ ëèíèÿõ âåêòîðíîãî ïîëÿ ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü ñîâìåñòíî ñ õàðàêòåðèñòèêàìè, îïèñûâàþùèìè ýòè ïîëÿ â ñðåäíåì ïî ýëåìåíòàðíûì îáú¸ìàì ñïëîøíîé ñðåäû. Ê ÷èñëó òàêèõ õàðàêòåðèñòèê îòíîñèòñÿ ïëîòíîñòü ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ, ñ êîòîðîé ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ íà ïðèìåðå ïîòîêà âåêòîG G ðà ñêîðîñòè Y U  W . Çà ñêîðîñòü ýëåìåíòà æèäêîñòè îáú¸ìà '9 ìàññîé ' 0 â ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû ïðèíèìàåòñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ åãî ìîëåêóë: G YL G G G G G   (1.2.2) Y U W P L YL P L YL Y  '0 '1P '1 ¦ L ¦ ¦ ãäå '1 — ÷èñëî ÷àñòèö â îáú¸ìå '9 , P L — ìàññà i-îé ÷àñòèöû. Çäåñü äëÿ ïðîñòîòû ïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ÷àñòèöû èìåþò îäèíàêîâóþ ìàññó: P L P . Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé (1.2.2) — ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âåêòîðîâ ñêîðîñòåé ìîëåêóë. Ïðè óñðåäíåíèè â ñëó÷àå '1 !!  âêëàä ñêîðîñòåé Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 19 < = < 5 5  ; 5 G G $U 5 5 5 5 5 ; à)  G G $U á) Ðèñ. 1.1 G G õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ïðè òåïëîâîì ðàâíîâåñèè îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî Y Y . G G Ïðåäñòàâëåíèå î ïîòîêå âåêòîðà ñêîðîñòè Y U  W ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ äâèæåíèå æèäêîñòè ÷åðåç ìàëóþ ïëîùàäêó '6 ïðè ðàçëè÷íûõ îðèåíòàöèÿõ G ïîñëåäíåé îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà Y (ðèñ. 1.3). Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå G G G G G YG'6 , ãäå '6 '6 Q ( Q — åäèíè÷íûé âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïëîùàäêå G '6 ), Y — ñêîðîñòü æèäêîñòè íà ýòîé ïëîùàäêå, èìååò ðàçìåðíîñòü [îáú¸ì/ âðåìÿ] è õàðàêòåðèçóåò âåëè÷èíó îáú¸ìà æèäêîñòè, ïåðåñåêàþùåãî ïëîùàäêó G G '6 â åäèíèöó âðåìåíè. Ýòà âåëè÷èíà ìàêñèìàëüíà, êîãäà âåêòîðû Y è '6 ïàðàëG ëåëüíû (òî åñòü âåêòîð GY ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîùàäêå '6 ) (ðèñ. 1.3á), è îáðàùàåòG ñÿ â íóëü, êîãäà Y è '6 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû (ðèñ. 1.3â). G G G Íàçîâ¸ì ýëåìåíòîì ïîòîêà âåêòîðà ñêîðîñòè Y U ÷åðåç ïëîùàäêó '6 ñêàëÿðíóþ âåëè÷èíó G G (1.2.3) ') YG Y '6 Y '6 FRV D YQ '6  G G G ãäå Y Y  ' 6 ' 6 , YQ — ïðîåêöèÿ âåêòîðà G Y íà íàïðàâëåíèå íîðìàëè ê ïëîùàäG êå ' 6 , D — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè Y è '6 . Ýëåìåíò ïîòîêà ') YG ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûì, òàê è îòðèöàòåëüíûì â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê îðèåíòèðîâàíà G ïëîùàäêà '6 ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó ñêîðîñòè. Åñëè ïîâåðõíîñòü ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ïëîùàäîê '6L , ïîòîê âåêòîðà ñêîðîñG òè Y ÷åðåç íå¸ ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ïîòîêîâ ') YG L ÷åðåç ýòè ïëîùàäêè.  ñëó÷àå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè 6 ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ïîòîê âû÷èñëÿåòñÿ êàê G G (1.2.4) ) YG Y G6 YQ G6  6 G 6 G 6 ïðè÷¸ì çà íàïðàâëåíèå ýëåìåíòà ïðèíÿòî âûáèðàòü íàïðàâëåíèå âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè 6 . ×òîáû âûÿñíèòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîòîêà âåêòîðà ñêîðîñòè, çàìåíèì çíà÷åíèå YQ íà ïîâåðõíîñòè 6 íà ñðåäíþþ (ïî ïîâåðõíîñòè) âåëè÷èíó YQ . Òîãäà, âûíîèç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà, ïðèáëèæ¸ííî ïîëó÷àåì ñÿ YQ ³ ) YG YQ ³ ³ G6 6 YQ FS 6 (1.2.5) 20 ÃËÀÂÀ 1 G G YU G G YU G G YU Ðèñ. 1.2 G Y G Y D G G Y '6 Y '6 FRV D G '6 G '6 G G Y '6 à) Y '6 á) G Y G G Y '6 G '6  â) Ðèñ. 1.3 ãäå S — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè 6 . G G Òàêèì îáðàçîì, ïðèáëèæ¸ííî ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî ïîòîê âåêòîðà ñêîðîñòè Y U , à çíà÷èò è ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ — ýòî ïðîèçâåäåíèå ñðåäíåãî ïî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè çíà÷åíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïîâåðõíîñòè êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîëÿ G Y íà âåëè÷èíó ïëîùàäè ýòîé ïîâåðõíîñòè. G Ïðè íàãëÿäíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëÿ Y ñ ïîìîùüþ ñèëîâûõ ëèíèé ïðèíÿòî èõ ÷èñëî, ïåðåñåêàþùåå ïëîùàäêó DS, âûáèðàòü ïðîïîðöèîíàëüíûì ïîòîêó ') YG . Òîãäà ïîòîê ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíûì àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ÷èñëà ïåðåñå÷åíèé ýòîé ïîâåðõíîñòè ëèíèÿìè ïîëÿ (ðèñ. 1.4), G G ïðè÷¸ì êàæäàÿ âûõîäÿùàÿ ëèíèÿ äà¸ò âêëàä ñî çíàêîì «+» (âåêòîðû Y è '6 íàïðàâëåíû ïîä Gîñòðûì óãëîì äðóã ê äðóãó), à êàæäàÿ âõîäÿùàÿ — ñî çíàêîì «–» G (âåêòîðû Y è '6 íàïðàâëåíû ïîä òóïûì óãëîì äðóã ê äðóãó). Ïðèíÿòî ãîâîðèòü, ÷òî ïîòîê âñÿêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ õàðàêòåðèçóåò åãî òåíäåíöèþ ê «èñòåêàíèþ» èç êàêîãî-ëèáî çàìêíóòîãî îáú¸ìà. Ïî ýòîìó ïðèçíàêó âñå G G âåêòîðíûå ïîëÿ $ U äåëÿòñÿ íà äâà êëàññà. Åñëè â ëþáîé çàìêíóòîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, ãäå èìååòñÿ âåêòîðíîå ïîëå, ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ïîòîê ) $G  , òàêèå ïîëÿ íàçûâàþòñÿ ïîëÿìè áåç èñòî÷íèêîâ (èëè ñîëåíîèäàëüíûìè). Ñèëîâûå ëèíèè ó íèõ ëèáî çàìêíóòû, ëèáî ïðèõîäÿò èç áåñêîíå÷íîñòè è óõîäÿò â áåñêîíå÷íîñòü. G Åñëè æå G Gõîòÿ áû â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà ïîòîê ) $ z  , òî âåêòîðíîå ïîëå $ U íàçûâàåì ïîëåì ñ èñòî÷íèêàìè. Ñìûñë ýòîãî íàçâàíèÿ òàêæå ìîæíî G G ïîÿñíèòü íà ïðèìåðå ïîëÿ ñêîðîñòè Y U . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè èç êàêîé-ëèáî îáëàñòè, îêðóæ¸ííîé ïîâåðõíîñòüþ 6 , èñõîäèò ïîëîæèòåëüíûé ïîòîê ) YG !  , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èç íå¸ ÷åðåç ïîâåðõíîñòü 6 âûòåêàåò îïðåäåë¸ííûé îáú¸ì æèäêîñòè â åäèíèöó âðåìåíè. Ïîñêîëüêó æèäêîñòü íå ìîæåò âîçíèêíóòü èç íè÷åãî, ýòî Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 21 îçíà÷àåò, ÷òî âíóòðè ïîâåðõíîñòè 6 èìååòñÿ G G ïîëîæèòåëüíûé «èñòî÷íèê» ïîëÿ Y U (íàïðè'V L G ìåð, îòâåðñòèå ïîäâîäÿùåé òðóáû), êîòîðûé Y è îáåñïå÷èâàåò ïîëîæèòåëüíûé ïîòîê æèäêîG Y ñòè. Îäíîâðåìåííî â òàêîì ïîëå ìîæåò áûòü îáëàñòü, ãäå ïîòîê îòðèöàòåëåí, ) YG   , G G îáëàñòü, â êîòîðóþ ïîëå Y U âòåêàåò.  ýòîé îáëàñòè äîëæíî íàõîäèòüñÿ îòâåðñòèå îòâîäÿ6 ùåé òðóáû, èãðàþùåå ðîëü îòðèöàòåëüíîãî G G èñòî÷íèêà ïîëÿ Y U . Äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî G G Ðèñ. 1.4 ïîëÿ $ U ñ èñòî÷íèêàìè ñèëîâûå ëèíèè ïîëÿ âñåãäà èìåþò íà÷àëî è êîíåö: íà÷èíàþòñÿ â èñòî÷íèêàõ è êîí÷àþòñÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ, ÷åðåç êîòîðûå âûòåêàåò ïîëå. Ïðè ýòîì ãóñòîòà ëèíèé ïîëÿ ñ èñòî÷íèêàìè ïðîïîðöèîíàëüíà ìîùíîñòè èñòî÷íèêîâ (ñòîêîâ). G G Äðóãîé âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé âåêòîðíîãî ïîëÿ $ U ÿâëÿåòñÿ åãî öèðêóëÿöèÿ. Åñëè ïîòîê ïîëÿ õàðàêòåðèçóåò ãóñòîòó è îðèåíòàöèþ åãî ñèëîâûõ ëèíèé ïî îòíîøåíèþ ê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, òî öèðêóëÿöèÿ õàðàêòåðèçóåò èõ ôîðìó è îðèåíòàöèþ ïî îòíîøåíèþ ê çàìêíóòîìó êîíòóðó. Ñ ïîíÿòèåì öèðêóëÿöèè òàêæå G G óäîáíî îçíàêîìèòüñÿ íà ïðèìåðå öèðêóëÿöèè ïîëÿ ñêîðîñòè æèäêîñòè Y U . G G Ñ ýòîé öåëüþ â îáëàñòè, çàíÿòîé âåêòîðíûì ïîëåì Y U , âûäåëèì êàêîé-ëèáî G ýëåìåíòàðíûé ó÷àñòîê êîíòóðà / (ðèñ. 1.5). Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ Y è G ' O íàçîâ¸ì ýëåìåíòîì öèðêóëÿöèè âåêòîðà ñêîðîñòè: G G ' *YG Y' O Y'O FRV D Y W 'O (1.2.6) G G G ãäå 'O ' O , YW — ïðîåêöèÿ âåêòîðà Y íà íàïðàâëåíèå ýëåìåíòà ' O (ðèñ. 1.5). Ýëåìåíò öèðêóëÿöèè '*YG ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûì, òàê è îòðèöàòåëüíûì â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû óãëà D . Èçìåíåíèå ïîëÿ âäîëü êîíòóðà êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ ìîæíî îöåíèòü, îáðàçóÿ àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó ýëåìåíòîâ öèðêóëÿöèè '*YG L .  ñëó÷àå çàìêíóòîãî êîíòóðà G G / (ðèñ. 1.6) ïðîèçâîëüíîé ôîðìû äëÿ âû÷èñëåíèÿ öèðêóëÿöèè ïîëÿ Y U íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé: G G (1.2.7) *YG Y GO Y W GO  ³ / ³ / Íàïðàâëåíèå îáõîäà çàìêíóòîãî êîíòóðà ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ïðèíÿòî ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûì. Çàìåíÿÿ çíà÷åíèå YW íà êîíòóðå / íà ñðåäíþþ âåëè÷èíó Y W , ïðèáëèæ¸ííî ïîëó÷àåì *YG | YW / (1.2.8) ãäå L — äëèíà êîíòóðà / . Èç (1.2.8) ñëåäóåò, ÷òî öèðêóëÿöèþ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ïðèáëèæ¸ííî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîèçâåäåíèå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íà êîíòóðå êàñàòåëüíîé ê êîíòóðó êîìïîíåíòû ýòîãî âåêòîðà íà äëèíó êîíòóðà. Ñàìî íàçâàíèå «öèðêóëÿöèÿ» âåêòîðíîãî ïîëÿ èçíà÷àëüíî âîçíèêëî èç ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, ÷òî ïðè îïðåäåë¸ííûõ óñëîâèÿõ æèäêîñòü ìîæåò öèðêóëèðîâàòü 22 ÃËÀÂÀ 1 G Y G Y / G Y D G 'O G Y / D G YW Ðèñ. 1.5 G D 'O D G G YW YW Ðèñ. 1.6 âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà. Äåéñòâèòåëüíî, íàáëþäåíèå çà òåêóùåé æèäêîñòüþ ïîêàçûâàåò, ÷òî íà å¸ ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå íàêëàäûâàåòñÿ âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå, òî åñòü íà âíåøíå ñïîêîéíîé å¸ ïîâåðõíîñòè íàáëþäàþòñÿ âîäîâîðîòû. Åñëè åñòü âîçìîæíîñòü êàêèì-òî îáðàçîì èñêëþ÷èòü ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå æèäêîñòè, íàïðèìåð, çàìîðîçèòü å¸ âñþäó, êðîìå íåêîòîðîé òðóáêè, îõâàòûâàþùåé âîäîâîðîò, òî äâèæåíèå æèäêîñòè ïðåêðàòèòñÿ âñþäó, êðîìå âíóòðåííîñòè òàêîé òðóáêè. Ïîíÿòèå öèðêóëÿöèè, êàê è ïîíÿòèå ïîòîêà, G G ïðèìåíèìî ê ëþáîìó âåêòîðíîìó ïîëþ $ U . Ñ òî÷êè çðåíèÿ öèðêóëÿöèè, âñå âåêòîðíûå ïîëÿ äåëÿòñÿ íà äâà êëàññà. Åñëè â G Z G G ëþáîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è äëÿ ëþáîãî Y GO / çàìêíóòîãî êîíòóðà öèðêóëÿöèÿ ïîëÿ *$G  , òàêèå âåêòîðíûå ïîëÿ íàçûâàþò áåç6 âèõðåâûìè èëè ïîòåíöèàëüíûìè. Åñëè æå U äëÿ êàêîãî-ëèáî êîíòóðà *$G z  , ïîëå íàçûâàåòñÿ âèõðåâûì. Ðèñ. 1.7 Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðîå âåêG G òîðíîå ïîëå $ U îáëàäàåò îòëè÷íîé îò íóëÿ öèðêóëÿöèåé, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò äðóãîå âåêòîðíîå ïîëå, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî çàäà¸ò îñè «âèõðåé» ïåðâîãî ïîëÿ, à åãî ìîäóëü îïðåäåëÿåò âåëè÷èíó G G öèðêóëÿöèè *$G . Íàîáîðîò, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå $ U åäèíñòâåííî, òî äëÿ íåãî, êàê ïðàâèëî, *$G  .  êà÷åñòâå äîêàçàòåëüñòâà âûøåïðèâåä¸ííûõ óòâåðæäåíèé âû÷èñëèì öèðêóG G ëÿöèþ (1.2.7) ïîëÿ ñêîðîñòåé Y U ðàâíîìåðíî âðàùàþùåãîñÿ äèñêà (ðèñ. 1.7).  êà÷åñòâå êîíòóðà / âûáåðåì ëþáóþ êîíöåíòðè÷åñêóþ ñ îñüþ äèñêà îêðóæíîñòü ðàäèóñà r. Òîãäà G G *YG Y G O Y W GO Y W S U z   ³ / G G ³ / òàê êàê íà ýòîé îêðóæíîñòè Y nn G O è Y W FRQVW . Ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî Y ZU , à Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà G G Z A U (Z 23 FRQVW ), ýòó öèðêóëÿöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: *YG ZS U  G G  Z G6 ³  ) ZG  6 G  ãäå ) ZG — ïîòîê âåêòîðà óãëîâîé Z ÷åðåç ïîâåðõíîñòü 6 SU êðóãà, G G ñêîðîñòè G îõâà÷åííîãî êîíòóðîì / ( G6 Q G6 , Q — åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè êðóãà 6 ). Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, åñëè â ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóþò çàìêíóòûå êîíòóðû, äëÿ êîòîðûõ öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà G Y îòëè÷íà îò íóëÿ, òî â í¸ì (ïðîñòðàíñòâå) ñóùåñòâóþò ôèçè÷åñêè âûäåëåííûå G íàïðàâëåíèÿ, çàäàâàåìûå äðóãèì âåêòîðíûì ïîëåì Z . 1.3. Óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè â ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìàññû, ÷èñëà ÷àñòèö è ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà Ðàññìîòðèì âûäåëåííûé îáú¸ì 9 ïðîèçâîëüíîé ñïëîøíîé ñðåäû, îêðóæ¸ííûé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ 6 . Åñëè ïîëîæåíèå ýëåìåíòà îáú¸ìà 9 è ôîðìà âûäåëåííîé ïîâåðõíîñòè 6 ôèêñèðîâàíû âî âðåìåíè, òî â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñðåäû ìîãóò ïåðåñåêàòü å¸ â ëþáûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ýòî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ âî âðåìåíè ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê âåùåñòâà â îáú¸ìå 9 . Îäíàêî äëÿ àääèòèâíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí*) ýòè èçìåíåíèÿ íå ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè. Âñÿêîå èçìåíåíèå ïëîòíîñòè U % àääèòèâíîé ñêàëÿðíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû B ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïî äâóì ïðè÷èíàì: ëèáî èìååòñÿ ïîòîê ýòîé âåëè÷èíû G ÷åðåç ïîâåðõíîñòü 6 , êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ âåêòîðîì ïëîòíîñòè ïîòîêà -% , ëèáî âíóòðè îáú¸ìà 9 èìååòñÿ èñòî÷íèê äàííîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóåìîé îáú¸ìíîé ïëîòíîñòüþ V % . Ïðèìåðàìè àääèòèâíûõ âåëè÷èí ñëóæàò ìàññà, ÷èñëî ÷àñòèö, ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä è ò.ä. Èñõîäÿ èç âûøåñêàçàííîãî, ìîæíî çàïèñàòü äëÿ àääèòèâíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû % çàêîí ñîõðàíåíèÿ èëè óðàâíåíèå áàëàíñà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå:  w% wW § w% · )%  ¨ ¸ © wW ¹ ³ G G - % G6  6 ³ V% G9  G ãäå âåëè÷èíà % ñâÿçàíà ñî ñâîåé îáú¸ìíîé ïëîòíîñòüþ U % U  W ôîðìóëîé G % U % U  W G9  ³ 9 Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà G G G -% G6 GLY -% G9  ³ 6 ³ (1.3.1) 9 (1.3.2) (1.3.3) 9 *) Ïîä àääèòèâíîé ïîíèìàåòñÿ ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà, äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâ çàêîí ñîõðàíåíèÿ 24 ÃËÀÂÀ 1 çàïèøåì óðàâíåíèå áàëàíñà äëÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû B â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:  w U% wW G GLY -%  V %  (1.3.4) Ðàññìîòðèì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû M äëÿ ñïëîøíîé ñðåäû. Åñëè èñòî÷íèêè ìàññû âíóòðè îáú¸ìà îòñóòñòâóþò ( V 0  ), äëÿ å¸ ïëîòíîñòè U 0 ñïðàâåäëèâ ÷àñòíûé âàðèàíò èíòåãðàëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ (1.3.1): ³ 9 wU 0 G9 wW G G  -0 G6  ³ (1.3.5) 6 G G ãäå -0 U 0 Y — âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà ìàññû. Î÷åâèäíî, ÷òî ïëîòíîñòü ïîòîG G êà -0 U  W ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïîëåì, íàïðàâëåíèå ëèíèé êîòîðîãî ïðè W FRQVW G ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ëèíèé ïîëÿ ñêîðîñòè Y . Ñîîòíîøåíèå (1.3.5) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè. Åñëè õàðàêòåðèñòèêè ñðåäû, âêëþ÷àÿ ïëîòíîñòü ìàññû, ñî âðåìåíåì íå ìåíÿþòñÿ, ñïëîøíàÿ ñðåäà íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè ïîòîê G ìàññû ðàâåí íóëþ, òàê êàê âåêòîðíîå ïîëå -0 íå èìååò èñòî÷íèêîâ. Ïåðåéä¸ì ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö. Äîâîëüíî ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ ìíîãîêîìïîíåíòíûìè âåùåñòâàìè. Ýòî ðàçëè÷íûå ñìåñè æèäêîñòåé èëè ãàçîâ, ïðèìåñè â òâ¸ðäûõ òåëàõ, íàêîíåö, ëþáàÿ ñðåäà, ñîäåðæàùàÿ çàðÿæåííûå ÷àñòèöû ðàçíûõ çíàêîâ. Ïðè âûïîëíåíèè ñôîðìóëèðîâàííûõ ðàíåå óñëîâèé, ê êàæäîé èç ýòèõ êîìïîíåíò ïðèìåíèìà ìîäåëü ñïëîøíîé ñðåäû, ïðè÷¸ì ðîëü óñëîâèÿ «íåïðåðûâíîñòè» îòäåëüíûõ êîìïîíåíòîâ èãðàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö äàííîãî ñîðòà. ×òîáû åãî ñôîðìóëèðîâàòü, äîïóñòèì, ÷òî ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö i-ãî ñîðòà â îáú¸ìå 9 ðàâíî G (1.3.6) 1L Q L U  W G9 FRQVW  ³ 9 ãäå Q L — êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö i-ãî ñîðòà. Òîãäà, âìåñòî (1.3.1) â äàííîì ñëó÷àå èìååì G G w QL G9  - L G6  V L G9  (1.3.7) wW ³ 9 ³ 6 ³ 9 Ïðè V L  ýòî ñîîòíîøåíèå ïðèìåò ôîðìó óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè.  ýòîì ñëó÷àå èçìåíåíèå ÷èñëà ÷àñòèö i-ãî ñîðòà â îáú¸ìå 9 îïðåäåëÿåòñÿ ïîòîêîì G G ÷àñòèö ) L ÷åðåç ïîâåðõíîñòü 6 , îêðóæàþùóþ ýòîò îáú¸ì, - L Q L Y — âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà ÷àñòèö i-ãî ñîðòà. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå (ïðè ñîðòà ÷àñòèö ñóùåñòâóåò ñâîÿ ñèñòåìà ëèíèé èëè òðóáîê òîêà V L  ) äëÿ êàæäîãî G (ëèíèé ïîëÿ - L ). Íàêîíåö, îáðàòèìñÿ ê óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà. Êàê èçâåñòíî, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ â âåùåñòâå èìåþòñÿ äâèæóùèåñÿ çàðÿæåííûå ÷àñòèöû èëè «íîñèòåëè» çàðÿäà. Ïðèðîäà íîñèòåëåé çàðÿäà â ðàçíûõ âåùåñòâàõ ìîæåò áûòü âåñüìà ðàçëè÷íîé. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàí¸ííûé ñëó÷àé — ìåòàëëè- Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 25 ÷åñêèå ïðîâîäíèêè, â êîòîðûõ íîñèòåëÿìè çàðÿäà ñëóæàò ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû.  äðóãèõ âåùåñòâàõ ìîãóò ïðèñóòñòâîâàòü íîñèòåëè çàðÿäà îáîèõ çíàêîâ. Êðîìå íîñèòåëåé çàðÿäà â âåùåñòâå ïðèñóòñòâóþò äðóãèå ÷àñòèöû, êîòîðûå îêàçûâàþò òîðìîçÿùåå âëèÿíèå íà äâèæåíèå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Èõ íàçûâàþò ÷àñòèöàìè «ôîíà». Ïîñêîëüêó êîíöåíòðàöèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà â ðåàëüíûõ ïðîâîäíèêàõ îãðîìíà, ê îïèñàíèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è äâèæåíèÿ çàðÿäîâ â âåùåñòâå òàêæå ïðèìåíèìî ïðèáëèæåíèå ñïëîøíîé ñðåäû. Ðîëü óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè «ýëåêòðè÷åñêîé æèäêîñòè» âûïîëíÿåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà: G 4 5T U  W G9 FRQVW  (1.3.8) ³ 9 ãäå 5T ¦ TL QL — îáú¸ìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà, à T L è Q L — âåëè÷èíà è êîíöåíòðàöèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà i-ãî òèïà. Ïî àíàëîãèè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ ìàññû è ÷èñëà ÷àñòèö åìó òàêæå ìîæíî ïðèäàòü (ïðè V T  ) âèä óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè: G G w 5T G9  -T G6  (1.3.9) wW ³ 9 ³ 6  ýòîì ñëó÷àå èçìåíåíèå çàðÿäà âíóòðè îáú¸ìà 9 âûçâàíî ïîòîêîì çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ÷åðåç îêðóæàþùóþ åãî ïîâåðõíîñòü 6 . G G Âõîäÿùàÿ â (1.3.9) âåëè÷èíà - T 5T Y — ýòî âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà çàðÿäà. G G Åñëè âåùåñòâî ñîäåðæèò íåñêîëüêî ãðóïï çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, òî - T 6 T L Q L Y L , G ãäå Y L — ñêîðîñòü óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö i-ãî ñîðòà, èìåþùèõ çàðÿä T L . Ýëåìåíò ïîòîêà ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü '6 íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì , : G G , { ') T -T G6  (1.3.10) ³ '6 Ýëåêòðè÷åñêèé òîê — ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó çàðÿäà, ïåðåíîñèìîãî ÷åðåç ïîâåðõíîñòü '6 â åäèíèöó âðåìåíè. Òîê ìîæåò èìåòü ðàçëè÷íûé çíàê. Îñîáîãî îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü, òî åñòü äëÿ ïîòîêà çàðÿäà ) T , ââîäèòü íå ïðèíÿòî.  ñèñòåìå ÑÈ åäèíèöåé èçìåðåíèÿ òîêà ñëóæèò àìïåð [À=Êë/ñ], ïðèíèìàåìûé çà îäíó èç îñíîâíûõ åäèíèö. Äëÿ ñèñòåìû ïðîèçâîëüíî äâèæóùèõñÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö âåêòîð ïëîòíîñòè G ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà -T ÿâëÿåòñÿ ñòîëü æå ôóíäàìåíòàëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñèñòåìû, ÷òî è ïëîòíîñòü çàðÿäà 5T . ×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñèñòåìó ÷àñòèö, êîòîðàÿ â öåëîì ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíîé.  ýòîì ñëó÷àå ïëîòíîñòü çàðÿäà 5T 5  5  , â òî G âðåG G G G G G G ìÿ êàê - T 5 Y   5 Y  5 Y   Y  . Åñëè Y z Y  , òî â òàêèõ ñèñòåìàõ -T z  .  ÷àñòíîñòè, â ìåòàëëè÷åñêèõ ïðîâîäíèêàõ ïîëîæèòåëüíûå èîíû, îáðàçóþùèå G G G êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåø¸òêó, â ñðåäíåì íåïîäâèæíû ( Y  ). Ïîýòîìó - T 5 Y  z  , G õîòÿ 5T  . Òåì ñàìûì, âåêòîð -T îêàçûâàåòñÿ åäèíñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêîé ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ íåéòðàëüíîé ñèñòåìû çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. 26 ÃËÀÂÀ 1 , -T 6 , -T 6 6 6 Ðèñ. 1.8 Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñòàöèîíàðíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, äëÿ êîòîðîãî w 5T  w W  . Äëÿ íåãî çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà (1.3.9) ïðèíèìàåò âèä (ðèñ. 1.8): G G )T -T G6  v³ 6 G Ïîñêîëüêó âåêòîðíîå ïîëå -T íå èìååò èñòî÷íèêîâ, ëèíèè òîêà äëÿ íåãî ëèáî çàìêíóòû, ëèáî óõîäÿò â áåñêîíå÷íîñòü. Åñëè â ýòîì ñëó÷àå ââåñòè òðóáêó òîêà, òî ýëåêòðè÷åñêèé òîê ÷åðåç å¸ áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü áóäåò îòñóòñòâîâàòü.  ðåçóëüòàòå äëÿ ëþáîãî ñå÷åíèÿ òðóáêè òîêà , ') T -T 6 -T 6 ') T FRQVW  (1.3.11) ãäå 6L — ïëîùàäè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé òðóáêè òîêà, à -T L — ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè òîêà â ñå÷åíèÿõ 6L .  ïðèðîäå è òåõíèêå ñòàöèîíàðíûå òîêè ðåàëèçóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè çàðÿäû íå ïîêèäàþò ôèêñèðîâàííûé îáú¸ì 9 , òî èõ ïëîòíîñòü 5T ñî âðåìåíåì íå ìåíÿåòñÿ. Ïðèìåðîì ñòàöèîíàðíîãî òîêà ìîæåò ñëóæèòü òîê â êðóãîâîì ìåòàëëè÷åñêîì âèòêå èëè çàìêíóòîì ïëàçìåííîì øíóðå. Íàêîíåö, åù¸ îäíà ñèñòåìà, â êîòîðîé òîê ñòàöèîíàðåí, — ýòî çàìêíóòàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, ñîäåðæàùàÿ õèìè÷åñêèé ýëåìåíò è ìåòàëëè÷åñêèå ïðîâîäíèêè. Õîòÿ íîñèòåëè çàðÿäà â ìåòàëëè÷åñêèõ ïðîâîäíèêàõ è ýëåêòðîëèòå ðàçëè÷íû, ÷åðåç ëþáîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå çàìêíóòîé öåïè ïðîõîäèò îäèí è òîò æå ïî âåëè÷èíå òîê I = const. 1.4. Ïåðåõîä îò «äàëüíîäåéñòâèÿ» ê «áëèçêîäåéñòâèþ» â ñèñòåìå íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ. Ïîíÿòèå îá ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå Êëàññè÷åñêàÿ èëè ìàêñâåëëîâñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ áàçèðóåòñÿ íà ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû. Îíà ó÷èòûâàåò òîëüêî ìàêðîñêîïè÷åñêèå ñâîéñòâà âåùåñòâà, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðàçìåðû ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêîâ ïîëÿ äî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè âåëèêè ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ìîëåêóë, à õàðàêòåðíîå äëÿ èçìåíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âðåìÿ (íàïðèìåð, ïåðèîä êîëåáàíèé) âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñî âðåìåíåì, õàðàêòåðíûì Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà = T T G U G U 27 G U TL T G U1 T 1 < ; Ðèñ. 1.9 äëÿ âíóòðèìîëåêóëÿðíûõ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ. Ïðè ýòîì âîçäåéñòâèå ñî ñòîðîíû èñòî÷íèêîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæåò áûòü îïèñàíî ñ ïîìîùüþ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé, èãðàþùèõ ðîëü õàðàêòåðèñòèê ñâîåîáðàçíîé «ñïëîøíîé ñðåäû».  ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ïîíÿòèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ó áîëüøèíñòâà ÷èòàòåëåé âûçûâàåò çàòðóäíåíèÿ, åñòåñòâåííî áûëî áû íà÷àòü èçó÷åíèå ñ ïðîñòåéøèõ ñèñòåì çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, äëÿ êîòîðûõ êîðïóñêóëÿðíûé è êîíòèíóàëüíûé ïîäõîäû ïî ñóùåñòâó ýêâèâàëåíòíû. Íèæå íà÷í¸ì ñ èçó÷åíèÿ ïðîñòåéøèõ õàðàêòåðèñòèê ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ â ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû — ïîñòîÿííûõ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ T  T    T 1 , ïîëîæåíèÿ êîòîG G G ðûõ â ïðîñòðàíñòâå îïèñûâàþòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðàìè U  U   U1 (ðèñ. 1.9). Áóäåì èññëåäîâàòü âîçäåéñòâèå ýòîé ñèñòåìû íà íåïîäâèæíûé ïðîáíûé çàðÿä G T , ïîëîæåíèå êîòîðîãî â ïðîñòðàíñòâå îïèñûâàåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì U . Äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü çàðÿä T ïîëîæèòåëüíûì è ìàëûì, à ïðèáëèæåíèå ïðîáíîãî çàðÿäà ê ñèñòåìå çàðÿäîâ T  T   T 1 âåñüìà ìåäëåííûì. Ïðè òàêèõ äîïóùåíèÿõ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî çàðÿä q ñóùåñòâåííî íå ïîâëèÿåò íà ìû èìååì ïåðâîíà÷àëüíóþ êîíôèãóðàöèþ ñèñòåìû çàðÿäîâ { T L }.  ðåçóëüòàòå G ñèñòåìó èç 1   íåïîäâèæíîãî çàðÿäà. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ) , äåéñòâóþùàÿ íà ïðîáíûé çàðÿä T ñî ñòîðîíû îñòàëüíûõ çàðÿäîâ, îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì Êóëîíà: 1 G TT L G  ) H  (1.4.1)  L S H  L  5L G G G G G G G 5L — ìîäóëü âåêòîðà 5L , H L 5L  5L — åäèíè÷íûé âåêòîð. ãäå 5L U  UL , 5L Ôîðìóëà (1.4.1) çàïèñàíà íà îñíîâå äâóõ âàæíåéøèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ôàêòîâ: — çàêîíà Êóëîíà, îïðåäåëÿþùåãî âçàèìîäåéñòâèå íåïîäâèæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ; — ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè, ñîãëàñíî êîòîðîìó âçàèìîäåéñòâèå êàæäîé ïàðû çàðÿäîâ ïðîèñõîäèò íåçàâèñèìî îò ïðèñóòñòâèÿ îñòàëüíûõ çàðÿäîâ. ¦ 28 ÃËÀÂÀ 1 Ïîñêîëüêó êàæäûé ÷ëåí ñóììû â (1.4.1) çàâèñèò îò ðàññòîÿíèé ìåæäó äâóìÿ òî÷å÷íûìè çàðÿäàìè â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè, ôîðìóëà (1.4.1) îëèöåòâîðÿåò êîíöåïöèþ «äàëüíîäåéñòâèÿ», ñîãëàñíî êîòîðîé ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðîáíûé çàðÿä íåïîñðåäñòâåííî âçàèìîäåéñòâóåò ñ êàæäûì èç çàðÿäîâ ñèñòåìû { T L }. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôîðìóëà G G (1.4.1) ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ðåçóëüòèðóþùóþ ñèëó êàê âåêòîðíîå ïîëå ) U , òèïè÷íîå äëÿ êîíöåïöèè «áëèçêîäåéñòâèÿ», òî åñòü èçó÷åíèå G G âîçäåéñòâèÿ íà çàðÿä T ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâ ïîëÿ ñèë ) U . Îäíàêî òàêîå ðàññìîòðåíèå íå ñîâñåì óäîáíî, òàê êàê ïîëå ñèë G G ) U — âåëè÷èíà, êîòîðàÿ îäíîâðåìåííî õàðàêòåðèçóåò îáà îáúåêòà: ïðîáíûé çàðÿä T è ñèñòåìó çàðÿäîâ { T L }. Îáúåêòèâíàÿ ôèçè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà âîçäåéñòâèÿ íà ëþáîé ïðîáíûé çàðÿä ñî ñòîðîíû åãî îêðóæåíèÿ äîëæíà çàâèñåòü òîëüêî îò ïàðàìåòðîâ ýòîãî îêðóæåíèÿ è ìåñòîðàñïîëîæåíèÿ ïðîáíîãî çàðÿäà. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ââåñòè âåêòîðíóþ âåëè÷èíó G G G G )U (1.4.2) ( U  T íàçûâàåìóþ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì (íàïðÿæ¸ííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ). Êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ (1.4.2), ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå — ýòî âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ ñèëå, äåéñòâóþùåé íà åäèíè÷íûé ïîëîæèòåëüíûé ïðîáíûé çàðÿä, G G G ïîëåé ( U ïîìåù¸ííûé â òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì G G G G G G U . Íàïðàâëåíèÿ è ) U , î÷åâèäíî, ñîâïàäàþò. Îäíàêî â îòëè÷èå îò ) U , ïîëå ( U õàðàêòåðèçóåò ñïîñîáíîñòü ñèñòåìû çàðÿäîâ { T L } ê âîçäåéñòâèþ íà ëþáîé ïðîáíûé çàðÿä, íå âõîäÿùèé â ýòó ñèñòåìó.G G G G Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ( U , êàê è ñèëà ) U , ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì G ïîëîæåíèé UL è âåëè÷èí íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ T L . Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, îïðåäåëÿåìîå êàê (1.4.2), ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ñðàâíåíèÿ äâóõ àëüòåðíàòèâíûõ êîíöåïöèé âçàèìîäåéñòâèÿ — «äàëüíîäåéñòâèÿ» è «áëèçêîäåéñòâèÿ». Äåéñòâèòåëüíî, ïîêà ìû èìååì äåëî ñ íåïîäâèæíûìè çàðÿäàìè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî G G ñèëà, äåé( U íå ïðîñòî ñòâóþùàÿ íà åäèíè÷íûé ïðîáíûé çàðÿä, òî åñòü ïîñòîÿííîå ïîëå îáíàðóæèâàåòñÿ ïðè íàëè÷èè ïðîáíîãî çàðÿäà; îíî âîçíèêàåò ëèøü ïðè íàëè÷èè êàê ñèñòåìû çàðÿäîâ { T L }, òàê è ïðîáíîãî çàðÿäà T . Òàêîé ïîäõîä ñîîòâåòñòâóåò êîíöåïöèè «äàëüíîäåéñòâèÿ». Âîçìîæíà äðóãàÿ, ïîêà ñîâåðøåííî ýêâèâàëåíòíàÿ, òî÷êà çðåíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîé íåïîñðåäñòâåííî ýëåìåíòàðíûì àêòîì ÿâëÿåòñÿ G G G ëîêàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ïðîáíîãî çàðÿäà T ñ ïîëåì ( U â òî÷êå U , ãäå ðàñïîëîæåí ýòîò çàðÿä. Ïðè ýòîì äîïóñêàåòñÿ, ÷òî â òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, îêðóæàþG G ùèõ ñèñòåìó çàðÿäîâ { T L } âñåãäà ñóùåñòâóåò «ýëåêòðè÷åñêàÿ ñèëà» — ïîëå ( U , ïîðîæäàåìîå ýòèìè çàðÿäàìè, íåçàâèñèìî îò òîãî, ïðîÿâëÿåòñÿ ëè îíà â âîçäåéñòâèè íà äðóãîé çàðÿä (åñëè îí åñòü) èëè íè â ÷¸ì ïîêà íå ïðîÿâëÿåòñÿ (åñëè ïðîáíîãî çàðÿäà íåò). Òàêîé ïîäõîä ñîîòâåòñòâóåò êîíöåïöèè «áëèçêîäåéñòâèÿ». Ïîêà çàðÿäû íåïîäâèæíû, ìåæäó ýòèìè ïîäõîäàìè íåëüçÿ ñäåëàòü âûáîð. Äðóãîå äåëî, åñëè èìååòñÿ ñèñòåìà ïðîèçâîëüíî äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ.  ýòîì ñëó÷àå, êàê áóäåò ïîêàçàíî â äàëüíåéøåì, ôîðìóëà (1.4.1) äëÿ ñèëû íåâåðíà. Îäíàêî ôîðìóëà (1.4.2) ñîõðàíÿåò ñâîé ñìûñë, òàê êàê îíà âñåãäà ïîçâîëÿåò íàéòè G G ðåçóëüòèðóþùóþ ñèëó, åñëè òîëüêî íàó÷èòüñÿ íåçàâèñèìî íàõîäèòü ïîëå ( U ïðîèçâîëüíîé Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 29 ñèñòåìû çàðÿäîâ. Òåì ñàìûì, â öåíòðå âíèìàíèÿ îêàçûâàåòñÿ íîâûé îáúåêò èññëåäîâàíèÿ — ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñèñòåìû çàðÿäîâ. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íà G G ïðèìåðå ïîñòîÿííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ( U îáíàðóæèòü òàêèå åãî ñâîéñòâà, êîòîðûå ïîçâîëèëè áû äàòü îáùåå îïðåäåëåíèå ïðîèçâîëüíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, òî åñòü çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè t. 1.5. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ. Èíâàðèàíòíîñòü çàêîíà Ãàóññà Ýôôåêòèâíîñòü îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìû íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ ñ ïîìîùüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâÿçàíà ñ èäååé ðàâíîïðàâèÿ âñåõ çàðÿäîâ ñèñòåìû, òàê ÷òî ïðåäïîëîæåíèå î íåïîäâèæíîñòè ïðîáíîãî çàðÿäà çäåñü íåñóùåñòâåííî. Ïðè ïåðåõîäå ê ñèñòåìå äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ èõ ðàâíîïðàâèå íàðóøàåòñÿ, èáî êàæäûé çàðÿä óæå õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîèì âåêòîðîì ñêîðîñòè. Åñëè îñòàâàòüñÿ â ðàìêàõ êîíöåïöèè «äàëüíîäåéñòâèÿ», çàäà÷à îïèñàíèÿ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåðåàëüíîé. Äëÿ å¸ ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî îáîáùèòü ôóíäàìåíòàëüíûé çàêîí âçàèìîäåéñòâèÿ ïàðû çàðÿäî⠗ çàêîí Êóëîíà, à òàêæå óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè äëÿ äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ. Ïðèíöèïèàëüíîå ïðåèìóùåñòâî êîíöåïöèè «áëèçêîäåéñòâèÿ» ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â íåé îïèñàíèå ïðîöåññà âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçäåëåíî íà äâà íåçàâèñèìûõ ýòàïà: ñíà÷àëà íàõîäèòñÿ ïîëå, ñîçäàâàåìîå çàðÿäàìè ñèñòåìû, à çàòåì èññëåäóåòñÿ âîçäåéñòâèå ýòîãî ïîëÿ íà ïðîáíûé çàðÿä. Ïðîáíûé çàðÿä ââîäèòñÿ òîëüêî íà âòîðîì ýòàïå, ÷òî ïîçâîëÿåò äëÿ îïèñàíèÿ åãî äâèæåíèÿ èñïîëüçîâàòü çàêîíû ðåëÿòèâèñòñêîé ôèçèêè è, òåì ñàìûì, ïîëó÷èòü èíâàðèàíòíîå îïèñàíèå âîçäåéñòâèÿ ñî ñòîðîíû ñèñòåìû çàðÿäîâ, ñïðàâåäëèâîå â ëþáîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Áóäåì èñõîäèòü èç ñîîòíîøåíèÿ G G (1.5.1) ) T( êîòîðîå îïðåäåëÿåò ñèëó, ñ êîòîðîé äåéñòâóåò ñèñòåìà íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ íà íåïîäâèæíûé ïðîáíûé çàðÿä q. Î÷åâèäíî, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü (1.5.1) èìååò ñìûñë è äëÿ äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà, ïðè÷¸ì ñîîòâåòñòâóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ñèëû ìîæíî çàïèñàòüG â ëþáîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïîýòîìó, îïèðàÿñü íà èçâåñòíûå ñâîéñòâà âåêòîðà ) , ìîæíî èññëåäîâàòü ñâîéñòâà ïðàâîé ÷àñòè (1.5.1), òî åñòü èçó÷èòü ñâîéñòâà ýëåêòðîìàãíèòíîãî âîçäåéñòâèÿ íà äâèæóùèéñÿ çàðÿä, åñëè òîëüêî ïðåäâàðèòåëüíî óñòàíîâèòü, ÷òî ñëåäóåò ïîíèìàòü ïîä åãî âåëè÷èíîé. Äëÿ äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà ñóùåñòâóåò âûäåëåííîå íàïðàâëåíèå, îïðåäåëÿåìîå âåêòîðîì ñêîðîñòè. ×òîáû èçáàâèòüñÿ îò âëèÿíèÿ ýòîãî ôàêòîðà, óñëîâèìñÿ îïðåäåëÿòü ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöû, ïðîèçâîäÿ óñðåäíåíèå äåéñòâóþùèõ íà íåãî ñèë ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì.  êà÷åñòâå äîêàçàòåëüñòâà öåëåñîîáðàçíîñòè òàêîãî îïðåäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ïðåäñòàâèì ñåáå áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìàëûõ çàðÿäîâ 'T L , ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¸ííûõ ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû 6 (ðèñ. 1.10).  ìîìåíò âðåìåíè W , êîãäà äâèæóùèéñÿ çàðÿä q ïðîëåòàåò ÷åðåç öåíòð ñôåðû, èçìåðèì ñèëó, äåéñòâóþùóþ 30 ÃËÀÂÀ 1 íà êàæäûé ýëåìåíòàðíûé çàðÿä 'T L , ðàñïîëîæåííûé íà ïîâåðõíîñòè 6 . Òàê êàê çàðÿäû 'T L â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò íåïîäâèæíû, òî ðàññìàòðèâàÿ èõ â êà÷å6 ñòâå ïðîáíûõ çàðÿäîâ, ñîãëàñíî (1.5.1) ïîëàãàåì, ÷òî 'T L ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíè÷íûé ïðîáíûé çàðÿä îïG Y ðåäåëÿåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â äàííîé òî÷êå ñôåðû â ìîìåíò âðåìåíè t ïðîë¸òà çàðÿäà ÷åðåç å¸ öåíòð. Ñ T ó÷¸òîì ðàäèàëüíîãî íàïðàâëåíèÿ ýòèõ ñèë ïîñëå óñðåäíåíèÿ ïî âñåé ïîâåðõíîñòè ñôåðû ïîëó÷èì ñðåäíåå çíà÷åíèå êîìïîíåíòû ñèëû ( U , à çíà÷èò è êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Èíûìè ñëîâàìè, íàõîæäåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöû G Ðèñ. 1.10 ïðàêòè÷åñêè ñâîäèòñÿ ê èçìåðåíèþ ïîòîêà âåêòîðà ( ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ñôåðû 6 â ìîìåíò âðåìåíè W .  ðåçóëüòàòå, îïðåäåëåíèå íà îïûòå âåëè÷èíû äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà äîëæíî áûòü îñíîâàíî íå íà çàêîíå Êóëîíà, à íà çàêîíå Ãàóññà. G G Çàêîí Ãàóññà: Ïîòîê ) (G íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ( U ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü 6 ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà Q, çàêëþ÷¸ííîãî â îáú¸ìå 9 , îãðàíè÷åííîì ïîâåðõíîñòüþ 6 . Ïîñêîëüêó äëÿ âûâîäà ýòîãî çàêîíà íå èñïîëüçóåòñÿ íèêàêèõ ïðåäïîñûëîê çà èñêëþ÷åíèåì çàêîíà Êóëîíà, åãî òàêæå èíîãäà íàçûâàþò îáîáùåíèåì ïîñëåäíåãî. G ' )L Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàêîíà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G )(G (G6 D 5T G9 D4 v³ 6 ³ (1.5.2) 9 ãäå 5T — îáú¸ìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà, a — íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, çàâèñÿùàÿ îò ñèñòåìû åäèíèö.  ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíîãî èëè ëèíåéíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóåò ïîëàãàòü: 4 ³ VT G6 èëè 4 6 ³ OT GO  / ãäå V T è O T — ñîîòâåòñòâåííî ïîâåðõíîñòíàÿ è ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòè çàðÿäà, à 6 è / — ïîâåðõíîñòü è ëèíèÿ, íà êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíû çàðÿäû. Âåëè÷èíà ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, çàêëþ÷¸ííîãî âíóòðè íåïîäâèæíîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè 6 ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ êàê G G  G  4 )( ( G6  (1.5.3) D D ³ 6 W Èçìåðåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êàæäîé å¸ òî÷êå ïðîèñõîäÿò îäíîâðåìåííî. Çàìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå ÑÈ D   H . Èíâàðèàíòíîñòü çàðÿäà. Äàëåå íåîáõîäèìî îòâåòèòü íà âîïðîñ: çàâèñèò ëè äàííîå îïðåäåëåíèå âåëè÷èíû äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà îò âûáîðà èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷¸òà (ÈÑÎ). Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 31 Ýêñïåðèìåíòàëüíî áûëî óñòàíîâëåíî äâà ôóíäàìåíòàëüíûõ ôàêòà. Âî-ïåðâûõ, âñå ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, âñòðå÷àþùèåñÿ â ïðèðîäå, ÿâëÿþòñÿ ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ êðàòíûìè ýëåìåíòàðíîìó çàðÿäó ýëåêòðîíà (  ˜   Êë). Çäåñü íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî â òå÷åíèå ìíîãèõ ëåò ïðåäïðèíèìàëèñü òùàòåëüíûå ïîïûòêè íàéòè â ïðèðîäå çàðÿäû, êîòîðûå áûëè áû äðîáíûìè îòíîñèòåëüíî ýëåìåíòàðíîãî çàðÿäà. Èññëåäîâàíèÿ âåëèñü ÷ðåçâû÷àéíî òùàòåëüíî, ïîñêîëüêó ðå÷ü øëà î ïðîâåðêå î÷åíü âàæíîé ãèïîòåçû î ñòðîåíèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö (ãèïîòåçû êâàðêîâ), îäíàêî îáíàðóæèòü äðîáíûå çàðÿäû íå óäàëîñü. Âî-âòîðûõ, çíà÷åíèå ýëåìåíòàðíîãî çàðÿäà ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííûì è íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè ÷àñòèöû, êîòîðàÿ íåñ¸ò ýòîò çàðÿä. Îäíèì èç ïðîñòåéøèõ äîêàçàòåëüñòâ ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå. Åñëè áû çíà÷åíèå çàðÿäà çàâèñåëî îò ñêîðîñòè, àòîìû íå ìîãëè áûòü íåéòðàëüíûìè, ïîñêîëüêó çàðÿä áûñòðîäâèæóùèõñÿ ýëåêòðîíîâ íå áûë áû â îáùåì ñëó÷àå ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ ðàâåí çàðÿäó ÿäåð àòîìîâ. Îïûò æå ïîêàçûâàåò, ÷òî àòîìû íåéòðàëüíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèå ýëåìåíòàðíûõ çàðÿäîâ íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè íåñóùèõ çàðÿäû ÷àñòèö, òî åñòü çàðÿä ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé. Ïîñêîëüêó ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì, òî â ëþáîé ÈÑÎ 4 4  (1.5.4) Èç èíâàðèàíòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà (1.5.4) íåèçáåæíî ñëåäóåò çàâèñèìîñòü îáú¸ìíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà îò âûáîðà ÈÑÎ. Âàæíî ñâÿçàòü ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà (1.5.4) ñ äðóãèì åãî ôóíäàìåíòàëüíûì ñâîéñòâîì — ïîä÷èíåíèþ çàêîíó ñîõðàíåíèÿ â èçîëèðîâàí4 FRQVW , ãäå 4 è 4 — àëãåáðàè÷åñêèå ñóììû çàðÿíîé ñèñòåìå: 4 äîâ ñèñòåìû â íà÷àëå è êîíöå êàêîãî-ëèáî ïðîöåññà. Âñëåäñòâèå èíâàðèàíòíîñòè çàðÿäà åãî âåëè÷èíà â èçîëèðîâàííîé ñèñòåìå íå ïðîñòî ïîñòîÿííà, îíà îäèíàêîâà âî âñåõ ÈÑÎ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ïðîñòðàíñòâà Ã. Ìèíêîâñêîãî çàðÿä ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ÷åòûð¸õìåðíûé ñêàëÿð è ââîäèòñÿ ÷åòûð¸õìåðíûé òåíçîð ýíåðãèè è èìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, êîìïîíåíòû êîòîðîãî èçìåíÿþòñÿ ñîãëàñíî ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà. Îáúåäèíèì òåïåðü ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè çàðÿäà (1.5.4) ñ îïðåäåëåíèåì äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà (1.5.3).  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì íîâûé ôóíäàìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò: çàêîí Ãàóññà íå çàâèñèò îò äâèæåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñèñòåìó ÷àñòèö, à çíà÷èò, è îò âûáîðà ÈÑÎ, òàê ÷òî G G G G ( G6 ( c G6c  (1.5.5) ³ 6 W ³ 6c Wc ãäå 6c — çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü, îêðóæàþùàÿ â ìîìåíò âðåìåíè W c â øòðèõîâàííîé ÈÑÎ òå æå ñàìûå çàðÿæåííûå ÷àñòèöû, ÷òî G è ïîâåðõíîñòü 6 â ìîìåíò âðåìåíè t â íåøòðèõîâàííîé ÈÑÎ. Ïðè ýòîì ïîëå ( c â øòðèõîâàííîé ÈÑÎ äîëæíî áûòü òàêæå èçìåðåíî îäíîâðåìåííî â ìîìåíò âðåìåíè W c , òî åñòü îïðåäåëåíî ïî ñèëå, äåéñòâóþùåé íà íåïîäâèæíûå â ýòîé ÈÑÎ ïðîáíûå çàðÿäû â ìîìåíò âðåìåíè W c . Òåì ñàìûì, çàêîí Ãàóññà èìååò ñìûñë èíâàðèàíòíîãî çàêîíà ïðèðîäû, ýêâèâàëåíòíîãî óòâåðæäåíèþ îá èíâàðèàíòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà. 32 ÃËÀÂÀ 1 G G( c X u %@  (1.6.23) G ãäå X — ñêîðîñòü òî÷å÷íîãî çàðÿäà T . Ñîîòíîøåíèå (1.6.23) åñòü ôîðìóëà Ëîðåíöà. Ôîðìóëà Ëîðåíöà (1.6.23) ïîçâîëÿåò ðàçäåëÿòü äåéñòâèå ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé çàðÿäîâ â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¸òà (ÈÑÎ). Ïðèíÿòî íàG çûâàòü ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ( òó ÷àñòü ñèëû, äåéñòâóþùåé íà åäèíè÷íûé ïðîáíûé çàðÿä ñî ñòîðîíû ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìû çàðÿäîâ, êîòîðàÿ Gâ äàííîé ÈÑÎ íå çàâèñèò îò åãî ñêîðîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî, ìàãíèòíûì ïîëåì % , âõîäÿG ùèì â (1.6.23), íàçûâàþò òó ÷àñòü ñèëû, êîòîðàÿ çàâèñèò îò ñêîðîñòè X ïðîáíîãî çàðÿäà â äàííîé ÈÑÎ. Òàêèì Gîáðàçîì, ôîðìóëó Ëîðåíöà (1.6.23) ìîæíî òðàêG òîâàòü êàê îïðåäåëåíèå ïîëåé ( è % ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìû çàðÿäîâ â ëþáîé G ÈÑÎ. Äîñòîèíñòâî ýòîãî îïðåäåëåíèÿ â òîì, ÷òî òàêîå ââåäåíèå âåêòîðîâ ( è G % â ëþáîé ÈÑÎ ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì äëÿ ëþáûõ ñîçäàþùèõ èõ çàðÿäîâ G è îí íå çàâèñèò îò ñâîéñòâ ïðîáíîãî çàðÿäà. Ïðè ýòîì äëÿ îáíàðóæåíèÿ ïîëåé ( è G % äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü òîëüêî îäèí «óíèâåðñàëüíûé äàò÷èê» — ïðîáíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä (íåò íåîáõîäèìîñòè äëÿ ôèêñàöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ èñïîëüçîâàòü ìàãíèòíóþ ñòðåëêó). Èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î åäèíîé ïðèðîäå ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. 1.6.4. Çàêîí Áèî-Ñàâàðà äëÿ ïðÿìîãî áåñêîíå÷íîãî òîêà. Íàéä¸ì âåêòîð ìàãíèòG íîé èíäóêöèè % , ñîçäàâàåìîé áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîé íèòüþ, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v âäîëü ñâîåé îñè. Äâèæóùàÿñÿ íèòü ýêâèâàëåíòíà ïðÿìîìó áåñêîíå÷íîìó òîêó, ïëîòíîñòü êîòîðîãî Rv, à ñèëà — , 5Y6 , ãäå R — ïëîòíîñòü çàðÿäà äâèæóùåéñÿ íèòè, v — ñêîðîñòüG íèòè, G 6 — ïëîùàäü å¸ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Èç (1.6.20) âèäíî, ÷òî âåêòîð % *  T â òî÷êå, ðàñïîëîæåííîé â ïëîñêîñòè XOY, íàïðàâëåí âäîëü îñè OZ, òî åñòü ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé ïëîñêîñòè. Îäíàêî ïëîñêîñòü XOY âûáðàíà îòíîñèòåëüíî ïðÿìîãî òîêà, òåêóùåãî âäîëü îñè OX, ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíî, ïîñêîëüêó âñå íàïðàâëåíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðG íûå ïðÿìîìó áåñêîíå÷íîìó òîêó, ðàâíîïðàâíû. Ïîýòîìó âåêòîð % áåñêîíå÷íîãî ïðÿìîãî òîêà ëåæèò â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ëèíèè òîêà. Îí íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè, ëåæàùåé â ñîîòâåòñòâóþùåé ïëîñêîñòè è êîíöåíòðè÷åñêîé ïðÿìîìó òîêó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàãíèòíûå ñèëîâûå ëèíèè ÿâëÿþòñÿ Gîêðóæíîñòÿìè, êîíöåíòðè÷åñêèìè áåñêîíå÷íîìó ïðÿG ìîìó òîêó. Çíà÷åíèå % *  T íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îò òîêà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî íà îñíîâàíèè (1.6.20) ñ ó÷¸òîì (1.6.2). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå àêñèàëüíî ñèììåòðè÷íî è çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ r îò íèòè è ïîëàãàÿ â (1.6.2) \c \ U , ïîëó÷àåì % * T P ,  S U (1.6.24) Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûâîäå (1.6.24) ó÷òåíû ôîðìóëà (1.6.6) è ñîîòíîøåíèå H  F   P  (c — ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå). Ñîîòíîøåíèå (1.6.24) åñòü çàêîí Áèî-Ñàâàðà äëÿ ïðÿìîëèíåéíîãî áåñêîíå÷íîãî òîêà. 38 ÃËÀÂÀ 1 Èç èçëîæåííîãî âûøåG ñëåäóåò, ÷òî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà äâèæóùèéñÿ çàðÿä, îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì % , è ïîýòîìó ñëåäîâàëî áû íàçâàòü ýòîò âåêòîð íàïðÿæ¸íG íîñòüþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïî àíàëîãèè ñ íàïðÿæ¸ííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ( . Îäíàêî èñòîðè÷åñêè ñëîæèëîñü òàê, ÷òî ýòîò âåêòîð ïîëó÷èë íàçâàíèå âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ èëè ïðîñòî ìàãíèòíîé èíäóêöèè. 1.6.5. Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé. Èç (1.6.23) ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé. Ñ÷èòàåì, ÷òî âûðàæåíèå (1.6.23) äîëæíî áûòü êîâàðèàíòíûì, òî åñòü äëÿ ñèñòåì K è . c (ñì. ðèñ. 1.11) ìîæíî çàïèñàòü: G G G G G G G G (1.6.25) ) T (  X u %  ) c T ( c  Xc u %c  ïðè ýòîì ýëåìåíòàðíûé çàðÿä q ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé, à ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó êîìïîíåíòàìè ñèë çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (1.6.17). Ïðîèçâîäÿ äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ (àíàëîãè÷íûå òåì, Gêîòîðûå G áûëè ïðîäåëàíû â ðàçäåëå 1.6.3), ïîëó÷àåì ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå ïîëÿ ( è % â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ: ([ (\ (] ( [c  %[ ( c\  Y %]c   E ( ]c  Y %c\     E %\ %] %c[  %c\  Y( ]c  F    E %]c  Y( c\  F (1.6.26)    E Ïîä÷åðêí¸ì, ÷òî ôîðìóëû (1.6.26) Gñïðàâåäëèâû ïðè ïåðåõîäå îò íåïîäâèæíîé G ñèñòåìû îòñ÷¸òà ^ ; c < c =c ` (ïîëÿ ( c è % c ) ê Gäâèæóùåéñÿ ïðîòèâ îñè 2; c ñî G ñêîðîñòüþ v ñèñòåìå îòñ÷¸òà ^ ; < = ` (ïîëÿ ( è % ). Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.6.26), ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé èçìåíÿþòñÿ G òîëüêî G G ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó Y ñîñòàâëÿþùèå ïîëåé ( è % , à ïðîäîëüíûå — íå èçìåíÿþòñÿ. 1.6.6. Åäèíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå è åãî èíâàðèàíòíûå õàðàêòåðèñòèêè. Äî G G íàñòîÿùåãî ìîìåíòà ïðè ðàññìîòðåíèè âåêòîðîâ ( è % îáùíîñòü ìåæäó íèìè ïðîÿâëÿëàñü òîëüêî â òîì, ÷òî îíè îáà ÿâëÿëèñü õàðàêòåðèñòèêàìè âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ íà ïðîáíûé çàðÿä â êîíêðåòíîé ÈÑÎ, íå çàâèñÿùèìè îò åãî ïàðàìåòðîâ. Ïîêàæåì, ÷òî ýòè âåêòîðû ñîâìåñòíî èãðàþò ðîëü îáúåêòíûõ õàðàêòåðèñòèê ýëåêòðîìàãíèòíîãî âîçäåéñòâèÿ G â ëþáîé ÈÑÎ. Ñ ýòîé öåëüþ ïåðåïèøåì ôîðìóëû ïðåîáG ðàçîâàíèÿ ïîëåé ( è % (1.6.26) â ñëåäóþùåì âèäå: ( [ ( [c  %[ %c[  (\ (] ( c\  Y %]c   E ( ]c  Y  %c\   E  %\   %]  %c\  Y ( ]c  F   E %]c  Y ( c\  F   E    (1.6.27) Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 39 Èç (1.6.27) âèäíî, ÷òî çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèé ïîëåé ïðè ñìåíå ÈÑÎ îáëàäàþò ïîëíîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî âçàèìíûõ ïåðåñòàíîâîê: ( [ l F %[  ( \ l  F %\  (1.6.28) ( ] l F %]  ÷òî õàðàêòåðèçóåò âçàèìîñâÿçü è âíóòðåííåå åäèíñòâî ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî âîçäåéñòâèé. Òàêîé âûâîä åù¸ áîëåå èíòåðåñåí ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî îí ïîëó÷åí èç G G âûðàæåíèÿ äëÿ ñèëû Ëîðåíöà (1.6.23), â êîòîðîå êîìïîíåíòû âåêòîðîâ ( è % âõîäÿò ÿâíî íåñèììåòðè÷íî. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü î òîì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ðàâíîïðàâíûìè, à ñîâîêóïíîñòü øåñòè êîìïîíåíò ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ñîâìåñòíî Gîáðàçóþò åäèíûé ôèçè÷åñêèé èíâàðèàíòíûé îáúåêò — ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå 7 ^ ( [  ( \  ( ]  % [  % \  %] ` , êîòîðûé ìîæåò áûòü îáíàðóæåí ïî åãî äåéñòâèþ íà ïðîáíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä â ëþáîé ÈÑÎ ïóò¸ì èçìåðåíèÿ ñèëû Ëîðåíöà (1.6.23).G Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå 7 êàê åäèíûé ôèçè÷åñêèé îáúåêò îáëàäàåò èíâàðèàíòàìè, òî åñòü òàêèìè êîìáèíàöèÿìè ñîñòàâëÿþùèõ 7L L   , êîòîðûå íå èçìåíÿþòñÿ ïðè ñìåíå ÈÑÎ. Òàêèõ èíâàðèàíòîâ ìîæíî îáðàçîâàòü äâà: , , (   F %  FRQVW  G G ( % FRQVW  (1.6.29) Èíâàðèàíòíîñòü âåëè÷èí , è , ïðîâåðÿåòñÿ ïóò¸ì ïðÿìîé ïîäñòàíîâêè â íèõ ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé (1.6.26). Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè (1.6.29). G G â ëþáîé ÈÑÎ. 1. Åñëè ,  , òî ïîëÿ ( è % ïåðïåíäèêóëÿðíû G G % ,  , òî ìîäóëè âåêòîðîâ è ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé c ñîâïà2. Åñëè (  G G äàþò ( _ ( _ F _ % _ ) â ëþáîé ÈÑÎ. 3. Åñëè , ,  , òî îäíîâðåìåííî G G G G (1.6.30) _ ( _ F _ % _ ( A % Âñëåäñòâèå èíâàðèàíòíîñòè , è G, óñëîâèÿ (1.6.30) âûïîëíÿþòñÿ â ëþáîé ÈÑÎ.  åäèíîì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå 7 , âî-ïåðâûõ, åãî «ýëåêòðè÷åñêàÿ» è «ìàãíèòíàÿ» ñîñòàâëÿþùèå ñîâåðøåííî ðàâíîïðàâíû è íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî êàêàÿ-òî ñîñòàâëÿþùàÿ ïðîÿâëÿåòñÿ çà ñ÷¸ò ðåëÿòèâèñòñêîãî ýôôåêòà. Âî-âòîðûõ, ñâîéñòâà òàêîãî ïîëÿ íå çàâèñÿò îò êàêèõ-ëèáî õàðàêòåðèñòèê çàðÿæåííûõ ÷àñòèö; ýòî âíóòG ðåííèå ñâîéñòâà ñàìîãî ïîëÿ 7 . Â-òðåòüèõ, ñâîéñòâà ýòîãî ïîëÿ íå çàâèñÿò îò G ñêîðîñòè Y ÈÑÎ, òî åñòü ó ïîëÿ íåò íè îäíîãî ïàðàìåòðà, êîòîðûé áûë áû ïðèâÿçàí ê ïåðñîíàëüíîé ÈÑÎ. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âîçìîæíà òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ôèçè÷åñêèé îáúåêò (ïîëå) ñàì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, òî åñòü êîãäà óñëîâèÿ (1.6.30) îïðåäåëÿþò ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå. Èç óñëîâèÿ ,G  ìîæíîG ñäåëàòü è äðóãèå âàæíûå âûâîäû.  ÷àñòíîñòè, åñëè â êàêîé-òî GÈÑÎG (  èëè %  , òî â ëþáîé äðóãîé G ÈÑÎ G ñóùåñòâóþò îáà ïîëÿ, ïðè÷¸ì ( c A %c . Íàîáîðîò, åñëè â êàêîé-òî ÈÑÎ ( A % , òî ñóùåñòâóåò ÈÑÎ, â 40 ÃËÀÂÀ 1 G G êîòîðîé ëèáî %  , ëèáî (  .  êà÷åñòâå òàêèõ ïðèìåðîâ ïîëåé ìîæíî ïðèâåñòè ïîëÿ çàðÿæåííîé ïëîñêîñòè è ïðîâîäÿùåé ëåíòû ñ òîêîì. 1.7. Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè è òîê ñìåùåíèÿ 1.7.1. Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè. Óñòàíîâëåííûé ðàíåå çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà ìàòåìàòè÷åñêè âûðàæàåòñÿ óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè. Çàðÿä, çàêëþ÷¸ííûé âíóòðè îáú¸ìà V, âû÷èñëÿåòñÿ êàê 4 ³ 5 G9  (1.7.1) 9 Åñëè çàðÿä 4 âíóòðè äàííîãî îáú¸ìà èçìåíÿåòñÿ, òî ïðîèñõîäèò åãî äâèæåíèå ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷èâàþùóþ ðàññìàòðèâàåìûé îáú¸ì V. Âåëè÷èíà çàðÿäà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü â òå÷åíèå ìàëîãî èíòåðâàëà âðåìåíè GW , áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êàê G G G 4 GW - G6  (1.7.2) ³ 6 ãäå èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèëó òîêà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S. Îí ïîëîæèòåëåí, åñëè òîê âûòåêàåò èç ðàññìàòðèâàåìîãî îáú¸ìà, è îòðèöàòåëåí, åñëè âòåêàåò. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà âòåêàíèå èëè âûòåêàíèå åãî äîëæíû ïðèâåñòè ê ñîîòâåòñòâóþùèì èçìåíåíèÿì âåëè÷èíû 4 (çàðÿäà, çàêëþ÷¸ííîãî â äàííîì îáú¸ìå). Ýòî èçìåíåíèå çà âðåìÿ GW ðàâíî w5 G4 G9  GW GW (1.7.3) wW GW ³ 9 Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà, âåëè÷èíû (1.7.2) è (1.7.3) ðàâíû ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ, íî ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó: G G w5 G9  - G6  (1.7.4) wW ³ 6 ³ 9 Ïðèìåíÿÿ ê ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.7.4) òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà, ïîëó÷àåì G §¨ w5  GLY - ·¸ G9   (1.7.5) W w © ¹ ³ 9 Òàê êàê ðàâåíñòâî (1.7.5) ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îáú¸ìà V, ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ: G w5 (1.7.6)  GLY -   wW Ýòî åñòü óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè, ÿâëÿþùååñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà. 1.7.2. Ëèíèè òîêîâ ïðîâîäèìîñòè.  ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ òîêîâ îáú¸ìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ â êàæäîé òî÷êå ïîñòîÿííà è, ñëåäîâàòåëüíî, w5 (1.7.7)  wW Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà Ïîýòîìó äëÿ ïîñòîÿííûõ òîêîâ óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè èìååò âèä: G GLY -   41 (1.7.8) èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ëèíèè ïîñòîÿííîãî òîêà íå èìåþò íè íà÷àëà, íè êîíöà. Ýòî ëèáî çàìêíóòûå ëèíèè, ëèáî ëèíèè, óõîäÿùèå â áåñêîíå÷íîñòü.  ñëó÷àå ïåðåìåííûõ òîêîâ ëèíèè âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà íå çàìêíóòû, ïîñêîëüêó G w5 (1.7.9) GLY -  z  G wW Èç (1.7.9) ñëåäóåò, ÷òî ëèíèè âåêòîðà - íà÷èíàþòñÿ â òåõ òî÷êàõ, ãäå èçìåíÿåòñÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà. Ïëîòíîñòü òîêà ñâÿçàíà ñ äâèæåíèåì ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ â ïðîâîäíèêå, ïîýòîìó å¸ íàçûâàþò ïëîòíîñòüþ òîêà ïðîâîäèìîñòè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ñîäåðæàùóþ êîíäåíñàòîð, îáêëàäêè êîòîðîãî ðàçäåëåíû âàêóóìîì. Êàê èçâåñòíî, ïî òàêîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîñòîÿííûé òîê íå ïðîòåêàåò, ïîñêîëüêó â ïðîñòðàíñòâå ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà íåò ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ, âñëåäñòâèå ÷åãî ëèíèè ïëîòíîñòè òîêà G ïðîâîäèìîñòè - ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà òåðïÿò ðàçðûâ è, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (1.7.8) íå óäîâëåòâîðÿåòñÿ. 1.7.3. Çàêîí Ãàóññà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âåëè÷èíàìè, âõîäÿùèìè â ðàâåíñòâî (1.5.2), íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà. Ïðèìåíèâ å¸ ê ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.5.2), ïîëó÷àåì G G G ( G6 GLY ( G9  (1.7.10) ³ 6 ³ 9  ðåçóëüòàòå èç (1.5.2) ñ ó÷¸òîì (1.7.10) ñëåäóåò, ÷òî G GLY (  5  H  G9   ³ (1.7.11) 9 Ïðè çàïèñè (1.7.11) ó÷òåíî, ÷òî äëÿ âàêóóìà ïîñòîÿííàÿ D   H  . Èç ðàâåíñòâà (1.7.11), â êîòîðîì îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîèçâîëüíà, ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå: G 5 (1.7.12) GLY (  H êîòîðîå íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Ãàóññà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå. 1.7.4. Òîê ñìåùåíèÿ.  ñëó÷àå ïåðåìåííûõ òîêîâ íàëè÷èå â öåïè êîíäåíñàòîðà íå ïðåïÿòñòâóåò èõ ïðîòåêàíèþ. Òàê êàê â ïðîñòðàíñòâå ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ íåò, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òàì äîëæåí ïðîèñõîäèòü íåêîòîðûé ïðîöåññ, ýêâèâàëåíòíûé ïðîòåêàíèþ òîêà ïðîâîäèìîñòè. Ãîâîðÿò, ÷òî ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà ñóùåñòâóåò òîê ñìåùåíèÿ, çàìûêàþùèé òîê ïðîâîäèìîñòè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ òîêà ñìåùåíèÿ ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.7.12): G w5 § w( · H GLY ¨ ¸  (1.7.13) wW © wW ¹ 42 ÃËÀÂÀ 1  (1.7.13) ó÷òåíî, ÷òî êîîðäèíàòû è âðåìÿ ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè, ïîýòîìó ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî íèì ìîæåò áûòü èçìåí¸í. Ïîäñòàâëÿÿ (1.7.13) â (1.7.6), ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå ñîîòíîøåíèå G § w ( G· GLY ¨ H  -¸   © wW ¹ èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ëèíèè âåêòîðà G G w( G H wW âñåãäà çàìêíóòû. Âåêòîð G G w( (1.7.14) H wW íàçûâàåòñÿ îáú¸ìíîé ïëîòíîñòüþ òîêà ñìåùåíèÿ.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ êîíäåíñàòîðîì, êîãäà ïî öåïè ïðîòåêàåò ïåðåìåííûé òîê I, çàðÿä 4 íà êàæäîé îáêëàäêå èçìåíÿåòñÿ, ïðè ýòîì , GG4  GW . Åñëè ïëîùàäü îáêëàäêè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà 6 , òî ìîäóëü âåêòîðà ( ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà, êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû Ãàóññà, ñâÿçàí ñ çàðÿäîì 4 íà îáêëàäêå ðàâåíñòâîì 4 (  H 6 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî w( ,  wW 6 òî åñòü ïëîòíîñòü òîêà ñìåùåíèÿ ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà ðàâíà ïëîòíîñòè òîêà ïðîâîäèìîñòè, êîòîðûé ïðîòåêàë áû ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà, åñëè áû ïðîñòðàíñòâî ìåæäó íèìè áûëî çàïîëíåíî ïðîâîäÿùåé ñðåäîé. Ïî ñâîåé ôèçèG íè÷åãî îáùåãî ñ òîêîì ïðîâîäèìîñòè íå èìååò. ÷åñêîé ïðèðîäå òîê ñìåùåíèÿ Ïëîòíîñòü òîêà ñìåùåíèÿ åñòü âåëè÷èíà, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äàííîé òî÷êå. Îäíàêî ýòà âåëè÷èíà íå ñëó÷àéíî íàçûâàåòñÿ òîêîì. Äåëî â òîì, ÷òî òîê ñìåùåíèÿ ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîÿâëåíèåì òî÷íî òàêîãî æå ìàãíèòíîãî ïîëÿ, êàêîå âîçíèêàåò ïðè íàëè÷èè ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ïî ðàâåíñòâó (1.7.14) òîêà ïðîâîäèìîñòè. Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ýòî ÿâëåíèå äîïîëíÿåò ñâÿçü ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèì è ìàãíèòíûì ïîëÿìè, îïðåäåëÿåìóþ çàêîíîì ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Íå òîëüêî èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, íî è íàîáîðîò, èçìåíåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ. H 1.8. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â âàêóóìå 1.8.1. Îáîáùåíèå çàêîíà ïîëíîãî òîêà.  ñëó÷àå ïîñòîÿííûõ òîêîâ ïðîâîäèìîñòè èìååò ìåñòî çàêîí ïîëíîãî òîêà, óòâåðæäàþùèé, ÷òî öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà L ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ ýòèì êîíòóðîì, óìíîæåííîé íà P : G G % GO P ,  ³ 43 (1.8.1) / ãäå , — àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà âñåõ òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ ïðîèçâîëüíûì çàìêíóòûì êîíòóðîì / , òî åñòü ïîëíûé òîê ïðîâîäèìîñòè; P  — ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü âàêóóìà (ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ). Íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà L ïðè èíòåãðèðîâàíèè ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîëíîãî òîêà ïðàâîâèíòîâóþ ñèñòåìó. Çàêîí ïîëíîãî òîêà ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç çàêîíà Áèî-Ñàâàðà äëÿ áåñêîíå÷íîãî ïðÿìîëèíåéíîãî òîêà. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ áåñêîíå÷íîãî ïðÿìîëèíåéíîãî òîêà íà ïðîèçâîëüíîì G ðàññòîÿíèè r îò íåãî îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (1.6.24), ïðè÷åì âåêòîð èíäóêöèè % íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè ðàäèóñà r ñ öåíòðîì íà îñè òîêà, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ òîêà. ÇàïèG øåì öèðêóëÿöèþ âåêòîðà % âäîëü ïðîèçâîëüíîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà / , îõâàòûâàþùåãî òîê, ïðîâåäåííîãî â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ òîêà, â âèäå: G G * %G % GO  v³ / G Ïîñêîëüêó ïðîåêöèÿ ýëåìåíòà GO íà íàïðàâëåíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ðàäèóñG âåêòîðó U : GO U GD , ãäå GD — óãîë, ïîä êîòîðûì ýëåìåíò dl âèäåí èç öåíòðà îêðóæíîñòè, ñ ó÷¸òîì (1.6.24), èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó / , îõâàòûâàþùåìó òîê, âû÷èñëèòñÿ êàê v³ G G %GO P , S / S ³ GD P ,  (1.8.2)  Åñëè æå êîíòóð L íå îõâàòûâàåò òîê, òî èíòåãðàë (1.8.2), î÷åâèäíî, ðàâåí íóëþ. Åñëè èìååòñÿ íåñêîëüêî òîêîâ, òî èõ ìàãíèòíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ïîëåé, ñîçäàííûõ êàæäûì òîêîì â îòäåëüíîñòè. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (1.8.2) ê ýòîé ñóììå ïîëåé, ïîëó÷èì G G G G %GO %L GOL P , L P ,  (1.8.3) ³ / ¦ v³ L ¦ L /  (1.8.3) çíàê , L çàâèñèò îò íàïðàâëåíèé òîêà è îáõîäà êîíòóðà L ïðè èíòåãðèðîâàíèè. Åñëè íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà L ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëåíèåì òîêà , L ïðàâîâèíòîâóþ ñèñòåìó, òî çíàê , L ïîëîæèòåëåí, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — îòðèöàòåëåí. Òàêèì îáðàçîì, â ôîðìóëå (1.8.3) òîê I åñòü àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ êîíòóðîì L, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ïîëíûé òîê, îõâàòûâàåìûé ýòèì êîíòóðîì. Òàêèì îáðàçîì, çàêîí ïîëíîãî òîêà äîêàçàí äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïðÿìîëèíåéíûõ òîêîâ è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîíòóðà, ëåæàùåãî â ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ òîêà ïëîñêîñòè. ×òîáû îñâîáîäèòüñÿ îò ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ, çàïèøåì çàêîí (1.8.3) â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå. Ïîëíûé òîê I, îõâàòûâàåìûé êîíòóðîì L, ðàâåí G G (1.8.4) , - G6  ³ 6 ãäå S — ïîâåðõíîñòü, îïèðàþùàÿñÿ íà êîíòóð L. Çàïèøåì ôîðìóëó (1.8.3) ñ ó÷¸- 44 ÃËÀÂÀ 1 òîì (1.8.4) â âèäå G G v³ %GO / G G P -G6  ³ (1.8.5) 6 Ïðåîáðàçóÿ ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (1.8.5) ïî òåîðåìå Ñòîêñà, ïîëó÷àåì: G G G URW %  P  - G6   ³ (1.8.6) 6 Òàê êàê ïîâåðõíîñòü S ïðîèçâîëüíà, òî èç (1.8.6) ñëåäóåò, ÷òî G G (1.8.7) URW % P -  Cîîòíîøåíèå (1.8.7) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì, åãî âèä íå çàâèñèò îò òîãî, G êàê âåäåò ñåáÿ òîê - â äðóãèõ òî÷êàõ. Ïîýòîìó, õîòÿ ýòî ñîîòíîøåíèå è âûâåäåíî äëÿ ïðÿìîëèíåéíûõ òîêîâ, îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òîêîâ. Ïóñòü S — ïîâåðõíîñòü, îïèðàþùàÿñÿ íà ïðîèçâîëüíûé êîíòóð L, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîòåêàåò ïðîèçâîëüíûé òîê I. Ïðîèíòåãðèðîâàâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.8.7) ïî S, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: G G G G URW % G6 P  - G6  (1.8.8) ³ ³ 6 6 èç êîòîðîãî íåòðóäíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå (1.8.1) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òîêà è êîíòóðà. Òåì ñàìûì ìû îñâîáîäèëèñü îò îãðàíè÷åíèé, ïðè êîòîðûõ ïåðâîíà÷àëüíî áûëà ïîëó÷åíà ôîðìóëà (1.8.5) è ââåä¸í çàêîí ïîëíîãî òîêà (1.8.1).  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå áûëî îòìå÷åíî, ÷òî â ñëó÷àå ïåðåìåííûõ ïîëåé ìàãíèòíîå ïîëå ñîçäàåòñÿ íå òîëüêî òîêîì ïðîâîäèìîñòè, íî è òîêîì ñìåùåíèÿ, ïðè÷åì ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ, ñîçäàâàåìàÿ òîêîì ñìåùåíèÿ, ðàâíà èíäóêöèè, ñîçäàâàåìîé ñîîòâåòñòâóþùèì åìó òîêîì ïðîâîäèìîñòè. Ïîýòîìó åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì çàêîíà ïîëíîãî òîêà (1.8.1), çàïèñàííîãî äëÿ òîêà ïðîâîäèìîñòè, ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå ýòîãî çàêîíà è äëÿ òîêà ñìåùåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîä I ìîæíî ïîíèìàòü G ïîëíûé òîê, ðàâíûé ñóììå òîêîâ ïðîâîäèìîñòè è òîêîâ ñìåùåíèÿ, à âìåñòî - â (1.8.8) íàäî íàïèñàòü ñóììó ïëîòíîñòåé òîêà ïðîâîäèìîñòè è ñìåùåíèÿ. Ïîýòîìó îáîáùåíèå óðàâíåíèÿ (1.8.5) èìååò âèä G G G w( °½ G °­ G (1.8.9) % GO ®P -  P H ¾ G6 w W ° ° ¿ / 6¯ îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî G G G w( (1.8.10) URW % P  -  P  H   wW Ñîîòíîøåíèå (1.8.10) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü îáîáù¸ííûì çàêîíîì ïîëíîãî òîêà. v³ ³ 1.8.2. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ïðè èçìåíåíèè ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè Ô ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ çàìêíóòûì ïðîâîäíèêîì, â íåì âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðîäâèæó. Çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ èìååò âèä ùåé ñèëû èíäóêöèè ( G) (   (1.8.11) GW Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 45 Çíàê ìèíóñ ó÷èòûâàåò ñâÿçü ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû èíäóêöèè è ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ïîòîêà. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê â ïðîâîäíèêå ïîÿâëÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå âîçíèêíîâåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà â çàìêíóòîì êîíòóðå L ÷èñëåííî ðàâíà ðàáîòå ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà âäîëü ýòîãî êîíòóðà: G G ( ( GO  (1.8.12) v³ / Ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê G G ) % G6 ³ (1.8.13) 6 è âûðàæàåòñÿ â âåáåðàõ [Âá]. Ñ ó÷åòîì (1.8.12) è (1.8.13) ðàâåíñòâî (1.8.11) ïðèíèìàåò áîëåå îáùèé âèä: G G G G G ( GO  %G6 (1.8.14) GW v³ ³ / 6 ßâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè íå ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì çàìêíóòîãî ïðîâîäíèêà. Èçìåíåíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì ýëåêG òðè÷åñêîãî ïîëÿ íåçàâèñèìî îò òîãî, èìååòñÿ ëè ïðîâîäíèê w% èëè íåò. Çàìêíóòûé ïðîâîäíèê ëèøü îáåñïå÷èâàåò ïîÿâëåwW íèå òîêà ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïîýòîìó ñîG îòíîøåíèå (1.8.14) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî êîí( òóðà, ìûñëåííî ïðîâåäåííîãî â ïðîñòðàíñòâå. Ïðèìåíÿÿ ê ëåâîé ÷àñòè (1.8.14) òåîðåìó Ñòîêñà è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ïîâåðõíîñòü èíÐèñ. 1.12 òåãðèðîâàíèÿ S îò âðåìåíè íå çàâèñèò, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè ìîæíî âíåñòè ïîä çíàê èíòåãðàëà, ïîëó÷àåì G G G w% G URW ( G6  G6  (1.8.15) wW ³ ³ 6 6 Òàê êàê ïîâåðõíîñòü S ïðîèçâîëüíà, òî G URW ( G w%   wW (1.8.16) Çíàê «–» â (1.8.16) óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âåêòîð ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè è âîçíèêàþùàÿ ïðè ýòîì â çàìêíóòîì êîíòóðå Ý.Ä.Ñ. èíäóêöèè ñîñòàâëÿþò ëåâîâèíòîâóþ ñèñòåìó (ðèñ. 1.12). Óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà (1.8.16) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìîé îáîáù¸ííîãî çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ. G 1.8.3. Óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà GLY %  . Ïðèìåíèì ê îáåèì ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ (1.8.16) îïåðàöèþ äèâåðãåíöèè: G G §w %· GLY URW (  GLY ¨ ¸ © wW ¹ 46 ÃËÀÂÀ 1 Ïîñêîëüêó äèâåðãåíöèÿ ðîòîðà âñåãäà ðàâíà íóëþ, òî G G w% w GLY GLY %   wW wW G G Òàêèì îáðàçîì, GLY % íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Åñëè GLY % âðåìåíè, òî îíà ðàâíà íóëþ âñåãäà: G GLY %    â êàêîé-òî ìîìåíò (1.8.17) G Èç óðàâíåíèÿ (1.8.17) ñëåäóåò, ÷òî ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè % íå èìåþò íè íà÷àëà, íè êîíöà. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ñâîáîäíûõ ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ, êîòîðûå ñîçäàþò ìàãíèòíîå ïîëå ïîäîáíî òîìó, êàê ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ñîçäàþò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. 1.8.4. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â âàêóóìå. Óðàâíåíèÿ (1.7.12), (1.8.10), (1.8.16), (1.8.17) ñîñòàâëÿþò ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â âàêóóìå: G G G G G w( w% URW % P  -  P  H   URW (   wW wW (1.8.18) G 5 G GLY %   GLY (  H 1.8.5. Ïîëíîòà ñèñòåìû. Óðàâíåíèÿ (1.8.18) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó âîñüìè ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî øåñòè ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí: ( [  ( \  ( ]  %[  %\  %] . Çàäàííûìè ñ÷èòàþòñÿ 5 - [  - \  -] . Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî óðàâíåíèé ïðåâîñõîäèò ÷èñëî íåèçâåñòíûõ è, íà ïåðâûé âçãëÿä, ñèñòåìà (1.8.18) ÿâëÿåòñÿ ïåðåïîëíåííîé. Îäíàêî ýòî ñîâìåñòíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, òàê êàê ïåðâîå è ÷åòâ¸ðòîå, à òàêæå âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Ñâÿçü âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé îáíàðóæèâàåòñÿ ñðàçó, åñëè îò îáåèõ ÷àñòåé âòîðîãî óðàâíåíèÿ âçÿòü îïåðàöèþ div, à îáå ÷àñòè òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ïî âðåìåíè.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåòñÿ îäíî è òî æå óðàâíåíèå G w GLY %  wW  . Àíàëîãè÷íî, ñ ó÷åòîì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà (1.7.6) ÷åòâ¸ðòîå óðàâíåíèå èç (1.8.18) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëåäñòâèå ïåðâîãî óðàâíåíèÿ. ×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, ïðèìåíèì îïåðàöèþ div ê ïåðâîìó óðàâíåíèþ: G G G GLY URW % P  GLY -  P  H  w GLY (  wW    ðåçóëüòàòå, ïîëó÷àåì G G H w GLY (  wW  GLY - Ñðàâíèâàÿ (1.8.19) ñ (1.7.6), âèäèì, ÷òî  (1.8.19) G GLY ( 5  H  òî åñòü ïîëó÷àåì ÷åòâ¸ðòîå óðàâíåíèå èç (1.8.18). Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî îíî ñ ó÷åòîì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà (1.7.6) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ èç (1.8.18). Ââèäó ñóùåñòâîâàíèÿ äâóõ óêàçàííûõ âûøå äèôôåðåíöèàëüíûõ ñâÿçåé ìåæäó óðàâíåíèÿìè (1.8.18) ýòà ïåðåïîëíåííàÿ ñèñòåìà îêàçûâàåòñÿ ñîâìåñòíîé. Ïîýòîìó óðàâíåíèÿ (1.8.18) ñîâìåñòíî ñ íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïîëíîñòüþ Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 47 G G îïðåäåëÿþò äâà âåêòîðà: ( è % . Ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ, íå ÿâëÿÿñü ñòðîãèì äîêàçàòåëüñòâîì, óêàçûâàþò íà òî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ âàêóóìà (1.8.18) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. 1.9. Âåêòîðû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñïëîøíîé ñðåäå 1.9.1. Ìèêðîñêîïè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà-Ëîðåíöà. Ìàêðîñêîïè÷åñêèå (óñðåäí¸ííûå) ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ. Ðàññìîòðèì ýëåêòðîííóþ ìîäåëü âåùåñòâà Ëîðåíöà, êîòîðàÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â âàêóóìå êàêèì-ëèáî îáðàçîì ðàñïðåäåë¸í çàðÿä è ñâÿçàííûé ñ íèì òîê.  ñèëó ñâîåé äèñêðåòíîñòè çàðÿä ñîñòîèò èç íåäåëèìûõ ýëåìåíòàðíûõ çàðÿäîâ e, ðàâíûõ çàðÿäó ýëåêòðîíà. Ïîýòîìó èñòèííûå îáú¸ìíûå ïëîòíîñòè çàðÿäà è òîêà, îáðàçîâàííîãî äèñêðåòíîé ñòðóêòóðîé çàðÿäîâ è èõ äâèæåíèåì, áóäåì íàçûâàòü ìèêðîïëîòíîñòüþ çàðÿäà ( 5 ) è ìèêðîïëîòíîñòüþ G G òîêà ( - ).  ñîîòâåòñòâèè ñ ýëåêòðîííîé òåîðèåé âåùåñòâà Ëîðåíöà 5 è ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ òð¸õìåðíîé d-ôóíêöèè Äèðàêà: 1 G 5 U W G G ¦ HQ G U  UQ W Q  1 G G - U W ¦  (1.9.1) G G G H Q YQ W G U  UQ W  Q  G ãäå H Q è YQ W — ñîîòâåòñòâåííî çàðÿä è ñêîðîñòü n-îé ÷àñòèöû. Ñóììèðîâàíèå â ôîðìóëàõ (1.9.1) ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ÷àñòèöàì: äëÿ ýëåêòðîíîâ H Q  _ H _ , äëÿ àòîìíûõ ÿäåð H Q 0 _ H _ , ãäå M — àòîìíûé íîìåð. Î÷åâèäíî, ÷òî âåëè÷èíà ³ 9 5 G9 1 ¦ HQ Q  îïðåäåëÿåò ñóììàðíûé çàðÿä âíóòðè îáú¸ìà V. G 5 è òîêà (1.9.1) ïîðîæäàþò ìèêðîñêîïè÷åñêèå Ìèêðîïëîòíîñòè çàðÿäà G G ïîëÿ ( è % , îïðåäåëÿåìûå óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà â âàêóóìå (1.8.18): G G G G G w%u w( u URW ( u   URW %u H P   P -u  wW wW (1.9.2) G G 5u GLY ( u  GLY %u   H Óðàâíåíèÿ (1.9.2) èíîãäà íàçûâàþò óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà-Ëîðåíöà; îíè ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè äëÿ âàêóóìà. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà-Ëîðåíöà äîëæíû áûòü äîïîëíåíû ðåëÿòèâèñòñêèìè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ äëÿ êàæäîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ( Q  1 ): G G G P Q YQ )Q  (1.9.3) GW   E G ãäå E Y  F ; )Q — ñèëà Ëîðåíöà: G G G G (1.9.4) )Q H Q (  YQ u %  48 ÃËÀÂÀ 1 Óðàâíåíèÿ (1.9.1)-(1.9.2) ñîâìåñòíî ñ (1.9.3) è ñ ó÷¸òîì (1.9.4) Gîáðàçóþò G çàìêíóòóþ ñèñòåìó, èç êîòîðîé, â ïðèíöèïå, ìîæíî îïðåäåëèòü ïîëÿ ( è % è ñêîðîñòè G âñåõ ÷àñòèö YQ , òî åñòü îïðåäåëèòü ýëåêòðîìàãíèòíóþ ñòðóêòóðó âåùåñòâà. Îäíàêî îïðåäåëèòü äâèæåíèå ÷àñòèöû â ìàêðîñèñòåìå ( 1 a   â   ) ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî, è ìû åñòåñòâåííûì îáðàçîì â îïèñàíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â âåùåñòâå ïðèõîäèì ê ìîäåëè ñïëîøíîé ñðåäû (êîíòèíóóìà).  ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçäåëîì 1.1 íåîáõîäèìî ââåñòè ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû (ôèçè÷åñêèå ïîëÿ), õàðàêòåðèçóþùèå ñâîéñòâà ñïëîøíîé ñðåäû â ñðåäíåì è çàâèñÿùèå îò G ïîëîæåíèÿ U ýëåìåíòà ñðåäû '9 â ïðîñòðàíñòâå è ìîìåíòà âðåìåíè t. Óñðåäíåíèå âåëè÷èí ïî êîîðäèíàòàì ïðîèçâîäèòñÿ ïî ôèçè÷åñêè ìàëîìó îáú¸ìó '9  / ( / — õàðàêòåðíûé ìàñøòàá äëèíû èçìåðÿþùåãî ïðèáîðà, íàïðèìåð, ðàçìåð ñòåíêè âîëíîâîäà èëè ðåçîíàòîðà â òåõíèêå ÑÂ×), â êîòîðîì íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìèêðî÷àñòèö. Òàêèì îáðàçîì, ïðè óñðåäíåíèè ìû îòáðàñûâàåì áûñòðûå ïðîñòðàíñòâåííûå èçìåíåíèÿ ïîëåé íà ðàññòîÿíèÿõ '9    . Óñðåäíåíèå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí âî âðåìåíè ïðîèçâîäèòñÿ ïî èíòåðâàëó 'W  7 , T — ïåðèîä ðåãèñòðèðóåìûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.  ýòîì ñëó÷àå ìû èñêëþ÷àåì èç ðàññìîòðåíèÿ áûñòðî îñöèëëèðóþùèå èçìåíåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí íà èíòåðâàëå 'W , ìàëîì ïî ñðàâíåíèþ ñ T. ïî êîîðäèíàòàì è âðåìåíè ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû G Góñðåäíåíèå G Ïîëíîå G $ { ^ (  %  5  - ` â ýëåêòðîííîé ìîäåëè âåùåñòâà Ëîðåíöà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G G G G  $u U  U c W  W c G9 c GW c   $u U  W ! '9 'W (1.9.5) '9 ' W c c c c G9 G[ G\ G]  ³³ ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî G w $u wW G w  $u !  wW G w $u w [L G w  $u !  w [L Ïðîèçâîäÿ óñðåäíåíèÿ (1.9.5) â óðàâíåíèÿõ (1.9.1)-(1.9.2) è îòîæäåñòâëÿÿ ñðåäíèå ìèêðîñêîïè÷åñêèå ïîëÿ ñ ìàêðîñêîïè÷åñêèìè (ôèçè÷åñêèìè): G G G G (1.9.6) ( ( % % ïîëó÷àåì ñèñòåìó ìàêðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà: G G G G G w% w( URW (   URW % H P   P  - !  wW wW G G GLY ( H   5 !  GLY %   (1.9.7) Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.9.7) ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå îáùåé ôîðìîé çàïèñè ñèñòåìû ìàêðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ïîëó÷àþùèõñÿ ïóò¸ì óñðåäíåíèÿ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà-Ëîðåíöà (1.9.2). Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèÿ (1.9.7) íå îáðàçóþò çàìêíóòóþ ñèñòåìó. Äëÿ å¸ ïîëíîòû çíàòü çàâèG G íåîáõîäèìî G äîñòàñèìîñòè  5 ! è  - ! îò ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ïîëåé ( è % . Ôàêòè÷åñêè G òî÷íî çíàòü ëèøü ñðåäíþþ ïëîòíîñòü ìèêðîñêîïè÷åñêîãî òîêà  - ! , òàê êàê Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 49 ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà  5 ! îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè: G w  5u ! (1.9.8)  GLY  -u !  wW G G G ßâíûå çàâèñèìîñòè  5 ! è  - ! îò ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ïîëåé ( è % â ýëåêòðîäèíàìèêå íàçûâàþòñÿ ìàòåðèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Îíè äîïîëíÿþò óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà (1.9.7) äî ïîëíîé ñàìîñîãëàñîâàííîé ñèñòåìû. Óñòàíîâëåíèå ÿâíîãî âèäà ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîíêðåòíûõ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ìîäåëåé âåùåñòâà âûõîäèò çà ðàìêè ýëåêòðîäèíàìèêè; òàêàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ, â îáùåì ñëó÷àå, ìåòîäàìè ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè. 1.9.2. Ïðèáëèæ¸ííûå ïðåäñòàâëåíèÿ ñðåäíåé ïëîòíîñòè ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ. Ïîëÿðèçîâàííîñòü âåùåñòâà. Ïóñòü ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ñðåäà ñîñòîèò èç ñîâîêóïíîñòè ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ çàðÿäîâ*).  îáû÷íîì ñîñòîÿíèè, êàê ïðàâèëî, òàêàÿ ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíîé. Ìàòåìàòè÷åñêè óñëîâèå ýëåêòðîíåéòðàëüíîñòè òåëà îáú¸ìîì V â òåðìèíàõ óñðåäí¸ííûõ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ïîëåé ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ³ 5 ! G9  (1.9.9) 9 Èíòåãðàëüíîå ñîîòíîøåíèå (1.9.9) îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ êîîðäèíàò  5 ! ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå äèâåðãåíöèè îò íåêîòîðîãî ìàêðîñêîïè÷åñêîãî âåêòîðà G 3 : G (1.9.10)  5 !  GLY3  ÷òî ïðîñòî äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà ìîæíî äîêàçàòü [Ë.3], ÷òî G G 3 G9 U  5 ! G9  (1.9.11) ³ 9 ³ 9 G G Ïîýòîìó âåêòîð 3 U  5 ! èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïîëó÷èë íàçâàíèå Gâåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè (ïîëÿðèçîâàííîñòè âåùåñòâà), à èíòåãðàë ³9 3 G9 — ïîëíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëüíîãî ìîìåíòà âåùåñòâà îáú¸ìîì V. Ïðè îïèñàíèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âåùåñòâå ïîä  5 ! îáû÷íî ïîíèìàþò ïëîòíîñòü ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ: G (1.9.12) 5  5u !  GLY 3  Ôèçè÷åñêè ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ñëåäóþùèì óïðîù¸ííûì îáðàçîì. Ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âåùåñòâî ïîëÿðèçóåòñÿ. Òàê êàê ïðè ýòîì â êàæäîé ìîëåêóëå ïðîèñõîäèò ñìåùåíèå ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ îòíîñèòåëüíî îòðèöàòåëüíûõ, òî ìîëåêóëû ïîëÿðèçîâàííîãî äèýëåêòðèêà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåêòðè÷åñêèå äèïîëè ñ G G G äèïîëüíûìè ìîìåíòàìè SQ HQ 'UQ , ãäå 'UQ — ðàññòîÿíèå ìåæäó ðàçíîèì¸ííûìè çàðÿäàìè â ìîëåêóëå (ðèñ. 1.13). Ñàì æå ïîëÿðèçîâàííûé äèýëåêòðèê ìàêðîñêîïè÷åñêè *) Íèæå ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ñâÿçàííûå çàðÿäû 50 ÃËÀÂÀ 1 G ( G 'UQ H Q 6 9 H Q G 'U Ðèñ. 1.13 Ðèñ. 1.14 (â ñðåäíåì) óäîáíî ïðåäñòàâèòü êàê ñîâîêóïíîñòü äâóõ âçàèìîïðîíèêàþùèõ ñðåä, ñîñòîÿùèõ ñîîòâåòñòâåííî èç ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ çàðÿäîâ è ñìåù¸ííûõ G îäíà îòíîñèòåëüíî äðóãîé â êàæäîé òî÷êå íà íåêîòîðûé âåêòîð 'U (ðèñ. 1.14). Ýòî òàê G íàçûâàåìàÿ ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü äèýëåêòðèêà: ìîäåëü äâóõ ñðåä. Ïðè 'U  çàðÿäû G êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà è 5  ; ïðè 'U z  â íåîäíîðîäíîì äèýëåêòðèêå ïîÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòü ñâÿçàííîãî çàðÿäà 5 z . G Ïîëÿðèçîâàííîñòü 0 ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü è êàê ñðåäíþþ (ìàêðîñêîïè÷åñêóþ) ïëîòíîñòü äèïîëüíîãî ìîìåíòà îáú¸ìà '9 âåùåñòâà: G  G (1.9.13) SQ  ¦ '9 Q'9 Òàêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìîæíî äàòü íà îñíîâàíèè óñëîâèÿ íåéòðàëüíîñòè (1.9.9) è ìîäåëè äâóõ ñðåä (ðèñ. 1.14). Ïîëÿðèçàöèÿ ñîñòîèò èç ýëåêòðîííîé, èîííîé è îðèåíòàöèîííîé ñîñòàâëÿþùèõ. Ïåðâàÿ îáóñëîâëåíà ñìåùåíèåì ýëåêòðîíîâ îòíîñèòåëüíî ÿäåð â ïðåäåëàõ àòîìà, âòîðàÿ — âçàèìíûì ñìåùåíèåì îòðèöàòåëüíûõ è ïîëîæèòåëüíûõ èîíîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¸òêè. Îðèåíòàöèîííàÿ ïîëÿðèçàöèÿ èìååò ìåñòî â äèýëåêòðèêå, ìîëåêóëû êîòîðîãî îáëàäàþò ñîáñòâåííûì ýëåêòðè÷åñêèì ìîìåíòîì ñ õàîòè÷åñêîé îðèåòàöèåé èõ â îòñóòñòâèè âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Òàêèå ìîëåG êóëû íàçûâàþòñÿ ïîëÿðíûìè. Ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ( ìîëåêóëû îðèåíòèðóþòñÿ âG íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿ ýòîãî ïîëÿ.  îáùåì ñëó÷àå ïîëå ( â äèýëåêòðèêå ñîçäà¸òñÿ êàê ñâîáîäíûìè R, òàê è ñâÿçàííûìè 5 çàðÿäàìè:  5u ! 55  ïðè÷¸ì äëÿ 5 ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå (1.9.12). Ïîýòîìó òðåòüå óðàâíåíèå â ñèñòåìå (1.9.7) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå G G GLY H (  0 5 G Ââîäÿ íîâûé âåêòîð ' : G G G (1.9.13) ' H (  0  Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà çàïèñûâàåì òðåòüå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà â âèäå G GLY ' 5  51 (1.9.14) Ïðè íå î÷åíü ñèëüíîì âíåøíåì ïîëå âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíûì âåêòîðó íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ: G G (1.9.15) 3 HF (  Âõîäÿùèé â ôîðìóëó (1.9.15) áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð F õàðàêòåðèçóåò ñðåäó è íàçûâàåòñÿ å¸ äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ. Ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò H  íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêîé ïîñòîÿííîé. Ñ ó÷¸òîì (1.9.15) ôîðìóëó (1.9.13) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå G G ' HD(  (1.9.16) ãäå H D H  G F . Âåêòîð ' ïðèíÿòî íàçûâàòü âåêòîðîì ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ (âåêòîðîì ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè), à ïàðàìåòð H D — àáñîëþòíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ñðåäû. Òàê êàê äèýëåêòðè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü âàêóóìà ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé íóëþ ( F  ), òî ýëåêòðè÷åñêóþ ïîñòîÿííóþ H  ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àáñîëþòíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü âàêóóìà. Íàðÿäó ñ H D ÷àñòî ââîäÿò îòíîñèòåëüíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû H , ñâÿçàííóþ ñ H D ñîîòíîøåíèåì H H D  H  (1.9.17) Îòíîñèòåëüíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç äèýëåêòðè÷åñêóþ âîñïðèèì÷èâîñòü: H   F . Ïîä÷åðêí¸ì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (1.9.15) è (1.9.16) ÿâëÿþòñÿ  áîëüG ïðèáëèæ¸ííûìè. G ( è , à ñëåäîâàòåëüíî, è øèíñòâå ñðåä ëèíåéíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü âåêòîðîâ 3 G G âåêòîðîâ (G èG ' íàðóøàåòñÿ â ñèëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëÿõ; êîãäà â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè ' ( â ðÿä Òåéëîðà íåëüçÿ îãðàíè÷èòüñÿ ëèíåéíûì ïðèáëèæåíèåì.  íåêîòîðûõ âåùåñòâàõ ýòî ïðîèñõîäèò äàæå ïðè ñðàâíèòåëüíî ñëàáûõ ïîëÿõ. Êðîìå G òîãî, ïàðàìåòðû H è F çàâèñÿò îò ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ âåêòîðà ( : ìîëåêóëû èìåþò èíåðöèþ è òðåáóåòñÿ íåêîòîðîå âðåìÿ, ÷òîáû èõ äèïîëüíûå ìîìåíòû èçìåíèëè îðèåíòàöèþ ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ. 1.9.3. Ïðèáëèæ¸ííûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ñðåäíåé ïëîòíîñòè òîêà. Íàìàãíè÷åííîñòü âåùåñòâà. Èç óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè (1.9.8) è ñîîòíîøåíèÿ (1.9.10) ñëåäóåò, ÷òî G G w3 GLY  - ! GLY  wW G Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïëîòíîñòü òîêà  - ! ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà (òîëüêî äëÿ ñâÿçàííûõ òîêîâ) â âèäå: G G G w3 (1.9.18)  URW 0  - ! wW G G ïðè÷¸ì âåêòîð 0 äîëæåí áûòü ïðèðàâíåí íóëþ âíå òåëà, ãäå  - !  . 52 ÃËÀÂÀ 1 Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ñâÿçàííîãî çàðÿäà G w5  GLY  wW äëÿ âåùåñòâà îáú¸ìîì V ïîëíûé ìàãíèòíûé äèïîëüíûé ìîìåíò òåëà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: G P S ³ 0 G9 9 G G ³ >U u - ! @ G9 (1.9.19) 9 G è âåêòîð 0 èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë G íàìàãíè÷åííîñòè. Ñòðîãî ãîâîðÿ, ñîîòíîøåíèå (1.9.19) èìååò ìåñòî, êîãäà w 3  w W  , ÷òî ÿâëÿåòñÿ òàêæå óñëîâèåì îäíîçíà÷íîãî, íå çàâèñÿùåãî îò âûáîðà ñèñòåìû Gêîîðäèíàò ìàãíèòíîãî äèïîëüíîãî ìîG íå ìîìåíòà âåùåñòâà.  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà w 3  w W z  , íàìàãíè÷åííîñòü 0 G æåò áûòü îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî. Áîëåå òîãî, âûäåëåíèå ñëàãàåìîãî URW 0 â ñðåäíåì òîêå (1.9.18) íå èìååò ñìûñëà.  ýòîì ñëó÷àå â ôîðìóëå (1.9.19) ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé ÷ëåí âèäà   ³ 9 G G > U u w3 wW @ G9 G è íåò âîçìîæíîñòè îäíîçíà÷íî ðàçäåëèòü ñðåäíèé ìèêðîñêîïè÷åñêèé òîê  - ! íà G «ýëåêòðè÷åñêóþ» ñîñòàâëÿþùóþ ïîëÿðèçîâàííîñòè 3 è «ìàãíèòíóþ» ñîñòàâëÿþG ùóþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ íàìàãíè÷åííîñòè 0 . Ïîýòîìó íåëüçÿ ââåñòè äâà íåçàâèñèìûõ ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèÿ G G G G G G 3 3 (  0 0 % è ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà Gñðåäû ñëó÷àå äîëæíû îïèñûâàòüñÿ åäèíûì G â G îáùåì G ìàòåðèàëüíûì óðàâíåíèåì: 3G 3 (  % . Âåêòîð íàìàãíè÷åííîñòè 0 õàðàêòåðèçóåò íàìàãíè÷èâàþùèå ñðåäû (ìàãíåòèêè), êîòîðûå îáû÷íî îïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîâîêóïíîñòè ýëåìåíòàðíûõ çàìêíóòûõ âíóòðèìîëåêóëÿðíûõ òîêîâ (ãèïîòåçà Àìïåðà). Ýòè òîêè íàçûâàþòñÿ òîêàìè íàìàãíè÷èâàíèÿ, îíè îáóñëîâëåíû êàê äâèæåíèåì ýëåêòðîíîâ âíóòðè ÿäåð, òàê è ñîáñòâåííûì âðàùåíèåì ýëåêòðîíîâ (ñïèíîâûé ìàãíåòèçì). Êàæäûé ìîëåêóëÿðíûé òîê ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîãî òîêà , Q , îõâàòûâàþùåãî íåêîòîðóþ ïëîùàäêó 6Q (ðèñ. 1.15) ñ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì G G P Q P  , Q 6 Q Q  G ãäå Q — îðò íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè 6Q . Åñëè ðàññìàòðèâàòü êàê íàëîæåíèå ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûõ ðàñG ìàãíåòèê G ïðåäåë¸ííûõ òîêîâ -  è -  , êîìïåíñèðóþùèõ äðóã äðóãà ïðè îòñóòñòâèè íàìàãíè÷èâàíèÿ (ìîäåëü äâóõ ñðåä). Ýòè òîêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñòàöèîíàðíûõ ïîòîêîâ äâóõ ñðåä, çàðÿæåííûõ ñîîòâåòñòâåííî ïîëîæèòåëüíî è Gîòðèöàòåëüíî (ðèñ. 1.16). Ïðè G íàìàãíè÷èâàíèè ñðåäû âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì òîêè -  è -  ñìåñòÿòñÿ â êàæäîé G òî÷êå äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà íåêîòîðûé âåêòîð 'U ; â ðåçóëüòàòå ïîÿâèòñÿ òîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S, íàòÿíóòóþ íà íåêîòîðûé êîíòóð L. Ìàêðîñêîïè÷åñêè êàæäóþ òî÷êó ìàãíåòèêà â ñëó÷àå ìîäåëè äâóõ ñðåä ìîæíî Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 6Q G Q G - / G 'U 53 /c G - ,Q Ðèñ. 1.15 Ðèñ. 1.16 õàðàêòåðèçîâàòü ñðåäíåé ïëîòíîñòüþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà â ñðåäå: G P G G  PQ , Q 6 Q Q  '9 '9 ¦ Q'9 ¦ Q'9 (1.9.20) Ñðåäû, â êîòîðûõ âíåøíåå ïîëå îñëàáëÿåòñÿ, íàçûâàþò äèàìàãíèòíûìè; ñðåäû, â êîòîðûõ ïîëå íåçíà÷èòåëüíî óñèëèâàåòñÿ — ïàðàìàãíèòíûìè; à ñðåäû, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò ñóùåñòâåííîå óñèëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ — ôåððîìàãíèòíûìè. Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî âî âòîðîì óðàâíåíèèG ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â âèäå (1.9.7) ïëîòíîñòü ïîëíîãî ñðåäíåãî ìèêðîòîêà  - ! ìîæíî ïðåäñòàâèòü G G ïëîòíîñòè òîêà ïðîâîäèìîñòè - è ïëîòíîñòè ñâÿçàííûõ òîêîâ - (1.9.18): G G G G w0  URW 0   -u ! -  (1.9.21) wW Ñ ó÷¸òîì (1.9.18) ýòî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä: G G G G G w URW P %  0 H (  0  -  (1.9.22) wW Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå G + G G % 0 P (1.9.23) ñ ó÷¸òîì ñîîòíîøåíèÿ (1.9.13) ïðèâîäèì óðàâíåíèå (1.9.22) ê âèäó G G w' G (1.9.24) URW +  - wW G íàçûâàòü âåêòîðîì íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îí, Âåêòîð + ïðèíÿòî G êàê è âåêòîð 0 , èçìåðÿåòñÿ â àìïåðàõ íà ìåòð [À/ì]. ìàãíèòíîì ïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð G Ïðè íå î÷åíü ñèëüíîì âíåøíåì G 0 ïðîïîðöèîíàëåí âåêòîðó % .  ñèëó ëèíåéíîñòè G Góðàâíåíèÿ (1.9.23) ìîæíî òàêæå ïîëàãàòü ïðîïîðöèîíàëüíûìè âåêòîðû 0 è + : G G (1.9.24) 0 P F P +  ãäå áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò F P íàçûâàþò ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ ñðåäû. Ó äèàìàãíèòíûõ ñðåä ïàðàìåòð F P îòðèöàòåëüíûé, ó ïàðàìàãíèòíûõ è ôåððîìàãíèòíûõ — ïîëîæèòåëüíûé. Ó äèàìàãíèòíûõ è ïàðàìàãíèòíûõ ñðåä _ F P _  , ó ôåððîìàãíèòíûõ F P çíà÷èòåëüíî áîëüøå åäèíèöû. 54 ÃËÀÂÀ 1 Ïîäñòàâëÿÿ ôîðìóëó (1.9.24) â (1.9.23), ïîëó÷àåì G G (1.9.25) % PD+  ãäå P D P    F P . G G Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè P D ìåæäó % è + íàçûâàþò àáñîëþòíîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ ñðåäû. Ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü âàêóóìà ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé íóëþ, ïîýòîìó ìàãíèòíóþ ïîñòîÿííóþ P ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àáñîëþòíóþ ìàãíèòíóþ ïðîíèöàåìîñòü âàêóóìà. Íàðÿäó ñ àáñîëþòíîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ ñðåäû, ââîäÿò òàêæå îòíîñèòåëüíóþ ìàãíèòíóþ ïðîíèöàåìîñòü P , ñâÿçàííóþ ñ P D ñîîòíîøåíèåì P D P P  (1.9.26) Î÷åâèäíî, ÷òî P   F P . 1.10. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ ñïëîøíîé ñðåäû Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ñïëîøíîé G ñðåäå (íå â âàêóóìå) G ( è èíäóêöèè ' , ìàãõàðàêòåðèçóåòñÿ âåêòîðàìè ýëåêòðè÷åñêîé íàïðÿæ¸ííîñòè G G íèòíîé íàïðÿæ¸ííîñòè + è èíäóêöèè % .  ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíîãî G G G G G Gè íåîäíîðîäíîãî ' ' U W , ( ( U  W ïîëÿ âåêòîðû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò è âðåìåíè: , G Gýòè G G G G + + U  W , % % U  W , êîòîðûå ñâÿçûâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà. Îäíà èç íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ôîðì çàïèñè ýòèõ óðàâíåíèé ñëåäóþùàÿ: G G G G w' G w% URW (   URW +  - wW wW (1.10.1) G G GLY ' 5  GLY %   Çàïèñàííûå âûøå óðàâíåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî îáîáùàþò çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè (Ôàðàäåé); çàêîí ïîëíîãî òîêà, âêëþ÷àþùèé òîê ñìåùåíèÿ (Ìàêñâåëë); çàêîí Ãàóññà è çàêîí, ñëåäóþùèé èç îïûòíîãî ôàêòà îòñóòñòâèÿ â ïðèðîäå ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ. G R ðàçäåëÿþò íà äâå ñîñòàâëÿþùèå: Îáû÷íî òîêè ïðîâîäèìîñòè - è çàðÿäû G ìàêðîñêîïè÷åñêèå ôèçè÷åñêèå ïîëÿ - , R, õàðàêòåðèçóþùèå ñâîéñòâà ñïëîøíîé G ñðåäû â ñðåäíåì èG ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ è ñòîðîííèå (çàäàííûå) òîêè - è G G çàðÿäû 5 : - o -  -  5 o 5  5 . Ïðè÷¸ì ïîä ñòîðîííèìè òîêàìè è çàðÿäàìè ïîíèìàþòñÿ ëèáî èñòî÷íèêè íåýëåêòðîìàãíèòíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ (õèìè÷åñêîãî, äèôôóçèîííîãî è äð.), ëèáî èñòî÷íèêè, ñîçäàâàåìûå ÷àñòüþ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû è íå ðàññìàòðèâàåìîé äåòàëüíî. Ïðè àíàëèçå ðåàëüíûõ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âûäåëåíèå íåêîòîðîé èõ îáëàñòè â êà÷åñòâå îáëàñòè èñòî÷íèêîâ îêàçûâàåòñÿ, êàê ïðàâèëî, íåîáõîäèìûì G âî èçáåæàíèå ÷ðåçìåðíîãî óñëîæíåíèÿ çàäà÷è.  ïðîöåññå ðåøåíèÿ âåëè÷èíû - è 5 ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè è íå çàâèñÿùèìè îò ïîðîæäàåìûõ èìè ïîëåé. Òàêèì ðàññìàòðèâàÿ ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå êàê íàáîð ôèçè÷åñêèõ âåG îáðàçîì, G G G ëè÷èí ( , ' , + è % , îïèñûâàþùèõ ñâîéñòâà óïðîù¸ííîé ôèçè÷åñêîé (íà îñíîâå êîíòèíóóìà) ìîäåëè âîçáóæäåíèÿ íåïîäâèæíîé ðåàëüíîé ìàòåðèàëüíîé ñðåäû (íàïðèìåð, äèýëåêòðèêà) çàäàííûìè ñòîðîííèìè òîêàìè è çàðÿäàìè, ìû ïðèõîäèì ê Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 55 å¸ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îïèñàíèÿ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (1.10.1). Ïðè G íà G îñíîâå G G ýòîì ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ( , ' , + è % õàðàêòåðèçóþò ñâîéñòâà ñïëîøíîé G ñðåäû â ñðåäíåì è çàâèñÿò òîëüêî îò ïîëîæåíèÿ U ýëåìåíòà ñðåäû â ïðîñòðàíñòâå è ìîìåíòà âðåìåíè W .  ýòîì ñìûñë âûðàæåíèÿ «ïîëå — ôîðìà ìàòåðèè». Çäåñü ïîä ôîðìîé ïîíèìàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ êîíòèíóàëüíàÿ ìîäåëü ìàòåðèè êîíêðåòíîãî ôèçè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå òàê æå, êàê è âåùåñòâî, õàðàêòåðèçóåòñÿ ýíåðãèåé, ìàññîé è èìïóëüñîì. Ïðàâäà, ìàññà è èìïóëüñ õàðàêòåðíû òîëüêî äëÿ ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí).  îòëè÷èå îò âåùåñòâà ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå íå îáëàäàåò ìàññîé ïîêîÿ. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû èñïûòûâàþò âîçäåéñòâèå ãðàâèòàöèîííûõ ñèë. Èçâåñòíî, íàïðèìåð, ÷òî ïóòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòîâûõ âîëí çàìåòíî èñêðèâëÿåòñÿ ïîä âëèÿíèåì ãðàâèòàöèîííîé ñèëû Ñîëíöà. Èìïóëüñ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ïðîÿâëÿåòñÿ â äàâëåíèè, êîòîðîå îíè îêàçûâàþò íà ìàòåðèàëüíûå òåëà. Òàêèå õàðàêòåðíûå äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ñâîéñòâà, êàê äèôðàêöèÿ è èíòåðôåðåíöèÿ, ïðèñóùè òàêæå ìàòåðèàëüíûì ÷àñòèöàì. Ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæåò ïåðåõîäèòü â äðóãèå âèäû ýíåðãèè. Ôàêòè÷åñêè, ñàìî ñóùåñòâîâàíèå æèçíè íà Çåìëå îáóñëîâëåíî ïðåîáðàçîâàíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè (ýíåðãèè ñîëíå÷íûõ ëó÷åé) â òåïëîâóþ, õèìè÷åñêóþ è äðóãèå âèäû ýíåðãèè. Êëàññè÷åñêàÿ (ìàêñâåëëîâñêàÿ) òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ó÷èòûâàåò òîëüêî ìàêðîñêîïè÷åñêèå ñâîéñòâà âåùåñòâà, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðàçìåðû ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêîâ ïîëÿ äî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè âåëèêè ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ìîëåêóë, à õàðàêòåðíîå äëÿ èçìåíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âðåìÿ (íàïðèìåð, ïåðèîä êîëåáàíèé) âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñî âðåìåíåì, õàðàêòåðíûì äëÿ âíóòðèìîëåêóëÿðíûõ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ. Íà îñíîâå êëàññè÷åñêîé òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæåò áûòü èçó÷åí øèðîêèé êðóã âîïðîñîâ, âñòðå÷àþùèõñÿ â ðàäèîòåõíèêå. Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèè ïîëÿ íå îõâàòûâàåò, îäíàêî, âñåõ åãî ñâîéñòâ. Çà å¸ ïðåäåëàìè îñòàþòñÿ òàêèå ÿâëåíèÿ, êàê èçëó÷åíèå è ïîãëîùåíèå âåùåñòâîì ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí î÷åíü âûñîêîé ÷àñòîòû (íàïðèìåð, ñâåòîâûõ), ôîòîýôôåêò è äð. Ñòðîãèé àíàëèç ïîäîáíûõ ÿâëåíèé äîëæåí ó÷èòûâàòü ìèêðîñòðóêòóðó âåùåñòâà è, ñëåäîâàòåëüíî, äîëæåí èñïîëüçîâàòüñÿ êîðïóñêóëÿðíûé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ýòèõ ÿâëåíèé.  ïðåäåëàõ äàííîãî êóðñà èçó÷àåòñÿ êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, òî åñòü èññëåäóþòñÿ òîëüêî åãî ìàêðîñêîïè÷åñêèå ñâîéñòâà. 1.11. Ýëåêòðîäèíàìè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ ìàòåðèàëüíûõ ñðåä Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (1.10.1) âêëþ÷àåò âîñåìü ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûõG ñîäåðæàòñÿ G G G 12 íåèçâåñòíûõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé — ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ G( , ' G è % G , + G. Ïîýòîìó G áåç äîïîëíèòåëüíûõ ñîîòíîøåíèé, ñâÿçûâàþùèõ G âåêòîðû ( è ' , % è + , - è ( óðàâíåíèÿ (1.10.1) íåäîñòàòî÷íû äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñðåäå.  ýòîì ñìûñëå ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà 56 ÃËÀÂÀ 1 (1.10.1) äëÿ ñðåäû ÿâëÿåòñÿ íåïîëíîé. Ýòî åñòåñòâåííî, ïîñêîëüêó ïðîèçâîëüíàÿ ìàòåðèàëüíàÿ ñðåäà â ýòèõ óðàâíåíèÿõ ó÷èòûâàåòñÿ â îáîáù¸ííîì âèäå è íå ðàñêðûâàåòñÿ ìåõàíèçì å¸ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî îïðåäåëèòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñèñòåìó óðàâíåíèé (1.10.1) äîïîëíÿþò ìàòåðèàëüíûìè ñîñòîÿíèÿ ñðåäû), Góðàâíåíèÿìè G (óðàâíåíèÿìè G G G ñâÿçûâàþùèìè ìåæäó ñîáîé ' , - è ( , à òàêæå % è + .  îáùåì ñëó÷àå ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñûâàòü â âèäå ñëåäóþùèõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé*): G G G G G G G G G (1.11.1) ' ' (  % % +  - - (   çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíîãî âèäà ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèé (1.11.1) ïðîâîäèòñÿ êëàññèôèêàöèÿ ìàòåðèàëüíûõ ñðåä. Çäåñü íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ëþáîé âàðèàíò ñîîòíîøåíèé (1.11.1), çàïèñàííûõ â ÿâíîì âèäå, ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé óïðîù¸ííîé (èäåàëèçèðîâàííîé) ôèçè÷åñêîé ìîäåëè íåïðåðûâíîé ñðåäû, îïðåäåëÿþùåé â òîé èëè èíîé ñòåïåíè å¸ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü. Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.11.1), çàïèñàííûå â ÿâíîì âèäå íà îñíîâå ïðèíÿòîé ôèçè÷åñêîé ìîäåëè ñðåäû, ñîñòàâëÿþò å¸ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü. Ïîýòîìó ïîä ìàòåðèàëüíîé ñðåäîé ìû áóäåì ïîíèìàòü ñîâîêóïíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ åé ôèçè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëåé. Äëÿ ëîêàëüíûõ, áåçûíåðöèîííûõ ïðîöåññîâ â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèå ñðåäû íå çàâèñèò îò îêðóæàþùåé ñðåäû, à â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè — îò ïðåäûäóùèõ ñîñòîÿíèé â ýòîé òî÷êå (îò ïðåäûñòîðèè). Äëÿ òàêèõ ïðîöåññîâ ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ: G G G G G G (1.11.2) ' H  H (  % P P +  - V(  Ñðåäû, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.11.2), íàçûâàþòñÿ èçîòðîïíûìè.  ýòîì G Gñëó÷àå G âåëè÷èíû G G G H P è V ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðàìè. Ýòî ( è ' , + è % , ( è - êîëëèíåàðíû, à ñâîéñòâà ñðåäû íå çíà÷èò, ÷òî âåêòîðû çàâèñÿò îò íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Äëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû: G G G G (1.11.3) 3 H  F ( 0 P  F P +  ãäå F è F P — ñîîòâåòñòâåííî, ñêàëÿðíûå äèýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòè. I I I Ñðåäû, õàðàêòåðèçóåìûå òåíçîðíûìè ïàðàìåòðàìè H P V , íàçûâàþò àíèçîòðîïíûìè. Äëÿ àíèçîòðîïíûõ ñðåä ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: G IG G I G G IG (1.11.4) ' H  H (  % P P +  - V (  I I ãäå H — òåíçîð îòíîñèòåëüíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè, P — òåíçîð I îòíîñèòåëüíîé ìàãíèòíîé G G G G V G— òåíçîð óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòè.  G ïðîíèöàåìîñòè, ýòîì ñëó÷àå âåêòîðû ( è ' , + è % , ( è - óæå íå îáðàçóþò (â îáùåì ñëó÷àå) êîëëèíåàðíûå ïàðû. Ìàòåðèàëüíàÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé â íåêîòîðîé îáëàñòè V, åñëè ïàðàìåòI I I I I I ðû H P V ( H P V ) â ýòîé îáëàñòè ïîñòîÿííû. Åñëè ïàðàìåòðû H P V ( H P V ) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò, òî òàêóþ ñðåäó íàçûâàþò íåîäíîðîäíîé. *)  ïîñëåäíåå âðåìÿ ïîÿâèëèñü êèðàëüíûå è áèèçîòðîïíûå ñðåäû, äëÿ êîòîðûõ (1.11.1) íå ñïðàâåäëèâû Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 57 Ïðîñòåéøèì âàðèàíòîì íåîäíîðîäíîé ñðåäû ÿâëÿþòñÿ êóñî÷íî-îäíîðîäíûå ñðåäû, ïàðàìåòðû êîòîðûõ ïðèíèìàþò ðàçëè÷íûå ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ â ðàçíûõ îáëàñòÿõ. Ñðåäû, äëÿ êîòîðûõ ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.11.1) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèíåéíûå ñîîòíîøåíèÿ, íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè. Ïîýòîìó ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.11.2) è (1.11.4) ñîîòâåòñòâóþò ëèíåéíûì ñðåäàì.  ñëó÷àå ëèíåéíûõ ñðåä ïàðàI I I ìåòðû H P V ( H P V ) íå çàâèñÿò îò âåêòîðîâ ïîëÿ. Äëÿ ëèíåéíûõ ñðåä âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì ðåçóëüòèðóþùèé ýôôåêò ñëîæíîãî âîçäåéñòâèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãåîìåòðè÷åñêóþ ñóììó ýôôåêòîâ, âûçûâàåìûõ êàæäûì âîçäåéñòâèåì â îòäåëüíîñòè. Ñðåäû, äëÿ êîòîðûõ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè íå ñïðàâåäëèâ, íàçûâàþò íåëèíåéíûìè. Äëÿ íèõ ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.11.1) ÿâëÿþòñÿ íåëèíåéíûìè ñîîòíîøåíèÿìè.  íàñòîÿùåé êíèãå îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî ëèíåéíûõ ñðåä. Âðåìåííàÿ è ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèè. Ðàññìîòðèì îáùèå ôóíêöèîíàëüíûå ñâÿçè (1.11.1) äëÿ ëèíåéíîé ñðåäû. Ïðè áûñòðûõ èçìåíåíèÿõ ïîëÿ, âñëåäñòâèå èíåðöèè âíóòðåííèõ äâèæåíèé è õàðàêòåðíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðû, íàáëþäàåòñÿ çàâèñèìîñòü ïîëÿðèçàöèè â êàêîé-ëèáî òî÷êå îò ïîëÿ â äðóãèõ òî÷êàõ è â äðóãèå ìîìåíòû âðåìåíè. Ïðè ýòîì íóæíî èìåòü â âèäó, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ ïðè÷èííîñòè, ïîëÿðèçàöèÿ (à ñëåäîâàòåëüíî, èíäóêöèÿ) çàâèñèò îò ïîëåé, äåéñòâóþùèõ òîëüêî â ïðåäûäóùèå ìîìåíòû âðåìåíè. Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.11.1) äëÿ ëèíåéíîé ñðåäû â îáùåì âèäå ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G ' W U G G % W U G G - W U W I G G G G G GW c H W W c U  U c ( W c U c GU c  ³ ³ H f W 9 f W 9 P ³ I G G ³ GWc ³ P W Wc U U c f G G G + W c U c GU c  I G G G G G GW c V W W c U  U c ( W c U c GU c  ³ 9 (1.11.5) (1.11.6) (1.11.7) Òàêàÿ çàïèñü ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèé ãîâîðèò î òîì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýëåêòG ðîìàãíèòíîå ïîëå â òî÷êå U â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè ïîëÿ â G íåêîòîðîé ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè V îêîëî òî÷êè U , ñóùåñòâîâàâøåãî â òå÷åíèå íåêîòîðîãî, âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íîãî èíòåðâàëà âðåìåíè, ïðåäøåñòâóþùåãî ìîìåíòó t. Ñðåäû, äëÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü íåëîêàëüíûå ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.11.5)-(1.11.7), íàçûâàþò äèñïåðãèðóþùèìè. Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ íåäèñïåðãèðóþùèõ ñðåä ñïðàâåäëèâû ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.11.2), (1.11.4). Ãîâîðÿò, ÷òî ñðåäà îáëàäàåò ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé, åñëè ýëåêòðîìàãíèòG íîå ïîëå â òî÷êå U â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ ïîëåì â íåêîòîðîé ïðîñòðàíG ñòâåííîé îáëàñòè îêîëî òî÷êè U . Åñëè ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ìîìåíò âðåìåíè t çàâèñèò îò ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïðåäøåñòâóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè, òî ñðåäà îáëàäàåò âðåìåííîé äèñïåðñèåé. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì â ñðåäå õàðàêòåðíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ðàçìåðîâ, íàïðèìåð, äëÿ íåîäíîðîäíîé ñðåäû — ìàñøòàá íåîäíîðîäíîñòè. Ïîÿâëåíèå âðåìåííîé äèñïåðñèè îáúÿñíÿåòñÿ ñóùå- 58 ÃËÀÂÀ 1 ñòâîâàíèåì â ñðåäå õàðàêòåðíûõ âíóòðåííèõ âðåìåííûõ ïðîöåññîâ, íàïðèìåð, ïåðåõîäîâ ýëåêòðîíîâ ñ îäíîãî êâàíòîâîãî óðîâíÿ íà äðóãîé. Ïðîÿâëåíèå íåëîêàëüíîñòè âðåìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñðåäû ñ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíîé áóäåò ñóùåñòâåííî ñêàçûâàòüñÿ, êîãäà âðåìÿ ïðîòåêàíèÿ âíóòðåííåãî ïðîöåññà ñîèçìåðèìî ñ ïåðèîäîì èçìåíåíèÿ âíåøíåãî âîëíîâîãî ïðîöåññà.  çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî äëÿ áîëüøèíñòâà ñðåä ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ P  . Ïðè÷¸ì äëÿ äèàìàãíåòèêîâ P   , äëÿ ïàðàìàãíåòèêîâ P !  .  ÷àñòíîñòè, ìåäü — äèàìàãíåòèê ( P  ), àëþìèíèé — ïàðàìàãíåòèê ( P  ). Ôåððîìàãíåòèêè, ê êîòîðûì ïðåæäå âñåãî îòíîñèòñÿ æåëåçî, ìîãóò îáëàäàòü âåñüìà âûñîêîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ, íî íà ÷àñòîòàõ âûøå  Ãö ïàðàìåòð P óìåíüøàåòñÿ äî åäèíèöû. 1.12. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ìàòåðèàëüíûõ ñðåä Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â ãðàíè÷íîé îáëàñòè íå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåë¸ííûì, ïîêà íå çàäàíû íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ. ×àñòî ãðàíèöû ýòîé îáëàñòè ñîâïàäàþò ñ ãðàíèöàìè ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëüíûõ ñðåä, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ôèçè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè (â ÷àñòíîñòè, âñòà¸ò âîïðîñ: êàê èçìåíÿþòñÿ ìàòåðèàëüíûìè ïàðàìåòðàìè H D GP DG V G). Ïîýòîìó G âåêòîðû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (  +  ' è % ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà ìåæäó ðàçëè÷íûìè ìàòåðèàëüíûìè ñðåäàìè? Ãðàíèöà ðàçäåëà — ýòî ïîâåðõíîñòü, íà êîòîðîé õîòÿ áû îäèí èç ìàòåðèàëüíûõ ïàðàìåòðîâ H D  P D èëè V òåðïèò ðàçðûâ êàê ôóíêöèÿ íîðìàëè, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò.  ñâÿçè ñ ýòèì ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ìîæíî ïîëó÷èòü ëèøü â îòäåëüíûõ îáëàñòÿõ, ãäå ïàðàìåòðû H D  P D è V — íåïðåðûâíû. Ïðè ýòîì ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé áóäåò ñîäåðæàòü íåêîòîðîå ÷èñëî ïðîèçâîëüíûõ (íåèçâåñòíûõ) ïîñòîÿííûõ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòèõ íåèçâåñòíûõ íåîáõîäèìî íàëîæèòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, èëè, êàê ãîâîðÿò, «ñøèòü» ðåøåíèÿ íà ãðàíèöàõ ðàçäåëà ìàòåðèàëüíûõ ñðåä. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ — ýòî âåêòîðíûå ôóíêöèîíàëüíûå çàâèñèìîñòè, G G ñâÿçûâàþG G ùèå ìåæäó ñîáîé ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (  +  ' è % â äâóõ ñîñåäíèõ îáëàñòÿõ íà ãðàíèöå èõ ðàçäåëà. Òàê êàê â òî÷êàõ ðàçðûâà ôóíêöèé óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå ïðèìåíÿòü íåëüçÿ, òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàïèñè óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Ââåä¸ì ïëîòíîñòü ñâîáîäíîãî ïîâåðõíîñòíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà [ êàê 'T '6 o ' 6 [ OLP GT  G6 ãäå ' T — âåëè÷èíà çàðÿäà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå ' 6 . G Àíàëîãè÷íî ââåä¸ì ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíîãî òîêà K : G K G ', OLP K  'O ' O o Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 59 G Q '6 H D  P D  V  ãðàíèöà ðàçäåëà  'K 6 H D  P D  V   G Qc Ðèñ. 1.17 G ãäå K — åäèíè÷íûé âåêòîð, ïîêàçûâàþùèé íàïðàâëåíèå ïðîòåêàíèÿ òîêà ïî ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà; ', — âåëè÷èíà òîêà ïðîâîäèìîñòè, ïðîòåêàþùåãî ïî áåñêîíå÷íî ìàëîìó ó÷àñòêó ïîâåðõíîñòè 'O ( 'O — ðàçìåð ó÷àñòêà âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà). Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî åäèíèöà èçìåðåíèÿ ïëîòíîñòè ïîâåðõíîñòíîãî G òîêà [À/ì], ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè K âûáèðàåòñÿ êîíòóð, ïî êîòîðîìó ïðîòåêàåò òîê ïî ïîâåðõíîñòè, à íå ñàìà ïîâåðõíîñòü. 1.12.1. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ íîðìàëüíûõ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ïîëÿ. Ðàññìîòðèì âûâîä ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ íîðìàëüíûõ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ïîëÿ. Ïóñòü ïîâåðõíîñòü S âêëþ÷àåò â ñåáÿ ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ìàòåðèàëüíûõ ñðåä ñ ðàçëè÷íûìè ïàðàìåòðàìè H DM  P DM  V M M   . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü S îãðàíè÷èâàåò ìàëûé öèëèíäð îáú¸ìîì V ñ îñíîâàíèåì ' 6 è âûñîòîé 'K òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âåðõíèé òîðåö öèëèíäðà ëåæàë â îáëàñòè 1, à íèæíèé — â îáëàñòè 2 G (ðèñ. 1.17). Âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè Q íàïðàâëåí èç îáëàñòè 2 â îáëàñòü 1.  îáùåì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà äâóõ ñðåä ìîæåò íåñòè ïîâåðõíîñòíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ñ ïëîòíîñòüþ [ . Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ íîðìàëüíûõ êîìïîíåíò ' Q è ' Q áóäåì èñïîëüçîâàòü òðåòüå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå, çàïèñàííîå ïðèìåíèòåëüíî ê îáú¸ìó V (ðèñ. 1.17). Ïðèìåíèâ ê íåìó òåîðåìó ÎñòðîãðàäñêîãîÃàóññà, ïîëó÷èì: G G ' G6 ' T  (1.12.1) ³ 6 ãäå 'T — ïîëíûé çàðÿä íà ïîâåðõíîñòè ' 6 . G Ââèäó ìàëîñòè öèëèíäðà ïîëå íà åãî îñíîâàíèÿõ ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì: G ' FRQVW . Âíåøíÿÿ íîðìàëü ê âåðõíåìó îñíîâàíèþ öèëèíäðà íàïðàâëåíà ïî Q , à 60 ÃËÀÂÀ 1 G ê íèæíåìó — ïðîòèâîïîëîæíî. Îáîçíà÷èâG ÷åðåç '  çíà÷åíèå âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè â îáëàñòè 1, à ÷åðåç '  — â îáëàñòè 2, óðàâíåíèå (1.12.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G G G (1.12.2) '  Q ' 6  '  Q ' 6  ) 'T  G ãäå ) — ïîòîê âåêòîðà ' ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà. Óñòðåìèì âûñîòó öèëèíäðà 'K ê íóëþ òàê, ÷òîáû îñíîâàíèÿ öèëèíäðà îñòàâàëèñü â ðàçíûõ ñðåäàõ è â ïðåäåëå ïðè 'K o  ñîâïàäàëè ñ ýëåìåíòîì ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè ' 6 . Î÷åâèäíî, ïðè ýòîì èñ÷åçàåò áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà, ïîýòîìó ) G , è èç (1.12.2) ñëåäóåò ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè ' : G G G G (1.12.3) Q   '   Q  '  [ Ïîÿâëåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà [ ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî äàæå ïðè 'K o  íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä ìîãóò ñóùåñòâîâàòü áîëüøèå ñêîïëåíèÿ çàðÿäà. G Òàêèì îáðàçîì, íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà ' ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà ìàòåðèàëüíûõ ñðåä èñïûòûâàåò ñêà÷îê íà âåëè÷èíó, ÷èñëåííî ðàâíóþ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè ñâîáîäíîãî çàðÿäà [ íà G ýòîé ãðàíèöå. Âû÷èñëèì òåïåðü ïîòîê âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè % ÷åðåç öèëèíäð, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1.17.  ýòîì ñëó÷àå âîñïîëüçóåìñÿ ÷åòâ¸ðòûì óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå, êîòîðîå ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ê íåìó òåîðåìû Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà, çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G % G6   (1.12.4) ³ 6 Èç ñîîòíîøåíèÿ (1.12.4) ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì ñëó÷àåì íåñëîæíî ïîëó÷èòü G ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ âåêòîðà % : G G G G (1.12.5) Q  %   Q  %  . G Òàêèì îáðàçîì, íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà % íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé, âñëåäñòâèå îòñóòñòâèÿ â ïðèðîäå ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ. 1.12.2. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ òàíãåíöèàëüíûõ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ïîëÿ. Ïîëó÷èì òåïåðü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ òàíãåíöèàëüíûõ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ïîëÿ. Ñ ýòîé öåëüþ ïðîâåä¸ì ê ãðàíèöå äâóõ ñðåä ïëîñêîñòü P òàê, ÷òîáû îíà áûëà ïåðïåíäèêóëÿðíà íåêîòîðîé ìàëîé ïëîùàäêå ' 6 , ïðèíàäëåæàùåé ïîâåðõíîñòè S (ðèñ. 1.18).  ïëîñêîñòè P âûáåðåì ìàëûé ïðÿìîóãîëüíûé çàìêíóòûé êîíòóð / $%&' , ó êîòîðîãî G ÷àñòü êîíòóðà AB ëåæèò â îáëàñòè 1, à CD — â îáëàñòè 2. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç Q G åäèíè÷íóþ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè ' 6 , à ÷åðåç Q åäèíè÷íóþ íîðìàëü â òî÷êå M ê G G G ïëîñêîñòè P, òîãäà åäèíè÷íûé âåêòîð W > Q  Q @ áóäåò íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè ' 6 â òî÷êå M. G Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà äëÿ öèðêóëÿöèè âåêòîðà ( â èíòåãðàëüíîé ôîðìå: G G G G G ( GO  % G6  (1.12.6) GW ³ / ³ '6 Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 61 3 G Q  % G W 'K '6 $ & ' 6 G Q  'O Ðèñ. 1.18 Ïðèìåíÿÿ óðàâíåíèå (1.12.6) ê êîíòóðó L (ðèñ. 1.18), ìîæíî çàïèñàòü: G G G G G w% G ( (1.12.7)  Q  'O 'K  ( W 'O  ( W 'O  & wW G G ãäå ( è ( — çíà÷åíèÿ âåêòîðà íàïðÿæ¸ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â îáëàñòÿõ G ( 1 è 2, ñîîòâåòñòâåííî; & — öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà ( âäîëü ïðÿìûõ BC è DA; 'O — äëèíà êîíòóðà L. Ïðîèçâîäÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè 'K o  â ñîîòíîøåíèè (1.12.7) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå & ( o  , ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå: G G G G (1.12.8) (   W  (   W   G G G Òàê êàê W > Q  Q @ , òî ãðàíè÷íîå óñëîâèå (1.12.8) ìîæíî çàïèñàòü â äðóãîì âèäå: G G G (1.12.9) > Q  (   (  @   G G (êàñàòåëüÂåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå > Q  ( @ ïðåäñòàâëÿåò G ñîáîé òàíãåíöèàëüíóþ G íóþ) ê ãðàíèöå ðàçäåëà îáëàñòåé êîìïîíåíòó ( W âåêòîðà ( . Ïîýòîìó G G (1.12.10) ( W ( W  G Òàêèì îáðàçîì, òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà ( íà ãðàíèöå ðàçäåëà âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé. Èç óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå v³ / G G +GO G GW ³ '6 G G 'G6  ³ G G -G6 (1.12.11) '6 àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íåñëîæíî ïîëó÷èòü ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ òàíãåíöèàëüíûõ 62 ÃËÀÂÀ 1 G ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà + : >QG  G +  G +  @ G K (1.12.12) G ãäå K — ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíîãî òîêà íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä. Ãðàíè÷íîå óñëîâèå (1.12.12) ìîæåò áûòü çàïèñàíî è â äðóãîì âèäå: G G G (1.12.13) + W  + W K G Òàêèì îáðàçîì, òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà + íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä ïðåòåðïåâàåò ñêà÷îê ïðè íàëè÷èè íà íåé ïîâåðõíîñòíîãî òîêà ïðîâîäèìîñòè. Èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (1.12.13) ñëåäóåò, ÷òî òàíãåíöèàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîãóò áûòü íåïðåðûâíû òîëüêî òîãäà, êîãäà ïî ãðàíèöå ðàçäåëà íå ïðîòåêàåò òîê ïðîâîäèìîñòè. Èòàê, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà äâóõ ñðåä ñ ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè èìåþò âèä: G G G G G G '   '  Q [  %   %  Q  (1.12.14) G G G G G ªQG  (   (  º   ªQG  +   +  º  K «¬  »¼ «¬  »¼ G ãäå Q — âåêòîð åäèíè÷íîé âíåøíåé íîðìàëè, íàïðàâëåííûé èç ïåðâîé ñðåäû âî âòîðóþ. Áëàãîäàðÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ìû ðàñïîëàãàåì íåêîòîðîé èíôîðìàöèåé î ñòðóêòóðå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà òîé èëè èíîé ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä, åù¸ äî îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ â ñàìèõ îáëàñòÿõ.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïðèìåíåíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ðàññìîòðèì ñëó÷àé ýêðàíèðóþùåé ãðàíèöû, òî åñòü òàêîé ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà, G  ïðè êîòîðîé ýëåêò(  , à ñëåäîâàòåëüðè÷åñêîå ïîëå âî âòîðîé ñðåäå îòñóòñòâóåò.  ýòîì ñëó÷àå W G G G íî èç (1.12.10) ( W  , òî åñòü (   ( Q Q . Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íà ìåòàëëå íå èìååò êàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ è âñåãäà îðèåíòèðîâàíî íîðìàëüíî ê íåé. Ïðèìåðîì ýêðàíèðóþùåé ãðàíèöû ñëóæèò èäåàëüíî ïðîâîäÿùàÿ ïëîñêîñòü. Èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (1.12.13) ïî ñëåäóåò, ÷òî ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ êàñàþòG àíàëîãèè G ñÿ ïðîâîäÿùåé ãðàíèöû: +  + W . 1.13. Óðàâíåíèå áàëàíñà ìîùíîñòåé â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ Çàïèøåì óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ñ ó÷¸òîì ñòîðîííèõ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ è çàðÿäîâ (ñì. ï. 1.10) G G G G w' G G w% URW (   URW + --  wW wW (1.13.1) G G GLY ' 5  5  GLY %   Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 63 G G Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (1.13.1) íà âåêòîð + , âòîðîå — íà âåêòîð ( , çàòåì âû÷òåì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âòîðîå: G G G G G G + URW (  ( URW + GLY >( u + @ G G (1.13.2) G w % G w' G G G + ( ( --  wW wW Âûðàæåíèå (1.13.2) ïðîèíòåãðèðóåì ïî íåêîòîðîìó îáú¸ìó V, îãðàíè÷åííîìó ïîâåðõíîñòüþ S, à çàòåì åãî ëåâóþ ÷àñòü ïðåîáðàçóåì íà îñíîâàíèè òåîðåìû Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà.  ðåçóëüòàòå èìååì G G GG § G w' G w%·  ( - G9 + ¨¨ ( ¸ G9  wW w W ¸¹ © 9 9 (1.13.3) GG G G G  ( - G9  ª¬(  + º¼ Q G6 ³ ³ 9 ³ v³ 6 Ðàâåíñòâî (1.13.3) åñòü óðàâíåíèå áàëàíñà ýíåðãèè ïîëÿ â îáú¸ìå V. Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîùíîñòü, îòäàâàåìóþ ñòîðîííèìè ýëåêòðè÷åñêèìè òîêàìè, ðàñïîëîæåííûìè â îáú¸ìå V. Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.13.3) åñòü ìîùíîñòü, íàêàïëèâàåìàÿ â îáú¸ìå V, âòîðîå ñëàãàåìîå — ìîùíîñòü,Gðàñõîäóåìàÿ íà íàãðåâ ñðåäû â îáëàñòè V (ñ ó÷¸òîì ìàòåðèIG àëüíîãî óðàâíåíèÿ - V ( ), òðåòüå ñëàãàåìîå — ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü, èçëó÷àåìàÿ èç îáú¸ìà 9 ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S (â ÷àñòíîñòè, ïîãëîùàåìàÿ â îáîëî÷êå). Âûðàæåíèå G G G 6 ª¬(  + º¼ (1.13.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà ìîùíîñòè, ïåðåíîñèìîé ÷åðåç åäèG íè÷íóþ ïëîùàäêó ïîâåðõíîñòè. Âåêòîð G G 6 íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì Óìîâà-Ïîéíòèíãà; îí îáðàçóåò ñ âåêòîðàìè ïîëÿ ( è + ïðàâîâèíòîâóþ ñèñòåìó. Ïîä÷åðêí¸ì, ÷òî èíòåãðàë 36 ³ 6 QG G6   (1.13.5) 6 ïî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S, ãäå 6 QG  — ïðîåêöèÿ âåêòîðà (1.13.4) íà åäèíè÷íóþ G íîðìàëü Q ê ïîâåðõíîñòè S, èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë ìîùíîñòè, èçëó÷àåìîé èç îáú¸ìà V. Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ áàëàíñà ýíåðãèè ïîëÿ (1.13.3). Ïóñòü ãðàíèöà S îáëàñòè V ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêè èçîëèðîâàííîé (íàïðèìåð, èäåàëüíî G ïðîâîäÿùåé ïîâåðõíîñòüþ). Òîãäà ïðè íàëè÷èè ïîëÿ âíóòðè îáú¸ìà V ïðè  èç (1.13.3) ïîëó÷àåì G G § G w' G w% · (1.13.6) 3  ¨( + ¸ G9  wW¹ © wW ³ 9 ãäå 3 ³ 9 GG - ( G9 — ìîùíîñòü òåïëîâûõ ïîòåðü â îáú¸ìå V. 64 ÃËÀÂÀ 1 Òàê êàê äëÿ ýíåðãåòè÷åñêè èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèå áàëàíñà ýíåðãèè èìååò âèä: G: (1.13.7) 3   GW ãäå W — çàïàñ¸ííàÿ â îáú¸ìå V ýíåðãèÿ, òî èç ñðàâíåíèÿ âûðàæåíèé (1.13.6) è (1.13.7) ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìãíîâåííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè: G G G: § G w' G w% · + (1.13.8) ¨( ¸ G9  GW wW ¹ © wW ³ 9 Çàìåòèì, ÷òî èç çàêîíà (1.13.7) ñëåäóåò, ÷òî ïðè íàëè÷èè ïîòåðü ýíåðãèè ( 3 !  ) G :  GW   (ýíåðãèÿ â îáú¸ìå V óìåíüøàåòñÿ). Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå áàëàíñà G ýíåðãèè ïîëÿ (1.13.3) ïðè óñëîâèè îòñóòñòâèÿ ñòîðîííèõ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ (  ) äëÿ ýíåðãåòè÷åñêè íåèçîëèðîâàííîãî îáú¸ìà.  ýòîì ñëó÷àå èìååì G: 36  3   (1.13.9) GW èíòåãðàëîì (1.13.5). ãäå âåëè÷èíà 3 6 îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì G Ïîòîê 3 6 âåêòîðà Óìîâà-Ïîéíòèíãà 6 ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî âíóòðåííèå ïðî6 öåññû â îáú¸ìå V íå óðàâíîâåøåíû. Åñëè, íàïðèìåð, 3 !  , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èìåþò ìåñòî ïîòåðè ýíåðãèè â îáëàñòè V èç-çà å¸ ïåðåõîäà âî âíåøíåå ïðîñòðàíñòâî. Åñëè æå 3 6   , ýíåðãèÿ ïîñòóïàåò â îáú¸ì V èçâíå.  îáîèõ ñëó÷àÿõ àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà 3 6 åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ýíåðãèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ãðàíè÷íóþ ïîâåðõíîñòü S çà åäèíèöó âðåìåíè. Ïîýòîìó 3 6 íàçûâàþò ïîòîêîì ìîùíîñòè 6 ÷åðåç S. Ïðè 3 6 !  âåëè÷èíà 3 ðàâíà ìîùíîñòè èçëó÷åíèÿ âî âíåøíåå ïðî6 ñòðàíñòâî; ïðè 3   âåëè÷èíà 3 6 ðàâíà ìîùíîñòè ïîãëîùàåìîãî âíåøíåãî èçëó÷åíèÿ. Èñõîäÿ èç ðàâåíñòâà (1.13.8), ìîæíî îïðåäåëèòü ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, çàïàñ¸ííóþ âíóòðè îáú¸ìà V. Äëÿ ñëó÷àÿ èçîòðîïíîé è íåäèñïåðãèðóþùåé ñðåäû ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îïåðàöèè: G G G G G w' G w% w §+ · w § ( · ¸ ( PP ¨¨ H H ¨¨ ¸¸  + w W ©  ¸¹ wW ©  ¹ wW wW  ðåçóëüòàòå çàïàñ¸ííàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáëàñòè V îïðåäåëÿåòñÿ êàê G G  : H  H (   P P +  G9  (1.13.10)  ³ 9 òî åñòü ñêëàäûâàåòñÿ èç äâóõ ÷àñòåé, îäíà èç êîòîðûõ ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, à äðóãàÿ — ìàãíèòíîãî. Ñëåäîâàòåëüíî, : ãäå :H H  :H  :P  G ³H( 9 G9  GG ( ' G9  ³ 9 (1.13.11) (1.13.12) Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 65 — ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñâÿçàííàÿ ñ ýëåêòðè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèåé ñðåäû; G P  GG (1.13.13) :P P +  G9 + % G9   ³ 9 ³ 9 — ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñâÿçàííàÿ ñ íàìàãíè÷åííîñòüþ ñðåäû. Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â âûðàæåíèè (1.13.10) îïðåäåëÿåò îáú¸ìíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñðåäå: G G   G G G G (1.13.14) Z H  H (   PP +  ('+%    Äëÿ îáú¸ìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè G ïîëÿ w ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå áàëàíñà ýíåðãèè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå (  ): G G G wZ GLY 6  -(   (1.13.15) wW êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (1.13.9). 1.14. Âíóòðåííèå è âíåøíèå çàäà÷è ýëåêòðîäèíàìèêè Ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (1.10.1), îäíàêî íå âñÿêîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû äà¸ò ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Ïîýòîìó, ïðè ïîñòàíîâêå çàäà÷ ýëåêòðîäèíàìèêè ââîäÿòñÿ åù¸ íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, ñîîáùàþùèå èì ôèçè÷åñêóþ îïðåäåë¸ííîñòü. Òàêîâû íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, à òàêæå çàäàíèå ñòîðîííèõ ñèë. Ïîä íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ïîíèìàþò çàäàíèå ïîëÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè. Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ (ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ) ïðîöåññîâ âîïðîñ î ïîñòàíîâêå íà÷àëüíûõ óñëîâèé îòïàäàåò. Ïîä ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïîäðàçóìåâàþò íå òîëüêî èçó÷åííûå â ðàçäåëå 1.12 ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íîðìàëüíûìè è òàíãåíöèàëüíûìè êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ãðàíèöàõ ðàçäåëà ñðåä, íî è çàäàíèå ïîëåé íà âíåøíèõ ãðàíèöàõ ðàññìàòðèâàåìûõ îáëàñòåé, à òàêæå ïîâåäåíèå ïîëÿ âáëèçè ìåòàëëè÷åñêèõ è äèýëåêòðè÷åñêèõ ð¸áåð, åñëè òàêîâûå èìåþòñÿ, â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè.  òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è ýëåêòðîäèíàìèêè íàçûâàþò ãðàíè÷íûìè (êðàåâûìè) çàäà÷àìè ýëåêòðîäèíàìèêè. Ëþáàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ëèíåéíîé ìàêðîñêîïè÷åñêîé G G ýëåêòðîäèíàìèêè â ïðèíöèïå ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ âåêòîðíûõ ôóíêöèé (  + , óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà, ìàòåðèàëüíûì óðàâíåíèÿì, ãðàíè÷íûì è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì. Ðàçëè÷àþò äâà âèäà êðàåâûõ çàäà÷: âíóòðåííþþ è âíåøíþþ. Âî âíóòðåííåé G G çàäà÷å ýëåêòðîäèíàìèêè òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå (  + , âîçG áóæäàåìîå ñòîðîííèìè èñòî÷íèêàìè - âíóòðè îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ S (ðèñ. 1.19à). Ïðè íàëè÷èè âíóòðè îáú¸ìà V áåñêîíå÷íî òîíêèõ èäåàëüíî ïðîâîäÿùèõ ïîëîñîê èëè äèýëåêòðè÷åñêèõ êëèíüåâ ôîðìóëèðîâêà êðàåâîé çàäà÷è íà îñíîâå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèé, ãðàíè÷íûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íîé.  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ââîäèòü äîïîëíèòåëüíîå ôèçè÷åñêîå óñëîâèå, íàçûâàåìîå óñëîâèåì íà ðåáðå. Îáû÷íî îíî ôîðìó- 66 ÃËÀÂÀ 1 G Q 6 6 G - 9 à) á) Ðèñ. 1.19 ëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ³ G G G G ( '  + % G9 o  (1.14.1) 9c o ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ îáú¸ìà 9 c â îêðåñòíîñòè ðåáðà. Èç ýòîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè ðåáðà íè îäíà ñîñòàâëÿþùàÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íå ìîæåò âîçðàñòàòü áûñòðåå, ÷åì U  D   D  G , ãäå U — ðàññòîÿíèå äî ðåáðà. Áîëåå òî÷íî, êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ( , ïàðàëëåëüíûå ðåáðó, âñåãäà îãðàíè÷åíû èëè ðàâíû íóëþ. Ïåðïåíäèêóëÿðíûå êîìïîíåíòû èìåþò îñîáåííîñòü. Ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå (1.14.1) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óñëîâèÿ îãðàíè÷åííîñòè ýíåðãèè, çàïàñ¸ííîé âáëèçè ðåáðà. Áîëåå ïîäðîáíî âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ óñëîâèåì íà ðåáðå, áóäóò ðàññìîòðåíû â ï.3.2. Ïðè ðåøåíèè âíåøíåé çàäà÷è ýëåêòðîäèíàìèêè òðåáóåòñÿ íàéòè ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå âíå îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ S, â áåñêîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå (ðèñ. 1.19á).  ýòîì ñëó÷àå, äëÿ îäíîçíà÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è ââîäèòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè (óñëîâèå èçëó÷åíèÿ Çîììåðôåëüäà): w G6c ) @ URW ) G9 ³ ³ 9 6 ïðåîáðàçóåì ïåðâûé èíòåãðàë â (1.15.21): G G ­ - Uc ½ URW c ® G G ¾ G9 c ¯_ U  U c _ ¿ ³  9 ³ 6 G G > - UG c  G6c@  G G _ U  Uc _ Òàê êàê V — îáëàñòü, ñîäåðæàùàÿ âñå òîêè, òî íà ïîâåðõíîñòè S, îãðàíè÷èâàþùèé V, òîêîâ íåò, ñëåäîâàòåëüíî ïåðâûé èíòåãðàë â (1.15.21) ðàâåí íóëþ. Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå ñîîòíîøåíèå G G U  Uc  JUDG §¨ G G ·¸  G G   © _ U  Uc_ ¹ _ U  Uc_ ïðèâîäèì âûðàæåíèå (1.15.21) ê âèäó: G G G G G G  - Uc u U  Uc (1.15.22) + U G9 c  G G S _ U  Uc _  ³ 9 Ñîîòíîøåíèå (1.15.22) ôàêòè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáù¸ííûé çàêîí Áèî-Ñàâàðà, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà. G Äëÿ ìàëîãî ó÷àñòêà ïðîâîäíèêà G O c , ïî êîòîðîìó ïðîòåêàåò òîê I, çàêîí ÁèîÑàâàðà çàïèñûâàåòñÿ â ôîðìå äèôôåðåíöèàëà: G G G G  , >G O c u U  U c @ G+  G G S _ U  Uc_  G 1.15.3. Ìàãíèòîñòàòèêà. Ïðè -  ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.15.2) ïðèíèìàåò âèä: G G G G (1.15.23) URW +   GLY %   % P D +  êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé ìàãíèòîñòàòèêè. G Òàê êàê â ïðèðîäå îòñóòñòâóþò ìàãíèòíûå çàðÿäû, òî ëèíèè âåêòîðà % íå ìîãóò îáðûâàòüñÿ. Êàê è â ýëåêòðîñòàòèêå, ìîæíî ââåñòè ìàãíèòîñòàòè÷åñêèé ïîòåíöèàë < : G +  JUDG <  Ìàãíèòîñòàòè÷åñêèé ïîòåíöèàë < óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ GLY P D JUDG <  (1.15.24) êîòîðîå äëÿ îäíîðîäíîé ñðåäû ( P D FRQVW ) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå Ëàïëàñà ’<  Ïîíÿòèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 71 Óðàâíåíèå (1.15.24) îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå ìåäëåííûõ âîëí î÷åíü ìàëîé (ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûìè ýëåêòðîìàãíèòíûìè âîëíàìè) äëèíû. Ìàëîñòü äëèíû âîëíû (èëè ðàçìåðîâ òåëà) ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé îáû÷íîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû äàåò âîçìîæíîñòü ïðè èññëåäîâàíèè ìåäëåííûõ âîëí èëè íèçêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé ïðåíåáðå÷ü çàïàçäûâàþùèìè ÷ëåíàìè (÷ëåíàìè, ñîäåðæàùèìè ïðîèçâîäíûå) â óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà, òî åñòü èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ ìàãíèòîñòàòèêè (1.15.23). Ýòî äàåò îñíîâàíèå íàçûâàòü ïîäîáíûå âîëíû è êîëåáàíèÿ ìàãíèòîñòàòè÷åñêèìè (ñì. ï.10.6). Òàêèå âîëíû è êîëåáàíèÿ èìåþò ìåñòî â ôåððîìàãíåòèêàõ. Äëÿ ïîñòîÿííîé ðàñïðîñòðàíåíèÿ J ìàãíèòîñòàòè÷åñêîé âîëíû äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùåå óñëîâèå: J !! N HP  ãäå N — âîëíîâîå ÷èñëî ïëîñêîé âîëíû â âàêóóìå, e è m — îòíîñèòåëüíûå äèýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû. Ê êëàññó ìàãíèòîñòàòè÷åñêèõ çàäà÷ íåîáõîäèìî îòíåñòè è çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííûõ ìàãíèòîâ.  ýòîì ñëó÷àå ìàòåðèàëüíîå óðàâíåíèå G G % P D + íóæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåé ôîðìå: G G G % PD+  0   G G ãäå 0  — íàìàãíè÷åííîñòü ìàãíèòîâ, íå çàâèñÿùàÿ îò âåêòîðà + . Òîãäà âìåñòî (1.15.24) ïîëó÷èì óðàâíåíèå G GLY P D JUDG < GLY 0   êîòîðîå ïðè P FRQVW ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå Ïóàññîíà G  GLY 0   ’< PD Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.15.25) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: G G GLY 0  U c G  G9 c