Понятие о движении тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение)

Лекция 9 Понятие о движении тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение) 1 Описание (задание) движения На рисунках изображены несколько тел, совершающих сферическое движение. 2 На первом рисунке тело прикреплено к неподвижной опорной поверхности шаровым шарниром. 3 На втором рисунке изображен двухстепенный гироскоп. 4 На третьем рисунке показан конус, катящийся по плоскости без проскальзывания. 5 Так как расстояние между неподвижной точкой тела и любой другой остается неизменным в силу его абсолютной твердости, траектория движения любой точки лежит на сфере, радиус которой равен этому расстоянию. Отмеченная особенность и определила название движения как сферическое. Этот тип движения тесно связан с ранее рассмотренным случаем вращения тела вокруг неподвижной оси, так как сферическое движение может быть представлено в виде непрерывной последовательности малых (элементарных) поворотов вокруг перемещающейся в пространстве оси. Эта ось называется мгновенной осью вращения тела. Скорости всех точек мгновенной оси равны нулю. Часто положение этой оси и ее движение очевидны. 6 Так, для изображенного на рисунке конуса, катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости, мгновенной осью будет линия их соприкосновения; в процессе движения конуса эта ось вращается вокруг вертикальной оси z. Отличительная особенность этого подхода заключается в том, что понятие суммарного угла поворота лишается обычного смысла, так как элементарные повороты происходят вокруг различных положений мгновенной оси. 7 При таком подходе можно ввести в рассмотрение вектор ω ~ угловой скорости, направленный вдоль орта ω ~ 0 мгновенной оси, то есть ω ~ =ω·ω ~0 и вектор углового ускорения ~ε = dω d~ ω0 d~ ω = ω ~0 + ω = ~εk + ~ε⊥ . dt dt dt Первая из компонент вектора ~ε отражает изменение модуля вектора ω ~ ; она обозначается ~εk и называется параллельной составляющей углового ускорения, так как совпадает с направлением мгновенной оси. Вторая компонента связана с переменностью направления мгновенной оси и, как следствие, орта ω ~ 0 ; она обозначается ~ε⊥ и называется перпендикулярной составляющей углового ускорения (так как перпендикулярна орту ω ~ 0 мгновенной оси). Тогда ε= q ε2k + ε2⊥ . 8 Рассмотренный подход позволяет для вычисления локальных характеристик использовать формулы: ~ =ω V ~ × ~r; ~ = ~ε × ~r + ω ~ = ε~k × ~r + ε~⊥ × ~r + ω ~. W ~ ×V ~ ×V При этом последнее слагаемое называется осестремительной составляющей ускорения, а два первых – параллельной и перпендикулярной вращательной составляющими. В наиболе общем случае сферическое движение тела с тремя степенями свободы описывается (задается) тремя обобщенными координатами, называемыми углами Эйлера. В настоящем курсе этот подход не обсуждается. 9 Пример. Коническое зубчатое колесо радиуса r катится по неподвижному зубчатому колесу радиуса R; угол между осями колес составляет 90◦ . Время одного оборота относительно вертикальной оси постоянно и равно T . Найти угловую скорость ω и угловое ускорение ε колеса, а также VA и ускорение WA его верхней точки A. 10 Решение. Угловая скорость прецессии колеса ωψ = 2π = Const. T Угол нутации постоянен и равен θ = 90◦ , то есть ωθ = 0. В этом случае ω ~ =ω ~ψ + ω ~ ϕ. Построив соответствующий параллелограмм угловых скоростей (сторона ω ~ ψ известна, линия вектора ω ~ ϕ совпадает с осью подвижного колеса, линия мгновенной оси проходит через две неподвижные точки – точку O и точку B контакта с неподвижным колесом), получим: ω= ωψ , sin α ωϕ = ωψ . tg α При движении колеса вектор мгновенной угловой скорости поворачивается вокруг вертикальной оси, образуя коническую поверхность с углом при вершине 180◦ − 2α. 11 Поскольку ω ~ ψ и направления векторов ω ~ иω ~ ϕ в подвижной системе осей не изменяются, не изменяется и модуль вектора ω ~. В этом случае εk = dω = 0; dt ~ε = ~ε⊥ = ω ~ψ × ω ~. Вектор углового ускорения приложен в точке O и направлен на нас перпендикулярно плоскости рисунка. Модуль углового ускорения равен ε = ε⊥ = ωψ ωψ2 ωψ 4π 2 sin(90◦ − α) = = 2 . sin α tg α T tg α Опустив из точки A на мгновенную ось перпендикуляр, найдем кратчайшее расстояние от точки до линии вектора ω ~ как h = AB cos α = 2r cos α. Тогда вектор скорости точки A будет направлен перпендикулярно плоскости рисунка в противоположную от нас сторону, а его модуль будет равен 4π · r ωψ 2r cos α = . VA = ω · h = sin α T · tg α 12 Осестремительная составляющая ускорения точки A направлена от точки к мгновенной оси, а ее модуль равен WAOC = ω 2 h = ωψ2 2r cos α 2 sin α = 8π 2 r cos α . T 2 sin2 α Вращательная составляющая ускорения, равная ~ ABP = ~ε⊥ × OA, ~ W ~ расположена в плоскости рисунка и составляет угол 90◦ с OA. Ее модуль равен WABP = ε⊥ OA = 4π 2 p 2 r + R2 . tg α T2 Обе компоненты ускорения лежат в плоскости рисунка и составляют между собой угол 180◦ − 2α. Тогда q WA = (WAOC )2 + (WABP )2 − 2WAOC WABP cos 2α. 13 Конспект лекций, методические указания Мелконян А. Л., Черныш А. А. Теоретическая механика. Часть 1: Конспект лекций. Санкт-Петербург, 2014, 151 с. Мелконян А. Л., Николаев И. А., Титова Ю. Ф. Рекомендации для выполнения расчетно-графических работ по теоретической механике. Часть 1: Методические указания для выполнения расчетно-графических работ по статике и кинематике. Санкт-Петербург, 2015, 35 с. 14