Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Лекция 9
Понятие о движении тела с одной
неподвижной точкой
(сферическое движение)
1
Описание (задание) движения
На рисунках изображены несколько тел, совершающих сферическое
движение.
2
На первом рисунке
тело прикреплено к неподвижной опорной поверхности шаровым
шарниром.
3
На втором рисунке
изображен двухстепенный гироскоп.
4
На третьем рисунке
показан конус, катящийся по плоскости без проскальзывания.
5
Так как расстояние между неподвижной точкой тела и любой другой
остается неизменным в силу его абсолютной твердости, траектория
движения любой точки лежит на сфере, радиус которой равен этому
расстоянию.
Отмеченная особенность и определила название движения как
сферическое.
Этот тип движения тесно связан с ранее рассмотренным случаем
вращения тела вокруг неподвижной оси, так как сферическое
движение может быть представлено в виде непрерывной
последовательности малых (элементарных) поворотов вокруг
перемещающейся в пространстве оси.
Эта ось называется мгновенной осью вращения тела.
Скорости всех точек мгновенной оси равны нулю.
Часто положение этой оси и ее движение очевидны.
6
Так, для изображенного на рисунке конуса, катящегося без
проскальзывания по неподвижной плоскости, мгновенной осью будет
линия их соприкосновения; в процессе движения конуса эта ось
вращается вокруг вертикальной оси z.
Отличительная особенность этого подхода заключается в том, что
понятие суммарного угла поворота лишается обычного смысла, так
как элементарные повороты происходят вокруг различных
положений мгновенной оси.
7
При таком подходе можно ввести в рассмотрение вектор ω
~ угловой
скорости, направленный вдоль орта ω
~ 0 мгновенной оси, то есть
ω
~ =ω·ω
~0
и вектор углового ускорения
~ε =
dω
d~
ω0
d~
ω
=
ω
~0 + ω
= ~εk + ~ε⊥ .
dt
dt
dt
Первая из компонент вектора ~ε отражает изменение модуля вектора
ω
~ ; она обозначается ~εk и называется параллельной составляющей
углового ускорения, так как совпадает с направлением мгновенной
оси.
Вторая компонента связана с переменностью направления
мгновенной оси и, как следствие, орта ω
~ 0 ; она обозначается ~ε⊥ и
называется перпендикулярной составляющей углового ускорения
(так как перпендикулярна орту ω
~ 0 мгновенной оси).
Тогда
ε=
q
ε2k + ε2⊥ .
8
Рассмотренный подход позволяет для вычисления локальных
характеристик использовать формулы:
~ =ω
V
~ × ~r;
~ = ~ε × ~r + ω
~ = ε~k × ~r + ε~⊥ × ~r + ω
~.
W
~ ×V
~ ×V
При этом последнее слагаемое называется осестремительной
составляющей ускорения, а два первых – параллельной и
перпендикулярной вращательной составляющими.
В наиболе общем случае сферическое движение тела с тремя
степенями свободы описывается (задается) тремя обобщенными
координатами, называемыми углами Эйлера.
В настоящем курсе этот подход не обсуждается.
9
Пример. Коническое зубчатое колесо радиуса r катится по
неподвижному зубчатому колесу радиуса R; угол между осями колес
составляет 90◦ . Время одного оборота относительно вертикальной
оси постоянно и равно T . Найти угловую скорость ω и угловое
ускорение ε колеса, а также VA и ускорение WA его верхней точки A.
10
Решение. Угловая скорость прецессии колеса
ωψ =
2π
= Const.
T
Угол нутации постоянен и равен θ = 90◦ , то есть ωθ = 0.
В этом случае
ω
~ =ω
~ψ + ω
~ ϕ.
Построив соответствующий параллелограмм угловых скоростей
(сторона ω
~ ψ известна, линия вектора ω
~ ϕ совпадает с осью
подвижного колеса, линия мгновенной оси проходит через две
неподвижные точки – точку O и точку B контакта с неподвижным
колесом), получим:
ω=
ωψ
,
sin α
ωϕ =
ωψ
.
tg α
При движении колеса вектор мгновенной угловой скорости
поворачивается вокруг вертикальной оси, образуя коническую
поверхность с углом при вершине 180◦ − 2α.
11
Поскольку ω
~ ψ и направления векторов ω
~ иω
~ ϕ в подвижной системе
осей не изменяются, не изменяется и модуль вектора ω
~.
В этом случае
εk =
dω
= 0;
dt
~ε = ~ε⊥ = ω
~ψ × ω
~.
Вектор углового ускорения приложен в точке O и направлен на нас
перпендикулярно плоскости рисунка.
Модуль углового ускорения равен
ε = ε⊥ = ωψ
ωψ2
ωψ
4π 2
sin(90◦ − α) =
= 2
.
sin α
tg α
T tg α
Опустив из точки A на мгновенную ось перпендикуляр, найдем
кратчайшее расстояние от точки до линии вектора ω
~ как
h = AB cos α = 2r cos α.
Тогда вектор скорости точки A будет направлен перпендикулярно
плоскости рисунка в противоположную от нас сторону, а его модуль
будет равен
4π · r
ωψ 2r cos α
=
.
VA = ω · h =
sin α
T · tg α
12
Осестремительная составляющая ускорения точки A направлена от
точки к мгновенной оси, а ее модуль равен
WAOC = ω 2 h =
ωψ2 2r cos α
2
sin α
=
8π 2 r cos α
.
T 2 sin2 α
Вращательная составляющая ускорения, равная
~ ABP = ~ε⊥ × OA,
~
W
~
расположена в плоскости рисунка и составляет угол 90◦ с OA.
Ее модуль равен
WABP = ε⊥ OA =
4π 2 p 2
r + R2 .
tg α
T2
Обе компоненты ускорения лежат в плоскости рисунка и составляют
между собой угол 180◦ − 2α. Тогда
q
WA = (WAOC )2 + (WABP )2 − 2WAOC WABP cos 2α.
13
Конспект лекций, методические указания
Мелконян А. Л., Черныш А. А. Теоретическая механика.
Часть 1: Конспект лекций. Санкт-Петербург, 2014, 151 с.
Мелконян А. Л., Николаев И. А., Титова Ю. Ф. Рекомендации
для выполнения расчетно-графических работ по теоретической
механике. Часть 1: Методические указания для выполнения
расчетно-графических работ по статике и кинематике.
Санкт-Петербург, 2015, 35 с.
14