Понятие математической модели

Лекция 1. Понятие математической модели Введение в дисциплину Рассмотрим парадигму термина «дискретная математика» Дискретное – нечто, не являющееся непрерывным, конечное, перечислимое. Дискретное, таким образом, появляется там, где фигурирует конечное число объектов. Математика – наука о методах исследования. Можно говорить о существовании большого количества стандартных алгоритмов решения некоторых задач, методов моделирования (представления в памяти, на бумаге) реально существующих объектов. В ряде случаев удается задачу представить совокупностью стандартных алгоритмов, методов моделирования. Можно утверждать, что дискретная математика служит для формализации данных задачи и ее решения. Очевидно применение дискретной математики: вычислительная техника, которая по природе своей работает с дискретными величинами. Ключевые понятия теории множеств Базовое понятие ТМ. Множество – совокупность объектов, объединенных в одно общее. Множество обозначается заглавной латинской буквой; реже – словом, написанным заглавными латинскими буквами. Например, множество цветов радуги С. Другой пример: множество целых чисел Z. Основное свойство множества: элементы множества уникальны; их порядок не имеет значения, кроме упорядоченных множеств. Элементы множества обозначаются одной маленькой буквой, реже, словом из маленьких букв. Например, . Для обозначения строк и массивов будем пользоваться Кортеж – упорядоченный конечный набор элементов, в котором элементы могут повторяться. Вектор – упорядоченная последовательность элементов. Для каждого элемента задается область определения. Вектор, фактически, есть точка в n-мерном пространстве, где n – количество компонент вектора, его длина. Основные понятия моделирования Моделирование – процесс воспроизведения поведения и значимых свойств объекта моделирования. Например, моделирование зенитного комплекса, а также сопутствующих объектов снарядов и самолета. Эффективность использования такой модели более 1000% при испытаниях. Модель объекта – полученное при моделировании описание свойств и способов поведения этого объекта. Например, упрощенная модель кота Левиафана: рыжий, крупный (15 кг.), любит когда ему чешут за ухом и вареную кильку; не любят когда на него наступают и сырую свинину. Детализация модели выбирается исходя из задач, которые решаются с использованием этой модели. Для примера сравнить детализацию модели кота и модели зенитного комплекса. Математическая модель – модель, описанная с использованием языка, принятого в математике. Математическая модель технического объекта – это совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств, векторов и т.д.) и отношения между ними, отражающая свойства проектируемого объекта, интересующие инженера-разработчика. Коротко: модель объекта – это объект, являющийся отражением реального объекта (существующего во вселенной) и используемый для решения каких-либо задач; моделирование объекта – описание свойств объекта с конкретной целью, например, воспроизведения поведения объекта. Требования к математическим моделям Главные требования к моделям это: понятность, наглядность и лаконичность. Общие требования: 1) репрезентативность. Соответствие модели и реального объекта. Например, некорректная модель может выглядеть следующим образом: у меня самый быстрый компьютер. 2) непротиворечивость, 3) объективность. Например, вместо «собака радуется при виде человека, который принес ей еду» следует использовать «собака виляет хвостом, проявляет повышенную физическую активность, стремится облизать лицо человеку, который принес ей еду». Еще один пример ошибки объективности: объект мне нравится. Формы представления математических моделей Будем использовать математические модели процессов для описания методов решений задачь в виде, более высокоуровневом, нежели текст программы. Существуют множество различных классификаций моделей процессов. Мы будем пользоваться следующей классификацией. Инвариантная модель Это запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели. Инвариантная модель задачи безразлична к методу решения задачи. Это модель данных задачи. Здесь описываются входные и выходные данные, отношения между элементами входных данных, между элементами выходных данных, а также между элементами входных и выходных данных. В модели не рассматриваются методы решения задачи. При описании используются механизмы: множества, предикаты, кванторы, графы и т.п. Например, даны две строки S1 и S2. Определить, входит ли S2 в S1. Инвариантная модель может выглядеть следующим образом: Дано: S1 = , i  [1, n]; S2 = , j  [1, m]; m < n; Найти: Существует ли k: Другой пример, дан граф G. Определить, является ли он деревом. Коротко: здесь описывается что дано и что необходимо получить с использованием приемов дискретной математики безотносительно к методам решения. Аналитическая модель Это запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели. Обычно в этой форме модели представляют собой явные выражения выходных параметров как функции внутренних и внешних параметров. Модель данных задачи. В этой модели анализируются (выбираются и упрощаются) методы решения задачи. В результате получаются рекомендации к применению тех или иных методов при решении задачи. Также могут быть пересмотрены входные данные. Например, задача «сколько точек пересечения имеет график функции y = 5x2+c с осью Ox?». 5x2+c = 0; x2 = -c/5; -c >= 0; c =< 0. При с = 0 одно решение Т.о., при c < 0 – две точки пересечения; при с = 0 – одна точка пересечения, при с > 0 – нет точек пересечения. Коротко: модель, в которой выбирается оптимальный метод решения, а также могут быть изменены входные данные. Алгоритмическая модель Это запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма. Модель метода решения задачи обычно с помощью ЭВМ. В этой модели описывается метод решения задачи с использованием специальных обозначений. При описании алгоритмической модели используются: 1) <действие>, если <условие>. Например, 2) Пример, 3) <Действие>, <Переменная-счетчик> = <НижняяГраница>..<ВерхняяГраница>. Последовательно присваивать переменной-счетчику значения из диапазона от нижней границы до верхней границы и выполнять с этим значением действие. Например, , 4) Для <Переменная-счетчик> = <НижняяГраница>..<ВерхняяГраница> выполнить <Действие>. Аналогично предыдущему пункту. Например, , 5) Пока <условие> выполнять <действие>. 6) Прерывания программы и циклов. Например, выйти из программы. Коротко: здесь описывается укрупненная последовательность действий на языке, близком к языку программирования. Схемная (графическая) модель Это представление модели на некотором графическом языке, например на языке графов, эквивалентных схем, диаграмм и т.д. Графические формы удобны для восприятия человеком. Использование таких форм возможно при наличии правил однозначного истолкования элементов чертежей и их перевода на язык инвариантной или алгоритмической форм. Графический способ представления прежде всего алгоритмической модели. Применяется для повышения наглядности. Обычно используется для того, чтобы передать идею решения, основные моменты, наметить проблемные области. Мы будем рассматривать блок-схему. На ее основе изображается алгоритм решения задачи. Требования к размерам b=1,5 a. На схеме предусмотрены 2 типа шрифта (2 возможных размера шрифта, например, 12 и 8 кегль). Стрелка ставится только после изломов. Блоки: Блок Описание Терминатор. Блок, которым начинается и заканчивается блок-схема. Если это начало программы, то здесь пишется «Начало». В случае, когда этим блоком начинается описание подпрограмма, то здесь указывается «Начало» + <имя подпрограммы> Процесс Процесс ввода/вывода Проверка условия Предопределенный процесс (подпроцесс) Начало цикла Конец цикла Символ разрыва структуры блок-схемы Комментарий Рекомендация к средству проектирования блок-схем: MS Visio (раздел Flowchart – Basic Flowchart).