Понятие линейного динамического звена

2 . Понят ие линейного динамического звена 2.1 Общие сведения САУ удобно представлять для анализа и при синтезе в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов – динамических звеньев. Под динамическим звеном понимают в общем случае абстрактное устройство, имеющее вход и выход, и для которого задано уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе, как это показано на рис. 2.1. Подробное изучение свойств реальных ОУ и САУ приводит к описанию динамических звеньев в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Но во многих случаях их можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системах. Тем самым осуществляется декомпозиция задач анализа и синтеза систем, то есть первоначально используют линейное представление, а затем осуществляют учет вносимых нелинейностями особенностей. Такому подходу способствует то, что, в большинстве случаев, нормально функционирующая система работает в режиме малых отклонений, при которых нелинейности не проявляются. В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно аппарат изучения линейных систем. Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид: где коэффициенты, - постоянные Использовать такое описание динамического звена в задачах анализа и синтеза систем и объектов управления не рационально, поэтому существуют и иные формы описания и представления динамических звеньев и систем в целом. Передаточная функция Подвергнем предыдущее уравнение преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов Преобразуем последнее уравнение к следующему виду Получим из последнего уравнения отношение изображений выходного и входного сигналов Последнее отношение не зависит от изображений сигналов, определяется только параметрами самого динамического звена и имеет вид дробно-рациональной функции. Отношение изображений выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях называют передат очной ф ункцией динамического звена Уравнение вида называют характ ерист ическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.  Числитель передаточной функции называют операторным коэффициентом передачи. Его корни, при которых W(p)=0, называются нулями передаточной функции Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называется структурной. Исследование любой САУ включает в себя математическое описание системы. На базе которого и исследуют статические и динамические режимы ее работы. Математическое описание системы (математическая модель) начинается с разбиения ее на звенья. Последнее может осуществляться либо аналитически в виде уравнений, связывающих входные и выходные величины звена, либо графически в виде характеристик, описывающих эту связь. По уравнениям или характеристикам отдельных звеньев составляются уравнения или характеристики системы в целом, на основании которых и исследуется система. При этом систему следует разбивать на возможно более простые звенья, но вместе с тем необходимо, чтобы они обладали направленностью действия. Звеном направленного действия называется звено, передающее воздействие только в одном направлении – со входа на выход, так что изменение состояния этого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход. В результате при разбиении системы на звенья направленного действия математическое описание каждого звена может быть составлено без учета связи его с другими звеньями. Таким образом математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность составленных независимо друг о друга уравнений или характеристик отдельных звеньев, образующих систему, дополненную уравнениями связи между звеньями. На основании математического описания составляется структурная схема системы, которая и называется ее математической моделью . На структурной схеме изображаются все основные устройства ЭМС. Устройства, функциональные части и элементы изображаются в виде прямоугольников, соединенных линиями связи, дающих представление о взаимосвязи устройств, функциональных частей и элементов САУ. При использовании структурной схемы для анализа и синтеза внутри прямоугольников записываются передаточные функции элементов W ( p) i . Получение такой структурной схемы является конечной целью математического описания системы. 2.2. . Элемент арны е динамические звенья Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарны ми динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени: b 0 p 2  b1p  b 2 Wý (p)  a 0 p 2  a 1p  a 2 Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета можно записать a 0 p n  a 1p n  1  a 2 p n  2  a n a 0  p  p1  p  p 2 ... p  p n  где рi – корни характеристического полинома. Корни могут быть либо комплексно-сопряженными, либо вещественными Любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом. В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы. Пример Составим передаточную функцию ДПТ нв., принципиальная схема которого приведена на рис.2.2. Рассмотрим статический режим работы двигателя при следующих допущениях: 1. не учитывается падение напряжения на щетках 2. не учитывается продольная реакция якоря из-за сдвига щеток с нейтрали 3. Не учитывается поперечная реакция якоря. В этом случае: U E  R я I я  L я pI я E k Ф  M k Ф I IЯ М U Нагрузка rя Lя UB  Ф Рис. 2.2. Двигатель постоянного тока независимого возбуждения При изменении частоты вращения возникает динамический момент M дин d J  M  M c dt Структурные схемы, составленные в соответствии с последними уравнениями, приведены на рис.2.3 (при переменном магнитном потоке) и рис.2.4 (при постоянном магнитном потоке) (составить самостоятельно и проверить с рис.2.3, рис.2.4) ДПТ нв можно рассматривать как ЭМС, имеющую две выходные координаты: ток якоря и частоту вращения и три входных: напряжение на обмотке якоря, напряжение на обмотке возбуждения, момент сопротивления (рис.2.5). Сначала найдем передаточные функции ДПТ Найдем передаточную функцию ДПТнв между выходной – частотой вращения и входной – напряжением на обмотке якоря. Преобразуем уравнение равновесия напряжений на ОЯ U k Ф   R я I я 1  Tэ p  Из уравнения движения ЭП получим J I p  Ic k Ф Подставим последнее уравнение в предпоследнее  J  U k Ф   R я 1  Tэ p   p  Ic   k Ф  Или преобразуем 1 Rя 1  TM p  TэTM p   U  1  Tэ p  Ic kФ kФ где TM JR я  kФ  2 электромеханическая постоянная времени Из последнего выражения переходя к изображениям Лапласса  p  1 kФ W1  p    U p  TЭ TM p 2  TM p  1 2  p  R я  Tэ p  1 /  kФ  W2  p    2 M c  p  TЭTM p  TM p  1 Решив исходные выражения относительно тока якоря и перейдя также к изображениям Лапласса получим еще две передаточных функции Iя  p TM p R я W3  p    2 U p  TЭTM p  TM p  1 Iя  p 1 kФ W4  p    2 M C  p  TЭ TM p  TM p  1 Уравнение цепи возбуждения U B R B I B  L B pI B R B I B 1  TB p  Передаточные функции можно составить дополнительно используя последним уравнением цепи возбуждения  p  W5  p   UB  p Вы вести самостоятельно и Iя  p W6  p   UB  p МС U _ 1 RЯ (1TЭp) IЯ х М _ 1 Jp  кФ E х UB _ 1 n p к кФ IB RB q Рис. 2.3. Структурная схема двигателя постоянного тока при переменном магнитном потоке МС _ 1 Rß (1Tß p) I кФ М _ 1 Jp кФ Рис. 2.4. Структурные схемы двигателя постоянного тока при постоянном магнитном потоке   U(p)  I(p)  M1(p)  (p)  UB(p) Рис 2.5. Схема связей входных и выходных координат ДПТ Таким образом можно получить передаточную функцию ДПТ между любой выходной и входной координатой (рис.2.6) Задача 1 Найти передаточную функцию и записать дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи (рис.2.7). Решение Используем операторную форму записи сопротивлений индуктивного  x L pL, емкостного  x C 1 pC и активного  R  U(p)  (p) W1 (p)    MC(p)  UB(p) W2 (p) W5 (p)  U(p)  IЯ(p) W3 (p)   MC(p)  UB(p) W4 (p) W6 (p) Рис 2.6. Передаточные функции двигателя постоянного независимого возбуждения  C1 a L1 Z1(p) R1 U1 б R2 L2 U2 U1(p) Z2(p) C2 Рис. 2.7. Схема пассивной цепи (а) и ее эквивалентная схема (б) U2(p) 1 R 1 R 1 T12 p 2  T1L p  1 pC1 Z1   pL1  1 T p  1 1 C R1  pC1  где T1  L1 C1  L1 T1L  R1  T1C R 1 C1  R 2 C 2 p 1 R 2  T22 p 2  T2 L p  1 Z2    R 2  L 2 p C 2 p p  T2C  T22 p где T2  L 2 C 2  T2C L 2 C 2  T2C R 2 C 2 Передаточная функция эквивалентной цепочки находится как отношение U 2  p Z2  p W2  p    U1  p  Z1  p   Z 2  p  Подставив в последнее уравнение полученные выше выражения, получим искомую передаточную функцию электрической схемы   R 2  T22 p 2  T2 L p  1 p  T2 C  T22 p W p   2 2 2 2 R 1  T1 p  T1p  1 R 2 T2 p  T2 L p  1   T1C p  1 p T2 C  T22 p           R 2 b 0 p 3  b1p 2  b 2 p  b 3  R 2 b 0 p 3  b1p 2  b 2 p  b 3  R 1 d 0 p 4  d1p 3  d 2 p 2  d 3 p  где b 0 T22 T1C d 0 T12 T22   b1 T22  T2 L T1C d1 T12 T2C  T22 T1L b 2 T2 L  T1C d 2 T1L T2C  T22  b 3 1 d 3 T2 Соответственно дифференциальное уравнение рассматриваемой электрический цепи относительно напряжений примет вид  R  b p  b p  b p  b   R d p R  b p  b p  b p  b U  t  3 2 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 1 4   d 1p 3  d 2 p 2  d 3 p U 2  t  