Понятие касательной плоскости

§ 5. Понятие касательной плоскости. Дана функция z=f (x , y ). Графиком z=f (x , y ) является поверхность (рисунок) . Поверхность - это геометz0 рическое место точек c координатами P(x,y, z=f (x , y ) ) P(x,y,z) (см. рис.). Рассмотрим окрестность M 0 (x0 , y 0 )∈ D. ВнуК три этой окрестности находится текущая точка M ( x , y) . П N Восстановим перпендикуляр в текущей точке M ( x , y) до Y y0 пересечения с поверхностью. Проведем плоскость П, котоD рая касается поверхности в точке P0. Плоскость П пересеM0 x0 кает перпендикуляр в точке K. Тогда отрезок P0K принадлеM жит плоскости П. Точка N на перпендикуляре принадлежит плоскости, которая параллельна плоскости XOY, которая касается поверхности в точке P0. Таким образом, отрезок P0N компланарен плоскости XOY. Определение. Плоскость П называется касательной плоскостью к поверхности в точке P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , если разность аппликаты плоскости П и текущей точки P( x , y , z) поверхности есть величина бесконечно малая более высокого порядка малости чем ρ =ρ (M 0 , M) при ρ →0 , т. е. |PK|=O( ρ ( M0 , M)). Z X P0(x0,y0,z0) Теорема. Если функция z=f ( x , y ) дифференцируема в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , тогда в точке P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) существует касательная плоскость, уравнение которой имеет вид z−z0 =( ∂f ∂f ) ⋅( x−x 0)+( ) ⋅(y−y 0). ∂ x Mo ∂ x Mo Без доказательства. Таким образом, ∂f ∂f ) ⋅(y−y 0 )−( z−z 0 )=0 уравнение касательной плоскости в точке P 0. (5.1) ( ) ⋅(x−x0 )+( ∂x Mo ∂ x Mo Из вида уравнения плоскости по известной точке и нормальному вектору (4.1, раздел 3) известно, что коэффициенты при (x−x 0), (y−y0 ), (z−z0 ) это координаты нормального вектора. Следовательно, ∂f ∂f n (( ) ,( ) ,−1) - нормальный вектор касательной плоскости в точке P 0. ⃗ ∂x Mo ∂ y Mo Также представляется возможным записать уравнение нормали, проходящей через точку n . Для записи уравнения воспользуемся уравM 0 ( x0 , y 0 ) коллинеарно нормальному вектору ⃗ нением прямой в пространстве по известной точке и направляющему вектору (уравнение (5.2, раздел 3). Тогда (5.2) (x−x 0) (y−y0 ) (z−z 0) = = -уравнение нормали касательной плоскости в точке P 0. ∂f ∂f −1 ( ) ( ) ∂ x Mo ∂ y Mo § 6. Дифференцирование сложной функции 2-х переменных. Дана функция сложная функция z=f (x , y ), где промежуточные аргументы x, y являются функциями переменной t, x=x( t), y=y (t) , и которые дифференцируемы , т. е. существуют производные x=x '(t), y=y '(t ), где t независимый аргумент. Теорема. Пусть выполнены условия: 1. Функции x=x( t), y=y (t) дифференцируемы на множестве t ∈T, существуют производные x=x '(t), y=y '(t); 2. Функция z=f ( x , y ) диффе- ренцируема в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , причем x 0=x (t 0) , y 0=y (t 0 ). Тогда сложная функция z=f ( x( t), y (t )) также дифференцируема в точке M 0 (x0 , y 0 ) , причем dz ∂f ∂ x ∂ f ∂ y = ⋅ + ⋅ dt ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t Доказательство. Из первого условия следует, что x=x( t), y=y (t) дифференцируемы, следовательно, lim Δ x=0, lim Δ y=0. Также дифференцируемой является функция z=f ( x( t), y (t )) в точΔ x →0 Δ x →0 ке M 0 (x0 , y 0 ) , т. е. полное приращение функции равно ∂f ∂f Δ z=dz+ O( ρ ( M0 , M))=( ) Δ x+( ) Δ y +α (Δ x , Δ y)⋅Δ x + β (Δ x , Δ y)⋅Δ y . Функция ∂ x Mo ∂ y Mo z=f ( x( t), y (t )) дифференцируема, и это функция одной переменной t, тогда существует производная dz Δz ∂f Δx ∂f Δy α⋅Δ x = lim = lim ( ) ⋅ + lim ( ) ⋅ + lim dt Δ x →0 Δ t Δ x →0 ∂ x Mo Δ t Δ x →0 ∂ y Mo Δ t Δ x→ 0 Δ t β⋅Δ x ∂f Δx ∂f Δy ∂ f dx ∂ f dy + lim = lim ( ) ⋅ + lim ( ) ⋅ + 0+0= ⋅ + ⋅ . Δt ∂x dt ∂ y dt Δ x→ 0 Δ x→ 0 ∂ x Mo Δ t Δ x→ 0 ∂ y Mo Δ t Воспользовались теоремой о пределе произведения функций, пределы которых существуют. Воспользовались также дифференциальной формой производной функции одной переменной. Таким образом, dz ∂f dx ∂f dy = ⋅ + ⋅ (6.1) - производная сложной функции. dt ∂ x dt ∂ y dt Рассмотрим обобщение формулы (6.1) на случай x=x( u , v), y=y ( u , v) . Промежуточные аргументы являются функциями 2-х независимых переменных u, v. Фиксируем последовательно переменные u и v. Тогда функция z=f ( x , y ) - сложная функция первоначально переменной только v, а затем v, следовательно, в соответствии с (6.1) получим систему уравнений частных производных (6.2) { ∂ z ∂f ∂ x ∂ f ∂ y = ⋅ + ⋅ ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v - частные производные сложной функции z=f ( x( u . v), y (u , v)). ∂z ∂f ∂x ∂f ∂y = ⋅ + ⋅ ∂ u ∂x ∂ u ∂ y ∂ u § 7. Дифференциалы сложной функции. Дана функция функция z=f (x , y ), где x, y независимые аргументы, тогда ∂f ∂f dz= dx+ dy . Пусть z=f ( x , y ) сложная функция и промежуточные аргументы это ∂x ∂x функции переменных u, v, т. е. x=x( u , v), y=y ( u , v) , следовательно, z=f ( x( u , v), y (u , v))=F( u , v ). Найдем полный дифференциал F, по формуле (4.2), он равен ∂F ∂F du + dv . (6.3) dz= ∂u ∂v ∂F ∂ F , . Очевидно, что F( u , v)=f ( x (u , v) , y (u , v )). Найдем далее частные производные ∂u ∂v ∂F ∂f (x (u , v) , y (u , v )) ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂F ∂f (x (u , v) , y (u , v )) ∂ f ∂x ∂ f ∂ y = = ⋅ + ⋅ , и = = ⋅ + ⋅ , ∂u ∂u ∂x ∂ u ∂ y ∂ u ∂v ∂v ∂x ∂v ∂ y ∂ v которые подставим в в (6.3) и перегруппируем слагаемые dz=( ∂f ∂ x ∂ f ∂ y ∂f ∂ x ∂f ∂ y ∂ f ∂x ∂x ∂f ∂ y ∂y ⋅ + ⋅ )du +( ⋅ + ⋅ ) dv= ( du+ dv)+ ( du + dv). ∂x ∂u ∂y ∂ u ∂x ∂v ∂y ∂v ∂x ∂ u ∂v ∂x ∂u ∂v В скобках приведены полные дифференциалы промежуточных аргументов dx и dy. Следовательно, ∂f ∂f dx+ dy - дифференциал сложной функции z=f ( x( u , v), y (u , v)). (6.4) dz= ∂x ∂y Интересно отметить, что форма записи полных дифференциалов dz функций z=f (x , y ) и z=f (x( u , v) , y (u , v)) совпадают. Вывод. Форма записи дифференциалов dz не меняется, если { z=f (x , y) , где x , y−независые аргументы ; z=f (x (u , v) , y (u , v )), где x ( u , v ), y(u , v)−функции . Разница возникает при вычислении дифференциалов аргументов. В самом деле в случае независимых аргументов dx=Δ x , а для функциональных аргументов x=x( u , v), y=y ( u , v) из заdy=Δ y ∂x ∂x dx= du + dv ∂u ∂v писи полных дифференциалов , следуют приближенные равенства, или ∂y ∂y dy= du+ dv ∂u ∂v dx≈Δ x . dy≈Δ y { { { § 8. Производные и дифференциалы высших порядков. n.1. Производные высших порядков. Дана функция функция z=f (x , y ), которая дифференцируема, следовательно существуют част∂z ∂z ные производные , в точках области определения M ( x , y) ∈D . Частные производ∂x ∂y ные являются функциями 2-х переменных x, y, и которые могут быть также дифференцируемыми функциями. Тогда ∂z Определение. Частная производная по переменной x от функции , если существует называ∂x ∂2 z ∂ ∂ z ется производной 2-го порядка функции z=f (x , y ) обозначается ≝ ( ) , z xx ' ' . ∂ x2 ∂ x ∂ x ∂2 z ∂ ∂ z Определение частной производной по переменной y: ≝ ( ). ∂ y2 ∂ y ∂ y { ∂2 z ∂z ≝ ∂ ( ) ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x - смешанные частные производные по переменной x, y и, наоборот. ∂2 z ∂z ≝ ∂ ( ) ∂y∂x ∂x ∂y Теорема. Если для функции n - переменных u=u (x1 , x 2 , ... , x n ) существуют непрерывные частные производные вплоть до к-го порядка, тогда смешанные производные к-го порядка не зависят от порядка дифференцирования. Без доказательства. n.2. Дифференциалы высших порядков. z=f (x , y ), которая дифференцируема в точках области определения ∂f ∂f dx+ dy , где x, y – незавиM ( x , y)∈D и тогда существует полный дифференциал dz= ∂x ∂x симые переменные, т. е. dx=Δ x . Полный дифференциал в общем случае является функцией dy=Δ y Дана функция функция { 2-х аргументов x, y, а также дифференциалов dx, dy. Если зафиксировать приращения аргументов, тогда полный дифференциал функция только x, y. Причем полный дифференциал как новая функция также может быть дифференцируемой. Определение. Дифференциал от дифференциала z=f ( x , y ) в точках области определения M ( x , y)∈D называется дифференциалом 2-го порядка функции z=f ( x , y ) и обозначается d 2 z≝d (dz) . Найдем дифференциал 2-го порядка от функции z=f ( x , y ) . ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f d 2 z=d (dz )=d ( dx+ dy )=d ( dx)+d ( dy)=dx⋅d( )+dy⋅d ( ), ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y дифференциалы аргументов фиксированы, поэтому их вынесли за знак полного дифференциала. Продолжаем преобразование ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f 2 d z=dx⋅( 2 dx + dy)+dy⋅( dx+ 2 dy ), вычислили полные дифференциалы функ∂ y∂x ∂x∂y ∂x ∂ y ций, которые находились в скобках. Раскроем скобки и воспользуемся теоремой n.1 (существование непрерывных частных производных вплоть до 2-го порядка включительно). Перегруппируем слагаемые и получим окончательное выражение (6.5) . 2 d z= ∂2 f 2 ∂2 f ∂2 f 2 d x+ 2 dy dx + d y - дифференциал 2-го порядка функции ∂y∂x ∂ x2 ∂2 y z=f ( x , y ) § 9. Экстремум функции 2-х переменных. Дана функция функция z=f (x , y ), которая дифференцируема в точках области определения M ( x , y)∈D . Определение. Точка M 0 (x0 , y 0 )∈ D называется точкой максимума z=f (x , y ), если существует окрестность точки M 0 ( x0 , y 0 ) радиуса  , такое что для любой текущей точке M ( x , y) этой окрестности выполняется неравенство функций f (x , y)f ( x0 , y 0 ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Теорема 1. Если в точке M 0 ( x0 , y 0 ) существует экстремум для дифференцируемой функции z=f (x , y ), тогда ее частные производные в этой точке равны нулю { f x '( x 0 , y 0 )=0 , f y '(x 0 , y 0 )=0. Без доказательства. Теорема 2. Пусть в точке экстремума M 0 (x0 , y 0 ) функции z=f (x , y ) существуют непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно f xx '' (x 0 , y 0)=A , f xy ' '( x 0 , y 0 )=B, f yy ' '( x 0 , y0 )=C . |B C| Составим определитель 2-го порядка Δ= A B . Тогда, если 1. >0, следовательно в точке M 0 ( x0 , y 0 ) существует экстремум, причем M0 (x 0 , y0 )−точка минимума ,если A< 0, M 0 ( x 0 , y 0 )−точка максимума , если A> 0. { 2. <0, тогда в точке M 0 ( x0 , y 0 ) - экстремума нет. 3. =0. Теорема не дает ответа на существование экстремума. Без доказательства.