Поляризация электромагнитных волн. Анизотропные среды

Лекция 7 Поляризация электромагнитных волн. Анизотропные среды. 7.1 Поляризация электромагнитных волн Поляризация определяется законом изменения направления и величины электрического вектора электромагнитной волны. Плоскость, проведенная через вектор напряженности электрического поля плоской волны и вектор, совпадающий с направлением ее распространения. Называется плоскостью поляризации (рисунок 7.1). x2 E ь стии о ск зац о  Пл яри л O по x1 x3 Рисунок 7.1 – К определению плоскости поляризации Угол, образованный плоскостью поляризации и горизонтальной плоскостью, называется углом поляризации. Если вектор , изменяясь по абсолютной величине, не изменяет своего направления (кроме прямо противоположного) в пространстве, то поляризация называется линейной. При этом угол поляризации не изменяется во времени и пространстве. При распространении в среде без потерь линейно поляризованная волна определяется выражением ; или 1 Всякая волна, электрический вектор которой составляет произвольный угол с горизонтальной плоскостью, может быть разложена на составляющие горизонтальной и вертикальной поляризации , где или Первое слагаемое представляет собой горизонтально поляризованную волну с амплитудой амплитудой , второе – вертикально поляризованную волну с . Обе волны совпадают по фазе во времени. Вектор в любой момент времени лежит в плоскости, составляющей с горизонтальной плоскостью угол называемый углом линейной поляризации, а модуль равен Рассмотрим суперпозицию двух линейно поляризованных волн горизонтальной и вертикальной поляризации с разными амплитудами и сдвинутыми по фазе во времени на угол . (7.1) При , получаем линейно поляризованную волну. 2 Если и то (7.2) Выражение (7.2) представляет параметрической форме с радиусом уравнение окружности . Угол изменяется во времени и пространстве. При фиксированном вращается с угловой скоростью При в вектор относительно оси распространения . вращение осуществляется от оси стрелке, если смотреть со стороны к оси , т.е. по часовой распространения волны. Такое вращение называется левым. При и вектор и вращается против часовой стрелки – правое вращение (рисунок 7.2). Рисунок 7.2 – Левая (а) и правая (б) круговые поляризации 3 Если вектор вращается в плоскости, перпендикулярной направлению распространения с угловой частотой и абсолютное значение его остается постоянным, то поляризация называется круговой. Конец вектора описывает в этом случае окружность. В зависимости от направления вращения поляризация называется правой или левой. С течением времени волна перемещается в направлении оси и в результате конец вектора описывает винтовую линию, расположенную на круглом цилиндре. Шаг винта равен длине волны. В символическом виде уравнение (7.2) для левой круговой поляризации можно записать так: где указывает на сдвиг по фазе во времени. Для правой круговой поляризации Если в (7.1) и , то (7.3) Выражение (7.3) представляет уравнение эллипса в параметрической форме. При фиксированном вектор вращается в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, изменяя свое абсолютное значение так, что конец его описывает эллипс. Такая поляризация называется эллиптической. В зависимости от направления вращения поляризация может быть правой или левой. В пространстве вектор расположенную на эллиптическом цилиндре. 4 описывает винтовую линию, Конец вектора также описывает эллипс в плоскости, перпендикулярной распространению, но повернутой на угол В общем случае выражение (7.1) при любом представляет волну эллиптисческой поляризации. Причем эллипс может быть ориентирован в плоскости 0ХУ любым образом. Всякая линейно поляризованная волна может быть разложена на две круговых с противоположным направлением вращения и одинаковыми амплитудами, равными половине амплитуды линейно поляризованной волны. Так, горизонтально поляризованная волна может быть представлена в виде: Первый член представляет левую кругополяризованную волну, второй – правую. Очевидно, любую линейно поляризованную волну с углом поляризации  можно разложить на две круговых, вращающихся в противоположные стороны. Для этого достаточно разложить эту волну на горизонтальную и вертикальную поляризации, а затем каждую из этих поляризаций рассматривать как суперпозицию двух круговых, вращающихся в противоположные стороны. Любую эллиптически поляризованную волну можно представить как сумму линейно поляризованной и 5 кругополяризованных волн. Действительно, пусть в выражении (7.3) и , тогда (7.3) можно преобразовать следующим образом: Первый член поляризованную полученного волну, выражения выражение в представляет квадратных линейно скобках – кругополяризованную волну. Очевидно, эллиптически поляризованную волну можно разложить на две круговых с разными амплитудами с направлением вращения, т.к. в свою очередь, линейно поляризованную волну можно разложить на две круговых. 7.2 Анизотропные среды Кристаллические структуры характеризуются пространственной решеткой, в узлах которой расположены в поляризуемые частицы. При приложении внешнего поля эти частицы поляризуются. Микроскопический объем приобретает момент который параллелен приложенному полю и не зависит от направления поля, если пренебречь взаимодействием частиц. Такая среда изотропна. Свойства ее одинаковы во всех направлениях. Однако, между частицами существует взаимодействие, которое влияет на поляризацию. Если элементарная ячейка имеет вид параллелипипеда, то взаимодействие различно при разных ориентациях поля относительно структуры и поляризация различна для разных направлений поля. Это анизотропия, обусловленная видом решетки. Она отсутствует, если решетка кубическая. Анизотропия может определяться и свойствами частиц. Если предположить, что в узлах решетки находятся жесткие диполи, то и в отсутствие взаимодействия поляризация будет зависеть от направления приложенного поля и определяться его соосной составляющей. 6 Анизотропию можно создать искусственным путем, собирая периодические структуры из дисков и эллипсоидов. Анизотропия в этом случае определяется ассиметрией элементов. Диэлектрическая проницаемость анизотропных сред является тензором. Анизотропия наблюдается и для магнитного поля, при этом среда характеризуется тензором магнитной проницаемости. Примером может служить ферромагнитная среда. Плоская монохроматическая волна в анизотропной среде Ферромагнитная среда Рассмотрим распространение монохроматической волны в однородной анизотропной среде. Примером такой среды является феррит, нашедший широкое применение в технике СВЧ. Химическая формула феррита где – двухвалентный металл (никель,ю марганец, магний, медь и др.). Феррит обладает малой проводимостью и, следовательно, электромагнитная эненргия распространяется в ферритовой среде без значительного поглощения. Относительная диэлектрическая проницаемость феррита Феррит изотропен, однако, при наличии постоянного магнитного поля феррит становится анизотропной средой с магнитной проницаемостью, выражаемой тензором второго ранга. Вид этого тензора определяется гироскопическими свойствами электронов, которые, вращаясь вокруг своей оси, обладают механическим и магнитным моментами (спинами). Обычно электроны группируются в пары с противоположным направлением вращения и магнитные моменты их компенсируются. Вещества с такими скомпенсированными спинами не проявляют магнитных свойств. 7 Магнитные свойства ферромагнетиков, к которым относится и феррит, связаны с наличием нескомпенсированных спинов электронов внешних оболочек ионов двухвалентного металла Магнитный момент . и механический момент электрона противоположны по направлениям и связаны соотношением (7.4) где - гиромагнитное отношение: , Кл – заряд электрона; В отсутствие внешних полей механический момент и пропорциональный ему магнитный момент постоянны во времени. Под действием постоянного магнитного поля спины стремятся ориентироваться вдоль приложенного поля. Однако, наличие механического момента делает систему подобной гироскопу, и она не устанавливается по полю, а начинает прецессировать относительно оси (рисунок 7.3), совпадающей с направлением поля. Прецессия совершается за счет вращающего момента действующего на электрон. действием вращающего мемента изменяется механический момент производная которого во времени равна вращающему Под , моменту или с учетом (7.4) (7.5) 8 Рисунок 7.3 – Механизм прецессии электрона при продольном намагничивании Это уравнение движения магнитного момента электрона, из которого следует, что вектор (а значит и вектор с угловой скоростью ) вращается около направления Уравнение (7.5) остается верным и при усреднении на единицу объема ферромагнетика (7.6) где – намагниченность среды. Постоянное намагниченность магнитное поле , зависящую от определяет постоянную Начиная с некоторого значения , намагниченность, достигая максимума, перестает изменяться. Это значение поля намагниченность Рассмотрим безграничной называется полем насыщения, а соответствующая – намагниченностью насыщения. распространение ферритовой среде, на магнитное поле, направленное по оси поле в среде определяется выражением 9 монохроматической волны которую постоянное действует в . Суммарное магнитное При этом намагниченность . Если среда намагничена до насыщения и поле волны мало по сравнению с постоянным магнитным полем ,то и (7.7) Рисунок 7.4 – Механизм насыщения Подставляя (7.7) в (7.6) и пренебрегая произведениями их малости по сравнению с другими членами, получим Решение этой системы уравнений имеет вид 10 * из-за Таким образом составляющая слабого переменного поля не вызывает изменений намагниченности. Составляющие вызывают составляющие переменной намагниченности и не только параллельные, но и перпендикулярные соответствующим составляющим поля. Полученные соотношения кратко могут быть записаны в тензорной форме где – тензор магнитной восприимчивости, который имеет вид Это самосопряженный или эрмитов тензор. где Здесь ( - угловая частота прецессии электронов). Переменная составляющая магнитной индукции равна = где – единичный тензор второго ранга. Отсюда тензор относительной магнитной проницаемости имеет вид (7.8) Рассмотрим распространение плоской монохроматической волны в безграничной ферриторовой среде, на которую действует постоянное 11 магнитное поле, направленное по оси . Если среда намагничена до насыщения, а амплитуда волны мала по сравнению с постоянным магнитным полем, то тензор относительной магнитной проницаемости имеет вид: (7.9) где Эти выражения для компонент тензора магнитной проницаемости ферритовой среды называются резонансный характер и при формулами Полдера. Они имеют , т.е. когда частота поля СВЧ равна частоте прецессии электронов, обращаются в бесконечность. Если , то формулы неверны. В рассматриваемом выше случае мы пренебрегли потерями, поэтому при значения и обращаются в бесконечность. В действительности ферриты обладают потерями и при и имеют конечные значения. При учете потерь и выражаются в виде Причем действительные части резонанса определяются и формулами при насыщении и вне области Полдера. Мнимые определяют потери в феррите. Максимальные значения при частоте поля, совпадающей с частотой и компоненты получаются определяемой полем . Это явление называется ферромагнитным резонансом, а частота, при которой потери достигают максимума – частотой ферромагнитного резонанса. 12 Рисунок 7.5 – Ферромагнитный резонанс Обычно ферритовые устройства работают при небольших подмагничивающих полях вдали от резонанса. При этом потери в феррите малы и распространение монохроматической электромагнитной волны в такой среде описывается уравнениями Максвелла, которые в проекциях на оси координат будут иметь вид: (7.10) Рассмотрим два частных случая, имеющих наибольший практический интерес. 13 Продольное подмагничивание Пусть плоская электромагнитная волна распространяется в направлении, совпадающим с направлением приложенного постоянного магнитного поля. = = = В этом случае и уравнения (7.10) принимают вид: (7.11) т.е. волны являются поперечными. Подставляя и получим: (7.12) Уравнения (7.61) представляют систему однородных линейных уравнений, которая имеет решения, отличные от нуля, если определитель этой системы равен нулю: Отсюда или (7.13) Таким образом, постоянная распространения в направлении имеет два значения, т.е. могут распространяться две волны с разными постоянными распространения и разными составляющими поля. Подставляя удовлетворяющие (7.13) этой в (7.12) системе. найдем Т.к. 14 составляющие система однородна, , то эти составляющие можно определитиь лишь по направлению компоненты т.е. , т.е. равны по амплитуде, но сдвинуты по фазе на представляют волны круговой поляризации, , вращающиеся в противоположные стороны (“-” соответствует левой поляризации, “+” правой) и имеющие разные постоянные распространения (7.14) и разные фазовые скорости (7.15) Из выражений (7.14) и (7.15) следует, что для волн с круговой поляризацией, распространяющихся в продольно намагниченной ферритовой среде, могут быть введены эффективные скалярные параметры среды Характеристическое сопротивление для каждой из этих волн также различно: Таким образом, плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся вдоль направления постоянного магнитного поля, распадается амплитудами на две векторов волны круговой напряженности распространения в феррите, т.к. набегать фазовый сдвиг и вектор поляризации магнитного с одинаковыми поля. По мере между этими волнами будет суммарной линейно поляризованной волны непрерывно поворачивается. Вращение плоскости поляризации линейно поляризованной волны, распространяющейся в намагниченной ферритовой среде вдоль направления 15 подмагничивающего постоянного поля называется эффектом Фарадея. Среда, в которой этот эффект наблюдается, называется гиротропной (вращающей). Замечательным свойством этого эффекта является его необратимость. Независимо от направления распространения, выбор или для каждой из поляризованных по кругу волн связан с тем, в какую сторону вращается вектор поля, если смотреть по направлению постоянного подмагничивания. Поэтому волна, распространяющаяся в направлении положительных (по направлению постоянного поля) будет поворачивать плоскость поляризации в ту же сторону, что и волна, распространяющаяся по направлению отрицательных (против направления постоянного поля). Невзаимность объясняется анизотропией феррита, причиной которой является приложенное постоянное магнитное поле и связанная с ним прецессия спинов электронов. Поперечное подмагничивание Пусть плоская волна распространяется в направлении, перпендикулярном направлению постоянного поля. Полагая ,a , получим: Эту систему уравнений можно разделить на две независимые системы (7.16) 16 (7.17) Система (7.16) очевидно соответствует составляющей магнитного поля совпадает с сдвинуты с продольной электрический вектор которой направлением , волне подмагничивания. а величина их связана и отношением т.е. волна линейно поляризована по вектору эллиптически поляризована по и . Рассматриваемая система имеет решение, отличное от нуля, если определитель ее равен нулю, т.е. или откуда постоянная распространения k , а фазовая скорость распространения В отличие от обычной плоской волны, которая имеет только поперечные составляющие, и , рассматриваемая волна называется необыкновенной. Эта волна распространяется со скоростью, которой обладает обычная волна в среде с магнитной проницаемостью равной 17 Волновое сопротивление среды для этой волны определяется соотношением Z0  Постоянная a эф Em3 a2  2a k    . H m 2  a  a a a распространения, фазовая скорость и волновое сопротивление зависят от напряженности постоянного магнитного поля. Вторая система (7.17) определяет обычную плоскую волну с составляющими и в плоскости перпендикулярной направлению подмагничивания. Система имеет решение не равное нулю, если откуда При насыщении феррита и характеристики обыкновенной волны не зависят от постоянного поля. Волна не реагирует на гиротропные свойства среды и ведет себя как плоская волна в изотропной среде. Векторы Пойнтинга обыкновенной и необыкновенной волн не совпадают по направлению (рисунок 7.6). Рисунок 7.6 – Двойное лучепреломление 18 Таким образом, если в гиротропную среду в направлении, перпендикулярном намагничиванию входит плоская волна произвольной линейной поляризации, то она разбивается на две – обыкновенную и необыкновенную, распространяющихся с разными скоростями. При выходе из гиротропной среды эти волны окажутся в разных фазах и образуют волну эллиптической поляризации. Явление это носит название двойного лучепреломления или эффекта Коттона-Мутона. Среда при поперечном подмагничивании обладает взаимными свойствами. Двойное лучепреломление используется в системах быстрого поворота диаграмм направленности антенн. 7.3 Распространение электромагнитного поля в безграничной изотропной плазме Плазма представляет собой ионизированный газ, содержащий заряженные частицы, нейтральные атомы и молекулы. Обычно плазма электрически нейтральна, т. е. на единицу ее объема приходится одинаковое число положительных и отрицательных зарядов, но в объемах, линейные размеры которых сравнимы с величиной rD , называемой радиусом Дебая, возможны флуктуации заряда. Радиус Дебая определяется расстоянием, на котором происходит экранирование любого заряда плазмы из-за группировки вокруг этого заряда противоположно заряженных частиц. Нелинейность проявляется в плазме при сравнительно небольших полях. Так как плазма нейтральна, то div D  0 и волновое уравнение можно записать в виде  2E J J ст     t t t 2 (7.18)  2E J нл J ст     , t t t 2 (7.18а) E   0 0 или E   0  aл где J нл — нелинейная плотность тока, определяющая нелинейные эффекты. 19 Пренебрегая движением тяжелых ионов, считаем, что ток в плазме определяется только движением электронов. Уравнение движения электронов в плазме под действием распространяющегося поля имеет вид m где dv  mv  eE  e[ vB ], dt v — скорость движения; n — частота эффективных соударений электронов; слагаемое mnv определяет потери, поскольку при соударении с ионами или молекулой электрон передает импульс mv; e — заряд электрона; m — масса электрона. На достаточно высоких частотах (    ) слагаемым mnv можно пренебречь, тогда получим m Плотность тока dv  eE  e[ vB ]. dt (7.19) J  env, где n — концентрация плазмы, т. е. число электронов в единице объема. Нелинейный эффект в плазме связан с лоренцовой силой e[vB ], так как скорость электронов v зависит от напряженности поля. Отбрасывая этот член, получаем линейное приближение уравнения (7.19). m dv  eE. dt Если источник имеет монохроматический характер, то в линейном приближении и поле будет монохроматическим. В символической форме, учитывая, что скорость электронов изменяется по тому же закону, что и поле, получим jmv  eE , отсюда vj e E m 20 (7.20) и J j Подставляя выражение e2 n E. m (7.21) в (7.21) волновое уравнение (7.18), переписанное в символической форме, получим e2 n E    0 0 E  E  j0 J ст m 2 или  2  E   2 0 0 1  p2  E  j0 J ст ,      где p  e n m 0 — собственная или резонансная частота плазмы. С этой частотой электроны колеблются около своего равновесного положения. С другой стороны E   2 0 aл E  j0 J ст . (7.22) Таким образом, в линейном приближении плазму можно рассматривать как среду с диэлектрической проницаемостью зависящей от частоты.  2p   aл   0 1  2 ,    Постоянная распространения волны k    aл  0  k 0 1  2p 2 , фазовая скорость vô  Если   p , то  aл  0 c 2 1  p2  . и коэффициент распространения становится мнимым k    aл 0   jk0  л   j k . 21 Физический смысл имеет только знак минус. При этом даже при отсутствии потерь амплитуда волны будет убывать по экспоненте Em  Em e jkx3  Em e  k x3 . Глубина проникновения 1  При   p   проводник. Если c . p  k 1 c    0 л a p 2 1 2 p Таким образом, при то   p ,  aл  0, .   p плазма ведет себя как постоянная распространения является действительной величиной и плазма ведет себя как диэлектрик. При этом 0  л  1 и фазовая скорость больше, чем скорость света. c vô  Однако групповая ë скорость, c характеризующая распространение энергии или сигнала, vãð  d 1   c ë, d k dk d т. е. меньше скорости света. Так как собственная частота p зависит от концентрации электронов, то на одной и той же частоте плазма, в зависимости от концентрации, ведет себя как диэлектрик или как проводник. Ионосфера, окружающая Землю, представляет ионизированную часть атмосферы, имеет сложную структуру и начинается с высоты 60 км. С высотой концентрация электронов растет и ионосферу рассматривают как сложную структуру, каждый слой которой характеризуется определенной концентрацией электронов. В зависимости от частоты радиоволны эти слои ведут себя как диэлектрические или проводящие слои и по разному влияют на распространение волны. Одни слои волна проходит (как диэлектрик), от других отражается (как от проводника). 22 Рассмотрим распространение электромагнитного поля в плазме. При частоте распространяющегося поля проницаемости плазмы  aл значение диэлектрической   p почти совпадает со значением 0 . Пусть монохроматический источник возбуждает плоскую однородную волну, распространяющуюся в направлении оси х3, в плазме без потерь и сторонних источников. Волновое уравнение, определяющее распространяющееся в плазме поле, согласно (7.18а), имеет вид:  2 E (n )  (n )2 0 0 E (n )  jn0 J нл (n ). x32 (7.23) В линейном приближении распространение волны характеризуется уравнением  2 E ( )   2 0 0 E  0, x32 решение которого E ( )  Em e j[t k ( ) x3 ] , где k ()   00  k0 — постоянная распространения в плазме, равная постоянной распространения в вакууме. В обычной форме E()  Em () cos[t  k () x3 ]. Пусть вектор E направлен вдоль оси x1 E()  e1Em () cos[t  k () x3 ], (7.24) тогда вектор H направлен вдоль оси x2 H()  e 2 H m () cos[t  k () x3 ]. (7.25) Электрическая и магнитная составляющие поля в плазме связаны соотношением  0 H   0 E. (7.26) Скорость движения электронов согласно (7.20) и (7.24) v()  e1 e Em sin[t  k () x3 ]. m 23 (7.27)