Поляритоны в реальных одноосных кристаллах

Лекция N 9 Поляритоны в анизотропной среде III: поляритоны в реальных одноосных кристаллах 1.Диэлектрическая проницаемость кристалла GaN. Рассмотрим свойства поверхностных поляритонов для нескольких кристаллов. В главной системе координат для одноосного кристалла тензор диэлектрической проницаемости имеет вид: ̂( ) = Здесь ∥( ( ) ( ) ∥( ) (1) ( ) поперечная диэлектрическая проницаемость кристалла, ) продольная диэлектрическая проницаемость. В случае отдельного фононного резонанса для этих функций справедливы следующие формулы: ( )= (∞) − − ∥( ) = ∥ (∞) − − (2) ∥ (3) ∥ Для значений диэлектрической проницаемости при →∞ выполняется приближенное равенство: (∞) ≈ ∥ (∞) ≈ (∞) Для кристалла GaN параметры приведены в Таблице 1 (4) Таблица 1 (∞) 5.26 , 743 ∥, 735 , 561 ∥, 533 Проведем анализ частотных зависимостей диэлектрических проницаемостей. Для этого нормируем частоту . Вводим на значение частоты поперечного фонона = относительную частоту проницаемость . Тогда диэлектрическая ( ) преобразуется к виду: ( ) = (∞) − − − = (∞) = − = (∞) − −1 Следовательно, − −1 ( ) = (∞) Для диэлектрической проницаемости ( ) = (∞) − − ∥ ∥( (5) ) получаем: − ∥ − ∥ = (∞) ∥ = (∞) − − ∥ ∥ = Следовательно, ∥( − − ) = (∞) ∥ (6) ∥ Здесь введены следующие обозначения: = = ∥ ∥ = ∥ ∥ (7) На Рисунке 1 изображен график зависимости ( ), ∥( ): 150 100 50 eD 0,901 0,917 0,933 0,949 0,965 0,980 0,996 1,012 1,028 1,044 1,060 1,076 1,092 1,108 1,124 1,139 1,155 1,171 1,187 1,203 1,219 1,235 1,251 1,267 1,282 1,298 1,314 1,330 1,346 eP -50 -100 -150 Рисунок 1. График зависимости = ⁄ ( ), ∥( ) от нормированной частоты для кристалла GaN: eD= ( ), eP= ∥ ( ) Значение для ( )=100 введено искусственно, для соблюдения масштаба графика – в этом диапазоне частот значения ( ) по абсолютной величине значительно превосходят значение 100. 2.Диэлектрическая проницаемость кристалла AlN. Для кристалла AlN параметры приведены в Таблице 2 (∞) 5.26 , 916 ∥, 893 , 673 ∥, 660 На Рисунке 2 изображен график зависимости ( ), ∥( ) для кристалла AlN. 150 100 50 eD 0,901 0,917 0,934 0,950 0,966 0,983 0,999 1,015 1,032 1,048 1,064 1,081 1,097 1,113 1,130 1,146 1,162 1,179 1,195 1,211 1,228 1,244 1,260 1,277 1,293 1,309 1,326 1,342 1,358 1,375 eP -50 -100 -150 Рисунок 2. График зависимости = ⁄ для кристалла AlN: eD= ( ), ∥( ) от нормированной частоты ( ), eP= ∥ ( ) 3.Дисперсионные кривые объемных поляритонов для кристаллов GaN и AlN На прошлой лекции мы вывели дисперсионное уравнение для объемных поляритонов в одноосном кристалле: = = Подставляя сюда значения (8) + ( ), = ∥( ), получаем дисперсионное уравнение в виде = ( ) ( ) ∥( ) + ∥( ) На Рисунке 3 приведены графики зависимости значениях угла (9) ( ) для GaN при различных ⃗ и между направлением распространения поляритона оптической осью Oz. 150 100 50 N2-0 N2-45 0,901 0,917 0,933 0,949 0,965 0,980 0,996 1,012 1,028 1,044 1,060 1,076 1,092 1,108 1,124 1,139 1,155 1,171 1,187 1,203 1,219 1,235 1,251 1,267 1,282 1,298 1,314 1,330 1,346 N2-75 -50 -100 -150 Рисунок 3. График зависимости для кристалла GaN для углов ( ) от нормированной частоты = 0°, 45° и 75° = ⁄ 150 100 50 N2-30 N2-60 0,901 0,917 0,933 0,949 0,965 0,980 0,996 1,012 1,028 1,044 1,060 1,076 1,092 1,108 1,124 1,139 1,155 1,171 1,187 1,203 1,219 1,235 1,251 1,267 1,282 1,298 1,314 1,330 1,346 N2-90 -50 -100 -150 Рисунок 4. График зависимости для кристалла GaN для углов ( ) от нормированной частоты = ⁄ = 30°, 60° и 90° Следует отметить, что сами дисперсионные кривые получаются путем извлечения корня из , т.е. = На Рисунке 5 ( ) ( ) ∥( ) + ∥( ) (10) приведена дисперсионная кривая масштабах изменения x для кристалла GaN при = ( ) в указанных =45°. Из сравнения этих графиков следует, что диапазон частот, где отвечает запрещенной зоне – там поляритона не существует < 0, N-45 12 10 8 6 N-45 4 2 0,901 0,917 0,933 0,949 0,965 0,980 0,996 1,012 1,028 1,044 1,060 1,076 1,092 1,108 1,124 1,139 1,155 1,171 1,187 1,203 1,219 1,235 1,251 1,267 1,282 1,298 1,314 1,330 1,346 Рисунок 5. Дисперсионная кривая = ( ) для кристалла GaN для угла θ= 45° Из проведенного анализа следует, что свойства объемных поляритонов в анизотропном одноосном кристалле существенно зависят от угла направлением распространения поляритона между ⃗ и оптической осью Oz.