Поляритоны на границе раздела двух диэлектриков

Лекция N 18 Анализ дисперсионного уравнения для поверхностных поляритоны на границе раздела двух диэлектриков 1.Введение На Лекции N 16 мы получили дисперсионное уравнение для поверхностных поляритонов на границе раздела двух диэлектриков в случае p – поляризации. Это уравнение имеет вид: ∥ = ⋅ (1) + Диэлектрическая проницаемость резонансной среды имеет вид: ( )= Выражение для Ω − + (2) ( ) можно представить в виде: − − ( )= = − − (3) где: = Подставим значение = + Ω в (1), получим: ∥ = ⋅ = ⋅ + Откуда получаем: ∥ или: (4) + (5) + = (6) ∥ → ∞, для этого в формуле (6) пе- Рассмотрим нерелятивистский случай рейдем к этому пределу, получим: + =0 (7) Напомним, статическая диэлектрическая проницаемость была определена следующим образом: = ( = 0) = + Ω (8) Откуда получаем: − = Ω , Ω = ( ) − Преобразуем теперь формулу для квадрата продольной частоты: = + Ω = + ( − ) + = − = ⟹ Следовательно, мы получили связь между продольной и поперечной частотами фонона: = ▀ Обозначим через (9) частоту поверхностного поляритона в нереляти- вистском случае. Тогда имеем соотношение: 0= + (Ω ) = −Ω −Ω + Откуда получаем с учетом (9): 0= = ( −Ω )+ + ( −( −Ω )= + )Ω = ( + + − ) −( Ω − + Ω = )Ω ⟹ Следовательно, для квадрата частоты мы получаем выражение: + + = (10) Нам для дальнейшего анализа понадобится представление о том, каким обра,Ω , зом соотносятся между собой частоты . Из (4) следует, что > (11) Из (9) получим: = >1 Следовательно, > (12) Ω > (13) Поэтому из (10) вытекает, что: Сравним теперь и Ω . Имеем, + + Ω = −Ω = = + + 1− + + + = ( = − ( + )− + ( + + ) ( − ( ( = ) − + ) = ) ) ⟹ Следовательно, мы получили − Поскольку > = ( ( − + ) ) (14) согласно формуле (12), то мы делаем вывод: > Ω (15) ⟹ Следовательно, объединяя формулы (11), (13) и (15), мы получаем , следующую иерархию частот < , : < (16) Если преобразовать дисперсионное уравнение (1) для поверхностных поляритонов с учетом введенной частоты Ω , то мы получим: ∥ = ⋅ − − ⋅ + (17) Проведем анализ полученного выражения. Напомним, что само существование поверхностного поляритона возможно только в области частот, где ( ) < 0. ⟹ В соответствие с формулой (3), заключаем, что эта область существования поверхностного поляритона имеет вид: < < (18) ⟹ В соответствие с формулой (17), заключаем, что вещественные значения волнового числа возможны при выполнении неравенств Найдем значение ∥ < (19) < (20) в предельном случае ∥ = ⋅ = : ⊛ − ⋅ Ω − + = ⏞ Имеем, − Ω − = + + = − − = − = + − + − = − + Тогда: ⊛ = ⏞ ⋅ + ⋅ + = ⟹ Следовательно, предельное значение ∥ ∥ при = равно: = (21) Представим теперь дисперсионное уравнение в безразмерном виде. Вводим безразмерную частоту = (22) Далее, вводим безразмерные продольную и поверхностную частоты: = , Ω = (23) Тогда, с учетом формул (9) и (10), получаем: = = Поэтому для и = Ω (24) + + = (25) получаем выражения = = (26) + + (27) Тогда дисперсионное уравнение (17) для поверхностных поляритонов преобразуется следующим образом ∥ = ⋅ + ⋅ − Ω − = ⋅ + ⋅ − − = = ⋅ − − ⋅ + ⟹ Следовательно, дисперсионное уравнение приобретает вид: ∥ = ⋅ ⋅ + − − (28) Вводим безразмерное волновое число для поверхностного поляритона: ∥ ∥ = (29) ⟹ Следовательно, дисперсионное уравнение для поверхностных поляритонов записывается в следующем безразмерном виде: ∥ = + ⋅ ⋅ − − (30) На следующей Лекции будут приведены результаты расчета дисперсионных кривых для нескольких кристаллов.