Погрешности арифметических операций

Лекция 6. Вычисление погрешностей. 6.1. Формула вычисления погрешности. Пусть известны погрешности некоторых величин. Требуется определить погрешность заданной произвольной функции u от этих величин. Теорема 1. Пусть задана дифференцируемая функция u = u(x1 , . . . , xn ) и ∆xi – предельные абсолютные погрешности ее аргументов xi , i = 1, . . . , n. Тогда предельная абсолютная погрешность ∆u функции u (при малых ∆xi ) равна  n X ∂u ∆xi . ∆u = ∂x i i=1 (1) Пусть Xi – точные значения аргументов xi , i = 1, . . . , n, U = u(X1 , . . . , Xn ) – точное значение функции u, ∆xi = |Xi − xi | = |∆xi | – абсолютные погрешности аргументов. Здесь ∆xi – приращение аргумента xi . Тогда абсолютная погрешность функции u n X ∂u |U − u| = |∆u| ≈ |du(x1 , . . . , xn )| = ∆xi 6 ∂x i i=1 n n X X ∂u ∂u · |∆xi | = ∆xi . 6 ∂x ∂x i i i=1 i=1 Здесь мы воспользовались тем, что при малых приращениях аргументов ∆xi приращение функции ∆u можно приближенно заменить ee дифференциалом du. Итак n X ∂u |U − u| 6 ∆xi . ∂x i i=1 Следовательно, за предельную абсолютную погрешность ∆u функции u можно принять (1).  Замечание. Предельную относительную погрешность функции u можно найти по формуле δu = 1 ∆u . |u| (2) 6.2. Погрешности арифметических операций Используя (1) и (2), можно получить выражения для погрешностей всех арифметических операций. Утверждение 1. Предельная абсолютная погрешность суммы (разности) u = x1 ± x2 равна ∆u = ∆x1 + ∆x2 .  (3) Используя (1), находим ∆u = ∂u ∂u ∆x1 + ∆x2 = ∆x1 + ∆x2 . ∂x1 ∂x2  Замечание. Предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного (в смысле абсолютной погрешности) из слагаемых. Следовательно, с какой бы степенью точности ни были определены остальные слагаемые, мы не можем за их счет увеличить точность суммы. Поэтому не имеет смысла сохранять излишние знаки и в более точных слагаемых. Отсюда вытекает следующее правило сложения приближенных чисел: 1) округлить их так, чтобы каждое из них содержало на 1 – 2 значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из слагаемых; 2) в результате сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из слагаемых (или удержать еще одну запасную цифру). Утверждение 2. Предельная относительная погрешность суммы u = x1 + x2 слагаемых одного знака не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых: δu 6 δmax ,  δmax = max{δx1 , δx2 }. где Используя (2) и (3), находим предельную относительную погрешность 2 суммы δu = ∆x1 + ∆x2 |x1 |δx1 + |x2 |δx2 ∆u = = 6 |u| |u| |u| δmax (|x1 | + |x2 |) δmax |u| 6 = = δmax . |u| |u| Утверждение 3. Предельная относительная u = x1 − x2 равна δu =  погрешность  разности ∆x1 + ∆x2 . |x1 − x2 | (4) Используя (2) и (3), находим предельную относительную погрешность разности ∆u ∆x1 + ∆x2 = .  |u| |x1 − x2 | Замечание. Если число x1 − x2 мало, то предельная относительная поδu = грешность разности может быть очень большой, в то время как относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, т.е. происходит потеря точности. Пример. Вычислим разность чисел x1 = 47,132 и x2 = 47,111. Имеем u = x1 − x2 = 47,132 − 47,111 = 0,021. Разность u имеет лишь две значащие цифры, из которых последняя сомнительная, т.к. предельная абсолютная погрешность разности ∆u = ∆x1 + ∆x2 = 0,0005 + 0,0005 = 0,001. Предельные относительные погрешности уменьшаемого, вычитаемого и разности соответственно δx1 = ∆x1 0,0005 = = 0,000011 ; |x1 | 47,132 δu = δx 2 = ∆x2 0,0005 = = 0,000011 ; |x2 | 47,111 ∆u 0,001 = = 0,048 . |u| 0,021 Предельная относительная погрешность разности примерно в 5000 раз (!!!) больше предельных относительных погрешностей исходных данных. 3  Замечание. Чтобы избежать потери точности при вычитании близких чисел, необходимо 1) либо вообще избегать такого вычитания; например, выражение √ 2,01 − 2 лучше заменить следующим образом: √ √ √ √ p √ ( 2,01 − 2 )( 2,01 + 2 ) 2,01 − 2 0,01 √ √ =√ √ ; 2,01 − 2 = =√ √ 2,01 + 2 2,01 + 2 2,01 + 2 √ 2) либо, если все же приходится вычитать такие числа, то брать их с (m + n) верными значащими цифрами, где m – количество пропадающих старших разрядов, n – количество верных значащих цифр, которые мы хотим получить в разности. Утверждение 4. Предельные абсолютная и относительная погрешности произведения u = x1 x2 равны ∆u = |x2 | ∆x1 + |x1 | ∆x2 ,  δu = δx1 + δx2 . (5) Используя (1) и (2), находим ∆u = ∂u ∂u ∆x1 + ∆x2 = |x2 | ∆x1 + |x1 | ∆x2 , ∂x1 ∂x2 ∆u |x2 | ∆x1 + |x1 | ∆x2 ∆x1 ∆x2 = = + = δx1 + δx2 .  |u| |x1 x2 | |x1 | |x2 | Замечания. 1) Если u = kx, k 6= 0 – точный множитель, то ∆k = δk = 0 δu = и формулы (5) примут вид ∆u = |k| ∆x , δ u = δx . (6) Таким образом, при умножении приближенного числа на точный множитель k предельная относительная погрешность не изменяется, а предельная абсолютная погрешность увеличивается в |k| раз. 2) Относительная погрешность произведения не может быть меньше, чем относительная погрешность наименее точного из сомножителей. Поэтому здесь, как и в случае сложения, не имеет смысла сохранять в более точных сомножителях излишнее количество значащих цифр (см. правило сложения приближенных чисел). 4 Утверждение 5. Предельные абсолютная и относительная погрешности x1 равны частного u = x2 |x2 | ∆x1 + |x1 | ∆x2 , x22 ∆u =  δu = δx1 + δx2 . (7) Используя (1) и (2), находим ∆u = δu = x1 ∂u 1 |x2 | ∆x1 + |x1 | ∆x2 ∂u ∆x1 + ∆x2 = ∆x1 + − 2 ∆x2 = , ∂x1 ∂x2 x2 x2 x22 ∆u |x2 | ∆x1 + |x1 | ∆x2 x2 = · = |u| x22 x1 |x2 | ∆x1 + |x1 | ∆x2 ∆x1 ∆x2 = = + = δx1 + δx2 . |x1 x2 | |x1 | |x2 |  Утверждение 6. Предельные абсолютная и относительная погрешности степени u = xm , m > 0, равны ∆u = m|x|m−1 ∆x ,  δu = mδx . (8) Используя (1) и (2), находим ∆u = δu = du ∆x = |mxm−1 | ∆x = m|x|m−1 ∆x , dx ∆u m|x|m−1 ∆x m∆x = = = mδx . |u| |xm | |x|  Замечание. Если m > 1, то при возведении в m-ую степень точность теряется. При m < 1 точность растет. Пример. Вычислить объема шара V = 16 πd3 , если диаметр d = 3,7±0,05 см, π = 3,14. Определить погрешности результата.  Сначала находим погрешности исходных данных: ∆π = |3,1415 . . . − 3,14| = 0,0015 . . . 6 0,002, δπ = 0, 002 = 0,00064, 3,14 5 δd = ∆d = 0,05, 0,05 = 0,014. 3,7 По формулам (5), (6) и (8) для погрешностей арифметических операций (произведение и возведение в степень) получаем δV = δπ + 3δd = 0,0007 + 0,042 = 0,0427 = 0,043 = 4,3 %. Вычисляем объема шара V = 1 3 1 πd = 3,14 · 3,73 = 26,5084. 6 6 Тогда предельная абсолютная погрешность объема ∆V = V δV = 26,5084 · 0,043 = 1,2. Так как 0,5 · 100 < ∆V = 1,2 < 0,5 · 101 , то последняя верная значащая цифра объема V находится в разряде десятков. Тогда, отбрасывая излишние сомнительные цифры, можно записать V = 26,5 ± 1,2. Ответ: V = (26,5 ± 1,2) см3 ; δV = 4,3 %. 6