Поглощение и излучение света. Вероятность перехода

Лекция №4 § 6. Поглощение и излучение света. Вероятность перехода Оператор Гамильтона, учитывающий взаимодействие заряженной безспиновой частицы с электромагнитным полем имеет вид ̂= H 1 e ̂ − 𝐀)2 + eA0 , (𝐩 2μ c (1) где 𝐀, A0 −соответственно векторный и скалярный потенциалы. В данном случае ̂ (t) = − W e e2 2 ̂+ 𝐀𝐩 𝐀 μc 2μc 2 (2) есть оператор, описывающий взаимодействия частицы массы m и заряда e с электромагнитным полем, характеризующийся векторным потенциалом 𝐀. При вычислении методом теории возмущений вероятностей перехода под влиянием электромагнитного поля используется разложение вероятности перехода в степенной ряд по параметру взаимодействия. Если перейти к безразмерным величинам, то этим параметрам будет постоянная тонкой структуры α= e2 1 ~ ℏc 137 (3) Малость этой величины позволяет во многих случаях учитывать первое приближение теории возмущений, в котором сохраняется лишь первое слагаемое. Поэтому положим 𝑊(t) = − e ̂ 𝐀𝐩 μc (4) Векторный потенциал излучения, распространяющегося в виде плоской волны с волновым вектором 𝐤 и частотой 𝜔, может быть записан 1 1 𝐀 = A0 𝐮cos(𝐤𝐫 − ωt) = A0 𝐮e−i𝐤𝐫 ∙ eiωt + A0 𝐮ei𝐤𝐫 ∙ e−iωt 2 2 (5) где 𝐮 – единичный вектор, определяющий поляризацию излучения (т.е. определяет направление электрического вектора). Напряжённость электрического поля равна 𝓔=− 1 ∂𝐀 ω = −𝐀 0 𝐮 sin(𝐤𝐫 − ωt) с ∂t c (6) Помимо электрического поля имеется ещё и магнитное поле 𝐇, однако действием последнего на электрон в сравнении с действием электрического поля можно пренебречь. Это объясняется тем, что сила, действующая на электрон со стороны магнитного поля, есть сила Лоренца e 𝐅 = [𝛖𝐇] , с (7) где 𝛖 − скорость электрона. Поэтому действие магнитного поля в υ с раз меньше, чем действие электрического поля. Скорости электрона в 100 раз меньше с, поэтому магнитное взаимодействие в 100 раз слабее. Амплитуда векторного потенциала 𝐴0 выберем так, чтобы в объёме V в среднем было N фотонов с энергией ℏω, волновым вектором 𝐤 и поляризацией 𝐮, т.е. N ∙ ℏω ̅̅̅̅̅̅ (𝓔)2 A20 ω2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ A2 ω2 2 (𝐤𝐫 − ωt) = 0 = = sin V 4π 4πc 2 8πc 2 (8) Отсюда получим A0 = 2c√ 2πℏN ωV (9) Подставляя выражение (5) в (4) получим W(t) = weiωt + w ∗ e−iωt (10) где w=− e 2πℏN −i𝐤𝐫 √ (𝐮𝐩) e m ωV (11) Согласно золотому правилу Ферми вероятность перехода из состояния «m» в состояние «n» с испусканием кванта излучения ℏω будет определяться выражением + Pnm = 2π + ) |< n|w|m >|2 ρ(Eкон ℏ (12) где + Eкон = En + E0II + ℏω Em − En = ℏω Исследуем вначале матричный элемент, входящий в (12). Подставляя явный вид оператора w ̂ из (11), находим e 2𝜋ℏN 1/2 < n|w|m > = − [ ] 〈n|e−i𝐤𝐫 (𝐮𝐩)|m〉 μ 𝜔𝑉 (13) В случае атомных систем волновые функции дискретных состояний отличны от нуля только в области размеров атома. Следовательно, интегрирование в (13) существенно только для r ≤ 𝑎, где 𝑎~10−10 м (радиус атома). Длина волны видимого и ультрафиолетового света значительно больше размеров атома. Поэтому k𝑎 = 2π𝑎 ~10−3 λ Такое же соотношение выполняется и для многих типов γ −излучений атомных ядер (для ядер 𝑎~10−14 м). Следовательно в этих случаях, разлагая в матричном элементе (13) экспоненциальный множитель в ряд exp(−i𝐤𝐫) = 1 − i(𝐤𝐫) + (−i𝐤𝐫)2 +⋯ 2! (14) можно при вычислении (12) учесть только первый член ряда, т.е. положить e 2πℏN 1/2 ̂|m〉𝐮 . < n|w|m > ≈ − [ ] 〈n|𝐩 μ ωV (15) Такое приближение называют длинноволновым приближением. Если при этом матричный элемент (15) оказывается равным нулю, то надо учесть следующий член в разложении (14). Входящий в (15) матричный элемент от оператора импульса можно заменить матричным элементом от оператора координаты с помощью соотношения, ̂|m > = < n|𝐩 iμ (𝐸 − 𝐸𝑚 ) < n|𝐫̂|m > . ℏ 𝑛 (16) Это можно доказать следующим образом. Пусть оператор Гамильтона имеет вид ̂0 = H p̂2 + U(𝐫). 2μ Тогда используя перестановочные соотношения между оператором импульса и координаты, легко получить операторные равенство ̂ 0 ] = 𝐫H ̂0 − H ̂ 0𝐫 = [𝐫, H iℏ ̂. 𝐩 μ Теперь, если вычислить матричные элементы от обеих сторон этого равенства, ̂ 0 , то получим искомое соотношение используя собственные функции оператора H iℏ ̂0 − H ̂ 0 𝐫|𝐦〉 = (Em − En ) < n|𝐫̂|m > 〈n|𝐩 ̂|m〉 = 〈𝐧|𝐫H μ Подставляя выражение (16) в (15) находим матричный элемент дипольного электрического перехода в длинноволновом приближении 2πℏN (𝐮𝐝nm ) , < n|w|m > = −iωnm √ ωV (17) где вектор 𝐝nm = e < n|𝐫̂|m > (18) называется дипольным электрическим моментом перехода m → n. Электромагнитное излучение, обусловленные отличным от нуля матричным элементом (18), называется дипольным электрическим излучением и кратко обозначается E1. Для вычисления (12), т.е. вероятности излучения кванта ℏω в единицу времени, + ). надо ещё определить плотность числа конечных состояний ρ(Eкон Число конечных состояний системы, состоящей из атома и внешнего электромагнитного поля, при переходе атома в дискретное состояние определяется числом степеней свободы электромагнитного поля. Если учесть квантовые свойства этого поля, то каждый фотон 𝓔 энергии ℰ = ℏω имеет импульс 𝘱 = с . Поэтому число состояний поля в объёме V с определённой поляризацией фотона и импульсом фотона, лежащим в телесном угле 𝑑𝛺 с абсолютной величиной 𝐩, лежащей в интервале p, p + dp, определяется выражением dNp = Поскольку dp dℰ = 1 c Vp2 dpdΩ Vℰ 2 dpdΩ = 2 . (2πℏ)3 c (2πℏ)3 (19) , то соответствующая плотность состояний на единичный интервал энергии равен dρ(E) = dNp Vω2 dΩ = . dℰ (2πc)3 ℏ (20) Подставляя (17) и (20) в выражение (12) находим вероятность испускания фотона в единицу времени в телесном угле dΩ с поляризацией 𝐮 и частотой ω = |ωnm | + dPnm Nω3 |𝐮𝐝nm |2 dΩ . = 2πc 3 ℏ (21) Вектор поляризации 𝐮 перпендикулярен вектору распространения света 𝐤. Поэтому, если обозначить угол между 𝐤 и направлением дипольного электрического момента перехода 𝐝nm через θ, то |𝐮𝐝nm |2 = |𝐝nm |2 sin2 θ . (22) Теперь выражение (21) примет вид + dPnm ω3 |𝐝nm |2 2 =N sin θdΩ . 2πc 3 ℏ (23) Интенсивность испускаемого излучения в секунду в элемент телесного угла dΩ получается умножением выражения (23) на энергию фотона ℏω dJnm Nω4 |𝐝 |2 sin2 θdΩ . = 2πc 3 nm (24) Интегрируя выражение (23) при N = 1 по всем направлением излучения, получим полную вероятность перехода в секунду с испусканием одного фотона 2 Pnm |𝐫nm | 4ω3 4 е2 2 |𝐝 | = = ( 3)∙( ) ω3 . nm 3 3ℏc 3 ℏc c (25) Для оценки порядка величины вероятности перехода (25) положим 𝐫𝑛𝑚 = 𝑎, 𝑎 − линейные размеры квантовой системы. Тогда Pnm е2 ω ω𝑎 2 ω ω𝑎 2 ≈ ( ) ≈ ( ) . ℏc c 137 c (26) е2 Для систем с кулоновским взаимодействием 𝑎 ≈ ℏω , поэтому Pnm ≈ ω . (137)3 (27) Из (27) следует, что для излучения оптических частот (ω~1015 сек−1 ) порядок величины вероятности перехода в одну секунду равен 109 сек−1 . Для излучения 𝛾 − частот (ω~1021 сек−1 ), Pnm ~1015 сек−1 .