Подземная гидромеханика

02.09.2020 Подземная гидромеханика Версия для печати Уфимский государственный нефтяной технический университет Институт дополнительного профессионального образования Харин А.Ю., Харина С.Б. Подземная гидромеханика Электронный учебно-методический комплекс 2-ое издание, переработаннное УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Лекция 3 3.3 Плоскорадиальная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте (приток к совершенной скважине). Формулы дебита (формула Дюпюи), скорости фильтрации, градиента давления в пласте, закона движения частиц жидкости. Дано: Рк, Рс, Rк, rс, h, k, μ, m... = const. Определить: 1) Р=Р (r) – распределение давления в пласте; 2) grad P=f(r) – распределение градиента давления в пласте; 3) v=v(r) – распределение скорости фильтрации по пласту; 4) Q – объемный расход (дебит скважины); 5) t=t(r) – закон движения частиц жидкости; 6) – средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление. Решение: 1) Дифференциальное уравнение Лапласа для этого случая в полярных координатах: doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 1/10 02.09.2020 Подземная гидромеханика ВерсияОбозначим для печати , тогда . Дифференциальное уравнение Лапласа следует переписать в виде: Разделяя переменные получаем: . Решением этого дифференциального уравнения является , где С1 – постоянная интегрирования. Используя известное равенство , и потенцируя, получим . doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 2/10 02.09.2020 Подземная гидромеханика Версия для печати Помня, что обозначено через у, получим . Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение уравнения Лапласа . Как следует из общего решения, закон распределения давления в круговом пласте Р (r) носит логарифмический характер. Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся из граничных условий, которые в данном случае можно записать в виде P=Pк при r=Rк; P=Pc при r=rc. Для нахождения постоянных интегрирования подставим граничные условия в общее решение → Для нахождения С2 полученное выражение для С1 можно подставить в формулы системы уравнений для Рк или Рс . Подставим полученное выражение для С1 в формулу для Рк: , откуда doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 3/10 02.09.2020 Подземная гидромеханика Версия для печати Для нахождения закона распределения давления в круговом пласте подставим С1 и С2 в в общее решение . Итак, в круговом пласте при движении от контура питания радиуса Rк до скважины радиуса rc давление снижается по логарифмическому закону: , а при рассмотрении изменения давления от скважины радиуса rc к контуру питания радиуса Rк давление увеличивается по логарифмическому закону: . Если вращать пьезометрическую линию вокруг оси скважины, то получим криволинейную поверхность, которая называется воронкой депрессии. Она показывает, как меняется Р вокруг скважины. doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 4/10 02.09.2020 Подземная гидромеханика Версия для печати Воронка депрессии вследствие логарифмического закона распределения Р имеет большую крутизну вблизи скважины. Следовательно, основная часть депрессии на пласт приходится на ПЗП. А параметры ПЗП сильно влияют на Q скважины. 2) gradР (r) – ? При решении уравнения Лапласа (после первого его интегрирования) получили: . Также ранее установили, что , Тогда, градиент давления dP/dr может быть определен как . Из формулы видно, что зависимость gradР(r) носит гиперболический характер и график этой зависимости имеет вид гиперболической кривой doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 5/10 02.09.2020 Подземная гидромеханика Версия для печати 3) v(r) – ? В рассматриваемом случае имеем установившуюся фильтрацию по закону Дарси. Поэтому скорость фильтрации v может быть определена как . Также как и для градиента давления, зависимость скорости фильтрации v от радиуса r носит гиперболический характер. Таким образом, чем дальше от скважины, тем меньше gradP и, соответственно меньше v. 4) Найдем формулу для определения объемного расхода Q жидкости в плоскорадиальном потоке (или дебита Q совершенной скважины, находящейся в центре кругового пласта) Объемный расход Q определяется произведением скорости фильтрации v на площадь фильтрации F Q=v∙F. Площадь фильтрации в плоскорадиальном потоке определяется как площадь цилиндрической поверхности , где – длина окружности радиуса r; h – толщина пласта. Скорость фильтрации определили ранее doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 6/10 02.09.2020 Подземная гидромеханика Версия для печати . Тогда, объемный расход несжимаемой жидкости в плоскорадиальном фильтрационном потоке на расстоянии r от скважины определяется как . Дебит совершенной скважины радиуса rс, находящейся в центре кругового пласта, может быть определен как , где 2π rс – длина окружности радиуса rс. Полученную формулу по фамилии автора называют формулой Дюпюи . 5) Закон движения частиц жидкости вдоль их траекторий , где r0 – начальное положение частицы жидкости в момент времени t=0; r –текущее положение частицы жидкости в момент времени t. doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 7/10 02.09.2020 Подземная гидромеханика Версия дляВремя печатиТ отбора всей жидкости из кругового пласта радиусом Rк получим, если вместо r0 подставим радиус контура питания Rк, а вместо r – радиус скважины rс. Тогда . 6) Вычислим средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление . Здесь – полный поровый объем в пласте радиусом Rк; – элементарный поровый объем элемента пористой среды, имеющей в основании бесконечно малое кольцо (см. рис.) шириной dr и площадью Используя эти величины и формулу для давления , находим doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 8/10 02.09.2020 Подземная гидромеханика Версия для печати , Откуда после интегрирования получим . Пример: Получается, что . Этот пример показывает, что объем пласта, где даление резко снижается (ПЗП), занимают незначительную часть всего объема пласта. Выводы: 1. Для установившегося плоскорадиального фильтрационного потока несжимаемой жидкости в однородном круговом пласте: - P=P(r) – логарифмический закон распределения Р. - и – гиперболический закон распределения в пласте, . doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 9/10 02.09.2020 Подземная гидромеханика Версия для печати 2. Гидродинамическое поле такого фильтрационного потока можно представить семейством линий тока и семейством изобар (линий равных давлений Р). Линии тока прямые. – радиально сходящиеся к центру Изобары – концентрические окружности r2=x2+y2. doidpo.rusoil.net/pluginfile.php/7547/mod_resource/content/8/undefined/Underground fluid%28Kharin%29/paragr/p3_3.html 10/10