Переходные процессы в RC-цепях первого порядка

68 Лекция 8. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА План 1. Переходные процессы в RC-цепях первого порядка. 3. Примеры расчета переходных процессов в цепях первого порядка. 4. Интегрирующие и дифференцирующие цепи. 5. Заключение. 1. Переходные процессы в RC-цепях первого порядка Рассмотрим резистивную цепь произвольной конфигурации, к внешним зажимам которой подключен емкостный элемент (рис. 8.1, а). Резистивная подсхема, изображенная на рис. 8.1, а в виде «черного ящика», может содержать резисторы, независимые и управляемые источники, идеальные ОУ. а б Рис. 8.1 В момент времени t  0 происходит коммутация – замыкание или размыкание идеального ключа. Необходимо определить закон изменения напряжения емкостного элемента uС t  . Зная uС t  , мы можем представить конденсатор в любой момент времени t источником напряжения E  uC t  и рассчитать ток в любой ветви полученной резистивной цепи. Заменим резистивный двухполюсник эквивалентной схемой Тевенина (рис. 8.1, б). ЭДС эквивалентной схемы Eэ равна напряжению холостого хода резистивного двухполюсника, а сопротивление Rэ – его входному сопротивлению. Для цепи на рис. 8.1, б справедливо уравнение: RэiС  uС  Eэ . 69 Выполняя подстановку iС  C относительно duC и решая полученное уравнение dt duC , получим dt duC    uC  Eэ . dt RэC RэC (8.1) Уравнение, записанное в такой форме, когда в левой части находится только первая производная, называют уравнением состояния, а uС t  – переменной состояния. Действительно, значение uС t  определяет состояние цепи, т. е. токи в ветвях резистивной подсхемы в любой момент времени t . Обозначим   RэC . Величину τ называют постоянной времени. Уравнение (8.1) примет вид duC     uC  Eэ . dt   (8.2) Обозначим начальное напряжение емкостного элемента uС 0  U 0 . Решение уравнения (8.2) имеет вид uC t   U 0  u уст e t /  u уст. (8.3) Чтобы показать, что (8.3) является решением уравнения (8.2), достаточно выполнить прямую подстановку. Напряжение uС t  в формуле (8.3) представлено в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое называют свободной составляющей. Закон изменения свободной составляющей напряжения uсв t  определяется тремя U   uC  , установившимся величинами: начальным состоянием состоянием u уст и постоянной времени   RэC . Характер переходного процесса определяется знаком постоянной времени. Если    , то свободная составляющая uсв t   U   u уст e t /  затухает с течением времени. Если постоянная времени отрицательна, то свободная составляющая неограниченно растет и цепь неустойчива. Величина постоянной времени определяет скорость изменения свободной составляющей. Предположим, что при t  0 uсв    . Тогда при t  τ uсв   uсв e   . , а при t  4τ uсв ()  . . Таким образом, 70 постоянная времени равна промежутку времени, за который свободная составляющая переходного тока или напряжения изменяется в e = 2.718 раза. Как следует из уравнения (8.3), теоретически стационарный режим в цепи устанавливается спустя бесконечно большое время после коммутации, поскольку свободная составляющая никогда не обращается в нуль. На практике длительность переходного процесса принимают равной (4–5)τ. Чем больше τ, тем медленнее затухает экспоненциальная функция в (8.3) и тем дольше длится переходный процесс. Второе слагаемое в формуле (8.3) выражает установившийся, или принужденный, режим, задаваемый источником. Его называют принужденной составляющей. Принужденная составляющая имеет форму, сходную с формой входного сигнала. Так, если входной сигнал постоянен, то и принужденная составляющая будет постоянной, а уравнение (8.3) примет вид uС t   U 0  Eэ e t /  Eэ . Уравнение (8.3) можно записать и в иной форме:   uС t   U 0 e t /  u уст 1  e t / . (8.4) Уравнение (8.4) будет содержать только первое слагаемое, если в цепи отсутствуют независимые источники. По этой причине первое слагаемое в (8.4) называют реакцией при нулевом входном сигнале (реакцией при нулевом входе). Если начальные условия нулевые (т. е. uС   U  = 0), то формула (8.4) содержит только второе слагаемое, которое называют реакцией при нулевом начальном состоянии. Таким образом, реакция линейной RC-цепи является суммой реакций при нулевом входном сигнале и при нулевом начальном состоянии. Такое представление реакции справедливо для линейных цепей любого порядка. Это свойство является фундаментальным свойством линейных цепей и систем. Рассмотрим теперь, как изменяются токи и напряжения в ветвях резистивной подсхемы. Для определенности будем считать, что требуется определить закон изменения тока k-й ветви ik t  . В соответствии с принципом наложения его можно представить в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется независимыми источниками, действующими в резистивной подсхеме. Вторая составляющая определяется напряжением емкостного элемента uC t  . Если в цепи действуют только источники постоянных напряжений и токов, то первая составляющая – постоянная величина, не зависящая от времени. 71 В соответствии с (8.3) вторая составляющая определяется напряжением емкостного элемента в моменты t  0 и t   , а также постоянной времени . Поэтому для определения закона изменения тока ik t  необходимо знать значения этого тока при t  0  , t   и постоянную времени . Рассмотрим порядок расчета переходных процессов в RC-цепях первого порядка. Считаем, что переходный процесс вызван замыканием или размыканием идеального ключа в момент t  0 и нужно определить ток k-й ветви. 1. Анализируем цепь в момент, предшествующий коммутации (т. е. при t  0  ), и определяем напряжение емкостного элемента uС  . 2. Заменяем емкостный элемент источником напряжения E  uС  (рис. 8.2, а). Анализируя полученную резистивную схему замещения, находим начальные значения искомых токов и напряжений ik   , uk   . 3. Рассчитываем установившиеся значения искомых токов и напряжений, анализируя цепь в момент времени t   . Если в цепи действуют источники постоянного напряжения и тока, зажимы, к которым подключен емкостный элемент, размыкаем (рис. 8.2, б), затем анализируем полученную резистивную схему замещения. а б Рис. 8.2 4. Определяем входное сопротивление резистивной цепи со стороны зажимов, к которым подключен емкостный элемент. Рассчитываем постоянную времени цепи по формуле   Rвх C . 5. Решение записываем в виде   ik t   ik 0    ik уст e t   iуст . (8.5) 72 Важно помнить, что все переходные токи и напряжения имеют одинаковую постоянную времени. 8.2. Примеры расчета переходных процессов в цепях первого порядка Рассмотрим примеры расчета переходных процессов в RC-цепях первого порядка. Считаем, что в цепи действуют источники постоянных напряжений и токов. Переходный процесс вызван замыканием или размыканием идеального ключа в момент t  0 . Пример 8.1. Ключ в цепи на рис. 8.3 замыкается. Рассчитать ток i1 после коммутации, если R  R  R   Ом , C  1 мкФ , E  60 В . Решение. Определим независимые начальные условия. Для этого рассчитаем режим в цепи в момент, предшествующий коммутации, т. е. при t  0  . Поскольку в цепи действует источник постоянного напряжения, емкостный элемент представим разрывом. Эквивалентная схема для момента t  0  показана на рис. 8.4, а. Рис. 8.3 73 а б в Рис. 8.4 Анализируя схему на рис. 8.4, а, найдем, что i1 0    200 мА, uC    В. Рассчитаем начальное значение тока i1 после коммутации при t  0  . Эквивалентная схема, соответствующая этому моменту времени, изображена на рис. 8.4, б. Емкостный элемент заменен источником напряжения. Из этой схемы следует, что E  uC 0 60  40   200 мА. R1 100 Определим установившееся значение искомого тока. Схема замещения, соответствующая установившемуся режиму, показана на рис. 8.4, в. Установившееся значение тока i1 0    74 i1уст  E 60   300 мА. R1  R2 100  100 Определим входное сопротивление схемы относительно зажимов, к которым подключен емкостный элемент (рис. 8.4, в). Исключая источник напряжения, получим RR 100  100 Rвх  1 2   50 Ом . R1  R2 100  100 Постоянная времени цепи   Rвх C       .    c . В соответствии с (8.5) закон изменения тока i1 (t )  i1 (0  )  i1уст e t /   i1уст  100е 210 t  300 . 4 График изменения тока i t  показан на рис. 8.5. Рис. 8.5 8.4. Интегрирующие и дифференцирующие цепи Интегрирующими называют цепи, напряжение на выходе которых пропорционально интегралу входного напряжения. Соответственно напряжение на выходе дифференцирующей цепи пропорционально производной входного напряжения. Такие цепи находят широкое применение в электронике, системах автоматического управления, при аналого-цифровом преобразовании и генерации периодических колебаний. В качестве простейших интегрирующих Рис.8.6 75 и дифференцирующих устройств можно использовать последовательную RCцепь. Рассмотрим схему, показанную на рис. 8.6. Напряжение на резисторе R равно u  u . Следовательно, ток в цепи iC du C u  u .  dt R Выходное напряжение u  t     it dt . C Если обеспечить выполнение условия u  u за счет большого значения постоянной времени   RC , то получим u  t    t  u t dt . RC  Итак, интегрирование входного сигнала возможно при выполнении условия u  u . Для этого постоянную времени интегратора следует выбрать максимально возможной. Простейшая дифференцирующая цепь показана на рис. 8.7, а. Выходное напряжение, снимаемое с резистора, пропорционально производной от разности входного и выходного напряжений: u   R i  RC duC d u  u    RC . dt dt Дифференцирование входного сигнала возможно при выполнении условия u  u . При этом u   RC du . dt Для того чтобы обеспечить выполнение условия u  u , постоянную времени следует выбирать минимально возможной. 76 а б Рис. 8.7 5. Заключение Расчет переходных процессов в цепях первого порядка выполняется в следующей последовательности. 1. Анализируем цепь в момент, предшествующий коммутации (т. е. при t  0  ), и определяем независимые начальные условия - напряжение uС  или ток iL 0 . 2. Анализируем цепь при t  0  и находим начальные значения искомых токов и напряжений. Индуктивный элемент при этом заменяем источником тока iL 0 , а емкостный – источником напряжения uС  . 3. Рассчитываем установившиеся значения искомых токов и напряжений, анализируя цепь в момент времени t   . Если в цепи действуют источники постоянного напряжения и тока, зажимы, к которым подключен емкостный элемент, размыкаем, а зажимы индуктивного элемента закорачиваем. 4. Определяем входное сопротивление резистивной цепи со стороны зажимов, к которым подключены индуктивный или емкостный элемент. Рассчитываем постоянную времени цепи по формуле   Rвх C . 5. Решение записываем в виде   ik t   ik 0    ik уст e t   iуст .