Переходные процессы в линейных электрических цепях

Теория электрических цепей Лекция 7. Переходные процессы в линейных электрических цепях 1 До сих пор мы рассматривали цепи переменного и постоянного тока в установившемся режиме, т.е. спустя некоторое время после начала воздействия. Переходный процесс связан с наличием в цепи энергоемких элементов (L, C) способных накапливать и отдавать энергию. Эти изменения не могут произойти мгновенно в силу непрерывности изменения электрического и магнитного полей. Под переходным процессом будем понимать переход цепи от одного установившегося режима к другому, чем-то отличающийся от предыдущего. Переходные процессы быстротекущие, но именно в эти моменты времени возникает перенапряжение или сверхтоки, которые могут привести к пробою изоляции или обгоранию контактов коммутационных устройств. 2 Законы коммутации Коммутация – это любое изменение параметров энергетического режима цепи (конфигурация цепи, амплитуда, фазы источника) приводящие к возникновению переходного процесса процесса. Будем считать, что коммутация происходит в момент времени t=0 и осуществляется с помощью ключа. В основе расчета переходных процессов лежат 2 закона коммутации. 1 Закон коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля катушки индуктивности Li 2 WL = 2 Ток в индуктивности в момент коммутации t(0) имеет тоже самое значение, что и в момент времени до коммутации t(0-) , а затем плавно изменяется iL (0−) = iL (0) 3 2 Закон коммутации Электрическое поле конденсатора так же связано с напряжением на емкости и энергия запасаемая в электрическом поле конденсатора связана с напряжением на конденсаторе CU C2 WC = 2 Поскольку энергия не может изменяться скачком, то и напряжение на конденсаторе так же не может изменяться скачком. Напряжение на емкости непосредственно перед коммутацией t(0-) равно напряжению на емкости в момент коммутации t(0), а затем плавно изменяется . U C (0−) = U C (0) 4 Если к началу переходного процесса непосредственно перед коммутацией все токи и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, то в схеме имеют место нулевые начальные условия. Если в цепи начальные значения токов через индуктивность и напряжения на конденсаторе равны нулю, то начальные условия называются нулевыми. i L (0 − ) = 0 U C (0 − ) = 0 WL = 0 WC = 0 Если хотя бы один элемент UC(0-)≠0, iL(0-)≠0 имеет какое-то исходное значение неравное нулю, то такие условия называются не нулевыми начальными условиями. 5 iL (0−) = 0 U C (0−) = U вх U c (0−) = 0 iL (0−) = 0 Поскольку при нулевых начальных условиях iL(0-)=iL(0)=0, то индуктивность в момент коммутации равносильна разрыву цепи, а так как UC(0-)=UC(0)=0, то емкость в момент коммутации эквивалентна короткому замыканию цепи. Для ненулевых начальных условий катушка эквивалентна источнику тока с начальным током iL(0-), а емкость эквивалентна источнику напряжения с величиной UC(0-) 6 Переходный процесс характеризуется свободной iсв и принужденной iпр составляющими тока и напряжения Свободная составляющая отражает изменение тока и напряжения при переходе цепи из одного энергетического состояния в другое и не зависит от вынуждающего воздействия. составляющая Принужденная электрические переходного параметры процесса и цепи характеризует после обусловлена завершения вынуждающим воздействием. 7 Для описания свойств цепи можно ввести в рассмотрение некоторую характеристику связанную однозначным образом с реакцией цепи. Рассмотрим две характеристики цепи: переходную и импульсную импульсную. Переходной характеристикой g(t) цепи называется реакция цепи на входное воздействие в виде единичной функции 0 при t 〈 0 1(t ) =  1 при t ≥ 0 Если входное воздействие имеет вид Uвх(t)=К⋅1(t) К - коэффициент показывающий величину скачка на входе Uвых(t)= зависит от параметров и структуры цепи U вых (t ) U вх (t ) =g U (t ) – переходная характеристика по напряжению 1( t ) iвых (t ) U вх (t ) U вых (t ) iвх (t ) =g 1( t ) Ζ (t ) =g У (t ) – переходная проводимость цепи 1( t ) - переходное сопротивление цепи iвых (t ) iвх (t ) =g (t ) i 1( t ) - переходная характеристика по току8 Импульсной характеристикой h(t) цепи называется реакция цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции δ(t) ∞ при t = 0  δ (t ) 0 при t ≺ 0 0 при t ≻ 0  δ-функция является импульсом нулевой длительности с единичной площадью. g(t) и h(t) – определяются при нулевых начальных условиях цепи между переходной и импульсной характеристикой существует однозначная связь. h(t ) = d g (t ) = g ′(t ) dt 9 РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Методы расчета переходных процессов классифицируются по методу решения дифференциальных уравнений. Различают различные методы: • Классический; • Операторный; • Частотный. 10 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях Классический метод основан на составлении и решении ДУ относительно отклика y(t) при заданном воздействии x(t) классическим методом. d n yK d n−1 yK −1 aK dt n + aK −1 dt n −1 + ..... + a0 y0 = f (t ) Решение уравнений классическим способом имеет вид суммы из двух решений – общего решение однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: n y ( t ) = y обш ( t ) + yчаст ( t ) = ∑ Ak ⋅e pk ⋅t k =1 + yчаст ( t ) где yобщ(t) –общее решение однородного уравнения; Ak– константы интегрирования; n n − 1 + ...... + a = 0 pk – корни характеристического уравнения: a n ⋅ p + a n − 1 ⋅ p Формально характеристическое уравнение получается путём замены производной d →p dt yчаст(t) – частное решение неоднородного уравнения. 11 Общее решение дифференциального уравнения определяет свободные процессы в электрической цепи. И поскольку нет внешних источников, то свободные составляющие токов будут стремится к нулю. yсв (t → ∞ ) → 0 Частное решение - принужденная составляющая, определяется в установленном режиме yпр (t → ∞) Константы Ak– находятся с помощью начальных условий. yk (t ) = yк .св. (t ) + yк .пр. (t ) 12 Пример: U r + U L = E = U вх di iR + L = U вх dt iL (0−) = 0 - нулевые условия Характеристическое уравнение для после коммутационной схемы R + Lp = 0 Оно имеет один корень p = − iсв (t ) = Ae R − t L R L - свободная составляющая тока, где А значение свободной составляющей при t = 0 + U вх -принужденное значение тока. R U Ток равен сумме принужденной и свободной соствляющей i (t ) = iсв (t ) + iпр (t ) = Ae pt + вх R Находим значение постоянной интегрирования А U U i (0) = iL (0−) = 0 = Ae pt =0 + Вх , A = − вх R R U вх = const , iпр (t = ∞) = −t −R t     U U U U U pt вх вх pt вх Вх вх τ L i (t ) = A ⋅ e + =− е + = 1 − e  ; 1 − e  = R R R R  R    L = τ - постоянная времени цепи R 13 U вх − t τ e - свободная составляющая R U iпр (t ) = вх - принужденная составляющая R i (t ) = iсв (t ) + iпр (t ) iсв (t ) = − i (t ) = U вх U вх −t τ e − R R Чем больше постоянное времени цепи τ, тем больше длительность переходного процесса 14 gu (t ) = U вых (t ) = (1 − e − t /τ ) gU (t ) = 1 − e − tR L R − t /τ h(t ) = ⋅ e L U вы х (t ) = U вых (t ) 1( U вх (t ) t ) U вых (t ) = (1 − e − t /τ ) gU (t ) = 1 − e h(t ) = − t Rc 1 − t /τ ⋅e Rc 15 Принцип суперпозиции в теории нестационарных процессов Классический метод предпочтителен для применения при простых воздействиях на входе (например, гармонические колебания), а если воздействие сложное, то классический метод практически не пригоден. При воздействии сложных сигналов, функция входного воздействия представляется в виде совокупности простых аналитически однотипных функций. Х (t ) = ∑ X n (t ) n Если реакция цепи на воздействие Хn(t) известна и равна Yn(t), то на основании принципа наложения можно утверждать, что реакция цепи на воздействие Х( Х(tt) будет равна сумме реакций на каждой из воздействии Хn(t) в отдельности.. отдельности Yn(t) – зависит от параметров цепи и структуры цепи 16 МЕТОД ДЮАМЕЛЯ Этот метод состоит в использовании принципа суперпозиции и переходной характеристики цепи. Интеграл Дюамеля используется для расчета переходных процессов в линейных пассивных цепях с нулевыми начальными условиями при воздействии импульса произвольной формы источника электрической энергии Пусть на такую цепь воздействует импульс источника Y(t) произвольной формы, который заменим ступенчатой функцией. Тогда ток или напряжение составят: X (t ) = Y (0) ⋅ g (t ) + ∑ ∆X ∆X = ∆Y ⋅ g (t − τ ) = ( ∆τ ⋅ tgα ) ⋅ g (t − τ ) = = ∆τ ⋅ Y ′(τ ) ⋅ g (t − τ ) t ∫ Интеграл Дюамеля X (t ) = Y (0) g (t ) + Y ′(τ ) ⋅ g (t − τ )dτ 17 Это выражение встречается в разных видах. Здесь: • Y(0) – это значение функции в момент t=0; • g(t) – переходная характеристика цепи; • Y’(τ) – это производная входного напряжения в котором t заменена на τ; • g(t-τ) – это выражение для переходной характеристики цепи в котором t заменена на t-τ 18 1) Рассчитать переходную характеристику цепи gU(t) 2) Определить число участков сигнала, где функция непрерывна и дифференцируема; 3)Находим производную для каждого участка в которой заменяем t на τ; 4)В переходной характеристике gu(t) заменяем t на t- τ; 5)Производим подстановку вычислении в интеграл Дюамеля. а) интервал 0 t1 t1 t t1 X (t ) = Y1 (0) g (t ) + ∫ Y1′(τ ) ⋅ g (t − τ )dτ + [Y2 (t1 ) − Y1 (t1 )]g (t − t1 ) + ∫ Y2′(τ ) ⋅ g (t − τ )dτ 19 Операторный метод расчета переходных процессов Операторный метод основан на применении преобразований Лапласа. Суть метода в том, что некоторой исходной функции действительной переменной t f(t), называемой оригиналом, ставится в соответствие функция комплексного переменного p = α + jβ F(p) называемая изображением. f (t ) ≡ F ( p ) Связь между оригиналом и изображением производится с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа. В результате произведенных расчётов находится изображение отклика, по которому находится оригинал отклика. α + jβ ∞ F(p) = ∫ f ( t ) ⋅ e dt − pt 1 pt f (t ) = F p ⋅ e dp ( ) ∫ 2π j α − jβ 20 ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ ПО ЛАПЛАСУ ∞ ∞ 1) 2) 1 − pt 1 1(t ) F ( p ) = ∫1(t ) ⋅ e dt = − ⋅ e = p p − pt δ (t ) ∞ ∞ F ( p) = ∫ δ (t ) ⋅ e − pt dt = e 0 ∫ δ (t )dt = 1 ⋅ 1 = 1 - функция Дирака ∞ 3) e ± at - единичная функция F ( p) = ∫ e ∞ ± at ⋅ e dt = ∫ e − pt − ( p∓ a )t 1 dt = p∓a 21 Основные свойства преобразования Лапласа: Лапласа: 1) Свойство однозначного соответствия Каждая функция f(t) имеет свое изображение F(p) – это изображение единственное 2) Свойство линейности Если оригинал умножить на какое-то вещественное число а, то изображение умножается на это же число Если f(t)=F(P), то изображение функции совпадающих по форме с f(t), но задерживающихся во времени на величину τ будет равно F(t-τ)=F(p)⋅e-pτ 3) Если значение функции f(t)=f(0)=0 (нулевые начальные условия), то дифференцирование этой функции приводит к изображению умножения этой функции на число р f′(t)=pF(p) Если начальные условия не нулевые f(0)≠0 F(t)=pF(p)-f(0) ∞ 4) ∫ f (t )e − pt dt = 5) F ( p) p - интегрирование функции. lim f (t ) = lim pF ( p) t →0 p →∞ lim f (t ) = lim pF ( p) t →∞ p →0 22 ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЦЕПИ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ 1.Для заданной цепи составляется операторная схема замещения 2.Для определения вводимых ЭДС применяются любые методы расчета. 3.Производится расчет искомых токов и напряжении в области комплексного переменного р. 4.При помощи таблиц или обратного преобразования Лапласа, или определяются с помощью оригиналы теоремы найденных разложения токов и напряжении по их изображению. 23 ТЕОРЕМА РОЗЛОЖЕНИЯ Она позволяет с помощью простых операций получить оригинал в виде суммы экспонент с разными коэффициентами. Пусть изображение n≤m, F1 ( p ) an pon + an −1 p0 n −1 + ... + a1 p + a0 F ( p) = = F2 ( p ) bm p m + bm p m −1 + ...b0 где аn и bm-веществ. коэффициенты определяемые параметрами цепи. Пусть F1(p) и F2(p) не имеют общих корней. Разложим функцию F(p) на простые дроби. m m pk t 1 тогда, где АК-коэффициент f ( t ) = A ⋅ e F ( p) = A ⋅ K ∑ k =1 K p − pk ∑ k =1 m 1 1 F ( p) = A1 ⋅ + ∑ AK ⋅ p − pk k = 2 p − pk m F1 ( p )( p − p1 ) p − p1 1 F ( p) = = A1 + ( p − p1 ) ⋅ ∑ Ak ⋅ F2 ( p ) p − pk p − pk k =1 m F ( p) = ∑ k =1 m F1 ( pk ) 1 F (p ) ⋅ = ∑ 1 k ⋅ e PK t F2 '( pk ) p − pk k =1 F2 '( pk ) Ak = F1 ( pk ) F2 '( pk ) F1(p)-значение функции F1(p) при подстановке в нее Pk корня; F2’(p)-значение производной знаменателя при подстановке в нее Pk корня 24 Пример: Дано : e(t ) = 100e −200t , B R = 200Ом L = 1Гн Определить : i (t ) = ? 25 1) Определить g(t) для i(t) операторным методом g ( p) = iL (0−) = iL (0) 1/ p R + pL F1 ( p ) = = 2 RpL p R + 2 RpL ) F2 ( p ) ( R+ R + pL m=2 g ( p) = ∑ k =1 F1 ( pk ) PK t 1 1 − 2RL t ⋅e = − ⋅ e , См F2 '( pk ) R 2R Переходная проводимость 2) Расчет i(t) интегралом Дюамеля Где t i (t ) = e(0) g (t ) + ∫ e′(τ ) ⋅ g (t − τ )dτ e(0) = 100 B e′(τ ) = −20000e −200τ B / с 1 1 − 2RL ( t −τ ) −100 t −τ g (t − τ ) = − ⋅e = 0,005 − 0,0025e ( )См R 2R 26 тогда t i (t ) = 0,5 − 0, 25 ⋅ e −100t + ∫ [−2 ⋅104 ⋅ e −200τ ] ⋅ [0,005 − 0,0025 ⋅ e −100(t −τ ) ]dτ = t = 0,5 − 0, 25 ⋅ e −100 t − 100 ∫ e t −200τ dτ + 50 ⋅ e −100 t −100τ e ∫ dτ = = 0,5 − 0, 25 ⋅ e −100t + 0,5 ⋅ e −200τ |t0 −0,5 ⋅ e −100t ⋅ e −100τ |t0 = = 0,5 − 0, 25 ⋅ e −100t + 0,5 ⋅ ( e −200τ − 1) − 0,5 ⋅ e −100t ⋅ (e −100 t − 1) = i (t ) = 0, 25 ⋅ e −100t , А Проверка: i (∞ ) = 0 i (0+ ) = e(0) / 2 R = 0, 25 А 27