Переходные процессы в цепях второго порядка

80 Лекция 10. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА План 1. Введение. 2. Переходный процесс в последовательном колебательном контуре – реакция при нулевом входе. 3. Подключение последовательного колебательного контура к источнику постоянного напряжения. 4. Переходные процессы в параллельном колебательном контуре. 5. Заключение. 1. Введение До сих пор мы рассматривали процессы в цепях с одним индуктивным или емкостным элементом. Поведение таких цепей описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим теперь цепи, которые содержат одновременно индуктивный и емкостный элементы. Процессы в таких цепях описываются уравнением второго порядка. Соответственно, их называют цепями второго порядка. Простейшими примерами цепей второго порядка являются последовательный и параллельный колебательные контуры. Переходные процессы в цепях второго порядка существенным образом зависят от вида корней характеристического уравнения. Последние определяются конфигурацией цепи и значениями элементов и могут быть вещественными или комплексно сопряженными. 2. Переходный процесс в последовательном колебательном контуре – реакция при нулевом входе Рассмотрим последовательную RLC-цепь, которая не содержит независимых источников (рис. 10.1). Будем считать, что емкостный элемент заряжен до напряжения uC   U  , a начальный ток индуктивного элемента iL    . Поскольку независимые источники в цепи отсутствуют, токи и напряжения в такой цепи являются реакцией при нулевом входном сигнале (реакцией при нулевом входе). В соответствии со вторым законом Кирхгофа L di 1  Ri   i dt  0 . dt C 81 Рис. 10.1 Продифференцировав обе части уравнения по времени, получаем d 2i di 1 L 2  R  i  0. dt dt C (10.1) Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: p2  R 1 p  p 2  2 p   02  0 . L LC Здесь   R / 2L – постоянная затухания или коэффициент демпфирования;  0  1 / LC – частота собственных колебаний цепи. Корни характеристического уравнения p1, 2     2   02   R / 2 L  R / 2 L  2  1/ LC . Каждый из корней дает независимое решение, поэтому решение дифференциального уравнения (10.1) имеет вид it   A1e p t  A2 e p t . 1 2 Постоянные A  и A 2 определим, записав выражения для it  и момент времени t  0  : (10.2) dit  в dt i0  A1  A2 ; (10.3) di0    p1 A1  p2 A2 . dt (10.4) 82 Для определения постоянных A  и A 2 необходимо знать начальные условия: значение тока и его первой производной при t  0  . Примем начальный ток индуктивного элемента равным нулю, а начальное напряжение емкостного элемента uC   U  . Учитывая, что di0   u L 0   ,  dt L найдем первую производную тока при t  0  : U di0    0 . dt L Решая уравнения (10.3) (10.4), найдем постоянные интегрирования A1   A2   U0 . L p1  p2  Форма переходных токов и напряжений зависит от вида корней характеристического уравнения. Рассмотрим важные для практики случаи. Случай 1. Корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные (      ). В соответствии с (10.2) ток в цепи iL t   A1e p t  A2 e p t   1 2 Рис. 10.2 U0 e p t  e p t .. L p1  p2  1 2 (10.5) 83 Аналогичным образом можно найти закон изменения напряжения емкостного элемента uC t . Графики it  и uC t  показаны на рис. 10.2. Итак, при вещественных корнях характеристического уравнения токи и напряжения изменяются непериодически. Такой переходный процесс называют апериодическим. Случай 2. Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: p,     j . Здесь j   1 . В соответствии с (10.2) ток U  e  t jt U iL t    e  e  j t    e  t sin  t. j L L   Рис. 10.3 Таким образом, если собственные частоты комплексные, в цепи возникают синусоидальные колебания, затухающие с течением времени (если   0 ). Такой переходный процесс называют колебательным. Графики тока it  и напряжения uC t  для случая комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения показаны на рис. 10.3. 3. Подключение последовательного колебательного контура к источнику постоянного напряжения Рассмотрим процессы в последовательном колебательном контуре, показанном на рис. 10.4. На входе цепи в момент t  0 включается источник постоянного напряжения Е. Для цепи на рис. 10.4 справедливо уравнение L di 1  Ri   i dt  E . dt C (10.6) 84 Рис. 10.4 Примем, что независимые начальные условия нулевые, т.е. uC 0  0 , iL    . Продифференцировав левую и правую части (10.6), получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка: d 2i di 1 L  R  i  0. dt dt C Соответствующее характеристическое уравнение p2  R 1 p  p 2  2 p   02  0 . L LC Постоянная затухания   R / 2L . Частота собственных колебаний  0  1 / LC . Корни характеристического уравнения p1, 2     2   02   R / 2 L  R / 2 L  2  1/ LC . Решение уравнения (10.6) представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих: it   A1e p t  A2 e p t  i . 1 2 (10.7) Поскольку в цепи действует источник постоянного напряжения, принужденная составляющая тока i   0 . dit  Постоянные A  и A 2 определим, записав выражения для it  и в dt момент времени t  0  : i0  A1  A2  0 ; di0   E  p1 A1  p2 A2  . dt L 85 Решая эти уравнения, получим: iL t   A1e p t  A2 e p t  1 2 E e p t  e p t . . L p1  p2  1 2 (10.8) В зависимости от вида корней характеристического уравнения переходный процесс будет иметь апериодический или колебательный характер. 4. Переходный процесс в параллельном колебательном контуре Рассмотрим процессы в параллельном колебательном контуре, показанном на рис. 10.5. На входе цепи в момент t  0 включается источник постоянного тока J . Для рассматриваемой цепи справедливо дифференциальное уравнение Рис. 10.5 Соответствующее однородное дифференциальное уравнение второго порядка d  x dx       x   .  dt dt Здесь постоянная затухания 1  L  R1 R2 C  ; 2  R1CL    a11  a22  / 2   частота собственных колебаний  02  a11a22  a21a12   R1  R2 . R1 LC (10.9) 86 Характеристический полином, соответствующий уравнению (10.9): p    p   = 0. Корни характеристического уравнения p1, 2     2   02 . В зависимости от соотношения номиналов элементов корни характеристического уравнения могут быть вещественными или комплексносопряженными. Решение уравнения (10.1) представим в следующем виде uC t   A1e p t  A2 e p t  uC  . 1 2 (10.10) Здесь uC   – принужденная составляющая напряжения uC t  : uC    R2 E. R1  R2 Постоянные A  и A  определим, записав выражения для uC t  и в момент времени t  0 : duC t  dt uC 0  A1  A2  uC  ; duC 0    p1 A1  p2 A2 . dt duC 0   iC 0   . Начальное значение тока iC 0    dt C найдем, анализируя цепь на рис. 10.5 в момент времени t  0 . При нулевых начальных условиях ( uC 0  0 , iL 0  0 ) Производная iC 0    E  uC 0 E  iL 0  . R1 R1 87 Итак, постоянные интегрирования A  и A  найдем, решая систему уравнений: R2 A1  A2  E  0; (10.11) R1  R2 p1 A1  p2 A2  E . R1С (10.12) В зависимости от вида корней характеристического уравнения переходный процесс будет иметь апериодический или колебательный характер. Аналогичным образом можно найти закон изменения тока индуктивного элемента iL t  . 5. Заключение 1. Переходные процессы в цепях второго порядка, содержащих индуктивный и емкостный элементы, существенным образом зависят от вида корней характеристического уравнения. Последние определяются конфигурацией цепи и значениями элементов и могут быть вещественными или комплексно сопряженными. 2. Простейшими цепями второго порядка являются последовательный и параллельный колебательные контуры. 3. В случае, если корней характеристического уравнения вещественные, переходный процесс в цепи второго порядка имеет апериодический характер. 4. Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, переходный процесс имеет колебательный характер.