"Отраженное воплощение" математики. Метафизика

«ОТРАЖЕННОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 299 Информация сознания может быть тождественна абсолютной информа­ ции, быть ее частью или совсем не иметь к ней отношения; это зависит от свойств объекта и от качеств частной информационной системы. Математика 1 ) -объект2 J, абсолютна11 информация которого тожде­ ственна информации сознания. Абсолютная информация и информация сознания могут передаваться человеку логическим путем 3 ) и трансцендентно. Гносеологическая дилемма философии не имеет смысла, поскольку для частного сознания объекты мира частично познаваемы абсолютно, частично не познаваемы. Здесь полезно сделать три замечания. Во-первых, данные высказывания, понятия и термины, видимо, дают представление о том, что их автор склонен занимать объективистскую позицию по отношению к «сознанию», называя его в духе современных технологий информационной системой; однако здесь речь идет о несравнимо более сложных системах, чем компьютерные, что обеспечивается (и подчеркивается) наличием нелогической части. Во­ вторых, с каждым из этих высказываний, точнее, по поводу каждого из них, наверное, можно спорить, однако, до настоящего времени серьезной критики вышеприведенной системы тезисов, свидетельствующей, что она приводит к абсурду, не было. И, в-третьих, эта система содержит только небольшую часть всех тезисов, имеющих отношение к полной мировоззренческой концепции, которая базируется на исследовании окружающего мира уже не прежним методом физического эксперI:Iмента или даже широко распростра­ ненным сегодня методом математической эмпирики, а методом детального изучения собственно математических структур. Для связи с дальнейшими рассуждениями об этом нужно сказать несколько подробнее. «Метафизика>> В буквальном (и узком) понимании этот термин говорит о том, что стоит (или лежит) за пределами физических явлений4 ). Иными словами, допустимо предположение, что чувственно воспринимаемый окружающий мир - его первичную отнюдь не все, что есть; «За>> ним может скрываться нечто, являющее сущность, структурирующую этот мир и, не исключено, правящую им. В силу всего вышесказанного, те, кто задумывается над этим, делятся на две группы. Одни голосуют за метафизичность мира, другие отрицают ее. В обозримой истории человечества маятник мнений по этому !)Здесь-не символьный язык, формальный инструмент или просто числа, а система сущностных соотношений. 2 )Едва ли не единственный. З) Логически объяснимым на данном уровне знания. 4 )Хотя в основе термина -упорядоченность трудов Аристотеля, собранных Андроником Родосским. 300 А. П. Ефремов поводу качался из одной крайности в другую - от Пифагора к Левкиппу, от Беркли к Ламетри, от Гегеля к Конту. Подчеркнем: речь о тех, кто задумывался; остальные религиозные - - в абсолютно подавляющем большинстве люди безусловно разделяли позиции метафизического мировоз­ зрения. «Переданное» раннему человечеству содержание священных книг сделало свое дело: человечество в массе своей поверило в истинность нефизических ( «сверхфизических») сущностей. История новейших времен выявила неожиданную тенденцию. Позити­ визм, не замечавший метафизики, а за ними и воинствующий материализм, начисто ее отрицавший, своей направленностью на объективное изучение мира сами с собой сыграли злую шутку. Начиная с Декарта, Ньютона и Кеплера процессы познания устройства мира все более и более сдвигались в сторону математики: сначала физики подбирали формулы под результаты опыта, потом, глядя уже только на разрозненные формулы, они начали объединять их в системы уравнений, затем выяснили, что во многих уравнениях физики есть общие закономерности. В результате механика физическая наука - стала разделом уже не физики, а математики. В ХХ в. с продвижением к пределу точности измерений и величине используемой в опыте энергии процедура познания мега и микро мира, по сути, свелась исключительно к математической деятельности. И воинствующие материа­ листы чуть было не упустили момент, когда их сугубо материальный мир вдруг оказался подчинен самой что ни на есть идеалистической системе. Но надо отдать должное классовому (и. философскому) чутью непримиримых идеологов материализма, таки нашедших надлежащие эпитеты кибернетике, теории относительности, а заодно и генетике. Но в итоге все встало на свои места. Физика ХХ и XXI вв. - физика «Элементарных» частиц, их структур и взаимодействий, физика вселенной в целом и ее составляющих - все это превратилось в разделы математики. Более того, с легкой руки Эйнштейна невидимые (и, возможно, несу­ ществующие1>) физические поля обрели визуально различимые контуры геометрических фигур. Этот процесс всеобъемлющей математизации науки о природе вещей ширится из года в год, все чаще оставляя опыту лишь функ­ ции контроля предсказаний, сделанных из соображений чистого идеализма. К сожалению, и в этом процессе наметился кризис бессилия: несмотря на тысячи статей, ежегодно публикуемых в мировой физико-математической периодике, прогресс в дальнейшем понимании сути вещей затормозился. Бури и штормы великих экспериментальных и теоретических открытий, сотрясавшие океан познания в начале прошлого века, все более сменяются покойной зыбью бессчетного множества не слишком разнообразных теорий, состоятельность которых обеспечивается рейдами всесокрушающего ма­ тематического монстра - принципа экстремума действия. Картина абсурда !)Поскольку существуют теории дальнодействия, где поля отсутствуют. «ОТРАЖЕННОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 301 для «не измышлявшего гипотез» Исаака Ньютона: абсолютная абстракция правит физическим миром. Но все же попробуем детальнее разобраться, какую роль играет ма­ тематика в описываемой ситуации, проанализировав ее с использованием системы вышеприведенных понятий. Чувственное восприятие мира, полученное и многократно подтвержден­ ное в физическом эксперименте, есть информация сознания исследователя. Она может быть (и чаще всего является) неточной, искажающей абсолютную информацию, имманентно содержащуюся в объекте исследования - пусть это будет некоторая физическая закономерность. Сегодняшний уровень раз­ вития научной методики предполагает, что данное наблюдение должно быть представлено в форме, доступной и воспринимаемой чужими сознаниями наиболее эффективно. Эта форма - математическая запись данной законо­ мерности, не претерпевающая никаких изменений при передаче от одного сознания к другому, поскольку абсолютная математическая информация тождественна информации сознания. Распространенная таким образом ин­ формация более не искажается. Однако чаще всего трудно сказать, насколько точно полученные опытные данные соответствуют эмпирически подобран­ ной для них математической записи, а значит, насколько верно предложенная формула соответствует абсолютной информации, имманентной исследуемой закономерности. История физики знает множество примеров таких ошибочных «зако­ нов», достаточно вспомнить древнюю геоцентрическую геометрию (что тоже - «математическая запись») модели вселенной. Сравнительно недав­ ний и не менее известный пример - «закон» Рэлея- Джинса для излучения черного тела, безукоризненный с точки зрения классической физики, но предрекающий ультрафиолетовую катастрофу, в природе не наблюдаемую. Предыдущая, базовая информация сознания авторов «закона» оказалась недостаточной, по сути, ложной по отношению к абсолютной информа­ ции, имманентной процессу излучения, и, опираясь на эту искаженную информацию, они для вывода своей формулы использовали, как выяснилось, «неправильную математику», которая была адекватна законам известной им физики (которая теперь называется классической). Решение проблемы нашел Макс Планк, с точки зрения метода - эвристически (сделал открытие). Однако он не просто «догадался», что свет может излучаться и поглощаться строго определенными порциями: о корпускулярной природе света говорили и спорили уже во времена Ньютона. Но одной этой гипотезы явно не хватило для зарождения квантовой механики. Планк обладал уже существенно более обширными и точными сведениями об излучении (впрочем, теми же, что и авторы ультрафиолетовой катастрофы) и хорошо умел переводить информацию сознания на язык математики - это была необходимая, но, как показал «закон» Рэлея- Джинса, не достаточная база для возникновения новой модели в данном частном сознании. Технология собственно открытия, А. П. Ефремов 302 возникновения новой идеи, состояла в том, что настойчивые и глубокие размышления Планка над проблемой так настроили его «информационную антенну», придали ей тот уровень сложности и ту степень соответствия теме размышлений, которые оказались достаточными для «приема» присущей ис­ следуемому явлению части абсолютной информации, всегда существующей в окружающем мире. Последнее хотелось бы еще раз подчеркнуть. Абсолютная информация о любом объекте (вещи, явлении, понятии) существует всегда и доступна для восприятия информационной системой человека. Частично она считы­ вается датчиками физического мира, ощущается как чувства и передается в информационную систему для обработки, частично - воспринимается и обрабатывается непосредственно логической и нелогической частями информационной системы. Развитие физико-математических теорий - один из видов такой непосредственной деятельности логической части, но соб­ ственно момент создания совершенно новой информации сознания, момент 1 )- открытия, «гениальное озарение» это акт трансцендентного получения части абсолютной информации информационной системой человека. Недо­ статочно хорошо (по сложности и гармоничности «настроенная антенна», но, тем не менее, - «соответствию теме») направленная на некоторое ре­ шение, может получить весьма искаженный образ информации абсолют­ ной. Будучи затем переведенной на универсальный язык математики, она приобретает в человеческой среде магическую силу, поскольку теперь это записанное в формулах искажение истины наделяется чертами свойствен­ ной математике непререкаемой тождественности абсолютной информации и информации сознания. В последнее столетие, когда направление поиска физических зако­ номерностей заметно сместилось в область уже не физической, а чисто математической эмпирики, ситуация не слишком изменилась, а, пожалуй, даже ухудшилась. Если раньше под результаты опыта могла быть подобрана формула, неточно соответствующая или вообще не соответствующая истинной закономерности явления, то в сфере математической эмпирики, когда делаются попытки найти общие закономерности среди уже известных формул, несовершенство первичной информации сознания может повлечь за собой следующую системную ошибку. И это не только умозрительное предположение, а, скорее, реальное подозрение. Представляется, что каждый серьезный исследователь обязан когда-то сам себе задать вопрос: есть ли среди современных ему «законов» физики те, которые следует признать аб­ солютной истинной? Включая законы электродинамики Максвелла, теорию относительности Эйнштейна, теорию спинорных полей Дирака и теорию кварков Гелл-Манна? Скорее всего, в ответе самому себе исследователь !)Уильям Гамильтон открыл алгебру кватернионов во «вспышке гениального озарения» так потом написали на мемориальной табличке в Дублине. «ОТРАЖЕННОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 303 услышит собственное сомнение в том, что в каждой из перечисленных областей физики ему известно абсолютно все. Но как идти к истине? Подбирать, как прежде, формулы под результаты эксперимента? Даже уже не с каждым веком, а с каждым годом это делать все труднее: отпущенные че­ ловечеству лимиты точности измерений и величины энергий, по-видимому, заканчиваются, хотя, конечно, в качестве лаборатории остается вселенная, впрочем, не слишком доступная даже для наблюдения явлений. Скажут: остается единственное - строить математические модели физических объ­ ектов и имитации явлений - теории фундаментальных сил, объединенных взаимодействий, «геометрических полей», струн и суперструн ... Как стро­ ить - известно: придумываем функционал действия, варьируем, получаем уравнения. Добытый в недрах неточной науки, классической механики, принцип экстремума действия, как уже отмечалось, овладел физическим миром. Другого столь же универсального метода построения физических моделей пока нет. И иногда он, действительно, работает неплохо, вспомним теорию электрослабых взаимодействий. Но если вдуматься, процесс подбора функционалов по своей сути мало отличается от процессов физической эмпирики, которую теоретики снисходительно называли «ползучей». Так, если астрономы вдруг замечают, что галактики «разбегаются» быстрее, чем это предсказывает общая теория относительности, то теоретикам приходится подправлять функционал действия для гравитационных сил, добавляя в него, например, слагаемое темной энергии. Здесь для контраста полезно заметить, что ни один из «реально действу­ ющих» физических законов не был открыт варьированием функционала дей­ ствия - ни уравнения динамики Ньютона, ни уравнения электромагнитных взаимодействий, ни «закон всемирного тяготения», ни уравнения гравитации Эйнштейна, ни уравнения фермионных полей Дирака. И только потом, когда уравнения всех этих теорий были уже написаны, для них подобрали функ­ ционалы действия. По известным причинам вне вышеприведенного списка остаются теория относительности, термодинамика и статистическая физика, квантовая механика, квантовая теория поля, классификации элементарных частиц. Понятно, что интенсивные занятия вышеописанной математической эмпирикой в процессе познания физического мира постепенно должны завести исследования в тупик, поскольку невозможно придумать беско­ нечное количество «хороших» функционалов. Это торможение прогресса в теоретической физике, уже упомянутое выше, действительно стало заметным в последние десятки лет. Но, помимо ограничения перспективы, метод математической эмпирики, как некой дымовой завесой застилает сущность отношений физического мира и математики, о которых говорили Пифагор, Платон, Николай Кузанский, Эммануил Кант, Давид Гильберт и Герман Вейль, отношений истинной фундаментальной взаимозависимости. Те же, кто занят игрой случайных математических проб и ошибок, не А. П Ефремов 304 в состоянии постичь глубинной сущности математики и ее роли, для них она была, есть и останется удобным инструментом, искусственно созданным языком, на котором информацию одного частного сознания можно аккуратно донести до чужого частного сознания. Таким образом, идеи, в подавляющем большинстве случаев искаженные по отношению к абсолютной истине, вна­ чале утверждаются в группе экспертов, становятся «законами», потом пере­ кочевывают в учебники, в школы, овладевают массами, и, бывает, физически реализуются в виде столь же искаженных, неправедных материальных сил 1 J. Но давайте встанем на точку зрения тех, кто стоит по «другую сто­ рону» барьера, считает, пусть предположительно, информационную систему человека своего рода самостоятельной сущностью, вложенной в его тело. Тогда ответ на вопрос, «зачем это сделано?» не приходится мучительно искать: информационные системы существуют для того, чтобы обрабаты­ вать информацию Последнее - получать, изменять, хранить, передавать и - создавать. явление загадочное. Никто не знает механизма создания новой - информации. Но что значит- новой? Если говорить о проблемах устройства мира, а именно они здесь, в основном, и обсуждаются, то речь очевидно идет об информации, новой для нашего знания об этом мире. Однако, как отмечалось выше, эта информация всегда есть и она абсолютна, только ее нужно суметь принять и обратить в информацию сознания, по возможности, максимально высококачественную. Иначе говоря, создание «новой инфор­ мацию> есть не что иное как процесс более или менее точной трансляции абсолютной информации (ее части) сначала в частное, затем в обществен­ - ное сознание, по сути, в физический мир. Математические законы и соот­ ношения транслируются человеком сразу тождественно истине точно. Но раз транслируются, значит, они - - абсолютно эти законы и соотношения - являют собой объективную сущность и «где-то должны быть». Вопросом «где?» - и не только по отношению к математике, и даже, в первую очередь, не к ней, озадачивались многие; здесь часто цитируются великий математик (Готфрид Лейбниц), и философ-богослов (Павел Флоренский). «Где» тот сверхъестественный мир, в котором обретаются высшие силы? - абстракции - мире. если Но вот тема их поиска. Оба обратились к абсолютной множеству мнимых чисел, не имеющему аналога в физическом математик связывал одномерное мнимое пространство с обителью божественной сущности все же, видимо, с тайным скепсисом, то философ, получивший и математическое образование, шел дальше. Он настойчиво вводил более вместительное двумерное пространство, а после прочтения трудов Эйнштейна по специальной теории относительности Осм. статью: Ефремов А. П., «Древняя религия и современная наука», Метафизика. Век XXI, вып. 3, 2009. «ОТРАЖЕННОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ пришел к выводу, что на периферии нашей планетной 305 системы все пространство вселенной должно быть мнимым'J. Но, обсуждая работы исследователей прошлых и уже далеких - - лет, нельзя не отметить глубину и мощь их интуиции, той части информационной системы, что получает информацию в нелогической, свернутой форме, по сути, «готовой к употреблению» Так, даже если она бывает искаженной. - Флоренский в своем поиске многомерного мнимого пространства, наверное, сам того не подозревая, использовал свойства той математики, которая модельно оказалась гораздо богаче и точнее, чем его искусственные построения. Сложно сказать, знал ли он что-либо об алгебраических работах Уильяма Гамильтона, по-видимому, нет. И, тем не менее, основой своих рассуждений он избрал именно ту часть гамильтоновой алгебры, которая наиболее ярко выделяет ее среди иных, и которая благодаря упрощениям Гиббса и Хэвисайда вошла в курс векторной алгебры как векторное произ­ ведение. Это искусственно выделенное алгебраическое действие на самом деле есть некоммутативная часть результата умножения особых чисел кватернионов, открытых Гамильтоном в середине XIX - в. Теперь, вспоминая парадигму Пифагора, в концентрированной форме звучащую афоризмом «мир есть число», можно задать вопрос, о каких чис­ лах, о какой математике идет речь? Физическая и математическая эмпирика в этом смысле «всеядньш: подходит, наверное, любая область любой как угодно сложной математики, лишь бы подобранная (подогнанная) формула или модель давала удовлетворительное совпадение обобщала уже известные «физические законы». пую, без маяков - с данными опыта или Однако блуждать всле­ в тщетных поисках фарватера - дело почти безнадежное. Для ориентирования в океане математики потребовались «реперные точки и лекала». Физики это поняли довольно быстро и стали приспосабливать под свои нужды не всю математику в целом, а наиболее соответствую­ щие поставленным задачам ее разделы. Для студентов-физиков даже были введены специальные дисциплины, среди которых «методы математической физики», «вариационное исчисление», «теория групп». Кстати, о группах: в математике группа - одна из наиболее простых алгебраических систем - множество с малым набором заданных в нем математических операций. В исследованиях физиков ХХ в. выяснилось, что эти простые множества весьма содержательны и чрезвычайно, можно сказать, естественно удобны как для описания физических ситуаций и взаимодействий (непрерывные группы), так и для классификации физических частиц (дискретные группы). Причина этого «естественного удобства» состоит в том, что каждая группа !)См. Флоренский П. А., ных образов геометрии», стей Павла Флоренского» «Мнимости а также на сайте и в геометрии. текст доклада www.cosmology.su, (http://www.cosmology.su/file. php?id=263 ). Расширение Ефремов А. П. раздел области «Теория «наука» - двухмер­ мнимо­ «философия» А. П. Ефремов 306 задает определенную симметрию - абстракцию, тем не менее, тесно связан­ ную с геометрическим представлением, которое в информационной системе человека может трансформироваться в свойственные физическому миру ви­ зуальные образы. Поэтому те, кто сомневается в объективной независимости математики от сознания, могут полагать, что собственными (хотя в реально­ сти отсутствующими) симметриями вращений и перестановок физический мир оказал влияние на процесс возникновения теории групп. Хотя ее история содержит удивительные эпизоды открытий, «гениальных озарений» в умах ее создателей, «работавших», как Галуа, с абсолютными абстракциями. Другой, более сложный вид математических структур, «популярных» в физике, представлен алгебрами. Говоря упрощенно, алгебра - это множе­ ство с большим, чем в группе, числом определенных операций и элементов. Широко известный пример - алгебра действительных чисел, для которых определены ноль и единица, а также изученные еще в средней школе действия с «хорошимю> свойствами: сложение, умножение, деление. В тече­ ние столетий эта алгебра считалась уникальной математической структурой, единственно подходящей для описания физических процессов. Все «законы» физики практически до конца XIX в. были «похожю> на математику действительных чисел. В информационных системах исследователей, да и всех образованных людей, источники взаимодействий представлялись как счетные или распределенные в пространстве, но вполне реальные тела с определенными траекториями, скоростями и ускорениями. Переносчиками взаимодействий служили среды, подобные невидимым жидкостям или неве­ сомым и тоже невидимым упругим мембранам - физические поля, имеющие свои реальные характеристики, над которыми можно было производить те же операции, что и над элементами алгебры действительных чисел. Предвестником нового понимания физики стали уравнения Максвелла, но - в обсуждаемом аспекте - не своим сущностным содержанием и даже не гармонией синтеза разрозненных законов электричества и магнетизма, а тем, что автор использовал для их формулировки совершенно новую матема­ тику- алгебру кватернионов Гамильтона. Однако этот далеко не случайный факт остался всего лишь частью истории: первая запись уравнений элек­ тродинамики обогнала свое время, не нашла понимания и последователей, и дальнейшее развитие этой теории оторвалось от своих истинных матема­ тических корней. Информация сознания предпочла упрощенную, более для нее технологичную математическую базу: векторную алгебру и анализ. По-настоящему серьезный шаг к признанию математики как отраже­ ния физики был сделан Германом Минковским, предложившим для спе­ циальной теории относительности геометрическую модель пространства­ времени. Тем самым впервые в истории физики вводилось новое время - не договорное, базирующееся на механике периодических процессов, а геомет­ рическое, связанное с фактом существования фундаментальной скорости. По сути дела, одна абстракция, не данная человеку в ощущениях, величина «ОТРАЖЕННОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 307 скорости света в вакууме, породила следующую абсолютную абстракцию - геометрическое время, имеющее точно такие же свойства, как любая из размерностей физического пространства. Но, пожалуй, самое главное в модели Минковского состояло в том, что он представил время как размерность, мнимую по отношению к размерностям трехмерного мира. Это было настоящее эвристическое открытие, полученная трансцендентным путем информация. Хотя казалось (и, наверно, автору открытия тоже), что она подкрепляется логическим желанием зачем-то со­ хранить знакопостоянство четырехмерной метрики пространства-времени. И именно эта кажущаяся логическая мотивация не была воспринята инфор­ мацией сознания подавляющего большинства исследований; в результате они отказались от мнимого времени и вместо него ввели знакопеременную метрику. В этом несложно усмотреть «детскую» приверженность матема­ тике действительных чисел, «похожих» на окружающий мир, и незрелость информационных систем, их неспособность признать сущностными мнимые числа - абсолютные абстракции, не имеющие аналогов в природе. Впрочем, нельзя сказать, что математика мнимых и комплексных чисел «зачем-то» изучаемая и развиваемая математиками, не использовалась в физике столетней давности. Она успешно применялась для описания, например, волновых процессов, но в «урезанном виде»: мнимые слагаемые, возникающие при расчете наблюдаемых величин, как правило, не считались физически состоятельными. Во всех подобных случаях математика ком­ плексных чисел воспринималась исключительно как удобный инструмент для описания физики. Ситуация резко изменилась в период создания квантовой механики. Последней попыткой обойтись без мнимых чисел для описания микроструктур явилась теория Бора, предложившего, как известно, квантовать адиабатический инвариант классической механики; эта попытка не стала успешной. Усилиями де Бройля, Шрёдингера, Гейзенберга, Борна, Паули, Фейнмана «действующая» квантовая механика была создана. Специалисты знают, насколько эта теории оказалась отличной от «стан­ дартных классических» представлений о сущности физических величин и явлений, но акцент хотелось бы сделать не на этом. Одной из самых поразительных черт механики микромира явилась жесткая необходимость участия в ее содержании математики комплексных чисел. Естественно, лишь часть известных разделов этой математики вошла в формулировку квантовой теории, но именно эти разделы, связанные с определением операторов и на­ личием пространств комплексных функций, дифференцируемых в квадрате, оказались неотъемлемой частью сущностного содержания новой физики. Последнее словосочетание - «новая физика» - не оговорка. Человеческое сознание впервые пришло к необходимости привлечь не имеющие «физи­ ческих двойников» математические структуры для описания чувственно не воспринимаемых и модельно непредставимых объектов и явлений. Как и их «классические» предшественники, подобные свойственной им математике А. П. Ефремов 308 реальных чисел, основные фигуранты новой физики - функции состояния и операторы (за исключением оператора координаты) оказались в значитель­ ной степени «похожими» на естественную для них математику комплексных чисел. Помимо математических свойств, это сходство более всего обнару­ жилось в том, что, как для мнимых чисел, для них не нашлось никакого визуально представимого, геометрического воплощения, даже идеального 1 ). Однако «похожим» на алгебру комплексных чисел в квантовой механике оказалось не всё. В теле теории появились важные для ее сути математи­ ческие объекты - коммутационные соотношения операторов; выяснилось, что заметная часть таких соотношений имеет свойства, не укладывающиеся в рамки задействованной математики. Умножение целого ряда операто­ ров оказалось неперестановочным, и это было свойство уже не алгебры комплексных чисел, а совсем другой алгебры. Поскольку, как и прежние физические теории, квантовая механика создавалась методом математи­ ческой эмпирики с элементами эвристики, ее математическая база была эклектичной: настроенные на поток тематической информации «антенны» исследователей, все же недостаточно совершенные, выхватывали из этого потока фрагменты истины и складывали их, как элементы мозаики, в новую очень сложную для понимания теорию. Это были гениальные люди, и они сделали великое дело. Дальнейшее развитие теории Дираком, появление ее релятивистской версии привело к предсказанию позитрона, который вскоре был реально обнаружен. Но спиноры Дирака (а чуть раньше - функции состояния в уравнениях Паули) уже явно не были элементами алгебры комплексных чисел. В фун­ даменте физики микромира все более и более настойчиво вырисовывались контуры еще более сложной математики, открытой почти за век до триумфа теории Дирака и являющей собой еще более трудно представимую абсолют­ ную информацию: это была алгебра кватернионов, предрекающая существо­ вание мнимого трехмерного мира. Исследования алгебры кватернионных чисел и в целом кватернионной математики как, наверное, исследование и применение никакой другой математики помогло продемонстрировать, что именно лежит «За>> физикой, ее реальными объектами и явлениями. Убеди­ тельность и достоверность этой демонстрации проявилась, как минимум, в двух уровнях. Первый уровень достоверности математики кватернионных чисел - неожиданное обнаружение в структуре значительного числа известных ранее результатов физической и математической эмпирики. Здесь стоит напомнить, что алгебра кватернионов, открытая Уильямом Гамильтоном в I)B 1843 г.,- последних работах автора, посвященных структуре комплексных, двойных, дуальных кватернионных и бикватернионых чисел предложена новая геометрическая модель ком­ плексного числа, а также геометрическая интерпретация спинорных функций, родственных функции состояния квантовой механики; см. публикации Cosmology, Advanced Science Letters, 2010 г. в журналах Gravitation & www.cosmology.su. а также ссылки на сайте «ОТРАЖЕННОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 309 это третья среди всех возможных «хороших» алгебр, допускающих для входящих в них элементов «привычные» операции: сложение (вычитание), умножение и деление при определяемых базовых элементах. В алгебре действительных чисел эти элементы-ноль и единица, в алгебре ком­ плексных чисел - ноль, единица и мнимая единица. В алгебре кватернио­ нов эти базовые элементы три мнимых единицы, - ноль, одна действительная единица, а также квадрат каждой из которых есть отрицательная действительная единица. Яркой особенностью этой алгебры является не обязательная перестановочность сомножителей ее элементов: одни элементы (числа) безразличны к порядку своего расположения в действии умно­ жения, результат произведения других элементов зависит от их места - справа или слева. В целом умножение чисел из алгебры кватернионов некоммутативно; вспомним, что такими же свойствами обладают некоторые операторы квантовой физики, однако, это далеко не единственное сходство. Еще в период раннего изучения математики кватернионов было замечено, что три ее базисные мнимые единицы «ведут себя» так, будто являются отражением геометрической структуры: триадой направляющих векторов прямоугольной системы координат. Это был поразительный факт, свидетель­ ствующий о глубочайшей взаимосвязи абсолютной абстракции с одной стороны, а с другой - - алгебры, визуально представимой, т. е. почти физи­ ческой геометрической конфигурации, которую Рене Декарт, не имевший ни малейшего представления о кватернионах, ввел эвристически, открыл. Но оказалось, что абсолютная информация о декартовой системе координат имманентно присуща математике кватернионов, и она всегда была и остается объективной идеальной сущностью. То же можно сказать и о множестве других «проявлений физики» в мате­ матике кватернионов. Среди них - возможность автоматического описания динамики тел в произвольных неинерциальных системах отсчета класси­ ческой механики, вывод (а не эвристическая запись) уравнения Паули для заряженной квантовомеханической частицы во внешнем магнитном поле, естественное появление спинорных структур как элементарных «кирпичи­ ков» кватернионных чисел. Особо можно выделить феноменальный резуль­ тат австрийского математика Рудольфа Фютера, полученный им в 30-х гг. прошлого века; он показал, что чисто математическое условие дифференци­ руемости функции кватернионного переменного тождественно системе урав­ нений электродинамики Максвелла в вакууме. Наконец, одно из недавних исследований показало, что чисто геометрическая характеристика трехмер­ ного пространства, кривизны - содержащего кватернионную неметричность, - тензор формально тождественен напряженности поля Янга- Миллса, которая в физике используется для описания сильных взаимодействий. Эти многочисленные «кватернионные совпадения» (а открыты, конечно, еще не все) показывают, что в самой структуре математики может содер­ жаться запись физических законов, ранее возникших и сформулированных 31 О А. П. Ефремов в информационных системах человека в результате логических действий (осмысления эмпирических данных) и/или полученных трансцендентно (открытых эвристически). И здесь уже речь может идти не только о группах или о «хороших» алгебрах, которыми огромное множество математических структур отнюдь не ограничивается. Что из этого множества отвечает «нашей» физике, что - нет, пока сказать сложно, и здесь это не цель. Важен и очевиден другой факт: тайное учение Пифагора о неком первенстве чисел сегодня, спустя два с половиной тысячелетия, вдруг снова стано­ вится актуальным. Постепенно выясняется, и это уже вопрос не только религиозной или научной веры, что «За>> физическим миром оказывается его идеальный метафизический двойник - математика. Пусть «не вся», но представленная целым рядом своих «высокоорганизованных» структур, в частности, исключительных алгебр. Таких алгебр на сегодняшний день известно всего четыре. Это уже упомянутые выше алгебры действительных, комплексных и кватернионных чисел, а также алгебра октонионов (или октав), в которой базисными являются восемь единиц; умножение элементов этой алгебры теряет не только свойство коммутативности, но и ассоциа­ тивности, т. е. существенной в этой алгебре является и последовательность умножения нескольких элементов. Тем не менее, в этой алгебре, как и в трех предыдущих по числу размерностей, существует так называемое тождество квадратов (в данном случае - восьми), и тем самым алгебра октав причис­ лена к числу исключительных. Больше таких «хороших» алгебр нет, что доказывается знаменитыми теоремами Фробениуса- Гурвица. Но пора сказать о втором уровне достоверности, тесно связанном с иде­ ями Платона. О «параллельных мирах» и метаматематике Поиск известных физических закономерностей в математических структурах не ограничился перечисленными выше результатами. Автору данной работы удалось заметить, что в структуре той же математики ква­ тернионов «закодирована» обширная серия экспериментально проверенных физических закономерностей, описание которых до последнего времени осуществлялось эвристической математической моделью, которая носит называние теории относительности. Среди этих закономерностей специальной с «плоским» теории относительности четырехмерным Эйнштейна, модельно пространством-временем - эффекты связанной Минковского, - сокращение масштабов длин и времени в различных системах отсчета, реля­ тивистское правило сложения скоростей, аберрация и эффект Доплера. Для расчета этих эффектов приходится считать, что системы отсчета различных наблюдателей движутся относительно друг друга с постоянной скоростью, поскольку специальная теория относительности не предназначена для опи­ сания неинерциальных движений наблюдателей, и рассмотрение в ее рамках «ОТРАЖЕННОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 311 произвольных сложных движений тел чрезвычайно затруднено. Задачи же неинерциального движения можно решать методами дифференциальной геометрии, свойственными «следующей» теории Эйнштейна - общей теории относительности. Однако основным результатом использования этих методов явилась геометризация физической силы - гравитации, модельно связанной с искривлением четырехмерного пространственно-временного мира. Специалистам известно, что тензорная математика теории гравитации, во-первых, весьма сложная сама по себе, в применении к описанию неинерциальных движений требует искусственного введения ряда дополни­ тельных условий, связанных, в частности, с правилами переноса векторов и освобождения от «лишних» компонент физических величин. Понятно, что несовершенство этих, тем не менее, есть результат метода их построения - великих теорий эмпирического подбора или эври­ стического открытия общих (или принципиально иных) формул, которым в некотором пределе соответствуют уже известные математические образы физических законов. Применение другого метода - исследования собственно математической структуры, в данном случае векторных единиц кватернионной алгебры, привело к иному, весьма нестандартному, но интересному - результату. Оказалось, что группа разрешенных преобразований кватернионных единиц (которые, напомним, геометрически эквивалентны направляющим векторам декартовой системы координат) - это группа трехмерных вращений над полем комплексных чисел, эквивалентная группе Лоренца, на которой стро­ ится специальная теория относительности Эйнштейна. Далее выяснилось, что математическая величина, которая остается инвариантной относительно группы вращений, есть не что иное как кватернионный «корень квадратный» из базовой величины теории относительности - интервала пространства­ времени Минковского. Таким образом, в структуре математики кватернионов «автоматически нашлась» специфическая формулировка теории относи­ тельного движения и взаимодействия тел, естественно содержащая все ранее известные результаты стандартной релятивистской теории. Но, кроме того, векторная форма наблюдаемых величин в новой версии позволила легко формулировать и решать любые задачи, связанные с неинерциальным движением тел и систем отсчета наблюдателя, без привлечения каких-либо искусственных дополнительных условий. Решения целого ряда таких задач были получены и опубликованы в течение последних двух лет 1 J. Однако отличительной особенностью новой версии релятивистской теории оказалась геометрия пространства и времени. Во-первых, время, как 1) Yefremov А. Р: «Quatemion Model of Relativity: Solutions for Non-Inertial Motions and New Effects» Adv. Sci. Lett. 1, 2008, Р. 179-186; «Newton-type Dynamic in Quatemion Model of Relativity», Adv. Sci. Lett. 2, 2009, Р. 81-85; «Solutions of Dynamic Equations in Quatemion Model ofRelativity», Adv. Sci. Lett. 3, 2010, Р. 236-240. 312 А. П. Ефремов и в ранней модели Минковского, является геометрической характеристикой «кватернионной» модели вселенной (пока что «плоской»), т. е., по сути, длиной но математически мнимой по отношению к длине физического - пространства; и этот факт взаимной мнимости геометрий пространства и времени принципиалыю не устраним, поскольку в новой версии базовой величиной является не абстрактный метрический тензор (сигнатура которого может быть подобрана так, чтобы устранить мнимость), а векторная, по сути своей, близкая к физике геометрическая величина. И если геометрическое время определяется как математически мнимая величина, то это означает, что эта «длина>> не может физически (визуально) наблюдаться. Но это не означает, что этой длины нет. Более того, - и это самое главное - таких мнимых независимых длин в кватернионной модели три. Иными словами, помимо обычного структуре наличие физического кватернионной еще одного пространства, алгебры трехмерного модель имманентно вселенной пространства, присущая предусматривает мнимого по отношению к нашему трехмерному миру. Этот второй, «параллельный» мир образован тремя линейными размерностями, каждая из которых может быть трактована (в духе работ Минковского) как размерность геометрического времени. В об­ щем случае свойственным этому «мнимому» миру оказывается трехмерный вектор, длина (модуль) которого имеет смысл изменения геометрического времени. Коэффициентом пропорциональности между изменением коорди­ нат (модулем вектора перемещения) в физическом мире и изменением времени в нефизическом (мнимом) трехмерном постоянную фундаментальную скорость равной мире 1 удобно принять единиц длины/единиц времени (скорость света в вакууме). Математические исследования показы­ вают, что для частиц физического мира мнимый мир недоступен, величина фундаментальной скорости является для них непреодолимым барьером. Следует признать, что наличие невидимого и недостижимого второго мира в описываемой модели вселенной модели. Существенно, однако, что это - - весьма непривычное свойство этой не эмпирическая и не эвристическая модель. Она - следствие логического анализа содержания исключительной («хорошей») алгебры, т. е. случае тождественная - определенная информация сознания, в данном абсолютной информации. И принятие или отри­ цание этой модели частным сознанием есть проблема соответствующей компетенции, никак не зависящая от объективного существования данной математической структуры. Предположим, что некое частное сознание считает модель дуальной состоящей из двух разделенных световым барьером трехмерных миров - соответствующей реальной ситуации. Тогда это сознание не может не озада­ читься следующим вопросом: есть ли в «параллельном» мнимом мире какие­ то объекты (раз мир объективен), кроме векторов геометрического времени? Подразумевая, конечно, что когда-то кое-что уже было сказано о двух мирах и их содержании. Действительно, в нашем физическом пространстве (если «ОТРАЖЕННОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 313 считать его объективной сущностью) помимо трех размерностей, впрочем, никак не обозначенных, определенно наблюдаются частицы, из которых фор­ мируются тела, а может быть, и переносчики взаимодействий. В кватернион­ ной модели существуют очень простые преобразования координат, которые «переносят» наблюдателя из одного мира в другой. При этом наблюдатель видит бывший «параллельный» мир как физический, а бывший физический мир для него становится мнимым; т. е. разделенные барьером два трехмер­ ных мира данной модели симметричны. Это обстоятельство позволяет пред­ положить, что и во втором мире, помимо мнимых размерностей (тоже никак не обозначенных) могут находиться некие объекты. Но для наблюдателя из первого мира эти объекты мира второго идеальны, т. е. для информационной системы человека «параллельный» мир - это мир идей - точно по Платону. Высокая симметрия модели и некоторые другие соображения заставляют предположить, что физические и идеальные объекты двух миров могут иметь отношение друг к другу. Эта гипотеза, в частности, подтверждается и тем фактом, что целый ряд «высокоорганизованных» математических структур содержит в качестве их неотъемлемых частей идеальные отраже­ ния структур и закономерностей, свойственных физическому миру. Можно сказать, что «за» физическим миром в похожем на него, но «параллельном», мнимом мире «лежат» идеальные математические конструкции, содержащие абсолютную информацию о материальных телах и физических законах. Но поскольку существенной характеристикой данной модели является высокий уровень ее геометрической симметрии, любое из двух трехмерных взаимно мнимых пространств может быть для наблюдателя физическим миром. Тогда второе трехмерное пространство автоматически оказывается «местом пребывания» идеальных объектов. И если гипотетически пред­ положить условно «одновременное» наличие двух наблюдателей в двух «параллельных» мирах, то физический мир одного будет для другого миром платоновых эйдосов, «имманентных способов бытия вещей», если угодно, мировым банком абсолютной информации о сути всех физических вещей и явлений. Всякая же логически структурированная информация сущностно являет собой одну из областей математики. Такая зеркальная симметрия обсуждаемой модели позволяет высказать предположение об истоках происхождения самой математики или, по край­ ней мере, ряда ее «высокоорганизованных», «исключительных» разделов, и тем самым замкнуть линию рассуждений. Если метафизические образы вещей и явлений оказываются представленными определенными математи­ ческими структурами, то метаматематическими образами собственно раз­ делов математики должны быть объекты и явления физического мира. Ибо для наблюдателя в любом из двух трехмерных пространств кватернионной модели вселенной банк абсолютной информации оказывается «размещен­ ным» в дуальном ему мире, мнимом пространстве. Здесь полезно заметить, что в новой ситуации термин «мнимое» уже теряет тот смысл, который 314 А. П. Ефремов ему приписывался при введении столетия назад - как нечто, принадлежа­ щее исключительно разуму, информации сознания. Математически мнимое пространство оказывается таким же реальным, как и то, в котором обре­ тается человечество и вся доступная его наблюдениям часть вселенной, но это второе пространство «не видно», его от наблюдения «загораживает» световой барьер. Представляется существенным, что этот барьер имеет конечную высоту. До настоящего времени нет никаких экспериментальных свидетельств того, что все физические взаимодействия, как и волновые электромагнитные, передаются в пустоте с фундаментальной скоростью, хотя это обычно предполагается в современной теоретической физике. Каковы агенты и технология передачи информации «через барьер» в ин­ формационную систему человека пока не известно. На эту тему можно фантазировать, но лучший способ прихода к пониманию сути происхо­ дящего все же - продолжение научных исследований, поиск и изучение скрытых в математических глубинах и имманентно им присущих моделей физического мира. Заключение. Апология математики В своем замечательном труде «Апология математика» 1 ) известный ан­ глийский математик Готфри Харди самому себе задал вопрос: что служит оправданием жизни математика? Иными словами, зачем человек профес­ сионально (или даже непрофессионально) занимается математикой? Среди множества причин Харди усмотрел также и ту, о которой в ряде своих предыдущих работ высказывался и автор данной статьи, отмечая наличие в информационных системах некоторых людей присутствие некой побужда­ ющей и непобедимой идеи, всесильного императива - стремления к позна­ нию устройства мира. Известнейших примеров множество. Вряд ли Галилей слеп, глядя в свой телескоп, а Фарадей не расставался со своими рамками и магнитами в ожидании премий и наград. Их-то, как правило, не было, а вот неприятностей - сколько угодно. Трагическое завершение жизненного пути Бруно и Больцмана - ярчайшие подтверждения этого тезиса. Факт налицо: таким людям беспричинно необходимо заниматься наукой, даже если эта наука являет собой абсолютную абстракцию. Математика- синтез высших абстракций. Она существует объективно и всегда, как объективен и вечен физический мир - в любых известных и пока не известных его проявлениях. Математика, безусловно, не создается, но открывается; не сразу, а постепенно, по мере взросления человечества и повышения качеств составляющих его информационных систем. Мате­ матика не только описывает но, по всей видимости, и содержит в себе как зеркальное отражение глубинную суть вещей и явлений, как вещам 1 )http://www.ega-math.narod.ru/Math/Hardy.htm «ОТРАЖЕННОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 315 и явлениям имманентны структуры и закономерности, сущностно отражаю­ щие содержание различных областей и разделов математики. Математика - один из тех немногих объектов вселенной, присущая которым абсолютная информация порождает тождественную себе информацию сознания. И как никакой другой объект вселенной математика может продемонстрировать сознанию (и постоянно делает это), что мир, в котором живет человечество и вселенная в целом - совсем не таковы, какими они кажутся, а гораздо сложнее. Всегда были, в настоящее время есть и будут люди, которые не могут не заниматься математикой и изучают ее не как прикладную, но как фундаментальную науку, не имеющую прикладного значения не только в обозримом будущем, но, возможно, не имеющую такого значения вообще. Это знание может приходить и приходит к исследователям математики в виде трансцендентного акта передачи информации из «вселенского банка данных» или от других людей, но каким путем это знание не пришло бы, оно всегда остается истинным. В качестве иллюстрации ко всему вышесказанному хочется привести отрывок из книги античного философа Ямвлиха, главы сирийской школы неоплатонизма, и тем закончить эту работу. Вот слова Ямвлиха о Пифагоре: «Он думал, что ему одному на земле понятны и слышны космические звуки, и от этого природного источника и корня он считал себя способным учиться и учить других и уподобиться небесным существам соответственно стремлению и способности подражания, поскольку он один был так счаст­ ливо наделен породившим его божественным началом».